华罗庚学校数学课本(6年级下册)第05讲 巧求面积

第五讲 巧求面积

本讲主要介绍平面图形面积的一些巧妙算法，首先看一个例子． 如图，BC=CE，AD=CD，求三角形ABC的面积是三角形CDE面积的几倍？

解：连结BD，在△ABD与△BCD中，因为AD=DC，又因为这两个三角形的高是同一条高，所以S△ABD=S△BCD．在△BCD与△DCE中，因为

BC=CE，又因为这两个三角形也具有同一条高，所以有S△BCD=S△CDE．因此，S△ABC=S△ABD+S△BCD=2S△CDE．

从以上的推导中看一看这两个三角形面积之比与这两个三角形的边有什么关系．

CE于M，如右图，

　

　

　

在△ACM与△DCN中，有AC∶CD=AM∶DN．因此，

即，当两个三角形各有一个角，它们的和是180°时，这两个三角形的面积之比等于分别夹这两个角的两条边的长度乘积之比．

类似可知，当两个三角形各有一个角，它们相等时，这个结论也成立．

解：在△ABC与△CDE中，因为AD=DC，所以 AC=2CD，又因为

BC=CE，所以S△ABC=2×1×S△CDE=2S△CDE．

答：△ABC的面积是△CDE面积的2倍．

下面我们就应用上面这个结论来看几个具体例子．

例1 如图，三角形ABC的面积为1，并且AE=3AB，BD=2BC，那么

△BDE的面积是多少？

解：在△BDE与△ABC中，∠DBE+∠ABC=180°．因为AE=3AB，所以BE=2AB．又因为BD=2BC，所以S△BDE=2×2×S△ABC=4×1=4．

答：△BDE的面积是4．

例2 如图，在△ABC中，AB是AD的6倍，AC是AE的3倍．如果△ADE的面积等于1平方厘米，那么△ABC的面积是多少？

解：在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠DAE．因为AB=6AD，AC=3AE，所以S△ABC=6×3×S△ADE=18×1=18（平方厘米）．

答：△ABC的面积为 18平方厘米．

例3 如图，将△ABC的各边都延长一倍至 A′、 B′、 C′，连接这些点，得到一个新的三角形A′B′C′．若△ABC的面积为1，求△A ′B′C′的面积．

解：在△A′B′B与△ABC中，∠A′BB′+∠ABC=180°．因为

AB=AA′，所以A′B=2AB，又因为B′B=BC，所以S△A′B

′B=1×2×S△ABC=2S△ABC=2．

同理S△B′C′C=2×1×S△ABC=2．

S△A′C′A=2×1×S△ABC=2．

所以S△A′B′C′=S△A′B′B+S△B′C′C+S△A′C′A+S△ABC

=2+2+2+1

=7

答：△A′B′C′的面积为7．

例4 如下图，将凸四边形ABCD的各边都延长一倍至 A′、B′、 C ′、D′，连接这些点得到一个新的四边形A′B′C′D′，若四边形A ′B′C′D′的面积为30平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少？

分析 要求四边形ABCD的面积，必须求出四边形ABCD与四边形A′B ′C′D′的关系，因而就要求出△A′B′B、△B′C′C、△C′D′D、△A′D′A与四边形ABCD的关系．

