2014届高三理科数学一轮复习试题选编9：正余弦定理(学生版)--带详细答案

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安徽省高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编9 三角函数

安徽省2014届高三理科数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编9：三角函数一、选择题1 ．（安徽省屯溪一中2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）设函数)c o s ()s i n ()(ϕωϕω+++=x x x f )2,0(πϕω<>的最小正周期为π2,且)()(x f x f =-,则.)(A )(x f 在),0(π单调递减; .)(B )(x f 在)45,4(ππ单调递减;.)(C )(x f 在),0(π单调递增; .)(D )(x f 在)45,4(ππ单调递增;【答案】A2 ．（安徽省屯溪一中2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）设α、β都是锐角,且55cos =α,53)sin(=+βα,则βcos 等于.)(A 552 .)(B 2552 .)(C 2552或552 .)(D 255或552 【答案】B3 ．（安徽省皖南八校2014届高三10月第一次联考数学(理)试题）已知函数211()sin 2sin cos cos sin()(0)222f x x x πϕϕϕϕπ=+-+<<,将函数()f x 的图象向左平移12π个单位后得到函数()g x 的图象,且1()42g π=,则ϕ= （）A ．6πB ．4πC ．3π D ．23π【答案】D ∵f (x )=12sin 2x sin +cos(cos 2x -12)=12sin 2x sin +12cos cos 2x =12cos(2x -),∴g (x )=12cos(2x +π6-),∵g (π4)=12,∴2×π4+π6-φ=2k π(k ∈Z),即φ=2π3-2k π(k ∈Z),∵0<<π,∴φ=2π3.4 ．（安徽省屯溪一中2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知ABC ∆的面积为3,32=AC ,3π=∠ABC ,则ABC ∆的周长为.)(A 324+ .)(B 36 .)(C 3262+ .)(D 326+【答案】C5 ．（安徽省望江中学2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）函数 f (x)=Asin(()(0,0),1x A x ωϕω+>>=-和x=1是函数f(x)图象相邻的两条对称轴,且x∈[-1,1]时f (x)单调递增,则函数y=f(x-1)的（）A ．周期为2,图象关于y 轴对称B ．周期为2,图象关于原点对称C ．周期为4,图象关于原点对称D ．周期为4,图象关于y 轴对称【答案】D6 ．（安徽省蚌埠市2014届高三上学期期中联考数学（理）试题）若函数()sin cos (0)f x x x ωωω=+>的最小正周期为1,则它的图像的一个对称中心为（）A ．(,0)8π-B ．(,0)8πC ．(0,0)D ．(,0)4π-【答案】A 7 ．（安徽省巢湖市第一中学2013-2014学年高三第一学期第一次月考数学试卷（理科））已知角α的终边上一点的坐标为(22sin ,cos )33p p,则角α的最小正值为（）A ．23pB ．56pC ．53pD ．116p【答案】C 8 ．（安徽省芜湖市沈巷中学2014届高三一轮复习测试（一）数学理试题）已知函数()()ϕ+=x A x f sin (A <0,ϕ<2π)的图像关于直线4π=x 对称,则⎪⎭⎫⎝⎛-=x f y 4π是（） A ．偶函数且在0=x 时取得最大值 B ．偶函数且在0=x 时取得最小值 C ．奇函数且在0=x 时取得最大值 D ．奇函数且在0=x 时取得最小值【答案】B9 ．（安徽省淮北一中2014届高三第三次月考数学理试题）若函数)(,)0,4()4s i n ()(x f P x y x f y 则对称的图象关于点的图象和ππ+==的表达式是（）A ．)4cos(π+x B ．)4cos(π--x C ．)4cos(π+-x D ．)4cos(π-x 【答案】B10．（安徽省巢湖市第一中学2013-2014学年高三第一学期第一次月考数学试卷（理科））在△ABC 中,,,a b c分别为内角（）A ．B ．C 的对边,若cos cos ,c B b C =且2cos 3A =,则sinB 等于（）A ．6B ．6C ．6D ．6【答案】D 11．（安徽省池州一中2014届高三第一次月考数学（理）试题）已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<,其导函数()f x '的部分图像如图所示,则函数()f x 的解析式为（）A ．1()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．1()4sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()4sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D．13()4sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】B ．12．（安徽省皖南八校2014届高三10月第一次联考数学(理)试题）已知(0,),cos 23a πα∈=,则cos()6πα+等于（）A ．126-B ．16-C ．126-+D ．16-+【答案】A ∵α∈(0,π2),cos α=33,∴sin α=63,∴cos(α+π6)=cos αcos π6-sin αsin π6=33×32-63×12=12-66.13．（安徽省望江中学2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知0ω>,函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减,则ω的取值范围是（）A ．(0,2]B ．1(0,]2C ．13[,]24D ．15[,]24【答案】D14．（安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学理试题）若, 且,则【答案】B sin()sin παα-==,又α∈3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭,∴cos α==23=-.由2cos 2cos 12αα=-,3,224αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得cos 2α===所以sin cos 222παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故选 B ． 15．（安徽省池州一中2014届高三上学期第三次月考数学（理）试题）已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点1,2P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．1B ．12C ．D ．12-【答案】D16．（安徽省涡阳四中2014届高三上学期第二次月考数学（理）试题）已知17sin cos 12312ππαα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则的值等于（）A ．13B ．3C ．13-D ．3-【答案】C17．（安徽省望江中学2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）要得到函数πsin (2)3y x =-的图象,只需将函数）—（—πx 2cos y =的图象（）A ．向左平移π6个单位 B ．向左平移5π12个单位 C ．向右平移5π12个单位D ．向右平移π3个单位【答案】C18．（安徽省屯溪一中2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）在ABC ∆中,若5=b ,4π=C ,22=a ,则=A sin.)(A 54 .)(B 52 .)(C 13132 .)(D 13133 【答案】C19．（安徽省池州一中2014届高三上学期第三次月考数学（理）试题）把函数sin()0,||2y A x πωφωφ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位得到()y f x =的图象(如图),则ϕ= （）A ．6π-B ．6πC ．3π-D ．3π【答案】C 20．（安徽省芜湖市沈巷中学2014届高三一轮复习测试（一）数学理试题）已知曲线⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x y 4cos 4sin 2ππ与直线21=y 相交,若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为P 1, P 2, P 3,则|51P P |等于（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【答案】B21．（安徽省淮北一中2014届高三第三次月考数学理试题）对于函数,cos sin ,cos cos sin ,sin )(⎩⎨⎧<≥=x x x xx x x f 则下列正确的是（）A ．该函数的值域是[-1,1]B ．当且仅当)(22Z k k x ∈+=ππ时,该函数取得最大值1C ．当且仅当0)()(2322<∈+<<+x f Z k k x k 时ππππ D ．该函数是以π为最小正周期的周期函数【答案】C22．（安徽省蚌埠市2014届高三上学期期中联考数学（理）试题）已知函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的最大值为4,最小值为0,最小正周期为2π,直线3x π= 是其图象的一条对称轴,则符合条件的函数解析式是（）A ．4sin(4)6y x π=+ B ．2sin(4)3y x π=+ C ．2sin(4)3y x π=+D ．2sin(4)6y x π=+【答案】D二、填空题 23．（安徽省池州一中2014届高三第一次月考数学（理）试题）已知函数()cos sin f x x x =⋅,给出下列五个说法:①19211124f π⎛⎫= ⎪⎝⎭;②若12()()f x f x =-,则12x x =-;③()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增;④将函数()f x 的图象向右平移34π个单位可得到1cos22y x =的图象;⑤()f x 的图象关于点,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称.其中正确说法的序号是_____________.【答案】1()cos sin sin 22f x x x x =⋅=.①正确,192111sin 1212264f f πππ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;②错误:由122()()()f x f x f x =-=-,知122x x k p =-+或122()x x k k Z p p =++?;③错误:令22222k x k ππππ-+≤≤-+,得()44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈,由复合函数性质知()f x 在每一个闭区间(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上单调递增,但(),,6344k k k Z ππππππ⎡⎤⎡⎤-⊄-++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,故函数()f x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不是单调函数;④错误:将函数()f x 的图象向右平移34π个单位可得到13131sin 2sin 2cos 224222y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭;⑤错误:函数的对称中心的横坐标满足02x k π=,解得02k x π=,即对称中心坐标为(),02k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则点,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是其对称中心.24．（安徽省芜湖市沈巷中学2014届高三一轮复习测试（一）数学理试题）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且满足sin cos a B b A =,cos B C -的最大值是_________. 【答案】125．（安徽省蚌埠市2014届高三上学期期中联考数学（理）试题）tan 2,tan()3αβα=-=,则tan(2)βα-的值为________________. 【答案】1726．（安徽省蚌埠市2014届高三上学期期中联考数学（理）试题）对于函数2()2cos 2sin cos 1()f x x x x x R =+-∈,给出下列命题:①()f x 的最小正周期为2π;②()f x 在区间5[,]28ππ上是减函数;③直线8x π=是()f x 的图像的一条对称轴;④()f x 的图像可以由函数2y x =向左平移4π而得到.其中正确命题的序号是_____(把你认为正确的都填上). 【答案】②③27．（安徽省涡阳四中2014届高三上学期第二次月考数学（理）试题）已知()11tan ,tan 43ααββ=-=，则tan = _______________【答案】113-28．（安徽省望江中学2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知t a n 125t a n αα+=-,则sin cos sin 2cos αααα+=-________________【答案】429．（安徽省淮北一中2014届高三第三次月考数学理试题）在△ABC 中,若∠A =60°,∠B =45°,BC =32,则AC =___________.【答案】 2 330．（安徽省皖南八校2014届高三10月第一次联考数学(理)试题）在ABC ∆中,,,a b c 分别是,,A B C 的对边,已知2(2)b c b c =+,若78a A ==,则ABC ∆的面积等于_________ . 【答案】152因为b 2=c (b +2c ),所以b 2-c 2=bc +c 2,(b -c )(b +c )=c (b +c ),∴b =2c . 由余弦定理得6=b 2+c 2-2bc cos A =5c 2-72c 2,∴c =2,b =4.∴S △ABC =12bc sin A =41－cos 2A =152.31．（安徽省望江中学2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）设()sin2cos2f x a x b x ＝＋,其中,,0a b R ab ∈≠. 若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x R ∈恒成立,则 ① 11012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭; ②7125f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; ③ ()f x 既不是奇函数也不是偶函数;④ ()f x 的单调递增区间是()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦;⑤ 存在经过点(),a b 的直线与函数()f x 的图象不相交.以上结论正确的是__________________(写出所有正确结论的编号). 【答案】①②③32．（安徽省屯溪一中2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知4tan =α,则ααα2sin sin 82cos 12++的值为______________________. 【答案】465三、解答题33．（安徽省涡阳四中2014届高三上学期第二次月考数学（理）试题）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且有2sin cos sin cos cos sin B A A C A C =+. (1)求角A 的大小;(2)若2,1,b c D BC ==为的中点.求AD 的长【答案】34．（安徽省望江二中2014届高三复习班上学期第一次月考数学（理）试题）设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且1cos 2a C cb -=. (1)求角A 的大小;(2)若1a =,求ABC ∆的周长的取值范围.【答案】解(1)由1cos 2a C c b -=得1sin cos sin sin 2A C CB -= 又sin sin()sin cos cos sin B AC A C A C =+=+11sin cos sin ,sin 0,cos 22C A C C A ∴=-≠∴=- 又0A π<<23A π∴=(2)由正弦定理得:B A B a b sin 32sin sin ==,C c sin 32=)())1sin sin 1sin sinl a b c B C B A B =++=+=++11sin )1)23B B B π=+=+22,(0,),(,)33333A B B πππππ=∴∈∴+∈, sin()3B π∴+∈故ABC ∆的周长的取值范围为1]+ 35．（安徽省江南十校2014届新高三摸底联考数学理试题）已知△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且对是常数,(1)求ca 的值;(2)若边长c=2,解关于x 的不等式asinx-bcosx<2. 【答案】36．（安徽省屯溪一中2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A A cos 2)6sin(=+π.