高中数学导数导学案,导数及其应用导学案

第13讲 变化率与导数、导数的运算1.变化率与导数 (1)平均变化率:概念对于函数y=f (x ),f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1=Δy Δx 叫作函数y=f (x )从x 1到x 2的变化率几何意义函数y=f (x )图像上两点(x 1,f (x 1)),(x 2,f (x 2))连线的物理意义若函数y=f (x )表示变速运动的质点的运动方程,则ΔyΔx 就是该质点在[x 1,x 2]上的 速度(2)导数:概念点x 0处ΔΔΔΔx→0ΔyΔx =ΔΔΔΔx→0f(x 0+Δx)-f(x 0)Δx,我们称它为函数y=f (x )在处的导数,记为f'(x 0)或y'|x =x 0,即f'(x 0)=ΔΔΔΔx→0ΔyΔx = ΔΔΔΔx→0f(x 0+Δx)-f(x 0)Δx区间 (a ,b ) 当x ∈(a ,b )时,f'(x )=ΔΔΔΔx→0ΔyΔx =ΔΔΔΔx→0叫作函数在区间(a ,b )内的导数几何意义函数y=f (x )在点x=x 0处的导数f'(x 0)就是函数图像在该点处切线的 .曲线y=f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程是物理意义函数y=f (x )表示变速运动的质点的运动方程,则函数在x=x 0处的导数就是质点在x=x 0时的 速度,在(a ,b )内的导数就是质点在(a ,b )内的 方程2.导数的运算常用导数公式原函数导函数特例或推广常数函数C'=0(C为常数)幂函数(x n)'=(n∈Z)(1Δ)'=-1Δ2三角函数(sinx)'= ,(cosx)'=偶(奇)函数的导数是奇(偶)函数,周期函数的导数是周期函数指数函数(a x)'=(a>0,且a≠1)(e x)'=e x对数函数(log a x)'=(a>0,且a≠1)(lnx)'=1Δ,(ln|x|)'=1Δ四则运算法则加减[f(x)±g(x)]'=(∑Δ=1ΔΔΔ(Δ))'=∑Δ=1Δf'i(x)乘法[f(x)·g(x)]'=[Cf(x)]'=Cf'(x) 除法[Δ(Δ)Δ(Δ)]'=(g(x)≠0)[1Δ(Δ)]'=-Δ'(Δ)[Δ(Δ)]2复合函数求导复合函数y=f[g(x)]的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数之间具有关系y'x= ,这个关系用语言表达就是“y对x的导数等于y对u 的导数与u对x的导数的乘积”题组一常识题1.[教材改编]向气球中充入空气,当气球中空气的体积V(单位:L)从1 L增加到2 L时,气球半径r(单位:dm)的平均变化率约为.2.[教材改编]已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位:元)为c(x)=5284(80<x<100),当净化到纯净度为98%时费用的瞬时变化率为.100-Δ3.[教材改编]y=ln(x+1)的导数是y'= .4.[教材改编]曲线y=x e x-1在点(1,1)处切线的斜率等于.题组二常错题◆索引:平均变化率与导数的区别;求导时不能掌握复合函数的求导法则致错;混淆f'(x0)与[f(x0)]',f'(ax+b)与[f(ax+b)]'的区别.5.函数f(x)=x2在区间[1,2]上的平均变化率为,在x=2处的导数为.6.已知函数y=sin 2x,则y'= .7.已知f(x)=x2+3xf'(2),则f(2)= .8.已知f(x)=x3,则f'(2x+3)= ,[f(2x+3)]'= .探究点一导数的运算例1 (1)若函数f(x)=x·e x+f'(1)·x2,则f'(1)= .(2)函数y=sin(x+1)-cosΔ的导数为y'= .2[总结反思] (1)对于复杂函数的求导,首先应利用代数、三角恒等变换等变形规则对函数解析式进行化简,之后再求导,这样可以减少运算量,提高运算速度.(2)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,不要与求导的乘法公式混淆.变式题 (1)已知函数f(x)=sin(2Δ-π3),则f'(π3)=()A.√3B.√32C.12D.1(2)已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f'(x),且f'(2)=2,则实数a的值为()A.12B.23C.34D.1探究点二导数的几何意义角度1求切线方程例2[2018·南昌模拟]曲线y=3sin x+16x3+1在点(0,1)处的切线方程为.[总结反思] (1)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0);(2)求解曲线切线问题的关键是求切点的横坐标,在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值范围;(3)注意曲线过某点的切线和曲线在某点处的切线的区别.变式题已知f(x)=x3-3x,过点P(-2,-2)作函数y=f(x)图像的切线,则切线方程为.角度2求切点坐标例3 设a∈R,函数f(x)=e x+ΔeΔ是偶函数,若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为.[总结反思] (1)f'(x)=k(k为切线斜率)的解即为切点的横坐标;(2)切点既在曲线上也在切线上,这个点对于与切点有关的问题非常重要.变式题曲线y=e x在点A处的切线与直线x-y+1=0平行,则点A的坐标为()A.(-1,e-1)B.(0,1)C.(1,e)D.(0,2)角度3求参数的值或范围例4 (1)若f(x)=2e x+3ax+b的图像在点(0,1)处的切线l与直线x+2y-5=0垂直,则a+b= ()A.1B.-1C.2D.