解：连结AC、BD．

在△A′B′B与△ABC中，∠A′BB′+∠ABC=180°．因为A′A=AB，所以A′B=2AB，又因为 B′B=BC，所以有S△A′B

′B=2×1×S△ABC=2S△ABC．

同理 有S△B′C′C=2×1×S△BCD=2S△BCD

S△C′D′D=2×1×S△ADC=2S△ADC

S△A′D′A=2×1×S△ABD=2S△ABD．

所以 S四边形A′B′C′D′=S△A′B′B+S△B′C′C+S△C′D′D+S△A′D′A+S四边形ABCD

=2S△ABC+2S△BCD+2S△ADC+2S△ABD+S四边形ABCD

=2（S△ABC+S△ADC）+2（S△BCD+S△ABD）+S四边形ABCD

=2S四边形ABCD+2S四边形ABCD+S四边形ABCD

=5S四边形ABCD

则S四边形ABCD=30÷5=6（平方厘米）．

答：四边形ABCD的面积为6平方厘米．

B1C1=C1C，△A1B1C1的面积为1平方厘米，则△ABC的面积为多少平方厘米？

解：连接A1C．如上图

在△BB1C与△A1B1C1中，∠BB1C+∠A1B1C1=180°，因为A1B1=

所以有S△BB1C=2×2×S△A1B1C1=4×1=4（平方厘米）．

在△A1C1C与△A1B1C1中，∠A1C1C+∠A1C1B1=180°，因为CC1=C1B1，A1C1=A1C1，所以有S△A1C1C=1×1×S△A1B1C1=1×1=1（平方厘米）．

在△ABD与△ADC中，∠ADB+∠ADC=180°．因为BD=DC，

在△ABA1与△ABD中，∠BAA1=∠BAD．因为AB=AB，AA1=

　

答：三角形ABC的面积为9平方厘米．

习 题 五

四边形DBCE的面积．（下图）

2．下图中的三角形被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，图中的数字是相应线段的长度，求两部分的面积之比．

GA，求阴影部分面积占三角形ABC面积的几分之几？

厘米，AE=11厘米，三角形DAE的面积是多少？

的面积与三角形ABC的面积之比．（下图）

与三角形DEF的面积之比．

7．如下图所示，把△ABC的BA边延长1倍到D点，AC边延长3倍到F 点，CB边延长2倍到E点，连接DE、EF、FD，得到△DEF．已知三角形DEF 的面积为54平方厘米，求△ABC的面积．

的面积．

9．在△ABC中，CD、AE、BF分别为BC、AC、AB长

　

10.把边长为40厘米的正方形ABCD沿对角线AC截成两个三角形，在两个三角形内按图示剪下两个内接正方形M、N.这两个正方形中面积较大的是哪一个？它比较小的正方形面积大多少平方厘米？

习题五解答

因为CD=1，DB=3，所以BC=1+3=4=4CD.

所以S乙=S△ABC-S甲=6S甲-S甲=5S甲.

所以S甲∶S乙=S甲∶5S甲=1∶5.

答：甲乙两部分的面积之比为1∶5.

3.解：利用正文中的结论容易求得：

答：△ADE的面积为22平方厘米.　

所以S△DEF∶S△ABC=61∶120.

答：△DEF与△ABC的面积之比为61∶120.

　

S△ABE∶S△EDF=3∶4.

答：三角形ABE与三角形EDF的面积之比为3∶4.

7.解：S△ADF=4×1×S△ABC=4S△ABC，

S△BED=2×2×S△ABC=4S△ABC，

S△ECF=3×3×S△ABC=9S△ABC.

所以S△DEF=S△ADF+S△EBD+S△ECF+S△ABC

=4S△ABC+4S△ABC+9S△ABC+S△ABC

=18S△ABC

答：三角形ABC的面积为3平方厘米.

8.解：连DF.因为AE=ED，所以有S△ABE=S△BED，S△AEF=S△DEF. 所以S△BEA+S△AEF=S△BED+S△DEF=S△BDF=S阴影

所以S△ABC=S△ABF+S△BDF+S△CDF

　

9.解：记S1=S△AEN2，S2=S△BFN3，S3=S△CDN1，S=S△N1N2N3.

由下图知

S△ABE+S△BCF+S△CAD+S=S△ABC+S1+S2+S3

但是S△ABE=S△BCF

所以 S=S1+S2+S3.连结CN2，则

　

即S△N1N2N3∶S△ABC=1∶7.

答：S△N1N2N3与S△ABC之比为1∶7.

10.解：为了方便，在下图中标上字母E、F、G、H、M1、N1、K，连结DK.