⑴求角A 的值;⑵若14=a ,C B sin 3sin =,求ABC ∆的面积. 【答案】(本小题12分) 解:⑴A A cos 2)6sin(=+πA A A cos 221cos 23sin =⋅+⋅⇒ 3tan =⇒A︒=⇒60A .⑵由C B sin 3sin =c b 3=⇒216914cos 2222222⋅-+=⇒-+=c c c A bc c b a 1472=⇒c2=⇒c2332322321sin 21=⨯⨯⨯==∆A bc S ABC . 37．（安徽省涡阳四中2014届高三上学期第二次月考数学（理）试题）已知函数()12sin ,36f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.(1)求54f π⎛⎫⎪⎝⎭的值; (2)设()106,0,,332cos 221352f f ππαβαβαβπ+⎡⎤⎛⎫∈+=+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，求的值【答案】解: (1)552sin 2sin 41264f ππππ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)1051232sin ,sin ,0,,cos 2313213f ππααααα⎛⎫⎡⎤+==∴=∈∴= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦63432sin 2cos cos ,0,sin ;225,525f πππαβββββ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=+=∴=∈∴= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()1235416cos cos cos sin sin .13513565αβαβαβ+=-=⋅-⋅=,0,,cos 22παβαβ+⎡⎤∈∴=⎢⎥⎣⎦38．（安徽省望江四中2014届高三上学期第一次月考数学理试题）某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数a . ①︒︒-︒+︒17cos 13sin 17cos 13sin 22; ②︒︒-︒+︒15cos 15sin 15cos 15sin 22; ③︒︒-︒+︒12cos 18sin 12cos 18sin 22; ④︒︒--︒+︒-48cos )18sin(48cos )18(sin 22; ⑤︒︒--︒+︒-55cos )25sin(55cos )25(sin 22. (1)从上述五个式子中选择一个,求出常数a ;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论. 【答案】解: (1)选择②式计算4330sin 21115cos 15sin 15cos 15sin 22=︒-=︒︒-︒+︒=a .(2)猜想的三角恒等式为43)30cos(sin )30(cos sin 22=-︒--︒+αααα. 证明:)30cos(sin )30(cos sin22αααα-︒--︒+22sin (cos30cos sin30sin )sin (cos30cos sin30sin )αααααα=+︒+︒-︒+︒2222311sin cos cos sin cos sin 442αααααααα=++-22333sin cos 444αα=+=. 39．（安徽省池州一中2014届高三上学期第三次月考数学（理）试题）如图,某自来水公司要在公路两侧排水管,公路为东西方向,在路北侧沿直线1l 排,在路南侧沿直线2l 排,现要在矩形区域ABCD 内沿直线将1l 与2l 接通.已知60AB m =,80BC m =,公路两侧排管费用为每米1万元,穿过公路的EF 部分的排管费用为每米2万元,设EF 与AB 所成的小于90︒的角为α. (Ⅰ)求矩形区域ABCD 内的排管费用W 关于α的函数关系; (Ⅱ)求排管的最小费用及相应的角α.【答案】40．（安徽省淮北一中2014届高三第三次月考数学理试题）函数f (x )=A sin(ωx -π6)+1(A >0,ω>0)的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(Ⅰ)求函数f (x )的解析式;(Ⅱ)设α∈(0,2π),f (α2)=2,求α的值.【答案】解: (Ⅰ)∵函数f (x )的最大值为3,∴A +1=3,即A =2, ∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2,∴最小正周期T =π,∴ω=2.故函数f (x )的解析式为f (x )=2sin(2x -π6)+1(Ⅱ)f (α2)=2sin(α-π6)+1=2,即sin(α-π6)=12.∵0<α<2π,∴-π6<α-π6<11π6,∴α-π6=π6,或α-π6=5π6,故α=π3,或α=π41．（安徽省芜湖市沈巷中学2014届高三一轮复习测试（一）数学理试题）在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且2cos 2 A －B2cos B-sin (A-B)sin B+cos(A+C)=-35.(1)求cos A 的值;(2)若a=4 2,b=5,求向量BA →在BC →方向上的投影. 【答案】【解】(1)由2cos2A －B 2cos B-sin(A-B)sin B+cos(A+C)=-35,得 [cos(A-B)+1]cosB-sin(A-B)sinB-cosB=-35,即cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-35,则cos(A-B+B)=-35,即cos A=-35.(2)由cos A=-35,0<A<π,得sinA=45.由正弦定理,有a sin A =b sinB ,所以sinB=bsinA a =22.由题意知a>b,则A>B,故B=π4. 根据余弦定理,有(4 2)2=52+c 2-2×5c×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35,解得c=1或c=-7(舍去),故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cosB=22.42．（安徽省皖南八校2014届高三10月第一次联考数学(理)试题）如图,在直角坐标系xOy 中,角α的顶点是原点,始边与x 轴正半轴重合.终边交单位圆于点A ,且(,)62ππα∈,将角α的终边按逆时针方向旋转3π,交单位圆于点B ,记1122(,),(,)A x y B x y . (1)若113x =,求2x ;(2)分别过,A B 作x 轴的垂线,垂足依次为C D 、,记AOC ∆的面积为1S ,BOD ∆的面积为2S ,若122S S =,求角α的值.【答案】解: (1)由三角函数定义,得x 1=cos α,x 2=cos(α+π3).因为α∈(π6,π2),cos α=13,所以sin α=1－cos 2α=223, 所以x 2=cos(α+π3)=12cos α-32sin α=1－266.(2)依题意得y 1=sin α,y 2=sin(α+π3).所以S 1=12x 1y 1=12cos α·sin α=14sin 2α,S 2=12|x 2|y 2=12[-cos(α+π3)]·sin(α+π3)=-14sin(2α+2π3), 依题意得sin 2α=-2sin(2α+2π3),整理得cos 2α=0.因为π6<α<π2,所以π3<2α<π,所以2α=π2,即α=π4.43．（安徽省池州一中2014届高三上学期第三次月考数学（理）试题）在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,已知3C π=.(Ⅰ)若2a =,3b =,求ABC ∆的外接圆的面积;(Ⅱ)若2c =,sin sin()2sin 2C B A A +-=,求ABC ∆的面积.【答案】44．（安徽省寿县第一中学2014届高三上学期第二次月考数学（理）试卷（实验A 班月考））已知锐角三角形ABC 中,.51)sin(,53)sin(=-=+B A B A (I)求证:B A tan 2tan =; (Ⅱ)设3AB =,求AB 边上的高. 【答案】解 (1)证明:,51)sin(,53)sin(=-=+B A B A .2tan tan 51sin cos ,52cos sin .51sin cos cos sin ,53sin cos cos sin =⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+∴B A B A B A B A B A B A B A 所以.tan 2tan B A =(2)ππ<+<B A 2,33sin(),tan(),54A B A B +=∴+=- 即43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ,将B A tan 2tan =代入上式并整理得 .01tan 4tan 22=--B B解得262tan ±=B ,舍去负值得262tan +=B , .62tan 2tan +==∴B A 设AB 边上的高为CD.则AB=AD+DB=.623tan tan +=+CD B CD A CD由AB=3,得CD=2+6. 所以AB 边上的高等于2+645．（安徽省池州一中2014届高三第一次月考数学（理）试题）在△ABC 中,已知()()()s i n s i n s i n 0a c A C a b B +⋅---=,其中a 、b 、c 分别为ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边.求: (Ⅰ)求角C 的大小;(Ⅱ)求满足不等式3sin sin 2A B +≥的角A 的取值范围.【答案】(Ⅰ)由()()sin sin ()sin 0a c A C a b B +---=及正弦定理得∴(a +c )(a -c )=(a -b )b ,即222a b a b c =+-∴2221c o s 22a b c C a b +-==,由0C π<<,∴3C π=(Ⅱ) ∵3s in s in 2A B +≥,∴3s i n s i n ()2A A C ++≥,即13s i n o s s i n 22A A +≥,∴sin()6A π+∴2,363A πππ≤+≤62A ππ≤≤ 46．（安徽省屯溪一中2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知函数x x x x f cos 4sin 2cos 2)(2-+=.⑴求)3(πf 的值;⑵求)(x f 的最大值和最小值,并求当x 取何值时,)(x f 取得最大值. 【答案】解:⑴4924313cos 43sin 32cos2)3(2-=-+-=-+=ππππf ⑵x x x x f cos 4sin 2cos 2)(2-+=1cos 4cos 32--=x x37)32(cos 32--=x)(x f 的最大值是6;最小值是37-. 且当即1cos -=x )(2Z k k x ∈+=ππ时,)(x f 取得最大值.47．（安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学理试题）已知函数的图象过点(I)求函数f(x)的单调递增区间;(II)将函数f(x)的图象各点纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍,然后向左平移3π个单位,得函数g(x)的图象,若a 、b 、c 分别是△ABC 三个内角A,B,C 的对边,a+c=4,且当x=B 时,g(x)取得最大值,求b 的取值范围.【答案】解:(Ⅰ)()1()21cos 22f x x x m =-++1sin 262x m π⎛⎫=-+-⎪⎝⎭ 因为点,012M π⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数()f x 的图像上,所以1sin 201262m ππ⎛⎫⋅-+-= ⎪⎝⎭,解得12m = ∴()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 由222262k x k πππππ--+剟,k Z ∈,得63k x k ππππ-+剟,∴函数()f x 的单调增区间为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(Ⅱ)1()sin 2236g x x ππ⎛⎫=⨯+-⎪⎝⎭sin 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∵当x B =时,()g x 取得最大值,2163161242a c +⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭….∴2b …,又4b a c <+=. ∴b 的取值范围是[)2,448．（安徽省蚌埠市2014届高三上学期期中联考数学（理）试题）在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ,已知5,a b c +==,且274sincos 222A B C +-=. (1)求角C 的大小; (2)求ABC ∆的面积.【答案】49．（安徽省皖南八校2014届高三10月第一次联考数学(理)试题）在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,并且2sin 12A BC +=.(1)求角C 的大小; (2)若2a c ==,求A . 【答案】解:(1) ∵23sin2A ＋B2-(sin C +3+1)=0,∴23cos 2C2-(sin C +3+1)=0,即23·1＋cos C2-(sin C +3+1)=0, 即3cos C -sin C =1,亦即cos(C +π6)=12.∵C 为△ABC 的内角, ∴0<C <π,∴π6<C +π6<7π6.从而C +π6=π3,∴C =π6.(2)∵a =23,c =2,∴由余弦定理得b 2+(23)2-2×b ×23cos π6=4.即b 2-6b +8=0, 解得:b =2或b =4.50．（安徽省望江中学2014届高三第一次半月考数学（理）试题）已知函数).,(2cos )62sin()62sin()(为常数a R a a x x x x f ∈++-++=ππ(1)求函数的最小正周期; (2)求函数的单调递减区间; (3)若的值求的最小值为时a x f x ,2)(,]2,0[-∈π.【答案】解:a x a x x a x x x f ++=++=++=)62sin(22cos 2sin 32cos 6cos2sin 2)(ππ∴函数()f x 的最小正周期2T π= (2))(,)(3262326222x f Z k k x k k x k 函数时即∈+≤≤++≤+≤+πππππππππ单调递减, 故所求区间为)](32,6[Z k k k ∈++ππππ.(3)当]67,6[62,]2,0[ππππ∈+∈x x 时, 当6762ππ=+x ,即2π=x 时,)(x f 取得最小值.∴.1.2)622sin(2-=∴-=++⋅a a ππ51．（安徽省屯溪一中2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）设R a ∈,)2(cos )cos sin (cos )(2x x x a x x f -+-=π满足)0()3(f f =-π.⑴求函数)(x f 的最小正周期和单调递减区间;⑵若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2417,4ππx ,求)(x f 的最大值和最小值. 【答案】解:⑴)2(cos )cos sin (cos )(2x x x a x x f -+-=πx x x a22sin cos 2sin 2+-=x x a2cos 2sin 2-= 由)0()3(f f =-π即0cos 0sin 2)32cos()32sin(2-=---aa ππ 1)21(43-=---⇒a 32=⇒a)62sin(22cos 2sin 3)(π-=-=x x x x f .π=T 6532326222πππππππππ+≤≤+⇒+≤-≤+k x k k x k )(Z k ∈函数)(x f 的最小正周期为π, 函数)(x f 的单调递减区间为)](65,3[Z k k k ∈++ππππ.⑵由于⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2417,4ππx ,所以612176262πππππ-≤-≤-x 即45623πππ≤-≤x 2)62sin(22≤-≤-πx)(x f 的最大值为2,最小值为2-.52．（安徽省屯溪一中2014届高三第一次月考数学（理）试题）设函数()sin cos f x x x =+,()()()()2'g x f x f x f x =⋅+⎡⎤⎣⎦(1)求()g x 的周期和对称中心; (2)求()g x 在]4,4[ππ-上值域.【答案】解:(1),的周期由Z k k x ∈=+,42ππ得 Z k k x ∈+-=,28ππ所以)(x g 的对称中心为Z k k ∈+-),1,28(ππ(2)因为]4,4[ππ-∈x ,所以]43,4[42πππ-∈+x ,]1,22[)42sin(-∈+πx 所以)(x g ]12,0[+∈53．（安徽省望江中学2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2-ax +a =0(a ∈R)的两个根.(1)求)23sin()2cos(θπθπ+++的值; (2)求tan(π-θ)-1tan θ的值. 【答案】解: 由已知原方程判别式Δ≥0,即(-a )2-4a ≥0,∴(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,即a 2-2a -1=0.∴a =1-2或a =1+2(舍去).∴sin θ+cos θ=sin θcos θ=1- 2. (1))23sin()2cos(θπθπ+++=-(sin θ+cos θ)=2-1(2)tan(π-θ)-1tan θ=-tan θ-1tan θ=-⎝⎛⎭⎪⎫tan θ＋1tan θ=-⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θcos θ＋cos θsin θ=-1sin θcos θ=-11－2=2+1.。

