07 趋势面分析

3.趋势面适度的逐次检验
逐次检验就是对相继两个阶次趋势面模型的适度性进 行比较。 为此要求出较高次多项式方程的回归平方和与较低次 多项式方程的回归平方和之差，将此差除以回归平方和的
自由度之差，得到由于多项式次数增高所产生的回归均方
差，然后除以较高次多项式的剩余均方差，得出相继两个 阶次趋势面模型的适度性比较检验值F。若所得的F是显著
如果计算二次趋势面，则趋势方程
ˆ z b0 b1 x b2 y b3 x 2 b4 xy b5 y 2
的待定系数有6个：b0,b1,b2,b3,b4,b5。其求解方法与前 相同，它们应满足以下方程组（矩阵形式）：
1 xi y i 2 xi xi yi 2 yi
解此方程的： b0=1189.3 b1=-645.6 b2=502.4 b3=73.6 b4=-8.2 b5=-100 拟合方程为： z=1189.3-645.6x+502.4y+73.6x2-8.2xy-100y2 并可算得： S回=132081 f回=5 S剩=98910 f剩=18-5-1=12 S总=230911 于是得出： 拟合优度R2=132081/230911=57.2% 统计量F=132081×12/(98910×5)=3.2 若取α=0.05，查F分布表得Fα(5.12)=3.11，因此F＞Fα， 用二次趋势面反映Z2层厚度的变异是显著的。
n
n
n
b0 yi b1 xi yi b2 yi zi yi
2 i 1 i 1 i 1 i 1
n
将方程组写成矩阵形式，则是
1 xi y i
x y b z x x y b z x x y y b z y
分别求Q 对b0 ,b1 ,b2的偏导数，并令其为零，整 理后得以下方程组。
b0 1 b1 xi b2 yi zi
i 1 n i 1 i 1 i 1
n
n
n
n
b0 xi b1 xi b2 xi yi zi xi
2 i 1 n i 1 n i 1 i 1 n
的，则较高次多项式对回归做出了新贡献，反之亦然。
离差来源
（K+1）次 回归
平方和
自由 度 p
均方差
( ( MSRK 1) SSRK !) / p
F检验
SS
( K 1) R
（K+1）次 剩余
K次回归 K次剩余
( SSDK 1)
n–p–1
q n–q–1
( MSDK 1) ( SSDK !) /(n p 1)
( ( MSRK 1) / MSDK 1)
SS
(K ) R
( ( MSRK ) SSRK ) / q
( MS DK ) ( SSDK ) /(n q 1) ( MSRI ) ( SSRI ) /( p q)
( ( MSRK ) / MSDK )
( SSDK )
由K次增高 SS ( I ) R 至（K+1） ( K 1) K SSR 次的回归 SSR
统计分析方法
—趋势面分析
一、趋势面分析原理
通常许多地理数据都包括以下三部分信息： ①反映区域性变化的：数据中反映总体的规律性变 化的部分，如由地质区域构造、区域岩相、区域背景等 大区域因素所决定。 ②反映局部性变化的：它反映局部范围的变化特征。 ③反映随机性变化的：它是由各种随机因素造成的 偏差。 趋势面是一种抽象的数学曲面，它抽象并过滤掉了 一些随机因素的影响，使地理要素的空间分布规律明显 化，以便找出区域性变化趋势，突出局部异常。
2
解此方程组即求得趋势面方程的各个系数 b0,b1,b2,b3,b4,b5。将（xi,yi）代入方程，即得第i点 的趋势值 z ，并可按一定间隔作出 z 的等值线图，即 ˆ ˆ 二次趋势面图形。
用同样的方法可以得到求三次、四次、五次等高
次趋势面方程的系数的方程组。
三、拟合优度及显著性检验
1.R2检验 在趋势面模型的回归参数解出来以后，就需要比较模拟 趋势面与实际面的拟合程度，一般用变量z的回归平方和占 总离差平方和的比重来表示，即回归模型的拟合优度。 总离差平方和S总可表示为： S总
ˆ z b0 b1 x b2 y
来拟合原始数据。根据最小二乘法原理，应使每个观测值 ˆ zi与趋势值 z （i=1,2,···，n）的差的平方和最小， n 即使得 2
Q ( zi b0 b1 xi b2 yi ) min
i 1
以此来确定趋势面系数b0，b1，b2。
n
2
拟合度R2=S回/S总 (1
(z
i 1 n i 1
n
zi ) 2 i
i

(z
) 100%
z)2
显然，当R2=100%时，说明趋势值与所有的数据点上和 观测值完全吻合，但这种情况几乎不可能出现。
