天津市2020届普通高考适应性测试数学试卷附答案详析
普通高考(天津卷)适应性测试数学试题
2020年普通高考（天津卷）适应性测试数学本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第I 卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题上并在规定位置粘贴考试用条形码，答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式：如果事件A ,B 互斥，那么如果事件A ,B 相互独立，那么()()()⋃=+P A B P A P B 如果事件A ,B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =棱柱的体积公式V Sh =，其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积h 表示棱锥的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{2,1,0,1,2}U =--，集合{2,0,1,2}=-A ，{1,0,1}B =-，则U A C B =I （ ） A. {0,1} B. {2,2}-C. {2,1}--D. {2,0,2}-【答案】B 【解析】 【分析】先利用补集的定义求出U C B ，再利用交集的定义可得结果. 【详解】因为全集{2,1,0,1,2}U =--， {1,0,1}B =-，所以{2,2}U C B =-， 又因集合{2,0,1,2}=-A ，所以U A C B =I {2,2}-. 故选：B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且不属于集合B 的元素的集合.2.设a R ∈，则“2a ≥”是“2320-+≥a a ”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法化简2320-+≥a a ，再由充分条件与必要条件的定义可得结果. 【详解】“2320-+≥a a ”等价于 “1a ≤或2a ≥”，“2a ≥”能推出“1a ≤或2a ≥”，而“1a ≤或2a ≥”不能推出“2a ≥”， 所以“2a ≥”是“2320-+≥a a ”的充分非必要条件， 故选：A.【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.3.函数2=x x y e的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数有两个极值点，可排除选项C 、D ；利用奇偶性可排除选项B ，进而可得结果.【详解】因为2=x x y e ，所以22'xx x y e-=， 令'0y =可得，0,2x x ==，即函数有且仅有两个极值点，可排除选项C 、D ；又因为函数2=x x y e即不是奇函数，又不是偶函数，可排除选项B ，故选：A.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.4.如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是36，点E 在棱1CC 上，且12CE EC =，则三棱锥E -BCD 的体积是（ ）A. 3B. 4C. 6D. 12【答案】B 【解析】 【分析】由锥体的体积公式可得三棱锥的体积为119BC CD CC ⋅⋅，结合长方体1111ABCD A B C D -的体积是36可得结果.【详解】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积是36，点E 在棱1CC 上，且12CE EC =， 所以136BC CD CC ⋅⋅=，三棱锥E -BCD 的体积是1132BC CD EC ⎛⎫⨯⨯⋅⋅ ⎪⎝⎭111121136432399BC CD CC BC CD CC ⎛⎫=⨯⨯⋅⋅=⋅⋅=⨯= ⎪⎝⎭ 故选：B.【点睛】本题主要考查柱体的体积与锥体的体积，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.5.某市为了解全市居民日常用水量的分布情况，调查了一些居民某年的月均用水量（单位：吨），其频率分布表和频率分布直方图如图，则图中t的值为（）分组频数频率[0,0.5) 4 0.04[0.5,1)8 0.08[1,1.5)15 a[1.5,2)22 0.22[2,2.5)m 0.25[2.5,3)14 0.14[3,3.5) 6 0.06[3.5,4) 4 0.04[4,4.5) 2 0.02合计100 1.00A. 0.15B. 0.075C. 0.3D. 15【答案】C 【解析】 【分析】由频率和为1可求得0.15a =，再除以组距即可得结果. 【详解】因为0.04+0.08+a +0.22+0.25+0.14+0.06+0.04+0.02=1， 所以0.15a =， 又因为组距等于0.5， 所以t 的值为0.150.30.5=， 故选：C.【点睛】直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为1；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数. 6.已知()f x 是定义在R 上的偶函数且在区间[0,)+∞单调递减，则（ ） A. ()()221log log 23f f f ππ-⎛⎫>> ⎪⎝⎭B. ()()221log 2log 3-⎛⎫>> ⎪⎝⎭f f f ππ C. ()()2212loglog 3-⎛⎫>> ⎪⎝⎭f f f ππ D. ()()2212log log3-⎛⎫>> ⎪⎝⎭f f f ππ 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性判断出22log lo 2g 3ππ->> ，再利用函数()f x 的单调性与奇偶性可得结果.【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()2221log log 3log 33f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 根据对数函数单调性可得2223log 1l g 2o log π>=>， 根据指数函数的单调性可得01022π-<=<，所以22log lo 2g 3ππ->>，因为()f x 在区间[0,)+∞单调递减， 所以()()()222log 3log f f f ππ->>，即()()2212loglog 3-⎛⎫>> ⎪⎝⎭f f f ππ 故选：C.【点睛】解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.7.抛物线22(0)x py p =>的焦点与双曲线221169x y -=的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则p 的值为（ ）A.152B.403C.203D.3【答案】B 【解析】 【分析】先求出抛物线22(0)x py p =>的焦点与双曲线221169x y -=的右焦点，再利用直线垂直斜率相乘等于-1可得结果.【详解】抛物线22(0)x py p =>的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，双曲线221169x y -=的右焦点为()15,0F ，所以110FF p k =-，又因为双曲线的渐近线为34y x =?，所以134011043FF p k p =-⨯=-⇒=， 故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线与双曲线的焦点，考查了双曲线的渐近线方程以及直线垂直斜率之间的关系，属于基础题.8.已知函数()sin cos f x x x =+，则下列结论错误的是（ ） A. ()f x 的最小正周期为2π B. ()y f x =的图象关于直线54=x π对称 C.74π是()f x 的一个零点 D. ()f x 在区间3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的周期性、对称性、单调性以及函数零点的定义逐一判断即可. 【详解】()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，对于A ，()f x 的最小正周期为221ππ=，正确； 对于B ，54=x π时，1y =-为最小值，()y f x =的图象关于直线54=x π对称，正确； 对于C ， 74x π=时，0y =，74π是()f x 的一个零点，正确；对于D ，()f x 在区间3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不是单调函数，错误， 故选：D.【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查正弦函数的周期性、对称性、单调性以及函数的零点的定义，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.9.已知函数22,0()24,0x x x f x x x x⎧+⎪=⎨->⎪⎩…，若函数()()|1|=--F x f x kx 有且只有3个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A. 90,16⎛⎫⎪⎝⎭B. 9,16⎛⎫+∞⎪⎝⎭C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.19,00,1616⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】画出函数图象，分两种情况讨论，分别求出直线与曲线()240x y x x-=>相切时的斜率，结合函数图象的交点个数，即可判断函数()()|1|=--F x f x kx 有且只有3个零点时实数k 的取值范围. 【详解】0k >时，1y kx =-过()0,1-，设1y kx =-与()240x y x x -=>切于11124,x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为24'y x =，214k x ∴=，则111211241489,,0316x x x k x x -+=⇒==- 画出()f x 的图象，由图可知，当90,16k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()y f x =与1y kx =-有三个交点 k 0<时，11y kx y kx =-==-+，1y kx =-+过()0,1，设1y kx =-+与()240x y x x -=>切于22224,x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为24'y x =，所以224k x -=， 可得222222241411801616x x x k k x x --=⇒=⇒-=⇒=--， 画出()f x 的图象，由图可知，当10,16k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，即1,016k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()y f x =与1y kx =-有三个交点，综上可得，19,00,1616k ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()y f x =与1y kx =-有三个交点，即()()1F x f x kx =--有三个零点. 故选：D.【点睛】本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．第II 卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共11小题，共105分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5份，共30分10.i 是虚数单位，复数321+=-ii________________.【答案】1522i + 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简求解即可.【详解】()()()()32132151112i i i i i i i ++++===--+1522i +， 故答案为：1522i +. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.11.已知直线250x y +-=与圆229x y +=交于点A ,B 两点，则线段AB 的长为____________. 【答案】4 【解析】 【分析】求出圆心与半径，利用点到直线的距离公式，结合勾股定理可得结果. 【详解】因为229x y +=的圆心为()0,0，半径3r =，()0,0到直线250x y +-=的距离d ==，所以线段AB 的长为4=， 故答案为：4.【点睛】本题主要考查点到直线距离公式以及圆弦长的求法，求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式12l x =-，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.12.在42x ⎫⎪⎭的展开式中，常数项是________．【答案】8- 【解析】【分析】写出42x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式，让x 的指数为零，求出常数项.【详解】因为42x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为：44431442()(2)rrrr r rr T C C x x--+=⋅-=⋅-⋅，所以令44013r r -=⇒=，常数项为114(2)8C ⋅-=-. 【点睛】本题考查了利用二项式展开式的通项公式求常数项的问题，考查了运算能力. 13.已知某同学投篮投中的概率为23，现该同学要投篮3次，且每次投篮结果相互独立，则恰投中两次的概率为：_____________；记X 为该同学在这3次投篮中投中的次数,则随机变量X 的数学期望为____________. 【答案】 (1). 49(2). 2 【解析】 【分析】由独立重复试验的概率公式可得恰投中两次的概率；分析题意可得随机变量2~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用二项分布的期望公式可得结果.【详解】由独立重复试验的概率公式可得，恰投中两次的概率为223213943C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； X 可取0，1，2，3， 3032(0)332117P X C ︒⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； 21321)2(1339P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 223(22)33914P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭30332(3)327831P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则随机变量2~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2323EX np ==⨯=， 故答案为：4,29. 【点睛】“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布(),X B n p ～），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．14.已知0,0a b >>，则2233224++a b a b a b的最小值为______________. 【答案】4 【解析】 【分析】 化简原式为2214ab b a++，两次运用基本不等式可得结果. 【详解】22332222414a b a b ab a b b a++=++ab ≥44ab ab =+≥=， 当且仅当22144b a ab ab ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即21a b =⎧⎨=⎩等号成立，所以，2233224++a b a b a b 的最小值为4，故答案为：4.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.15.如图，在ABC V 中，3,2,60︒==∠=AB AC BAC ，D ,E 分别边AB ,AC 上的点,1AE =且12⋅=u u u r u u u r AD AE ，则||=uuu r AD ______________，若P 是线段DE 上的一个动点，则⋅u u u r u u u r BP CP 的最小值为_________________.