趋势面分析
第三章趋势面分析
离差来源
（K+1） 次回归 （K+1） 次剩余
K次回归
K次剩余
由K次增 高至
（K+1） 次的回归总离差源自平方和SSR(K 1)
SSD(K 1)
SS
(K R
)
SSD(K )
自由度
均方差
F检验
p n–p–1
q n–q–1
MS
(K R
1)
SSR(K !)
/
p
MSD(K 1)
SSD(K !) /(n p 1)
第三章 地理学中的经典统计分析 方法
第6节 趋势面分析方法
➢趋势面分析的用途 ➢趋势面分析的一般原理 ➢趋势面模型的适度检验 ➢趋势面分析应用实例 ➢趋势面分析的软件实现
一、趋势面分析的用途
❖ 趋势面分析(trend surface analysis, TSA)的主要功 能是找出研究区域内变量的空间分布格局。描述地理要
二、趋势面分析的一般原理
空间趋势面是一种光滑的数学曲面，它能集中地代表地理 数据在大范围内的空间变化趋势。它与实际上的地理曲面不 同，它只是实际曲面的一种近似值。 趋势面是一种抽象的 数学曲面，它抽象并过滤掉了一些局域随机因素的影响，使 地理要素的空间分布规律明显化。
实际曲面=趋势面+剩余曲面。趋势面反映了区域性的变化规 律，它受大范围的系统性因素影响，属于确定性因素作用的 结果。而剩余面反映局部性变化特点，它受局部因素和随机 因素的影响。
图3.6.2 某流域降水量的三次多项式趋势面
模型检验
(1)趋势面拟合适度的R2检验: 根据R2检验 方法计算，结果表明，二次趋势面的判定系数 为R22=0.839，三次趋势面的判定系数为 R32=0.965，可见二次趋势面回归模型和三次 趋势面回归模型的显著性都较高，而且三次趋 势面较二次趋势面具有更高的拟合程度。
趋势面分析的软件
趋势面分析的软件趋势分析是一种用来预测未来发展变化的重要工具，可以帮助人们在决策和规划中更加准确地把握市场动态。
为了帮助用户进行趋势分析，许多软件都提供了相应的功能和工具。
下面我将介绍一些常用的趋势分析软件。
1. Tableau：Tableau是一款流行的数据可视化软件，可以将大量的数据转化为易于理解和分析的图表、地图和仪表盘。
它提供了丰富的趋势分析功能，包括时间序列分析、回归分析和季节性分析等。
它的用户界面简单直观，并且可以轻松地与其他数据源集成，使用户能够更好地利用数据进行趋势分析。
2. Excel：Excel是微软公司的办公软件，几乎每个人都熟悉和使用过它。
Excel 提供了强大的数据处理和分析功能，包括趋势分析。
用户可以使用Excel的数据分析工具包，如数据透视表、条件格式和趋势线等，对数据进行趋势分析。
此外，用户还可以通过自定义公式和宏来进行更复杂的趋势分析。
3. SPSS：SPSS是一款专业的统计分析软件，被广泛应用于学术研究和商业决策中。
它提供了丰富的统计分析功能，包括趋势分析。
用户可以使用SPSS进行时间序列分析、线性回归分析和非线性回归分析等，从而揭示数据背后的规律和趋势。
SPSS还提供了易于使用的图表和图形化界面，使得趋势分析更加直观和易于理解。
4. Python和R：Python和R是两种流行的编程语言，它们都有丰富的统计分析库和工具，使得趋势分析变得非常便捷。
Python的pandas库和R的tidyverse 包提供了各种数据处理和分析的函数和工具，用户可以使用它们来进行时间序列分析、回归分析和季节性分析等。
此外，Python和R还提供了可视化库，如Matplotlib和ggplot2，可以帮助用户生成漂亮的图表和图形。
5. Google趋势：Google趋势是一项由Google提供的免费在线工具，用于分析人们在搜索引擎上的搜索习惯和兴趣。
它可以帮助用户了解关键词的搜索量趋势，从而预测相关行业或市场的发展趋势。
第四章 趋势面分析
n
偏差平方和
SD
i 1
(z
i
2 zi)
设p次趋势面分析的系数个数为k(不包括b0)， 假设(因变量和自变量及其高次幂和交叉乘 积幂之间不相关，则偏回归系数全为0)：
H 0 : b1 b2 bk 0
统计量：
SR k F ~ F k, n k 1) ( SD (n k 1)
结果
（１）趋势面方程
ˆ z b0 b1 x b2 y
（２）残差
