《信号与系统》第二版第八章：Z变换.

《信号与系统》第八章： Z 变换9 xs ( t = x ( t δ T ( t = ∑ x ( nT δ ( t − nT n =0 +∞ T= 2π ωs 采样间隔+∞ X s ( s = L { xs ( t } = ∑ x ( nT e − sTn n =0 X ( z = Z { x ( nT } = ∑ x ( nT z − n n =0 +∞ X s (s | 形式1 s = ln z T = X ( z z − n = e − sTn ⇔ z = e sT z = e sT s = σ + jω ，z Z (ω = e 2πσ ωs e re jθ = eσ T e jωT = e 2πσ ωs e j2πω ωs j2π (ω − nωs ωs Z (ω = Z (ω − nωs （8-47），周期为ωs s → → → z 1 z = 1 单位圆，周期为ωs z < 1 单位圆内 z > 1 单位圆外多σ = 0 虚轴σ < 0 左半开平面σ > 0 右半开平面→ → 图 8-8 采样序列 Z 变换与原信号的 L 变换的关系： 11

《信号与系统》第八章： Z 变换图 8-9 X ( z ∼ X (s xs ( t = x ( t δ T ( t ∞ L {δ T ( t } = ∑ e − nsT = n=0 1 1 − e − sT 1 1 σ + j∞ 1 dp = X ( p − sT ∫ − ( s − p T j σ ∞ 2π j 1− e 1− e X s ( s = L { xs ( t } = X ( s ∗注：1） x ( t 是稳定信号⇔ X ( p 的极点∈ π l− 2）1 1− e − ( s − p T 的收敛域，Re ( s − p > 0 ⇔ Re ( p < Re ( s 原式= 1 σ + j∞ 1 dp X ( p ∫ − ( s − p T j σ ∞ 2π j 1− e + 1 1 1 1 dp − dp X ( p X ( p ∫ −( s − p T ∫ − ( s − p T CR CR 2π j 2π j 1− e 1− e = 1 1 dp X ( p ∫ − 2π j C 1 − e ( s − p T 1 ⎧⎫ = ∑ Res ⎨ X ( p − ( s − p T ⎬1− e ⎩⎭ X ( p 的极点pi i 一阶极点= ∑ i ( p − pi X ( p | 1 − z −1e pT pi X ( z = Z { x ( n } = X s ( s | 例：X ( p = ∑ j 1 s = ln z T 与上式结果相同Aj p − pj 12

《信号与系统》第八章： Z 变换 Aj ⎧⎪∑ p − p ⎪ j j X ( z = ∑ Res ⎨ −1 pT i ⎪1− z e ⎪⎩⎫⎪ Aj ⎧⎫⎪ = ∑⎨⎬ −1 p j T ⎬ j ⎩1 − z e ⎭⎪⎪⎭ p = pi 《信号与系统》第二版（郑君里）8.7） §8.5 Z 变换解差分方程（∑ ak y ( n − k = ∑ br x ( n − r k =0 r =0 N M （8-48）⎧N ⎫⎧M ⎫ Z ⎨∑ ak y ( n − k ⎬ = Z ⎨∑ br x ( n − r ⎬⎩ k =0 ⎭⎩ r =0 ⎭ ∑ ak Z { y ( n − k } = ∑ br Z { x ( n − r } k =0 r =0 −1 M −1 ⎤ −k ⎡ −l ⎤ −r ⎡ + = + a z Y z y l z b z X z x ( m z−m ⎥ ( ( ( ∑ ∑ ∑ k ⎢⎥ ∑ r ⎢ k =0 l =− k m

=− r ⎣⎦ r =0 ⎣⎦ N N M （8-49）可直接带入初值因果序列输入： x ( n = 0, n < 0 零状态：y ( n = 0, n < 0 Y ( z = ∑b z ∑ ak z k =0 r =0 N r M −r −k X ( z （8-50）图

8-10 《信号与系统》第二版（郑君里）8.8） §8.6 系统函数、BIBO 稳定（系统函数： H ( z = Z {h ( n } （8-51）若 x ( n = z n ，则y ( n = m =−∞ ∑ h ( m z 13 +∞

n−m ⎡ +∞ ⎤ = ⎢ ∑ h ( m z −m ⎥ z n = H ( z z n ，⎣ m=−∞ ⎦

《信号与系统》第八章： Z 变换（8-52） y ( n = Lz n = H ( z z n ， z n 是线性定常离散时间系统的特征函数。 BIBO 稳定⇔ n =−∞ ∑ h ( n < ∞⇔ H ( z 的收敛域包含单位圆（对因果系统+∞ 。 H ( z 的极点在单位圆内） 14