-2(2)[2018·莆田模拟]已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)=x2-m,h(x)=6ln x-4x,设曲线y=f(x)与y=h(x)在公共点处的切线相同,则m=()A.-3B.1C.3D.5[总结反思] (1)利用导数的几何意义求参数的基本方法:利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.(2)注意曲线上点的横坐标的取值范围.变式题已知函数f(x)=ln(x+1)·cos x-ax的图像在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为45°,则a=()A.-2B.-1C.0D.3第13讲 变化率与导数、导数的运算考试说明 1.导数概念及其几何意义①了解导数概念的实际背景. ②理解导数的几何意义.2.导数的运算①能根据导数定义求函数y=C (C 为常数),y=x ,y=x 2,y=x 3,y=1Δ,y=√Δ的导数.②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax+b )的复合函数)的导数.【课前双基巩固】 知识聚焦1.(1)平均 斜率 平均 (2)x=x 0 Δ(Δ+ΔΔ)-Δ(Δ)ΔΔ斜率 y-f (x 0)=f'(x 0)(x-x 0) 瞬时速度2.nx n-1cos x -sin x a xln a1Δln Δf'(x )±g'(x ) f'(x )·g (x )+f (x )·g'(x )Δ'(Δ)Δ(Δ)-Δ'(Δ)Δ(Δ)[Δ(Δ)]2y'u ·u'x对点演练1.0.16 dm/L [解析] 易知r (V )=√3V4Δ3,故气球中空气的体积从1 L 增加到2 L 时,气球半径r (单位:dm)的平均变化率为r(2)-r(1)2-1≈0.16(dm/L).2.1321元/吨 [解析] c'(x )=5284(100-Δ)2,代入x=98计算可得.3.1Δ+1 [解析] y'=1Δ+1×(x+1)'=1Δ+1.4.2 [解析] y'=x'e x-1+x e x-1·(x-1)'=(x+1)e x-1,所以y'|x=1=2,即曲线在点(1,1)处切线的斜率为2.5.3 4 [解析] 函数f (x )=x 2在区间[1,2]上的平均变化率为22-122-1=3.因为f'(x )=2x ,所以f (x )在x=2处的导数为2×2=4.6.2cos 2x [解析] 方法一:y'=(2sin x cos x )'=2(sin x )'cos x+2sin x (cosx )'=2cos 2x-2sin 2x=2cos 2x.方法二:y'=cos 2x ·(2x )'=2cos 2x.7.-8 [解析] 因为f'(x )=2x+3f'(2),令x=2,得f'(2)=-2,所以f (x )=x 2-6x ,于是f (2)=-8. 8.3(2x+3)26(2x+3)2[解析] f'(x )=3x 2,所以f'(2x+3)=3(2x+3)2,[f (2x+3)]'=[(2x+3)3]'=3(2x+3)2(2x+3)'=6(2x+3)2.【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)对函数f (x )=x ·e x+f'(1)·x 2求导,令x=1,即可求得f'(1)的值;(2)根据导数的四则运算法则及复合函数的求导法则求解.(1)-2e (2)cos(x+1)+12sin Δ2 [解析] (1)∵f (x )=x ·e x +f'(1)·x 2,∴f'(x )=e x +x ·e x +2f'(1)x ,∴f'(1)=e +e +2f'(1),解得f'(1)=-2e .(2)将函数y=sin(x+1)看作y=sin u 和u=x+1的复合函数,则y'x =y'u ·u'x =(sin u )'·(x+1)'=cos u=cos(x+1).同理可以求出y=cos Δ2的导数为y'=-12sin Δ2.所以所求函数的导数为y'=cos(x+1)+12sin Δ2.变式题 (1)D (2)B [解析] (1)∵函数f (x )=sin (2Δ-π3),∴f'(x )=2cos (2Δ-π3), ∴f'(π3)=2cos (2π3-π3)=2cos π3=1,故选D .(2)因为f'(x )=ΔΔΔ-1,所以f'(2)=Δ2Δ-1=2,解得a=23,故选B .例2 [思路点拨] 先求导,从而得切线的斜率,再由点斜式求得切线方程. 3x-y+1=0 [解析] 求导得y'=3cos x+12x 2, 当x=0时,可得切线斜率k=3, 所以切线方程为y=3x+1,即3x-y+1=0.变式题 y=-2或y=9x+16 [解析] 对函数求导,得f'(x )=3x 2-3. 当点P (-2,-2)为切点时,切线斜率k=3×(-2)2-3=9, 根据点斜式得切线方程为y=9x+16.当点P (-2,-2)不是切点时,设切点坐标为(m ,n ),则{Δ=Δ3-3Δ,Δ+2Δ+2=3Δ2-3,可得m=1,所以切点为(1,-2),此时切线方程为y=-2. 综上,切线方程为y=9x+16或y=-2.例3 [思路点拨] 先根据f (x )为偶函数求得a=1,再建立方程,解得切点的横坐标. ln 2 [解析] 由题意可得f (x )=f (-x ),即e x+Δe Δ=e -x+Δe -Δ,即(1-a )(e Δ-1e Δ)=0对任意x ∈R 都成立,所以a=1,所以f (x )=e x +e -x ,f'(x )=e x -e -x.设切点为(x 0,y 0),则f'(x 0)=e Δ0-e -Δ0=32,由于f'(x )是R 上的增函数,且f'(ln 2)=32,所以x 0=ln 2,即切点的横坐标为ln 2.变式题 B [解析] 设点A 的坐标为(x 0,e Δ0).因为y'=e x,所以曲线在点A 处的切线斜率k=y'|Δ=Δ0=e Δ0, 又切线与直线x-y+1=0平行,所以e Δ0=1,解得x 0=0, 所以切点A 的坐标为(0,1).