高等数学求极值的方法
高等数学3_5极值与最值
b ∈( 0 , d )
令 得 从而有 即
2 2 w′ = 1 ( d − 3 b ) =0 6
b=
1 3
d
2d 3
h = d 2 − b2 =
d h b
d : h : b = 3 : 2 :1
由实际意义可知 , 所求最值存在 , 驻点只一个, 故所求 结果就是最好的选择 .
f ′′′(±1) ≠ 0
−1
1
x
说明: 极值的判别法( 定理1 ~ 定理3 ) 都是充分的. 当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 . 例如: 2 1) , x≠0 2 − x ( 2 + sin ⎧ x f ( x) = ⎨ x=0 ⎩2 ,
f (0) = 2 为极大值 , 但不满足定理1 ~ 定理3 的条件.
5μ g ] , α ∈ [0, π F= 2 cosα + μ sin α ϕ (α ) = cosα + μ sin α
∴
即 令
则问题转化为求 ϕ (α ) 的最大值问题 .
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5μ g ] F= , α ∈ [0, π 即 2 cosα + μ sin α ϕ (α ) = cosα + μ sin α 令 则问题转化为求ϕ (α ) 的最大值问题 .
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例7. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于 观察者的眼睛1.8 m , 问观察者在距墙多远处看图才最 清楚(视角θ 最大) ? 解: 设观察者与墙的距离为 x m , 则
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导数极值点
导数极值点极值点，也称为极大值点或极小值点，是指函数f(x)在定义域内某个点处的导数f(x)为0，或在极限计算中导数存在于该点处但不等于0的点。
极值点可以分为极大值点和极小值点，当某点x的函数值大于任意更接近该点的其他点时，此点称为极大值点；而当某点x 的函数值小于接近该点的任何其他点时，此点称为极小值点。
从函数的角度来看，对于极值点的求解，可以考虑函数的导数。
在高等数学中，函数的导数是一种测量函数变化速度的量，其实质是表示某函数在某指定点处的“斜率”，它是描述函数变化情况的量，即当函数增加时，对应点的斜率增加，当函数减少时，对应点的斜率减少。
当导数为零时，意味着此处斜率等于零，也就是此处函数不再变化，此点即为极值点。
利用求导法求解极值点的方法，一般可以总结如下：（1）求出函数f(x)的导数f(x)；（2）令f(x)=0，求解得出x的值；（3）代入到f(x)中，得到极值的值。
对于一元函数来说，求极值点的关键步骤即为求导数，需要利用求导数公式及一些极值性质，如直线函数、二次函数、三次函数、反比例函数、对数函数及指数函数等各类函数的求导数公式都有所不同。
另外，在求极值点的过程中，需要注意两个特性：单调性和连续性。
单调性是指函数在任意点处的导数是函数单调递增或单调递减的，这也是求极值点的关键。
连续性是指函数在任一处都可以获得某种定义，否则函数极值将无效。
以上所述，可以总结出求极值点的基本思路：（1）首先，根据函数形式，求出函数的导数；（2）然后，令导数等于零，求解出极值点；（3）最后，代入函数，求出极值的值。
求解极值点的方法，是高等数学中较为重要的知识点之一，它不仅可以帮助我们求解实际问题，而且在理解函数特性及求解运动轨迹等问题中也有不可替代的作用。
例如，在计算内爆炸和内摩擦力时，可考虑函数的极值点作为定值；在运动的抛物线轨迹计算中，可根据函数的极值点，求出物体的最大高度和最大运动距离，等等，都离不开极值点的概念。
求极值的方法与技巧
(3)当 EMBED Equation.DSMT4 为不定矩阵时， EMBED Equation.DSMT4 不是 EMBED Equation.DSMT4 的极值。
极值的求法：
第一步 解方程组fx(x( y)(0( fy(x( y)(0( 求得一切实数解( 即可得一切驻点。
第二步 对于每一个驻点(x0( y0)( 求出二阶偏导数的值A、B和C。
第三步 定出AC(B2的符号( 按定理1的结论判定f(x0( y0)是否是极值、是极大值 还是极小值。