正弦定理和余弦定理-高考数学一轮复习基础练习试题训练

4.7 正弦定理和余弦定理A 组基础题组1.在△ABC 中,a,b,c 分别为角A,B,C 所对的边,若a,b,c 成等差数列,∠B=30°,△ABC 的面积为32,则b=( )A.1+√32B.1+√3C.2+√32D.2+√3答案 B 由条件知12acsin B=32,得ac=6,又a+c=2b,则由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2accos B=(a+c)2-2ac-√3ac,即b 2=4b 2-12-6√3,解得b 1=b 2=1+√3.2.如图,正三棱锥P-ABC 的所有棱长都为4.点D,E,F 分别在棱PA,PB,PC 上,则满足DE=EF=3,DF=2的△DEF 的个数是( )A.1B.2C.3D.4答案 C 令PD=x,PE=y,PF=z,则{x 2+x 2-xy =9,x 2+x 2-zy =9,x 2+x 2-xz =4,当x=z 时,{x =x =2,x =1+√6,当x≠z 时,有两解.3.(2017浙江镇海中学模拟)在△ABC 中,BC=2,AC=2√2,则A 的最大值是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案 B 由余弦定理,知cos A=x 2+8-42x ×2√2=14√2(x +4x )≥√22(当且仅当c=2时,取等号),故A 的最大值为45°,故选B.4.(2017浙江台州调研)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知a=1,2b-√3c=2acos C,sin C=√32,则△ABC 的面积为( ) A.√32 B.√34 C.√32或√34 D.√3或√32答案 C 由正弦定理知,2sin B-√3sin C=2sin Acos C,又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,所以cos A=√32,故A=30°.因为sin C=√32,所以C=60°或C=120°.当C=60°时,B=90°,由x sin x =xsin x,得c=√3,故S=12×√3×1×1=√32;当C=120°时,B=30°,此时b=a=1,故S=12×1×1×sin 120°=√34.故选C.5.(2018杭州高三期末)设点P 在△ABC 的BC 边所在的直线上从左到右运动,设△ABP 与△ACP 的外接圆面积之比为λ,当点P 不与B,C 重合时( )A.λ先变小再变大B.当M 为线段BC 中点时,λ最大C.λ先变大再变小D.λ是一个定值答案 D 设△ABP 与△ACP 的外接圆半径分别为r 1,r 2,则2r 1=xx sin∠xxx ,2r 2=xxsin∠xxx ,因为∠APB+∠APC=180°,所以sin∠APB=sin∠APC,所以x 1x 2=xxxx ,所以λ=x 12x 22=xx 2xx 2.故选D.6.已知a,b,c 分别为△ABC 的内角A,B,C 所对的边,其面积满足S △ABC =14a 2,则xx 的最大值为( ) A.√2-1 B.√2C.√2+1D.√2+2答案 C 根据题意,有S △ABC =14a 2=12bcsin A,应用余弦定理,可得b 2+c 2-2bccos A=2bcsin A,令t=xx ,于是t 2+1-2tcos A=2tsin A.于是2tsin A+2tcos A=t 2+1,所以2√2sin (x +π4)=t+1x ,从而t+1x ≤2√2,解得t的最大值为√2+1.7.(2017浙江测试)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,若a=2√3,C=π3,tan A=34,则sinA= ,b= . 答案 35;4+√3解析由tan A=34得sin A=35,cos A=45,由正弦定理,得c=sin xsin x a=5,又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,∴b=acos C+ccos A=4+√3.8.(2017浙江名校协作体)已知在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,S 为△ABC 的面积.若a=4,b=5,C=2A,则c= ,S= . 答案 6;15√74解析由题意可知,x sin x =x sin x =x sin(π-3x )=xsin3x , 所以asin 3A=bsin A, 即4(3sin A-4sin 3A)=5sin A, 整理得7=16sin 2A, 从而cos 2A=916,即cos A=34.由正弦定理得,c=sin xsin x ·a=2cos A·a=6. ∴S=12bcsin A=12×5×6×√74=15√74. 9.(2018杭州七校高三联考)设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边依次为a 、b 、c,若△ABC 的面积为S,且S=a 2-(b-c)2,则sin x1-cos x = . 答案 4解析因为△ABC 的面积为S,且S=a 2-(b-c)2=a 2-b 2-c 2+2bc=12bc·sin A, 所以由余弦定理可得-2bc·cos A+2bc=12bc·sin A, 所以4-4cos A=sin A, 所以sin x1-cos x =4-4cos x1-cos x =4.10.(2017浙江稽阳联谊学校联考)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知csin A=√3acos C,则C= ;若c=√31,△ABC 的面积为3√32,则a+b= .答案π3;7解析由正弦定理可得sin Csin A=√3sin Acos C, 因为sin A≠0,所以tan C=√3,所以C=π3. 由12absin C=3√32,得ab=6.又由余弦定理得(√31)2=a 2+b 2-2abcos C=(a+b)2-3ab, 所以a+b=7.11.(2017浙江台州质量评估)已知在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且b=√2a,√3cos B=√2cos A,c=√3+1,则△ABC 的面积为 . 答案√3+12解析由√3cos B=√2cos A,得 √3·x 2+x 2-x 22xx =√2·x 2+x 2-x 22xx, 又b=√2a,c=√3+1,所以上式可化简为a 2=√3-√3+1c 2=2, 所以a=√2,b=2. 所以cos B=x 2+x 2-x 22xx=√22,所以sin B=√1-cos 2B =√22.故△ABC 的面积S=12acsin B=12×√2×(√3+1)×√22=√3+12. 12.(2017浙江宁波期末)已知△ABC 的三边分别为a,b,c,且a 2+c 2=b 2+ac,则边b 所对的角B 为 ;此时,若b=2√3,则xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 . 答案π3;6+4√3解析由余弦定理得cos B=x 2+x 2-x 22xx =12,∴B=π3,由正弦定理得c=x sin xsin x=4sin C. ∴xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =bccos A=8√3sin Ccos A,又C=2π3-A,∴xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =8√3(√32cos x +12sin x )cos A=12cos 2A+4√3·sin Acos A=6(1+cos 2A)+2√3sin 2A=6+4√3sin (2x +π3).∵0<A<2π3,∴π3<2A+π3<5π3,故当2A+π3=π2,即A=π12时,xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有最大值,最大值为6+4√3.13.(2017浙江金华十校调研)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若2cos 2B=4cos B-3. (1)求角B 的大小;(2)若S △ABC =√3,asin A+csin C=5sin B,求b.解析 (1)2cos 2B-4cos B=-3⇒4cos 2B-4cos B+1=0,所以cos B=12,故B=π3.(2)S △ABC =√3=12acsin B ⇒ac=4. 由asin A+csin C=5sin B 得a 2+c 2=5b,由b 2=a 2+c 2-2accos B 得b 2-5b+4=0,解得b=1或4. 又a 2+c 2=5b≥2ac=8,所以b≥85,所以b=4.14.(2017湖州期末)在锐角△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c.已知sin Asin C=34,b 2=ac. (1)求角B 的值;(2)若b=√3,求△ABC 的周长.解析 (1)由b 2=ac 得,sin 2B=sin Asin C, 因为sin Asin C=34,所以sin 2B=34,因为sin B>0, 所以sin B=√32,因为三角形ABC 为锐角三角形,所以B=π3. (2)已知b=√3,则3=a 2+c 2-2accos π3 =a 2+c 2-ac=(a+c)2-3ac, 所以a+c=2√3,所以三角形ABC 的周长为3√3.15.已知f(x)=sin x·(cos x+sin x)-1,x∈R. (1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)在锐角△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知f(A)=0,a=1,求a 2+b 2+c 2的取值范围. 解析 (1)f(x)=sin xcos x+sin 2x-1=12sin 2x+1-cos2x2-1=√22sin (2x -π4)-12.令π2+2kπ≤2x -π4≤2kπ+3π2(k∈Z),得3π8+kπ≤x≤kπ+7π8(k∈Z).故函数f(x)的单调递减区间为[3π8+kπ,7π8+kπ](k∈Z).(2)由f(A)=0得sin (2x -π4)=√22.∵A∈(0,π2),∴2A -π4∈(-π4,3π4),∴2A -π4=π4,∴A=π4. 易得bc=(x sin x )2sin Bsin C=2sin Bsin C=cos(B-C)-cos(B+C)=cos(B-C)-cos(π-A)=√22+cos(B-C),又在锐角△ABC 中,A=π4,故B-C∈(-π4,π4),bc∈(√2,1+√22], 又cos A=x 2+x 2-x 22xx,∴b 2+c 2-a 2=√2bc, ∴a 2+b 2+c 2=√2bc+2∈(4,3+√2].B 组提升题组1.(2018金华东阳二中高三调研)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若3bcos A=ccos A+acos C,则tan A 的值是( )A.-2√2B.-√2C.2√2D.√2 答案 C 在△ABC 中,由余弦定理得ccos A+acos C=c×x 2+x 2-x 22xx +a×x 2+x 2-x 22xx=b.所以3bcos A=ccos A+acos C=b, 两边约去b,得3cos A=1,所以cos A=13>0,所以A 为锐角,且sin A=√1-cos 2A =2√23,因此,tan A=sin xcos x =2√2.2.若满足条件AB=√3,C=π3的三角形ABC 有两个,则边BC 的长的取值范围是( ) A.(1,√2) B.(√2,√3) C.(√3,2)D.(√2,2)答案 C 设BC=a,∵C=π3,AB=√3, 由正弦定理得xx sin x =xx sin x ,即√3√32=x sin x ,∴sin A=x 2. 由题意得,当A∈(π3,2π3)且A≠π2时,满足条件的△ABC 有两个,∴√32<x2<1,解得√3<a<2,即BC 的取值范围是(√3,2).3.(2017浙江镇海中学模拟)在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,且acos B+bcos A=c 2,C=π3,则a+b 的取值范围是( ) A.[1,2] B.(1,2]C.[√3,2]D.(√3,2]答案 D 由正弦定理,知sin Acos B+sin Bcos A=sin C·c,即sin(A+B)=csin C,所以c=1. 又x sin x =x sin x =xsin x ,所以a+b=(sin xsin x +sin xsin x )·c=√3sin x +sin (23π-x )]=√3(32sin x +√32cos x )=2sin (x +π6).因为{0<x <π2,0<23π-x <π2,所以π6<A<π2, 所以π3<A+π6<2π3,所以a+b∈(√3,2],故选D.4.(2017浙江绍兴质量检测)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知A=π4,b=√6,△ABC 的面积为3+√32,则c= ,B= .答案 1+√3;π3解析由三角形的面积公式,知3+√32=12×√6×√22×c,所以c=1+√3.由正弦定理得,sin x sin x =xx ,即sin (34π-x )sin x=x x ,所以√6·(√22cos x +√22sin x )=(1+√3)sin B, 所以√3cos B=sin B,即tan B=√3,所以B=π3.5.(2017浙江杭州二模)设a,b,c 分别为△ABC 的内角A,B,C 的对边,且S △ABC =12c 2.若ab=√2,则a 2+b 2+c 2的最大值是 . 答案 4解析由S △ABC =12c 2,知12absin C=12c 2,所以c 2=√2sin C;由c 2=a 2+b 2-2abcos C,可知a 2+b 2=c 2+2abcos C=√2sin C+2√2cos C. 所以a 2+b 2+c 2=2√2(sin C+cos C)=4sin (x +π4)≤4,当且仅当C=π4时,取等号.故a 2+b 2+c 2的最大值为4.6.已知在△ABC 中,M,N 分别为AC,AB 的中点,|AB|∶|AC|=2∶3,当△ABC 在上述条件下变化时,若|BM|≤λ|CN|恒成立,则λ的最小值为 . 答案 78解析设角A,B,C 的对边分别为a,b,c,不妨设c=2,b=3,a=x(1<x<5).易求得|BM|2=x 22+x 22-x 24,从而|BM|=√2x 2-12.同理,|CN|=√2x 2+142,∴λ≥√2x 2-12x 2+14(1<x<5),从而λ≥78.7.已知△ABC 的面积为1,∠A 的平分线交对边BC 于D,AB=2AC,且AD=kAC,k∈R,则当k= 时,边BC 的长度最短. 答案2√105解析由题可设在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,则c=2b,AD=kb.由角平分线定理知,S △ACD =13=12sin x2·kb 2,又1=12b·2b·sin A,两式联立,消去b 2,得cos x 2=34k.又a 2=b 2+(2b)2-2×b×2bcos A=b 2(5-4cos A)=5-4cos x sin x,所以a 2sin A+4cos A=5,利用辅助角公式,知√x 4+16sin(A+φ)=5(tan x =4x 2),所以a 4+16≥25,即a 2≥3(当sin x =35,cos x =45时,取等号),此时cos x2=√1+cos x 2=3√1010,故k=43cosx 2=25√10.8.(2018浙江,13,6分)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若a=√7,b=2,A=60°,则sin B= ,c= . 答案√217;3 解析本题考查正弦定理、余弦定理. 由x sin x =x sin x 得sin B=xx sin A=√217, 由a 2=b 2+c 2-2bccos A,得c 2-2c-3=0,解得c=3(舍负).9.(2017杭州四校期中)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知cos 2A+32=2cos A.(1)求角A 的大小;(2)若a=1,求△ABC 的周长l 的取值范围. 解析 (1)由题意得2cos 2A+12=2cos A, 即4cos 2A-4cos A+1=0, ∴(2cos A -1)2=0,∴cos A=12.又∵0<A<π, ∴A=π3.(2)根据正弦定理x sin x =x sin x =xsin x ,得b=√3sin B,c=√3sin C,∴l=1+b+c=1+√3(sin B+sinC),∵A=π3,∴B+C=2π3,∴l=1+√3sin x +sin (2π3-B )]=1+2sin (x +π6),∵0<B<2π3,∴π6<B+π6<5π6,∴l∈(2,3].10.在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,已知c=2,C=π3. (1)若△ABC 的面积等于√3,求a,b;(2)若sin C+sin(B-A)=3sin 2A,求△ABC 的面积. 解析 (1)在△ABC 中,由余弦定理及三角形面积公式得 {4=x 2+x 2-ab,√3=12ab ×√32,即{4=x 2+x 2-ab,xx =4,解得a=b=2. (2)3sin 2A=sin C+sin(B-A) =sin(B+A)+sin(B-A),化简得6sin Acos A=2sin Bcos A,又A 为△ABC 的内角,所以cos A≠0,所以sin B=3sin A, 即b=3a,由余弦定理可得a 2=47,故△ABC 的面积S=12absin C=3a 2×√34=3√37. 11.(2017温州中学月考)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且 a=2,2cos 2x +x2+sin A=45.(1)若满足条件的△ABC 有且只有一个,求b 的取值范围; (2)当△ABC 的周长取最大值时,求b 的值. 解析由2cos2x +x2+sin A=45,得1+cos(B+C)+sin A=45,所以sin A-cos A=-15,又0<A<π,且sin 2A+cos 2A=1,所以{sin x =35,cos x =45.(1)若满足条件的△ABC 有且只有一个,则有a=bsin A 或a≥b, 则b 的取值范围为(0,2]∪{103}. (2)设△ABC 的周长为l,则l=a+b+c. 由正弦定理得l=a+xsin x(sin B+sin C) =2+103[sin B+sin(A+B)]=2+103(sin B+sin Acos B+cos Asin B) =2+2(3sin B+cos B) =2+2√10sin(B+θ),其中θ为锐角,且sin θ=√1010,cos θ=3√1010,所以l max =2+2√10,且当cos B=√1010,sin B=3√1010时取到. 此时b=xsin x sin B=√10.。

2014正余弦定理中高考真题及模拟试题(含解析)