例4 [思路点拨] (1)求出原函数的导函数,根据题意列出关于a ,b 的方程(组),计算即可得到结果;(2)先设两曲线的公共切点为(a ,b )(a>0),再根据两函数在x=a 处的导数相等及切点在两曲线上列方程组,即可解得m 的值.(1)B (2)D [解析] (1)∵f (x )=2e x+3ax+b ,∴f'(x )=2e x+3a. 由题意得f'(0)=2+3a=2,解得a=0.∵点(0,1)在f (x )=2e x +3ax+b 的图像上,∴2+b=1,解得b=-1. ∴a+b=0+(-1)=-1.(2)设两曲线在公共点(a ,b )处的切线相同(a>0). 由题得f'(x )=2x ,h'(x )=6Δ-4,则{Δ=Δ2-Δ,Δ=6ln Δ-4Δ,2Δ=6Δ-4,解得{Δ=1,Δ=-4,Δ=5.变式题 C [解析] f'(x )=cos ΔΔ+1-ln(x+1)·sin x-a.∵函数f (x )=ln(x+1)·cos x-ax 的图像在点(0,f (0))处的切线的倾斜角为45°, ∴1-a=1,∴a=0,故选C .【备选理由】 例1考查导数的运算法则等知识,意在考查学生的基本计算能力;例2在知识点的交汇处命题,分别考查了利用函数的奇偶性求函数的解析式,利用导数的几何意义求切线方程等知识;例3是一道导数新概念题,需要依据新定义求解,计算量较大,供学有余力的同学学习;例4是导数几何意义的应用与求参数取值范围的综合问题,并涉及数形结合思想,有一定的综合性.例1 [配合例1使用] 设函数f (x )=x (2017+ln x ).若f'(x 0)=2018,则x 0= ( )A .eB .e 2C .ln 2D .1[解析] D 因为f (x )=x (2017+ln x ), 所以f'(x )=2018+ln x ,所以f'(x 0)=2018+ln x 0=2018,所以x 0=1.例2 [配合例2使用] [2018·荆州中学月考] 函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x<0时,f (x )=x 3-2x 2,则曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为 . [答案] 7x-y-4=0[解析] ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x<0时,f (x )=x 3-2x 2,∴当x>0时,-x<0,f (-x )=(-x )3-2(-x )2=-x 3-2x 2=-f (x ), ∴当x>0时,f (x )=x 3+2x 2. ∴f (1)=1+2=3,f'(x )=3x 2+4x ,∴f'(1)=7, ∴所求切线方程为y-3=7(x-1),即7x-y-4=0.例3 [配合例4使用] [2018·石家庄质检] 定义:如果函数f (x )在区间[a ,b ]上存在x 1,x 2(a<x 1<x 2<b )满足f'(x 1)=Δ(Δ)-Δ(Δ)Δ-Δ,f'(x 2)=Δ(Δ)-Δ(Δ)Δ-Δ,则称函数f (x )是区间[a ,b ]上的一个双中值函数.已知函数f (x )=x 3-65x 2是区间[0,t ]上的一个双中值函数,则实数t 的取值范围是 ( ) A .(35,65) B .(25,65) C .(25,35) D .(1,65)[解析] A 由题意知,在区间[0,t ]上存在x 1,x 2(0<x 1<x 2<t )满足f'(x 1)=f'(x 2)=Δ(Δ)-Δ(0)Δ=Δ3-65Δ2Δ=t 2-65t.∵f (x )=x 3-65x 2,∴f'(x )=3x 2-125x ,∴方程3x 2-125x=t 2-65t 在区间(0,t )上有两个不同的实数解.令g (x )=3x 2-125x-t 2+65t (0<x<t ),则需满足{ (125)2-12(65Δ-Δ2)>0,Δ(0)=65Δ-Δ2>0,Δ(Δ)=2Δ2-65Δ>0,Δ>25,解得35<t<65,∴实数t 的取值范围是(35,65),故选A .例4 [配合例4使用] 已知函数f (x )={3-Δ(Δ≤0),√Δ(Δ>0),若函数g (x )=f (x )-12x-b 有且仅有两个零点,则实数b 的取值范围是 .[答案] 0<b<12[解析] ∵函数g (x )=f (x )-12x-b 有且仅有两个零点,∴函数f (x )={3-Δ(Δ≤0),√Δ(Δ>0)与函数y=12x+b 的图像有且仅有两个交点,作出函数f (x )={3-Δ(Δ≤0),√Δ(Δ>0)与函数y=12x+b 的图像,如图所示.当b=0时,两函数图像有一个交点,是一个临界值.当直线y=12x+b 与f (x )=√Δ(x>0)的图像相切时,两函数图像有一个交点,此时b 的值是另一个临界值.设切点为(m ,√Δ),m>0,∵f'(x )=12·√Δ(x>0),∴12·√Δ=12,解得m=1,故切点为(1,1), 故b=1-12=12.结合图像可得,0<b<12.第14讲 导数与函数的单调性函数的单调性与导数导数到单调性单调递增在区间(a ,b )上,若f'(x )>0,则f (x )在这个区间上单调单调递减在区间(a ,b )上,若f'(x )<0,则f (x )在这个区间上单调单调性到导数单调递增若函数y=f (x )在区间(a ,b )上单调递增,则f'(x )单调递减若函数y=f (x )在区间(a ,b )上单调递减,则f'(x )“函数y=f (x )在区间(a ,b )上的导数大(小)于0”是“其单调递增(减)”的 条件题组一 常识题1.[教材改编] 函数f (x )=e x-x 的单调递增区间是 . 2.[教材改编] 比较大小:x ln x (x ∈(1,+∞)).3.[教材改编] 函数y=ax 3-1在(-∞,+∞)上是减函数,则实数a 的取值范围为 . 