2017-2018学年天津市红桥区九年级上期末数学试卷含答案解析
2022-2023学年天津市红桥区九年级(上)期末数学试卷(含解析)
…………线…………线2022-2023学年天津市红桥区九年级（上）期末数学试卷第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是( ) A.B.C.D.2. 下列事件中，属于不可能事件的是( )A. 通常加热到100℃时，水沸腾B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中C. 掷一次骰子，向上一面的点数是6D. 任意画一个三角形，其内角和是360° 3. 用配方法解一元二次方程x 2−6x −4=0，下列变形正确的是( ) A. (x −6)2=−4+36 B. (x −6)2=4+36 C. (x −3)2=−4+9D. (x −3)2=4+94. 一元二次方程x 2+4x −3=0的两根为x 1、x 2，则x 1⋅x 2的值是( ) A. 4B. −4C. 3D. −35. 正六边形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为( ) A. 30°B. 60°C. 120°D. 180°6. 某学校准备建一个面积为200m 2的矩形花圃，它的长比宽多10m ，设花圃的宽为x m.则可列方程为( )A. x(x −10)=200B. 2x +2 (x −10)=200C. x(x +10)=200D. 2x +2(x +10)=2007. 已知关于x 的方程x 2+mx +1=0根的判别式的值为12，则m 的值是( ) A. ±3B. 3C. 4D. ±48. 将抛物线y =5x 2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是( ) A. y =5(x +2)2+3 B. y =5(x +2)2−3 C. y =5(x −2)2+3D. y =5(x −2)2−39. 若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为( ) A. 120° B. 180° C. 240° D. 300°10. 已知二次函数y =ax 2+bx +c 的y 与x 的部分对应值如表：……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………x … −1 0 1 3 … y…−3131…则下列判断中正确的是( )A. 抛物线开口向上B. 抛物线与y 轴交于负半轴C. 当x =4时，y >0D. 方程ax 2+bx +c =0的正根在3与4之间11. 如图，MN 是⊙O 的直径，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，∠ACM =60°，B 点是AN⏜的中点，P 点是MN 上一动点，若⊙O 的半径为1，则PA +PB 的最小值为( )A. 1B. √22C. √2D. √3−112. 如图，点A 的坐标为(−3,2)，⊙A 的半径为1，P为坐标轴上一动点，PQ 切⊙A 于点Q ，在所有P 点中，使得PQ 长最小时，点P 的坐标为( )A. (0,2)B. (0,3)C. (−2,0)D. (−3,0)第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13. 不透明袋子中装有5个红球，3个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是______ ．14. 如图，A ，B 是⊙O 上的两点，∠AOB =120°，C 是AB ⏜的中点，则∠A 的大小为______(度)．15. 生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了210件，则全组共有______名同学．16. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，G 是⊙O 上的两个点，OC//AG.若∠GAC =28°，则∠BOC 的大小=______度．……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………17. 如图，从y =ax 2的图象上可以看出，当−1≤x ≤2时，y 的取值范围是______ ．18. 在RtΔABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，BC =6．(1)如图①，将线段CA 绕点C 顺时针旋转30°，所得到与AB 交于点M ，则CM 的长= ______ ； (2)如图②，点D 是边AC 上一点D 且AD =2√3，将线段AD 绕点A 旋转，得线段AD′，点F 始终为BD′的中点，则将线段AD 绕点A 逆时针旋转______ 度时，线段CF 的长最大，最大值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。
2019-2020年天津市红桥区九年级上册期末数学试题(有答案)
天津市红桥区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列函数中是二次函数的是（）A．y=3﹣1 B．y=3﹣2﹣3 C．y=（+1）2﹣2D．y=32﹣12．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD=5，BD=10，AE=3，则CE的长为（）A．3 B．6 C．9 D．123．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）抛物线y=3（﹣4）2+5的顶点坐标为（）A．（﹣4，﹣5）B．（﹣4，5）C．（4，﹣5）D．（4，5）5．（3分）从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（）A．B．C．D．6．（3分）对于双曲线y=，当＞0时，y随的增大而减小，则m的取值范围为（）A．m＞0 B．m＞1 C．m＜0 D．m＜17．（3分）已知正三角形外接圆半径为2，这个正三角形的边长是（）A．2B．C．3 D．28．（3分）已知，如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD=25°，那么∠C的度数是（）A．75°B．65°C．60°D．50°9．（3分）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，连接CC′，若CC′∥AB，则∠BAC的大小是（）A．55°B．60°C．65°D．70°10．（3分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，若旋转角为20°，则∠1为（）A．110°B．120°C．150°D．160°11．（3分）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（）A．10 B．18 C．20 D．2212．（3分）如图，点A在双曲线的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则的值为（）A．16 B．C．D．9二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）13．（3分）如果抛物线y=（m﹣1）2的开口向上，那么m的取值范围是．14．（3分）如图，已知反比例函数y=（为常数，≠0）的图象经过点A，过A点作AB⊥轴，垂足为B．若△AOB的面积为1，则= ．15．（3分）如图，已知△ADE∽△ABC，且AD=3，DC=4，AE=2，则BE= ．16．（3分）已知△ABC的三边长分别是6，8，10，则△ABC外接圆的直径是．17．（3分）在电视台举办的“超级女生”比赛中，甲乙丙三位评委对选手的综合表现，分别给出“淘汰”或“通过”的结论．比赛规则设定：三位评委中至少有两位评委给出“通过”的结论，那么这位选手才能进入下一轮比赛．试问：对于选手A进入下一轮比赛的概率是．18．（3分）如图，沿直线DE折叠等边三角形纸片△ABC，使A点落在BC边上任意一点F处（不与B、C重合）．已知△ABC边长为28，D为AB上一点，BD=15，BF=7，则CE= ．19．（3分）如图，△ABC是边长为12的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是．20．（3分）已知抛物线经过A（﹣4，0）、B（0，﹣4）、C（2，0）三点，若点M为第三象限内抛物线上一动点，△AMB的面积为S，则S的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共60分）21．（10分）甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次（若压线，重新转）．若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局．（1）请用画树状图的方法，列出所有可能出现的结果；（2）试用概率说明游戏是否公平．22．（10分）如图，已知点A（1，a）是反比例函数y1=的图象上一点，直线y2=﹣与反比例函数y1=的图象的交点为点B、D，且B（3，﹣1），求：（Ⅰ）求反比例函数的解析式；（Ⅱ）求点D坐标，并直接写出y1＞y2时的取值范围；（Ⅲ）动点P（，0）在轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到最大时，求点P的坐标．23．（10分）已知：如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE．（Ⅰ）求证：△ABC∽△DAE；（Ⅱ）若AB=8，AD=6，AE=4，求BC的长．24．（10分）如图所示，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C 为DE延长线上一点，且CE=CB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若AB=4，AD=1，求线段CE的长．25．（10分）已知，△ABC中，AB=AC，点E是边AC上一点，过点E作EF∥BC交AB于点F （1）如图①，求证：AE=AF；（2）如图②，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′．连接CE′BF′．①若BF′=6，求CE′的长；②若∠EBC=∠BAC=36°，在图②的旋转过程中，当CE′∥AB时，直接写出旋转角α的大小．26．（10分）如图，二次函数y=a2+b+c（a≠0）的图象与轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）（1）求该二次函数的解析式；（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点A的一个动点，过点E作轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于轴于点G，再过点E作EH垂直于轴于点H，得到矩形EFGH，则在点E 的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；（3）设P点是轴下方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，求△PAC面积的取值范围，若△PAC面积为整数时，这样的△PAC有几个？天津市红桥区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列函数中是二次函数的是（）A．y=3﹣1 B．y=3﹣2﹣3 C．y=（+1）2﹣2D．y=32﹣1【解答】解：二次函数的一般式是：y=a2+b+c，（其中a≠0）（A）最高次数项为1次，故A错误；（B）最高次数项为3次，故B错误；（C）y=2+2+1﹣2=2﹣1，故C错误；故选（D）2．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD=5，BD=10，AE=3，则CE的长为（）A．3 B．6 C．9 D．12【解答】解：∵DE∥BC，∴即解得：EC=6．故选B．3．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．4．（3分）抛物线y=3（﹣4）2+5的顶点坐标为（）A．（﹣4，﹣5）B．（﹣4，5）C．（4，﹣5）D．（4，5）【解答】解：∵二次函数的解析式为y=3（﹣4）2+5，∴其顶点坐标为：（4，5）．故选D．5．（3分）从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵在，0，π，3.14，6这5个数中只有0、3.14和6为有理数，∴从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是．故选C．6．（3分）对于双曲线y=，当＞0时，y随的增大而减小，则m的取值范围为（）A．m＞0 B．m＞1 C．m＜0 D．m＜1【解答】解：∵双曲线y=，当＞0时，y随的增大而减小，∴1﹣m＞0，解得：m＜1．故选D．7．（3分）已知正三角形外接圆半径为2，这个正三角形的边长是（）A．2B．C．3 D．2【解答】解：如图OA=2，求AB长．∠AOB=360°÷3=120°连接OA，OB，作OC⊥AB于点C，∵OA=OB，∴AB=2AC，∠AOC=60°，∴AC=OA×sin60°=cm，∴AB=2AC=2cm，故选A．8．（3分）已知，如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD=25°，那么∠C的度数是（）A．75°B．65°C．60°D．50°【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．又∠BAD=25°，∴∠B=65°．∴∠C=65°．故选B．9．（3分）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，连接CC′，若CC′∥AB，则∠BAC的大小是（）A．55°B．60°C．65°D．70°【解答】解：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，∴AC=AC′，∠CAC′=40°，∴∠AC′C=∠ACC′=70°，∵CC′∥AB，∴∠BAC=∠ACC′=70°，故选D．10．（3分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，若旋转角为20°，则∠1为（）A．110°B．120°C．150°D．160°【解答】解：设C′D′与BC交于点E，如图所示．∵旋转角为20°，∴∠DAD′=20°，∴∠BAD′=90°﹣∠DAD′=70°．∵∠BAD′+∠B+∠BED′+∠D′=360°，∴∠BED′=360°﹣70°﹣90°﹣90°=110°，∴∠1=∠BED′=110°．11．（3分）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（）A．10 B．18 C．20 D．22【解答】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，∴△PCD 的周长是PC+CD+PD=PC+AC+DB+PD=PA+PB=10+10=20．故选C ．12．（3分）如图，点A 在双曲线的第一象限的那一支上，AB 垂直于y 轴于点B ，点C 在轴正半轴上，且OC=2AB ，点E 在线段AC 上，且AE=3EC ，点D 为OB 的中点，若△ADE 的面积为3，则的值为（ ）A ．16B ．C ．D ．9【解答】解：连DC ，如图，∵AE=3EC ，△ADE 的面积为3，∴△CDE 的面积为1，∴△ADC 的面积为4，设A 点坐标为（a ，b ），则AB=a ，OC=2AB=2a ，而点D 为OB 的中点，∴BD=OD=b ，∵S 梯形OBAC =S △ABD +S △ADC +S △ODC ， ∴（a+2a ）×b=a ×b+4+×2a ×b ，∴ab=，把A （a ，b ）代入双曲线y=，∴=ab=．故选B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）13．（3分）如果抛物线y=（m﹣1）2的开口向上，那么m的取值范围是m＞1 ．【解答】解：因为抛物线y=（m﹣1）2的开口向上，所以m﹣1＞0，即m＞1，故m的取值范围是m＞1．14．（3分）如图，已知反比例函数y=（为常数，≠0）的图象经过点A，过A点作AB⊥轴，垂足为B．若△AOB的面积为1，则= ﹣2 ．【解答】解：依据比例系数的几何意义可得两个三角形的面积都等于||=1，解得=﹣2，故答案为：﹣2．15．（3分）如图，已知△ADE∽△ABC，且AD=3，DC=4，AE=2，则BE= 8.5 ．【解答】解：∵AD=3，DC=4，∴AC=AD+DC=3+4=7，∵△ADE∽△ABC，∴=，即=，解得AB=10.5，∴DE=AB﹣AE=10.5﹣2=8.5．故答案为：8.5．16．（3分）已知△ABC的三边长分别是6，8，10，则△ABC外接圆的直径是10 ．【解答】解：∵AC=6，BC=8，AB=10，∴AC2+BC2=AB2，∴∠C=90°，∴△ABC的外接圆的半径是×10=5，即外接圆的直径是10，故答案为：10．17．（3分）在电视台举办的“超级女生”比赛中，甲乙丙三位评委对选手的综合表现，分别给出“淘汰”或“通过”的结论．比赛规则设定：三位评委中至少有两位评委给出“通过”的结论，那么这位选手才能进入下一轮比赛．试问：对于选手A进入下一轮比赛的概率是．【解答】解：画出树状图说明评委给出A选手的所有可能结果：由上可知评委给出A选手所有可能的结果有8种．并且它们是等可能的，∴对于A选手，进入下一轮比赛的概率是，故答案为：．18．（3分）如图，沿直线DE折叠等边三角形纸片△ABC，使A点落在BC边上任意一点F处（不与B、C重合）．已知△ABC边长为28，D为AB上一点，BD=15，BF=7，则CE= ．【解答】解：由翻转变换的性质可知，∠DFE=∠A=60°，∵∠EFC=180°﹣∠DFB﹣∠DFE，∠FDB=180°﹣∠DFB﹣∠B，∴∠EFC=∠FDB，又∠B=∠C=60°，∴△BDF∽△CFE，∴=，即=，解得，CE=，故答案为：．19．（3分）如图，△ABC是边长为12的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是 3 ．【解答】解：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．∵△ABC为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴，∴CD=CG=AB=6，∠ACD=60°，∵∠ECF=60°，∴∠FCD=∠ECG．在△FCD和△ECG中，，∴△FCD≌△ECG（SAS），∴DF=GE．当EG∥BC时，EG最小，∵点G为AC的中点，∴此时EG=DF=CD=BC=3．故答案为3．20．（3分）已知抛物线经过A（﹣4，0）、B（0，﹣4）、C（2，0）三点，若点M为第三象限内抛物线上一动点，△AMB的面积为S，则S的最大值为 4 ．【解答】解：设抛物线解析式为y=a（+4）（﹣2），将B（0，﹣4）代入得：﹣4=﹣8a，即a=，则抛物线解析式为y=（+4）（﹣2）=2+﹣4；过M作MN⊥轴，设M的横坐标为m，则M（m， m2+m﹣4），∴MN=|m2+m﹣4|=﹣m2﹣m+4，ON=﹣m，∵A（﹣4，0），B（0，﹣4），∴OA=OB=4，∴△AMB的面积为S=S△AMN +S梯形MNOB﹣S△AOB=×（4+m）×（﹣m2﹣m+4）+×（﹣m）×（﹣m2﹣m+4+4）﹣×4×4=2（﹣m2﹣m+4）﹣2m﹣8=﹣m2﹣4m=﹣（m+2）2+4，当m=﹣2时，S取得最大值，最大值为4．故答案为4．三、解答题（本大题共6小题，共60分）21．（10分）甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次（若压线，重新转）．若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局．（1）请用画树状图的方法，列出所有可能出现的结果；（2）试用概率说明游戏是否公平．【解答】解：（1）如图所示：（红，红），（红，黄），（红，绿），（黄，红），（黄，黄），（黄，绿），（绿，红），（绿，黄），（绿，绿）共9种情况；（2）P（甲获胜）==，P（乙获胜）=，P（甲获胜）＞P（乙获胜），所以游戏不公平．22．（10分）如图，已知点A（1，a）是反比例函数y1=的图象上一点，直线y2=﹣与反比例函数y1=的图象的交点为点B、D，且B（3，﹣1），求：（Ⅰ）求反比例函数的解析式；（Ⅱ）求点D坐标，并直接写出y1＞y2时的取值范围；（Ⅲ）动点P（，0）在轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到最大时，求点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵点B（3，﹣1）在y1=图象上，∴=﹣1，∴m=﹣3，∴反比例函数的解析式为y=﹣；（Ⅱ）∴﹣=﹣+，即2﹣﹣6=0，则（﹣3）（+2）=0，解得：1=3、2=﹣2，当=﹣2时，y=，∴D（﹣2，）；结合函数图象知y1＞y2时﹣2＜＜0或＞3；（Ⅲ）∵点A（1，a）是反比例函数y=﹣的图象上一点∴a=﹣3∴A（1，﹣3）设直线AB为y=+b，则∴，∴直线AB解析式为y=﹣4令y=0，则=4∴P（4，0）．23．（10分）已知：如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE．（Ⅰ）求证：△ABC∽△DAE；（Ⅱ）若AB=8，AD=6，AE=4，求BC的长．【解答】（Ⅰ）证明：∵DE∥AB，∴∠CAB=∠EDA，又∵∠B=∠DAE，∴△ABC∽△DAE；（Ⅱ）解：∵△ABC∽△DAE，∴=，∵AB=8，AD=6，AE=4，∴=，∴BC=．24．（10分）如图所示，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C 为DE延长线上一点，且CE=CB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若AB=4，AD=1，求线段CE的长．