高考数学最新真题专题解析—不等式选讲(全国通用)

【得分要点】
解绝对值不等式的常用方法有：
（1）公式法：对于形如|f(x)|>g(x)或|f(x)|<g(x)，利用公式|x|<a⇔−a<x<a(a>0)和|x|>a⇔x>a或x<−a(a>0)直接求解不等式；
（2）平方法：对于形如|f(x)|≥|g(x)|，利用不等式两边平方的技巧，去掉绝对值，需保证不等式两边同正或同负，即|f(x)|≥|g(x)|⇔f(x)2≥g2(x)；
真题汇总及解析
1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数 ．
(1)求不等式 的解；
(2)若 对任意 恒成立，求 的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）讨论 ， ， ，写出 的解析式，分段讨论解不等式即可.
（2）当 时， 恒成立，所以 ，当 时， 恒成立，由绝对值三角不等式求出 的最小值即可求出答案.
即 得证.
(2)正数x，y满足 ，由柯西不等式可得
，
当且仅当 即 等号成立.，
即 得证.
10．（2022·江西赣州·二模（理））不等式 对于 恒成立．
(1)求证： ；(2)求证：
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用绝对值三角不等式可得出 ，再利用基本不等式可证得结论成立；
(1)若 ， ，求实数 的取值范围；
(2)求证： R， ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据 的范围，去掉绝对值，然后分段求解不等式即可.（2）由绝对值的三角不等关系，可得 ，然后根据基本不等式即可求解.
(1) 时， ，
故当 时， ，所以 ；
当 时，显然成立，
当 时， ，解得：
证明：因为 ， ， ，
所以 ， ， ，
所以 ， ，
当且仅当 时取等号．
【命题意图】本题考查基本不等式及不等式的性质.
【命题方向】这类试题在考查题型为解答题，多为中档题，是历年高考的热点．
常见的命题角度有：
（1）基本不等式；（2）柯西不等式；（3）不等式的性质.
【得分要点】
（1）比较法证明不等式最常用的是差值比较法，其基本步骤是：作差—变形—判断差的符号—下结论.其中“变形”是证明的关键，一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式，当差式是二次三项式时，有时也可用判别式来判断差值的符号.个别题目也可用柯西不等式来证明.
（2）利用基本不等式可得出 ， ， ，再结合不等式的基本性质可证得结论成立.
(1)证明：因为 对于 恒成立，
又因为 ，所以 ，
由基本不等式可得 ， ， ，
所以， ，
所以 ，所以 .
(2)证明：因为 ，所以 ，所以 ，
同理可得： ， ，
所以 ，
所以 .
11．（2022·河南开封·模拟预测（理））已知正数a，b，c满足 ．
(2)∵
由（1）可得， ∴
∴ ，
∵ ，当且仅当 时，等号成立.
∴ ，当且仅当 时，等号成立.
12．（2022·全国·模拟预测（文））已知 ， ， 均为正实数，且 ．证明：
(1) ；(2) ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据 ， ， 都为正整数，且 ，利用基本不等式证明；
当 时， ，解得 ，
故不等式 的解集为 或 ；
(2)由（1）可知：
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
故 的最小值为3，即 ，则 ，即
则 ，
当且仅当 时取等号，
故 的最小值为 .
3．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知函数 .
(1)求不等式 的解集；
(2)设 时， 的最小值为M.若正实数a，b，满足 ，求 的最小值.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）利用零点分区间法去绝对值号，解不等式，即可求出不等式的解集；
（2）利用绝对值三角不等式求出 ，再利用基本不等式“1”的妙用求出 的最小值.
(1)
，
当 时，不等式化为 ，解得 ，此时 ；
当 时，不等式化为 ，恒成立，此时 ；
当 时，不等式化为 ，解得 ，此时 .
(1)当 时，求不等式 的解集：
(2)若 对任意的 恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)（-3，1）(2)
【解析】
【分析】
（1）分类讨论去绝对值解不等式即可得解；
（2）将原不等式化为 ，再利用绝对值不等式求出 的最小值，然后解不等式 可得结果.
