量子力学习题及解答
量子力学习题集及解答
量子力学习题集及解答目录第一章量子理论基础 (1)第二章波函数和薛定谔方程 (5)第三章力学量的算符表示 (28)第四章表象理论 (48)第五章近似方法 (60)第六章碰撞理论 (94)第七章自旋和角动量 (102)第八章多体问题 (116)第九章相对论波动方程 (128)第一章 量子理论基础1．设一电子为电势差V 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000A （可见光），1A （x 射线）以及0.001A （γ射线）时，加速电子所需的电势差是多少？[解] 电子在电势差V 加速下，得到的能量是eV m =221υ这个能量全部转化为一个光子的能量，即λνυhc h eV m ===221 )(1024.1106.11031063.6419834A e hc V λλλ⨯=⋅⨯⨯⨯⨯==∴--（伏） 当 A 50001=λ时， 48.21=V （伏）A 12=λ时 421024.1⨯=V （伏）A 001.03=λ时 731024.1⨯=V （伏）2．利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系数。
[解] 普朗克公式为18/33-⋅=kT hv v e dvc hvd πνρ单位体积辐射的总能量为⎰⎰∞∞-==00/3313T hv v e dv v c h dv U κπρ令kThvy =，则 440333418T T e dy y c h k U y σπ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰∞ （★） 其中 ⎰∞-=0333418y e dyy c h k πσ （★★）（★）式表明，辐射的总能量U 和绝对温度T 的四次方成正比。
这个公式就是斯忒蕃——玻耳兹曼公式。
其中σ是比例常数，可求出如下：因为)1()1(1121 +++=-=-------y y y y y ye e e e e e ∑∞=-=1n ny edy e y e dy y n ny y ⎰∑⎰∞∞=-∞⎪⎭⎫ ⎝⎛=-013031 令 ny x =，上式成为dx e x n e dy y xn y ⎰∑⎰∞-∞=∞=-03140311 用分部积分法求后一积分，有⎰⎰⎰∞-∞∞--∞∞--+-=+-=0220332333dx xe e x dx e x e x dx e x x xx xx66660=-=+-=∞∞--∞-⎰xx x e dx e xe又因无穷级数 ∑∞==144901n nπ故⎰∞=⨯=-0443159061ππye dy y 因此，比例常数⎰∞-⨯==-=015334533341056.715818ch k e dy y c h k y ππσ尔格/厘米3·度43．求与下列各粒子相关的德布罗意波长：（1）能量为100电子伏的自由电子； （2）能量为0.1电子伏的自由中子； （3）能量为0.1电子伏，质量为1克的质点； （4）温度T =1k 时，具有动能kT E 23=（k 为玻耳兹曼常数）的氦原子。
量子力学习题及答案
(7)代入(6)
csin2kk22a?dcos2k2a??kccos2k2a?
k21
kdsin2k2a
1
利用(4)、(5)，得
k1k2kasin2k2a?acos2k2a??acos2k2a?2kdsin2k2a
1
a[(
k1k2k?2k)sin2k2a?2cos2k2a]?0
1?a?0
?
2
2?
??4
??0?e?4(b?x)对于区域Ⅰ，u(x)??，粒子不可能到达此区域，故?1(x)?0
而. ????2? (u0?e)
2
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2
?2?①
??2? (u1?e)
3
???
2
?3?0 ②
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???
2
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4
?0
对于束缚态来说，有?u?e?0
∴ ????k21?2?0 k22? (u0?e)
因此k1x
??1?ae ?
3
?fe
?k
1x
由波函数的连续性，有
?1(0)??2(0),?a?d(4)
?1?(0)???2
(0),?k1a?k2c (5)??(2a)??1a
3?(2a),?k2ccos2k2a?k2dsin2k2a??k?2k2
1fe(6)
?1a
2(2a)??3(2a),?csin2k2a?dcos2k2a?fe
1???k1?1?1?2?(u0?e)?????2??k22?2?0 (2) k22?2?e?2
束缚态0＜e＜u0 ??