4.[教材改编] 已知f (x )是定义在R 上的可导函数,函数y=ef'(x )的图像如图2-14-1所示,则f (x )的单调递减区间是 .图2-14-1题组二常错题◆索引:可导函数在某区间上单调时导数满足的条件;利用单调性求解不等式时不能忽视原函数的定义域;求单调区间时忽略定义域;讨论函数单调性时分类标准有误.5.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上为增函数,则k的取值范围是.,则不等式f(1-x)>f(2x-1)的解集为.6.若函数f(x)=ln x-1Δ7.函数f(x)=x+ln(2-x)的单调递增区间为.8.讨论函数y=ax3-x在R上的单调性时,a应分、、三种情况讨论.探究点一函数单调性的判断或证明.讨论函数f(x)例1[2018·商丘二模]已知函数f(x)=(x-1)e x+1+mx2,其中m为常数,且m>-e2的单调性.[总结反思] 用导数法判断和证明函数f(x)在区间(a,b)内的单调性的一般步骤:(1)求f'(x).(2)确认f'(x)在区间(a,b)内的符号(如果含有参数,则依据参数的取值讨论符号).(3)得出结论:f'(x)>0时,函数f(x)为增函数;f'(x)<0时,函数f(x)为减函数.)e x,a∈R.变式题已知函数f(x)=(Δ+ΔΔ(1)求f(x)的零点;(2)当a≥-5时,求证:f(x)在区间(1,+∞)上为增函数.探究点二求函数的单调区间-ax(a∈R).例2 [2018·北京朝阳区一模]已知函数f(x)=lnΔ-1Δ(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若a<-1,求函数f(x)的单调区间.[总结反思] (1)利用导数求函数单调区间的关键是确定导数的符号.不含参数的问题直接解导数大于(或小于)零的不等式,其解集即为函数的单调区间;含参数的问题,应就参数范围讨论导数大于(或小于)零的不等式的解,其解集即为函数的单调区间.(2)所有求解和讨论都必须在函数的定义域内,不要超出定义域的范围.x2的单调递增区间为()变式题 (1)函数f(x)=3ln x-4x+12A.(0,1),(3,+∞)B.(1,3)C.(-∞,1),(3,+∞)D.(3,+∞)+2ln x的单调递减区间是.(2)函数f(x)=x+3Δ探究点三已知函数单调性确定参数的取值范围例3 已知函数f(x)=x2+ln x-ax.(1)当a=3时,求f(x)的单调递增区间;(2)若f(x)在(0,1)上是增函数,求a的取值范围.[总结反思] (1)f(x)在D上单调递增(减),只要满足f'(x)≥0(≤0)在D上恒成立即可.如果能够分离参数,则可分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系.(2)二次函数在区间D上大于零恒成立,讨论的标准是二次函数的图像的对称轴与区间D的相对位置,一般分对称轴在区间左侧、内部、右侧进行讨论.变式题 (1)[2018·哈尔滨师大附中三模]若函数f(x)=2x+sin x·cos x+a cos x在(-∞,+∞)上单调递增,则a的取值范围是 ()A.[-1,1]B.[-1,3]C.[-3,3]D.[-3,-1](2)若函数f(x)=x+a ln x不是单调函数,则实数a的取值范围是 ()A.[0,+∞)B.(-∞,0]C.(-∞,0)D.(0,+∞)探究点四函数单调性的简单应用例4 (1)定义域为R的可导函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)<f'(x),f(0)=2,则不等式f(x)<2e x的解集为()A.(-∞,0)B.(-∞,2)C.(0,+∞)D.(2,+∞)(2)已知函数g(x)是偶函数,f(x)=g(x-2),且当x≠2时,导函数f'(x)满足(x-2)f'(x)>0,若1<a<3,则()A.f(4a)<f(3)<f(log3a)B.f(3)<f(log3a)<f(4a)C.f(log3a)<f(3)<f(4a)D .f (log 3a )<f (4a)<f (3)[总结反思] 用导数比较大小或解不等式,常常要构造新函数,把比较大小或求解不等式的问题转化为利用导数研究函数单调性的问题,再由单调性比较大小或解不等式.常见构造的辅助函数有:g (x )=xf (x ),g (x )=Δ(Δ)Δ,g (x )=e xf (x ),g (x )=Δ(Δ)e Δ,g (x )=f (x )ln x ,g (x )=Δ(Δ)ln Δ等. 变式题 (1)已知a=2.12.2,b=2.22.1,c=log 2.22.1,则 ( ) A .c<b<a B .c<a<b C .a<b<c D .a<c<b(2)已知定义在实数集R 上的函数f (x )满足f (2)=7,且f (x )的导函数f'(x )<3,则不等式f (lnx )>3ln x+1的解集为 .第14讲 导数与函数的单调性考试说明 1.了解函数单调性和导数的关系;2.能利用导数研究函数的单调性;3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).【课前双基巩固】 知识聚焦递增 递减 ≥0 ≤0 充分 对点演练1.(0,+∞) [解析] 由f'(x )=e x-1>0,解得x>0,故其单调递增区间是(0,+∞).2.> [解析] 设f (x )=x-ln x ,x ∈(1,+∞),则f'(x )=1-1Δ>0,所以函数f (x )在(1,+∞)上是增函数,所以f (x )=x-ln x>1>0,所以x>ln x.3.(-∞,0) [解析] ∵y'=3ax 2,函数在区间(-∞,+∞)上是减函数,∴y'≤0在(-∞,+∞)上恒成立,即3ax 2≤0恒成立, ∴a ≤0.∵当a=0时,y=-1,不是减函数, ∴a<0,即a ∈(-∞,0).4.