【答案】 (1). 1 (2). 116- 【解析】 【分析】由12⋅=u u u r u u u r AD AE 利用数量积公式可求||AD u u u r 的值为1，设DP 的长为x ，则1PE x =-，2,1BD EC ==，利用平面向量的几何运算法则结合数量积的运算法则，可得⋅u u u r u u u r BP CP 22x x =-，再利用配方法可得结果【详解】11cos60122AD AE AD AE AD ⋅=⋅⋅=⨯⨯=ou u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，1AD ∴=u u u r ；又因为1AE =且60BAC ︒∠=，∴ADE ∆为正三角形，1DE AD AE ∴===，120BDP CEP ∠=∠=o ，2,1BD EC ==，设DP 的长为x （01x ≤≤），则1PE x =-，，()()BP CP BD DP CE EP ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rBD CE BD EP DP CE DP EP =⋅+⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()()1112121111222x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+--+⋅⋅-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111,241616x x x ⎛⎫=-=--≥- ⎪⎝⎭14x =时取等号，BP CP ∴⋅u u u r u u u r 的最小值为116-.故答案为：1，116-. 【点睛】向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知223()32-=-a c b ac （1）求cos B 的值 （2）若53a b = （i ）求sin A 的值 （ii ）求sin 26A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【答案】（1）23；（2）（i ;（ii . 【解析】 【分析】（1）化简原式，直接利用余弦定理求cos B 的值即可；（2）（i ）由（1）可得sin 3B =，再利用正弦定理求sin A 的值；（ii ）利用二倍角的余弦公式求得sin 5A =，可得25cos A =，再由二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式可得结果. 【详解】（1） 在ABC ∆中，由()22332a c b ac -=-，整理得222223a cb ac +-=，又由余弦定理，可得2cos 3B =； （2）（i ）由（1）可得5sin 3B =，又由正弦定理sin sin a b A B =， 及已知53a b =，可得sin 355sin 535a B Ab ==⨯=； （ii ）由（i ）可得23cos 212sin 5A A =-=，由已知53a b =，可得a b <，故有A B <， A ∴为锐角，故由5sin 5A =，可得25cos 5A =，从而有4sin 22sin cos 5A A A ==,4331433sin 2sin 2cos cos 2sin 666552A A A πππ+⎛⎫∴+=+=⨯+⨯=⎪⎝⎭. 【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心. 17.如图，在四棱锥P 一ABCD 中，已知5,4,22=====AB BC AC AD DC ，点Q为AC 中点，PO ⊥底面ABCD ,2PO =，点M 为PC 的中点.（1）求直线PB 与平面ADM 所成角的正弦值； （2）求二面角D -AM -C 的正弦值；（3）记棱PD 的中点为N ，若点Q 在线段OP 上，且//NQ 平面ADM ，求线段OQ 的长.【答案】（1）755；（2）110；（3）43.【解析】 【分析】以O 为原点，分别以向量,,OB OC OP u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴,y 轴,z 轴正方向，可以建立空间直角坐标系，（1）求出直线PB 的方向向量，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面ADM 的法向量，可求直线PB 与平面ADM 所成角的正弦值；（2）由已知可得OB ⊥平面AMC ，故OB uuu r是平面AMC 的一个法向量，结合（1）中平面ADM 的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可求二面角D -AM -C 的余弦值，从而可得正弦值；（3）设线段OQ 的长为()02h h ≤≤，则点Q 的坐标为()0,0,h ，由已知可得点N 的坐标为()1,0,1-，利用直线NQ uuu r与平面的法向量数量积为零列方程求解即可.【详解】依题意，以O 为原点，分别以向量,,OB OC OP u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴,y 轴,z 轴正方向，可以建立空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0),(0,2,0),(1,0,0),(0,2,0)O A B C -，(2,0,0),(0,0,2),(0,1,1)D P M -.（1）依题意，可得(2,2,0),(0,3,1)AD AM =-=u u u u ru u u r ，设(),,n x y z =r 为平面ADM 的法向量，则00n AD n AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v ， 即22030x y y z -+=⎧⎨+=⎩，不妨设1y =，可得()1,1,3n =-r ，又()1,0,2PB =-u u u r ， 故755cos ,||||PB n PB n PB n ⋅==u u u r r u u u r r u u u r r ，∴直线PB 与平面ADM（2）由已知可得,OB AC OB PO ⊥⊥， 所以OB ⊥平面AMC ，故OB uuu r是平面AMC 的一个法向量，依题意可得()1,0,0OB =u u u r，因此有cos ,||OB n OB n OB n ⋅==u u u r ru u u r r u u u r r，于是有sin ,OB n 〈〉=u u u r r ，∴二面角D -AM -C（3）设线段OQ 的长为()02h h ≤≤，则点Q 的坐标为()0,0,h ，由已知可得点N 的坐标为()1,0,1-，进而可得()1,0,1NQ h =-u u u r，由//NQ 平面ADM ，故,0NQ n NQ n ⊥∴⋅=u u u r r u u u r r，即()1310h --=，解得[]40,23h =∈， ∴线段OQ的长为43. 【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.18.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，点3⎛ ⎝⎭T 在椭圆上 （1）求椭圆的方程； （2）已短直线m =+y 与椭交于A 、B 两点，点P 的坐标为0)，且1PA PB ⋅=-uu r uu r,求实数m 的值.【答案】（1）22193x y +=；（2）3m =-. 【解析】【分析】（1）根据题意，结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b ，即可得椭圆的方程；（2）直线与曲线联立，根据韦达定理，利用平面向量数量积公式，结合条件1PA PB ⋅=-uu r uu r列方程求解即可.【详解】（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知有2223c a =，又由222a b c =+，可得223a b =，由点3⎛ ⎝⎭T 在椭圆上，有228113a b +=， 由此可得229,3a b ==，∴椭圆的方程为22193x y+=；（2）设点A 的坐标()11,x y ，点B 的坐标()22,x y ,由方程组22193y mx y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y，整理可得227390x m ++-=，①由求根公式可得2121239,77m x x x x -+=-=，② 由点P的坐标为()，可得()()1122,PA x y PB x y =-=-u u u r u u u r，故()12121212128PA PB x xy y x x x x y y ⋅=-+=-+++-u u u r u u u r，③又1122,y m y m =+=+Q，()21212122y y x x x x m ∴=++，代入上式可得()2121238PA PB x x x x m ⋅=+-+++u u u r u u u r ，由已知1PA PB ⋅=-uu r uu r ，以及②，可得()22339817m m -+=-，整理得2690m m ++=，解得3m =-，这时，①的判别式2122521440m ∆=-+=>，故3m =-满足题目条件，3m ∴=-.【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单. 19.已知数列{}n a 是公差为1的等差数列，数列{}n b 是等比数，且347a a a +=,245⋅=b b b ,4234=-a b b 数列{}n c 满足212,32,31,3m n m mb n mc b n m a n m -=-⎧⎪==-⎨⎪=⎩其中*m ∈N .（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式（2）记()*3231313331n n n n n n n t c c c c c c n N---+=++∈，求数列{}nt 的前n 项和.【答案】（1）1,2n n n a n b -==；（2）262816415315n n n -⨯+⨯+. 【解析】 【分析】（1）利用341+=a a a ,245⋅=b b b ,4234=-a b b 列方程求出，等差数列的首项、等比数列的首项与公比，从而可得结果；（2）先根据212,32,31,3m n m mb n mc b n m a n m -=-⎧⎪==-⎨⎪=⎩得222121243212222232n n n n n n n t n n n -----=⋅+⋅+⋅=+⋅，再根据分组求和与错位相减求和法，结合等比数列的求和公式可得结果.【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，则1d =，由347a a a +=，可得11a d ==，由245⋅=b b b ，可得24411b q b q ⋅=⋅，又10,0b q ≠≠Q ，故可得11b =，再由4234=-a b b ，可得2440q q -+=，解得2q =，()1,2n n n a n b n N -*∴==∈；（2）22212,322,31,3m m n n m c n m m n m --⎧=-⎪==-⎨⎪=⎩，其中n *∈N ，222121243212222232n n n n n n n t n n n -----∴=⋅+⋅+⋅=+⋅，记4321111,2,2nnnk k nk n n k k k T t A B k --======⋅∑∑∑，则()()442122161221612151515nnn nA ⨯--===⨯--， 2112283322n n B n -=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯，①故有2121418232(1)22n n n B n n -+=⨯+⨯++-⨯+⨯L ，② ①-②可得21213283222n n n B n -+-=++++-⨯L ()21214214n n n +-=-⨯-262433n n -=⨯-， 由此可得6223433n n n B -=⨯+， 由3n n n T A B =+，故可得262816415315n n n n T -=⨯+⨯+. 【点睛】“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.20.已知函数2()2ln =-f x x x x ，函数2()(ln )=+-ag x x x x，其中a R ∈，0x 是()g x 的一个极值点，且()02g x =. （1）讨论()f x 的单调性 （2）求实数0x 和a 的值 （3）证明()*11ln(21)2=>+∈nk n n N【答案】（1）()f x 在区间()0,∞+单调递增；（2）01,1x a ==；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出()'f x ，在定义域内，再次求导，可得在区间()0,∞+上()'0f x ≥恒成立，从而可得结论；（2）由()'0g x =，可得20002ln 0x x x a --=，由()02g x =可得()220000ln 20x x x x a --+=，联立解方程组可得结果；（3）由（1）知()22ln f x x x x =-在区间()0,∞+单调递增，可证明ln x>，取*21,21k x k N k +=∈-，可得ln(21)ln(21)k k >+--=，利用裂项相消法，结合放缩法可得结果.【详解】（1）由已知可得函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()22ln 2f x x x '=--，令()()'h x f x =，则有()21'()x h x x-=，由()'0h x =，可得1x =，可知当x 变化时，()()',h x h x 的变化情况如下表：()()10h x h ∴≥=，即()'0f x ≥，可得()f x 在区间()0,∞+单调递增；（2）由已知可得函数()g x 的定义域为()0,∞+，且22ln ()1a x g x x x'=--， 由已知得()'0g x =，即20002ln 0x x x a --=，①由()02g x =可得，()220000ln 20x x x x a --+=，②联立①②，消去a ，可得()20002ln 2ln 20x x x ---=，③ 令2()2(ln )2ln 2t x x x x =---，则2ln 22(ln 1)'()2x x x t x x x x--=--=， 由（1）知，ln 10x x --≥，故()'0t x ≥，()t x ∴在区间()0,∞+单调递增，注意到()10t =，所以方程③有唯一解01x =，代入①，可得1a =，01,1x a ∴==；（3）证明：由（1）知()22ln f x x x x =-在区间()0,∞+单调递增，故当()1,x ∈+∞时，()()11f x f >=，2222ln 1()1()0x x x f x g x x x'---==>， 可得()g x 在区间()1,+∞单调递增，因此，当1x >时，()()12g x g >=，即21(ln )2x x x +->，亦即22(ln )x >，0,ln 0x >>ln x >，取*21,21k x k N k +=∈-，ln(21)ln(21)k k >+--=，故11(ln(21)ln(21))ln(21)nk nk k k π==>+--=+∑11ln(21)()2ni x n N *=∴>+∈.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.。
天津市宁河县2019-2020学年高考适应性测试卷数学试题(3)含解析