??3??k2
1?3?0 (3)?1x
1?ae
?k?be
?k1x
量子力学经典练习题及答案解析
1.设氢原子处于基态030,1),,(0a e a r a r -=πϕθψ为Bohr 半径，求电子径向概率密度最大的位置（最概然半径）。
解 22)()(r r R r w nl nl ⋅= 23010021)(r e a r w a r ⋅=-π ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⋅-=--0202221203010a r a r re r e a a dr dw π 011203002=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-=-r a re a a r π 由此得0=r ， ∞→r ， 0a r =2. 验证ϕθϕθψ33sin )(),,(i e r f r =是2ˆL 和zL ˆ的共同本征函数，并指出相应的本征值。
( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂-=22222sin 1)(sin sin 1ˆϕθθθθθ L )解 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂-=22222sin 1)(sin sin 1ˆϕθθθθθ L 将2ˆL作用于所给函数上，得 ϕθϕθθθθθ332222sin )(sin 1)(sin sin 1i e r f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-=ϕϕθθθθθθ332332sin )(sin 9cos sin )(sin 3i i e r f e r f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=ϕϕθθθθθθ33222232sin )(sin 9)sin cos sin 3()(sin 3i i e r f e r f []ϕϕθθθ332232sin )(3sin )1(cos )(9i i e r f e r f +⋅--=ϕϕθθ332332sin )(3sin )(9i i e r f e r f +=ϕθ332sin )(12i e r f =上式满足本征方程ψψ22ˆL L =，可见θϕθψ3sin )(),,(r f r =ϕ3i e 是2ˆL的本征函数，本征值为212 。
又ϕ∂∂=i L z ˆ，将z L ˆ作用于所给函数上，得 ϕϕθθϕ33333sin )(sin )(i i ie r f ie rf i ⋅=∂∂ ϕθ33sin )(3i e r f ⋅=可见满足本征方程ψψz L L =2ˆ，故ϕθϕθψ33sin )(),,(i e r f r =是zL ˆ的本征函数，本征值为 3。
周世勋量子力学习题答案(七章全).
由
有
⎡ 1 dρ (λ ) x 5e x ⎤ dx =0 = A⎢5 x 4 x − x dλ e − 1 (e − 1) 2 ⎥ ⎦ dλ ⎣
x (1 − )e x = 1 5 于是，得：
该方程的根为
x = 4.965
因此，可以给出， 即
λmT =
hc hc = 0.2014 xk k
λmT = b （常数）
而
p2 1 A2ω 2 μ 2 cos 2 (ωt + δ ) 1 2 2 E= + μω q = + μω 2 A2 sin 2 (ω t + δ ) 2μ 2 2μ 2
= 1 μω 2 A 2 = nhv 2
（2）设磁场方向垂直于电子运动方向，电子受到的洛仑兹力作为它作圆周运动的向心 力，于是有
由此可以求出波长在 λ 与 λ + dλ 之间的能量密度 ρ (λ ) dλ
由于
ν = c/λ ,
ρ ( λ ) dλ =
dν = +
c
λ2
1
dλ
8πhc
因而有：
λ
5
e
hc kTλ
dλ −1
令
x=
hc kTλ
所以有：
ρ (λ ) = Ax 5
dρ ( λ ) =0 dλ
1 x e −1
（
A=
8πk 5T 5 h 4c 4 常数）
1⎞ ⎛ E n = ⎜ n + ⎟hv 2 ⎠ 相比较，我们 ⎝ ③本题所得的谐振子能量，与由量子力学得出的能量 E0 = 1 hv 2 。 但能级间的间隔则完
&& + ω 2 q = 0 q
其解为
量子力学习题答案
量子力学习题答案量子力学习题答案量子力学是一门研究微观世界的基础物理学科，它解释了微观粒子的行为和性质。
在学习量子力学的过程中，我们经常会遇到各种各样的习题。
这些习题不仅考察我们对量子力学理论的理解，还能帮助我们加深对量子力学的认识。
在本文中，我将为你提供一些常见的量子力学习题的答案，希望能对你的学习有所帮助。
1. 什么是波粒二象性？请举一个例子加以说明。
答案：波粒二象性是指微观粒子既具有粒子的离散性质，又具有波动的连续性质。
一个典型的例子是电子的双缝干涉实验。
在这个实验中，电子通过两个狭缝后，会产生干涉图样，表现出波动性质。
然而，当我们尝试观察电子通过哪个狭缝时，电子却表现出了粒子性质，只通过其中一个狭缝。
这个实验说明了电子既可以表现出粒子性质，也可以表现出波动性质。
2. 什么是量子纠缠？请简要解释。
答案：量子纠缠是指两个或多个粒子之间存在一种特殊的关联，使得它们的状态无论远离多远，都会互相影响。
这种关联是在粒子之间建立的，而不是通过传统的物质交换或信息传递实现的。
量子纠缠是量子力学的核心概念之一，它在量子通信和量子计算等领域有着重要的应用。
3. 什么是量子隧穿效应？请举一个例子加以说明。
答案：量子隧穿效应是指微观粒子在经典力学中不可能穿越的势垒，在量子力学中却有一定概率穿越的现象。
一个典型的例子是α衰变。
在α衰变中，一个α粒子从原子核中逃逸，穿越了原子核周围的势垒。
根据经典力学，α粒子没有足够的能量克服势垒，因此无法逃逸。
