高中数学导数导学案,导数及其应用导学案

第13讲 变化率与导数、导数的运算

1.变化率与导数 (1)平均变化率:

概念

对于函数y=f (x ),

f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1

=Δy Δx 叫作函数y=f (x )从x 1到x 2的

变化率

几何意义

函数y=f (x )图像上两点(x 1,f (x 1)),(x 2,f (x 2))连线的

物理意义

若函数y=f (x )表示变速运动的质点的运动方程,则Δy

Δx 就是该质点在[x 1,x 2]上的 速度

(2)导数:

概念

点x 0处

ΔΔΔΔx→0

Δy

Δx =ΔΔΔ

Δx→0

f(x 0+Δx)-f(x 0)

Δx

,我们称它为函数y=f (x )在

处的导数,记为f'(x 0)或y'|x =x 0,即

f'(x 0)=ΔΔΔΔx→0

Δy

Δx = ΔΔΔ

Δx→0

f(x 0+Δx)-f(x 0)

Δx

区间 (a ,b ) 当x ∈(a ,b )时,f'(x )=ΔΔΔΔx→0Δy

Δx =ΔΔΔΔx→0

叫作函数在区间(a ,b )内的导数

几何

意义

函数y=f (x )在点x=x 0处的导数f'(x 0)就是函数图像在该点处切线的 .曲线y=f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程是

物理

意义

函数y=f (x )表示变速运动的质点的运动方程,则函数在x=x 0处的导数就是质点在x=x 0时的 速度,在(a ,b )内的导数就是质点在(a ,b )内的 方程

2.导数的运算

常用导数公式原函

数

导函数特例或推广

常数

函数

C'=0(C为常数)

幂函

数

(x n)'=

(n∈Z)

(1

Δ

)'=-1

Δ2

三角

函数

(sin

x)'= ,(c

os

x)'=

偶(奇)函数的导数

是

奇(偶)函数,周期

函数

的导数是周期函数指数

函数

(a x)'=

(a>0,且a≠1)

(e x)'=e x

对数

函数

(log a x)'=

(a>0,且a≠1)

(ln

x)'=1

Δ

,(ln|x|)'=

1

Δ

四则运算法则加减

[f(x)±g(x)]'=(∑

Δ=1

Δ

ΔΔ(Δ))'=

∑

Δ=1

Δ

f'i(x)

乘法

[f(x)·g(x)]'=

[Cf(x)]'=Cf'(x) 除法

[Δ(Δ)

Δ(Δ)

]'=

(g(x)≠0)

[1

Δ(Δ)

]'=-Δ'(Δ)

[Δ(Δ)]2

复合函数

求导复合函数y=f[g(x)]的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数之间具有关系y'x= ,这个关系用语言表达就是“y对x的导数等于y对u 的导数与u对x的导数的乘积”

题组一常识题

1.[教材改编]向气球中充入空气,当气球中空气的体积V(单位:L)从1 L增加到2 L时,气球半径r(单位:dm)的平均变化率约为.

2.[教材改编]已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位:元)为

c(x)=5284

(80

100-Δ

3.[教材改编]y=ln(x+1)的导数是y'= .

4.[教材改编]曲线y=x e x-1在点(1,1)处切线的斜率等于.

题组二常错题

◆索引:平均变化率与导数的区别;求导时不能掌握复合函数的求导法则致错;混淆f'(x0)与[f(x0)]',f'(ax+b)与[f(ax+b)]'的区别.

5.函数f(x)=x2在区间[1,2]上的平均变化率为,在x=2处的导数为.

6.已知函数y=sin 2x,则y'= .

7.已知f(x)=x2+3xf'(2),则f(2)= .

8.已知f(x)=x3,则f'(2x+3)= ,[f(2x+3)]'= .

探究点一导数的运算

例1 (1)若函数f(x)=x·e x+f'(1)·x2,则f'(1)= .

(2)函数y=sin(x+1)-cosΔ

的导数为y'= .

2

[总结反思] (1)对于复杂函数的求导,首先应利用代数、三角恒等变换等变形规则对函数解析式进行化简,之后再求导,这样可以减少运算量,提高运算速度.(2)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,不要与求导的乘法公式混淆.

变式题 (1)已知函数f(x)=sin(2Δ-π

3),则f'(π

3

)=()

A.√3

B.√3

2

C.1

2

D.1

(2)已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f'(x),且f'(2)=2,则实数a的值为()

A.1

2B.2

3

C.3

4

D.1

探究点二导数的几何意义

角度1求切线方程

例2[2018·南昌模拟]曲线y=3sin x+1

6

x3+1在点(0,1)处的切线方程为.

[总结反思] (1)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0);(2)求解曲线切线问题的关键是求切点的横坐标,在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值范围;(3)注意曲线过某点的切线和曲线在某点处的切线的区别.

变式题已知f(x)=x3-3x,过点P(-2,-2)作函数y=f(x)图像的切线,则切线方程

为.

角度2求切点坐标

例3 设a∈R,函数f(x)=e x+Δ

eΔ是偶函数,若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是3

2

,则切点的横坐

标为.

[总结反思] (1)f'(x)=k(k为切线斜率)的解即为切点的横坐标;(2)切点既在曲线上也在切线上,这个点对于与切点有关的问题非常重要.

变式题曲线y=e x在点A处的切线与直线x-y+1=0平行,则点A的坐标为()

A.(-1,e-1)

B.(0,1)

C.(1,e)

D.(0,2)

角度3求参数的值或范围