天津市宁河县2019-2020学年高考适应性测试卷数学试题（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．双曲线22:21C x y -=的渐近线方程为( ) A．0x ±= B ．20x y ±= C0y ±= D ．20x y ±=【答案】A 【解析】 【分析】将双曲线方程化为标准方程为22112y x -=，其渐近线方程为2212y x -=，化简整理即得渐近线方程. 【详解】双曲线22:21C x y -=得22112y x -=，则其渐近线方程为22012y x -=，整理得0x =. 故选：A 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用.2．若AB 为过椭圆22116925x y +=中心的弦，1F 为椭圆的焦点，则△1F AB 面积的最大值为（ ）A ．20B ．30C ．50D ．60【答案】D 【解析】 【分析】先设A 点的坐标为(,)x y ，根据对称性可得(,)B x y --，在表示出1F AB ∆面积，由图象遏制，当点A 在椭圆的顶点时，此时1F AB ∆面积最大，再结合椭圆的标准方程，即可求解. 【详解】由题意，设A 点的坐标为(,)x y ，根据对称性可得(,)B x y --， 则1F AB ∆的面积为122S OF y c y =⨯⨯=，当y 最大时，1F AB ∆的面积最大，由图象可知，当点A 在椭圆的上下顶点时，此时1F AB ∆的面积最大，又由22116925x y +=，可得椭圆的上下顶点坐标为(0,5),(0,5)-，所以1F AB ∆的面积的最大值为16925560S cb ==-⨯=. 故选：D.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单的几何性质，以及三角形面积公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及化归与转化思想的应用.3．执行如图所示的程序框图，当输出的2S =时，则输入的S 的值为( )A ．-2B ．-1C ．12-D ．12【答案】B 【解析】若输入2S =-，则执行循环得1313,2;,3;2,4;,5;,6;3232S k S k S k S k S k =====-=====132,7;,8;,9;32S k S k S k =-=====结束循环，输出32S =，与题意输出的2S =矛盾；若输入1S =-，则执行循环得11,2;2,3;1,4;,5;2,6;22S k S k S k S k S k =====-=====11,7;,8;2,9;2S k S k S k =-=====结束循环，输出2S =，符合题意；若输入12S =-，则执行循环得212,2;3,3;,4;,5;3,6;323S k S k S k S k S k =====-=====12,7;,8;3,9;23S k S k S k =-=====结束循环，输出3S =，与题意输出的2S =矛盾；若输入12S =，则执行循环得12,2;1,3;,4;2,5;1,6;2S k S k S k S k S k ===-======-=1,7;2,8;1,9;2S k S k S k =====-=结束循环，输出1S =-，与题意输出的2S =矛盾；综上选B.4．已知复数z ，满足(34)5z i i -=，则z =（ ）A ．1B ．CD ．5【答案】A 【解析】 【分析】首先根据复数代数形式的除法运算求出z ，求出z 的模即可． 【详解】 解：55(34)4334255i i i iz i +-+===-，1z ∴==，故选：A 【点睛】本题考查了复数求模问题，考查复数的除法运算，属于基础题．5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()()212*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，121,2a a ==，则n S =( )A ．()12n n + B ．12n + C ．21n - D ．121n ++【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件判断出数列{}1n S +是等比数列，求得其通项公式，由此求得n S .由于()()()212*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，所以数列{}1n S +是等比数列，其首项为11112S a +=+=，第二项为212114S a a +=++=，所以公比为422=.所以12n n S +=，所以21n n S =-. 故选：C 【点睛】本小题主要考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，属于基础题.6．已知双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，过原点作一条倾斜角为π3直线分别交双曲线左、右两支P ，Q两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为( )A 1B 1C ．2D 【答案】B 【解析】 【分析】求得直线PQ 的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得,P Q 两点坐标的关系，根据FQ FP ⊥列方程，化简后求得离心率. 【详解】设()()1122,,,P x y Q x y ，依题意直线PQ 的方程为y =，代入双曲线方程并化简得222222222223,333a b a b x y x b a b a ===--，故221212220,,3a b x x x x b a -+=⋅=- 12y y ⋅= 221222333a b x x b a-⋅=-，设焦点坐标为(),0F c ，由于以PQ 为直径的圆经过点F ，故0FP FQ ⋅=u u u v u u u v，即()()1122,,0x c y x c y -⋅-=，即21240x x c +=，即4224630b a b a --=，两边除以4a 得42630b b a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得23b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故1e ===，故选B.【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的交点，考查圆的直径有关的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题. 7．已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，准线为l ，A 是l 上一点，B 是直线AF 与抛物线C 的一个交点，若3FA FB =u u u r u u u r，则||BF =（ ）A ．72B ．3C ．52D ．2【解析】 【分析】根据抛物线的定义求得6AF =，由此求得BF 的长. 【详解】过B 作BC l ⊥，垂足为C ，设l 与x 轴的交点为D .根据抛物线的定义可知BF BC =.由于3FA FB =u u u r u u u r，所以2AB BC =，所以6CAB π∠=，所以26AF FD ==，所以123BF AF ==. 故选：D【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 8．设复数z 满足i(i i2i z z -=-为虚数单位)，则z =（ ） A ．13i 22- B ．13i 22+ C ．13i 22--D ．13i 22-+ 【答案】B 【解析】 【分析】 易得2i1iz +=-，分子分母同乘以分母的共轭复数即可.由已知，i i 2z z -=+，所以2i (2i)(1i)13i 13i 1i 2222z ++++====+-. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的乘法、除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.9．在三棱锥S ABC -中，4SB SA AB BC AC =====，26SC =，则三棱锥S ABC -外接球的表面积是（ ） A ．403πB ．803πC ．409πD ．809π【答案】B 【解析】 【分析】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，推导出90SDC ∠=o ，设设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F ，可得出OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ，利用勾股定理计算出球O 的半径，再利用球体的表面积公式可得出结果. 【详解】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，由SAB ∆和ABC ∆都是正三角形，得SD AB ⊥，CD AB ⊥，则34232SD CD ==⨯=，则(((222222336SD CD SC +=+==，由勾股定理的逆定理，得90SDC ∠=o .设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F . 由球的性质可知：OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ， 又31234233OE DF OE OF ====⨯⨯=，由勾股定理得2263OD OE DE =+=.所以外接球半径为2222266023R OD BD ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭. 所以外接球的表面积为2260804433S R πππ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，找出球心的位置，并以此计算出球的半径长，考查推理能力与计算能力，属于中等题.10．已知函数()e x f x x =,关于x 的方程()()()2140(f x m f x m m ++++=∈R)有四个相异的实数根,则m 的取值范围是( )A ．44,e e 1⎛⎫--- ⎪+⎝⎭B ．()4,3--C ．4e ,3e 1⎛⎫--- ⎪+⎝⎭ D ．4e ,e 1∞⎛⎫--- ⎪+⎝⎭【答案】A 【解析】()e x f x x ==e ,0e ,0xx x x x x⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩,当0x >时()()()‘2e 10,1,0,1x x f x x x x-===∈时,()f x 单调递减，()1,x ∞∈+时,()f x 单调递增,且当()()()0,1,e,x f x ∞∈∈+时,当()()()1,,e,x f x ∞∞∈+∈+时, 当0x <时，()()2e 10x xf x x-'-=>恒成立，(),0x ∞∈-时,()f x 单调递增且()()0,f x ∞∈+,方程()()()2140(f x m f x m m ++++=∈R)有四个相异的实数根.令()()2,14f x t t m t m =++++=0则()2120,,e 1e 40t e t e m m <<>∴++++<,()201040m m ++++>且,即44,e e 1m ⎛⎫∈---⎪+⎝⎭. 11．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞） 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可.【详解】因为函数，解得且；函数的定义域为, 故选A．【点睛】定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.12．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】A【解析】【分析】可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论.【详解】由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的，丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的；假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，所以可以断定值班人是甲.故选：A.【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届普通高考(天津卷)适应性测试数学试题及答案
【答案】
【解析】写出 的展开式的通项公式，让 的指数为零，求出常数项.
【详解】
因为 的展开式的通项公式为： ，
所以令 ，常数项为 .
【点睛】
本题考查了利用二项式展开式的通项公式求常数项的问题，考查了运算能力.
13．已知某同学投篮投中的概率为 ，现该同学要投篮3次，且每次投篮结果相互独立，则恰投中两次的概率为：_____________；记X为该同学在这3次投篮中投中的次数,则随机变量X的数学期望为____________.
15．如图，在 中， ，D,E分别边AB,AC上的点, 且 ，则 ______________，若P是线段DE上的一个动点，则 的最小值为_________________.
【答案】1
【解析】由 利用数量积公式可求 的值为1，设 的长为 ，则 ， ，利用平面向量的几何运算法则结合数量积的运算法则，可得 ，再利用配方法可得结果
所以 ，
又因为组距等于0.5，
所以t的值为 ，
故选：C.
【点睛】
直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为 ；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.
6．已知 是定义在R上的偶函数且在区间 单调递减，则（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性判断出 ，再利用函数 的单调性与奇偶性可得结果.
【详解】
因为 是定义在R上的偶函数，所以 ，
根据对数函数的单调性可得 ，
根据指数函数的单调性可得 ，
2020年天津市高考模拟考试文科数学试题与答案
2020年天津市高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}1,2A =，集合{}0,2B =，设集合{},,C z z xy x A y B ==∈∈，则下列结论中正确的是A. A C φ⋂=B. A C C ⋃=C. B C B ⋂=D. A B C =2. 若复数2(1)z m m m i =+++是纯虚数，其中m 是实数，则1z= A. i B. i - C. 2iD. 2i -3. 若1sin()43x π-=，则sin 2x = A.79B. 79-C.13D. 13-4. 在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，若向该矩形内随机投一点P ，那么使ABP ∆与ADP ∆ 的面积都小于4的概率为 A.136B.112C.19D.495. 在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于 A. 66B. 132C. -66D. -1326. 设函数2()23f x x x =--，若从区间[2,4]-上任取一个实数x ，则所选取的实数x 满足()0f x ≤的概率为A.12B.13C.23D.147. 设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α,m ⊂β( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥β D ．若α∥β，则l ∥m8. 已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则 =aA. 2B.26C. 25D. 19. 函数ln ()xf x x=的图象大致为 A. B.C. D.10.已知函数532sin 2064y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象与一条平行于x 轴的直线有两个交点，其横坐标分别为1x ，2x ，则12x x =+ A.43πB.23π C.3π D.6π 11.已知三棱锥ABC D -四个顶点均在半径为R 的球面上，且22===AC BC AB ，，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为 A.81500π B. 9100π C. 925πD. π412. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分別为12,F F ，过2F 的直线与椭圆交于,A B 两点，若1F AB ∆是以A 为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为A B ．22 D -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年普通高考数学适应性测试试卷(天津卷)
