华罗庚学校数学教材(六年级下)第05讲 巧求面积

本系列共14讲

第五讲巧求面积

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本讲主要介绍平面图形面积的一些巧妙算法，首先看一个例子．如图，BC=CE，AD=CD，求三角形ABC 的面积是三角形CDE 面积的几倍？

解：连结BD，在△ABD 与△BCD 中，因为AD=DC，又因为这两个三角形的高是同一条高，所以S △ABD =S △BCD ．在△BCD 与△DCE 中，因为BC=CE，又因为这两个三角形也具有同一条高，所以有S △BCD =S △CDE ．因此，S △ABC =S △ABD +S

△BCD =2S △CDE ．

从以上的推导中看一看这两个三角形面积之比与这两个三角形的边有什么关系．

因为三角形的面积=×底×高，作ＤＮ垂直ＣＥ于Ｎ，ＡＭ垂直ＣＥ1

2

于Ｍ，如下图：

，，

12ABC S BC AM ?=××1

2

CDE S CE DN ?=××

1

21

2

ABC CDE

BC AM

S BC AM S CE DN CE DN ??××==×

××在△ACM 与△DCN 中，有AC∶CD=AM∶DN．因此，

。ABC CDE S BC AC

S CE CD

??=×即，当两个三角形各有一个角，它们的和是180°时，这两个三角形的面积之比等于分别夹这两个角的两条边的长度乘积之比．

类似可知，当两个三角形各有一个角，它们相等时，这个结论也成立．解：在△ABC 与△CDE 中，因为AD=DC，所以AC=2CD，又因为BC=CE，所以S △ABC =2×1×S △CDE =2S △CDE ．

答：△ABC 的面积是△CDE 面积的2倍．

下面我们就应用上面这个结论来看几个具体例子．

例1如图，三角形ABC 的面积为1，并且AE=3AB，BD=2BC，那么△BDE

的面积是多少？

解：在△BDE 与△ABC 中，∠DBE+∠ABC=180°．因为AE=3AB，所以BE=2AB．又因为BD=2BC，所以S △BDE =2×2×S △ABC =4×1=4．

答：△BDE 的面积是4．

例2如图，在△ABC 中，AB 是AD 的6倍，AC 是AE 的3倍．如果△ADE 的面积等于1平方厘米，那么△ABC 的面积是多少？

解：在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠DAE．因为AB=6AD，AC=3AE，所以S

=6×3×S△ADE=18×1=18（平方厘米）．

△ABC

答：△ABC的面积为18平方厘米．

例3如图，将△ABC的各边都延长一倍至A′、B′、C′，连接这些点，得到一个新的三角形A′B′C′．若△ABC的面积为1，求△A′B′C ′的面积．

解：在△A′B′B与△ABC中，∠A′BB′+∠ABC=180°．因为AB=AA ′，所以A′B=2AB，又因为B′B=BC，所以S△A′B′B=1×2×S△ABC=2S△ABC=2．同理S△B′C′C=2×1×S△ABC=2．

S△A′C′A=2×1×S△ABC=2．

所以S△A′B′C′=S△A′B′B+S△B′C′C+S△A′C′A+S△ABC

=2+2+2+1

=7

答：△A′B′C′的面积为7．

例4如下图，将凸四边形ABCD的各边都延长一倍至A′、B′、C′、D′，连接这些点得到一个新的四边形A′B′C′D′，若四边形A′B′C′

D′的面积为30平方厘米，那么四边形ABCD 的面积是多少？

分析要求四边形ABCD 的面积，必须求出四边形ABCD 与四边形A′B ′C′D′的关系，因而就要求出△A′B′B、△B′C′C、△C′D′D、△A ′D′A 与四边形ABCD 的关系．

解：连结AC、BD．

在△A′B′B 与△ABC 中，∠A′BB′+∠ABC=180°．因为A′A=AB，所以A′B=2AB，又因为B′B=BC，所以有S △A′B′B =2×1×S △ABC =2S △ABC ．