R2一般取40-60%即可。 R2随拟合趋势面次数的增加而增加，但此变化是非线 性的，开始增加很快，到一定阶段后R2增加就慢了，一般 三次趋势是转折点。 R2大小与趋势面要表现的原始曲面的形态有关。与观 测点的总数、观测数据的跳动性等有关。一般观测点数越 多，数据跳动越大， 拟合度只是一个参考指标，这是因为拟合度只与观察 点的趋势值及偏差有关。至于观察点分布是否合理，是否 控制了观测区，那是另一回事，拟合度并不能反映。
i i 2 i
i 2
i i 3 i i 2 2 i i 3 i i
y x y y x y x y y
i
b0 zi 2 zx b i i 1 i i 3 b2 zi yi i 2 2 2 zx b i i 3 i i 3 b4 zi xi yi i i 2 4 i b5 i i z y
x x x y x x y x y
i 2 i i i 3 i 2 i i i
i 2
y x y y x y x y y
i i i 2 i 2 i i i 3 i
i 2
x x x y x x y x y
2 3 i i 2 i 4 i 3
i
i i 2 2 i i
x y x y x y x y x y x y
n
2
2
z 式中：zi实测值， 平均值，ˆ 趋势值。 z
zi zi 为剩余平方和，是实测值与趋势值 S剩= i 1
n
2
之差的平方和，其值越大，拟合度越低。
S回= z z 为回归平方和，是趋势值与平均值 i i 1 之差的平方和，其值越大，拟合度越高。
总离差 SST
pq
( ( MSRI ) / MSDK 1)
表1 多项式趋势面的逐次检验
四、实例分析
以下是某地18口钻井资料，Z2层的厚度变化如表所示。
编号 1 2 3 4 坐标 x 4.21 3.93 5.04 3.85 y 2.85 1.7 1.55 1.11 厚度z/m 231 248.5 196 211 编号 10 11 12 13 坐标 x 4.59 4.59 4.1 4.68 y 3.22 3.23 2.84 2.75 厚度z/m 259 259.8 261.5 272
i 2 i 0 i i i i i i 2 i 1 i i 2 i i
该系数矩阵是对称正定的。用一系列初等变换（高 斯法，乔累斯基法等）即可解出b0,b1,b2。从而就可以利 用方程 z b0 b1 x b2 y（i=1,2,…，n）算出各点的趋 ˆ 势值 z 及剩余值（zi与趋势值 z 之差）。 ˆ ˆ
趋势面分析的基本原则：所选择的趋势面模型应
该是剩余值最小，而趋势值最大，这样拟合度精度才
能达到足够的准确性。 通常采用的拟合曲面有两种：一种是多项式趋势 面，另一种是以傅里叶级数为基础得出的拟合面，叫 做调和趋势面，它常用于具有周期性变化的地理数据。
二、多项式趋势面的计算
计算多项式趋势面与计算多项式回归在数学上是完全 一样的，现以一次趋势面为例进行分析计算。 设有一组(n个点)地理观测数据，观测点的横坐标为xi， 纵坐标为yi，观测值为zi,（i=1,2,···，n）,现用一次 趋势面
4.5
5
x
从二次趋势面图和等值线图可以看出，地层自研究区 中部向南、向北都逐渐变薄，向西逐渐变厚，趋势图上虽 然也显示向东逐渐变厚，但由于该区域缺少样本点，所以 尚难断定。
表2 18口井Z2层厚度数据表
采用二次趋势面进行拟合，其方程为：
z b0 b1 x b2 y b3 x b4 xy b5 y
2
2
为求趋势面系数，按前述方法，形成方程组：
77.7 18 77.7 341.1 46.9 203.2 341.1 1517.7 203.2 896.5 130.9 568.7 46.9 203.2 130.9 896.5 568.7 381.2 130.9 b0 5170 7 . 1517 7 896.5 568.7 b1 217827 . . 896.5 568.7 381.2 b2 135035 . 6818.6 4001 7 2511 7 b3 944467 . . . 4001.7 2511 7 1657.7 b4 569697 . . 2511.7 1657.7 1139 9 b5 374169 . . 341.1 203.2
2.显著性F检验 趋势面适度的F检验，是对趋势面回归模型整体的显 著性检验。检验的方法是利用变量z的总离差平方和中剩 余平方和与回归平方和的比值，确定变量z与自变量x、y 之间的回归关系是否显著。即