1．（2014•山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．形面积公式求得答案．解答：解：（Ⅰ）∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，∴b=•sinB=×=3．（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=．点评：本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中结合了同角三角函数关系，三角函数恒2．（2014•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．：解三角形．分析：（Ⅰ）△ABC中，由条件利用二倍角公式化简可得﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2•cos（A+B）sin（A﹣B）．求得tan（A+B）的值，可得A+B的值，从而求得C的值．（Ⅱ）由sinA=求得cosA的值．再由正弦定理求得a，再求得sinB=sin[（A+B）﹣A]的值，从而求得△ABC的面积为的值．解答：解：（Ⅰ）∵△ABC中，a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB，∴﹣=sin2A﹣sin2B，即cos2A﹣cos2B=sin2A﹣sin2B，即﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2•cos（A+B）sin（A﹣B）．∵a≠b，∴A≠B，sin（A﹣B）≠0，∴tan（A+B）=﹣，∴A+B=，∴C=．（Ⅱ）∵sinA=＜，C=，∴A＜，或A＞（舍去），∴cosA==．由正弦定理可得，=，即=，∴a=．∴sinB=sin[（A+B）﹣A]=sin（A+B）cosA﹣cos（A+B）sinA=﹣（﹣）×=，∴△ABC的面积为=×=．点评：本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用，属于中档题．3．（2014•安徽）设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b=3，c=1，A=2B．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求sin（A+）的值．：综合题；三角函数的求值．分析：（Ⅰ）利用正弦定理，可得a=6cosB，再利用余弦定理，即可求a的值；（Ⅱ）求出sinA，cosA，即可求sin（A+）的值．解答：解：（Ⅰ）∵A=2B，，b=3，∴a=6cosB，∴a=6，∴a=2；（Ⅱ）∵a=6cosB，∴cosB=，∴sinB=，∴sinA=sin2B=，cosA=cos2B=2cos2B﹣1=﹣，∴sin（A+）=（sinA+cosA）=．点评：本题考查余弦定理、考查正弦定理，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于中4．（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：（Ⅰ）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，代入a﹣c=b，得：a﹣c=c，即a=2c，∴cosA===；（Ⅱ）∵cosA=，A为三角形内角，∴sinA==，∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，则cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．5．（2014•辽宁）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则化简•=2，将cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，联立即可求出ac的值；（Ⅱ）由cosB的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，进而求出cosC的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：（Ⅰ）∵•=2，cosB=，∴c•acosB=2，即ac=6①，∵b=3，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4，∴a2+c2=13②，联立①②得：a=3，c=2；（Ⅱ）在△ABC中，sinB===，由正弦定理=得：sinC=sinB=×=，∵a=b＞c，∴C为锐角，∴cosC===，则cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC=×+×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关6．（2014•重庆）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）由a+b+c=8，根据a=2，b=求出c的长，利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入求出cosC的值即可；（Ⅱ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，再利用正弦定理得到a+b=3c，与a+b+c=8联立求出a+b 的值，利用三角形的面积公式列出关系式，代入S=sinC求出ab的值，联立即可求出a与b的值．解答：解：（Ⅰ）∵a=2，b=，且a+b+c=8，∴c=8﹣（a+b）=，∴由余弦定理得：cosC===﹣；（Ⅱ）由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA•+sinB•=2sinC，整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，∴sinA+sinB=3sinC，利用正弦定理化简得：a+b=3c，∵a+b+c=8，∴a+b=6①，∵S=absinC=sinC，∴ab=9②，联立①②解得：a=b=3．7．（2014•萧山区模拟）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x﹣，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，最小值和最小正周期；（Ⅱ）已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与=（2，sinB）共线，求a、b的值．分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x﹣）﹣1，由此求出最小值和周期．（Ⅱ）由f（C）=0可得sin（2C﹣）=1，再根据C的范围求出角C的值，根据两个向量共线的性质可得sinB﹣2sinA=0，再由正弦定理可得b=2a．再由余弦定理得9=，求出a，b的值．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）==﹣﹣1=sin（2x ﹣）﹣1，∴f（x）的最小值为﹣2，最小正周期为π．…（5分）（Ⅱ）∵f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，即sin（2C﹣）=1，又∵0＜C＜π，﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣=，∴C=．…（7分）∵向量与共线，∴sinB﹣2sinA=0．由正弦定理，得b=2a，①…（9分）∵c=3，由余弦定理得9=，②…（11分）解方程组①②，得a=b=2．…（13分）点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，两个向量共8．（2014•宜春模拟）设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且（2b﹣c）cosA=acosC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若角B=，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．：计算题．分析：（1）利用正弦定理把中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式进行化简整理求得cosA，进而求得A．（2）由（1）知，进而可知三角形为等腰三角形和C的值，设AC=x，进而用余弦定理建立等式求得x，进而用三角形面积公式求得答案．解答：解：（1）因为，所以，则，所以，于是（2）由（1）知而，所以AC=BC，设AC=x，则又．在△AMC中由余弦定理得AC2+MC2﹣2AC•MCcosC=AM2，即，解得x=2，故．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形问题中，常需要用正弦定理9．（2014•湖北模拟）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2cos（B﹣C）=4sinB•sinC﹣1．（1）求A；（2）若a=3，sin=，求b．：计算题．分析：（1）由已知利用两角和的余弦公式展开整理，cos（B+C）=﹣．可求B+C，进而可求A（2）由sin，可求cos=，代入sinB=2sin cos可求B，然后由正弦定理，可求b解答：解：（1）由2cos（B﹣C）=4sinBsinC﹣1 得，2（cosBcosC+sinBsinC）﹣4sinBsinC=﹣1，即2（cosBcosC﹣sinBsinC）=﹣1．从而2cos（B+C）=﹣1，得cos（B+C）=﹣．…4分∵0＜B+C＜π∴B+C=，故A=．…6分（2）由题意可得，0＜B＜π∴，由sin，得cos=，∴sinB=2sin cos=．…10分由正弦定理可得，∴，解得b=．…12分．点评：本题主要考查了两角和三角公式的应用，由余弦值求解角，同角基本关系、二倍角公10．（2014•兴安盟一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2c﹣a）cosB﹣bcosA=0．（Ⅰ）若b=7，a+c=13求此三角形的面积；（Ⅱ）求sinA+sin（C﹣）的取值范围．根据A的范围求出这个角的范围，由正弦函数的值域即可得到所求式子的取值范围．解答：解：由已知及正弦定理得：（2sinC﹣sinA）cosB﹣sinBcosA=0，即2sinCcosB﹣sin（A+B）=0，在△ABC中，由sin（A+B）=sinC故sinC（2cosB﹣1）=0，∵C∈（0，π），∴sinC≠0，∴2cosB﹣1=0，所以B=60°（3分）（Ⅰ）由b2=a2+c2﹣2accos60°=（a+c）2﹣3ac，即72=132﹣3ac，得ac=40（5分）所以△ABC的面积；（6分）（Ⅱ）因为==，（10分）又A∈（0，），∴，则sinA+sin（C﹣）=2sin（A+）∈（1，2]．点评：此题考查学生灵活运用正弦定理及诱导公式化简求值，灵活运用三角形的面积公式及11．（2014•四川模拟）已a，b，c分别是△AB的三个内角A，B，的对边，．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求函数y=的值域．：解三角形．分析：（I）由条件利用正弦定理求得cosA=，从而求得A=．（II）由A=，可得B+C=．化简函数y等于2sin（B+），再根据＜B+的范围求得函数的定义域．解答：解：（I）△ABC中，∵，由正弦定理，得：，…（2分）即2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，故2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，…（4分）∴cosA=，A=．…（6分）（II）∵A=，∴B+C=．…（8分）故函数y==sinB+sin（﹣B）=sinB+cosB=2sin（B+）．…（11分）∵0＜B＜，∴＜B+＜，∴sin（B+）∈（，1]，…（13分）故函数的值域为（1，2]．…（14分）点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、正弦定理、正弦函数的定义域和值域，属于中档22．（2014•福建模拟）设△ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，b=2．（Ⅰ）当时，求角A的度数；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．：计算题．分析：（I）由可求sinB=且B为锐角，由b=2，a=考虑利用正弦定理可求sinA，结合三角形的大边对大角且a＜b可知A＜B，从而可求A，（II）由，b=2利用余弦定理可得，b2=a2+c2﹣2accosB，把已知代入，结合a2+c2≥2ac可求ac的范围，在代入三角形的面积公式可求△ABC面积的最大值．解答：解：∵∴sinB=且B为锐角（I）∵b=2，a=由正弦定理可得，∴∵a＜b∴A＜B∴A=30°（II）由，b=2利用余弦定理可得，b2=a2+c2﹣2accosB∴从而有ac≤10∴∴△ABC面积的最大值为3点评：本题（I）主要考查了利用正弦定理及三角形的大边对大角解三角形（II）利用余弦定23．（2014•和平区模拟）已知钝角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且有，（1）求角B的大小；（2）设向量，且，求t的值．：计算题．分析：（1）利用正弦定理把题设等式中的边转换成角的正弦，然后利用两角和公式化简整理求得cosB的值，进而求得B．（2）利用向量垂直的性质利用向量的坐标求得，利用二倍角公式整理成关于cosA的一元二次方程求得cosA的值，利用同角三角函数的基本关系求得tanA的值，然后利用正切的两角和公式求得tan（A+）的值．解答：解：（1）∵，由正弦定理得：∴即∴因为在△ABC中sin（B+C）=sinA则∴（2）∵∴即∴即∵由sin2A+cos2A=1，sinA＞0∴则点评：本题主要考查了正弦定理的应用，二倍角两角和公式的化简求值，同角三角函数的基12．（2014•浦东新区三模）已知函数f（x）=msinx+cosx，（m＞0）的最大值为2．（Ⅰ）求函数f（x）在[0，π]上的值域；（Ⅱ）已知△ABC外接圆半径R=，f（A﹣）+f（B﹣）=4sinAsinB，角A，B 所对的边分别是a，b，求+的值．：解三角形．分析：（Ⅰ）由题意可得=2，求得m的值，可得f（x）=2sin（x+），再利用正弦函数的定义域和值域、单调性，求得函数f（x）在[0，π]上的值域．（Ⅱ）利用正弦定理化简f（A﹣）+f（B﹣）=4sinAsinB可得2R（a+b）=2ab，根据△ABC的外接圆半径为R=，求得+的值．解答：解：（Ⅰ）由题意，f（x）的最大值为=2．而m＞0，于是m=，f（x）=2sin（x+）．由于函数在[0，]上递增，在[，π]递减，故当x=时，函数取得最大值为2；当x=π时，函数取得最小值为﹣，∴函数f（x）在[0，π]上的值域为[﹣，2]．（Ⅱ）∵f（A﹣）+f（B﹣）=4sinAsinB，由正弦定理，可得2R（a+b）=2 ab，∵△ABC的外接圆半径为R=，∴a+b=ab，∴=．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的定义域和值域，正弦定理的应用，属。