同理有S △B′C′C =2×1×S △BCD =2S △BCD S △C′D′D =2×1×S △ADC =2S △ADC S △A′D′A =2×1×S △ABD =2S △ABD ．

所以S 四边形A′B′C′D′=S △A′B′B +S △B′C′C +S △C′D′D +S △A′D′A +S 四边形ABCD =2S △ABC +2S △BCD +2S △ADC +2S △ABD +S 四边形ABCD

=2（S △ABC +S △ADC ）+2（S △BCD +S △ABD ）+S 四边形ABCD =2S 四边形ABCD +2S 四边形ABCD +S 四边形ABCD =5S 四边形ABCD

则S 四边形ABCD =30÷5=6（平方厘米）．答：四边形ABCD 的面积为6平方厘米．例5

如下图，在△ABC 中，BD=DC，AA 1=AD，A 1B 1=A 1B，B 1C 1=C 1C，

1

3

13

△A 1B 1C 1的面积为1平方厘米，则△ABC 的面积为多少平方厘米？

解：连接A 1C．如上图

在△BB 1C 与△A 1B 1C 1中，∠BB 1C+∠A 1B 1C 1=180°，因为A 1B 1=A 1B，所13

以BB 1=2A 1B 1；又因为B 1C 1=C 1C，所以B 1C=2B 1C 1。

所以有S △BB1C =2×2×S △A1B1C1=4×1=4（平方厘米）．

在△A 1C 1C 与△A 1B 1C 1中，∠A 1C 1C+∠A 1C 1B 1=180°，因为CC 1=C 1B 1，A 1C 1=A 1C 1，所以有S △A1C1C =1×1×S △A1B1C1=1×1=1（平方厘米）．

在△ABD 与△ADC 中，∠ADB+∠ADC=180°．因为BD=DC，AD=AD，所以有。

12

ABD ADC ABC S S S ???==在△ABA 1与△ABD 中，∠BAA 1=∠BAD．因为AB=AB，AA 1=AD，所以有：

13

。

1111

1336ABA ABD ABD ABC S S S S ????=××==同理，所以11

6

AA C ABC S S ??=11111111

ABC BB C A C C AA C ABA A B C S S S S S S ??????=++++=。

111

4116663

ABC ABC ABC S S S ???++++=+因此，2

6,9.

3

ABC ABC S S ??==答：三角形ABC 的面积为9平方厘米。

习题五

1，直角三角形ABC 中，AD=DB=4.5厘米，AE =3厘米，求四边形DBCE 1

3

AC 的面积．（下图）

2．下左图中的三角形被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，图中的数字是相应线段的长度，求两部分的面积之比．

3，如上右图，在△ABC 中，AD=AB，BE=EF=FC，CG=GA，求阴影部分1313

面积占三角形ABC 面积的几分之几？

4，如下图，BD=BC，三角形ABC 的面积是48平方厘米，AC=16厘米，1

3

AE=11厘米，三角形DAE 的面积是多少？

5，已知：AE=AC，CD=BC，BF=AB，求三角形DEF 的面积与三角形1

51416

ABC 的面积之比．（下图）

6，如下图，已知ABCD 是长方形，，求三角形ABE 与三角1

2

AE CF ED FD ==形DEF 的面积之比．

7．如下左图所示，把△ABC 的BA 边延长1倍到D 点，AC 边延长3倍到F 点，CB 边延长2倍到E 点，连接DE、EF、FD，得到△DEF．已知三角形DEF 的面积为54平方厘米，求△ABC 的面积．

8，如上右图，已知=1，AE=ED，BD=BC，求阴影部分的面积。ABC S ?23

9．在△ABC 中，CD、AE、BF 分别为BC、AC、AB 长的，求与

13

1

2

3

N N N S ?之比（下图）

。ABC S ?

10.把边长为40厘米的正方形ABCD 沿对角线AC 截成两个三角形，在两个三角形内按图示剪下两个内接正方形M、N.这两个正方形中面积较大的是哪一个？它比较小的正方形面积大多少平方厘米？