2020年普通高考数学适应性测试试卷（天津卷)一、单选题 (共9题；共18分)1．（2分）已知全集U={−2,−1,0,1,2}，集合A={−2,0,1,2}，B={−1,0,1}，则A∩C U B=（）A．{0,1}B．{−2,2}C．{−2,−1}D．{−2,0,2}2．（2分）设a∈R，则“ a≥2”是“ a2−3a+2≥0”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件3．（2分）函数y=x 2e x的图象大致是（）A．B．C．D．4．（2分）如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的体积是36，点E在棱CC1上，且CE=2EC1，则三棱锥E-BCD的体积是（）A．3B．4C．6D．125．（2分）某市为了解全市居民日常用水量的分布情况，调查了一些居民某年的月均用水量（单位：吨），其频率分布表和频率分布直方图如图，则图中t的值为（）A．0.15B．0.075C．0.3D．15 6．（2分）已知f(x)是定义在R上的偶函数且在区间[0,+∞)单调递减，则（）A．f(log2π)>f(log213)>f(2−π)B．f(log213)>f(2−π)>f(log2π)C．f(2−π)>f(log213)>f(log2π)D．f(2−π)>f(log2π)>f(log213)7．（2分）抛物线x2=2py(p>0)的焦点与双曲线x216−y29=1的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则p的值为（）A．152B．403C．203D．8√738．（2分）已知函数f(x)=sinx+cosx，则下列结论错误的是（）A．f(x)的最小正周期为2πB．y=f(x)的图象关于直线x=5π4对称C．7π4是f(x)的一个零点D．f(x)在区间(π,3π2)单调递减9．（2分）已知函数f(x)={x2+2x,x⩽02x−4x,x>0，若函数F(x)=f(x)−|kx−1|有且只有3个零点，则实数k的取值范围是（）A．(0,916)B．(916,+∞)C．(0,12)D．(−116,0)∪(0,916)二、填空题 (共6题；共8分)10．（1分）i 是虚数单位，复数 3+2i 1−i =. 11．（1分）已知直线 x +2y −5=0 与圆 x 2+y 2=9 交于点A,B 两点，则线段AB 的长为 .12．（1分）在 (√x 3−2x )4的展开式中，常数项是 ．13．（2分）已知某同学投篮投中的概率为 23，现该同学要投篮3次，且每次投篮结果相互独立，则恰投中两次的概率为： ；记X 为该同学在这3次投篮中投中的次数,则随机变量X 的数学期望为 .14．（1分）已知 a >0, b >0 ，则 a 2+4b 2+a 3b 3a 2b2 的最小值为 . 15．（2分）如图，在 △ABC 中， AB =3，AC =2， ∠BAC =60° ，D ，E 分别边AB ，AC 上的点， AE =1 且 AD⇀⋅AE ⇀=12，则 |AD ⇀|= ，若P 是线段DE 上的一个动点，则 BP ⇀⋅CP ⇀ 的最小值为 .三、解答题 (共5题；共60分)16．（10分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知 3(a −c)2=3b 2−2ac（1）（5分）求 cos B 的值 （2）（5分）若 5a =3b （i ）求 sinA 的值（ii ）求 sin(2A +π6) 的值.17．（15分）如图，在四棱锥P 一ABCD 中，已知 AB =BC =√5, AC =4, AD =DC =2√2 ，点Q 为AC 中点， PO ⊥ 底面ABCD, PO =2 ，点M 为PC 的中点.（1）（5分）求直线PB 与平面ADM 所成角的正弦值； （2）（5分）求二面角D-AM-C 的正弦值；（3）（5分）记棱PD 的中点为N ，若点Q 在线段OP 上，且 NQ// 平面ADM ，求线段OQ 的长.18．（10分）已知椭圆 x 2a 2+y 2b2=1 (a >b >0) 的离心率为 √63 ，点 T(2√2,√33) 在椭圆上（1）（5分）求椭圆的方程；（2）（5分）已短直线 y =√2x +m 与椭交于A 、B 两点，点P 的坐标为 (2√2,0) ，且 PA ⇀⋅PB⇀=−1 ,求实数m 的值. 19．（10分）已知数列 {a n } 是公差为1的等差数列，数列 {b n } 是等比数，且 a 3+a 4=a 7 , b 2⋅b 4=b 5 , a 4=4b 2−b 3 数列 {c n } 满足 c n ={b 2m−1,n =3m −2b 2m ,n =3m −1a m ,n =3m 其中 m ∈N ∗ .（1）（5分）求 {a n } 和 {b n } 的通项公式（2）（5分）记 t n =c 3n−2c 3n−1+c 3n−1c 3n +c 3n c 3n+1(n ∈N ∗) ，求数列 {t n } 的前n 项和.20．（15分）已知函数 f(x)=x 2−2xlnx ，函数 g(x)=x +a x−(lnx)2，其中 a ∈R ， x 0 是 g(x) 的一个极值点，且 g(x 0)=2 . （1）（5分）讨论 f(x) 的单调性 （2）（5分）求实数 x 0 和a 的值（3）（5分）证明 ∑1√4k −1nk=1>12ln(2n +1) (n∈N ∗)答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】因为全集 U ={−2,−1,0,1,2} ， B ={−1,0,1} ，所以 C U B ={−2,2} ， 又因为集合 A ={−2,0,1,2} ， 所以 A ∩C U B = {−2,2} . 故答案为：B.【分析】先利用补集的定义求出 C U B ，再利用交集的定义可得结果.2．【答案】A【解析】【解答】“ a 2−3a +2≥0 ”等价于 “ a ≤1 或 a ≥2 ”，“ a ≥2 ”能推出“ a ≤1 或 a ≥2 ”，而“ a ≤1 或 a ≥2 ”不能推出“ a ≥2 ”， 所以“ a ≥2 ”是“ a 2−3a +2≥0 ”的充分非必要条件， 故答案为：A.【分析】利用一元二次不等式的解法化简 a 2−3a +2≥0 ，再由充分条件与必要条件的定义可得结果.3．【答案】A【解析】【解答】因为 y =x 2e x ，所以 y′=2x−x2e x， 令 y′=0 可得， x =0,x =2 ，即函数有且仅有两个极值点，可排除选项C 、D ；又因为函数 y =x 2e x 即不是奇函数，又不是偶函数，可排除选项B ，故答案为：A.【分析】根据函数有两个极值点，可排除选项C 、D ；利用奇偶性可排除选项B ，进而可得结果.4．【答案】B【解析】【解答】因为长方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 的体积是36，点E 在棱 CC 1 上，且 CE =2EC 1 ，所以 BC ⋅CD ⋅CC 1=36 ，三棱锥E-BCD 的体积是 13×(12×BC ⋅CD)⋅EC=13×(12×BC ⋅CD)⋅23CC 1=19BC ⋅CD ⋅CC 1=19×36=4 故答案为：B.【分析】由锥体的体积公式可得三棱锥的体积为19BC⋅CD⋅CC1，结合长方体ABCD−A1B1C1D1的体积是36可得结果.5．【答案】C【解析】【解答】因为0.04+0.08+ a+0.22+0.25+0.14+0.06+0.04+0.02=1，所以a=0.15，又因为组距等于0.5，所以t的值为0.150.5=0.3，故答案为：C.【分析】由频率和为1可求得a=0.15，再除以组距即可得结果.6．【答案】C【解析】【解答】因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(log213)=f(−log23)=f(log23)，根据对数函数的单调性可得log2π>log23>log22=1，根据指数函数的单调性可得0<2−π<20=1，所以log2π>log23>2−π，因为f(x)在区间[0,+∞)单调递减，所以f(2−π)>f(log23)>f(log2π)，即f(2−π)>f(log213)>f(log2π)故答案为：C.【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性判断出log2π>log23>2−π，再利用函数f(x)的单调性与奇偶性可得结果. 7．【答案】B【解析】【解答】抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F(0,p2)，双曲线x216−y29=1的右焦点为F1(5,0)，所以k FF1=−p10，又因为双曲线的渐近线为y=±34x，所以k FF1=−p10×34=−1⇒p=403，故答案为：B.【分析】先求出抛物线x2=2py(p>0)的焦点与双曲线x216−y29=1的右焦点，再利用直线垂直斜率相乘等于-1可得结果.8．【答案】D【解析】【解答】f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4 )，对于A，f(x)的最小正周期为2π1=2π，正确；对于B，x=5π4时，y=−1为最小值，y=f(x)的图象关于直线x=5π4对称，正确；对于C，x=7π4时，y=0，7π4是f(x)的一个零点，正确；对于D，f(x)在区间(π,3π2)上不是单调函数，错误，故答案为：D.【分析】利用辅助角公式化简f(x)=√2sin(x+π4)，再利用正弦函数的周期性、对称性、单调性以及函数零点的定义逐一判断即可. 9．【答案】D【解析】【解答】k>0时，y=kx−1过(0,−1)，设y=kx−1与y=2x−4x (x>0)切于(x1,2x1−4x1)，因为y′=4x2，∴k=4x12，则2x1−4x1+1x1−0=4x12⇒x1=83,k=916,画出 f(x) 的图象，由图可知，当 k ∈(0,916) 时， y =f(x) 与 y =|kx −1| 有三个交点k <0 时， y =|kx −1|=y =|−kx +1| ， y =−kx +1 过 (0,1) ， 设 y =−kx +1 与 y =2x−4x (x >0) 切于 (x 2,2x 2−4x 2) ，因为 y′=4x 2 ，所以 −k =4x 22 ， 可得 2x 2−4x 2−1x 2−0=4x 22⇒x 2=8⇒−k =116⇒k =−116 ，画出 f(x) 的图象，由图可知，当 −k ∈(0,116) ，即 k ∈(−116,0) 时， y =f(x) 与 y =|kx −1| 有三个交点，综上可得， k ∈(−116,0)∪(0,916) 时， y =f(x) 与 y =|kx −1| 有三个交点，即 F(x)=f(x)−|kx −1| 有三个零点. 故答案为：D.【分析】画出函数图象，分两种情况讨论，分别求出直线与曲线 y =2x−4x(x >0) 相切时的斜率，结合函数图象的交点个数，即可判断函数 F(x)=f(x)−|kx −1| 有且只有3个零点时实数k 的取值范围.10．【答案】12+52i【解析】【解答】 3+2i 1−i =(3+2i)(1+i)(1−i)(1+i)=1+5i2= 12+52i ，故答案为： 12+52i .【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简求解即可.11．【答案】4【解析】【解答】因为 x 2+y 2=9 的圆心为 (0,0) ，半径 r =3 ，(0,0) 到直线 x +2y −5=0 的距离 d =|−5|√1+4=√5 ， 所以线段AB 的长为 2√9−5=4 ， 故答案为：4.【分析】求出圆心与半径，利用点到直线的距离公式，结合勾股定理可得结果.12．【答案】−8【解析】【解答】因为 (√x 3−2x )4的展开式的通项公式为： T r+1=C 4r (√x 3)4−r⋅(−2x )r =C 4r ⋅(−2)r ⋅x 4−4r 3，所以令 4−4r 3=0⇒r =1 ，常数项为 C 41⋅(−2)1=−8 . 【分析】写出 (√x 3−2x )4的展开式的通项公式，让 x 的指数为零，求出常数项. 13．【答案】49；2【解析】【解答】由独立重复试验的概率公式可得，恰投中两次的概率为 C 32(23)2(13)=49； X 可取0，1，2，3，P(X =0)=C 30(23)°(13)3=127 ；P(X =1)=C 31(23)(13)2=29P(X =2)=C 32(23)2(13)=49P(X =3)=C 33(23)3(13)0=827则随机变量 X~B(3,23) ，所以 EX =np =3×23=2 ，故答案为： 49,2 .【分析】由独立重复试验的概率公式可得恰投中两次的概率；分析题意可得随机变量 X~B(3,23) ，利用二项分布的期望公式可得结果.14．【答案】4【解析】【解答】 a 2+4b 2+a 3b 3a 2b 2=1b2+4a 2+ab ≥2√1b2×4a 2+ab =4ab +ab ≥2√4ab ×ab =4 ，当且仅当 {1b2=4a 24ab =ab ，即 {a =2b =1 等号成立， 所以， a 2+4b 2+a 3b 3a 2b2 的最小值为4， 故答案为：4.【分析】化简原式为 1b 2+4a 2+ab ，两次运用基本不等式可得结果.15．【答案】1；−116【解析】【解答】 ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos60∘=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |×1×12=12 ， ∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 ； 又因为 AE =1 且 ∠BAC =60° ， ∴ ΔADE 为正三角形，∴DE =1=AD =AE ， ∠BDP =∠CEP =120∘ ， BD =2，EC =1 ， 设 DP 的长为 x （ 0≤x ≤1 ），则 PE =1−x ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EP ⃗⃗⃗⃗⃗ +DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EP⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1×12+2(1−x)(−12)+x ⋅1⋅(−12)+x(1−x)(−1) =x 2−x 2=(x −14)2−116≥−116， x =14 时取等号，∴BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 −116 . 故答案为：1， −116. 【分析】由 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12 利用数量积公式可求 |AD ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的值为1，设 DP 的长为 x ，则 PE =1−x ， BD =2，EC =1 ，利用平面向量的几何运算法则结合数量积的运算法则，可得 BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2−x2 ，再利用配方法可得结果16．【答案】（1）解：在 ΔABC 中，由 3(a −c)2=3b 2−2ac ，整理得 a 2+c 2−b 22ac =23，又由余弦定理，可得 cosB =23；（2）解：（i ）由（1）可得 sinB =√53 ，又由正弦定理 a sinA =b sinB ，及已知 5a =3b ，可得 sinA =asinB b =35×√53=√55；（ii ）由（i ）可得 cos2A =1−2sin 2A =35 ，由已知 5a =3b ，可得 a <b ，故有 A <B ，∴A 为锐角，故由 sinA =√55 ，可得 cosA =2√55 ，从而有 sin2A =2sinAcosA =45 ,∴sin(2A +π6)=sin2Acos π6+cos2Asin π6=45×√32+35×12=4√3+310 .【解析】【分析】（1）化简原式，直接利用余弦定理求 cos B 的值即可；（2）（i ）由（1）可得sinB =√53 ，再利用正弦定理求 sinA 的值；（ii ）利用二倍角的余弦公式求得 sinA =√55，可得 cosA =2√55 ，再由二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式可得结果.17．【答案】（1）解：依题意，以O 为原点，分别以向量 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴,y 轴,z 轴正方向，可以建立空间直角坐标系（如图），可得 O(0,0,0),A(0,−2,0),B(1,0,0),C(0,2,0) ， D(−2,0,0), P(0,0,2), M(0,1,1) .依题意，可得 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0), AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,1) ， 设 n ⃗ =(x,y,z) 为平面ADM 的法向量，则 {n ⇀⋅AD ⇀=0n ⇀⋅AM⇀=0 ， 即 {−2x +2y =03y +z =0 ，不妨设 y =1 ，可得 n ⃗ =(1,1,−3) ， 又 PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−2) ， 故 cos〈PB⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗ |PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=7√5555 ， ∴ 直线PB 与平面ADM 所成角的正弦值为 7√5555（2）解：由已知可得 OB ⊥AC,OB ⊥PO ， 所以 OB ⊥ 平面 AMC ，故 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面 AMC 的一个法向量， 依题意可得 OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0) ， 因此有 cos〈OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√1111 ，于是有 sin〈OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=√11011， ∴ 二面角D-AM-C 的正弦值 √11011（3）解：设线段OQ 的长为 ℎ(0≤ℎ≤2) ，则点Q 的坐标为 (0,0,ℎ) ， 由已知可得点N 的坐标为 (−1,0,1) ，进而可得 NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,ℎ−1) ， 由 NQ// 平面ADM ，故 NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ,∴NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0 ， 即 1−3(ℎ−1)=0 ，解得 ℎ=43∈[0,2] ， ∴ 线段OQ 的长为 43.