(-∞,2] [解析] 因为当x ≤2时,e f'(x )≤1,所以当x ≤2时,f'(x )≤0,所以f (x )的单调递减区间是(-∞,2].5.[1,+∞) [解析] 因为函数f (x )=kx-ln x 在区间(1,+∞)上为增函数,所以f'(x )=k-1Δ≥0在(1,+∞)上恒成立,即k ≥1Δ在(1,+∞)上恒成立,可得k ≥1.6.(12,23) [解析] 因为x ∈(0,+∞),f'(x )=1Δ+1Δ2>0,所以函数f (x )=ln x-1Δ在(0,+∞)上为增函数,所以只需满足1-x>2x-1>0,解得12<x<23.7.(-∞,1) [解析] 由2-x>0,得x<2,即函数f (x )的定义域为(-∞,2). 易知f'(x )=1-12-Δ,令f'(x )>0,可得12-Δ<1,结合2-x>0,得2-x>1,解得x<1,即函数f (x )=x+ln(2-x )的单调递增区间为(-∞,1).8.a>0 a=0 a<0 [解析] y'=3ax 2-1,所以对a 分a>0,a=0,a<0三种情况讨论比较合理. 【课堂考点探究】例1 [思路点拨] 先对m 进行分类讨论,再结合f'(x )的符号讨论函数f (x )的单调性. 解:易知x ∈(-∞,+∞),f'(x )=e x+1+(x-1)e x+1+2mx=x (e x+1+2m ).①当m≥0时,∵e x+1>0,∴e x+1+2m>0.∴当x>0时,f'(x)>0;当x<0时,f'(x)<0.故f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增.②当-e2<m<0时,f'(x)=0有两个实数根,即x1=0,x2=ln(-2m)-1,且x1>x2.则当x>0时,f'(x)>0;当ln(-2m)-1<x<0时,f'(x)<0;当x<ln(-2m)-1时,f'(x)>0.故f(x)在区间(-∞,ln(-2m)-1),(0,+∞)上单调递增,在区间(ln(-2m)-1,0)上单调递减.综上所述,当m≥0时,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;当-e2<m<0时,f(x)在(-∞,ln(-2m)-1),(0,+∞)上单调递增,在(ln(-2m)-1,0)上单调递减.变式题解:(1)f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).令f(x)=0,得x2+a=0,即x2=-a.当a≥0时,方程无解,f(x)没有零点;当a<0时,得x=±√-Δ.综上,当a≥0时,f(x)无零点;当a<0时,f(x)的零点为±√-Δ.(2)证明:f'(x)=(1-ΔΔ2)e x+(Δ+ΔΔ)e x=(Δ3+Δ2+ΔΔ-Δ)eΔΔ2.令g(x)=x3+x2+ax-a(x>1),则g'(x)=3x2+2x+a,其图像的对称轴为直线x=-13,所以g'(x)在(1,+∞)上单调递增,所以g'(x)>3×12+2×1+a=5+a.因为a≥-5,所以g'(x)>0在(1,+∞)上恒成立,所以g(x)在(1,+∞)上为增函数,可得g(x)>g(1)=2>0,即f'(x)>0,所以f(x)在区间(1,+∞)上为增函数.例2[思路点拨] (1)求出f(1)及f'(1)的值,利用点斜式可得曲线的切线方程.(2)在定义域内,令f'(x)>0,求得x的取值范围,可得函数f(x)的单调递增区间;令f'(x)<0,求得x的取值范围,可得函数f(x)的单调递减区间.解:(1)若a=0,则f(1)=-1,f'(x)=2-lnΔΔ2,所以f'(1)=2,所以曲线y=f (x )在点(1,-1)处的切线方程为2x-y-3=0. (2)易知x ∈(0,+∞),f'(x )=2-ΔΔ2-ln ΔΔ2.令g (x )=2-ax 2-ln x ,则g'(x )=-2ΔΔ2-1Δ.令g'(x )=0,得x=√-12Δ或x=-√-12Δ(舍去).由g'(x )>0,得x>√-12Δ;由g'(x )<0,得0<x<√-12Δ.所以g (x )在区间(0,√-12Δ)上单调递减,在区间(√-12Δ,+∞)上单调递增,所以g (x )min =g (√-12Δ)=52-ln √-12Δ.因为a<-1,所以0<-12Δ<12,所以ln √-12Δ<0, 所以g (x )>0,即f'(x )>0,所以函数f (x )的单调递增区间为(0,+∞).变式题 (1)A (2)(0,1) [解析] (1)f'(x )=3Δ-4+x=(Δ-1)(Δ-3)Δ,由f'(x )>0,得0<x<1或x>3,∴f (x )的单调递增区间为(0,1),(3,+∞).(2)函数f (x )的定义域是(0,+∞),f'(x )=1-3Δ2+2Δ=(Δ+3)(Δ-1)Δ2.令f'(x )<0,可得0<x<1,故函数f (x )的单调递减区间为(0,1).例3 [思路点拨] (1)当a=3时,求出函数f (x )的导函数,然后由f'(x )>0可得单调递增区间;(2)将原问题转化为导函数在区间(0,1)上大于等于零恒成立问题求解即可. 解:(1)f (x )的定义域为(0,+∞),当a=3时,f (x )=x 2+ln x-3x ,∴f'(x )=2x+1Δ-3=2Δ2-3Δ+1Δ,由f'(x )>0,得0<x<12或x>1,∴函数f (x )的单调递增区间为(0,12),(1,+∞).(2)由题意得f'(x )=2x+1Δ-a.∵f (x )在(0,1)上是增函数,∴f'(x )=2x+1Δ-a ≥0在(0,1)上恒成立,即a ≤2x+1Δ在(0,1)上恒成立.∵2x+1Δ≥2√2,当且仅当2x=1Δ,即x=√22时,等号成立, ∴a ≤2√2,故实数a 的取值范围为(-∞,2√2].变式题 (1)A (2)C [解析] (1)∵f (x )=2x+sin x ·cos x+a cos x ,∴f'(x )=2+cos 2x-a sin x=-2sin 2x-a sin x+3.