2014年各省高考理科数学试题精编5.三角函数与正余弦定理

2014年全国高考理科数学试题选编五.三角函数及解三角形试题一.选择题和填空题1全国课标Ⅰ6．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图像大致为( )．2.全国课标Ⅰ.8．.设π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1sin tan cos βαβ+=，则( )．A ．π32αβ-＝B ．π32αβ+=C ．π22αβ-=D ．π22αβ+=3.(课标全国Ⅱ4)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ，则AC ＝( )． A ．5 BC ．2D ．14.(2014课标全国Ⅱ.12)设函数π()3sin xf x m=.若存在f (x )的极值点x 0满足22200+[()]x f x m <，则m 的取值范围是( )． A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞) B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 5. (大纲全国.3)设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°， c ＝tan 35°，则( )． A ．a ＞b ＞c B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b 6.（陕西2)函数()πcos 26f x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝的最小正周期是( )．A ．π2B ．πC ．2πD ．4π 7.(安徽.6)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x ＜π时， f (x )＝0，则23π6f ⎛⎫⎪⎝⎭＝( )． A ．12 BC ．0D ．12-8.(浙江4)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数 3y x =的图象( )．A ．向右平移π4个单位 B ．向左平移π4个单位 C ．向右平移π12个单位 D ．向左平移π12个单位9.(江西4)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，π3C =，则△ABC 的面积是( )．A ．3 B．2 C．2D．10.(辽宁9)将函数π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )．A ．在区间π7π1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减B ．在区间π7π1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增C ．在区间ππ63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递减D ．在区间ππ63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增11.(四川3)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )．A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度12.(重庆10)已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足 sin 2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋12，面积S 满足1≤S ≤2，记a ，b ，c 分别为 A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是( )．A ．bc (b ＋c )＞8B ．ab (a ＋b )＞ C ．6≤abc ≤12 D ．12≤abc ≤2413.全国课标Ⅰ.16．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为__________． 14.（全国课标Ⅱ.14)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为__________．15.（大纲全国.16)若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭是减函数，则a 的取值范围是__．16.（北京14)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0)．若f (x )在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且π2ππ236f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则f (x )的最小正周期为__________．17.（安徽.11)若将函数()πsin 24f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是__________．18.（天津.12)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知14b c a -=,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为__________．19.（福建.12)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC =ABC 的面积等于_____． 20. (广东12)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab＝________. 21.(四川13)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m ，则河流的宽度BC 约等于__________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.801.73)二.解答题1. (大纲全国117满分10分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3a cos C ＝2c cos A ，1tan 3A =，求B .2. (陕西16满分)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值． 3. (北京15满分13分)如图，在△ABC 中，π3B ∠=，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，1cos 7ADC ∠=. (1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．4. (天津15满分13分)已知函数()2πcos sin 3f x x x x ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭=，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在闭区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 5. (安徽16满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1， A ＝2B . (1)求a 值；(2)求πsin()4A +的值． 6. (福建16满分13分)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12. (1)若π02α<<，且sin α=，求f (α)的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 7. (湖北.17满分11分)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：()ππ10sin 1212f t t t -⋅-=，t ∈[0,24)． (1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？8. (湖南18满分12分)如图，在平面四边形ABCD中，AD ＝1，CD ＝2，AC =.(1)求cos ∠CAD 的值； (2)若cos BAD ∠=，sin 6CBA ∠=，求BC 的长．9. (浙江18满分14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b，c =22cos cos cos cos A B A A B B -. (1)求角C 的大小；(2)若4sin 5A =，求△ABC 的面积． 10. (广东.16满分12分)已知函数π()sin 4f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R ，且5π3122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (1)求A 的值；(2)若()3()2f f θθ-+＝，π02θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，求3π4f θ⎛⎫-⎪⎝⎭. 11. (江西16满分12分)已知函数 f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. (1)当a =π4θ=时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值； (2)若π02f ⎛⎫=⎪⎝⎭，f (π)＝1，求a ，θ的值． 12. (辽宁17满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)c os(B －C )的值．13. (山东16满分12分)已知向量a ＝(m ，cos 2x )， b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图象过点π12⎛⎝和点2π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．14. (四川16满分12分)已知函数()πsin 34f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，4πcos cos 2354f ααα⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos α－sin α的值．15. (重庆17满分13分)已知函数 f (x )＝1π)0,22x ωϕωϕ⎛⎫>-≤< ⎪⎝⎭＋的图象关于直线π3x =对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)若π2π263f αα⎛⎫⎫=<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，求3πcos 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．.五.三角函数及解三角形试题解析一.选择题和填空题1全国课标Ⅰ6．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图像大致为( )．解析：由题意|OM |＝|cos x |，f (x )＝|OM ||sin x |＝|sin x cos x |＝1sin 22x ，由此可知C 正确．2.全国课标Ⅰ.8．.设π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1sin tan cos βαβ+=，则( )．A ．π32αβ-＝B ．π32αβ+=C ．π22αβ-=D ．π22αβ+=解析：由已知，得sin 1sin cos cos αβαβ+=， ∴sin αcos β＝cos α＋cos αsin β.∴sin αcos β－cos αsin β＝cos α. ∴sin(α－β)＝cos α，∴sin(α－β)＝πsin 2α⎛⎫-⎪⎝⎭. ∵π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ππ22αβ-<<－，ππ022α<-<，∴π2αβα-=-，∴π22αβ-=.故选C.3.(课标全国Ⅱ4)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ，则AC ＝( )． A ．5 BC ．2D ．1解析：由题意知S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ，即11122B =⨯，解得sin 2B =. ∴B ＝45°或B ＝135°. 当B ＝45°时，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝2212112-⨯+. 此时AC 2＋AB 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意；当B ＝135°时，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝22121(5-⨯+＝，解得AC 符合题意．故选B. 4.(2014课标全国Ⅱ.12)设函数π()3sinx f x m=.若存在f (x )的极值点x 0满足22200+[()]x f x m <，则m 的取值范围是( )． A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞) B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析：∵x 0是f (x )的极值点，∴f ′(x 0)＝0，即0ππcos 0x m m=，得0πππ2x k m =+，k ∈Z ，即012x mk m =+，k ∈Z .∴x 02＋[f (x 0)]2＜m 2可转化为2221π122mk m mk m m m ⎤⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦， k ∈Z ，即2221+32k m m ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，k ∈Z ，即221312k m ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭，k ∈Z .要使原问题成立，只需存在k ∈Z ，使223112k m ⎛⎫->+ ⎪⎝⎭成立即可．又212k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2的最小值为14，∴23114m ->，解得m ＜－2或m ＞2.故选C.5. (大纲全国.3)设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°， c ＝tan 35°，则( )． A ．a ＞b ＞c B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b解析：∵a ＝sin 33°，b ＝cos 55°＝sin 35°，sin 35tan 35cos35c ︒=︒=︒，∴sin 35sin 35sin 33cos35︒>︒>︒︒.∴c ＞b ＞a ，选C.6.（陕西2)函数()πcos 26f x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝的最小正周期是( )．A ．π2B ．πC ．2πD ．4π 解析：f (x )的最小正周期2ππ2T ==. 7.(安徽.6)设函数f (x )(x ∈R )满足 f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x ＜π时， f (x )＝0，则23π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝( )． A ．12 BC ．0D ．12- 解析：由题意得23π17π17π11π11π17πsin sin +sin666666f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭7π17π11π11π17πsin sin +sin 66666f ⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎭⎝⎭＝5π5π11π17π+sin +sin+sin 6666f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ＝111102222+-+=.8.(浙江4)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数 3y x =的图象( )． A ．向右平移π4个单位 B ．向左平移π4个单位 C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位解析：ππsin 3cos 332cos 3412y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=ππcos 33412x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦因此需将函数 3y x =的图象向右平移π12个单位．故选C.9.(江西4)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，π3C =，则△ABC 的面积是( )． A ．3 BCD．解析：在△ABC 中，由已知条件及余弦定理可得c 2＝(a －b )2＋6＝a 2＋b 2－π2cos 3ab ，整理得ab ＝6，再由面积公式1sin 2S ab C =，得1π6sin 23ABC S ∆=⨯⨯=.故选C.10.(辽宁9)将函数π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )． A ．在区间π7π1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减 B ．在区间π7π1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增 C ．在区间ππ63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递减 D ．在区间ππ63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增解析：设平移后的函数为f (x )，则()ππ3sin 223f x x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π3sin 2π3x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭π3sin 23x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.令πππ2π22π232k x k -≤+≤+，k ∈Z ，解得f (x )的递减区间为5ππππ+1212k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，k ∈Z ，同理得递增区间为π7πππ+1212k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，，k ∈Z . 从而可判断得B 正确． 11.(四川3)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )． A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度解析：∵y＝sin(2x＋1)＝1 sin 22x⎛⎫+⎪⎝⎭，∴需要把y＝sin 2x图象上所有的点向左平移1 2个单位长度即得到y＝sin(2x＋1)的图象．12.(重庆10)已知△ABC的内角A，B，C满足sin 2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋12，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是()．A．bc(b＋c)＞8 B．ab(a＋b)＞C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24 解析：由sin 2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋1 2得，sin 2A＋sin[A－(B－C)]＋sin[A＋(B－C)]＝12，所以sin 2A＋2sin A cos(B－C)＝1 2 .所以2sin A[cos A＋cos(B－C)]＝12，所以2sin A[cos(π－(B＋C))＋cos(B－C)]＝12，所以2sin A[－cos(B＋C)＋cos(B－C)]＝12，即得sin A sin B sin C＝1 8 .根据三角形面积公式S＝12ab sin C，①S＝12ac sin B，②S＝12bc sin A，③因为1≤S≤2，所以1≤S3≤8. 将①②③式相乘得1≤S3＝18a2b2c2sin A sin B sin C≤8，即64≤a2b2c2≤512，所以8≤abc≤，故排除C，D选项，而根据三角形两边之和大于第三边，故b＋c＞a，得bc(b＋c)＞8一定成立，而a＋b＞c，ab(a＋b)也大于8，而不一定大于，故选A.13.全国课标Ⅰ.16．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为__________．解析：由正弦定理，可得(2＋b)(a－b)＝(c－b)·c.∵a＝2，∴a2－b2＝c2－bc，即b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理，得2221cos22b c aAbc+-==.∴sin A=.由b2＋c2－bc＝4，得b2＋c2＝4＋bc.∵b2＋c2≥2bc，即4＋bc≥2bc，∴bc≤4.∴1sin2ABCS bc A∆=⋅≤，即(S△ABC)max＝14.（全国课标Ⅱ.14)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为__________．解析：∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cos φ＋cos(x＋φ)sin φ－2sin φcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ＝sin[(x＋φ)－φ]＝sin x.∴f(x)max＝1.15.（大纲全国.16)若函数f(x)＝cos 2x＋a sin x在区间ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭是减函数，则a的取值范围是__．解析：f(x)＝cos 2x＋a sin x＝1－2sin2x＋a sin x.令t＝sin x，∵x∈ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭，∴1,12t⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴g(t)＝1－2t2＋at＝－2t2＋at＋1112t<<，由题意知1222a-≤⨯(-)，∴a≤2，∴a的取值范围为(－∞，2]．16.（北京14)设函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0)．若f(x)在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且π2ππ236f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则f(x)的最小正周期为__________．解析：由f(x)在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且ππ26f f⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知，f(x)有对称中心π,03⎛⎫⎪⎝⎭，由π2π23f f⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知f(x)有对称轴1π27ππ22312x⎛⎫=+=⎪⎝⎭.记f(x)的最小正周期为T ，则1ππ226T ≥-，即2π3T ≥. 故7πππ12344T-==，解得T ＝π. 17.（安徽.11)若将函数()πsin 24f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是__________．解析：把函数()πsin 24f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝的图象向右平移φ个单位，得到()ππsin 2()sin(22)44f x x x ϕϕ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭＝的图象．由()πsin 224f x x ϕ⎛⎫-+⎪⎝⎭＝的图象关于y 轴对称，所以ππ2π42k ϕ-+=+，k ∈Z .即ππ28k ϕ=--，k ∈Z . 当k ＝－1时，φ的最小正值是3π8.18.（天津.12)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知14b c a -=,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为__________．解析：由2sin B ＝3sin C ，结合正弦定理得2b ＝3c ，又14b c a -=，所以32b c =，a ＝2c . 由余弦定理得222cos =2b c a A bc+-＝222322322c c c c c ⎛⎫+-() ⎪⎝⎭⋅⋅＝14-.19.（福建.12)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC =ABC 的面积等于_____．解析：由题意及余弦定理得222216121cos 2242b c a c A bc c +-+-===⨯⨯，解得c ＝2.所以S ＝12bc sin A ＝12×4×2×sin 60°＝故答案为20. (广东12)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab＝________. 解析：因为b cos C ＋c cos B ＝2b ，所以由正弦定理可得sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ，即sin(B ＋C )＝2sin B ，所以sin(π－A )＝2sin B ，即sin A ＝2sin B . 