【解析】【分析】以O 为原点，分别以向量 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴,y 轴,z 轴正方向，可以建立空间直角坐标系，（1）求出直线PB 的方向向量，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面ADM 的法向量，可求直线PB 与平面ADM 所成角的正弦值；（2）由已知可得 OB ⊥ 平面 AMC ，故 OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面 AMC 的一个法向量，结合（1）中平面ADM 的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可求二面角D-AM-C 的余弦值，从而可得正弦值；（3）设线段OQ 的长为 ℎ(0≤ℎ≤2) ，则点Q 的坐标为 (0,0,ℎ) ，由已知可得点N 的坐标为 (−1,0,1) ，利用直线 NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与平面的法向量数量积为零列方程求解即可.18．【答案】（1）解：设椭圆的焦距为 2c ，由已知有 c 2a2=23 ，又由 a 2=b 2+c 2 ，可得 a 2=3b 2 ，由点 T(2√2,√33) 在椭圆上，有 8a 2+13b 2=1 ，由此可得 a 2=9,b 2=3 ， ∴ 椭圆的方程为 x 29+y 23=1（2）解：设点A 的坐标 (x 1,y 1) ，点B 的坐标 (x 2,y 2) ,由方程组 {y =√2x +mx 29+y 23=1，消去y ，整理可得 7x 2+6√2mx +3m 2−9=0 ，① 由求根公式可得 x 1+x 2=−6√2m 7,x 1x 2=3m 2−97，②由点P 的坐标为 (2√2,0) ，可得 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2√2,y 1),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−2√2,y 2) ， 故 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2√2)(x 2−2√2)+y 1y 2=x 1x 2−2√2(x 1+x 2)+8+y 1y 2 ，③ 又 ∵y 1=√2x 1+m,y 2=√2x 2+m ， ∴y 1y 2=2x 1x 2+√2m(x 1+x 2)+m 2 ， 代入上式可得 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3x 1x 2+(√2m −2√2)(x 1+x 2)+m 2+8 ，由已知 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1 ，以及②，可得 3(3m 2−9)7+(√2m−2√2)(−6√2m)7+m 2+8=−1 ，整理得 m 2+6m +9=0 ，解得 m =−3 ，这时，①的判别式 Δ=−12m 2+252=144>0 ，故 m =−3 满足题目条件， ∴m =−3 .【解析】【分析】（1）根据题意，结合性质 a 2=b 2+c 2 ，列出关于 a 、 b 、 c 的方程组，求出 a 、 b ，即可得椭圆的方程；（2）直线与曲线联立，根据韦达定理，利用平面向量数量积公式，结合条件 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1 列方程求解即可.19．【答案】（1）解：设数列 {a n } 的公差为d ，数列 {b n } 的公比为q ，则 d =1 ，由 a 3+a 4=a 7 ，可得 a 1=d =1 ，由 b 2⋅b 4=b 5 ，可得 b 12⋅q 4=b 1⋅q 4 ，又 ∵b 1≠0,q ≠0 ，故可得 b 1=1 ，再由 a 4=4b 2−b 3 ，可得 q 2−4q +4=0 ，解得 q =2 ， ∴a n =n,b n =2n−1(n ∈N ∗) ；（2）解： c n ={22m−2,n =3m −222m−1,n =3m −1m,n =3m ，其中 n ∈N ∗ ，∴t n =22n−2⋅22n−1+22n−1⋅n +n ⋅22n =24n−3+3n ⋅22n−1 ， 记 T n =∑t k n k=1,A n =∑24k−3n k=1, B n =∑n k=1k ⋅22k−1 ，则 A n =2×(1−24n )1−24=2(16n−1)15=215×16n −215， B n =1×2+2×8+3×32+⋯+n ×22n−1 ，①故有 4B n =1×8+2×32+⋯+(n −1)×22n−1+n ×22n+1 ，② ①-②可得 −3B n =2+8+32+⋯+22n−1−n ×22n+1=2(1−4n )1−4−n ×22n+1 =2−6n 3×4n −23 ，由此可得 3B n =6n−23×4n +23， 由 T n =A n +3B n ，故可得 T n =215×16n +6n−23×4n+815. 【解析】【分析】（1）利用 a 3+a 4=a 1 , b 2⋅b 4=b 5 , a 4=4b 2−b 3 列方程求出，等差数列的首项、等比数列的首项与公比，从而可得结果；（2）先根据 c n ={b 2m−1,n =3m −2b 2m ,n =3m −1a m ,n =3m 得 t n =22n−2⋅22n−1+22n−1⋅n +n ⋅22n =24n−3+3n ⋅22n−1 ，再根据分组求和与错位相减求和法，结合等比数列的求和公式可得结果.20．【答案】（1）解：由已知可得函数 f(x) 的定义域为 (0,+∞) ，且 f ′(x)=2x −2lnx −2 ，令 ℎ(x)=f′(x) ，则有 ℎ′(x)=2(x−1)x，由 ℎ′(x)=0 ，可得 x =1 ， 可知当x 变化时， ℎ′(x),ℎ(x) 的变化情况如下表：∴ℎ(x)≥ℎ(1)=0 ，即 f′(x)≥0 ，可得 f(x) 在区间 (0,+∞) 单调递增（2）解：由已知可得函数 g(x) 的定义域为 (0,+∞) ，且 g ′(x)=1−a x2−2lnxx ，由已知得 g′(x)=0 ，即 x 02−2x 0lnx 0−a =0 ，①由 g(x 0)=2 可得， x 02−x 0(lnx 0)2−2x 0+a =0 ，②联立①②，消去a ，可得 2x 0−(lnx 0)2−2lnx 0−2=0 ，③令 t(x)=2x −(lnx)2−2lnx −2 ，则 t′(x)=2−2lnx x −2x =2(x−lnx−1)x ，由（1）知， x −lnx −1≥0 ，故 t′(x)≥0 ， ∴t(x) 在区间 (0,+∞) 单调递增， 注意到 t(1)=0 ，所以方程③有唯一解 x 0=1 ，代入①，可得 a =1 ， ∴x 0=1,a =1 ；（3）证明：由（1）知 f(x)=x 2−2xlnx 在区间 (0,+∞) 单调递增，故当 x ∈(1,+∞) 时， f(x)>f(1)=1 ， g ′(x)=x 2−2xlnx−1x 2=f(x)−1x 2>0 ，可得 g(x) 在区间 (1,+∞) 单调递增，因此，当 x >1 时， g(x)>g(1)=2 ，即 x +1x −(lnx)2>2 ，亦即 (√x 1√x)2>(lnx)2 ，这时 √x 1√x >0,lnx >0，故可得 √x 1√x >lnx ，取 x =2k+12k−1,k ∈N ∗ ， 可得 √2k+12k−1−√2k−12k+1>ln(2k +1)−ln(2k −1) ，而 √2k+12k−1−√2k−12k+1=2√4k −1， 故 ∑2√4k −1nk=1>∑(ln(nk=12k +1)−ln(2k −1))=ln(2π+1)∴∑1√4k −1ni=1>12ln(2x +1)( n ∈N ∗) .【解析】【分析】（1）求出 f′(x) ，在定义域内，再次求导，可得在区间 (0,+∞) 上 f′(x)≥0 恒成立，从而可得结论；（2）由 g′(x)=0 ，可得 x 02−2x 0lnx 0−a =0 ，由 g(x 0)=2 可得 x 02−x 0(lnx 0)2−2x 0+a =0 ，联立解方程组可得结果；（3）由（1）知 f(x)=x 2−2xlnx 在区间 (0,+∞) 单调递增，可证明 √x −1√x >lnx，取 x =2k+12k−1,k ∈N ∗ ，可得 √2k+12k−1−√2k−1√2k+1>ln(2k +1)−ln(2k −1) ，而 √2k+12k−1−√2k−12k+1=2√4k −1，利用裂项相消法，结合放缩法可得结果.。
天津市南开区2019-2020学年高考适应性测试卷数学试题(2)含解析
天津市南开区2019-2020学年高考适应性测试卷数学试题（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（ ） A ．(,1)(3,)-∞-+∞U B ．(1,3)-C ．(1,3)D ．(,1)(3,)-∞+∞U【答案】A 【解析】 【分析】由0ax b ->的解集，可知0a >及1ba=，进而可求出方程()()30ax b x +-=的解，从而可求出()()30ax b x +->的解集.【详解】由0ax b ->的解集为()1,+?，可知0a >且1ba=， 令()()30ax b x +-=，解得11x =-，23x =，因为0a >，所以()()30ax b x +->的解集为()(),13,-∞-+∞U ， 故选：A. 【点睛】本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题. 2．已知12log 13a =131412,13b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13log 14c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a c b >>【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数的图像与性质易得b 最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较a 和c 的大小关系，进而得解.【详解】根据指数函数的图像与性质可知1314120131b ⎛⎫<= ⎪⎭<⎝，由对数函数的图像与性质可知12log 131a =>，13log 141c =>，所以b 最小；而由对数换底公式化简可得1132log 13log 14a c -=-lg13lg14lg12lg13=- 2lg 13lg12lg14lg12lg13-⋅=⋅ 由基本不等式可知()21lg12lg14lg12lg142⎡⎤⋅<+⎢⎥⎣⎦，代入上式可得()2221lg 13lg12lg14lg 13lg12lg142lg12lg13lg12lg13⎡⎤-+⎢⎥-⋅⎣⎦>⋅⋅221lg 13lg1682lg12lg13⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅11lg13lg168lg13lg16822lg12lg13⎛⎫⎛⎫+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅()()lg13lg 168lg13lg 1680lg12lg13+⋅-=>⋅所以a c >， 综上可知a c b >>， 故选：D. 【点睛】本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题.3．某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）.A ．22S ，且23SB ．22S ，且3SC ．22S ，且23SD ．22S ，且3S【答案】D 【解析】 【分析】首先把三视图转换为几何体，根据三视图的长度，进一步求出个各棱长. 【详解】根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体， 如图所示：所以：2AB BC CD AD DE =====，22AE CE ==，22(22)223BE =+=.故选：D.. 【点睛】本题考查三视图和几何体之间的转换，主要考查运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题. 4．在ABC ∆中,,A B C ∠∠∠所对的边分别是,,a b c ，若3,4,120a b C ︒==∠=，则c =（ ） A ．37 B ．13C 13D 37【答案】D 【解析】 【分析】直接根据余弦定理求解即可． 【详解】解：∵3,4,120a b C ︒==∠=，∴2222cos 9161237c a b ab C =+-=++=， ∴37c = 故选：D ． 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题．5．在声学中，声强级L （单位：dB ）由公式1210110I L g -⎛⎫=⎪⎝⎭给出，其中I 为声强（单位：2W/m ）.160dB L =，275dB L =，那么12I I =（ ）A ．4510 B ．4510-C ．32-D ．3210-【答案】D 【解析】 【分析】 由1210110I L g -⎛⎫= ⎪⎝⎭得lg 1210L I =-，分别算出1I 和2I 的值，从而得到12I I 的值. 【详解】 ∵1210110I L g -⎛⎫=⎪⎝⎭， ∴()()1210lg lg1010lg 12L I I -=-=+，∴lg 1210LI =-， 当160L =时，1160lg 121261010L I =-=-=-，∴6110I -=， 当275L =时，2275lg 1212 4.51010L I =-=-=-，∴ 4.5210I -=， ∴36 1.5124.5210101010I I ----===， 故选：D. 【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题.6．已知m 为实数，直线1l ：10mx y +-=，2l ：()3220m x my -+-=，则“1m =”是“12//l l ”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行的等价条件，求出m 的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】当m=1时，两直线方程分别为直线l 1：x+y ﹣1=0，l 2：x+y ﹣2=0满足l 1∥l 2，即充分性成立， 当m=0时，两直线方程分别为y ﹣1=0，和﹣2x ﹣2=0，不满足条件． 当m≠0时，则l 1∥l 2⇒32211m m m --=≠-， 由321m mm -=得m 2﹣3m+2=0得m=1或m=2， 由211m -≠-得m≠2，则m=1， 即“m=1”是“l 1∥l 2”的充要条件， 故答案为：A 【点睛】（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题也可以利用下面的结论解答，直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平行，则12210a b a b -=且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合. 7．已知数列{}n a 的通项公式是221sin 2n n a n π+⎛⎫=⎪⎝⎭，则12312a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．0 B ．55C ．66D ．78【答案】D 【解析】 【分析】先分n 为奇数和偶数两种情况计算出21sin 2n π+⎛⎫⎪⎝⎭的值，可进一步得到数列{}n a 的通项公式，然后代入12312a a a a +++⋅⋅⋅+转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果.