设t=sin x ,-1≤t ≤1, 则g (t )=-2t 2-at+3,∵f (x )在(-∞,+∞)上单调递增, ∴g (t )≥0在[-1,1]上恒成立. ∵二次函数g (t )的图像开口向下,∴{Δ(1)≥0,Δ(-1)≥0,可得-1≤a ≤1,即a 的取值范围是[-1,1],故选A . (2)函数f (x )=x+a ln x 的定义域为(0,+∞),f'(x )=1+ΔΔ.当a ≥0时,f'(x )>0,函数f (x )=x+a ln x 是增函数.当a<0时,由f'(x )<0,得0<x<-a ,由f'(x )>0,得x>-a ,所以函数f (x )=x+a ln x 在(0,-a )上单调递减,在(-a ,+∞)上单调递增.因为f (x )=x+a ln x 不是单调函数,所以实数a 的取值范围是(-∞,0),故选C . 例4 [思路点拨] (1)构造函数g (x )=Δ(Δ)e Δ,通过g'(x )的符号判断函数g (x )的单调性,利用单调性得出x 的取值范围;(2)先根据函数图像的平移得到函数f (x )的图像关于直线x=2对称,再通过讨论导数的符号得到函数f (x )的单调性,最后将4a,log 3a ,3转化到同一个单调区间上比较其对应函数值的大小. (1)A (2)B [解析] (1)设g (x )=Δ(Δ)e Δ,则g'(x )=Δ'(Δ)-Δ(Δ)e Δ,∵f (x )<f'(x ),∴g'(x )>0,即函数g (x )在R 上单调递增.∵f (0)=2,∴g (0)=f (0)=2, 则不等式f (x )<2e x等价于g (x )<g (0).∵函数g (x )在R 上单调递增,∴x<0,即不等式的解集为(-∞,0).(2)∵g (x )是偶函数,∴其图像关于y 轴对称,∴f (x )=g (x-2)的图像关于直线x=2对称. ∵(x-2)f'(x )>0,∴当x>2时,f'(x )>0,即函数f (x )在(2,+∞)上为增函数.∵1<a<3,∴4<4a <64,0<log 3a<1,又f (log 3a )=f (4-log 3a ),3<4-log 3a<4,∴3<4-log 3a<4a ,∴f (3)<f (4-log 3a )<f (4a ),即f (3)<f (log 3a )<f (4a).变式题 (1)B (2)(0,e 2) [解析] (1)设f (x )=ln ΔΔ(x>0),则f'(x )=1-ln ΔΔ2,可得函数f (x )在(0,e)上单调递增,所以f (2.1)<f (2.2),即ln2.12.1<ln2.22.2,可化为2.12.2<2.22.1,即1<a<b ,又c=log 2.22.1<1, 所以c<a<b ,故选B .(2)设t=ln x ,则不等式f (ln x )>3ln x+1等价于f (t )>3t+1. 设g (x )=f (x )-3x-1,则g'(x )=f'(x )-3,∵f (x )的导函数f'(x )<3, ∴g'(x )=f'(x )-3<0,∴函数g (x )=f (x )-3x-1在R 上单调递减. ∵f (2)=7,∴g (2)=f (2)-3×2-1=0,则由g (t )=f (t )-3t-1>0=g (2),解得t<2,∴ln x<2,解得0<x<e 2,即不等式f (ln x )>3ln x+1的解集为(0,e 2).【备选理由】 例1讨论函数的单调性;例2可以进一步明确不等式f'(x )>0的解集对应的区间是函数f (x )的单调递增区间,不等式f'(x )<0的解集对应的区间是f (x )的单调递减区间;例3为含参函数单调性的讨论及利用单调性求参的综合问题,旨在使学生加深对导数与单调性关系的理解,并强化处理参数问题的原则和方法.例1 [配合例1使用] 已知函数f (x )=(x-a )e x-12ax 2+a (a-1)x (x ∈R).(1)若曲线y=f (x )在点(0,f (0))处的切线为l ,l 与x 轴的交点坐标为(2,0),求a 的值; (2)讨论f (x )的单调性.解:(1)∵f'(x)=(x-a)e x+e x-ax+a(a-1),∴f'(0)=(a-1)2,又∵f(0)=-a,∴切线方程为y+a=(a-1)2(x-0).令y=0,得x=Δ(Δ-1)2=2,∴2a2-5a+2=0,∴a=2或a=12.(2)f'(x)=(x-a)e x+e x-ax+a(a-1)=[x-(a-1)](e x-a).当a≤0时,e x-a>0,若x∈(-∞,a-1),则f'(x)<0,f(x)为减函数;若x∈(a-1,+∞),则f'(x)>0,f(x)为增函数.当a>0时,令f'(x)=0,得x1=a-1,x2=ln a.令g(a)=a-1-ln a,则g'(a)=1-1Δ=Δ-1Δ,当a∈(0,1)时,g'(a)<0,g(a)为减函数,当a∈(1,+∞)时,g'(a)>0,g(a)为增函数,∴g(a)min=g(1)=0,∴a-1≥ln a(当且仅当a=1时取“=”).∴当0<a<1或a>1时,若x∈(-∞,ln a),则f'(x)>0,f(x)为增函数;若x∈(ln a,a-1),则f'(x)<0,f(x)为减函数;若x∈(a-1,+∞),则f'(x)>0,f(x)为增函数.当a=1时,f'(x)=x(e x-1)≥0,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.综上所述:当a≤0时,f(x)在(-∞,a-1)上为减函数,在(a-1,+∞)上为增函数;当0<a<1或a>1时,f(x)在(ln a,a-1)上为减函数,在(-∞,ln a)和(a-1,+∞)上为增函数;当a=1时,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.例2[配合例2使用] [2018·东莞模拟]已知函数f(x)=ax2e-x(a≠0),求函数f(x)的单调区间.