然而，在量子力学中，α粒子可以通过量子隧穿效应，以一定的概率穿越势垒，实现衰变。
4. 什么是量子态的叠加和坍缩？请简要解释。
答案：量子态的叠加是指一个量子系统可以处于多个状态的叠加态，这些状态以一定的概率同时存在。
量子态的坍缩是指当我们对量子系统进行观测时，系统会选择其中一个状态，并坍缩到该状态上。
这个选择是随机的，并且由概率决定。
量子态的叠加和坍缩是量子力学中的核心概念，它们解释了量子系统的测量结果和概率性质。
高等量子力学练习题及答案解析
练习28.1 证明: ()[]()t G t G -=-++00证明: 根据公式(28.4)()()()00H t t ie t t it t G '--±'±='-θ可知()()00tH ie t it G-+-=θ()()()00H t i e t i t G ---+=-θ则()[]()()000tH i tH i e t ie t i t G θθ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-++()()()t G e t i H t i-==---00θ #28.2证明下列二式成立：()()()()⎰∞∞-±±±±--+-=-''dt 't t VG ''t t G 't t G 't t G 00()()()()⎰∞∞-±±±±--+-=-''dt 't ''t VG ''t t G 't t G 't t G 00证明：因为：()()()⎰∞+∞---±±π=-dE e E G 21't t G 't t E i()()()⎰∞+∞---±±π=-dE e E G 21't t G 't t E i00又因为：()()()()E VG E G E G E G 00±±±±+=即有()()()()()()[]()()()()()()()()()()()()()''dt t ''t VG ''t t G 't t G dE e E VG E G 21't t G dE e E VG E G 21dE e E G 21dE e E VG E G E G 21dE e E G 21't t G '00't t E i00't t E i 0't t E i 0't t E i00't t E i00--+-=π+-=π+π=+π=π=-±∞+∞-±±∞+∞---±±±∞+∞---±±∞+∞---±∞+∞---±±±∞+∞---±±⎰⎰⎰⎰⎰⎰又因为()()()()()()()E VG E G E G E VG E G E G E G 0000±±±±±±±+=+=同理可证得()()()()''dt t ''t VG ''t t G 't t G 't t G '00--+-=-±+∞∞-±±±⎰综上所述()()()()()()()()''dt t ''t VG ''t t G 't t G 't t G ''dt t ''t VG ''t t G 't t G 't t G '0'00--+-=---+-=-±∞+∞-±±±±+∞∞-±±±⎰⎰两式成立。
高等量子力学练习题及答案解析二十七
27.1练习 27.2 （1）根据（27.9）式，证明完全性关系：1==⎰⎰p p d p k k k（2） 在θϕp 表象和θϕk 表象中，有p k k p p θθϕ==证明当时有： p p k k '='3证：（1） 由（27.9）式可知在位置x 表象中，有：px i ep xπ21=，p r ek x kx i2121==π，p k 21=，p k =显然有： p k21= ， p d k d =∴p pd p k k d k2121⎰⎰=p p d p⎰= （完全性） 1= 得证。
（2）由题意可知在θϕp 表象和θϕk 表象中，有：p k 23=， p k '='23∴p p p p k k'='='32323 得证# 27.3练习 27.4 由（27.34）式推出（27.35）式。
解：（27.34）式：i i i p i k V k i H E i H E i+±-=±-±)()(εψε两边除以εi H E i ±-得：i i i p k V i H E k iεψ±-+=±1，得证。
#练习 27.5 由（27.30）式证明散射态矢量的正交归一性：)(k k k k P P -'='=±±'δψψ解：已知：算符εi H E V i ±-=0，k V V P=±ψ。
∴±±±-+=P i p V i H E k iψεψ01k V i H E k iε±-+=01k V i H E i )11(0ε±-+= 显然得：k V i H E i P '-+=+±')11(0εψ=±±'PP ψψk V i H E i '-++)11(0εk V i H E i )11(0ε±-+ k k V i H E V i H E i '±-+-+=+)11)(11(00εε k k V V i H E i H E i H E i H E i i i i'±-±+--+-=+)1)(1(0000εεεε（ 1=+V V）k k H E H E i i'+-++-=])()1([220220εε（ 1>>iE）k k'=# 27.6 27.7练习 27.8 讨论（27.30）式中±i P ψ的时间反演态，证明：i iP P T -±=ψψ0证明：已知：k V V P=±ψ，p k23=则得：±±±-+=P i p V i H E k iψεψ01k V i H E k iε±-+=01i i i P V i H E Pε±-+=02323等价∝)(i P F（F 为函数） i i P TP T-=-010 ，∴ )()(*iiP F P F T-=显然得：)(0232300i i i P P V i H E P T T iεψ±-+=±iP i i i P V i H E P -=--+-=ψε0233 即：i iP P T -±=ψψ0 得证。