【详解】解：由题意得，当n 为奇数时，213sin sin sin sin 12222n n ππππππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+==-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当n 为偶数时，21sin sin sin 1222n n ππππ+⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以当n 为奇数时，2n a n =-；当n 为偶数时，2n a n =，所以12312a a a a +++⋅⋅⋅+22222212341112=-+-+-⋅⋅⋅-+ 222222(21)(43)(1211)=-+-+⋅⋅⋅+-(21)(21)(43)(43)(1211)(1211)=+-++-+⋅⋅⋅++- 12341112=++++⋅⋅⋅++ 121+122⨯=（）78= 故选：D 【点睛】此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档题.8．设i 为虚数单位，复数()()1z a i i R =+-∈，则实数a 的值是（ ） A ．1 B ．-1C ．0D ．2【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算化简，由复数的意义即可求得a 的值. 【详解】复数()()1z a i i R =+-∈， 由复数乘法运算化简可得()11a a i z =++-，所以由复数定义可知10a -=， 解得1a =， 故选：A. 【点睛】本题考查了复数的乘法运算，复数的意义，属于基础题.9．已知x ，y 满足不等式00224x y x y t x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数z ＝9x+6y 最大值的变化范围[20，22]，则t 的取值范围（ ） A ．[2，4] B ．[4，6]C ．[5，8]D ．[6，7]【答案】B 【解析】 【分析】作出可行域，对t 进行分类讨论分析目标函数的最大值，即可求解.画出不等式组24xyx y≥⎧⎪≥⎨⎪+=⎩所表示的可行域如图△AOB当t≤2时，可行域即为如图中的△OAM，此时目标函数z＝9x+6y 在A（2，0）取得最大值Z＝18不符合题意t＞2时可知目标函数Z＝9x+6y在224x y tx y+=⎧⎨+=⎩的交点（82433t t--，）处取得最大值，此时Z＝t+16由题意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故选：B．【点睛】此题考查线性规划，根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，关键在于熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法.10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．32B．323C．16D．163【答案】D【解析】根据三视图判断出几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，利用锥体和柱体的体积公式计算出体积并相加求得几何体的体积. 【详解】由三视图可知该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，该多面体体积为1122223⨯⨯⨯+11622223⨯⨯⨯⨯=.故选D. 【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查柱体和锥体的体积公式，属于基础题. 11．已知函数2ln(2),1,()1,1,x x f x x x -⎧=⎨-+>⎩„若()0f x ax a -+…恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．[0,2]【答案】D 【解析】 【分析】由()0f x ax a -+…恒成立，等价于|()|y f x =的图像在(1)y a x =-的图像的上方，然后作出两个函数的图像，利用数形结合的方法求解答案. 【详解】 因为2ln(2),1,()1,1,x x f x x x -⎧=⎨->⎩„由()(1)f x a x -…恒成立，分别作出|()|y f x =及(1)y a x =-的图象，由图知，当0a <时，不符合题意，只须考虑0a …的情形，当(1)y a x =-与()(1)y f x x =…图象相切于(1,0)时，由导数几何意义，此时21(1)|2x a x '==-=，故02a 剟. 故选：D【点睛】此题考查的是函数中恒成立问题，利用了数形结合的思想，属于难题.12．已知函数()1xf x xe-=，若对于任意的0(0,]x e ∈，函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,]e B ．2(,]e e e-C ．22(,]e e e e-+ D ．2(1,]e e-【答案】D 【解析】 【分析】将原题等价转化为方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根，先求导()'f x ，可判断()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤，再令2()ln 1F x x x ax =-++，求导得221()x ax F x x'--=-，结合韦达定理可知，要满足题意，只能是存在零点1x ，使得()0F x '=在()0,e 有解，通过导数可判断当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数；当()1,x x e ∈时()0F x '<，()F x 在()1,x e 上是减函数；则应满足()()1max 1F x F x =>，再结合211210x ax --=，构造函数()2ln 1m x x x =+-，求导即可求解；【详解】函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，等价于方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根.111()(1)x x x f x e xe x e '---=-=-，所以当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤.设2()ln 1F x x x ax =-++，2121()2x ax F x x a x x'--=-+=-，若()0F x '=在()0,e 无解，则()F x 在(0,]e 上是单调函数，不合题意；所以()0F x '=在()0,e 有解，且易知只能有一个解.设其解为1x ，当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数； 当()1,x x e ∈时()0F x '<，()F x 在()1,x e 上是减函数.因为0(0,]x e ∀∈，方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内有两个不同的根，所以()()1max 1F x F x =>，且()0F e ≤.由()0F e ≤，即2ln 10e e ae -++≤，解得2a e e≤-.由()()1max 1F x F x =>，即2111ln 11x x ax -++>，所以2111ln 0x x ax -+>.因为211210x ax --=，所以1112a x x =-，代入2111ln 0x x ax -+>，得211ln 10x x +->. 设()2ln 1m x x x =+-，()120m x x x'=+>，所以()m x 在()0,e 上是增函数， 而()1ln1110m =+-=，由211ln 10x x +->可得()()11m x m >，得11x e <<.由1112a x x =-在()1,e 上是增函数，得112a e e<<-. 综上所述21a e e<≤-， 故选：D. 【点睛】本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题，构造函数法，导数法研究函数增减性与最值关系，转化与化归能力，属于难题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
天津市宁河县2019-2020学年高考第二次适应性考试数学试题含解析
天津市宁河县2019-2020学年高考第二次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知4cos sin 3b B C c =，则B =（ ） A ．6π或56πB ．4πC ．3π D ．6π或3π 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理得到4sin cos sin 3sin B B C C =，化简得到答案. 【详解】由4cos sin 3b B C c =，得4sin cos sin 3sin B B C C =，∴3sin 2B =，∴23B π=或23π，∴6B π=或3π．故选：D 【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力. 2．函数()2ln xf x x x=-的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据函数()f x 的奇偶性和单调性，排除错误选项，从而得出正确选项. 【详解】因为()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，排除C 和D.当0x >时，()2ln x x f x x =-，()332ln 1'x x f x x=+-， 令()'0f x <，得01x <<，即()f x 在()0,1上递减；令()'0f x >，得1x >，即()f x 在()1,+∞上递增.所以()f x 在1x =处取得极小值，排除B. 故选：A 【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查利用导数研究函数的单调区间和极值，属于中档题. 3．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60︒角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ） A ．4π B ．16πC ．163πD ．323π【答案】D 【解析】 【分析】由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积． 【详解】如图，正三棱锥A BCD -中，M 是底面BCD ∆的中心，则AM 是正棱锥的高，ABM ∠是侧棱与底面所成的角，即ABM ∠＝60°，由底面边长为3得23333BM =⨯=， ∴tan 60333AM BM =︒=⨯=．正三棱锥A BCD -外接球球心O 必在AM 上，设球半径为R ， 则由222BO OM BM =+得222(3)(3)R R =-+，解得2R =， ∴3344322333V R πππ==⨯=． 故选：D ．【点睛】本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系．掌握正棱锥性质是解题关键．4．函数3()cos ln ||f x x x x x =+在[,0)(0,]ππ-U 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】先考虑奇偶性，再考虑特殊值，用排除法即可得到正确答案. 【详解】()f x 是奇函数，排除C ，D ；()2()ln 0f ππππ=-<，排除A.故选：B. 【点睛】本题考查函数图象的判断，属于常考题.5．如图所示，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且||2||BF AF =，则双曲线C 的离心率是（ ）.A 3B ．7 C 3D 7【答案】C 【解析】 【分析】易得||2AF a =，||4BF a =，又1()2FO FB FA =+u u u r u u u r u u u r，平方计算即可得到答案.【详解】设双曲线C 的左焦点为E ，易得AEBF 为平行四边形， 所以||||||||2BF AF BF BE a -=-=，又||2||BF AF =，故||2AF a =，||4BF a =，1()2FO FB FA =+u u u r u u u r u u u r，所以2221(41624)4c a a a a =+-⨯，即223c a =，故离心率为e =故选：C. 【点睛】本题考查求双曲线离心率的问题，关键是建立,,a b c 的方程或不等关系，是一道中档题. 6．下列选项中，说法正确的是（ ）A ．“20000x R x x ∃∈-≤，”的否定是“2000x R x x ∃∈->，”B ．若向量a b r r ，满足0a b ⋅<r r ，则a r 与b r的夹角为钝角 C ．若22am bm ≤，则a b ≤D ．“()x A B ∈U ”是“()x A B ∈I ”的必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】对于A 根据命题的否定可得：“∃x 0∈R ，x 02-x 0≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2-x ＞0”，即可判断出；对于B 若向量a b r r ，满足0a b ⋅<r r ，则a r 与b r的夹角为钝角或平角；对于C 当m=0时，满足am 2≤bm 2，但是a≤b 不一定成立；对于D 根据元素与集合的关系即可做出判断． 【详解】选项A 根据命题的否定可得：“∃x 0∈R ，x 02-x 0≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2-x ＞0”，因此A 不正确； 选项B 若向量a b r r ，满足0a b ⋅<r r ，则a r 与b r的夹角为钝角或平角，因此不正确. 选项C 当m=0时,满足am 2≤bm 2，但是a≤b 不一定成立，因此不正确；选项D 若“()x A B ∈I ”，则x A ∈且x B ∈，所以一定可以推出“()x A B ∈U ”，因此“()x A B ∈U ”是“()x A B ∈I ”的必要条件，故正确. 故选：D. 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，涉及知识点有含有量词的命题的否定、不等式性质、向量夹角与性质、集合性质等，属于简单题.7．定义域为R 的偶函数()f x 满足任意x ∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-.若函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．0,2⎛ ⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得()f x 的周期为2，当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-，令()log (1)a g x x =+，则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，画出图像，数形结合，根据(2)(2)g f >，求得a 的取值范围. 【详解】()f x 是定义域为R 的偶函数，满足任意x ∈R ，(2)()(1)f x f x f +=-，令1,(1)(1)(1)x f f f =-=--，又(1)(1),(1))(2)(0,f f x f x f f -=∴+==，()f x ∴为周期为2的偶函数，当[2,3]x ∈时，22()212182(3)f x x x x =-+-=--，当2[0,1],2[2,3],()(2)2(1)x x f x f x x ∈+∈=+=--， 当2[1,0],[0,1],()()2(1)x x f x f x x ∈--∈=-=-+， 作出(),()f x g x 图像，如下图所示：函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点， 则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，()0f x ≤Q ，若1a >，()f x 的图像和()g x 的图像只有1个交点，不合题意，所以01a <<，()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点， 则有(2)(2)g f >，即log (21)(2)2,log 32a a f +>=-∴>-，22113,,01,03a a a a ∴><<<∴<<Q 故选:B.【点睛】本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题.8．已知α，β是两平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，则不正确命题是（ ） A ．若m ⊥α，n//α，则m ⊥n B ．若m//α，n//α，则m//n C ．