【解答】（1）证明：连接OE，OC；如图所示：∵DE与⊙O相切于点E∴∠OEC=90°，在△OBC和△OEC中，，∴△OBC≌△OEC（SSS），∴∠OBC=∠OEC=90°，∴BC为⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥BC于F；如图所示：设CE=∵CE，CB为⊙O切线，∴CB=CE=，∵DE，DA为⊙O切线，∴DE=DA=1，∴DC=+1，∵∠DAB=∠ABC=∠DFB=90°∴四边形ADFB为矩形，∴DF=AB=4 BF=AD=1，∴FC=﹣1，Rt△CDF中，根据勾股定理得：（+1）2﹣（﹣1）2=16，解得：=4，∴CE=4．25．（10分）已知，△ABC中，AB=AC，点E是边AC上一点，过点E作EF∥BC交AB于点F （1）如图①，求证：AE=AF；（2）如图②，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′．连接CE′BF′．①若BF′=6，求CE′的长；②若∠EBC=∠BAC=36°，在图②的旋转过程中，当CE′∥AB时，直接写出旋转角α的大小．【解答】（1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵EF∥BC，∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠C，∴∠AFE=∠AEF，∴AE=AF．（2）解：①由旋转的性质得，∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，在△CAE′和△BAF′中，，∴△CAE′≌△BAF′（SAS），∴CE′=BF′=6；②由（1）可知AE=BC，所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，点E经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l相交于点M、N，如图，①当点E的像E′与点M重合时，四边形ABCM是等腰梯形，所以，∠BAM=∠ABC=72°，又∵∠BAC=36°，∴α=∠CAM=36°；②当点E的像E′与点N重合时，∵CE′∥AB，∴∠AMN=∠BAM=72°，∵AM=AN，∴∠ANM=∠AMN=72°，∴∠MAN=180°﹣72°×2=36°，∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=36°+36°=72°，综上所述，当旋转角α为36°或72°．26．（10分）如图，二次函数y=a2+b+c（a≠0）的图象与轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）（1）求该二次函数的解析式；（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点A的一个动点，过点E作轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于轴于点G，再过点E作EH垂直于轴于点H，得到矩形EFGH，则在点E 的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；（3）设P点是轴下方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，求△PAC面积的取值范围，若△PAC面积为整数时，这样的△PAC有几个？【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（+1）（﹣3），把C（0，﹣3）代入得﹣3a=﹣3，解得a=1，所以抛物线解析式为y=（+1）（﹣3），即y=2﹣2﹣3；（2）抛物线的对称轴为直线=1，设E（t，t2﹣2t﹣3），当0＜t＜1时，如图1，EF=2（1﹣t），EH=﹣（t2﹣2t﹣3），∵矩形EFGH为正方形，∴EF=EH，即2（1﹣t）=﹣（t2﹣2t﹣3），整理得t2﹣4t﹣1=0，解得t1=2+（舍去），t2=2﹣（舍去）；当1＜t＜3时，如图2，EF=2（t﹣1），EH=﹣（t2﹣2t﹣3），∵矩形EFGH为正方形，∴EF=EH，即2（t﹣1）=﹣（t2﹣2t﹣3），整理得t2﹣5=0，解得t1=，t2=﹣（舍去），此时正方形EFGH的边长为2﹣2；当t＞3时，EF=2（t﹣1），EH=t2﹣2t﹣3，∵矩形EFGH为正方形，∴EF=EH，即2（t﹣1）=t2﹣2t﹣3，整理得t2﹣4t﹣1=0，解得t1=2+，t2=2﹣（舍去），此时正方形EFGH的边长为2+2，综上所述，正方形EFGH的边长为2﹣2或2+2；（3）设P（，2﹣2﹣3），当﹣1＜＜0时，=×4×3=6，∵S△ABC∴0＜S＜6，△APC当0＜＜3时，作PM∥y轴交AC于点M，如图3，易得直线AC的解析式为y=﹣3，则M（，﹣3），∴PM=﹣3﹣（2﹣2﹣3）=﹣2+3，∴S=•3•（﹣2+3）△APC=﹣2+=﹣（﹣）2+，＜，当=时，S△APC的面积的最大值为，即0＜S△APC综上所述，0＜S＜6，△APC∴△PAC面积为整数时，它的值为1、2、3、4、5，即△PAC有5个．。
天津市红桥区2017~2018学年度第二学期九年级结课考试数学试卷(无答案)
九年级数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第4页至第8页。
试卷满分120分。
考试时间100分钟。
答卷前，请你务必将自己的姓名、准考证号、学校、班级填写在“答题纸”上。
答题时，务必将答案涂写在“答题纸”上，答案答在试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和“答题纸”一并交回。
祝你考试顺利!第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. cos 30︒的值等于A. 12B.C.D.2. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是A. B. C. D.3. 如图是由两块完全相同给的长方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是A. B.C. D.4. 在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其它均相同，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回。
通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率在25%附近摆动，则口袋中的白球可能有A. 12个B. 13个C. 15个D. 16个5. 已知反比例函数kyx=的图象经过点P(-1, 2)，则这个函数的图象位于A. 第二、三象限B. 第一、三象限C. 第三、四象限D. 第二、四象限6. 把抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为A. y=-2(x+ 1)2+ 2B. y=-2(x- 1)2+ 2C. y=-2(x+ 1)2- 2D. y=-2(x- 1)2- 27. 若2x2+ 1与4x2- 2x- 5互为相反数，则x等于A. -1或23B. 1或23-C. 1或32- D. 1或328. 如图，一条公路转弯处是一段圆弧（图中的AB），点O是这条弧所在圆的圆心，点C是AB的中点，半径OC与AB相交于点D，AB= 120 m，CD= 20m，这段弯道的半径是A. 100 mB.C. 200 mD.1 / 59. 如图，在ϒABCD中，AB= 10，AD= 6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是A. 5B. 3.6C. 2.4D. 1.810. 在△ABC中，AB=AC= 13，BC= 24，则tan B等于A.513B.512C. 1213D.12511. 如图，A，B，C，D四个点均在⊙O上，∠AOD= 50︒，AO∥DC，则∠B的度数为A. 55︒B. 60︒C. 65︒D. 70︒12. 如图是抛物线y=ax2+bx+c（a¹0）的部分图象，其顶点坐标为(1,n)，且与x轴的一个交点在(3, 0)和(4, 0)之间，有下列结论：①a-b+c> 0；②3a+b= 0；③b2= 4a(c-n)；④一元二次方程ax2+bx+c=n- 1有两个相等的实数根.其中，正确结论的个数是A. 1B. 2C. 3D. 4第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题纸”上（作图可用2B铅笔）。
2017-2018学年天津市河东区九年级(上)期末数学试卷(含答案)
2017-2018学年天津市河东区九年级（上）期末数学试卷一.选择题（每小题3分，共36分）1．一元二次方程x2﹣2x=0的解是（）A．0 B．2 C．0，﹣2 D．0，22．抛物线y=2x2﹣3的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．x 轴上D．y 轴上3．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44．对于二次函数y=2（x﹣1）2﹣3，下列说法正确的是（）A．图象开口向下B．图象和y轴交点的纵坐标为﹣3C．x＜1时，y随x的增大而减小D．图象的对称轴是直线x=﹣15．一个不透明的布袋里装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为（）A．B．C．D．6．若关于x的方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．47．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD=20°，则下列说法中正确的是（）A．AD=2OB B．CE=EO C．∠OCE=40°D．∠BOC=2∠BAD8．如图，反比例函数y=的图象可能是（）A． B．C．D．9．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形EFGO绕点旋转，若两个正方形的边长相等，则两个正方形的重合部分的面积（）A．由小变大B．由大变小C．始终不变D．先由大变小，然后又由小变大10．如图，在⊙O中，∠AOB=120°，P为弧AB上的一点，则∠APB的度数是（）A．100°B．110°C．120° D．130°11．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC，若点F是DE的中点，连接AF，则AF=（）A． B．5 C．+2 D．312．如图，在反比例函数y=（x＞0）的图象上，有点P1、P2、P3、P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1、S2、S3，则S1+S2+S3=（）A．1 B．1.5 C．2 D．无法确定二、填空题（每小题3分，共18分）13．如图所示的抛物线y=x2+bx+b2﹣4的图象，那么b的值是．14．反比例函数y=，若x＞0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是．15．如图，转盘中6个扇形的面积都相等，任意转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向奇数的概率是．16．如图，PA、PB、DE分别切圆O于点A、B、C，如果PO=10cm，△PDE的周长为12cm，那么圆O的半径为．17．如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是．18．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc ＜0；②2a+b＜0；③b2﹣4ac=0；④8a+c＜0；⑤a：b：c=﹣1：2：3，其中正确的结论有．三.解答题（66分）19．（8分）解方程：（1）2x2﹣4x﹣1=0（配方法）（2）（x+1）2=6x+620．（8分）已知反比例函数y=（k常数，k≠1）．（1）若点A（2，1）在这个函数的图象上，求k的值；（2）若k=9，试判断点B（﹣，﹣16）是否在这个函数的图象上，并说明理由．21．（10分）甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛．（1）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率．（2）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．22．（10分）如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC、AC．（1）求证：AC平分∠DAO．（2）若∠DAO=105°，∠E=30°①求∠OCE的度数；②若⊙O的半径为2，求线段EF的长．23．（10分）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=65时，y=55；x=75时，y=45．（1）求一次函数y=kx+b的表达式；（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？24．（10分）如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E在AC上（且不与点A，C 重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系；（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论．25．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求直线AB和OB的解析式．（2）求抛物线的解析式．（3）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．问△BOD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值并写出此时点D的坐标；若不存在说明理由．2017-2018学年天津市河东区九年级（上）期末数学试卷参考答案一.选择题（每小题3分，共36分）1．D；2．D；3．B；4．C；5．C；6．A；7．D；8．D；9．C；10．C；11．B；12．B；二、填空题（每小题3分，共18分）13．﹣2；14．m＜﹣2；15．；16．8cm；17．8+8；18．①④⑤；三.解答题（66分）19．20．21．2223．24．25．。
2019年天津市红桥区九年级上册期末考试数学试题有答案
天津市红桥区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．下列函数中是二次函数的是（）A．y=3﹣1 B．y=3﹣2﹣3 C．y=（+1）2﹣2D．y=32﹣12．如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD=5，BD=10，AE=3，则CE的长为（）A．3 B．6 C．9 D．123．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B． C．D．4．抛物线y=3（﹣4）2+5的顶点坐标为（）A．（﹣4，﹣5）B．（﹣4，5） C．（4，﹣5） D．（4，5）5．从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（）A．B．C．D．6．对于双曲线y=，当＞0时，y随的增大而减小，则m的取值范围为（）A．m＞0 B．m＞1 C．m＜0 D．m＜17．已知正三角形外接圆半径为2，这个正三角形的边长是（）A．2B．C．3 D．28．已知，如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD=25°，那么∠C的度数是（）A．75°B．65°C．60°D．50°9．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，连接CC′，若CC′∥AB，则∠BAC的大小是（）A．55°B．60°C．65°D．70°10．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，若旋转角为20°，则∠1为（）A．110°B．120°C．150°D．160°11．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（）A．10 B．18 C．20 D．2212．如图，点A在双曲线的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则的值为（）A．16 B．C．D．9二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）13．如果抛物线y=（m﹣1）2的开口向上，那么m的取值范围是．14．如图，已知反比例函数y=（为常数，≠0）的图象经过点A，过A点作AB⊥轴，垂足为B．若△AOB的面积为1，则= ．15．如图，已知△ADE∽△ABC，且AD=3，DC=4，AE=2，则BE= ．16．已知△ABC的三边长分别是6，8，10，则△ABC外接圆的直径是．17．在电视台举办的“超级女生”比赛中，甲乙丙三位评委对选手的综合表现，分别给出“淘汰”或“通过”的结论．比赛规则设定：三位评委中至少有两位评委给出“通过”的结论，那么这位选手才能进入下一轮比赛．试问：对于选手A进入下一轮比赛的概率是．18．如图，沿直线DE折叠等边三角形纸片△ABC，使A点落在BC边上任意一点F处（不与B、C重合）．已知△ABC边长为28，D为AB上一点，BD=15，BF=7，则CE= ．19．如图，△ABC是边长为12的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是．20．已知抛物线经过A（﹣4，0）、B（0，﹣4）、C（2，0）三点，若点M为第三象限内抛物线上一动点，△AMB的面积为S，则S的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共60分）21．（10分）甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次（若压线，重新转）．若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局．（1）请用画树状图的方法，列出所有可能出现的结果；（2）试用概率说明游戏是否公平．22．（10分）如图，已知点A（1，a）是反比例函数y1=的图象上一点，直线y2=﹣与反比例函数y1=的图象的交点为点B、D，且B（3，﹣1），求：（Ⅰ）求反比例函数的解析式；（Ⅱ）求点D坐标，并直接写出y1＞y2时的取值范围；（Ⅲ）动点P（，0）在轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到最大时，求点P的坐标．23．（10分）已知：如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE．（Ⅰ）求证：△ABC∽△DAE；（Ⅱ）若AB=8，AD=6，AE=4，求BC的长．24．（10分）如图所示，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C 为DE延长线上一点，且CE=CB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若AB=4，AD=1，求线段CE的长．25．（10分）已知，△ABC中，AB=AC，点E是边AC上一点，过点E作EF∥BC交AB于点F （1）如图①，求证：AE=AF；（2）如图②，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′．连接CE′BF′．①若BF′=6，求CE′的长；②若∠EBC=∠BAC=36°，在图②的旋转过程中，当CE′∥AB时，直接写出旋转角α的大小．26．（10分）如图，二次函数y=a2+b+c（a≠0）的图象与轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）（1）求该二次函数的解析式；（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点A的一个动点，过点E作轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于轴于点G，再过点E作EH垂直于轴于点H，得到矩形EFGH，则在点E 的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；（3）设P点是轴下方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，求△PAC面积的取值范围，若△PAC面积为整数时，这样的△PAC有几个？天津市红桥区九年级（上）期末数学试卷参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．D；2．B；3．B；4．D；5．C；6．D；7．A；8．B；9．D；10．A；11．C；12．B；二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）13．m＞1；14．﹣2；15．8.5；16．10；17．；18．；19．3；20．4；三、解答题（本大题共6小题，共60分）。
天津市红桥区九年级上期末数学测试卷(含答案)(2019级)