于是a ＝2b ，即2ab=. 21.(四川13)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m ，则河流的宽度BC 约等于__________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.801.73)解析：如图所示，过A 作AD ⊥CB 且交CB 的延长线于D.在Rt △ADC 中，由AD ＝46 m ，∠ACB ＝30° 得AC ＝92 m.在△ABC 中，∠BAC ＝67°－30°＝37°， ∠ABC ＝180°－67°＝113°，AC ＝92 m ，由正弦定理sin sin AC BCABC BAC =∠∠，得92sin113sin37BC =︒︒，即92sin67sin37BC=︒︒，解得92sin3760m sin67BC ︒≈≈︒. 二.解答题1. (大纲全国117满分10分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3a cos C ＝2c cos A ，1tan 3A =，求B . 分析：通过3a cos C ＝2c cos A ，借助于正弦定理把a ，c 转化成关于A ，C 的三角函数值，由已知1tan 3A =，从而求出tan C ，再利用公式 tan B ＝－tan(A ＋C )求出B . 解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A .故3tan A cos C ＝2sin C ，因为1tan 3A =，所以cos C ＝2sin C ，1tan 2C =. 所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C )＝tan tan tan tan 1A CA C +-＝－1，即B ＝135°.2. (陕西16满分)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．分析：在(1)问中结合等差数列性质，得出a ，b ，c 之间关系，再利用正弦定理转化为角的关系，进而结合三角形内角和为π，利用诱导公式将角B 转化为用角A 和C 来表示，从而达到证明目标等式．在(2)问利用等比数列基本性质，得出a ，b ，c 之间关系，再结合余弦定理，表达出cos B 的式子，依据基本不等式得出其范围，注意等号成立的条件．解：(1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 由余弦定理得2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=，当且仅当a ＝c 时等号成立． ∴cos B 的最小值为12. 3. (北京15满分13分)如图，在△ABC 中，π3B ∠=，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，1cos 7ADC ∠=.(1)求sin ∠BAD ；(2)求BD ，AC 的长．分析：(1)先利用三角形中角之间的关系可得 ∠BAD ＝∠ADC －∠B ，然后即可利用两角差的正弦公式求解；(2)在△ABD 中，根据正弦定理，结合(1)即可求得BD ，然后在△ABC 中，直接利用余弦定理求AC 即可．解：(1)在△ADC 中，因为1cos 7ADC ∠=，所以sin ADC ∠. 所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B ) ＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B1127-=(2)在△ABD 中，由正弦定理得8sin 3sin AB BAD BD ADB ⋅∠==∠＝. 在△ABC 中，由余弦定理得 AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49. 所以AC ＝7.4. (天津15满分13分)已知函数()2πcos sin 3f x x x x ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭=，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在闭区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．分析：(1)先利用两角和与差的正弦公式及二倍角的正弦、余弦公式，化简函数解析式为一个角的三角函数的形式，再求周期． (2)可利用函数f (x )在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性求最值．解：(1)由已知，有()21cos sin 2f x x x x x ⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭=＝21sin cos 2x x x ⋅+＝1sin 2(1cos 2)444x x -++＝1sin 2cos 244x x =-＝1πsin 223x ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 所以，f (x )的最小正周期2ππ2T ==. (2)因为f (x )在区间ππ,412⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数，在区间ππ,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，π144f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π1122f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π144f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，函数f (x )在闭区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为14，最小值为12-.5. (安徽16满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .(1)求a 值； (2)求πsin()4A +的值．分析：(1)通过观察给出的条件及求解的问题，先将角的关系化为边的关系．首先由A ＝2B ，得sin A ＝sin 2B ，再由倍角公式将2B 的三角函数化为B 的三角函数，再由正弦定理、余弦定理将角的关系化为边的关系进行求解．(2)由(1)知三边都已确定，先由余弦定理求出cos A 的值，再利用平方关系求出sin A 的值，最后利用两角和的正弦公式求解．解：(1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正弦定理、余弦定理得2222a cb a b +-=⋅.因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a =.(2)由余弦定理得22291121cos263b ca A bc +-+-===-. 由于0＜A ＜π，所以sin 3A ===故πππ2221242sin()sin cos cos sin ()44432326A A A -+=+=⨯+-⨯= ππ122c o s c o s 44A ++-.6. (福建16满分13分)已知函数f(x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若π02α<<，且sin 2α=，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．分析：首先结合已知角的范围，利用同角三角函数的基本关系式及已知的正弦值，求出余弦值，注意符号的判断，然后代入已知的函数关系式，得出结果．在第(2)问中，结合式子特点，利用二倍角公式、两角和与差的三角函数公式以及辅助角公式，得出最终的目标——y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 形式，运用2πT ω=得出周期，再结合三角函数的图象与性质等基础知识求得单调区间，此时要注意复合函数的单调性．另外，也可先化简再分别求解．解法一：(1)因为π02α<<，sin 2α=，所以cos 2α=. 所以()11(22222fα=+-=. (2)因为 f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝11cos21sin 2222x x ++- ＝11sin 2cos222x x + ＝π)24x +，所以2ππ2T ==. 由πππ2π22π242k x k -≤+≤+，k ∈Z ，得3ππππ88k x k -≤≤+，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . 解法二：f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝11cos21sin 2222x x ++- ＝11sin 2cos222x x +＝π224x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. (1)因为π02α<<，sin α=，所以π4α=，从而()π3π1)442f αα+==.(2) 2ππ2T ==. 由πππ2π22π242k x k -≤+≤+，k ∈Z ，得3ππππ88k x k -≤≤+，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z. 7. (湖北.17满分11分)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：()ππ10sin 1212f t t t ⋅-=，t ∈[0,24)． (1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？分析：由函数f (t )为a cos t ＋b sin t 型，故可利用辅助角公式对f (t )化简为f (t )＝10－2sin ππ123t ⎛⎫+⎪⎝⎭，再根据t ∈[0,24)，把ππ123t +的范围求出，再利用单位圆或者正弦函数的图象求出ππsin 123t ⎛⎫+⎪⎝⎭的范围，从而求得f (t )的最大与最小值．对于第(2)问，要求实验室温度不高于11 ℃，即满足不等式f (t )＞11的t 的范围就是实验室需要降温的时间段，可利用正弦曲线或单位圆来解三角不等式．解：(1)因为()π1πππ102sin 102sin 12212123f t t t t ⎫⎛⎫+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝－，又0≤t ＜24，所以πππ7π+<31233t ≤， ππ1sin +1123t ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭－.当t ＝2时，ππsin +1123t ⎛⎫= ⎪⎝⎭；当t ＝14时，ππsin +1123t ⎛⎫= ⎪⎝⎭.于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.(2)依题意，当f (t )＞11时实验室需要降温．由(1)得()ππ102sin +123f t t ⎛⎫⎪⎝⎭=-，故有ππ102sin +11123t ⎛⎫>⎪⎝⎭-，即ππ1sin +1232t ⎛⎫<- ⎪⎝⎭.又0≤t ＜24，因此7πππ11π61236t <+<，即10＜t ＜18.在10时至18时实验室需要降温．8. (湖南18满分12分)如图，在平面四边形ABCD中，AD ＝1，CD ＝2，AC =.(1)求cos ∠CAD 的值； (2)若cos BAD ∠=，sin 6CBA ∠=，求BC 的长．分析：对于第(1)问，由已知△ACD 中三边求角，很容易想到利用余弦定理进行求解．对于第 (2)问，目标为求BC 的长度，而BC 是△ABC 中的边．又AC 已知，AC 所对的角∠CBA 的正弦已知，所以联想到利用正弦定理来求，但需要 ∠BAC 的正弦值．而已知中有cos ∠BAD 的值，发现∠BAC ＝∠BAD －∠CAD ，因此用两角差的正弦公式求得sin ∠BAC ，从而问题得解．解：(1)如题图，在△ADC 中，由余弦定理，得222cos 2AC AD CD CAD AC AD+-∠=⋅.故由题设知，cos CAD ∠==(2)如题图，设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD .因为cos 7CAD ∠=，cos 14BAD ∠=-，所以cos CAD ∠sinBAD ∠于是sinα＝sin(∠BAD －∠CAD )＝sin ∠BAD cos ∠CAD －cos ∠BAD sin ∠CAD＝147⎛-⨯= ⎝⎭. 在△ABC 中，由正弦定理，sin sin BC AC CBAα=∠.故sin 3sin AC BC CBA α⋅===∠ 9. (浙江18满分14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b，c =22cos cos cos cos A B A A B B -. (1)求角C 的大小；(2)若4sin 5A =，求△ABC 的面积．分析：(1)将已知等式运用二倍角的正、余弦公式和辅助角公式化为2A,2B 的三角函数式，结合角A ，B 的范围求出2A,2B 的关系式，然后求出角C .(2)由(1)知C ，又已知sin A ，c ，则可由sin sin a cA C=求出a ，则由 1sin 2ABC S ac B ＝知，只需求sin B 即可．结合B ＝π－(A ＋C )运用两角和的正弦公式可求sin B .解：(1)由题意得1cos 21cos 2 2 22A B A B ++-=， 11 2cos 2 2cos 222A AB B -=-，ππsin 2sin 266A B ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由a ≠b ，得A ≠B ，又A ＋B ∈(0，π)，得ππ22π66A B -+-=，即2π3A B +=，所以π3C =.(2)由c =4sin =5A ，=sin sin a cA C，得8=5a .由a ＜c ，得A ＜C ，从而3cos 5A =，故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C＝410+. 所以△ABC 的面积为1sin 2S ac B ==10. (广东.16满分12分)已知函数π()sin 4f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R ，且5π3122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (1)求A 的值；(2)若()3()2f f θθ-+＝，π02θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，求3π4f θ⎛⎫-⎪⎝⎭. 解：(1)∵π()sin 4f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且5π3122f ⎛⎫=⎪⎝⎭， ∴5π5ππ2πsin sin 121243f A A ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝32A ⋅=.∴A =(2)∵π()4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且()3()=2f f θθ-+，∴()ππ()44f f θθθθ⎛⎫⎛⎫+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ππππsin cos cos sin sin cos cos sin 4444θθθθ⎤⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦π32cos sin=42θθ， ∴cos θ=，且π02θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，.∴sin θ==. ∵3π3ππ444f θθ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π =4θθ-. 11. (江西16满分12分)已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a∈R ，ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. (1)当a =π4θ=时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值； (2)若π02f ⎛⎫=⎪⎝⎭，f (π)＝1，求a ，θ的值．分析：(1)先将a =π4θ=代入f (x )，再利用两角和的正弦公式和余弦公式对f (x )进行化简，最终化成一个三角函数值的形式，根据所给角的范围，借助于数形结合求出最大值和最小值；(2)利用所给条件列出方程联立成方程组求出a ，θ. 解：(1)ππ()sin 42f x x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22πcos )cos sin sin 224x x x x x x ⎛⎫=-=- ⎪＋ πcos )2sin cos sin 224x x x x x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭＋，因为x ∈[0，π]，从而π3ππ,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.故f (x )在[0，π]，最小值为－1.(2)由π()0,2(π)0,f f ⎧=⎪⎨⎪=⎩得2cos (12sin )02sin sin 1,a a a θθθθ-=⎧⎨--=⎩，又ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，知cos θ≠0，解得1,π.6a θ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩12. (辽宁17满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)c os(B －C )的值．分析：(1)将条件中的2BA BC ⋅=，转化为边角的量表示，可得a 与c 的关系，再结合余弦定理列方程组求解．(2)由(1)及正弦定理可得sin C ，进而求出c os C ，再由两角差的余弦公式求出c os(B －C )的值．解：(1)由2BA BC ⋅=，得c ·ac os B ＝2. 又1cos 3B =，所以ac＝6. 由余弦定理，得a 2＋c2＝b 2＋2acc os B .又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.解226,13,ac a c=⎧⎨+=⎩得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2. 因a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin 3B ===，由正弦定理，得2sin sin 339c C B b ==⋅=. 因a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此7cos 9C ===. 于是c os(B －C )＝c os Bc os C ＋sin B sin C 17233927=⋅= 13. (山东16满分12分)已知向量a ＝(m ，cos 2x )， b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图象过点π12⎛ ⎝和点2π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．分析：在第(1)问中，可先根据向量数量积坐标运算整理出f (x )的解析式，再由图象过两点，代入整理可得关于m ，n 的方程组，利用此方程组即得m ，n 的值．在第(2)问中，通过图象平移知识，可得含参数φ的g (x )的解析式，从中设出最高点，然后根据两点距离为1，可确定最高点的坐标，代入可求出g (x )确定的解析式，从而求出单调区间．解：(1)由题意知f (x )＝a·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x . 因为y ＝f (x )的图象过点π12⎛⎝和2π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以ππsin cos 664π4π2sin cos 33m n m n =+⎨⎪-=+⎪⎩，，即1,212,2m n =⎨⎪-=-⎪⎩ 解得m =n ＝1.(2)由(1)知()2cos2f x x x =+π2sin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由题意知()π()2sin 226g x f x x ϕϕ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭.设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)，由题意知2011x +=，所以x 0＝0，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．将其代入y ＝g (x )得πsin 216ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0＜φ＜π，所以π6ϕ=.因此()π2sin 22cos 22g x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，得πππ2k x k -≤≤，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为ππ,π2k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 14. (四川16满分12分)已知函数()πsin 34f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，4πcos cos 2354f ααα⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos α－sin α的值．分析：在第(1)问，通过整体思想，将π34x +看作一个整体，借助y ＝sin x 的单调递增区间，解不等式求出x 的范围得到f (x )的单调递增区间，要注意k ∈Z 不要漏掉；在第(2)问，利用已知条件求出3f α⎛⎫⎪⎝⎭，然后利用和角公式展开整理，得到关于sin α＋cos α与cos α－sin α的方程，再对sin α＋cos α与0的关系进行讨论，得到 cos α－sin α的值．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为ππ2π,2π22k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，由πππ2π32π242k x k -+≤+≤+，k ∈Z ，得π2ππ2π43123k k x -+≤≤+，k ∈Z .所以，函数f (x )的单调递增区间为π2ππ2π,43123k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . (2)由已知，有π4πsin cos 454αα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(cos 2α－sin 2α)，所以ππ4ππsin coscos sin (cos cos sin sin )(c 44544αααα+=-， 22ππ4ππsin cos cos sin (cos cos sin sin )(cos sin )44544αααααα+=-- 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4＋2k π，k ∈Z . 此时，cos α－sin α＝当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝54. 由α是第二象限角，知cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝2-综上所述，cos α－sin α＝15. (重庆17满分13分)已知函数f (x )＝1π)0,22x ωϕωϕ⎛⎫>-≤< ⎪⎝⎭＋的图象关于直线π3x =对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)若π2π263f αα⎛⎫⎫=<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，求3πcos 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．分析：在第(1)问中主要考查了三角函数的周期和对称性，两最高点之间的距离是一个周期，从而根据公式2πT ω=，准确求出ω；而求φ，则根据对称轴处取最值并结合φ的取值范围给k赋值才能准确求出φ.第(2)问中已知2f α⎛⎫=⎪⎝⎭，结合α的范围判断并求出πcos 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，然后进一步将3cos π2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭转化成sin α，而后将α写成π6α-加上π6的形式，从而求出最后的值，该题解答过程中，必须熟练运用诱导公式及两角和差的三角函数公式．解：(1)因f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而2π=2Tω=. 又因f (x )的图象关于直线π3x =对称，所以ππ2π+32k ϕ⋅+=，k ＝0，±1，±2，…. 因ππ22ϕ-≤<得k ＝0，所以π2ππ236ϕ=-=-.(2)由(1)得π2226f αα⎛⎫⎛⎫=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π1sin =64α⎛⎫- ⎪⎝⎭.由π2π63α<<得ππ062α<-<，所以πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭==.因此3πππcos sin sin 266ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+==-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππππ13151315sin cos cos sin 666642428αα+⎛⎫⎛⎫=-+-=⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ11cos sin 6642428α⎛⎫-=+=⎪⎝⎭。

