(完整版)四年级奥数详解答案第7讲定义新运算
四年级奥数详解答案第7讲
第七讲定义新运算
一、知识概要
1. 定义新运算
定义新运算是指用某些特殊的符号(如△⊙※○—等)来表示一种特定的运算过程或运算顺序，从而解答某些特殊算式的一种运算。因为它有别于我们日常学习的运算法则当然也有联系性，故称之为定义新运算。
2. 基本要求
解答定义新运算问题，一定要严格按照新定义的运算法则进行计算，推理或证明，不得随便改变运算顺序。
二、典型题目精讲
1. a、b是自然数，定义a?b = (a+b)÷2,
(1)计算23?9 (2)计算17?(8?10)
分析：本是所定义的a与b的运算规划是求a与b的和的一半。在(1)题中，a是23，b 是9，把它们分别代入(a+b)÷2的式子中，就可求出27?9的值。(2)题同这样
的运算规划先求出8?10的值，然后用同样的运算规则再把17与算出来的值进
行运算。
解：(1) 23?9= (23+9)÷2 =16
(2) 17?(8?10) = 17?【(8+10)÷2】
= 17?9
= (17+9)÷2
= 13
2. 定义运算?为：a?b = 5×a×b－(a+b), 求11?12.
分析：定义新运算和我们日常的运算法制和顺序，即有区别又有联系。比如说：先乘除后加、减；有括号的一定要先算括号中的运算等运算法制，在定义新运算中仍然
适用。按理说，这道题有四步计算过程：①(11+12)=23 ②5×11=55 ③55×12=660
④660-23=637 这里②、③步是同时运算，所以②、③和①步可同时运算。
解：11?12 = 5×11×12-(11+12)
= 660-23
= 637
3. 已知1○—３＝１×２×３，６○—５＝６×７×８×９×１０，计算4○—５-5○—4。
简析：4○—５和5○—4分别是两个定义新运算，而4○—５和5○—4，则是求两数之差，这就是我们平时学习的“老”运算了。
解：4○—５-5○—4 = 4×5×6×7×8-5×6×7×8
= 5×6×7×8×(4-1)
= 1680×3
= 5040
4. 定义两种运算“?”、“⊕”，对于任意两个整数a,b,a⊕b=a+b-1,a?b=a×b-1,计算：4?【(6⊕8)⊕(3⊕5)】的值。
简析：Θa⊕b=a+b+1 ∴6⊕8=6+8-1=13；3⊕5=3+5-1=7；13⊕7=13+7-1=19 又Θa?b=a×b-1，∴4?19=4×19-1=76-1=75
解：4?【(6⊕8)⊕(3⊕5)】
= 4?【13⊕7】
= 4?19
= 75
5. 已知a※b=3a-2b. 如果x※(4※1)=7，那么x= ( ) .
分析：Θa※b=3a-2b ∴4※1=3×4-2×1=10；x※10=3x-10×2=3x-20,
所以，本题就是3x-20=7,求x的常规运算了。
解：x ※( 4 ※1 ) = 7
x ※(3×4-2×1) = 7
x ※10 = 7
3x－2×10 = 7
x = 9
6. 对于数a,b，规定运算“Θ”为aΘb=(a+1)×(1-b),
若等式(aΘa)Θ(a+1)=(a+1)Θ(aΘa)成立，求a的值。
简析：先看(aΘa)Θ(a+1)=(a+1)Θ(aΘa)的左边值，再看右边值，简化后再求a的值。
解：∵左边(aΘa)Θ(a+1) =【(a+1)×(1-a)】Θ(a+1)
= (1-a2)Θ(a+1)
= (1-a2+1)×(1-a-1)
= a3-2a
右边(a+1)Θ(aΘa) = (a+1)Θ【(a+1)×(1-a)】
=(a+1)Θ(1-a2)
=(a+1+1)×(1-1+a2)
=a3-2a2
∴a3-2a=a3-2a2
a2+a=0
Θa2≥0,要使a2+a=0，只有a=0 ∴a=0
三、练习巩固与拓展
1. 设a,b是两个自然数，定义a※b=a2+b2-ab,计算：
(1)4※(5※3) (2)(3※2)※(4※3) (3)10※【2※(3※1)】