天津市红桥区九年级（上）期末检测数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列函数中是二次函数的是（）A．y=3x﹣1 B．y=x3﹣2x﹣3 C．y=（x+1）2﹣x2D．y=3x2﹣12．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD=5，BD=10，AE=3，则CE的长为（）A．3 B．6 C．9 D．123．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）抛物线y=3（x﹣4）2+5的顶点坐标为（）A．（﹣4，﹣5）B．（﹣4，5）C．（4，﹣5）D．（4，5）5．（3分）从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（）A．B．C．D．6．（3分）对于双曲线y=，当x＞0时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（）A．m＞0 B．m＞1 C．m＜0 D．m＜17．（3分）已知正三角形外接圆半径为2，这个正三角形的边长是（）A．2B．C．3 D．28．（3分）已知，如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD=25°，那么∠C的度数是（）A．75°B．65°C．60°D．50°9．（3分）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，连接CC′，若CC′∥AB，则∠BAC的大小是（）A．55°B．60°C．65°D．70°10．（3分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，若旋转角为20°，则∠1为（）A．110°B．120°C．150°D．160°11．（3分）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（）A．10 B．18 C．20 D．2212．（3分）如图，点A在双曲线的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE 的面积为3，则k的值为（）A．16 B．C．D．9二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）13．（3分）如果抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，那么m的取值范围是．14．（3分）如图，已知反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过点A，过A点作AB⊥x 轴，垂足为B．若△AOB的面积为1，则k= ．15．（3分）如图，已知△ADE∽△ABC，且AD=3，DC=4，AE=2，则BE= ．16．（3分）已知△ABC的三边长分别是6，8，10，则△ABC外接圆的直径是．17．（3分）在电视台举办的“超级女生”比赛中，甲乙丙三位评委对选手的综合表现，分别给出“淘汰”或“通过”的结论．比赛规则设定：三位评委中至少有两位评委给出“通过”的结论，那么这位选手才能进入下一轮比赛．试问：对于选手A进入下一轮比赛的概率是．18．（3分）如图，沿直线DE折叠等边三角形纸片△ABC，使A点落在BC边上任意一点F处（不与B、C重合）．已知△ABC边长为28，D为AB上一点，BD=15，BF=7，则CE= ．19．（3分）如图，△ABC 是边长为12的等边三角形，D 是BC 的中点，E 是直线AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针旋转60°得到FC ，连接DF ．则在点E 的运动过程中，DF 的最小值是 ．20．（3分）已知抛物线经过A （﹣4，0）、B （0，﹣4）、C （2，0）三点，若点M 为第三象限内抛物线上一动点，△AMB 的面积为S ，则S 的最大值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共60分）21．（10分）甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次（若压线，重新转）．若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局．（1）请用画树状图的方法，列出所有可能出现的结果；（2）试用概率说明游戏是否公平．22．（10分）如图，已知点A （1，a ）是反比例函数y 1=的图象上一点，直线y 2=﹣与反比例函数y 1=的图象的交点为点B 、D ，且B （3，﹣1），求：（Ⅰ）求反比例函数的解析式；（Ⅱ）求点D 坐标，并直接写出y 1＞y 2时x 的取值范围；（Ⅲ）动点P （x ，0）在x 轴的正半轴上运动，当线段PA 与线段PB 之差达到最大时，求点P 的坐标．23．（10分）已知：如图，D 是AC 上一点，DE ∥AB ，∠B=∠DAE ．（Ⅰ）求证：△ABC ∽△DAE ；（Ⅱ）若AB=8，AD=6，AE=4，求BC 的长．24．（10分）如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD 与⊙O 相切于点A ，DE 与⊙O 相切于点E ，点C 为DE 延长线上一点，且CE=CB ．（1）求证：BC 为⊙O 的切线；（2）若AB=4，AD=1，求线段CE 的长．25．（10分）已知，△ABC 中，AB=AC ，点E 是边AC 上一点，过点E 作EF ∥BC 交AB 于点F（1）如图①，求证：AE=AF ；（2）如图②，将△AEF 绕点A 逆时针旋转α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′．连接CE′BF′．①若BF′=6，求CE′的长；②若∠EBC=∠BAC=36°，在图②的旋转过程中，当CE′∥AB时，直接写出旋转角α的大小．26．（10分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）（1）求该二次函数的解析式；（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点A的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH，则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；（3）设P点是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，求△PAC面积的取值范围，若△PAC面积为整数时，这样的△PAC有几个？天津市红桥区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列函数中是二次函数的是（）A．y=3x﹣1 B．y=x3﹣2x﹣3 C．y=（x+1）2﹣x2D．y=3x2﹣1【解答】解：二次函数的一般式是：y=ax2+bx+c，（其中a≠0）（A）最高次数项为1次，故A错误；（B）最高次数项为3次，故B错误；（C）y=x2+2x+1﹣x2=2x﹣1，故C错误；故选（D）2．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD=5，BD=10，AE=3，则CE的长为（）A．3 B．6 C．9 D．12【解答】解：∵DE∥BC，∴即解得：EC=6．故选B．3．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．4．（3分）抛物线y=3（x﹣4）2+5的顶点坐标为（）A．（﹣4，﹣5）B．（﹣4，5）C．（4，﹣5）D．（4，5）【解答】解：∵二次函数的解析式为y=3（x﹣4）2+5，∴其顶点坐标为：（4，5）．故选D．5．（3分）从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵在，0，π，3.14，6这5个数中只有0、3.14和6为有理数，∴从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是．故选C．6．（3分）对于双曲线y=，当x＞0时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（）A．m＞0 B．m＞1 C．m＜0 D．m＜1【解答】解：∵双曲线y=，当x＞0时，y随x的增大而减小，∴1﹣m＞0，解得：m＜1．故选D．7．（3分）已知正三角形外接圆半径为2，这个正三角形的边长是（）A．2B．C．3 D．2【解答】解：如图OA=2，求AB长．∠AOB=360°÷3=120°连接OA，OB，作OC⊥AB于点C，∵OA=OB，∴AB=2AC，∠AOC=60°，∴AC=OA×sin60°=cm，∴AB=2AC=2cm，故选A．8．（3分）已知，如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD=25°，那么∠C的度数是（）A．75°B．65°C．60°D．50°【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．又∠BAD=25°，∴∠B=65°．∴∠C=65°．故选B．9．（3分）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，连接CC′，若CC′∥AB，则∠BAC的大小是（）A．55°B．60°C．65°D．70°【解答】解：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，∴AC=AC′，∠CAC′=40°，∴∠AC′C=∠ACC′=70°，∵CC′∥AB，∴∠BAC=∠ACC′=70°，故选D．10．（3分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，若旋转角为20°，则∠1为（）A．110°B．120°C．150°D．160°【解答】解：设C′D′与BC交于点E，如图所示．∵旋转角为20°，∴∠DAD′=20°，∴∠BAD′=90°﹣∠DAD′=70°．∵∠BAD′+∠B+∠BED′+∠D′=360°，∴∠BED′=360°﹣70°﹣90°﹣90°=110°，∴∠1=∠BED′=110°．11．（3分）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（）A．10 B．18 C．20 D．22【解答】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，∴△PCD的周长是PC+CD+PD=PC+AC+DB+PD=PA+PB=10+10=20．故选C．12．（3分）如图，点A在双曲线的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE 的面积为3，则k的值为（）A．16 B．C．D．9【解答】解：连DC，如图，∵AE=3EC，△ADE的面积为3，∴△CDE的面积为1，∴△ADC的面积为4，设A点坐标为（a，b），则AB=a，OC=2AB=2a，而点D为OB的中点，∴BD=OD=b，∵S梯形OBAC =S△ABD+S△ADC+S△ODC，∴（a+2a）×b=a×b+4+×2a×b，∴ab=，把A（a，b）代入双曲线y=，∴k=ab=．故选B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）13．（3分）如果抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，那么m的取值范围是m＞1 ．【解答】解：因为抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，所以m﹣1＞0，即m＞1，故m的取值范围是m＞1．14．（3分）如图，已知反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过点A，过A点作AB⊥x 轴，垂足为B．若△AOB的面积为1，则k= ﹣2 ．【解答】解：依据比例系数k的几何意义可得两个三角形的面积都等于|k|=1，解得k=﹣2，故答案为：﹣2．15．（3分）如图，已知△ADE∽△ABC，且AD=3，DC=4，AE=2，则BE= 8.5 ．【解答】解：∵AD=3，DC=4，∴AC=AD+DC=3+4=7，∵△ADE∽△ABC，∴=，即=，解得AB=10.5，∴DE=AB﹣AE=10.5﹣2=8.5．故答案为：8.5．16．（3分）已知△ABC的三边长分别是6，8，10，则△ABC外接圆的直径是10 ．【解答】解：∵AC=6，BC=8，AB=10，∴AC2+BC2=AB2，∴∠C=90°，∴△ABC的外接圆的半径是×10=5，即外接圆的直径是10，故答案为：10．17．（3分）在电视台举办的“超级女生”比赛中，甲乙丙三位评委对选手的综合表现，分别给出“淘汰”或“通过”的结论．比赛规则设定：三位评委中至少有两位评委给出“通过”的结论，那么这位选手才能进入下一轮比赛．试问：对于选手A进入下一轮比赛的概率是．【解答】解：画出树状图来说明评委给出A选手的所有可能结果：由上可知评委给出A选手所有可能的结果有8种．并且它们是等可能的，∴对于A选手，进入下一轮比赛的概率是，故答案为：．18．（3分）如图，沿直线DE折叠等边三角形纸片△ABC，使A点落在BC边上任意一点F处（不与B、C重合）．已知△ABC边长为28，D为AB上一点，BD=15，BF=7，则CE= ．【解答】解：由翻转变换的性质可知，∠DFE=∠A=60°，∵∠EFC=180°﹣∠DFB﹣∠DFE，∠FDB=180°﹣∠DFB﹣∠B，∴∠EFC=∠FDB，又∠B=∠C=60°，∴△BDF∽△CFE，∴=，即=，解得，CE=，故答案为：．19．（3分）如图，△ABC是边长为12的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是 3 ．【解答】解：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．∵△ABC为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴，∴CD=CG=AB=6，∠ACD=60°，∵∠ECF=60°，∴∠FCD=∠ECG．在△FCD和△ECG中，，∴△FCD≌△ECG（SA S），∴DF=GE．当EG∥BC时，EG最小，∵点G为AC的中点，∴此时EG=DF=CD=BC=3．故答案为3．20．（3分）已知抛物线经过A（﹣4，0）、B（0，﹣4）、C（2，0）三点，若点M为第三象限内抛物线上一动点，△AMB的面积为S，则S的最大值为 4 ．【解答】解：设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣2），将B（0，﹣4）代入得：﹣4=﹣8a，即a=，则抛物线解析式为y=（x+4）（x﹣2）=x2+x﹣4；过M作MN⊥x轴，设M的横坐标为m，则M（m，m2+m﹣4），∴MN=|m2+m﹣4|=﹣m2﹣m+4，ON=﹣m，∵A（﹣4，0），B（0，﹣4），∴OA=OB=4，∴△AMB的面积为S=S△AMN +S梯形MNOB﹣S△AOB=×（4+m）×（﹣m2﹣m+4）+×（﹣m）×（﹣m2﹣m+4+4）﹣×4×4=2（﹣m2﹣m+4）﹣2m﹣8=﹣m2﹣4m=﹣（m+2）2+4，当m=﹣2时，S取得最大值，最大值为4．故答案为4．三、解答题（本大题共6小题，共60分）21．（10分）甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次（若压线，重新转）．若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局．（1）请用画树状图的方法，列出所有可能出现的结果；（2）试用概率说明游戏是否公平．【解答】解：（1）如图所示：（红，红），（红，黄），（红，绿），（黄，红），（黄，黄），（黄，绿），（绿，红），（绿，黄），（绿，绿）共9种情况；（2）P（甲获胜）==，P（乙获胜）=，P（甲获胜）＞P（乙获胜），所以游戏不公平．22．（10分）如图，已知点A （1，a ）是反比例函数y 1=的图象上一点，直线y 2=﹣与反比例函数y 1=的图象的交点为点B 、D ，且B （3，﹣1），求：（Ⅰ）求反比例函数的解析式；（Ⅱ）求点D 坐标，并直接写出y 1＞y 2时x 的取值范围；（Ⅲ）动点P （x ，0）在x 轴的正半轴上运动，当线段PA 与线段PB 之差达到最大时，求点P 的坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵点B （3，﹣1）在y 1=图象上，∴=﹣1，∴m=﹣3，∴反比例函数的解析式为y=﹣；（Ⅱ）∴﹣=﹣x+，即x 2﹣x ﹣6=0，则（x ﹣3）（x+2）=0，解得：x 1=3、x 2=﹣2，当x=﹣2时，y=，∴D （﹣2，）；结合函数图象知y 1＞y 2时﹣2＜x ＜0或x ＞3；（Ⅲ）∵点A （1，a ）是反比例函数y=﹣的图象上一点∴a=﹣3∴A （1，﹣3）设直线AB 为y=kx+b ，则∴， ∴直线AB 解析式为y=x ﹣4令y=0，则x=4∴P （4，0）．23．（10分）已知：如图，D 是AC 上一点，DE ∥AB ，∠B=∠DAE ．（Ⅰ）求证：△ABC ∽△DAE ；（Ⅱ）若AB=8，AD=6，AE=4，求BC 的长．【解答】（Ⅰ）证明：∵DE ∥AB ，∴∠CAB=∠EDA ，又∵∠B=∠DAE ，∴△ABC ∽△DAE ；（Ⅱ）解：∵△ABC ∽△DAE ，∴=，∵AB=8，AD=6，A E=4，∴=，∴BC=．24．（10分）如图所示，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若AB=4，AD=1，求线段CE的长．【解答】（1）证明：连接OE，OC；如图所示：∵DE与⊙O相切于点E∴∠OEC=90°，在△OBC和△OEC中，，∴△OBC≌△OEC（SSS），∴∠OBC=∠OEC=90°，∴BC为⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥BC于F；如图所示：设CE=x∵CE，CB为⊙O切线，∴CB=CE=x，∵DE，DA为⊙O切线，∴DE=DA=1，∴DC=x+1，∵∠DAB=∠ABC=∠DFB=90°∴四边形ADFB为矩形，∴DF=AB=4 BF=AD=1，∴FC=x﹣1，Rt△CDF中，根据勾股定理得：（x+1）2﹣（x﹣1）2=16，解得：x=4，∴CE=4．25．（10分）已知，△ABC中，AB=AC，点E是边AC上一点，过点E作EF∥BC交AB于点F（1）如图①，求证：AE=AF；（2）如图②，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′．连接CE′BF′．①若BF′=6，求CE′的长；②若∠EBC=∠BAC=36°，在图②的旋转过程中，当CE′∥AB时，直接写出旋转角α的大小．【解答】（1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵EF∥BC，∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠C，∴∠AFE=∠AEF，∴AE=AF．（2）解：①由旋转的性质得，∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，在△CAE′和△BAF′中，，∴△CAE′≌△BAF′（SAS），∴CE′=BF′=6；②由（1）可知AE=BC，所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，点E经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l相交于点M、N，如图，①当点E的像E′与点M重合时，四边形ABCM是等腰梯形，所以，∠BAM=∠ABC=72°，又∵∠BAC=36°，∴α=∠CAM=36°；②当点E的像E′与点N重合时，∵CE′∥AB，∴∠AM N=∠BAM=72°，∵AM=AN，∴∠ANM=∠AMN=72°，∴∠MAN=180°﹣72°×2=36°，∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=36°+36°=72°，综上所述，当旋转角α为36°或72°．26．（10分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）（1）求该二次函数的解析式；（2）设E 是y 轴右侧抛物线上异于点A 的一个动点，过点E 作x 轴的平行线交抛物线于另一点F ，过点F 作FG 垂直于x 轴于点G ，再过点E 作EH 垂直于x 轴于点H ，得到矩形EFGH ，则在点E 的运动过程中，当矩形EFGH 为正方形时，求出该正方形的边长；（3）设P 点是x 轴下方的抛物线上的一个动点，连接PA 、PC ，求△PAC 面积的取值范围，若△PAC 面积为整数时，这样的△PAC 有几个？【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a （x+1）（x ﹣3），把C （0，﹣3）代入得﹣3a=﹣3，解得a=1，所以抛物线解析式为y=（x+1）（x ﹣3），即y=x 2﹣2x ﹣3；（2）抛物线的对称轴为直线x=1，设E （t ，t 2﹣2t ﹣3），当0＜t ＜1时，如图1，EF=2（1﹣t ），EH=﹣（t 2﹣2t ﹣3），∵矩形EFGH 为正方形，∴EF=EH ，即2（1﹣t ）=﹣（t 2﹣2t ﹣3），整理得t 2﹣4t ﹣1=0，解得t1=2+（舍去），t 2=2﹣（舍去）；当1＜t ＜3时，如图2，EF=2（t ﹣1），EH=﹣（t 2﹣2t ﹣3），∵矩形EFGH 为正方形，∴EF=EH ，即2（t ﹣1）=﹣（t 2﹣2t ﹣3），整理得t 2﹣5=0，解得t1=，t 2=﹣（舍去），此时正方形EFGH 的边长为2﹣2；当t ＞3时，EF=2（t ﹣1），EH=t 2﹣2t ﹣3，∵矩形EFGH 为正方形，∴EF=EH ，即2（t ﹣1）=t 2﹣2t ﹣3，整理得t 2﹣4t ﹣1=0，解得t1=2+，t 2=2﹣（舍去）， 此时正方形EFGH 的边长为2+2，综上所述，正方形EFGH 的边长为2﹣2或2+2；（3）设P （x ，x 2﹣2x ﹣3），当﹣1＜x ＜0时，∵S △ABC =×4×3=6，∴0＜S △APC ＜6，当0＜x ＜3时，作PM ∥y 轴交AC 于点M ，如图3，易得直线AC 的解析式为y=x ﹣3，则M （x ，x ﹣3），∴PM=x ﹣3﹣（x 2﹣2x ﹣3）=﹣x 2+3x ，∴S △APC =•3•（﹣x 2+3x ）=﹣x 2+x=﹣（x ﹣）2+，当x=时，S △APC 的面积的最大值为，即0＜S △APC ＜， 综上所述，0＜S △APC ＜6，∴△PAC 面积为整数时，它的值为1、2、3、4、5，即△PAC 有5个．。