令 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 ，由 EMBED Equation.DSMT4
得驻点 EMBED Equn.DSMT4
故 EMBED Equation.DSMT4 在 EMBED Equation.DSMT4 处取极大值，即函数 EMBED Equation.DSMT4 在圆周 EMBED Equation.DSMT4 上取极大值 EMBED Equation.DSMT4
求极值的方法与技巧
极值一般分为无条件极值和条件极值两类。
无条件极值问题即是函数中的自变量只受定义域约束的极值问题；
条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外，还受其他条件限制的极值问题。
一、求解无条件极值的常用方法
1．利用二阶偏导数之间的关系和符号判断取不取极值及极值的类型
定理1(充分条件) 设函数z(f(x( y)在点(x0( y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数( 又fx(x0( y0)(0( fy(x0( y0)(0( 令
求极值的方法和步骤
求极值的方法和步骤求极值是高等数学中的一个重要概念。
它是指在一个函数或者一组数据中，寻找出最大值或最小值的过程。
求极值的方法有很多种，下面将为大家介绍一下求极值的常见方法和步骤。
1. 寻找导数为0的点对于一个单变量函数，函数最大值和最小值一定在导数为0的点处出现。
因此，我们可以通过求导数来找到函数的最大值和最小值。
具体的做法是，先对函数进行求导，然后令导数等于0，解出方程的根，即可找到函数的极值点。
不过需要注意的是，只有在导数的定义域中导数为0的点才是函数的极值点。
2. 利用函数的性质对于一些特殊的函数，我们可以利用它们的性质来求其极值。
比如，对于一个凸函数，其极小值出现在函数的两个端点处；对于一个连续函数，其极值只可能出现在其定义域的端点处或者导数为0的点处。
此外，对于一些函数，我们还可以通过对函数图像的观察来判断其极值点的位置，这需要我们具备一定的直觉和分析能力。
3. 利用拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种常用的优化方法，可以用来求解带有约束条件的优化问题。
在求极值问题中，我们可以用拉格朗日乘数法来解决导数为0但不满足约束条件的问题。
具体的做法是，将约束条件转化为一个方程，然后构造拉格朗日函数，利用导数为0的条件来确定极值点的位置，最后再将这些极值点和约束条件代入原函数中，求出最终的极值点。
需要注意的是，拉格朗日乘数法只适用于带有等式约束的优化问题。
通过以上三种方法，我们可以较为全面、准确地找到函数的极值点。
在具体应用中，我们需要根据具体问题的特点来选择合适的方法，同时还需要注意对计算过程中可能出现的误差进行调整和处理，保证结果的可靠性。
高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法
成一个无盖的方盒，问截去多少方能使盒子容积最大？
解：设截的小正方形边长为 x，则做成方盒容积为 y=(x-2a) x（0≤x≤a/2）
于是问题就归结为求函数在区间内极值问题。运用引理可知在 x=a/6 是盒子容积
最大。
五、利用平面几何图形求最值
例 11 求函数
的最小值。
分析：本题要求无理函数最值。用代数方法比较困难，若将函数表达变形为； 则函数表达式显现为坐标平面上
条件求出自变量的范围，最终将问题为一元二次函数区间内最值问题。但这样解
决此题，计算量较大。我们仔细分析约束条件，将约束条件可以整理为
，它表示以 x、y 为坐标的动点必须在椭圆
内或边界。而函数 f(x、y)=x－3y 可以约束区域内有点在
直线上的情况下，直线系中哪条直线在 y 轴截距最大或最小。显然在与椭圆相切
y x 3
y x3
x o
根据图像我们可以判断：当 x=0,
；当 x=3,
,对此类型问题的
思考：当函数解析式含有较多绝对值符号的时候，如果我们仍然通过做出函数图
像来求解极值，那么过程就非常复杂。那么是否有更简单的方法呢？经过对问题
的分析，我们发现函数的极值点要么出现在函数定义域的端点，要么出在函数图
就转化为在图像上找一点使得该点的横纵坐标之和最大或最小。此后就可采用椭
圆的参数方程解决。 例 5 若 2x+4y=1 求 x2+y2 的最小值 分析 函数 f(x、y)= x2+y2 我们理解为点（x、y）到原点的距离的平方，而
动点（x、y）在直线 2x+4y=1 上移动，那么我们就将问题转化为在直线上找一点，