若l ⊥α，l//β，则α⊥β D ．若α//β，l ⊄β，且l//α，则l//β【答案】B 【解析】 【分析】根据线面平行、线面垂直和空间角的知识，判断A 选项的正确性.由线面平行有关知识判断B 选项的正确性.根据面面垂直的判定定理，判断C 选项的正确性.根据面面平行的性质判断D 选项的正确性. 【详解】A ．若//n α，则在α中存在一条直线l ，使得//,,l n m l αα⊥⊂，则m l ⊥，又//l n ，那么m n ⊥，故正确； B ．若//,//m n αα，则//m n 或相交或异面，故不正确；C ．若l β//，则存在a β⊂，使//l α，又,l a αα⊥∴⊥，则αβ⊥，故正确．D ．若//αβ，且//l α，则l β⊂或l β//，又由,//l l ββ⊄∴，故正确． 故选：B 【点睛】本小题主要考查空间线线、线面和面面有关命题真假性的判断，属于基础题.9．已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的关于直线1y =-对称的点在()1g x kx =-的图像上，则k 的取值范围是( )A．13 (,)34B．13(,)24C．1(,1)3D．1(,1)2【答案】D【解析】【分析】根据对称关系可将问题转化为()f x与1y kx=--有且仅有四个不同的交点；利用导数研究()f x的单调性从而得到()f x的图象；由直线1y kx=--恒过定点()0,1A-，通过数形结合的方式可确定(),AC ABk k k-∈；利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得ACk和ABk，进而得到结果.【详解】()1g x kx=-关于直线1y=-对称的直线方程为：1y kx=--∴原题等价于()f x与1y kx=--有且仅有四个不同的交点由1y kx=--可知，直线恒过点()0,1A-当0x>时，()ln12ln1f x x x'=+-=-()f x∴在()0,e上单调递减；在(),e+∞上单调递增由此可得()f x图象如下图所示：其中AB、AC为过A点的曲线的两条切线，切点分别为,B C由图象可知，当(),AC ABk k k-∈时，()f x与1y kx=--有且仅有四个不同的交点设(),ln2C m m m m-，0m>，则ln21ln1ACm m mk mm-+=-=-，解得：1m=1ACk∴=-设23,2B n n n⎛⎫+⎪⎝⎭，0n≤，则23132220ABn nk nn++=+=-，解得：1n=-31222ABk∴=-+=-11,2k ⎛⎫∴-∈-- ⎪⎝⎭，则1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭本题正确选项：D 【点睛】本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是能够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进行求解.10．设()'f x 函数()()0f x x >的导函数，且满足()()2'f x f x x>，若在ABC ∆中，34A π∠=，则（ ）A ．()()22sin sin sin sin f A B f B A <B ．()()22sinC sin sin sin f B f B C< C ．()()22cos sin sin cos f A B f B A >D ．()()22cosC sin sin cos f B f B C >【答案】D 【解析】 【分析】根据()()2'f x f x x >的结构形式，设()()2f x g x x =，求导()()()32xf x f x g x x '-'=，则()0g x '>，()g x 在()0,∞+上是增函数，再根据在ABC ∆中，34A π∠=，得到04π<∠<B ，04π<∠<C ，利用余弦函数的单调性，得到cos sin ∠>∠C B ，再利用()g x 的单调性求解. 【详解】 设()()2f x g x x=， 所以 ()()()32xf x f x g xx'-'=，因为当0x >时，()()2'f x f x x>， 即()()20xf x f x x'->，所以()0g x '>，()g x 在()0,∞+上是增函数， 在ABC ∆中，因为34A π∠=，所以04π<∠<B ，04π<∠<C ，因为cos sin 4π⎛⎫∠=+∠⎪⎝⎭C B ，且042ππ<∠<+∠<B B ，所以sin sin 4π⎛⎫∠<+∠⎪⎝⎭B B ， 即cos sin ∠>∠C B ， 所以()()22cos sin s sin f C f B co CB>，即()()22cosC sin sin cos f B f B C > 故选：D 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.110y m -+=过双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F ，且与双曲线C 在第二象限交于点A ，若||||FA FO =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为A ．2B ．1C D 1【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】0y m -+=的倾斜角为π3，易得||||FA FO c ==．设双曲线C 的右焦点为E ，可得AFE △中，90FAE ∠=o ，则||AE =，所以双曲线C 的离心率为1e =.故选B ．12．在ABC V 中，D 为BC 边上的中点，且||1,|2,120AB AC BAC ==∠=︒u u u r u u u r ，则||=uuu rAD （ ）A B ．12C ．34D 【答案】A 【解析】 【分析】由D 为BC 边上的中点，表示出()12AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，然后用向量模的计算公式求模. 【详解】解：D 为BC 边上的中点，()12AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，()12AD AB AC =+===u u u r u u u r u u u r故选：A 【点睛】在三角形中，考查中点向量公式和向量模的求法，是基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
天津市津南区2019-2020学年高考适应性测试卷数学试题(1)含解析
天津市津南区2019-2020学年高考适应性测试卷数学试题（1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知随机变量X 服从正态分布()4,9N ，且()()2P X P X a ≤=≥，则a =（ ） A ．3 B ．5C ．6D ．7【答案】C 【解析】 【分析】根据在关于4X =对称的区间上概率相等的性质求解． 【详解】4μ=Q ，3σ=，(2)(42)(42)(6)()P X P X P X P X P X a ∴≤=≤-=≥+=≥=≥，6a ∴=．故选：C ． 【点睛】本题考查正态分布的应用．掌握正态曲线的性质是解题基础．随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()()P X m P X m μμ≤-=≥+．2．袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是3的倍数，则获奖，若有5人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是（ ） A ．40243B ．70243C ．80243D ．38243【答案】C 【解析】 【分析】先确定摸一次中奖的概率，5个人摸奖，相当于发生5次试验，根据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果． 【详解】从6个球中摸出2个，共有2615C =种结果，两个球的号码之和是3的倍数，共有(1,2),(1,5),(2,4),(3,6),(4,5)∴摸一次中奖的概率是51153=， 5个人摸奖，相当于发生5次试验，且每一次发生的概率是13，∴有5人参与摸奖，恰好有2人获奖的概率是35222180()()33243C ⋅⋅=， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率，考查独立重复试验的概率，解题时主要是看清摸奖5次，相当于做了5次独立重复试验，利用公式做出结果，属于中档题． 3．复数()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则z =( )A ．iB ．﹣2iC ．2iD ．﹣i【答案】B 【解析】 【分析】复数()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，求出a ，即得z .【详解】∵()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，∴21010a a ⎧-=⎨-≠⎩，解得1a =-. 2z i ∴=-. 故选：B . 【点睛】本题考查复数的分类，属于基础题.4．已知函数())33x x f x x -=+-，不等式()2(50f f x ++„对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．[2,)-+∞ B ．(,2]-∞-C ．5,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．5,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】 【分析】确定函数为奇函数，且单调递减，不等式转化为2a ⎫=-，利用双勾函数单调性求最值得到答案. 【详解】())33(),()x x f x x f x f x --=+-=-是奇函数，())3333x x x x f x x --=+=+--，易知,33x x y y y -==-=均为减函数，故()f x 且在R 上单调递减，不等式()2(50f f x ++„，即()2(5f f x --„，结合函数的单调性可得25x --，即2a ⎫=-，设t =，2t ≥，故1y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭单调递减，故max 52⎫-=-， 当2t =，即0x =时取最大值，所以52a -…. 故选：C . 【点睛】本题考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式，参数分离求最值是解题的关键. 5．设2log 3a =，4log 6b =，0.15c -=，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】A 【解析】 【分析】先利用换底公式将对数都化为以2为底,利用对数函数单调性可比较,a b ,再由中间值1可得三者的大小关系. 【详解】()2log 31,2a =∈，()422log 6log 1,log 3b ==，()0.150,1c -=∈，因此a b c >>，故选：A.【点睛】本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小,属于基础题.6．若双曲线E ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的一个焦点为(3,0)F ，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A 、B 两点，且AB 的中点为()3,6P --，则E 的方程为（ ）A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22136x y -=【答案】D 【解析】【分析】求出直线l 的斜率和方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点的坐标，可得,a b 的方程组，求得,a b 的值，即可得到答案. 【详解】由题意，直线l 的斜率为06133PF k k +===+， 可得直线l 的方程为3y x =-，把直线l 的方程代入双曲线22221x y a b-=，可得2222222()690b a x a x a a b -+--=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则212226a x x a b+=-， 由AB 的中点为()3,6P --，可得22266a a b=--，解答222b a =， 又由2229a b c +==，即2229a a +=，解得3,6a b ==，所以双曲线的标准方程为22136x y -=.故选：D. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程的求解，其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组，合理利用根与系数的关系和中点坐标公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.7．党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】根据四个列联表中的等高条形图可知，图中D 中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大， 它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选D ．8．记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）A ．112n n n S S ++-=B ．2nn a =C ．21nn S =- D ．121n n S -=-【答案】C 【解析】 【分析】先利用等比数列的性质得到3a 的值，再根据24,a a 的方程组可得24,a a 的值，从而得到数列的公比，进而得到数列的通项和前n 项和，根据后两个公式可得正确的选项. 【详解】因为{}n a 为等比数列，所以2324a a a =，故3364a =即34a =，由24241016a a a a +=⎧⎨=⎩可得2428a a =⎧⎨=⎩或2482a a =⎧⎨=⎩，因为{}n a 为递增数列，故2428a a =⎧⎨=⎩符合.此时24q =，所以2q =或2q =-（舍，因为{}n a 为递增数列）.故3313422n n n n a a q ---==⨯=，()1122112n n nS ⨯-==--.故选C. 【点睛】一般地，如果{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则有性质：（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a =；（2）公比1q ≠时，则有nn S A Bq =+，其中,A B 为常数且0A B +=；（3）232,,,n n n n n S S S S S --L 为等比数列（0n S ≠ ）且公比为nq .9．已知函数()()0xe f x x a a=->，若函数()y f x =的图象恒在x 轴的上方，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()0,eC ．(),e +∞D ．1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】函数()y f x =的图象恒在x 轴的上方，0x e x a ->在()0,∞+上恒成立.即x e x a >，即函数x ey a =的图象在直线y x =上方，先求出两者相切时a 的值，然后根据a 变化时，函数xey a=的变化趋势，从而得a 的范围． 【详解】由题0x e x a ->在()0,∞+上恒成立.即xe x a>，xe y a=的图象永远在y x =的上方，设xe y a =与y x =的切点()00,x y ，则01x x e ae xa⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得a e =，易知a 越小，xey a=图象越靠上，所以0a e <<.故选：B ． 【点睛】本题考查函数图象与不等式恒成立的关系，考查转化与化归思想，首先函数图象转化为不等式恒成立，然后不等式恒成立再转化为函数图象，最后由极限位置直线与函数图象相切得出参数的值，然后得出参数范围．10．三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ︒∠=∠=，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A ．33B ．66C ．34D 3【答案】B 【解析】 【分析】设1AA c =u u u v v ，AB a =u u u v v ，AC b =u u u v v，根据向量线性运算法则可表示出1AB u u u v 和1BC u u u u v ；分别求解出11AB BC ⋅u u u v u u u u v 和1AB u u u v ，1BC u u u u v ，根据向量夹角的求解方法求得11cos ,AB BC <>u u u v u u u u v，即可得所求角的余弦值.