天津市红桥区名校2025届九年级数学第一学期期末经典试题含解析
天津市红桥区名校2025届九年级数学第一学期期末经典试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）1．O 的半径为10cm ，弦//AB CD ，16AB =，12CD =，则AB 、CD 间的距离是：（ ）A ．14B ．2C ．14或2D ．以上都不对 2．下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容则回答正确的是（ ）A ．◎代表B ．@代表同位角C ．▲代表D ．※代表3．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，抛物线y ＝﹣49x 2+bx +c 经过原点，与x 轴的另一个交点为A （﹣6，0），点C 是抛物线的顶点，且⊙C 与y 轴相切，点P 为⊙C 上一动点．若点D 为PA 的中点，连结OD ，则OD 的最大值是（ ）A 985B 97+3C ．10D 1304．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若△ADE 的面积为4，则△ABC 的面积为（ ）A ．8B ．12C ．14D ．165．如图，已知A （2，1），现将A 点绕原点O 逆时针旋转90°得到A1，则A1的坐标是（ ）A ．（﹣1，2）B ．（2，﹣1）C ．（1，﹣2）D ．（﹣2，1）6．下列事件中，是必然事件的是( )A ．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯B ．明天太阳从西方升起C ．三角形内角和是180D ．购买一张彩票,中奖7．一元二次方程22350x x --=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等实数根B ．有两个相等实数根C ．没有实数根D ．无法确定8．如图，在ABC ∆中，已知点M 在BC 上，点N 在AM 上，CM CN =，AM BM AN CN=，下列结论中正确的是（ ）A ．ABM ACB ∆∆∽ B ．ANC AMB ∆∆∽ C ．ANC ACM ∆∆∽D ．CMN BCA ∆∆∽9．下面四个图是同一天四个不同时刻树的影子，其时间由早到晚的顺序为( )A ．1234B ．4312C ．3421D ．423110．四边形ABCD 内接于⊙O ，点I 是ABC ∆的内心，124AIC ∠=，点E 在AD 的延长线上，则CDE ∠的度数为( )A ．56°B ．62°C ．68°D ．48°11．方程2(1)230m x mx -+-=是关于x 的一元二次方程，则( )A ．1m ≠±B ．1m =C ．1m ≠-D ．1m ≠ 12．如图，在O 中，37B ∠=，则劣弧AB 的度数为（ ）A ．106B ．1?26C ． 74?D ． 53二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，已知两个反比例函数13:C y x =和21:C y x=在第一象限内的图象，设点P 在1C 上，PC x ⊥轴于点,C 交2C 于点,A PD y ⊥轴于点,D 交2C 于点B ，则四边形PAOB 的面积为_______________________．14．方程x 2+2x ﹣1=0配方得到（x+m ）2=2，则m=_____．15．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上的点，P 为圆外一点，PC 、PD 均与圆相切，设∠A+∠B ＝130°，∠CPD ＝β，则β＝_____．16．在平面直角坐标系中，将点A （﹣3，2）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点A ′的坐标是_____．17．将抛物线2y 5x =向左平移2个单位得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是______．18．因式分解：ax 3y ﹣axy 3＝_____．三、解答题（共78分）19．（8分）若关于x 的方程()2260x b x b +++-=有两个相等的实数根 （1）求b 的值；（2）当b 取正数时，求此时方程的根，20．（8分）某水果经销商到水果种植基地采购葡萄，经销商一次性采购葡萄的采购单价y （元/千克）与采购量x （千克）之间的函数关系图象如图中折线AB BC CD →→所示（不包括端点A ）.（1）当5001000x <≤时，写出y 与x 之间的函数关系式；（2）葡萄的种植成本为8元/千克，某经销商一次性采购葡萄的采购量不超过1000千克，当采购量是多少时，水果种植基地获利最大，最大利润是多少元？21．（8分）解不等式组532,31204x x x +≥⎧⎪⎨--<⎪⎩，并把它的解集在数轴上表示出来． 22．（10分）有一组邻边相等的凸四边形叫做“和睦四边形”，寓意是全世界和平共处，睦邻友好，共同发展.如菱形，正方形等都是“和睦四边形”.（1）如图1，BD 平分∠ABC ，AD ∥BC ，求证:四边形ABCD 为“和睦四边形”；（2）如图2，直线364y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点P 、Q 分别是线段OA 、AB 上的动点.点P 从点A 出发,以每秒4个单位长度的速度向点O 运动.点Q 从点A 出发,以每秒5个单位长度的速度向点B 运动.P 、Q 两点同时出发，设运动时间为t 秒.当四边形BOPQ 为“和睦四边形”时，求t 的值；（3）如图3，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为点D ．当四边形COBD 为“和睦四边形”，且CD=OC ．抛物线还满足：①0,0,2a ab c <≠=；②顶点D 在以AB为直径的圆上. 点00(,)P x y 是抛物线2y ax bx c =++上任意一点，且003t y x =-.若1136505t m ≤+恒成立，求m 的最小值.23．（10分）先化简，再求值：(1+11x -)2221x x x x +÷-+，其中，x ＝2﹣1． 24．（10分）已知关于x 的方程x 2﹣（k+1）x+14k 2+1=0有两个实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若方程的两实数根分别为x 1，x 2，且x 12+x 22=6x 1x 2﹣15，求k 的值．25．（12分）如图，BE 是ABC 的角平分线，延长BE 至点,D 使得BC CD =．求证：ABE CDE ．26．图中是抛物线拱桥，点P 处有一照明灯，水面OA 宽4m ，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，已知点P 的坐标为（3，32）．（1）求这条抛物线的解析式；（2）水面上升1m ，水面宽是多少？参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】先根据勾股定理求出OE=6，OF=8，再分AB、CD在点O的同侧时，AB、CD在点O的两侧时两种情况分别计算求出EF即可.【详解】如图，过点O作OF⊥CD于F，交AB于点E，∵//AB CD，∴OE⊥AB，在Rt△AOE中，OA=10，AE=12AB=8，∴OE=6，在Rt△COF中，OC=10，CF=12CD=6，∴OF=8，当AB、CD在点O的同侧时，AB、CD间的距离EF=OF-OE=8-6=2；当AB、CD在点O的两侧时，AB、CD间的距离EF=OE+OF=6+8=14，故选：C.【点睛】此题考查了圆的垂径定理，勾股定理，在圆中通常利用垂径定理和勾股定理求半径、弦的一半、弦心距三者中的一个量.2、C【解析】根据图形可知※代表CD，即可判断D；根据三角形外角的性质可得◎代表∠EFC，即可判断A；利用等量代换得出▲代表∠EFC，即可判断C；根据图形已经内错角定义可知@代表内错角．【详解】延长BE交CD于点F，则∠BEC=∠EFC+∠C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．又∠BEC=∠B+∠C，得∠B=∠EFC．故AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．【点睛】本题考查了平行线的判定，三角形外角的性质，比较简单．3、B【分析】取点H （6,0）,连接PH ,由待定系数法可求抛物线解析式,可得点C 坐标, 可得⊙C 半径为4,由三角形中位线的定理可求OD =12PH , 当点C 在PH 上时,PH 有最大值,即可求解． 【详解】如图,取点H （6,0）,连接PH ,∵抛物线y ＝﹣49x 2+bx +c 经过原点,与x 轴的另一个交点为A （﹣6,0）, ∴0403669c b =⎧⎪⎨=-⨯-⎪⎩, 解得:830b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴抛物线解析式为：y ＝﹣24893x x -, ∴顶点C （﹣3,4）,∴⊙C 半径为4,∵AO ＝OH ＝6,AD ＝BD ,∴OD ＝12PH , ∴PH 最大时,OD 有最大值,∴当点C 在PH 上时,PH 有最大值, ∴PH 最大值为＝81+16＝97,∴OD 的最大值为:3+972, 故选B ．本题主要考查了切线的性质,二次函数的性质,三角形中位线定理等知识,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数性质和三角形中位线的性质.4、D【分析】直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=12BC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【详解】解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=12 BC，∴△ADE∽△ABC，∵DEBC=12，∴14ADEABCSS∆∆=，∵△ADE的面积为4，∴△ABC的面积为：16，故选D．【点睛】考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出△ADE∽△ABC是解题关键．5、A【解析】根据点（x，y）绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为（-y，x）解答即可．【详解】已知A（2，1），现将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，所以A1的坐标为（﹣1，2）.故选A.【点睛】本题考查的是旋转的性质，熟练掌握坐标的旋转是解题的关键.6、C【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可判断【详解】解：A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件;B．明天太阳从西方升起是不可能事件;C．任意画一个三角形,其内角和是180是必然事件;D．购买一张彩票，中奖是随机事件;【点睛】本题考查的是必然事件，必然事件是一定发生的事件.7、A【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出△＝49＞0，由此即可得出方程有两个不相等的实数根．【详解】解：∵在方程22350x x --=中，△＝2(3)42(5)490＝＞， ∴方程22350x x --=有两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．8、B【分析】由CM CN =，得∠CMN=∠CNM ，从而得∠AMB=∠∠ANC ，结合AM BM AN CN =，即可得到结论. 【详解】∵CM CN =，∴∠CMN=∠CNM ，∴180°-∠CMN=180°-∠CNM ，即：∠AMB=∠∠ANC ， ∵AM BM AN CN=， ∴ANC AMB ∆∆∽，故选B.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定定理，掌握“对应边成比例，夹角相等的两个三角形相似”是解题的关键. 9、B【解析】由于太阳早上从东方升起，则早上树的影子向西；傍晚太阳在西边落下，此时树的影子向东，于是可判断四个时刻的时间顺序．【详解】解：时间由早到晚的顺序为1．故选B ．【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影． 10、C【分析】由点I 是ABC 的内心知2BAC IAC =∠∠ ，2ACB ICA =∠∠，从而求得()1802180B AIC =︒-⨯︒-∠∠ ，再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．【详解】∵点I 是ABC 的内心∴2BAC IAC =∠∠ ，2ACB ICA =∠∠∵124AIC =︒∠∴B ()180BAC ACB =︒-+∠∠()1802180AIC =︒-⨯︒-∠68=︒∵四边形ABCD 内接于⊙O∴68CDE B ==︒∠∠故答案为：C ．【点睛】本题考查了三角形的内心，圆内接四边形的性质，掌握三角形内心的性质和圆内接四边形的外角等于内对角是解题的关键．11、D【分析】根据一元二次方程的定义， 得到关于m 的不等式， 解之即可 ．【详解】解：根据题意得：10m -≠，解得：1m ≠，故选D ．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，解题关键是 正确掌握一元二次方程的定义．12、A【解析】注意圆的半径相等，再运用“等腰三角形两底角相等”即可解．【详解】连接OA ，∵OA=OB ，∠B=37°∴∠A=∠B=37°，∠O=180°-2∠B=106°．故选：A【点睛】本题考核知识点：利用了等边对等角，三角形的内角和定理求解解题关键点：熟记圆心角、弧、弦的关系；三角形内角和定理．二、填空题（每题4分，共24分）13、2【分析】根据反比函数比例系数k的几何意义得到S△AOC=S△BOD=12，S矩形PCOD=3，然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形PAOB的面积．【详解】解：∵PC⊥x轴，PD⊥y轴，∴S△AOC=S△BOD=12×1=12，S矩形PCOD=3，∴四边形PAOB的面积=3－12－12=1故答案为：1．【点睛】本题考查了反比函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．14、1【解析】试题解析：x2+2x-1=0，x2+2x=1，x2+2x+1=2，（x+1）2=2，则m=1；故答案为1．15、100°【分析】连结OC，OD，则∠PCO＝90°，∠PDO＝90°，可得∠CPD＋∠COD＝180°，根据OB＝OC，OD＝OA，可得∠BOC＝180°−2∠B，∠AOD＝180°−2∠A，则可得出 与β的关系式．进而可求出β的度数．【详解】连结OC，OD，∵PC、PD均与圆相切，∴∠PCO＝90°，∠PDO＝90°，∵∠PCO+∠COD+∠ODP+∠CPD＝360°，∴∠CPD+∠COD＝180°，∵OB＝OC，OD＝OA，∴∠BOC＝180°﹣2∠B，∠AOD＝180°﹣2∠A，∴∠COD+∠BOC+∠AOD＝180°，∴180°﹣∠CPD+180°﹣2∠B+180°﹣2∠A＝180°．∴∠CPD＝100°，故答案为：100°．【点睛】本题利用了切线的性质，圆周角定理，四边形的内角和为360度求解，解题的关键是熟练掌握切线的性质．16、（0，0）【解析】根据坐标的平移规律解答即可．【详解】将点A（-3，2）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点A′的坐标是（-3+3，2-2），即（0，0），故答案为（0，0）．【点睛】此题主要考查坐标与图形变化-平移．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．17、y=5（x+2）2【分析】根据二次函数平移的性质求解即可.5x顶点坐标为(O, O), 向左平移2个单位, 顶点坐标为【详解】抛物线的平移问题, 实质上是顶点的平移,原抛物线y=2(-2, 0), 根据抛物线的顶点式可求平移后抛物线的解析式为y=5（x+2）2，故答案为y=5（x+2）2.【点睛】本题主要考查二次函数平移的性质，有口诀“左加右减，上加下减”，注意灵活运用.18、axy （x +y ）（x ﹣y ）【分析】提取公因式axy 后剩余的项满足平方差公式，再运用平方差公式即可；【详解】解：ax 3y ﹣axy 3＝axy ()22x -y= axy （x +y ）（x ﹣y ）； 故答案为：axy （x +y ）（x ﹣y ）【点睛】本题主要考查了提公因式法与公式法的运用，掌握提公因式法，平方差公式是解题的关键.三、解答题（共78分）19、（1）b=2或b=10-；（2）x 1=x 2=2；【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．（2）由（1）可知b=2，根据一元二次方程的解法即可求出答案．【详解】解：（1）由题意可知：△=（b+2）2-4（6-b ）=0，∴28200b b +-=解得：b=2或b=10-．（2）当b=2时，此时x 2-4x+4=0，∴2(2)0x -=，∴x 1=x 2=2；【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．20、（1）0.0240y x =-+；（2）一次性采购量为800千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润为12800元.【分析】（1）根据函数图象中的点B 和点C 可以求得当500<x ≤1000时，y 与x 之间的函数关系式；（2）根据题意可以分为两种讨论，然后进行对比即可解答本题；【详解】解：（1）设当5001000x <≤时，y 与x 之间的函数关系式为：y ax b =+， 50030100020a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得0.0240a b =-⎧⎨=⎩. 故y 与x 之间的函数关系式为：0.0240y x =-+；（2）当采购量是x 千克时，蔬菜种植基地获利ω元，当0500x <≤时，()30822x x ω=-=，则当500x =时，ω有最大值11000元，当5001000x <≤时，()8y x ω=-，()0.0232x x =-+20.0232x x =-+()20.028*******x =--+，故当800x =时，ω有最大值为12800元，综上所述，一次性采购量为800千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润为12800元；【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握二次函数的应用，一元二次方程的应用是解题的关键.21、13x -≤<，在数轴上表示见解析.【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：解5+3231504x x x ≥⎧⎪⎨--⎪⎩①＜② 解不等式①得1x ≥-；解不等式②得3x <；把解集在数轴上表示为所以不等式组的解集为13x -≤<.【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．22、（1）见解析；（2）148257，，或54；（3）12020【分析】（1）由BD 平分∠ABC 推出∠ABD=∠CBD ，又AB ∥BC ，所以∠ADB=∠CBD ，所以∠ABD=∠ADB ，即AB=AD ，所以四边形ABCD 为“和睦四边形”； (2)分别求出 AQ 、AP 、BQ 、OP 、OB 的值，连接PQ ，因为55,44AQ t AP t ==10584AB AO ==，所以AQ AB AP AO=，所以PQ OB ，PQ OA ⊥，根据勾股定理求出PQ ，再分类讨论t 的值即可；（3）表示出点()2-b 8,,0,224a b D C a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭的坐标，由22CD OC =可得，22228a 2242b b a a ⎛⎫--⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①， 因为D AB 在以为直径的圆上，且在抛物线对称轴上，得出ADB ∆为等腰直角三角形， 所以1y 2D AB =，即284a b a -=，由①②的方程，且0ab <解出a 、b 的值，求出抛物线的解析式为21y 23x =-++，因为P 在抛物线上，将P代入抛物线得，2000123y x x =-++，可得20000123t y x x =-=-+，当0max 94x t ==，又因为1136505t m ≤+恒成立，所以max 1136505t m ≤+，即12020m ≥，得出m 的最小值为12020；【详解】解：（1）BD ABC ∠平分，ABD CBD ∴∠=∠，AD BC ∵∥，ADB CBD ∴∠=∠，ABD ADB ∴∠=∠，AB AD ∴=，∴四边形ABCD 为“和睦四边形”；（2）由题意得：AQ=5 t ，AP=4 t ，BQ=10 - 5 t ，OP=8 - 4 t ，OB=6，连接PQ ，55,4410584AQ tAP t AB AO ∴====又，AQ ABAP AO PQ OB PQ OA ∴=∴∴⊥，，，3PQ t ∴==，“”BOPQ 四边形为和睦四边形，6=8-4t 1t 2OB OP ∴=∴=①当时，，，6=10-5t 4t 5OB BQ =∴=②当时，，，8-4t=3t 8t 7OP PQ =∴=③当时，，，10-5t=3t 5t 4BQ PQ =∴=④当时，，， 综上：1485t 2574=，，或； （3）由题意得：()2-b 8,,0,224a b D C a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 222222,8a 2242CD OC b b a a =⎛⎫--⎛⎫∴-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①， D AB ADB ∴∆在以为直径的圆上，且在抛物线对称轴上，为等腰直角三角形，21y ,28142aD AB a b a ∴=-∴= 由①②，且0ab <，得1a -b 33==，，21y 23x x ∴=-+抛物线为， ()002000200000max ,12312339 4P x y y x x t y x x x t ∴=-++∴==--+==点在抛物线上，，，当，max 11365051136505911364505120201 2020t m t m m m m ≤+∴≤+∴≤+∴≥∴恒成立，，，，的最小值为； 【点睛】本题是二次函数的综合性题目，给了新型定义，解题的关键是审清题目的意思.23、11x x -+，12 【分析】根据分式混合运算的运算顺序及运算法则进行化简，再把x 的值代入计算即可．