于：能深刻理解函数解析式的内涵，且计算简单。
高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法
高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法对于一个给定的函解析式，我们如果能大致作出其对应的函数图像，那么函数的许多性质都可以通过图像客观地反应出来。
因此，只要我们做出了函数图像，那么我们就可以根据图像找到极值点，从而求出函数的极值。
下面，我就从几个方面讨论一下，函数图象在求极值问题中的应用。
一、函数解析式中含有绝对值的极值问题。
我们给出问题的一般形式，设a≤x≤b,求函数的极值。
很容易判断该函数为分段函数，其对应的图像是折线，因此只要做出函数的图像那么就可以准确的找出函数的极值点。
例1设－2≤x≤3，求函数的最值。
解：若将函数示为分段函数形式。
作出函数图像根据图像我们可以判断：当x=0,；当x=3,,对此类型问题的思考：当函数解析式含有较多绝对值符号的时候，如果我们仍然通过做出函数图像来求解极值，那么过程就非常复杂。
那么是否有更简单的方法呢？经过对问题的分析，我们发现函数的极值点要么出现在函数定义域的端点，要么出在函数图像的拐点(使函数中某一个绝对值部分为零的点）因此我们只需将这些点求出来并代入函数解析式求出其所对应的值。
经过比较就得出了极值例如上题：f(－2)=7、f(－1)=4、f(0)=3、f(2)=5、f(3)=8、、=8，据此我们下面给出解决这一类问题更一般的方法。
=max ｛f(bi)、i=1、2、3……n ｝,=min ｛f(－bi),i=1、2、3……n ｝.二、将极值问题转化为几何问题。
运用此方法解决极值问题关键在于深刻理解，挖掘解析式所蕴含的几何意义。
1.转化为求直线斜率的最值。
例2求函数的最值分析函数解析式非我们常见的函数模型。
通过分析我们发现该函数可以看做过点A （3、2）与B （sin 、－cos ）两点直线的斜率。
而动点B的轨迹是y xo 3+=x y 3+-=x y 13+-=x y 13-=x y圆x2+y2=1。
因此我们就将问题转化为了求定点（3、2）与圆x2+y2=10上一点连线的斜率的最大值与最小值。
导数极值最值问题
导数极值最值问题导数极值是高等数学中的一个重要概念，广泛应用于物理、经济、工程等领域的问题求解中。
对于一个函数，在某一点处取得最大值或最小值，我们称之为极值。
导数极值问题则是求解函数导数为零的点，以及在这些点处的函数值，以确定函数的极值。
为了解决导数极值问题，我们需要掌握相关的理论、方法和技巧。
下面是一些相关内容的参考：1. 导数的定义：首先，我们需要了解导数的定义，即一个函数在某一点处的导数是该函数在该点的斜率。
对于函数y=f(x)，其导数可以表示为dy/dx，也可以表示为f'(x)或y'，表示函数f(x)对于自变量x的变化率。
2. 极值的判定条件：在一般情况下，求解导数极值的思路是找出函数的导数为零的点，然后判断这些点是否为极值点。
判定导数为零的点是否为极值点，需要应用导数的增减性或二阶导数的符号判定方法。
其中，- 导数的增减性：若导数在某点的左侧为正，右侧为负，则该点为极大值点；若导数在某点的左侧为负，右侧为正，则该点为极小值点。
- 二阶导数的符号判定：若函数的二阶导数大于零，则该点为极小值点；若二阶导数小于零，则该点为极大值点；若二阶导数等于零，则该方法无法判断。
这些判定条件可以帮助我们确定极值点的性质。
3. 极值问题的求解步骤：一般来说，求解导数极值问题的步骤如下：- 求出函数的导数；- 找出导数为零或不存在的点，即驻点；- 判断驻点是否为极值点，并求解极值点的函数值；- 若函数的定义域是一个闭区间，还需比较区间端点处的函数值。
这些步骤可以帮助我们系统化地求解导数极值问题。
4. 实际问题的应用：导数极值问题在实际问题中有广泛的应用，例如：- 经济学中的最优化问题；- 物理学中的最小作用量原理；- 工程学中的控制系统设计等。
学习与掌握导数极值问题的相关理论和方法，对于解决这些实际问题具有重要意义。
总之，导数极值问题是高等数学中一个重要的主题，通过分析函数导数为零的点及其性质，可以确定函数的极值点。
高等数学函数的极值及其求法
定理2(第一充分条件)
(1)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 ),
有 f '( x) 0，则 f ( x)在x0处取得极大值.