周世勋量子力学习题及解答
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+--⋅=-kThc kThc e kT hc ehcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学习题集及答案
量子力学习题集及答案09光信息量子力研究题集一、填空题1.__________2.设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为6.125A。
XXX的量子化条件为∫pdq=nh，应用这量子化条件求得一维谐振子的能级En=(nωℏ)。
3.XXX假说的正确性，在1927年为XXX和革末所做的电子衍射实验所证实，德布罗意关系为E=ωℏ和p=ℏk。
4.ψ(r)=(三维空间自由粒子的归一化波函数为e^(ip·r/ℏ))，其中p为动量算符的归一化本征态。
5.∫ψ*(r)ψ(r)dτ=(δ(p'-p))，其中δ为狄拉克函数。
6.t=0时体系的状态为ψ(x,0)=ψ_n(x)+2ψ_2(x)，其中ψ_n(x)为一维线性谐振子的定态波函数，则ψ(x,t)=(ψ(x)e^(-iωt/2)+2ψ_2(x)e^(-5iωt/2))。
7.按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w=(|Ψ|^2)，几率流密度j=(iℏ/2μ)(Ψ*∇Ψ-Ψ∇Ψ*)。
其中Ψ(r)描写粒子的状态，Ψ(r)是粒子的几率密度，在Ψ(r)中F(x)的平均值为F=(∫Ψ*F(x)Ψdx)/(∫Ψ*Ψdx)。
8.波函数Ψ和cΨ是描写同一状态，Ψe^(iδ)中的e^(iδ)称为相因子，e^(iδ)不影响波函数Ψ的归一化，因为e^(iδ)=1.9.定态是指能量具有确定值的状态，束缚态是指无穷远处波函数为零的状态。
10.E1=E2时，Ψ(x,t)=Ψ_1(x)exp(-iE1t)+Ψ_2(x)exp(-iE2t)是定态的条件。
11.这时几率密度和几率流密度都与时间无关。
12.粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。
13.无穷远处波函数为零的状态称为束缚态，其能量一般为分立谱。
14.ψ(x,t)=(ψ(x)e^(-iωt/2)+ψ_3(x)e^(-7iωt/2))。
2.15.在一维无限深势阱中，粒子处于位置区间x a，第一激发态的能量为1/13（22222/2ma2），第一激发态的波函数为sin（n x/a）（n=2）/a。
量子力学习题集及答案
09光信息量子力学习题集一、填空题1． 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125A ）。
2． 索末菲的量子化条件为=nh pdq ），应用这量子化条件求得一维谐振子的能级=n E （ ωn ）。
3．德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ω=E ）和（ k p= ）。
4．三维空间自由粒子的归一化波函数为()r pψ=（ r p i e⋅2/3)2(1π ）， ()()=⎰+∞∞-*'τψψd r r p p （ )(p p-'δ ）。
5．动量算符的归一化本征态=)(r pψ（r p i e⋅2/3)2(1π ），='∞⎰τψψd r r p p )()(* （ )(p p-'δ ）。
6．t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i ex ex ωωψψ25220)(2)(--+ ）。
7．按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w =2），几率流密度j =（()**2ψ∇ψ-ψ∇ψμi ）。
8．设)(r ψ描写粒子的状态，2)(r ψ是（ 粒子的几率密度 ），在)(r ψ中Fˆ的平均值为F =（ ⎰⎰dx dx Fψψψψ**ˆ ）。
9．波函数ψ和ψc 是描写（ 同一 ）状态，δψi e 中的δi e 称为（ 相因子 ），δi e 不影响波函数ψ1=δi ）。
10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为零）的状态。
11．)i exp()()i exp()(),(2211t Ex t E x t x-+-=ψψψ是定态的条件是（ 21E E = ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。
12． （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。
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1 量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m与温度T成反比，即
m T=b（常量）；
并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式
dvechvdkThvvv11833， （1）
以及 cv， （2） ddvvv
， （3）
有
,118)()(5kThcvvehccdcd
ddv
这里的的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，取得极大值，因此，就得要求 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m。但要注意的是，还需要验证对λ的二阶导数在m
处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m就是要求的，具体如下：