ˆ ei zi zi
做出趋势面和残差 图
3926500
3926000
3925500
3925000
20487000
20487500
20488000
20488500
20489000
20489500
三、有关趋势面系数
的几点说明 多项式中 Ｐ次多项式包含Ｐ－１次多项式 对于Ｐ次多项式
ˆ z b0 b1 x b2 y b3 x b4 xy b5 y bk y
2 2
p
p与k有如下关系： k=(p+1+2)p/2=(p+3)p/2
第三节 趋势面分析的系数检验
２、趋势面方程
ˆ z b0 b1 x b2 y
对每个点有
ˆ zi b0 b1 xi b2 yi
i=1 ,2,．．．n
3、关键
求取最符合真实面的最隹方程，即求 取最隹的 b0,b1 ,b2
4、方法
(1)最小二乘法
ˆ Q (Z i zi ) (Z i b0 b1 xi b2 yi )
趋势面分析法
趋势面分析法(一)下面将就趋势面分析、克里金、形函数法三种算法作简单介绍，以后将进一步整理一些资料，介绍更多优秀的实用算法。
一、趋势面分析法趋势面分析法是针对大量离散点信息，从整体插值角度出发，来进行趋势渐变特征分析的最简单的方法。
趋势面分析一般是采取多项式进行回归分析。
趋势面通常应用多项式回归，主要是因为多项式回归的求解比较简单，通常可以得到显示的数学解答。
回归方法采用最小二乘法原理，其本质就是对回归函数在某个区间上的极值求取。
M阶N项多项式趋势面基本可以表示以下形式：要注意在上式中，是参变量，但不是每个参变量都是独立参变量。
在实际分析中，M一般取1，2，3。
一般来说来M不取超过3以上的高阶,主要基于两方面，一是高阶求解相对复杂，二是高级很难赋予物理意义。
N取多参变量在生产实践中是很常见的。
对于任何一组离散型数据，多项式趋势面到底取多少阶和多少个参变量，有一个临界限制：就是不管你取多少阶和多少个参变量，只要待求趋势面中的独立参变量总数小于或者等于已知离散控制点的数量就可以。
事实上，趋势面分析并不限制只取多项式趋势面，可以取任何函数构成的趋势面，如以下形式：上式为任意函数，为待求参变量。
在实际应用中，即使碰到了用一般多项式趋势面解决不了的拟合问题，往往也不采取以上方法，因为其求取复杂和费时。
通常做法是大致估算出其函数形式，将原始数据进行相应转换，然后再采取多项式趋势面方法来进行分析和求解。
在空间分析中，最简单的趋势面分析函数大致有以下一些类型。
1、空间趋势平面模型。
数学函数如下所示：2、简单二次曲面模型。
数学函数如下所示：或3、复杂二次曲面模型。
数学函数如下所示：所谓趋势面，顾名思义只是从趋势上来进行拟合，严格意义说它是平滑函数。
一般趋势面不经过原始数据点，除非趋势面中待求参变量的个数与已知离散控制点所确定的线性不相关方程组的个数相等。
趋势面分析中另一个重要特性就是揭示了分析区域中不同于总趋势的最大偏离部分。
简述趋势面分析的作用
简述趋势面分析的作用趋势面分析是金融市场分析的一种方法，通过对价格曲线的走势进行观察和分析，从中寻找市场的趋势，并据此做出决策。
趋势面分析可以应用于各种金融市场，如股票市场、外汇市场和商品市场等。
它是投资者判断市场趋势和制定交易策略的重要工具。
以下是趋势面分析的几个作用：1. 预测市场趋势：趋势面分析的主要目的是预测市场的未来走势。
它通过观察价格曲线上的多个高点和低点，并将它们连接起来形成趋势线，以此来判断市场是处于上升趋势、下降趋势还是盘整阶段。
通过这样的分析，投资者可以更好地捕捉市场的主要走势，并及时调整自己的头寸。
2. 判断市场的强弱：趋势面分析可以帮助投资者判断市场的强弱程度。
在上升趋势中，市场往往会创出新高，而在下降趋势中，市场则会创出新低。
通过观察价格曲线上的高点和低点，投资者可以判断市场的力量分布，并据此调整自己的交易策略。
当市场处于强势时，投资者可以选择做空，而在市场处于弱势时，投资者则可以选择做多。
3. 确定买卖时机：趋势面分析可以帮助投资者确定买卖的时机。
当市场处于上升趋势时，投资者可以选择在市场回调到趋势线附近时买入；而当市场处于下降趋势时，投资者可以选择在市场反弹到趋势线附近时卖出。
通过这样的交易策略，投资者可以在市场最有利的时机入场或出场，提高交易的成功率和盈利能力。