(2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )
如 果 存 在 着 点x0的 一 个 邻 域, 对 于 这 邻 域 内 的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
二、函数极值的求法
定理1(必要条件) 设 f ( x)在点x0 处具有导数,且 在 x0处取得极值,那末必定 f '( x0 ) 0. 定义 使导数为零的点(即方程 f ( x) 0 的实根)叫 做函数 f ( x) 的驻点. 注意: 可导函数 f ( x) 的极值点必定是它的驻点,
f (2) 18 0, 故极小值 f (2) 48. f ( x) x3 3x2 24x 20 图形如下
M
m
注意: f ( x0 ) 0时, f ( x)在点x0处不一定取极值, 仍用定理2.
注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.
2
例3 求出函数 f ( x) 1 ( x 2)3的极值.
x 0时, f ( x)
f ( x) f (0) 0 即 x2 2ax 1 e x
例5 设f ( x )连续，且f ( a )是f ( x )的极值，问 f 2( a )是否是 f 2( x )的极值
证 分两种情况讨论 ① 设f ( a ) 是f ( x )的极小值， 且f (a) 0
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高等数学求极值的方法
求解函数的极值是高等数学中的一个重要内容，可以通过求导和利用导数的性质来进行。
下面将详细介绍求极值的方法。
一、求解函数极值常用的方法有以下几种：
1. 初等函数判断法：对于初等函数，可以通过观察函数的定义域、性质和图像特点来判断极值点的存在。
比如对于多项式函数，一阶导数为零时，可以判断函数是否有极值点。
2. 导数判别法：求解函数极值最常用的方法是导数判别法，即利用函数的导数来判断极值点的存在和类型。
3. 高阶导数法：当一阶导数判断不出结果时，可以使用高阶导数进行判别，求解函数的极值。
4. 参数化法：对于含参数的函数，可以通过参数化的方法来求解极值。
二、导数判别法的具体步骤：
1. 求导数：对给定的函数进行求导，得到一阶导数和二阶导数。
2. 导函数为零的点：将一阶导数等于零的点求出，并分别判断这些点是否为极值点。
一阶导数等于零的点称为驻点，而极值点必定是驻点。
(1) 当驻点是极大值点时，其对应的二阶导数小于零。
(2) 当驻点是极小值点时，其对应的二阶导数大于零。
3. 极值点的判别：对于一些特殊函数，如周期函数和反函数，还需要考虑边界点的极值判别。
4. 得出结论：根据以上的步骤，得出函数极值的存在和类型。
三、高阶导数法的具体步骤：
当一阶导数判断不出结果时，可以通过高阶导数来进行进一步的判断。
1. 求取二阶导数：对给定的函数进行两次求导，得到二阶导数。
2. 极值点的判别：对于一阶导数等于零的驻点，通过二阶导数的正负性来判断其类型。
(1) 当二阶导数大于零时，驻点为极小值点。
(2) 当二阶导数小于零时，驻点为极大值点。
3. 极点的存在性判断：根据二阶导数的正负性，判断函数的定义域是否存在极大值点和极小值点。
4. 得出结论：根据以上的步骤，得出函数极值的存在和类型。
四、参数化法的具体步骤：
当给定的函数为参数方程时，可以通过参数化的方法来求解函数的极值。
1. 将函数进行参数化：将给定的函数进行参数化，得到新的函数形式。
2. 求取导数：对参数化后的函数进行求导，得到一阶导数。
3. 导函数为零的点：将一阶导数等于零的点求出，并分别判断这些点是否为极值点。
4. 极值点的判别：判断导函数等于零的点是否为极值点。
5. 得出结论：根据以上的步骤，得出函数极值的存在和类型。
综上所述，求解函数的极值可以通过导数判别法、高阶导数法以及参数化法来进行。
在使用这些方法时，需要注意是否存在驻点以及函数的定义域的边界点的特殊情况。
通过这些方法可以准确地求解函数的极值问题。