(1)当 时， 化为
当 时，不等式化为 ，解得 ；
当 时，不等式化为 ，解得 ；
只需证 ，即证 ，即证 ，
∵a，b，c为正数，∴ ，∴ ，
∴ ∴ ，
∴ 当且仅当 时取等；
(2)要证 ，而 .
14．（2022·全国·模拟预测（理））已知 ， ， 是不全相等的正实数，且有 ．
(1)求证： ；(2)求证： ．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
（2）基本不等式:如果a，b>0，那么 ，当且仅当a=b时，等号成立.用语言可以表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.
（3）算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即 ，当且仅当a1=a2=…=an时，等号成立.
②定理2:如果a，b，c是实数，那么|a−c|≤|a−b|+|b−c|，当且仅当(a−b)(b−c)≥0时，等号成立.
③推论1:||a|−|b||≤|a+b|.
④推论2:||a|−|b||≤|a−b|.
（5）图象法：对于形如|f(x)|+|g(x)|≥a可构造y=|f(x)|+|g(x)|−a或y=|f(x)|+|g(x)|与y=a，在直角坐标系中作出不等式两边所对应 两个函数的图象，利用函数图象求解或通过移项构造一个函数.
【解析】
【分析】
（1）（2）利用基本不等式证明即可；
(1)证明：因为 ， ， 均为正数，
所以 当且仅当 时取等号，
当且仅当 时取等号，
当且仅当 时取等号，
所以
因为 ，所以
所以 ，
即 ，
解得 ，当且仅当 时取等号，
又 ， ， 是不全相等的正实数，所以 ；
(2)证明：因为 ， ， 均为正数，
所以 当且仅当 时取等号，
则要使 ，需将 向左平移，即 ，
当 过 时， ，解得 或 （舍去），
则数形结合可得需至少将 向左平移 个单位， .
【命题意图】本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.
【命题方向】这类试题在考查题型上以解答题形式出现，多为中低档题，是历年高考的热点．
常见的命题角度有：
（1）绝对值不等式的解法；（2）利用绝对值三角不等式求最值；（3）由不等式恒成立求参数范围；
当 时，不等式化为 ，无解，
综上所述：当 时，不等式 的解集为（—3，1）
(2)由 得 ，
因为| （当且仅当 时，等号成立），又因为 对任意的 恒成立，所以 ，
当 ，即 时，有 ，即 ，此不等式无解：
当 ，即 时，有 ，田 ，解得
综上所述：a的取值范围为 .
8．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知函数 ， ．
（2）不等式 ，即转化为 ，利用绝对值三角不等式化简，求得函数 的最小值即可求解.
(1)解：当 时， ，
当 时，由 ，解得 ，当 时，由 ，解得 .
故 的解集为 .
(2)解：当 时， 恒成立，故 ，又 ，即 ，故 ，
所以 的取值范围为 .
5．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数 ，且不等式 的解集为 ．
(1)求不等式 的解集M；
(2)若 ，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）解绝对值不等式去绝对值的时候分段讨论；
（2）作差法比较两式大小即可.
(1)因为 ，即 ，所以 ，即
所以不等式的解集M为 ；
(2)∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ．
法二：∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ．
7．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知函数
综上，不等式 的解集为
(2) ．
9．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知正数x，y满足 ．证明：
(1) ；(2) ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用绝对值不等式可得答案；
（2）利用柯西不等式可得答案．
(1)正数x，y满足 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 等号成立，
(1)因为 ，即 ，
由不等式 的解集为 可得， ，即 ，
解得 ，即 的取值范围为 .
(2)不等式 可化为 ，
令 ，
作出函数 与 的大致图象，如图示，
因为不等式 的解集为 ，且 取任意值时，都有 ，
故 对于任意的 恒成立，故 ，故 ，
故实数 的取值范围是 .
6．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））已知函数 ．
(1)求 的取值范围；
(2)若不等式 的解集为 ，且 取任意值时，都有 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值三角不等式确定 ，结合不等式 的解集为 可得 ，即可求得答案.
（2）不等式 可化为 ，分别作出函数 与 的大致图象，结合题意可得到 对于任意的 恒成立，即可解得答案.