【详解】解：原式2211211x x x x x x-+-+=-+ ()()2111x x x x x -=-+ 11x x -=+， 当21x =时，原式22122112===--+ 【点睛】本题主要考查分式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握分式通分和分式加减乘除运算法则．24、（1）k≥32；（2）1 【分析】（1）根据判别式与根的个数之间的关系，列不等式计算即可；（2）根据一元二次方程根与系数间的关系表示出12x x +，12x x ，再由222121212()2x x x x x x +=+-代入进行计算即可．【详解】解：（1）由题意，得△=[﹣（k+1）]2﹣1（14k 2+1）=2k ﹣3≥0，解得32k ≥， ∴k 的取值范围为k≥32． （2）∵由根与系数的关系，得x 1+x 2=k+1，x 1•x 2=14k 2+1 ， ∵x 12+x 22=6x 1x 2﹣15，∴（x 1+x 2）2﹣8x 1x 2+15=0，∴k 2﹣2k ﹣8=0，解得：k 1=1，k 2=﹣2 ，又∵k≥32， ∴k=1．【点睛】本题考查了一元二次方程根的个数与判别式之间的关系，根与系数的关系，熟知以上运算是解题的关键．25、证明见解析．【分析】先根据角平分线的定义可得ABE CBE ∠=∠，再根据等腰三角形的性质可得CDE CBE =∠∠，从而可得ABE CDE ∠=∠，然后根据相似三角形的判定即可得证．【详解】BE 是ABC 的角平分线ABE CBE ∴∠=∠BC CD =CDE CBE ∴∠=∠ABE CDE ∠=∠∴又AEB CED ∠=∠ABECDE ∴．【点睛】 本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．26、（1）y=﹣12x 2+2x ；（2）m 【分析】（1）利用待定系数法求解可得；（3）在所求函数解析式中求出y=1时x 的值即可得．【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c ，将点O （0，0）、A （4，0）、P （3，32）代入，得：01640930c a b a b =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得：1220a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，所以抛物线的解析式为y=﹣12x 2+2x ； （2）当y=1时，﹣12x 2+2x=1，即x 2﹣4x+2=0， 解得：x=2则水面的宽为﹣（2）（m ）．答：水面宽是：m ．【点睛】考查二次函数的应用，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．。
天津市红桥区2019-2020学年人教版九年级(上)期末数学试卷 含解析
2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共12小题）1．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．掷一枚质地均匀的硬币3次，下列说法中正确的是（）A．可能有2次正面朝上B．必有2次正面朝上C．必有1次正面朝上D．不可能3次正面朝上3．下列各组图形中，是相似图形的是（）A．B．C．D．4．在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外无任何区别．摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球100次，其中有25次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球（）A．12个B．16个C．20个D．30个5．如图，在▱ABCD中，F是BC边上一点，延长DF交AB的延长线于点E，若AB＝3BE，则BF：CF等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：56．方程x2+x﹣12＝0的两个根为（）A．x1＝﹣2，x2＝6 B．x1＝﹣6，x2＝2 C．x1＝﹣3，x2＝4 D．x1＝﹣4，x2＝3 7．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点H，若∠AOC＝60°，OH＝1，则弦AB的长为（）A．2B．C．2 D．48．如图，边长为3的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则扇形OAB（图中阴影部分）的面积为（）A．πB．C．3πD．9．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO＝40°，则∠OCB的度数为（）A．40°B．50°C．65°D．75°10．若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＜y1＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y3＜y1＜y211．如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB＝4，AD＝2．∠DAC＝∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（）A．a B．C．D．a12．已知抛物线y＝ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，a＞0）的顶点坐标为（，m）．有下列结论：①若m＞0，则a+2b+6c＞0；②若点（n，y1）与（﹣2n，y2）在该抛物线上，当n＜时，则y1＜y2；③关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0有实数解．其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二．填空题（共6小题）13．不透明袋子中装有11个球，其中有6个红球，3个黄球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是．14．如图，点A、B、C在⊙O上，∠A＝50°，则∠BOC度数为．15．若反比例函数y＝（m为常数）的图象在第二、四象限，则m的取值范围是．16．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．若标杆BE的高为1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m，则楼高CD为m．17．如图，已知平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC＝60°，∠ADA′＝50°，则∠DA′E′的度数为．18．如图，在△ABC中，点O在边AC上，⊙O与△ABC的边BC，AB分别相切于C，D两点，与边AC交于点E点，弦CF与AB平行，与DO的延长线交于点M．若点E是的中点，BC＝2，则OC的长为．三．解答题（共7小题）19．在一个不透明的布袋里装有4个标号分别为1，2，3，4的小球，这些球除标号外无其它差别．从布袋里随机取出一个小球，记下标号为x，再从剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下标号为y，记点P的坐标为（x，y）．（I）请用画树形图或列表的方法写出点P所有可能的坐标；（Ⅱ）求两次取出的小球标号之和大于6的概率；（Ⅲ）求点（x，y）落在直线y＝﹣x+5上的概率．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．（1）求证：△BDE∽△CAD．（2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．21．已知抛物线y＝x2﹣4x﹣5与y轴交于点C．（I）求点C的坐标和该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）若该抛物线与x轴交于A，B两点，求△ABC的面积S；（Ⅲ）将该抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，求平移后的抛物线的解析式（直接写出结果即可）．22．已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大小；（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．23．已知反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象经过A（1，3），B（﹣6，n）两点．（I）求该反比例函数的解析式和n的值；（Ⅱ）当x≤﹣1时，求y的取值范围；（Ⅲ）若M为直线y＝x上的一个动点，当MA+MB最小时，求点M的坐标．24．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（6，0），点B（0，8）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（0°＜α＜90°）．（I）如图①，当α＝30°时，求点D的坐标；（Ⅱ）如图②，当点E落在AC的延长线上时，求点D的坐标；（Ⅲ）当点D落在线段OC上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．25．抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．点D（x D，y D）为抛物线上一个动点，其中1＜x D＜3．连接AC，BC，DB，DC．（I）求该抛物线的解析式；（Ⅱ）当△BCD的面积等于△AOC的面积的2倍时，求点D的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念判断．【解答】解：A、不是中心对称图形；B、是中心对称图形；C、不是中心对称图形；D、不是中心对称图形．故选：B．2．掷一枚质地均匀的硬币3次，下列说法中正确的是（）A．可能有2次正面朝上B．必有2次正面朝上C．必有1次正面朝上D．不可能3次正面朝上【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．【解答】解：A．掷一枚质地均匀的硬币3次，可能有2次正面朝上，故本选项正确；B．掷一枚质地均匀的硬币3次，有可能有2次正面朝上，故本选项错误；C．掷一枚质地均匀的硬币3次，有可能有1次正面朝上，故本选项错误；D．掷一枚质地均匀的硬币3次，有可能有3次正面朝上，故本选项错误；故选：A．3．下列各组图形中，是相似图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．【解答】解：A．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；B．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；C．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；D．形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，此选项符合题意；故选：D．4．在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外无任何区别．摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球100次，其中有25次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球（）A．12个B．16个C．20个D．30个【分析】根据共摸球100次，其中25次摸到黑球，则摸到黑球与摸到白球的次数之比为25：75，由此可估计口袋中黑球和白球个数之比为1：3；即可计算出白球数．【解答】解：∵共摸了100次，其中25次摸到黑球，∴有75次摸到白球，∴摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：3，∴口袋中黑球和白球个数之比为1：3，盒子中大约有白球3×4＝12个．故选：A．5．如图，在▱ABCD中，F是BC边上一点，延长DF交AB的延长线于点E，若AB＝3BE，则BF：CF等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5【分析】通过证明△DCF∽△EBF，可得，可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴△DCF∽△EBF，∴，且AB＝CD＝3BE，∴BF：CF＝1：3，故选：B．6．方程x2+x﹣12＝0的两个根为（）A．x1＝﹣2，x2＝6 B．x1＝﹣6，x2＝2 C．x1＝﹣3，x2＝4 D．x1＝﹣4，x2＝3 【分析】将x2+x﹣12分解因式成（x+4）（x﹣3），解x+4＝0或x﹣3＝0即可得出结论．【解答】解：x2+x﹣12＝（x+4）（x﹣3）＝0，则x+4＝0，或x﹣3＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝3．故选：D．7．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点H，若∠AOC＝60°，OH＝1，则弦AB的长为（）A．2B．C．2 D．4【分析】在Rt△AOH中，由∠AOC＝60°，解直角三角形求得AH＝，然后利用垂径定理解答即可．【解答】解：∵OC⊥AB于H，∴AH＝BH，在Rt△AOH中，∠AOC＝60°，∵OH＝1，∴AH＝OH＝，∴AB＝2AH＝2故选：A．8．如图，边长为3的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则扇形OAB（图中阴影部分）的面积为（）A．πB．C．3πD．【分析】根据已知条件得到∠AOB＝60°，推出△AOB是等边三角形，得到OA＝OB＝AB ＝3，根据扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴∠AOB＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝2，∴扇形AOB的面积＝＝，故选：B．9．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO＝40°，则∠OCB的度数为（）A．40°B．50°C．65°D．75°【分析】根据切线的性质可判断∠OBA＝90°，再由∠BAO＝40°可得出∠O＝50°，在等腰△OBC中求出∠OCB即可．【解答】解：∵AB是⊙O的切线，B为切点，∴OB⊥AB，即∠OBA＝90°，∵∠BAO＝40°，∴∠O＝50°，∵OB＝OC（都是半径），∴∠OCB＝（180°﹣∠O）＝65°．故选：C．10．若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＜y1＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y3＜y1＜y2【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到﹣3×y1＝﹣6，﹣2×y2＝﹣6，1×y3＝﹣6，然后计算出y1，y2，y3的值，从而得到它们的关系关系．【解答】解：∵点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）都在反比例函数y＝的图象上，∴﹣3×y1＝﹣6，﹣2×y2＝﹣6，1×y3＝﹣6，∴y1＝2，y2＝3，y3＝﹣6，∴y3＜y1＜y2．故选：D．11．如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB＝4，AD＝2．∠DAC＝∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（）A．a B．C．D．a【分析】首先证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，因为△ABD的面积为a，进而求出△ACD的面积．【解答】解：∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，∴△ACD∽△BCA，∵AB＝4，AD＝2，∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，∴△ACD的面积：△ABD的面积＝1：3，∵△ABD的面积为a，∴△ACD的面积为a，故选：C．12．已知抛物线y＝ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，a＞0）的顶点坐标为（，m）．有下列结论：①若m＞0，则a+2b+6c＞0；②若点（n，y1）与（﹣2n，y2）在该抛物线上，当n＜时，则y1＜y2；③关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0有实数解．其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】①根据顶点的横坐标推出a＝﹣b，纵坐标大于0即可判断；②先通过抛物线的对称性把两点坐标变换到对称轴的一边来，再根据二次函数的增减性即可进行比较；③先把顶点坐标代入抛物线解析式，求得m，再把m代入一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0根的判别式中计算，判断其正负即可．【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，a＞0）顶点坐标为（，m），∴﹣＝，∴b＝﹣a，∴a+2b+6c＝﹣a+6cm＝＝∵m＞0，∴4c﹣a＞0∴a+2b+4c＞0．故此小题结论错误；②∵顶点坐标为（，m），n＜，∴点（n，y1）关于抛物线的对称轴x＝的对称点为（1﹣n，y1）∴点（1﹣n，y1）与（﹣2n，y2）在该抛物线上，∵1﹣n﹣（﹣2n）＝n﹣＜0，∴1﹣n＜﹣2n，∵a＞0，∴当x时，y随x的增大而增大，∴y1＜y2故此小题结论正确；③把顶点坐标（，m）代入抛物线y＝ax2+bx+c中，得m＝a+b+c，∴一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0中，△＝b2﹣4ac+4am﹣4a＝b2﹣4ac+4a（a+b+c）﹣4a＝（a+b）2﹣4a∵b＝﹣a∴△＝﹣4a＜0，∴关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0无实数解．故此小题错误．故选：B．二．填空题（共6小题）13．不透明袋子中装有11个球，其中有6个红球，3个黄球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：∵袋子中共有11个小球，其中红球有6个，∴摸出一个球是红球的概率是，故答案为：．14．如图，点A、B、C在⊙O上，∠A＝50°，则∠BOC度数为100°．【分析】由点A、B、C在⊙O上，∠A＝50°，根据圆周角定理，即可求得∠BOC度数．【解答】解：∵点A、B、C在⊙O上，∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°．故答案为：100°．15．若反比例函数y＝（m为常数）的图象在第二、四象限，则m的取值范围是m＜．【分析】对于反比例函数y＝（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．【解答】解：因为反比例函数y＝（m为常数）的图象在第二、四象限．所以3m﹣1＜0，∴m＜．故答案为：m＜．16．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．若标杆BE的高为1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m，则楼高CD为10.5 m．【分析】先证明△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得＝，然后利用比例性质求出CD即可．【解答】解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴＝，即＝，∴CD＝10.5（米）．故答案为10.5．17．如图，已知平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC＝60°，∠ADA′＝50°，则∠DA′E′的度数为160°．【分析】根据平行四边形的性质得∠ABC＝∠ADC＝60°，AD∥BC，则根据平行线的性质可计算出∠DA′B＝130°，接着利用互余计算出∠BAE＝30°，然后根据旋转的性质得∠BA′E′＝∠BAE＝30°，于是可得∠DA′E′＝160°．