第3章 近独立粒子的量子统计习题解答

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第3章 近独立粒子的量子统计（最该然统计理论Ⅱ） 习题解答 3-1 一系统由两个独立粒子组成,每个粒子可处于能量为EE2,,0的任一状态中,系统与大热源相平衡.试分别写出下列条件下系统的配分函数: (1)粒子是可分辨的; (2)粒子是不可分辨的Bose子; (3) 粒子是不可分辨的Fermi子. 【解】：(1)、粒子可分辨，系统与大热源相平衡.，说明系统温度一定，而系统能量不没限制，所以粒子在能级上的各种可能的分布为：

用系统配分函数sEseZ可得; EEEEEEEEEEEEEEEEeeeeeeeeeeeee4322220022200002321Z



(2)、粒子是不可分辨的Bose子，量子态上对粒子数没有限制。系统与大热源相平衡.，说明系统温度一定，而系统能量不没限制，所以粒子在能级上的各种可能的分布为：

用系统配分函数sEseZ可得;EEEEeeee43221Z （3）、粒子是不可分辨的Fermi子，每个量子态上最多容纳一个粒子。系统与大热源相平衡.，说明系统温度一定，而系统能量不没限制，所以粒子在能级上的各种可能的分布为：

2E E 0

系统 0 E E 2E 4E 2E 2E 3E 3E 能级

2E E 0

系统 0 2E 4E E 2E 3E 能级

系统 E 2E 3E 能级

2E E 0 2

用系统配分函数sEseZ可得; EEEeee32Z

3-2 试证明:对于理想Bose气体和理想Fermi气体有下列关系: UPV32,

而对于光子气体有下列关系: UPV31, 并分析两式不同的原因, 其中,P、V、U分别为气体的压强、体积和内能. 3-2 试证明:对于理想Bose气体和理想Fermi气体有下列关系:

UPV32,

而对于光子气体有下列关系: UPV31, 并分析两式不同的原因, 其中,P、V、U分别为气体的压强、体积和内能. 【解法一】：（1）处在边长为L的立方体中的理想Bose气体和理想Fermi气体，粒子的能量本征值为

)()2(21222222zyxnnnnnnLmmpzyx，zyxnnn,,=0，±1，„

可记为)(2)2(,,2222332zyxlnnnmaLVaV 所以UVaVVaPllllll3232，即：UPV32 （2）处在边长为L的立方体中的光子气体，光子的能量本征值为21222)(2zyxnnnnnnLccpzyx



，zyxnnn,,=0，±1，±2，„

可记为21222331)(2,,zyxlnnnchaLVaV 所以UVaVVaPllllll3131，即：UPV31 两式不同的原因是：理想Bose气体和理想Fermi气体的粒子速度较低，属于非相对论粒子，而光子速度很大，是相对论粒子。 【解法二】：（1）、设理想Bose气体和理想Fermi气体自旋简并度为g，则：

所以在d的能量范围内的量子态数为dmhVgdD2123322 3

所以系统内能为0232330122demhVgdDfUs，Bose气体取“+”，Fermi气体取“-” 由ln1VP可得lnkTPV,又因为llelll]1[

所以]1ln[lnlnlellll，Bose气体取“-”，Fermi气体取“+” 在宏观体积内，粒子能量是准连续的dDll;；所以





0021233]1ln[22]1ln[lndemhVkTgdeDkTkTPVll

而

023023023021132132]1ln[32]1ln[dekTdeeede

l

lll

所以UdemhVgPV3212232023233 （2）、对于光子气体cp,0，则： 所以在d的能量范围内的量子态数为dchVdD2334 所以光子气体系统内能为0330134dechVdDfUs，

又由ln1VP可得lnkTPV,又因为llelll]1[ 所以]1ln[lnlnlellll， 在宏观体积内，粒子能量是准连续的dDll; 所以00233]1ln[4]1ln[lndechVkTdeDkTkTPVll 而

03030302131131]1ln[31]1ln[dekTdeeede

l

lll

所以UdechVPV3114310333 两式不同的原因是：理想Bose气体和理想Fermi气体的粒子速度较低，属于非相对论粒子，而光子速度很大，是相对论粒子。 4

3-3 电子气体中电子的质量为m, Fermi能级为0E.求绝对零度下电子气体中电子的平均速度和电子气体的压强. 【解】(1)、对自由电子，考虑到自旋后，在体积V内，动量大小在dppp

范围内的量子态密度dppVdppD238 利用mvp，可得到速率在dvvv范围内的量子态密度dvvmVdvvD2338 考虑到KT0时电子按速率的分布函数 



FFvvvvvf,0,1

Fv 为KT0时电子的费米速

率，它与费米能级0E的关系2210FmvE 由此可求得KT0时电子的平均速率 mEvdvvDvfdvvDvvfdvvDvfdvvDvvfvFvvFF0000024343









（2）、0k时,电子按能级分布00,0,1EEf 电子气的内能为：2502/3302/32/33242400EmhVdmhVUE 而且3/2223/222002/12/333232240nmVNmENdmhVE 所以3/22232530VNmNU 又因为0k时PdVTdSdUdFUTSUF 所以0k时电子气的压强为



03

53/222353/22

2

5232523253320nEVNmVNmNVUVFP





3-4银的传导电子密度为328/109.5m。试求0K时电子的最大能量、最大速率和电子气体的压强.

【解】：0k时,电子按能级分布00,0,1EEf 5

（1）、电子的最大能量为费米能级0E 由3/202/12/33024NdmhVE解得 eVJnmVNmE6.5109.53101.9210055.132323/23/228231234223/2220





（2）、最大速率由2021mmvE得：smmEvm/104.1260 （3）、电子气的内能为：2502/3302/32/33242400EmhVdmhVUE 而且3/2223/222002/12/333232240nmVNmENdmhVE 所以3/22232530VNmNU 又因为PdVTdSdUdFUTSUF所以0k时电子气的压强为 PanmVNmNVUVFP10353/222353/222101.232523253320







3-5假设自由电子在二维平面上运动，密度为n，试求0K时二维电子气体的费米能量、内能和压强.

【解】：（1）、在面积为2LA的二维平面上运动的电子，在面积2LA内，动量范围

yyyxxxdpppdppp,的量子态数为

22222222hdAmsdhApdpdhdpAdphdpdxdydp

yxAyx



所以在d的能量范围内的二维自由电子量子态数为



dhAmhdAmddD20242

0k时,电子按能级分布FFf,0,1 总电子数 FhAmdh

AmdDfNF202044