4. 设置止损和止盈位：趋势面分析可以帮助投资者设置止损和止盈位，以控制风险和保护利润。
在上升趋势中，投资者可以将止损位设置在趋势线下方，以防止价格突破趋势线并开始下跌；而在下降趋势中，投资者则可以将止损位设置在趋势线上方，以防止价格突破趋势线并开始上涨。
同时，投资者也可以根据市场的波动幅度和目标收益来设置止盈位，以锁定部分利润并保护盈利。
5. 分析交易量：趋势面分析还可以帮助投资者分析交易量的变化情况。
在上升趋势中，交易量往往会随着价格的上涨而增加；而在下降趋势中，交易量则会随着价格的下跌而增加。
通过观察交易量的走势，投资者可以判断市场参与者的情绪和行为，并据此作出决策。
趋势面分析
趋势面分析趋势面分析是拟合数学曲面的一种统计方法。
通常要找到一个合适的曲面精确表达实际问题往往比较困难，但却可以利用多项式函数来近似逼近它。
在小麦氮磷肥配合实验中，每6672m 施纯氮量设置0、5、10、15、20和25（单位：0.5kg ）共六个水平；每6672m 施52o p 量为0、5、10、15（单位：0.5kg ）共四个水平，共24个处理组合，获得了产量数据。
令z 表示产量，x 表示施氮量，y 表示施磷量，则),(y x f z =。
分别用一次、二次、三次多项式：y b x b b z 210^++=xy b y b y b x b x b b z 52432210^+++++=2928736254332210^xy b y x b xy b y b y b y b x b x b x b b z +++++++++= 来逼近它，经检验应选用二次多项式进行拟合效果最好，拟合结果为：xy y y x x z 964.0244.278.31284.0434.626.16122^+-+-+= （1）试将坐标轴进行平移、旋转以确定上述回归方程的几何图形为抛物面、双曲型抛物面和椭圆抛物面中的哪一种，写出算法并编程计算。
（2）用等值线图法找出满足450350^≤≤z （单位：0.5kg ）的x 与y 的区域，并绘出相应的等值线图（仅绘出450350^≤≤z 部分，等值线以25为增量），写出相应的程序。
（3）利用程序求出使产量达到最大时的施氮量和施磷量及其产量值，依此确定绘图区域（使图形尽量对称），并绘出相应的三维图形，将产量大于450的部分用红颜色绘出，其余部分用蓝颜色绘出。
（4）再利用句柄图形操作，通过编写程序将上述图形中实验布设区域图形颜色改为黄色，并将实验布设区域内产量满足450350^≤≤z 的部分改成绿色，然后裁掉实验布设区域外产量小于350的部分。
解答： （1） z=161.26+6.434*x-0.284*x.^2+31.78*y-2.244*y.^2+0.964*x.*y 关键矩阵：T =-0.2840 0.48200.4820 -2.2440[x,y]=eig(T);I=det(y)if I >0style='椭圆抛物面'else style='双曲抛物面'(2): [x,y]=meshgrid(0:0.1:25,0:0.1:15);z=161.26+6.434*x-0.284*x.^2+31.78*y-2.244*y.^2+0.964*x.*y;v=[350:25:450];contour(z,v)(3) [x,y]=meshgrid(0:0.1:25,0:0.1:15);z=161.26+6.434*x-0.274*x.^2+31.78*y-2.244*y.^2+0.964*x.*y;s=size(z);for i=1:151for j=1:251if z(i,j)>maxmax=z(i,j);elseendif z(i,j)>450t(i,j)=z(i,j);elset(i,j)=nan;endendendx=0:0.1:25;y=0:0.5:15;for i=1:length(x)for j=1:length(y)ifmax==161.26+6.434*x(i)-0.274*x(i)^2+31.78*y(j)-2.244*y(j)^2+0.964*x(i)*y(j);x1=x(i);y1=y(j);elseendendendt=find(z1);s=size(z);for i=1:s(1)for j=1:s(2)if z(i,j)>450z1(i,j)=z(i,j);endendendplot3(x,y,z,'b');hold onk=find(z2);for i=1:s(1)for j=1:s(2)if z(i,j)<450z2(i,j)=z(i,j);endendendz2=NaN;plot3(x,y,z1,'r');图形为：（4）[x,y]=meshgrid(0:0.1:25,0:0.1:15);z=161.26+6.434*x-0.274*x.