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，AD∥BC，∴∠ADA′+∠DA′B＝180°，∴∠DA′B＝180°﹣50°＝130°，∵AE⊥BE，∴∠BAE＝30°，∵△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，∴∠BA′E′＝∠BAE＝30°，∴∠DA′E′＝130°+30°＝160°．故答案为160°．18．如图，在△ABC中，点O在边AC上，⊙O与△ABC的边BC，AB分别相切于C，D两点，与边AC交于点E点，弦CF与AB平行，与DO的延长线交于点M．若点E是的中点，BC＝2，则OC的长为．【分析】连接DC，DF．首先证明M为CF的中点，E为的中点，可以证明△DCF是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠1＝30°；根据切线的性质得到BC＝BD＝2．推出△BCD为等边三角形；解直角三角形即可得到结论．【解答】解：连接DC，DF，设DO交CF于M．∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB于D．∴∠ODB＝90°．∵CF∥AB，∴∠OMF＝∠ODB＝90°．∴OM⊥CF．∴点M是CF的中点；∵DM⊥CF，∴DC＝DF，∵E是的中点，∴CE垂直平分DF，∴CD＝CF，∴△DCF是等边三角形，∴∠1＝30°，∵BC，AB分别是⊙O的切线，∴BC＝BD＝2，∠ACB＝90°，∴∠2＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠A＝30°，∴OD＝，∴⊙O的半径为．故答案为．三．解答题（共7小题）19．在一个不透明的布袋里装有4个标号分别为1，2，3，4的小球，这些球除标号外无其它差别．从布袋里随机取出一个小球，记下标号为x，再从剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下标号为y，记点P的坐标为（x，y）．（I）请用画树形图或列表的方法写出点P所有可能的坐标；（Ⅱ）求两次取出的小球标号之和大于6的概率；（Ⅲ）求点（x，y）落在直线y＝﹣x+5上的概率．【分析】（I）根据题意画出树状图，得出所有等情况数即可；（Ⅱ）先找出两次取出的小球标号之和大于6的情况数，再根据概率公式即可得出答案；（Ⅲ）先找出点（x，y）落在直线y＝﹣x+5上的情况数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（I）画树状图得：共有12种等可能的结果数；（Ⅱ）∵共有12种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号之和大于6的有2种，∴两次取出的小球标号之和大于6的概率是＝；（Ⅲ）∵点（x，y）落在直线y＝﹣x+5上的情况共有3种，∴点（x，y）落在直线y＝﹣x+5上的概率是＝．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．（1）求证：△BDE∽△CAD．（2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．【分析】（1）想办法证明∠B＝∠C，∠DEB＝∠ADC＝90°即可解决问题；（2）利用面积法：•AD•BD＝•AB•DE求解即可；【解答】解：（1）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，∴△BDE∽△CAD．（2）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，在Rt△ADB中，AD＝＝＝12，∵•AD•BD＝•AB•DE，∴DE＝．21．已知抛物线y＝x2﹣4x﹣5与y轴交于点C．（I）求点C的坐标和该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）若该抛物线与x轴交于A，B两点，求△ABC的面积S；（Ⅲ）将该抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，求平移后的抛物线的解析式（直接写出结果即可）．【分析】（Ⅰ）当x＝0时，y＝﹣5，故点C（0，5），则抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x ﹣5＝（x﹣2）2﹣9，即可求解；（Ⅱ）S＝×AB×OC＝×6×5＝15；（Ⅲ）y＝（x﹣2+1）2﹣9+2＝x2﹣2x﹣6．【解答】解：（Ⅰ）当x＝0时，y＝﹣5，故点C（0，5），则抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，故顶点坐标为：（2，﹣9）；（Ⅱ）令y＝0，解得：x＝﹣1或5，则AB＝6，OC＝5，则S＝×AB×OC＝×6×5＝15；（Ⅲ）y＝（x﹣2+1）2﹣9+2＝x2﹣2x﹣622．已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大小；（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．【分析】（1）连接OC，易证OC∥AD，所以∠OCA＝∠DAC，由因为OA＝OC，所以∠OAC＝∠OCA；（2）连接BE，AB是⊙O的直径，所以∠AEB＝90°，从而可知∠BEF＝∠DAE＝18°，由圆周角定理可知：∠BAF＝∠BEF＝18°【解答】解：（1）连接OC、∵l是⊙O的切线，∴OC⊥l，∵AD⊥l，∴OC∥AD，∴∠OCA＝∠DAC＝30°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，（2）连接BE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠AED+∠BEF＝90°，∵∠AED+∠DAE＝90°，∴∠BEF＝∠DAE＝18°，∵，∴∠BAF＝∠BEF＝18°23．已知反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象经过A（1，3），B（﹣6，n）两点．（I）求该反比例函数的解析式和n的值；（Ⅱ）当x≤﹣1时，求y的取值范围；（Ⅲ）若M为直线y＝x上的一个动点，当MA+MB最小时，求点M的坐标．【分析】（Ⅰ）先把A点坐标代入y＝求出k得到反比例函数解析式；然后把B（﹣6，n）代入反比例函数解析式求出m得到B点坐标；（Ⅱ）求得横坐标为﹣1时的函数值，然后根据反比例函数的性质即可求得；（Ⅲ）根据题意可以得到点A关于直线y＝x的对称点A′，连接A′B，与直线y＝x的交点为M，然后根据两点之间线段最短求得当MA+MB的值最小，从而可以解答本题【解答】解：（Ⅰ）把A（1，3）代入y＝得k＝1×3＝3，∴反比例函数解析式为y＝；把B（﹣6，n）代入y＝得﹣6n＝3，解得n＝﹣；（Ⅱ）∵k＝3＞0，∴图象在一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，把x＝﹣1代入y＝得y＝﹣3，∴当x≤﹣1时，y的取值范围是﹣3≤y＜0；（Ⅲ）作A点关于直线y＝x的对称点为A′，则A′（3，1），连接A′B，交直线y＝x 于点M，此时，MA+MB＝MA′+MB＝A′B，∴A′B是MA+MB的最小值，设直线A′B的解析式为y＝mx+b，则，解得，∴直线A′B的解析式为y＝x+，由，解得，∴点M的坐标为（，）．24．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（6，0），点B（0，8）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（0°＜α＜90°）．（I）如图①，当α＝30°时，求点D的坐标；（Ⅱ）如图②，当点E落在AC的延长线上时，求点D的坐标；（Ⅲ）当点D落在线段OC上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．【分析】（I）过点D作DG⊥x轴于G，由旋转的性质得出AD＝AO＝6，α＝∠OAD＝30°，DE＝OB＝8，由直角三角形的性质得出DG＝AD＝3，AG＝DG＝3，得出OG＝OA﹣AG＝6﹣3，即可得出点D的坐标为（6﹣3，3）；（Ⅱ）过点D作DG⊥x轴于G，DH⊥AE于H，则GA＝DH，HA＝DG，由勾股定理得出AE＝＝＝10，由面积法求出DH＝，得出OG＝OA﹣GA＝OA﹣DH＝，由勾股定理得出DG＝，即可得出点D的坐标为（，）；（Ⅲ）连接AE，作EG⊥x轴于G，由旋转的性质得出∠DAE＝∠AOC，AD＝AO，由等腰三角形的性质得出∠OAC＝∠ADO，得出∠DAE＝∠ADO，证出AE∥OC，由平行线的性质的∠GAE＝∠AOD，证出∠DAE＝∠GAE，证明△AEG≌△AED（AAS），得出AG＝AD＝6，EG＝ED ＝8，得出OG＝OA+AG＝12，即可得出答案．【解答】解：（I）过点D作DG⊥x轴于G，如图①所示：∵点A（6，0），点B（0，8）．∴OA＝6，OB＝8，∵以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，∴AD＝AO＝6，α＝∠OAD＝30°，DE＝OB＝8，在Rt△ADG中，DG＝AD＝3，AG＝DG＝3，∴OG＝OA﹣AG＝6﹣3，∴点D的坐标为（6﹣3，3）；（Ⅱ）过点D作DG⊥x轴于G，DH⊥AE于H，如图②所示：则GA＝DH，HA＝DG，∵DE＝OB＝8，∠ADE＝∠AOB＝90°，∴AE＝＝＝10，∵AE×DH＝AD×DE，∴DH＝＝＝，∴OG＝OA﹣GA＝OA﹣DH＝6﹣＝，DG＝＝＝，∴点D的坐标为（，）；（Ⅲ）连接AE，作EG⊥x轴于G，如图③所示：由旋转的性质得：∠DAE＝∠AOC，AD＝AO，∴∠OAC＝∠ADO，∴∠DAE＝∠ADO，∴AE∥OC，∴∠GAE＝∠AOD，∴∠DAE＝∠GAE，在△AEG和△AED中，，∴△AEG≌△AED（AAS），∴AG＝AD＝6，EG＝ED＝8，∴OG＝OA+AG＝12，∴点E的坐标为（12，8）．25．抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．点D（x D，y D）为抛物线上一个动点，其中1＜x D＜3．连接AC，BC，DB，DC．（I）求该抛物线的解析式；（Ⅱ）当△BCD的面积等于△AOC的面积的2倍时，求点D的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由待定系数法可求解析式；（Ⅱ）先求出直线BC解析式，再求出DE的长，由三角形的面积关系可求解；（Ⅲ）分两种情况讨论，由平行四边形的性质可求解．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0），B（3，0），∴解得：∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（Ⅱ）如图，过点D作DH⊥x轴，与直线BC交于点E，∵抛物线y＝﹣x2+2x+3，与y轴交于点C，∴点C（0，3），∴OC＝3，∴S△AOC＝×1×3＝，∵点B（3，0），点C（0，3）∴直线BC解析式为y＝﹣x+3，∵点D（x D，y D），∴点E（x D，﹣x D+3），y D＝﹣x D2+2x D+3，∴DE＝﹣x D2+2x D+3﹣（﹣x D+3）＝﹣x D2+3x D，∵△BCD的面积等于△AOC的面积的2倍∴S△BCD＝3＝×DE×3，∴2＝﹣x D2+3x D，∴x D＝1（舍去），x D＝2，∴点D坐标（2，3）；（Ⅲ）设点M（m，0），点N（x，y）当BD为边，四边形BDNM是平行四边形，∴BN与DM互相平分，∴，∴y＝3，∴3＝﹣x2+2x+3∴x＝2（不合题意），x＝0∴点N（0，3）∴，∴m＝1，当BD为边，四边形BDMN是平行四边形，∴BM与DN互相平分，∴，∴y＝﹣3，∴﹣3＝﹣x2+2x+3∴x＝1±，∴∴m＝±，当BD为对角线，∴BD中点坐标（，），∴，∴y＝3，∴3＝﹣x2+2x+3∴x＝2（不合题意），x＝0∴点N（0，3）∴m＝5，综上所述点M坐标（1，0）或（，0）或（﹣，0）或（5，0）．。
2017-2018学年九年级上学期(华东师大版)期末数学试题含答案
2017-2018学年第一学期九年级期末质量检测数 学 试 卷以下各小题，每小题都给出A 、B 、C 、D 四个选项，但其中只有一个选项符合题目的要求，请把它选出来，并把它的代号填在相应的题目后的括号内.若选错、多选、不选均计0分.） 1.下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）. A B C D 2.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB =3，BC=2，则cosB的值是（ ）. A ．53 ; B ．32; C ． 52; D ．23. 3.如图的四个转盘中，C ，D 转盘分成8等分，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（ ）.A .B .C .D .4. 判断一元二次方程0122=+-x x 的根的情况是（ ）．A ．只有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根5．如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判定△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确的是（ ）. A ．∠ABD =∠CB ．∠ADB =∠ABC第2题图第8题图C ．AB CBBD CA= D ．AB ACAD AB= 6. 河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB 的坡比是1：，则AC 的长是（ ）. A ．5米B ．10米C ．15米D ．10米7用配方法解方程0342=--x x ，下列配方结果正确的是（ ）． A ．19)4(2=-x B ．7)2(2=-x C ．7)2(2=+x D ．19)4(2=+x8如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在CD 上，若DE ︰CE =1︰2， 则△CEF 与△ABF 的周长比为（ ）． A ．1︰2 B ．1︰3 C ．2︰3 D ．4︰9 9. 某商品经过两次降价，零售价降为原来的12，已知两次降价的百分率均为x ，则列出方程正确的是（ ）.A ．21)1(2=+x B.2)1(2=+x C. 2)1(2=-x D.21)1(2=-x 10.如图，在正方形ABCD 中，△BPC 是等边三角形，BP 、CP 的延长线分别交AD 于点E 、F ，连结BD 、DP ，BD 与CF 相交于点H . 给出下列结论：①△BDE ∽△DPE ；②FP PH = 35；③DP 2=PH ·PB ； ④tan 2DBE ∠=其中正确的是（ ）.A. ①②③④B. ①②④C. ②③④D. ①③④二．选择题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11. 当x _______12. 已知12a b =，则b a a +的值为 。
2023-2024学年天津市红桥区九年级(上)期末数学试卷及答案解析
2023-2024学年天津市红桥区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下面四个图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+x﹣2m＝0的一个根，则m的值为（）A．﹣2B．2C．﹣1D．13．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（）A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝17C．（x﹣2）2＝5D．（x﹣2）2＝17 4．（3分）一只不透明的袋子中装有2个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件是随机事件的是（）A．摸出的3个球颜色相同B．摸出的3个球中有1个白球C．摸出的3个球颜色不同D．摸出的3个球中至少有1个白球5．（3分）方程2x2+3x﹣2＝0的两个根为（）A．B．C．D．6．（3分）抛物线y＝x2﹣4x﹣1的顶点坐标为（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣5）D．（﹣2，﹣5）7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠ABD＝41°，则∠BCD的大小为（）A．41°B．45°C．49°D．59°8．（3分）若一个等边三角形的边长为，则其内切圆与外接圆的半径分别为（）A．，B．C．D．1，29．（3分）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°10．（3分）若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）都在二次函数y＝﹣x2+x+1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y1＜y2 11．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别为D，E．当点D落在边BC上时，DE交AC于点F，若∠BAD＝40°，则∠AFE的大小为（）A．80°B．85°C．90°D．95°12．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3（其中x是自变量），当0＜x＜3时对应的函数值y 均为正数，则a的取值范围为（）A．0＜a＜1B．a＜﹣1或a＞3C．﹣3＜a＜0或0＜a＜3D．﹣1≤a＜0或0＜a＜3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）7张相同的卡片上分别写有数字﹣2，﹣1，0，1，2，3，4．将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，则抽取的卡片上的数字是负数的概率为．14．（3分）二次函数y＝x2﹣2x+2的最小值是．15．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有实数根，则m的最小值为．16．（3分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程2x2﹣6x+m＝0的两个实数根，若x2＝2x1，则m的值为．17．（3分）如图，BC为⊙O的弦，点A，D在⊙O上，OA⊥BC，∠ADB＝30°，，则OC的长为．18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A在格点上，点B是小正方形边的中点．（Ⅰ）线段AB的长等于；（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出经过A，B两点的圆的圆心O，并简要说明点O的位置是如何找到的（不要求证明）．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）解一元二次方程：2x2﹣3x﹣2＝x+1．20．（8分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．求下列事件的概率：（Ⅰ）两次取出的小球的标号相同；（Ⅱ）两次取出的小球标号的和小于5．21．（10分）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC．（Ⅰ）求证：∠AOB＝2∠BOC；（Ⅱ）若AB＝4，，求BC的长．22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．（Ⅰ）求证：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若AB＝2，∠C＝30°，求DE的长．23．（10分）小红和小琪在玩沙包游戏，某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．小红在点A（6，1）处将沙包（看作点）抛出，其运动的路线为抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2（a为常数，a≠0）的一部分，小琪恰在点B（0，c）处接住沙包，然后跳起在点C处将沙包回传，其运动的路线为抛物线C2：y＝﹣x+2（n为常数）的一部分．（Ⅰ）写出抛物线C1的顶点坐标，并求出a，c的值；（Ⅱ）若小红在y轴右侧、距离y轴6m的位置上，且与点A的垂直距离小于m的范围内可以接到回传的沙包，求n的整数值；（Ⅲ）若小红在x轴上方、距离x轴1m的高度上，且与点A的水平距离不超过1m的范围内可以接到回传的沙包，求n的整数值（直接写出结果即可）．24．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点，点C在y的正半轴上，且∠OCB＝60°，以点C为中心，顺时针旋转△OBC，得△O′B′C，点B，O的对应点分别为B′，O′，记旋转角为α，其中0°≤α＜360°．（Ⅰ）如图①，当α＝60°时，求点B′，O′的坐标；（Ⅱ）如图②，当α＝90°时，O′B′分别与AC，AO相交于点D，E，CB′与AO相交于点F，求此时△O′B′C与△AOC重叠部分的面积S；（Ⅲ）连接AB′，设线段AB′的中点为M，求点M的纵坐标m的取值范围（直接写出结果即可）．25．（10分）抛物线y＝ax2+bx+6（a，b为常数，a≠0）与x轴相交于点A（﹣2，0）和点B（6，0），与y轴相交于点C，点D为线段BC上的一个动点．（Ⅰ）求该抛物线的解析式；（Ⅱ）当△AOD的周长最小时，求点D的坐标；（Ⅲ）过点D作DP∥AC，与抛物线在第一象限的部分相交于点P，连接PA，PB，记△PAD与PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标．2023-2024学年天津市红桥区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【分析】根据中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转180°，与自身完全重合．