【详解】设棱长为1，1AA c =u u u v v，AB a =u u u v v ，AC b =u u u v v由题意得：12a b ⋅=v v ，12b c ⋅=v v ，12a c ⋅=v v1AB a c =+u u u v v v Q ，11BC BC BB b a c =+=-+u u u u v u u u v u u u v v v v()()22111111122AB BC a c b a c a b a a c b c a c c ∴⋅=+⋅-+=⋅-+⋅+⋅-⋅+=-++=u u u v u u u u v v v v v v v v v v v v v v v v又()222123AB a c a a c c =+=+⋅+=u u u v v v v v v v()222212222BC b a cb ac a b b c a c =-+=++-⋅+⋅-⋅=u u u u vv v v v v v v v v v v v1111116cos ,66AB BC AB BC AB BC ⋅∴<>===⋅u u u v u u u u vu u u v u u u u v u u u v u u u u v即异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为：66本题正确选项：B 【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.11．古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个“完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为( )A ．15B ．25C ．35D ．110【答案】B 【解析】 【分析】推导出基本事件总数，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，由此能求出6和28恰好在同一组的概率． 【详解】解：将五个“完全数”6，28，496，8128，33550336，随机分为两组，一组2个，另一组3个， 基本事件总数2353C 10n C ==，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数22123234m C C C C =+=， ∴6和28恰好在同一组的概率42105m p n ===． 故选：B ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 12．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】分析：根据复数的运算，求得复数，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案． 详解：由题意，复数，则所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于复平面内的第三象限，故选C ．点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示，其中根据复数的四则运算求解复数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年普通高考(天津卷)高三年级适应性测试数学
2020年普通高考（天津卷）适应性测试数 学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至6页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共9小题，每小题5分，共45分。
参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+U ． ·如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．·圆柱的体积公式V Sh =，其中S 表示圆柱的底面面积，h 表示圆柱的高． ·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高． 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{2U =-，1-，0，1，2}，集合{2A =-，0，1，2}，{1B =-，0，1}，则集合U A B =I ð() A ．{}0,1B ．{}2,2-C ．{}2,1--D ．{}2,0,2-2．设a R ∈，则“2a ≥”是“2203a a +≥-”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件3．函数2x x y e=的图象大致是( )4．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积为36，E 为棱1CC 上的点，且12CE EC =，则三棱锥E BCD -的体积是( ) A ．3B ．4C ．6D ．125．某市为了解全市居民日常用水量的分布情况，调查了一些居民某年的月均用水量（单位：吨），其频率分布表和频率分别直方图如下：则图中t 的值为( )分组 频数 频率 [0,0.5) 4 0.04 [0.5,1) 5 0.08 [1,1.5) 15 a [1.5,2) 22 0.22 [2,2.5)m0.25A ．0.15B ．0.075C ．0.3D ．156．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞单调递增则( ) A ．221(log )(log )(2)3f f f ->>ππB ．221(log )(2)(log )3f f f ->ππC ．221(2)(log )(log )3f f f ->>ππD ．221(2)(log )(log )3f f f ->>ππ7．抛物线22(0)x py p =>的焦点与双曲线221169x y -=的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则p 的值为( )A ．52B ．403C ．203D 878．已知函数()sin cos f x x x =+下列结论错误．．的是( ) A ．()f x 的最小正周期为2π B ．()y f x =的图象关于直线54x =π对称 C ．74π是()f x 的一个零点 D ．()f x 在区间32⎛⎫⎪⎝⎭，ππ单调递减 9．已知函数22,0()24,0x x x f x x x x⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数()()1F x f x kx =--有且只有3个零点，则实数k 的取值范围( )[2.5,3) 14 0.14 [3,3.5) 6 0.06 [3.5,4) 4 0.04 [4,4.5) 2 0.02 合计1001.00A ．90,16⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．9,16⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．19,00,1616⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U2020年普通高考（天津卷）适应性测试数 学第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2020年普通高考(天津卷)高三年级适应性测试数学(PDF版)
1 2
D．
1 16
,
0
0, 9 16
数学（天津卷）
第3页共6页
2020 年普通高考（天津卷）适应性测试
数学
第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2．本卷共 11 小题，共 105 分。 二．填空题（共 6 小题）
10． i 是虚数单位，复数 3 2i
19．（本题满分 15 分） 已知数列 {an} 是公差为 1 的等差数列，数列 {bn} 是等比数列，且 a3 a4 a7 ，b2 b4 b5 ，a4 4b2 b3 ，
数列 {cn} 满足： cn = bb22mm,1, am ,
n 3m 2 n 3m 1 ，其中 m N * ． n 3m
f
(log2
1) 3
f (2 )
B．
f (log2
1) f (2 ) 3
f (log2 )
C．
f (2 )
f
(log2
1) 3
f
(log2 )
D．
f (2 )
f (log2 )
f (log2
1) 3
7．抛物线 x2 2 py( p 0) 的焦点与双曲线 x2 y2 1的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则 p 的 16 9
，其中
R
，x0
是
g(x) 的一个极值点，且
g(x0 )=2
．
（Ⅰ）讨论函数 f (x) 的单调性；
（Ⅱ）求实数 x0 和 a 的值；
n
（Ⅲ）证明
1 1 ln(2n 1) (n N*) ．
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A．
f
log 2
f
log
2
1 3
f
2
B．
f
log
2
1 3
f
2
f log2
C． f
2
f
log
2
1 3
f
log 2
D． f
2
f
log 2
f
log
14．已知 a 0,
b
0 ，则
a2
4b2 a3b3 a2b2
的最小值为______________.
15．如图，在 ABC 中， AB 3, AC 2, BAC 60 ，D,E 分别边 AB,AC 上的点, AE 1 且
AD
AE
1 2
，则
题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来
处理.
3．函数
y
x2 ex
的图象大致是（
）
6
A．
B．
C．
D．
【答案】A 【解析】根据函数有两个极值点，可排除选项 C、D；利用奇偶性可排除选项 B，进而可得结果. 【详解】
因为
y
x2 ex
，所以
y'
4
19．已知数列 an 是公差为 1 的等差数列，数列 bn 是等比数，且 a3 a4 a7 , b2 b4 b5 , a4 4b2 b3 数
列 cn 满足 cn bb22mm,1,
am ,
n 3m 2 n 3m 1 其中 m N* . n 3m
分组
频数
频率
8
[0, 0.5)
4
0.04
[0.5,1)
8
0.08
[1,1.5)
15
a
[1.5, 2)
22
0.22
[2, 2.5)
m
0.25
[2.5, 3)
14
0.14
[3, 3.5)
6
0.06
[3.5, 4)
4
0.04
[4, 4.5)
2
0.02
合计
100
1.00
A． 0.15
B． 0.075
C． 0.3
2 3
CC1
1 9
BC CD CC1
1 9
36
4
故选：B. 【点睛】
本题主要考查柱体的体积与锥体的体积，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题. 5．某市为了解全市居民日常用水量的分布情况，调查了一些居民某年的月均用水量（单位：吨），其频率分 布表和频率分布直方图如图，则图中 t 的值为（ ）
g(x)
的一个极值点，
且 g x0 2 .
（1）讨论 f (x) 的单调性
（2）求实数 x0 和 a 的值
n
（3）证明
k 1
1 1 ln(2n 1) 4k 2 1 2
n N*
5
解析
天津市 2020 届普通高考适应性测试数学试卷
一、单选题
1．已知全集U {2, 1, 0,1, 2} ，集合 A {2, 0,1, 2}， B {1, 0,1}，则 A CU B （ ）
A． {0,1}
B．{2, 2}
C．{2, 1}
D．{2,0, 2}
【答案】B
【解析】先利用补集的定义求出 CU B ，再利用交集的定义可得结果.
【详解】
因为全集U {2, 1, 0,1, 2} ， B {1, 0,1}，所以 CU B {2, 2} ，
又因为集合 A {2, 0,1, 2}，所以 A CU B {2, 2}.
为（ ）
A． 15 2
B． 40 3
C． 20 3
D． 8 7 3
8．已知函数 f (x) sin x cos x ，则下列结论错误的是（ ）
2
A． f (x) 的最小正周期为 2
B． y f (x) 的图象关于直线 x 5 对称 4
C．
7 4
是
f (x) 的一个零点
D．
f
(x)
在区间
,
3 2
单调递减
9．已知函数
f
(x)
x2
2x,
2x x
4
,
x 0 ，若函数 F (x) f (x) | kx 1| 有且只有 3 个零点，则实数 k 的取值
x0
范围是（ ）
A．
0,
9 16
B．
9 16
,
C．
|
AD
|
______________，若
P
是线段
DE
上的一个动点，则
BP
CP
的最小值为
_________________.
三、解答题 3
16．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 3(a c)2 3b2 2ac
（1）求 cos B 的值 （2）若 5a 3b
D．12
5．某市为了解全市居民日常用水量的分布情况，调查了一些居民某年的月均用水量（单位：吨），其频率分
布表和频率分布直方图如图，则图中 t 的值为（ ）
1
分组
频数
频率
[0, 0.5)
4
0.04
[0.5,1)
8
0.08
[1,1.5)
15
a
[1.5, 2)
22
0.22
[2, 2.5)
m
0.25
[2.5, 3)
（3）记棱 PD 的中点为 N，若点 Q 在线段 OP 上，且 NQ / / 平面 ADM，求线段 OQ 的长.
18．已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1
(a b 0) 的离心率为
6 3
，点 T
2
2,
3 3
在椭圆上
（1）求椭圆的方程；
uur uur （2）已短直线 y 2x m 与椭交于 A、B 两点，点 P 的坐标为 (2 2, 0) ，且 PA PB 1,求实数 m 的值.
故选：B. 【点睛】 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元
素间的关系，本题实质求满足属于集合 A 且不属于集合 B 的元素的集合.
2．设 a R ，则“ a 2 ”是“ a2 3a 2 0 ”的（ ）
A．充分非必要条件 C．充要条件 【答案】A
天津市 2020 届普通高考适应性测试数学试卷
一、单选题
1．已知全集U {2, 1, 0,1, 2} ，集合 A {2, 0,1, 2}， B {1, 0,1}，则 A CU B （ ）
A． {0,1}
B．{2, 2}
C．{2, 1}
D．{2,0, 2}
2．设 a R ，则“ a 2 ”是“ a2 3a 2 0 ”的（ ）
14
0.14
[3,5, 4)
4
0.04
[4, 4.5)
2
0.02
合计
100
1.00
A． 0.15
B． 0.075
C． 0.3
D．15
6．已知 f (x) 是定义在 R 上的偶函数且在区间[0, ) 单调递减，则（ ）
A．
f
log 2
f
log
2
1 3
B．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件
【解析】利用一元二次不等式的解法化简 a2 3a 2 0 ，再由充分条件与必要条件的定义可得结果.
【详解】
“ a2 3a 2 0 ”等价于 “ a 1或 a 2 ”，
“ a 2 ”能推出“ a 1或 a 2 ”，而“ a 1或 a 2 ”不能推出“ a 2 ”，
所以“ a 2 ”是“ a2 3a 2 0 ”的充分非必要条件，
故选：A. 【点睛】
判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件 p 和结论 q分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试 p q, q p .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命
的体积是
36 可得结果. 【详解】
因为长方体 ABCD A1B1C1D1 的体积是 36，点 E 在棱 CC1 上，且 CE 2EC1 ，
所以 BC CD CC1 36 ，
三棱锥
E-BCD
的体积是
1 3
1 2
BC
CD
EC
1 3
1 2
BC
CD
直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为1；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的
频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（4）直方图左右两边面 积相等处横坐标表示中位数.
9
6．已知 f (x) 是定义在 R 上的偶函数且在区间[0, ) 单调递减，则（ ）
2
1 3