01151186'kThckT
hc
ekThce
hc
0115kT
hc
ekT
hc
kT
hcekThc)1(5
如果令x=kThc ，则上述方程为 xex)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有
xkhcTm 2
把x以及三个物理常量代入到上式便知 KmTm3109.2
这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv，
hP
如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2cEe动），那么
epE22
如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，
即eV61051.0，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有
ph
nmmmEchcEhee71.01071.031051.021024.1229662
在这里，利用了 meVhc61024.1 以及 eVce621051.0
最后，对
Echce22
作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
1．3 氦原子的动能是kTE23（k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。 解 根据 3
eVKk3101，
知本题的氦原子的动能为
,105.123233eVKkkTE
显然远远小于2c核这样，便有
Echc22核
nmmm37.01037.0105.1107.321024.19396
这里，利用了 eVeVc962107.3109314核
最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为T的体系，其中粒子的平均动能的数量级为kT，这样，其相庆的德布罗意波长就为
TkchcEchc2222
据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。
1．4 利用玻尔——索末菲的量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量； （2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。 已知外磁场H=10T，玻尔磁子124109TJMB，试计算运能的量子化间隔△E，并与T=4K及T=100K的热运动能量相比较。 解 玻尔——索末菲的量子化条件为 nhpdq
其中q是微观粒子的一个广义坐标，p是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈，n是正整数。 （1）设一维谐振子的劲度常数为k，谐振子质量为μ，于是有
22
212kxpE
这样，便有
)21(22kxEp 这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动，一正一负正好表示一个来回，运动了一圈。此外，根据
22
1kxE
可解出 kEx2 这表示谐振子的正负方向的最大位移。这样，根据玻尔——索末菲的量子化条件，有 4
xxxxnhdxkxEdxkxE)21(2)()21(222
nhdxkxEdxkxExxxx)21(2)21(222
hndxkxExx2)21(22
为了积分上述方程的左边，作以下变量代换； sin2kEx
这样，便有 hnkEdE2sin2cos2222
222cos2cos2hndkEE
hndkE2cos2222
这时，令上式左边的积分为A，此外再构造一个积分 222sin2dkEB
这样，便有
22222cos2,22dkEBAkEdk
EBA
（1）
2222,cos)2(2cosdkE
dkE
这里 =2θ，这样，就有 0sindkEBA （2）
根据式（1）和（2），便有
kEA 这样，便有 hnkE2
khnE2 5
,knh 其中2hh 最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次，这量子化的能量是等间隔分布的。 （2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有
BqR2
qBRp 这时，玻尔——索末菲的量子化条件就为 20)(nhRqBRd
nhqBR22
nhqBR2
又因为动能耐22pE，所以，有
22
)(2222RBqqBRE
,22BnBNqnBqBn
其中，2qMB是玻尔磁子，这样，发现量子化的能量也是等间隔的，而且 BBME 具体到本题，有 JJE232410910910 根据动能与温度的关系式
kTE23 以及 JeVKk223106.1101 可知，当温度T=4K时， JJE2222106.9106.145.1 当温度T=100K时， JJE2022104.2106.11005.1 显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔。
1．5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现实种转化，光子的波长最大是多少？ 解 关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程，如两个光子以怎样的概率转化为正负电子对的问题，严格来说，需要用到相对性量子场论的知识去计算，修正当涉及到这个过程的运动学方面，如能量守恒，动量守恒等，我们不需要用那么高深的知识去计算，具休到本题，两个光子能量相等，因此当对心碰撞时，转化为正风电子对反需的能量最小，因而所对应的波长也就最长，而且，有