逐一进行判断即可．【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；B、是中心对称图形，符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意；D、不是中心对称图形，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查中心对称图形．熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．2．【分析】把x＝1代入一元二次方程得到1+1﹣2m＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：把x＝1代入方程x2+x﹣2m＝0得1+1﹣2m＝0，解得m＝1．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．3．【分析】先把﹣1移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可．【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，∴x2﹣4x＝1，∴x2﹣4x+4＝1+4，∴（x﹣2）2＝5．故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n（n≥0）的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．4．【分析】根据随机事件，不可能事件，确定事件的定义结合具体问题情境进行判断即可．【解答】解：A．从2个黑球和2个白球中任意摸出3个球，摸出的3个球颜色相同是不可能事件，因此选项A不符合题意；B．从2个黑球和2个白球中任意摸出3个球，摸出的3个球中有1个白球是随机事件，因此选项B符合题意；C．从2个黑球和2个白球中任意摸出3个球，摸出的3个球颜色不同是确定事件，因此选项C不符合题意；D．从2个黑球和2个白球中任意摸出3个球，摸出的3个球中至少有1个白球是确定事件，因此选项D不符合题意．故选：B．【点评】本题考查随机事件，不可能事件，确定事件，掌握随机事件，不可能事件，确定事件的定义是正确判断的前提．5．【分析】先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．【解答】解：2x2+3x﹣2＝0，（x+2）（2x﹣1）＝0，x+2＝0或2x﹣1＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝．故选：A．【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．6．【分析】把解析式化成顶点式即可求得抛物线的顶点坐标．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5，∴抛物线y＝x2﹣4x﹣1的顶点坐标是（2，﹣5）．故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是把解析式化成顶点式．7．【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ADB的度数，继而求得∠A的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．【解答】解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝41°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝49°；∴∠BCD＝∠BAD＝49°．故选：C．【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．8．【分析】设等边三角形ABC的中心为O，AB＝BC＝AC＝2，连接OA、OB、OC，延长AO交BC于点E，可证明△AOB≌△AOC，得∠BAO＝∠CAO，则AO⊥BC，所以OA为△ABC外接圆的半径，OE为△AOB内切圆的半径，可求得BE＝CE＝BC＝，则AE＝＝3，再证明∠OBE＝∠OCE＝30°，则OE＝OB＝OA，所以OE ＝AE＝1，OA＝AE＝2，于是得到问题的答案．【解答】解：如图，设等边三角形ABC的中心为O，AB＝BC＝AC＝2，连接OA、OB、OC，延长AO交BC于点E，则OB＝OC＝OA，在△AOB和△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SSS），∴∠BAO＝∠CAO，∴AO⊥BC，∴OA为△ABC外接圆的半径，OE为△AOB内切圆的半径，∠AEB＝90°，∵BE＝CE＝BC＝，∴AE＝＝＝3，∴∠BOC＝×180°＝120°，∴∠OBE＝∠OCE＝×（180°﹣120°）＝30°，∴OE＝OB＝OA，∴OE＝AE＝×3＝1，OA＝AE＝×3＝2，∴△ABC内切圆与外接圆的半径分别为1和2，故选：D．【点评】此题重点考查正多边形和圆、正多边形的中心角的定义、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．9．【分析】连接OC，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，求得∠ACO＝40°，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO＝40°．【解答】解：连接OC，∵直线CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD＝90°，∵∠ACD＝50°，∴∠ACO＝90°﹣50°＝40°，∵OC＝OA，∴∠BAC＝∠ACO＝40°，故选：B．【点评】本题考查了切线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．10．【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据A，B，C三点到对称轴的距离大小关系求解．【解答】解：∵y＝﹣x2+x+1，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝，∵点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）都在二次函数y＝﹣x2+x+1的图象上，∴点A到对称轴的距离最大，点C到对称轴的距离最小，∴y1＜y2＜y3．故选：A．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质．11．【分析】由∠BAC＝55°，∠BAD＝40°，求得∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝15°，由旋转得AD＝AB，则∠B＝∠ADB＝70°，所以∠ADE＝∠B＝70°，则∠AFE＝∠CAD+∠ADE＝85°，于是得到问题的答案．【解答】解：∵∠BAC＝55°，∠BAD＝40°，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝55°﹣40°＝15°，由旋转得AD＝AB，∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝×（180°﹣40°）＝70°，∴∠ADE＝∠B＝70°，∴∠AFE＝∠CAD+∠ADE＝15°+70°＝85°，故选：B．【点评】此题重点考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等等知识，求得∠B＝∠ADB＝70°是解题的关键．12．【分析】先求出二次函数与y轴的交点和对称轴，然后分a＞0和a＜0讨论得出a的取值范围．【解答】解：令x＝0，则y＝3，∴二次函数与y轴的交点坐标为（0，3），二次函数的对称轴是：，当a＞0，Δ＜0时，满足当0＜x＜3时对应的函数值y均为正数，∴Δ＝（﹣2a）2﹣4•a×3＜0，解得：a＜3，∴0＜a＜3；当a＜0时，令x＝3，则9a﹣6a+3≥0，解得：a≥﹣1，∴﹣1≤a＜0，综上，a的取值范围为﹣1≤a＜0或0＜a＜3．故选：D．【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的知识，弄清当0＜x＜3时对应的函数值y 均为正数的意义，然后分情况讨论是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．【分析】根据负数的定义以及概率格式求解即可．【解答】解：在7个数字﹣2，﹣1，0，1，2，3，4中，负数有﹣2，﹣1，共2个，∴抽取的卡片上的数字是负数的概率为，故答案为：．【点评】本题考查了概率的应用，熟记概率格式是解题的关键．14．【分析】将抛物线解析式转换成顶点式，可求得答案．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，1），∴当x＝1时，y有最小值1；故答案为：1．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y ＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．15．【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，可得出关于m的一元一次不等式，解之可求出m的取值范围，即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有实数根，∴Δ＝22﹣4×1×（﹣m）≥0，解得：m≥﹣1，∴m的最小值为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ≥0时，一元二次方程有实数根”是解题的关键．16．【分析】根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1•x2＝，再根据x2＝2x1，求出x1＝1，x2＝2，即可得出答案．【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程2x2﹣6x+m＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣＝3，x1•x2＝，∵x2＝2x1，∴x1＝1，x2＝2，∴x1•x2＝＝2，∴m＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．17．【分析】先根据垂径定理得到＝，然后根据圆周角定理求得∠AOC＝2∠ADB＝60°，然后解直角三角形即可求解．【解答】解：∵OA⊥BC，，∴＝，CE＝BE＝，∴∠AOC＝2∠ADB＝2×30°＝60°，在Rt△OCE中，OC＝＝＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．18．【分析】（1）直接根据勾股定理求解即可；（2）根据网格特点作出直径AK与BE的交点O即可．【解答】解：（1）AB＝＝，故答案为：；（2）如图所示，连接格点C、D交网格线于点E，连接AE，连接格点I、G、F、H交于点K，连接BK，连接AK、BE交于点O，则点O即为所求．Ⅱ【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，正确作出直径AK与BE的交点O即可．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．【分析】用公式法求解即可．【解答】解：∵2x2﹣3x﹣2＝x+1，∴2x2﹣4x﹣3＝0，∴a＝2，b＝﹣4，c＝﹣3，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣3）＝40＞0，∴x＝＝1±，∴x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．20．【分析】（Ⅰ）先画树状图展示所有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号相同的占4种，然后根据概率的概念计算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知有16种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号的和等于4的有3种，进而可求出其概率．【解答】解：（Ⅰ）如图，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号相同的有4种，所有两次摸出的小球标号相同的概率为＝；（Ⅱ）因为两次取出的小球标号的和小于5的有6种，所以其概率为．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．【分析】（Ⅰ）利用圆周角定理可得，，结合∠ACB ＝2∠BAC可证明结论；（Ⅱ）过点O作半径OD⊥AB于点E，可得AE＝BE，根据圆周角、弦、弧的关系可证得BD＝BC，设BC＝x，即可求得BE＝2，DB＝x，利用勾股定理可求解DE，再利用勾股定理列方程解答即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵，，∠ACB＝2∠BAC，∴∠AOB＝2∠BOC；（Ⅱ）解：过点O作半径OD⊥AB于点E，连接DB，∴AE＝BE，∵∠AOB＝2∠BOC，∠DOB＝∠AOB，∴∠DOB＝∠BOC．∴BD＝BC．设BC＝x，∵AB＝4，∴BE＝2，DB＝x，在Rt△BDE中，∠DEB＝90°，∴DE＝，在Rt△BOE中，∠OEB＝90°，OA＝OB＝，OB2＝（OB﹣1）2+22，即：（）2＝（﹣）2+22，解得x＝，即BC的长为．【点评】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，圆心角、弦、弧的关系，掌握圆周角定理是解题的关键．22．【分析】（1）连接OD，则OD＝OB，所以∠ODB＝∠B，由AB＝AC，得∠C＝∠B，则∠ODB＝∠C，所以OD∥AC，则∠ODE＝∠CED＝90°，即可证明DE是⊙O的切线；（2）2）连接AD，由AB是⊙O的直径，得∠ADB＝90°，则AD⊥BC，因为AB＝AC，所以BD＝CD，再证明△AOD是等边三角形，求得AD＝1；求出∠ADE＝30°，进而得到AE，再利用勾股定理解答即可．【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC于点E，∴∠ODE＝∠CED＝90°，∵OD是⊙O的半径，DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∵∠B＝∠C＝30°，OD＝OA，∴∠AOD＝2∠B＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴OD＝AD＝AB＝1，∵∠ADE＝∠ODE﹣∠ODA＝90°﹣60°＝30°，∴AE＝，∴DE＝＝＝．【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定定理等知识，证明OD∥AC是解题的关键．23．【分析】（1）将点A坐标代入解析式可求a，即可求解；（2）根据点A的取值范围代入解析式可求解；（3）根据点A的取值范围代入解析式可求解．【解答】解：（1）∵抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2，∴C1的顶点坐标为（3，2），∵点A（6，1）在抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2上，∴1＝a（6﹣3）2+2，∴a＝﹣，∴抛物线C1：y＝﹣（x﹣3）2+2，当x＝0时，c＝1；（2）∵小红在y轴右侧、距离y轴6m的位置上，且与点A的垂直距离小于m的范围内可以接到回传的沙包，∴点A的坐标范围是（6，）～（6，），当经过（6，）时，＝﹣×36+×6+2，解得n＝4；当经过（6，）时，＝﹣×36+×6+2，解得n＝，∴4＜n＜，∴n的整数值为5；（3）∵小红在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到回传的沙包，∴此时，点A的坐标范围是（5，1）～（7，1），当经过（5，1）时，1＝﹣×25+×5+2，解得：n＝，当经过（7，1）时，1＝﹣×49+×7+1+1，解得：n＝，∴≤n≤，∵n为整数，∴符合条件的n的整数值为4和5．【点评】本题考查了二次函数的应用，读懂题意，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．24．【分析】（Ⅰ）由点，点，则OA＝OB＝，利用旋转的性质B′C＝BC＝2，O′C＝OC＝1，再由勾股定理即可求解；（Ⅱ）先证明四边形COEO′为正方形，通过性质可证Rt△O′CD≌Rt△OCF，再利用S＝S正方形COEO′﹣S△OCF﹣S△O′CD即可；（Ⅲ）取AC中点N，连接MN，则可知点M在以点N为圆心，MN长度为半径的圆上运动，通过30°角所对直角边是斜边的一半即可求解；【解答】解：（Ⅰ）∵点，点，∴OA＝OB＝，∵点C在y的正半轴上，∠OCB＝60°，∴AC＝BC，∠OCA＝60°，∴∠OAC＝∠OBC＝30°，得OC＝BC，在Rt△OBC中，由BC2＝OC2+OB2，解得OC＝1，∴C（0，1），AC＝BC＝2，∵△O′B′C是由△OBC旋转得到的，∴B′C＝BC＝2，O′C＝OC＝1，∵α＝60°，∴点B′在y轴上，点O′为AC的中点，∴B′的坐标为（0，﹣1），点O′的坐标为（﹣，）；（Ⅱ）由α＝90°，得∠O′CO＝90°，∵∠O′＝∠COE＝90°，O′C＝OC＝1，∴四边形COEO′为正方形，∵∠ACO＝∠O′CB′＝60°，∴∠O′CD＝∠OCF＝30°，∴Rt△O′CD≌Rt△∠OCF，∴S△O′CD＝S△OCF，在Rt△∠OCF中，由OF＝CF，OF2+OC2＝CF2，解得OF＝，∴S＝S正方形COEO′﹣S△OCF﹣S△O′CD＝1﹣2×××1＝1﹣；（3）如图，取AC中点N，连接MN，∵M为AB′中点，∴MN＝B′C＝1，∴点M在以点N为圆心，MN长度为半径的圆上运动，如图，当MM⊥x轴时，由（2）得：∠CAO＝30°，∴NH＝AN＝，∴HM＝，HM＝，∴点M的纵坐标m的取值范围﹣≤m≤．【点评】此题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，30°角所对直角边是斜边的一半，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．25．【分析】（Ⅰ）用待定系数法可得抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+6；（Ⅱ）作点O关于直线BC的对称点E，连接EC、EB，求出C（0，6），证明四边形OBEC 为正方形，知E（6，6），由对称性得DE＝DO，而A，D，E共线，可知此时△AOD的周长最小，求出直线BC的表达式为y＝﹣x+6，直线AE解析式为y＝x+；联立，即可解得D（，）；（Ⅲ）设P（m，﹣m2+2m+6），求出直线AC的表达式为y＝3x+6，由PD∥AC设直线PD 表达式为y ＝3x +t ，把P （m ，﹣m 2+2m +6）代入可得直线PD 的表达式为：y ＝3x﹣m 2﹣m +6，联立，可解得D （m 2+m ，﹣m 2﹣m +6），故S＝S △PBD +S △P AD ＝S △P AB ﹣S △DAB ＝AB •[（﹣m 2+2m +6）﹣（﹣m 2﹣m +6）]＝﹣（m ﹣3）2+，由二次函数性质可得答案．【解答】解：（Ⅰ）把A （﹣2，0）和B （6，0）代入y ＝ax 2+bx +6得：，解得，∴抛物线的表达式为y ＝﹣x 2+2x +6；（Ⅱ）作点O 关于直线BC 的对称点E ，连接EC 、EB ，如图：在y ＝﹣x 2+2x +6中，令x ＝0得y ＝6，∴C （0，6），∵B （6，0），∴OB ＝OC ＝6，∵O 、E 关于直线BC 对称，∴CE ＝OC ＝OB ＝BE ，∵∠BOC ＝90°，∴四边形OBEC 为正方形，∴E （6，6），连接AE ，交BC 于点D ，由对称性得DE ＝DO ，∴AD +DO ＝AD +DE ，∵A ，D ，E 共线，∴此时AD +DO 有最小值为AE 的长，∵OA ＝2，∴此时△AOD 的周长最小，设直线BC 的表达式为y ＝kx +b ，将B （6，0），C （0，6）代入y ＝kx +b 得：解得，∴直线BC的表达式为y＝﹣x+6，同理由A（﹣2，0），E（6，6）可得直线AE解析式为y＝x+；联立，解得，∴D（，）；（Ⅲ）由已知点A（﹣2，0），B（6，0），C（0，6），设P（m，﹣m2+2m+6），由A（﹣2，0），C（0，6）可得直线AC的表达式为y＝3x+6，由PD∥AC设直线PD表达式为y＝3x+t，把P（m，﹣m2+2m+6）代入y＝3x+t得：﹣m2+2m+6＝3m+t，∴t＝﹣m2﹣m+6，∴直线PD的表达式为：y＝3x﹣m2﹣m+6，联立，解得，∴D （m2+m ，﹣m2﹣m+6），∵P，D都在第一象限，∴S＝S△PBD+S△P AD＝S△P AB﹣S△DAB＝AB•[（﹣m2+2m+6）﹣（﹣m2﹣m+6）]＝×8×（﹣m2+m）＝﹣m2+9m＝﹣（m2﹣6m）＝﹣（m﹣3）2+，∵﹣＜0，∴当m＝3时，S 有最大值，最大值为，此时P点为（3，）．【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求二次函数及一次函数解析式，点的对称性，二次函数的性质等知识，解决问题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度。