^2+31.78*y-2.244*y.^2+0.964*x.*y; h1=mesh(z);set(h1,'FaceColor',[1,1,0])set(h1,'EdgeAlpha',[0])hold on;ctrl=find(z<350);z(ctrl)=NaN;s=size(z);for i=1:s(1)for j=1:s(2)if z(i,j)<=450 & z(i,j)>=350z3(i,j)=z(i,j);endendendh2=mesh(z3);set(h2,'FaceColor',[1,1,0])set(h2,'EdgeAlpha',[0])图形为。
arcmap趋势面法
arcmap趋势面法趋势面分析是一种在ArcMap中应用的空间分析方法，它用于描述地理现象随时间变化的趋势。
它可以帮助我们理解和预测自然和人为现象的发展情况，为决策和规划提供科学依据。
趋势面分析可以应用于多个领域和问题。
例如，在自然资源管理中，我们可以使用趋势面分析来研究土地利用变化、森林覆盖率变化、水资源利用变化等。
在城市规划和交通规划中，我们可以使用趋势面分析来研究人口分布变化、交通流量变化、城市扩张趋势等。
在疫情分析和气候变化研究中，趋势面分析可以用来描述疫情传播趋势、气温变化趋势等。
在ArcMap中进行趋势面分析，首先需要准备一系列的时间序列数据。
时间序列数据可以是多个时间点上的栅格数据，也可以是多个时间点上的矢量数据。
在输入数据准备好之后，我们可以通过以下步骤进行趋势面分析。
第一步是数据预处理。
在进行趋势面分析之前，需要先对数据进行预处理，以确保数据的质量和连续性。
这包括数据清洗、数据插值等步骤。
例如，如果时间序列数据中存在缺失值，我们可以使用空间插值方法（如克里金插值）来填补缺失值。
第二步是趋势面建模。
在趋势面分析中，最常用的建模方法是线性回归分析。
线性回归模型假设地理现象的变化是通过时间的线性函数来描述的。
根据具体问题的不同，我们可以选择简单线性回归模型，也可以选择多元线性回归模型。
在ArcMap中，我们可以使用回归分析工具来进行趋势面建模。
首先，我们需要选择需要进行趋势面分析的变量（如土地利用类型、气温等）作为自变量，选择时间作为因变量。
然后，我们可以通过工具的参数设定来选择回归模型的类型和参数。
在进行模型拟合之后，工具会生成模型拟合结果，包括回归系数、拟合优度等信息。
第三步是结果可视化。
在趋势面分析中，可视化是非常重要的，它可以帮助我们更直观地理解和解释分析结果。
在ArcMap中，我们可以使用各种方式来可视化趋势面分析的结果，例如生成趋势面图、制作图表、制作动态图等。
最后，对于趋势面分析的结果，我们可以通过进一步分析和解读来得到更多有用的信息。
计量地理学 第六章 趋势面分析模型
第六章趋势面分析模型所谓趋势就是排除了偶然变化和局部起伏以后的比较规则的变化。
趋势面分析趋势面分析是研究地理系统要素（变量）空间变化规律的有力工具，在地理系统的研究和分析中已经得到广泛的应用。
第一节趋势面分析的原理和数学模型一.趋势面分析概述地理系统调查所获得的观测数据中一般都包含着三种分量：地理系统的最重要特征之一就具有区域性。
在散点图上，显示地理要素特征的点的空间分布呈波浪状起伏，此时若以回归平面代表其趋势，并不贴切，而应以曲面表示其趋势才较为贴切。
用数学的方法，以数学模型来模拟（或拟合）地理数据的空间分布及其区域性变化趋势的方法，称为趋势面分析。
在地理系统中，大量的地理数学模型都是非线性模型，通常寻求这些非线性模型的函数表达式比较困难。
这时可采用趋势面来拟合回归方程，计算趋势面的数学表达式主要有多项式函数和傅里叶级数，最常用的是多项式函数。