2. ⊙表示一种新的运算，定义是：a⊙b=a×b-(a+b),计算：
(1)9⊙11 (2)3⊙4⊙5
3. 已知a?b=(a+b)÷2, a▽b=a×b-a,计算：
(1)(5⊿7)▽10 (2)10⊿(5▽7)
4. x,y表示两个自然数，定义x▽y=2x+3y,计算：
(1) (10▽13) (2)3▽(4▽5)
5. a,b表示两个自然数，定义a※b=2a-24÷6,计算：
(1)12※12 (2) 4※(3※8)
6. A，B表示两个数，定义A○—B=AB-1，计算：
(1)(3○—5)+(7○—9) (2)4○—【3○—(2○—1)】
7. M，N是两个自然数，M↑N=4M-3N，
(1)如果x↑1=17，求x (2)如果(5↑3)↑x=20，求x
8. 已知a⊕b=4a-3b,如果((5⊕6)⊕x=2,求x
9. 设a,b为两个自然数，定义a⊕b=1+2+3+…+a×b,如2⊕6=1+2+3+4+…+12，计算：
(1)3⊕10 (2)15⊕15
10. 已知x○—y=xy+x-y, x⊕y=xy-x+y, 计算：
(1)5⊕(8○—4) (2)4⊕5-5○—4
11. 设a*b表示a的3倍减去b的2倍，已知x*(4*1)=7,求x
12. 设x,y为两个不同的数，规定x□y=(x+y)÷4,求a□16=10中的a的值。
13. 有一个数学运算符号“□”，使下列等式成立：
2□4=10，5□3=18，3□5=14，9□7=34，求7□3=？
1.(1) 解：4※(5※3)=4※(52+32-5×3) =4※19 =42+192-4×19 =301
(2) (3※2)※(4※3)=(32+22-3×2)※(42+32-3×4)
=7※13=72+132-7×13 =127
(3) 10※【2※(3※1)】=10※【2※(32+12-3×1)】=10※【2※7】=10※(22+72-2×7)
=10※39=102+392-39×10 =1231
2. (1) 9⊙11=9×11-(9+11)=99-20=79 (2) 3⊙4⊙5=【3×4-(4+3)】⊙5=5⊙5=5×5-(5+5)=15
3. (1) (5?7) ▽10=【(5+7)÷2】▽10=6▽10=6×10-6=54
(2) 10?(5▽7)=10?【(5×7)-5】=10?30=(10+30)÷2=20
4. (1) 10▽13=2×10+3×13=59
(2) 3▽(4▽5)=3▽(2×4+3×5)=3▽23=2×3+3×23=75
5. (1) 12※12=2×12-24÷12=22
(2) 4※(3-※8)=4※(2×3-24÷8)=4※3=2×4-24÷3=0
6. (1) (3○—5)+(7○—9)=(3×5-1)+(7×9-1)=14+62=76
(2) 4○—【3○—(2○—1)】=4Θ【3○—(2×1-1)】=4○—【3○—1】=4○—【3×1-1】
=4○—2=4×2-1=7
7.(1) x↑1=17 (2) (5↑3)↑x=20
4x-3=17 (4×5-3×3)↑x=20
x=5 11↑x=20
11×4-3x=20
x=8
8. (5⊕6)⊕x=2 (4×5-3×6)⊕x=2 2⊕x=2
4×2-3+x=2 x=2
9. (1)3⊕10=1+2+3+…+3×10 (2)15⊕15=1+2+3+…15×15
=(1+30)×30÷2=465 =(1+225)×225÷2=25425
10. (1) 5⊕(8○—4)=5⊕(8×4+8-4)=5⊕36=5×36-5+36=211
(2) 4⊕5-5○—4=(4×5-4+5)-(5×4=5-4)=0
11. a*b=3a-2b,x*(4*1)=7 →x*(3×4-2×1)=7 →x*10=7→3×x-2×10=7→x=9
12. a□16=10→(a+16)÷
4=10→a+16=40→a=24 13. Θ
7□3=7×3+24