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2017-2018学年天津市红桥区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列函数中是二次函数的是（）A．y=3x﹣1 B．y=x3﹣2x﹣3 C．y=（x+1）2﹣x2D．y=3x2﹣12．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD=5，BD=10，AE=3，则CE的长为（）A．3 B．6 C．9 D．123．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）抛物线y=3（x﹣4）2+5的顶点坐标为（）A．（﹣4，﹣5）B．（﹣4，5）C．（4，﹣5）D．（4，5）5．（3分）从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（）A．B．C．D．6．（3分）对于双曲线y=，当x＞0时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（）A．m＞0 B．m＞1 C．m＜0 D．m＜17．（3分）已知正三角形外接圆半径为2，这个正三角形的边长是（）A．2 B．C．3 D．28．（3分）已知，如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD=25°，那么∠C的度数是（）A．75°B．65°C．60°D．50°9．（3分）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，连接CC′，若CC′∥AB，则∠BAC的大小是（）A．55°B．60°C．65°D．70°10．（3分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，若旋转角为20°，则∠1为（）A．110°B．120°C．150° D．160°11．（3分）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（）A．10 B．18 C．20 D．2212．（3分）如图，点A在双曲线的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为（）A．16 B．C．D．9二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）13．（3分）如果抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，那么m的取值范围是．14．（3分）如图，已知反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过点A，过A点作AB⊥x轴，垂足为B．若△AOB的面积为1，则k=．15．（3分）如图，已知△ADE∽△ABC，且AD=3，DC=4，AE=2，则BE=．16．（3分）已知△ABC的三边长分别是6，8，10，则△ABC外接圆的直径是．17．（3分）在电视台举办的“超级女生”比赛中，甲乙丙三位评委对选手的综合表现，分别给出“淘汰”或“通过”的结论．比赛规则设定：三位评委中至少有两位评委给出“通过”的结论，那么这位选手才能进入下一轮比赛．试问：对于选手A进入下一轮比赛的概率是．18．（3分）如图，沿直线DE折叠等边三角形纸片△ABC，使A点落在BC边上任意一点F处（不与B、C重合）．已知△ABC边长为28，D为AB上一点，BD=15，BF=7，则CE=．19．（3分）如图，△ABC是边长为12的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E 的运动过程中，DF的最小值是．20．（3分）已知抛物线经过A（﹣4，0）、B（0，﹣4）、C（2，0）三点，若点M为第三象限内抛物线上一动点，△AMB的面积为S，则S的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共60分）21．（10分）甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次（若压线，重新转）．若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局．（1）请用画树状图的方法，列出所有可能出现的结果；（2）试用概率说明游戏是否公平．22．（10分）如图，已知点A（1，a）是反比例函数y1=的图象上一点，直线y2=﹣与反比例函数y1=的图象的交点为点B、D，且B（3，﹣1），求：（Ⅰ）求反比例函数的解析式；（Ⅱ）求点D坐标，并直接写出y1＞y2时x的取值范围；（Ⅲ）动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到最大时，求点P的坐标．23．（10分）已知：如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE．（Ⅰ）求证：△ABC∽△DAE；（Ⅱ）若AB=8，AD=6，AE=4，求BC的长．24．（10分）如图所示，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若AB=4，AD=1，求线段CE的长．25．（10分）已知，△ABC中，AB=AC，点E是边AC上一点，过点E作EF∥BC交AB 于点F（1）如图①，求证：AE=AF；（2）如图②，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′．连接CE′BF′．①若BF′=6，求CE′的长；②若∠EBC=∠BAC=36°，在图②的旋转过程中，当CE′∥AB时，直接写出旋转角α的大小．26．（10分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）（1）求该二次函数的解析式；（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点A的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH，则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；（3）设P点是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，求△PAC面积的取值范围，若△PAC面积为整数时，这样的△PAC有几个？2017-2018学年天津市红桥区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列函数中是二次函数的是（）A．y=3x﹣1 B．y=x3﹣2x﹣3 C．y=（x+1）2﹣x2D．y=3x2﹣1【解答】解：二次函数的一般式是：y=ax2+bx+c，（其中a≠0）（A）最高次数项为1次，故A错误；（B）最高次数项为3次，故B错误；（C）y=x2+2x+1﹣x2=2x﹣1，故C错误；故选（D）2．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD=5，BD=10，AE=3，则CE的长为（）A．3 B．6 C．9 D．12【解答】解：∵DE∥BC，∴即解得：EC=6．故选B．3．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．4．（3分）抛物线y=3（x﹣4）2+5的顶点坐标为（）A．（﹣4，﹣5）B．（﹣4，5）C．（4，﹣5）D．（4，5）【解答】解：∵二次函数的解析式为y=3（x﹣4）2+5，∴其顶点坐标为：（4，5）．故选D．5．（3分）从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵在，0，π，3.14，6这5个数中只有0、3.14和6为有理数，∴从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是．故选C．6．（3分）对于双曲线y=，当x＞0时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（）A．m＞0 B．m＞1 C．m＜0 D．m＜1【解答】解：∵双曲线y=，当x＞0时，y随x的增大而减小，∴1﹣m＞0，解得：m＜1．故选D．7．（3分）已知正三角形外接圆半径为2，这个正三角形的边长是（）A．2 B．C．3 D．2【解答】解：如图OA=2，求AB长．∠AOB=360°÷3=120°连接OA，OB，作OC⊥AB于点C，∵OA=OB，∴AB=2AC，∠AOC=60°，∴AC=OA×sin60°=cm，∴AB=2AC=2cm，故选A．8．（3分）已知，如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD=25°，那么∠C的度数是（）A．75°B．65°C．60°D．50°【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．又∠BAD=25°，∴∠B=65°．∴∠C=65°．故选B．9．（3分）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，连接CC′，若CC′∥AB，则∠BAC的大小是（）A．55°B．60°C．65°D．70°【解答】解：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，∴AC=AC′，∠CAC′=40°，∴∠AC′C=∠ACC′=70°，∵CC′∥AB，∴∠BAC=∠ACC′=70°，故选D．10．（3分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，若旋转角为20°，则∠1为（）A．110°B．120°C．150° D．160°【解答】解：设C′D′与BC交于点E，如图所示．∵旋转角为20°，∴∠DAD′=20°，∴∠BAD′=90°﹣∠DAD′=70°．∵∠BAD′+∠B+∠BED′+∠D′=360°，∴∠BED′=360°﹣70°﹣90°﹣90°=110°，∴∠1=∠BED′=110°．11．（3分）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（）A．10 B．18 C．20 D．22【解答】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，∴△PCD的周长是PC+CD+PD=PC+AC+DB+PD=PA+PB=10+10=20．故选C．12．（3分）如图，点A在双曲线的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为（）A．16 B．C．D．9【解答】解：连DC，如图，∵AE=3EC，△ADE的面积为3，∴△CDE的面积为1，∴△ADC的面积为4，设A点坐标为（a，b），则AB=a，OC=2AB=2a，而点D为OB的中点，∴BD=OD=b，=S△ABD+S△ADC+S△ODC，∵S梯形OBAC∴（a+2a）×b=a×b+4+×2a×b，∴ab=，把A（a，b）代入双曲线y=，∴k=ab=．故选B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）13．（3分）如果抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，那么m的取值范围是m＞1．【解答】解：因为抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，所以m﹣1＞0，即m＞1，故m的取值范围是m＞1．14．（3分）如图，已知反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过点A，过A点作AB⊥x轴，垂足为B．若△AOB的面积为1，则k=﹣2．【解答】解：依据比例系数k的几何意义可得两个三角形的面积都等于|k|=1，解得k=﹣2，故答案为：﹣2．15．（3分）如图，已知△ADE∽△ABC，且AD=3，DC=4，AE=2，则BE=8.5．【解答】解：∵AD=3，DC=4，∴AC=AD+DC=3+4=7，∵△ADE∽△ABC，∴=，即=，解得AB=10.5，∴DE=AB﹣AE=10.5﹣2=8.5．故答案为：8.5．16．（3分）已知△ABC的三边长分别是6，8，10，则△ABC外接圆的直径是10．【解答】解：∵AC=6，BC=8，AB=10，∴AC2+BC2=AB2，∴∠C=90°，∴△ABC的外接圆的半径是×10=5，即外接圆的直径是10，故答案为：10．17．（3分）在电视台举办的“超级女生”比赛中，甲乙丙三位评委对选手的综合表现，分别给出“淘汰”或“通过”的结论．比赛规则设定：三位评委中至少有两位评委给出“通过”的结论，那么这位选手才能进入下一轮比赛．试问：对于选手A进入下一轮比赛的概率是．【解答】解：画出树状图来说明评委给出A选手的所有可能结果：由上可知评委给出A选手所有可能的结果有8种．并且它们是等可能的，∴对于A选手，进入下一轮比赛的概率是，故答案为：．18．（3分）如图，沿直线DE折叠等边三角形纸片△ABC，使A点落在BC边上任意一点F处（不与B、C重合）．已知△ABC边长为28，D为AB上一点，BD=15，BF=7，则CE=．【解答】解：由翻转变换的性质可知，∠DFE=∠A=60°，∵∠EFC=180°﹣∠DFB﹣∠DFE，∠FDB=180°﹣∠DFB﹣∠B，∴∠EFC=∠FDB，又∠B=∠C=60°，∴△BDF∽△CFE，∴=，即=，解得，CE=，故答案为：．19．（3分）如图，△ABC是边长为12的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E 的运动过程中，DF的最小值是3．【解答】解：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．∵△ABC为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴，∴CD=CG=AB=6，∠ACD=60°，∵∠ECF=60°，∴∠FCD=∠ECG ．在△FCD 和△ECG 中，，∴△FCD ≌△ECG （SA S ），∴DF=GE ．当EG ∥BC 时，EG 最小，∵点G 为AC 的中点，∴此时EG=DF=CD=BC=3．故答案为3．20．（3分）已知抛物线经过A （﹣4，0）、B （0，﹣4）、C （2，0）三点，若点M 为第三象限内抛物线上一动点，△AMB 的面积为S ，则S 的最大值为 4 ．【解答】解：设抛物线解析式为y=a （x +4）（x ﹣2），将B （0，﹣4）代入得：﹣4=﹣8a ，即a=，则抛物线解析式为y=（x +4）（x ﹣2）=x 2+x ﹣4；过M 作MN ⊥x 轴，设M 的横坐标为m ，则M （m ， m 2+m ﹣4），∴MN=|m 2+m ﹣4|=﹣m 2﹣m +4，ON=﹣m ，∵A （﹣4，0），B （0，﹣4），∴OA=OB=4，∴△AMB 的面积为S=S △AMN +S 梯形MNOB ﹣S △AOB=×（4+m）×（﹣m2﹣m+4）+×（﹣m）×（﹣m2﹣m+4+4）﹣×4×4=2（﹣m2﹣m+4）﹣2m﹣8=﹣m2﹣4m=﹣（m+2）2+4，当m=﹣2时，S取得最大值，最大值为4．故答案为4．三、解答题（本大题共6小题，共60分）21．（10分）甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次（若压线，重新转）．若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局．（1）请用画树状图的方法，列出所有可能出现的结果；（2）试用概率说明游戏是否公平．【解答】解：（1）如图所示：（红，红），（红，黄），（红，绿），（黄，红），（黄，黄），（黄，绿），（绿，红），（绿，黄），（绿，绿）共9种情况；（2）P（甲获胜）==，P（乙获胜）=，P（甲获胜）＞P（乙获胜），所以游戏不公平．22．（10分）如图，已知点A（1，a）是反比例函数y1=的图象上一点，直线y2=﹣与反比例函数y1=的图象的交点为点B、D，且B（3，﹣1），求：（Ⅰ）求反比例函数的解析式；（Ⅱ）求点D坐标，并直接写出y1＞y2时x的取值范围；（Ⅲ）动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到最大时，求点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵点B（3，﹣1）在y1=图象上，∴=﹣1，∴m=﹣3，∴反比例函数的解析式为y=﹣；（Ⅱ）∴﹣=﹣x+，即x2﹣x﹣6=0，则（x﹣3）（x+2）=0，解得：x1=3、x2=﹣2，当x=﹣2时，y=，∴D（﹣2，）；结合函数图象知y1＞y2时﹣2＜x＜0或x＞3；（Ⅲ）∵点A（1，a）是反比例函数y=﹣的图象上一点∴a=﹣3∴A（1，﹣3）设直线AB为y=kx+b，则∴，∴直线AB解析式为y=x﹣4令y=0，则x=4∴P（4，0）．23．（10分）已知：如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE．（Ⅰ）求证：△ABC∽△DAE；（Ⅱ）若AB=8，AD=6，AE=4，求BC的长．【解答】（Ⅰ）证明：∵DE∥AB，∴∠CAB=∠EDA，又∵∠B=∠DAE，∴△ABC∽△DAE；（Ⅱ）解：∵△ABC∽△DAE，∴=，∵AB=8，AD=6，A E=4，∴=，∴BC=．24．（10分）如图所示，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若AB=4，AD=1，求线段CE的长．【解答】（1）证明：连接OE，OC；如图所示：∵DE与⊙O相切于点E∴∠OEC=90°，在△OBC和△OEC中，，∴△OBC≌△OEC（SSS），∴∠OBC=∠OEC=90°，∴BC为⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥BC于F；如图所示：设CE=x∵CE，CB为⊙O切线，∴CB=CE=x，∵DE，DA为⊙O切线，∴DE=DA=1，∴DC=x+1，∵∠DAB=∠ABC=∠DFB=90°∴四边形ADFB为矩形，∴DF=AB=4 BF=AD=1，∴FC=x﹣1，Rt△CDF中，根据勾股定理得：（x+1）2﹣（x﹣1）2=16，解得：x=4，∴CE=4．25．（10分）已知，△ABC中，AB=AC，点E是边AC上一点，过点E作EF∥BC交AB 于点F（1）如图①，求证：AE=AF；（2）如图②，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′．连接CE′BF′．①若BF′=6，求CE′的长；②若∠EBC=∠BAC=36°，在图②的旋转过程中，当CE′∥AB时，直接写出旋转角α的大小．【解答】（1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵EF∥BC，∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠C，∴∠AFE=∠AEF，∴AE=AF．（2）解：①由旋转的性质得，∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，在△CAE′和△BAF′中，，∴△CAE′≌△BAF′（SAS），∴CE′=BF′=6；②由（1）可知AE=BC，所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，点E经过的路径（圆弧）与过点C且与AB 平行的直线l相交于点M、N，如图，①当点E的像E′与点M重合时，四边形ABCM是等腰梯形，所以，∠BAM=∠ABC=72°，又∵∠BAC=36°，∴α=∠CAM=36°；②当点E的像E′与点N重合时，∵CE′∥AB，∴∠AM N=∠BAM=72°，∵AM=AN，∴∠ANM=∠AMN=72°，∴∠MAN=180°﹣72°×2=36°，∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=36°+36°=72°，综上所述，当旋转角α为36°或72°．26．（10分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）（1）求该二次函数的解析式；（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点A的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH，则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；（3）设P点是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，求△PAC面积的取值范围，若△PAC面积为整数时，这样的△PAC有几个？【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），把C（0，﹣3）代入得﹣3a=﹣3，解得a=1，所以抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣3），即y=x2﹣2x﹣3；（2）抛物线的对称轴为直线x=1，设E（t，t2﹣2t﹣3），当0＜t＜1时，如图1，EF=2（1﹣t），EH=﹣（t2﹣2t﹣3），∵矩形EFGH为正方形，∴EF=EH，即2（1﹣t）=﹣（t2﹣2t﹣3），整理得t2﹣4t﹣1=0，解得t1=2+（舍去），t2=2﹣（舍去）；当1＜t＜3时，如图2，EF=2（t﹣1），EH=﹣（t2﹣2t﹣3），∵矩形EFGH为正方形，∴EF=EH，即2（t﹣1）=﹣（t2﹣2t﹣3），整理得t2﹣5=0，解得t1=，t2=﹣（舍去），此时正方形EFGH的边长为2﹣2；当t＞3时，EF=2（t﹣1），EH=t2﹣2t﹣3，∵矩形EFGH为正方形，∴EF=EH，即2（t﹣1）=t2﹣2t﹣3，整理得t2﹣4t﹣1=0，解得t1=2+，t2=2﹣（舍去），此时正方形EFGH的边长为2+2，综上所述，正方形EFGH的边长为2﹣2或2+2；（3）设P（x，x2﹣2x﹣3），当﹣1＜x＜0时，=×4×3=6，∵S△ABC＜6，∴0＜S△APC当0＜x＜3时，作PM∥y轴交AC于点M，如图3，易得直线AC的解析式为y=x﹣3，则M（x，x﹣3），∴PM=x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x，=•3•（﹣x2+3x）∴S△APC=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，当x=时，S△APC的面积的最大值为，即0＜S＜，△APC＜6，综上所述，0＜S△APC∴△PAC面积为整数时，它的值为1、2、3、4、5，即△PAC有5个．。