2014高考数学一轮总复习 5.7 正弦定理和余弦定理教案理新人教A版

5.7 正弦定理和余弦定理典例精析题型一利用正、余弦定理解三角形【例1】在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1，cos C ＝34. (1)求sin A 的值；(2)求BC •CA 的值.【解析】(1)由cos C ＝34得sin C ＝74. 所以sin A ＝BC sin C AB ＝1×742＝148. (2)由(1)知，cos A ＝528. 所以cos B ＝－cos(A ＋C)＝－cos Acos C ＋sin Asin C＝－15232＋7232＝－24. 所以BC ·CA ＝BC ·(CB ＋BA )＝BC •CB ＋BC •BA＝－1＋1×2×cos B＝－1－12＝－32. 【点拨】在解三角形时，要注意灵活应用三角函数公式及正弦定理、余弦定理等有关知识.【变式训练1】在△ABC 中，已知a 、b 、c 为它的三边，且三角形的面积为a2＋b2－c24，则∠C ＝ .【解析】S ＝a2＋b2－c24＝12absin C. 所以sin C ＝a2＋b2－c22ab＝cos C.所以tan C ＝1，又∠C ∈(0，π)，所以∠C ＝π4. 题型二利用正、余弦定理解三角形中的三角函数问题【例2】设△ABC 是锐角三角形，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 所对的边长，并且sin2A ＝sin(π3＋B)sin(π3－B)＋sin2B. (1)求角A 的值； (2)若AB •AC ＝12，a ＝27，求b ，c(其中b ＜c).【解析】(1)因为sin2A ＝(32cos B ＋12sin B)(32cos B －12sin B)＋sin2B ＝34cos2B －14sin2B ＋sin2B ＝34，所以sin A ＝±32.又A 为锐角，所以A ＝π3.(2)由AB •AC ＝12可得cbcos A ＝12.① 由(1)知A ＝π3，所以cb ＝24.② 由余弦定理知a2＝c2＋b2－2cbcos A ，将a ＝27及①代入得c2＋b2＝52.③③＋②×2，得(c ＋b)2＝100，所以c ＋b ＝10.因此，c ，b 是一元二次方程t2－10t ＋24＝0的两个根.又b ＜c ，所以b ＝4，c ＝6.【点拨】本小题考查两角和与差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，特殊角的三角函数值，向量的数量积，利用余弦定理解三角形等有关知识，考查综合运算求解能力.【变式训练2】在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，且满足(2a －c)cos B ＝ bcos C.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝7，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积.【解析】(1)在△ABC 中，由正弦定理得a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C ，代入(2a －c)cos B ＝bcos C ，整理得2sin Acos B ＝sin Bcos C ＋sin C •cos B ，即2sin Acos B ＝sin(B ＋C)＝sin A ，在△ABC 中，sin A ＞0,2cos B ＝1，因为∠B 是三角形的内角，所以B ＝60°.(2)在△ABC 中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac •cos B＝(a ＋c)2－2ac －2ac •cos B ，将b ＝7，a ＋c ＝4代入整理，得ac ＝3.故S △ABC ＝12acsin B ＝32sin 60°＝334. 题型三正、余弦定理在实际问题中的应用【例3】(2013陕西模拟)如图所示，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点.现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D 点需要多长时间？【解析】由题意知AB ＝5(3＋3)(海里)，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，所以∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB 中，由正弦定理得DB sin ∠DAB ＝AB sin ∠ADB，所以DB ＝ADB DAB AB ∠∠•sin sin ＝︒︒+•105 sin 45 sin )33(5＝︒︒+︒︒︒+•60 sin 45 cos 60 cos 45 sin 45 sin )33(5＝53(3＋1)3＋12＝103(海里).又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203海里，在△DBC 中，由余弦定理得 CD2＝BD2＋BC2－2BD •BC •cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×12＝900，所以CD ＝30(海里)，则需要的时间t ＝3030＝1(小时). 所以，救援船到达D 点需要1小时.【点拨】应用解三角形知识解决实际问题的基本步骤是：(1)根据题意，抽象地构造出三角形；(2)确定实际问题所涉及的数据以及要求解的结论与所构造的三角形的边与角的对应关系；(3)选用正弦定理或余弦定理或者二者相结合求解；(4)给出结论.【变式训练3】如图，一船在海上由西向东航行，在A 处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进m km 后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n km 范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件时，该船没有触礁危险.【解析】由题可知，在△ABM 中，根据正弦定理得BM sin(90°－α)＝m sin(α－β)，解得BM ＝mcos αsin(α－β)，要使船没有触礁危险需要BMsin(90°－β)＝mcos αcos βsin(α－β)＞n.所以α与β的关系满足mcos αcos β＞nsin(α－β)时，船没有触礁危险.总结提高1.正弦定理、余弦定理体现了三角形中角与边存在的一种内在联系，如证明两内角A ＞B 与sin A ＞sin B 是一种等价关系.2.在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系转化，统一转化为边的关系或统一转化为角的关系，再用恒等变形(如因式分解、配方)求解，注意等式两边的公因式不要随意约掉，否则会漏解.3.用正弦定理求角的大小一定要根据题中所给的条件判断角的范围，以免增解或漏解.。

【创新方案】(浙江专版)2014届高考数学一轮复习 3.7 正弦定理和余弦定理限时集训理

限时集训(二十一) 正弦定理和余弦定理(限时：50分钟满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．(2012·某某高考)在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是( ) A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形 D．不能确定2．(2012·某某高考)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝( ) A．4 3 B．2 3C. 3D.3 23．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2b cos C，则此三角形一定是( )A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形4．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋3945．(2013·某某模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sin2B＋sin2C －sin2A＋sin B sin C＝0，则tan A的值是( )A.33B．－33C. 3 D．－ 36．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为( )A.32B.22C.12D．－127．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b＝5c，C＝2B，则cos C ＝( )A.725B．－725C ．±725D.24258．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A.32B.34 C.32或 3 D.32或34二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．(2012·高考)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.10．(2012·某某高考)已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．11．在△ABC 中，三边a ，b ，c 所对的角分别为角A ，B ，C ，若a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝0，则角C 的大小为________．12．(2012·某某高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________.13．在△ABC 中，D 为边BC 的中点，AB ＝2，AC ＝1，∠BAD ＝30°，则AD 的长度为________． 14．(2013·某某模拟)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若ba＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan C tan B＝________. 三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，求C .16．(2012·某某高考)在△ABC中，已知AB·AC＝3BA·BC.(1)求证：tan B＝3tan A；(2)若cos C＝55，求A的值．17．(2012·某某高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A＝23，sin B＝5cos C.(1)求tan C的值；(2)若a＝2，求△ABC的面积．答案[限时集训(二十一)]1．A 2.B 3.C 4.B 5.D 6.C 7.A 8.D9．4 10.－2411.34π12.14513.3214.415．解：由B＝π－(A＋C)，得cos B ＝－cos(A ＋C )．于是cos(A －C )＋cos B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2sin A sin C ，由已知得sin A sin C ＝12. ①由a ＝2c 及正弦定理得 sin A ＝2sin C . ② 由①②得sin 2C ＝14，于是sin C ＝－12(舍去)，或sin C ＝12.又a ＝2c ，所以C ＝π6.16．解：(1)因为AB ·AC ＝3BA ·BC ，所以AB ·AC ·c os A ＝3BA ·BC ·cos B ，即AC ·cos A ＝3BC ·cos B ，由正弦定理知AC sin B ＝BCsin A，从而sin B cos A ＝3sin A cos B ，又因为0＜A ＋B ＜π，所以cos A ＞0，cos B ＞0，所以tan B ＝3tan A . (2)因为cos C ＝55，0＜C ＜π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝255，从而tan C ＝2，于是tan[π－(A ＋B )]＝2，即tan(A ＋B )＝－2，亦即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－2.由(1)得4tan A1－3tan 2A ＝－2，解得tan A ＝1或－13，因为cos A ＞0，故tan A ＝1，所以A ＝π4.17．解：(1)因为0＜A ＜π，cos A ＝23，得sin A ＝1－cos 2A ＝53. 又5cos C ＝sin B ＝sin (A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C . 所以tan C ＝ 5.(2)由tan C ＝5，得sin C ＝56，cos C ＝16.于是sin B ＝5cos C ＝56 .由a ＝2及正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝ 3.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ac sin B ＝52.。

2014届高考数学(理)一轮复习【配套文档】：第四篇第5讲两角和与差的正弦、余弦和正切含答案

第5讲两角和与差的正弦、余弦和正切A级基础演练(时间:30分钟满分:55分)一、选择题(每小题5分，共20分）1。

错误!＝（）．A．2 B。

错误! C.错误!D。

错误!解析原式＝错误!＝错误!＝错误!.答案D2．(2013·汕头调研）若错误!＝错误!，则tan 2α等于( )．A.错误!B．－错误!C。

错误!D．－错误!解析错误!＝错误!＝错误!＝错误!，∴tan α＝2，∴tan 2α＝错误!＝错误!＝－错误!，故选D。

答案D3．若tan错误!＝3，则错误!＝( )．A．3 B．－3 C。

错误!D．－错误!解析∵tan错误!＝错误!＝3，∴tan θ＝－错误!.∴错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝3。

答案A4．(2013·东北三校)已知sin θ＋cos θ＝错误!错误!，则sin θ－cos θ的值为（）．A。

错误!B．－错误!C。

错误!D．－错误!解析∵sin θ＋cos θ＝错误!，∴（sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝错误!，∴sin 2θ＝错误!，又0〈θ<错误!，∴sin θ<cos θ.∴sin θ－cos θ＝－错误!＝－1－sin 2θ＝－错误!。

答案B二、填空题(每小题5分,共10分）5．设f（x)＝错误!＋sin x＋a2sin错误!的最大值为错误!＋3，则常数a＝________。

解析f（x）＝错误!＋sin x＋a2sin错误!＝cos x＋sin x＋a2sin错误!＝错误!sin错误!＋a2sin错误!＝（错误!＋a2）sin错误!.依题意有错误!＋a2＝错误!＋3，∴a＝±错误!.答案±错误!6．(2012·江苏）设α为锐角，若cos错误!＝错误!，则sin错误!的值为________．解析∵α为锐角且cos错误!＝错误!，∴α＋错误!∈错误!,∴sin错误!＝错误!。

∴sin错误!＝sin错误!＝sin 2错误!cos 错误!－cos 2错误!sin 错误!＝2sin错误!cos错误!－错误!错误!＝错误!×错误!×错误!－错误!错误!＝错误!－错误!＝错误!。

2014年高三数学试题-三角形与三角函数(包含答案)

2014年高三数学试题-三角形与三角函数(包含答案)D即249255ACAC=++，整理得25240AC AC +-=，由于0AC >，解得3AC =，由正弦定理得sin 3sin sin sin 5AC AB B AC B C C AB =⇒==. 考点：1.余弦定理；2.正弦定理8.【广东省惠州市2014届高三第二次调研考试】若tan()2πα-=，则sin 2α= .9.在ABC ∆中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，则AC = .10.已知}{n a 为等差数列，若1598a a a π++=，则)cos(82a a +的值为________.【答案】12-. 【解析】试题分析：由于数列{}na 为等差数列，所以159538a a a a π++==，所以1951623a aa π+==，故 ()19161cos coscos 5cos 3332a a ππππ⎛⎫+==+=-=- ⎪⎝⎭.考点：1.等差数列的性质；2.诱导公式二．能力题组1.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①()sin cos f x x x =； ②()2sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； ③()sin 3cos f x x x=+； ④()2sin 21f x x =+．其中“同簇函数”的是（）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④2.已知3177cos ,45124x x πππ⎛⎫+=<<⎪⎝⎭，则2sin 22sin 1tan x xx+=-（）A.2875-B.2875C.21100- D.211003.在ABC ∆中，已知a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠所对的边，S 为ABC ∆的面积，若向量()2224,p a b c =+-，()1,q S =满足//p q ，则C ∠= .考点：1.平面向量共线；2.三角形的面积公式；3.余弦定理；4.同角三角函数的商数关系4.下面有四个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π； ②函数x x y cos 4sin 3+=的最大值是5；③把函数)32sin(3π+=x y 的图象向右平移6π得xy 2sin 3=的图象；④函数)2sin(π-=x y 在),0(π上是减函数. 其中真命题的序号是5.数列{}n a 满足：12a =，111n n a a -=-()2,3,4,n =，若数列{}na 有一个形如()3sin na n ωϕ=+12+的通项公式，其中ω、ϕ均为实数，且0ω>，2πϕ<，则ω=________，ϕ= .三．拔高题组1.在ABC ∆中，角A 、B 、C 对的边分别为a 、b 、c ，且2,60c C ==.（1）求sin sin a bA B++的值；（2）若a b ab +=，求ABC ∆的面积ABCS ∆．ABC S ∆=1sin 2ab C 计算ABC ∆的面积.2.已知向量(cos ,sin ),(cos ,cos )a x xb x x ==-，(1,0)c =-（1）若,,6x a c π=求向量的夹角; （2）当]89,2[ππ∈x 时，求函数)(x f =b a ⋅2+1的最大值.试题解析：（1）当6x π=时，31(,)2a = cos ,||||a ca c a c <>=3=0,a c π≤<>≤ 5,6a c π∴<>的夹角为；3.已知向量)1,(sin ),31cos ,3(x b x a =-=，函数ba x f•=)(.将函数()yf x 的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的12，把所得到的图象再向左平移3π个单位，得到函数()yg x 的图象.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若ba ⊥,求()yg x 的值.试题解析：（1）31cos sin 3)(-+=•=x x b a x f=31)6sin(2-+πx ， )(22622Z k k x k ∈+≤+≤-∴πππππ4.设()6cos ,3a x =-，()cos ,sin 2b x x =，()f x a b =⋅.（1）求()f x 的最小正周期、最大值及()f x 取最大值时x 的集合；（2）若锐角α满足()323f α=-，求4tan 5α的值.()23236f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后利用相关公式求出函数()f x 的最小正周期，并令226x k ππ+= ()k Z ∈求出函数()f x 的最大值以及取最大值时x 的取值集合；（2）先利用已知条件()323f α=-并结合角α为锐角这一条件求出角α的值，并最终求出4tan 5α的值.5.如图，已知点()3,4A ，()2,0C ，点O 为坐标原点，点B 在第二象限，且3OB =，记AOC θ∠=. （1）求sin 2θ的值；（2）若7AB =，求BOC ∆的面积.考点：1.三角函数的定义；2.二倍角公式；3.余弦定理；4.两角和的正弦公式；5.三角形的面积6.已知函数()()=-f x x x x2sin cos sin.（1）当0xπ<<时，求()f x的最大值及相应的x值；（2）利用函数siny x=的图象经过怎样的变换得到()f x的图象.方法2：把函数sin=图象上的点横坐标变为原来y x的12倍，7.已知函数(3sin 2cos 2f x x x=-）.（1）求函数()f x 的最小正周期和最值；（2）求函数()f x 的单调递减区间．（2）由≤-≤+6222πππx k )(232z k k ∈+ππ，得)(653z k k x k ∈+≤≤+ππππ，∴单调递减区间为)](65,3[z kk k ∈++ππππ. 考点：1.辅助角公式；2.三角函数的周期；3.三角函数的最值；4.三角函数的单调区间8.已知ABC ∆中，三条边a b c 、、所对的角分别为A 、B 、C ，且sin 3cos b A a B =.（1）求角B 的大小；（2）若2()3sin cos cos f x x x x =+，求()f A 的最大值.9.已知(22cos 3a x =，()1,sin 2b x =，函数()1f x a b =⋅-，()21g x b =-.（1）求函数()g x 的零点的集合；（2）求函数()f x 的最小正周期及其单调增区间.【答案】（1）函数()g x 的零点的集合是,2k x x k Z π⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭；（2）函数()f x 的最小正周期为π，单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】10.在ABC ∆中，已知内角3A π=，边23BC =设内角B x =，ABC ∆的面积为y .（1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求函数()y f x =的值域.（2）203x π<<，72666x πππ∴-<-<，故1sin 2126x π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭， ()033f x ∴<≤，即函数()f x 的值域为(0,33.考点：1.正弦定理；2.三角形的面积公式；3.二倍角公式；4.辅助角公式；5.三角函数的最值 11.已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图像如图所示.（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若),2,0(,1)62(πθπθ∈=+f 求).4cos(πθ-试题解析：（1）由图象知2A =()f x 的最小正周期54()126T πππ=⨯-=,故22Tπω== 将点(,2)6π代入()f x 的解析式得sin()13πϕ+=,又||2πϕ<, ∴6πϕ= 故函数()f x 的解析式为()2sin(2)6f x x π=+；（2）()2sin(2)6f x x π=+，2sin 2()2sin 2cos 1262662f θπθπππθθ⎛⎫⎡⎤⎛⎫+=++=+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭13cos 0sin 22πθθθ⎛⎫∴=∈= ⎪⎝⎭又，所以62cos cos cos sin sin 444πππθθθ+⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭.考点：1.三角函数的图象；2.同角三角函数的平方关系；3.两角差的余弦公式12.已知函数()12sin 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x R ∈.（1）求54f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（2）设α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，103213f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()6325f βπ+=，求()cos αβ+的值.所以()1235416cos cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=. 考点：1.同角三角函数的基本关系；2.两角和的余弦公式13.设向量()6cos ,3a x =-，()cos ,sin 2b x x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）若23a =，求x 的值；（2）设函数()f x a b =⋅，求()f x 的最大、最小值.考点：1.平面向量模的计算；2.平面向量的数量积；3.二倍角公式；4.辅助角公式；5.三角函数的最值。