解:对f(x)求导,得f'(x)=a·2Δ·eΔ-Δ2·eΔ(eΔ)2=a·Δ(2-Δ)eΔ.①若a>0,则当x∈(0,2)时,f'(x)>0,当x∈(-∞,0)或x∈(2,+∞)时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,2)上单调递增,在(-∞,0),(2,+∞)上单调递减.②若a<0,则当x∈(0,2)时,f'(x)<0,当x∈(-∞,0)或x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,2)上单调递减,在(-∞,0),(2,+∞)上单调递增.例3[配合例3使用] [2018·重庆七校期末]已知函数f(x)=x2+(m+2)x+n(m,n为常数).(1)当n=1时,讨论函数g(x)=e x f(x)的单调性;(2)当n=2时,若函数h(x)=x+Δ(Δ)eΔ在[0,+∞)上单调递增,求m的取值范围.解:(1)当n=1时,g(x)=e x[x2+(m+2)x+1],g'(x)=e x[x2+(m+4)x+(m+3)]=e x(x+1)[x+(m+3)].令g'(x)=0,解得x=-1或x=-(m+3).∴当-1<-(m+3),即m<-2时,函数g(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(-m-3,+∞),单调递减区间为(-1,-m-3);当-1=-(m+3),即m=-2时,函数g(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间;当-1>-(m+3),即m>-2时,函数g(x)的单调递增区间为(-∞,-m-3),(-1,+∞),单调递减区间为(-m-3,-1).(2)当n=2时,h(x)=x+Δ2+(Δ+2)Δ+2eΔ,h'(x)=1+-Δ2-ΔΔ+ΔeΔ.由题意知,h'(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,即e x-x2≥m(x-1)在[0,+∞)上恒成立.当x=1时,不等式成立.当x≠1时,令k(x)=eΔ-Δ2Δ-1,则k'(x)=(Δ-2)(eΔ-Δ)(Δ-1)2.当x>1时,只需k(x)≥m恒成立.∵e x-x>0恒成立(可求导证明),∴当1<x<2时,k'(x)<0,k(x)单调递减;当x>2时,k'(x)>0,k(x)单调递增.∴k(x)≥k(2)=e2-4,∴m≤e2-4.当0≤x<1时,只需k(x)≤m恒成立.∵0≤x<1,∴k'(x)<0,∴k(x)单调递减,∴k(x)≤k(0)=-1,∴m≥-1.综上所述,-1≤m≤e2-4.第15讲导数与函数的极值、最值1.函数的极值(1)函数的极小值:函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧,右侧,则点a叫作函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫作函数y=f(x)的极小值.(2)函数的极大值:函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧,右侧,则点b叫作函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫作函数y=f(x)的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.2.函数的最值(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则为函数的最小值,为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则为函数的最大值,为函数的最小值. 3.实际应用题理解题意、建立函数模型,使用导数方法求解函数模型,根据求解结果回答实际问题.常用结论导数研究不等式的关键是函数的单调性和最值,各类不等式与函数最值关系如下:不等式类型与最值的关系∀x∈D,f(x)>M∀x∈D,f(x)min>M∀x∈D,f(x)<M∀x∈D,f(x)max<M∃x0∈D,f(x0)>M∀x∈D,f(x)max>M∃x0∈D,f(x0)<M∀x∈D,f(x)min<M∀x∈D,f(x)>g(x) ∀x∈D,[f(x)-g(x)]min>0∀x∈D,f(x)<g(x) ∀x∈D,[f(x)-g(x)]max<0∀x1∈D1,∀x2∈D2, f(x1)>g(x2) ∀x1∈D1,∀x2∈D2, f(x1)min>g(x2)max(续表) 不等式类型与最值的关系∀x1∈D1,∃x2∈D2, f(x1)>g(x2) ∀x1∈D1,∀x2∈D2, f(x1)min>g(x2)min∃x1∈D1,∀x2∈D2, f(x1)>g(x2) ∀x1∈D1,∀x2∈D2, f(x1)max>g(x2)max∃x1∈D1,∃x2∈D2, f(x1)>g(x2) ∀x1∈D1,∀x2∈D2, f(x1)max>g(x2)min(注:上述的大于、小于分别改为不小于、不大于,相应的与最值关系对应的不等号也改变)题组一常识题1.[教材改编]函数f(x)=x3-3x2+1的极小值为.2.[教材改编]函数f(x)=x3-12x在区间[-3,3]上的最大值是.3.[教材改编]当x>0时,ln x,x,e x的大小关系是.4.[教材改编]现有一块边长为a的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形,然后做成一个无盖方盒,该方盒容积的最大值是.题组二常错题◆索引:利用极值求参数时忽略对所求参数的检验;混淆极值与极值点的概念;连续函数在区间(a,b)上不一定存在最值;不等式问题中的易错点.5.若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则a+b= .6.