趋势面是一种光滑的数学曲面，它能集中地代表地理数据在大范围内的空间变化趋势。
趋势面实际曲面=趋势面+剩余曲面某观测点上的观测值在利用趋势面分析拟合回归模型进行地理预测时，所选择的趋势面模型必须使剩余值比较小，回归平方和比较大，这样拟合度较高，预测结果才能达到足够的准确性。
二、趋势面分析的数学原理1、趋势面分析的原理设以z i(x i,y i)表示某一地理特征值在空间上的分布，其中(x i,y i)是平面上点的坐标。
任一观测点x i可分解为两个部分为了使趋势面更好地逼近原始地理数据，常采用最小二乘法原理，使每一个观测值z i与趋势值z i的残差平方和最小。
Q=∑(z i-z i,)2 min根据高斯-马尔科夫定理，最小二乘法给出了多项式系数的最佳线性无偏估计值，这些估计值使残差平方和达到最小。
通常选用多项式趋势面方程，这是因为任何函数在一定范围内总可以用多项式来逼近，并可调整多项式的次数来满足趋势面分析的需要。
一般来说，多项式的次数越高则趋势值越接近于观测值，而剩余值越小。
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趋势面分析
案例：某流域一月降水量与各观测点的坐标位置数据如表，我们设降水量为因变量Z，地
2、Y2、XY、X22、X
3、Y3
2、建立趋势面模型
1）二次多项式
a.我们先将各变量数值输入SPSS软件中，然后选择“分析—回归—线性”工具，将Z送进因变量框中，然后再将其他的自变量送进自变量框中，点击确定便可求的解。
b.运行结果如下
图1
图1中B列的数据为拟合方程的各系数，根据表中的数值及所对应的常量，我们求得的拟合方程为：
Z=5.998+17.438X+29.787Y-3.588X2+0.357XY-8.070Y2
图2
图2显示该拟合二次趋势面的判定系数R2=0.839，显著性F=6.232
2）三次多项式
a.方法与二次多项式类似，将所有的变量输入SPSS，选择“分析—回归—线性”工具，将Z 送进因变量框中，然后再将其他的自变量送进自变量框中，点击确定便可求解。
b.运行结果如下
图1
图1中数列B的数据为拟合方程的各系数，根据表中的数值及所对应的常量，我们求得的拟合方程为：
Z=-48.810+37.557X+130.130Y+8.389X2-33.166XY-62.740Y2-
4.133X3+6.138X2Y+2.566XY2+9.785Y3
图2
图2显示，该拟合二次趋势面的判定系数R2=0.965，显著性F=6.054
3、检验模型
1）趋势面拟合适度检验。
根据两次拟合的输出结果表明，二次趋势面的判定系数为R2=0.839，三次趋势面的判定系数为R2=0.965，可见二者趋势面回归模型的显著性都较高（>0.8），且三次趋势面较二次趋势面具有更高的拟合程度（数值更大）。
2）趋势面适度的显著性检验。
根据两次拟合的输出结果表明，两者趋势面的F值分别为F2=6.236、和F3=6.054，在置信水平a=0.05下，查F分布表得F2a=F0.05(5,6)=4.53，F3a=F0.05(9,2)=19.4，我们得出F2>F2a F3 < F3a，因此我们判定用二次趋势面进行拟合比较合理。
3）趋势面适度的逐次检验。
用SPSS软件对检验两个阶次趋势面模型的适度值进行计算，然后比较分析。
上机分析---软件ArcGIS10.2
1、先将各点的要素（X、Y、Z）数据输在表格里，打开ArcGIS10.2将表格导入，并生成为点图层，该图层的每个点都包含了X、Y、Z要素，
2、右击“属性”—“显示XY数据”，选择X的字段为X值，选择Y的字段为Y值，地理坐标系选择--西安1980。
3、选择工具”空间分析---插值分析---趋势面法”，选择Z值字段为Z要素，多项式的阶选2，如下图所示，
4、添加工具条“Geostatistical Analyst”，选择”探索工具—趋势分析”，
5、打开软件ArcScene，打开刚才输出保存的栅格数据，
6、设置两个方面的属性，首先右击图层选择“场景属性”，在“垂直夸大”上输入1.1，然后点击目标图层的属性，点击“基本高度”，定义如下所示：
7、趋势面输出结果如图所示：。