高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理(二)

高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理(二)考点一有关三角形面积的计算例、(1)(△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝7，c ＝4，cos B ＝34，则△ABC 的面积等于( )A ．37 B.372 C ．9 D.92(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，则B ＝________. 变式练习1.(变条件)本例(1)的条件变为：若c ＝4，sin C ＝2sin A ，sin B ＝154，则S △ABC ＝________. 2.(变结论)本例(2)的条件不变，则C 为钝角时，ca 的取值范围是________．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(2b －a )cos C ＝c cos A .(1)求角C 的大小；(2)若c ＝3，△ABC 的面积S ＝433，求△ABC 的周长．[解题技法]1．求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．考点二平面图形中的计算问题例、如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π4，AB ⊥AD ，AB ＝1.(1)若AC ＝5，求△ABC 的面积； (2)若∠ADC ＝π6，CD ＝4，求sin ∠CAD .[解题技法]与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路：求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．跟踪训练1.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为________．2.如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，且∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列．(1)求sin ∠CED ； (2)求BE 的长．考点三三角形中的最值、范围问题例、(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，A ≠π2，sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，则角A的取值范围为( ) A.]6,0(πB.]4,0(πC.]4,6[ππD.]3,6[ππ (2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2A ＋cos 2B ＝2cos 2C ，则cos C 的最小值为( ) A.32 B.22 C.12 D ．－12[解题技法]1．三角形中的最值、范围问题的解题策略解与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角取值范围等求解即可．2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．(2)注意题目中的隐含条件，如A ＋B ＋C ＝π，0<A <π，b －c <a <b ＋c ，三角形中大边对大角等．跟踪训练1．在钝角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为钝角，若a cos A ＝b sin A ，则sin A ＋sin C 的最大值为( )A. 2B.98 C ．1 D.782．在△ABC 中，已知c ＝2，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，则a ＋b 的取值范围为________． 3．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos B b ＋cos C c ＝sin A3sin C.(1)求b 的值；(2)若cos B ＋3sin B ＝2，求△ABC 面积的最大值．考点四解三角形与三角函数的综合应用考法(一) 正、余弦定理与三角恒等变换例、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝ac os ⎪⎭⎫⎝⎛-6πB . (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．考法(二) 正、余弦定理与三角函数的性质例、已知函数f (x )＝c os 2x ＋3sin(π－x )c os(π＋x )－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，b sin C ＝a sin A ，求△ABC 的面积．跟踪训练1.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，(2a －c )cos B －b cos C ＝0. (1)求角B 的大小；(2)设函数f (x )＝2sin x cos x cos B －32cos 2x ，求函数f (x )的最大值及当f (x )取得最大值时x 的值．课后作业1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为( ) A.12 B.14C ．1D ．2 2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，则角B 的大小为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π63．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝3，S △ABC ＝22，则b 的值为( )A ．6B ．3C ．2D ．2或34．在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，t a n ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( ) A ．1 B.2 C. 3 D ．25．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a sin B ＝3b cos A ，当b ＋c ＝4时，△ABC 面积的最大值为( ) A.33 B.32C.3 D ．23 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( )A ．2＋ 3B ．2＋2C ．3D ．3＋2 7．在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 12b cos A ＝sin B ，且a ＝23，b ＋c ＝6，则△ABC 的面积为________．9．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠BAC ＝π2，点D 在边BC 上，AD ＝1，且BD＝2DC ，∠BAD ＝2∠DAC ，则sin Bsin C＝________.10．如图所示，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足，若DE ＝22，则cos A ＝________.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c (1＋cos B )＝b (2－cos C )．(1)求证：2b ＝a ＋c ；(2)若B ＝π3，△ABC 的面积为43，求b .12．在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长； (2)求c os ⎪⎭⎫⎝⎛-6πA 的值．提高训练1．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝2A，则2ba的取值范围是()A．(2，2)B．(2，6)C．(2，3)D．(6，4)2．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋bc os2A＝2a，则角A的取值范围是________．3．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝2，BD＝5，∠BCD＝2∠ABD，△ABD的面积为2.(1)求AD的长；(2)求△CBD的面积．。

2014届高三数学理科第一轮复习单元过关自测9--数列、不等式、数学归纳法

2014届高三数学理科单元过关自测(九)（数列、不等式、数学归纳法）一、选择题：1、不等式2210x x -->的解集是（）A ．），（121- B.），（∞+1 C ．），（），（∞+∞-21 D ．），（），（∞+-∞-121 2.下列命题中正确的是 ( )A.xx y 1+=的最小值是2 B.x x y x sin 2sin ),,0(+=∈π的最小值是22C.4522++=x x y 的最小值是2 D.+∈R x ,x x y 432--=的最大值是342-3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若35a a ＝95，则59S S ＝( )．A ．1B ．－1C ．2D ．21 4.已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<,则k =( )A. 9B. 8C. 7D. 65、对任何实数x ，若不等式12x x k +-->恒成立，则实数k 的取值范围为 ( )(A)k<3(B)k<-3(C)k ≤3(D) k ≤-36、已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0222x y x y⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定，若(),M x y 为D 上的动点，点A 的坐标为()2,1，则z OM OA =⋅的最大值为（）A ．3B ．4C ．32D ．427、已知),2(241321...2111N n n n n n ∈≥>+++++过程中，由"1"""+==k n k n 变到时，不等式左边的变化是（）A ．)1(21++k B ．11221121+-++++k k k C ．11221+-++k k D ．)1(21121++++k k 8、如果c bx x x f ++=2)(对于任意实数t 都有)3()3(t f t f -=+，那么（）A .)4()1()3(f f f <<B .)4()3()1(f f f <<C .)1()4()3(f f f <<D .)1()3()4(f f f <<班别：姓名：学号：成绩：一、选择题答案1 2 3 4 5 6 7 8二、填空题9. 不等式1|31|≥-+x x 的解集是 . 10. 已知递增的等差数列{}n a 满足21321,4a a a ==-，则_____n a =11、已知变量x ，y 满足约束条件30111x y x y -+≥⎧⎪-≤≤⎨⎪≥⎩则z x y =+的最大值是________。

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第1页，共15页 2014届高三理科数学一轮复习试题选编9：正余弦定理一、选择题 1 ．（北京四中2013届高三上学期期中测验数学(理)试题）边长为的三角形的最大角与最小角的和是（）

A． B． C． D．二、填空题

2 ．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题）在ABC△中，若22b,1c，tan22B，则a= . 3 ．（2013北京顺义二模数学理科试题及答案）设ABC的内角CBA,,的对边分别为cba,,,且5,4,31cosbBA,则Csin__________,ABC的面积S__________.

4 ．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题）在△ABC中，角CBA,,所对的边分别为cba,,，

,13,3,3Aab则c ，△ABC的面积等于 .

5 ．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题）在ABC中，若2,60,7aBb，则BC边上的高等于． 6 ．（2013北京西城高三二模数学理科）在△ABC中,2BC,7AC,3B,则AB______;△ABC的面积是______. 7 ．（2013届北京市延庆县一模数学理）在ABC中，cba,,依次是角CBA,,的对边，且cb.若

6,32,2Aca，则角C .

8 ．（北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）在△ABC中,若∠B=4,b=2a,则∠C=__________________. 9 ．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））在ABC中,若

815sin,41cos,4ABb,则a_______,c________.

10．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学理试题）已知ABC中，AB=3，BC=1，sin3cosCC，则ABC的面积为______．

11．（2013届北京海滨一模理科）在ABC中，若4,2,ab1cos4A，则_____,sin____.cC 第2页，共15页

12．（2012北京理）11.在△ABC中,若a=2,b+c=7,cosB=41,则b=_______. 13．（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）在ABC中,30,45,2ABa,则_____;bC_____.ABS

14．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）在ABC中, a,b,c分别为角A, B ,C所对的边.已知角A为锐角,且3sinbaB, 则tanA_________.

15．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）在△ABC中，若π,24Bba，则C ．

16．（2010年高考（北京理））在△ABC中,若b = 1,c =3,23C,则a =__________｡

17．（2011年高考（北京理））在ABC中,若5,,tan2,4bBA则sinA___________;a____________.

18．（2013北京房山二模数学理科试题及答案）在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是abc,,.326abA,,,则tanB____. 三、解答题 19．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））已知函数22()cos23sincossinfxxxxx (I)求()fx的最小正周期和值域; (Ⅱ)在ABC中,角,,ABC所对的边分别是,,abc,若()22Af且2abc,试判断ABC 的形状.

20．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）在△ABC中，已知3sin21cos2BB．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若2BC，4A，求△ABC的面积．第3页，共15页

21．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））如图,在直角坐标系xOy中,点P是单位圆上的动点,过点P作x轴的垂线与射线3(0)yxx交于点Q,与x轴交于点M.记MOP,且ππ(,)22.

(Ⅰ)若1sin3,求cosPOQ; (Ⅱ)求OPQ面积的最大值.

22．（北京市海淀区2013届高三上学期期中练习数学（理）试题）在ABC中,4A,tan()7AB,32AC.

(Ⅰ)求sinC的值; (Ⅱ)求ABC的面积.

23．（2013北京丰台二模数学理科试题及答案）已知ABC的三个内角分别为A,B,C,且22sin()3sin2.BCA

(Ⅰ)求A的度数; (Ⅱ)若7,5,BCAC求ABC的面积S.

24．（北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学）(本小题满分13分) 已知:在ABC中, a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且角C为锐角,1cos24C (Ⅰ)求Csin的值; (Ⅱ)当2a,CAsinsin2时,求b及c的长.

25．（2013届北京大兴区一模理科）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,3cos5=A，π4B=，2b=．

(Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)求sinC及ABC的面积．

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26．（2013北京朝阳二模数学理科试题）在△ABC中, ,,ABC所对的边分别为,,abc,且2()2cossin()sin222AAAfA2cos

(Ⅰ)求函数()fA的最大值; (Ⅱ)若()0,,612fACa,求b的值.

27．（北京北师特学校203届高三第二次月考理科数学）在锐角ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,且满足32sinabA. (Ⅰ)求角B的大小; (Ⅱ)若5ac,且7b,求ABC的面积.

28．（北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学）已知函数()sin()(0,||)2fxMxM的部分图象如图所示. (Ⅰ)求函数()fx的解析式;

(Ⅱ)在△ABC中,角CBA、、的对边分别是cba、、,若(2)coscos,()2AacBbCf求的取值范围.

29．（北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）已知函数f(x)=sin(2x+6)+cos 2x. (Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间. 第5页，共15页

(Ⅱ)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知f(A)=32,a=2,B=3,求△ABC的面积. 30．（2013北京高考数学（理））在△ABC中,a=3,b=26,∠B=2∠A. (I)求cosA的值; (II)求c的值.

31．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,,3abcC，5a，ABC的面积为103. （Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求)3cos(B的值.

32．（北京市朝阳区2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）设△ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc,已知12,3,cos3abC.

(Ⅰ)求△ABC的面积; (Ⅱ)求sin()CA的值. 第6页，共15页

北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编9：正余弦定理参考答案一、选择题

1. B【解析】边7对角为,则由余弦定理可知2225871cos==2582,所以=60,所以最大角与最小角的和为120,选B. 二、填空题 2. 【答案】3

解：由tan220B，知02B，得22sin3B，1cos3B，由余弦定理可得2221cos23acbBac，即218123aa

，整理得232210aa，解得3a或73a（舍

去）。 3. 9225100,624

4. 4,33 5. 【答案】332 解：由余弦定理得2222cos60bacac，即2174222cc整理得2230cc，解得3c。所以BC边上的高为33sin3sin602cB。

6. 3,332; 7. 120

8. 712

9. 答案3,2由1cos4B得,215sin1cos4BB.由正弦定理sinsinabAB得2a.又2222cosbacacB,即2120cc

,解得3c.

10. 【答案】32