函数g(x)=-x2的极值点是,函数f(x)=(x-1)3的极值点(填“存在”或“不存在”).7.函数g(x)=x2在[1,2]上的最小值和最大值分别是,在(1,2)上的最小值和最大值均(填“存在”或“不存在”).8.对任意实数x,不等式sin x≤a恒成立,则实数a的取值范围是;存在实数x0,使不等式sin x0≤a成立,则实数a的取值范围是.探究点一利用导数解决函数的极值问题微点1由图像判断函数极值例1 [2018·杭州二中模拟]如图2-15-1所示,可导函数y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线为l:y=g(x).设h(x)=f(x)-g(x),则下列说法正确的是 ()图2-15-1A.h'(x0)=0,x=x0是h(x)的极大值点B.h'(x0)=0,x=x0是h(x)的极小值点C.h'(x0)=0,x=x0不是h(x)的极值点D.h'(x0)≠0,x=x0不是h(x)的极值点[总结反思] 可导函数在极值点处的导数一定为零,是否为极值点以及是极大值点还是极小值点要看在极值点左、右两侧导数的符号.微点2已知函数求极值例2 若x=1是函数f(x)=ax+ln x的极值点,则()A.f(x)有极大值-1B.f(x)有极小值-1C.f(x)有极大值0D.f(x)有极小值0[总结反思] 求函数极值的一般步骤:①先求函数f(x)的定义域,再求函数f(x)的导函数;②求f'(x)=0的根;③判断在f'(x)=0的根的左、右两侧f'(x)的符号,确定极值点;④求出具体极值.微点3已知极值求参数例3[2018·江西九校二联]若函数f(x)=(a+1)e2x-2e x+(a-1)x有两个极值点,则实数a的取值范围是()A.(0,√62)B.(1,√62)C.(-√62,√62)D.(√63,1)∪(1,√62)[总结反思] 根据极值求参数的值(或取值范围)就是根据极值点处的导数等于零、极值点处的函数值即极值列出关于参数的方程组(或不等式组),通过解方程组(或不等式组)求得参数的值(或取值范围).应用演练1.【微点1】[2018·河南中原名校质检]已知定义在R上的函数f(x),其导函数f'(x)的大致图像如图2-15-2所示,则下列叙述正确的是()①f(b)>f(a)>f(c);图2-15-2②函数f(x)在x=c处取得极小值,在x=e处取得极大值;③函数f(x)在x=c处取得极大值,在x=e处取得极小值.A.③B.①②C.①③D .②2.【微点3】函数f (x )=x 2-a ln x (a ∈R)不存在极值点,则a 的取值范围是 ( ) A .(-∞,0) B .(0,+∞) C .[0,+∞) D .(-∞,0]3.【微点2】[2018·安庆二模] 已知函数f (x )=2e f'(e)ln x-Δe (e 是自然对数的底数),则f (x )的极大值为( )A .2e -1B .-1e C .1 D .2ln 24.【微点3】[2018·菏泽模拟] 已知函数f (x )=x 3-ax+2的极大值为4,若函数g (x )=f (x )+mx 在(-3,a-1)上的极小值不大于m-1,则实数m 的取值范围是 ( ) A .[-9,-154) B .(-9,-154] C .(-154,+∞) D .(-∞,-9)探究点二 利用导数解决函数的最值问题例4 已知定义在正实数集上的函数f (x )=ax 2-(a+2)x+ln x.(1)若函数g (x )=f (x )-ax 2+1,在其定义域上g (x )≤0恒成立,求实数a 的最小值; (2)若a>0时,f (x )在区间[1,e]上的最小值为-2,求实数a 的取值范围.[总结反思] (1)函数在闭区间上的最值在端点处或区间内的极值点处取得,上述值中最大的即为最大值、最小的即为最小值.如果函数在一个区间上(不论区间的类型)有唯一的极值点,则该点也是最值点.(2)注意把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题. 变式题 (1)已知a ≥1-ΔΔ+ln x 对任意x ∈[1e ,e ]恒成立,则a 的最小值为( )A .1B .e -2C .1e D .0(2)[2018·唐山三模] 已知a>0,f (x )=Δe Δe Δ+Δ,若f (x )的最小值为-1,则a= ( ) A .1e 2 B .1e C .e D .e 2探究点三利用导数研究生活中的优化问题例5 [2018·南京四校联考]如图2-15-3所示,某大型水上乐园内有一块矩形场地ABCD,AB=120米,AD=80米,以AD,BC为直径的半圆O1和半圆O2(半圆在矩形ABCD内部)为两个半圆形水上主题乐园,BC,CD,DA都建有围墙,游客只能从线段AB处进出该主题乐园.为了⏜修建不锈钢护栏,沿着线段EF⏜,ΔΔ进一步提高经济效益,水上乐园管理部门决定沿着ΔΔ⏜上的动点,EF∥AB,且线段EF⏜,ΔΔ修建该主题乐园大门并设置检票口,其中E,F分别为ΔΔ与线段AB在圆心O1和O2连线的同侧.已知弧线部分的修建费用为200元/米,直线部分的平均修建费用为400元/米.图2-15-3(1)若EF=80米,则检票等候区域(阴影部分)的面积为多少平方米?(2)试确定点E的位置,使得修建费用最低.[总结反思] (1)利用导数研究生活中的优化问题的关键:理清数量关系、选取合适的自变量建立函数模型.(2)注意:函数的定义域由实际问题确定,最后要把求解的数量结果“翻译”为实际问题的答案.变式题某产品每件成本9元,售价30元,每星期卖出432件.如果降低价格,销售量可以增加,若商品单价降低x(0≤x≤21)元,则一个星期增加的销售量为kx2(k>0)件.已知商品单件降低2元时,一个星期的销售量增加24件.(商品销售利润=商品销售收入-商品销售成本)(1)将一个星期的商品销售利润f(x)表示成x的函数;(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大.。