向量的数乘及坐标运算
数学新教材高一下人教A版必修第二册6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
题型二 向量平行(共线)的判定
【例 2】 已知 A，B，C 三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，且A→E＝
13A→C，B→F＝13B→C，求证：E→F∥A→B. 证明 设E(x1，y1)，F(x2，y2). 由题意知A→C＝(2，2)，B→C＝(－2，3)，A→B＝(4，－1)，
4.已知a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，且a∥b，则m＝____9____.
解析 ∵a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，且a∥b， ∴－6×(－3)－2m＝0，则m＝9.
2
课堂互动
题型剖析
题型一 向量的坐标运算
【例 1】 已知 a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求：
(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)12a－13b. 解 (1)2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1) ＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7). (2)a－3b＝(－1，2)－＝3(2－，121，) 1－23，13＝－67，32. ＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1). (3)12a－13b＝12(－1，2)－13(2，1)
＝－12，1－23，13＝－67，32.
思维升华
向量的坐标运算主要是利用加、减运算法则及数乘运算进行，解题时要注意方 程思想的运用及正确使用运算法则.
【训练 1】 (1)已知向量 a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若 c 满足 3a－2b＋c＝0，
则 c＝( A )
A.(－23，－12)
B.(23，12)
A.(－2，－2) B.(2，2)
C.(1，1)
D.(－1，－1)
解析 ∵A→B＝(2，4)，A→C＝(0，2)，
向量坐标的运算的所有公式
向量坐标的运算的所有公式在数学的世界里，向量坐标的运算公式就像是一把把神奇的钥匙，能帮助我们打开各种难题的大门。
先来说说向量加法的坐标运算公式。
假如有两个向量 A(x₁, y₁) 和B(x₂, y₂) ，那么它们相加后的向量坐标就是 (x₁ + x₂, y₁ + y₂) 。
这就好比你在操场上跑步，从起点出发，先向东跑了 x₁米，向北跑了y₁米，然后又接着向东跑了 x₂米，向北跑了 y₂米，那最终你的位置坐标就是 (x₁ + x₂, y₁ + y₂) 。
再看看向量减法的坐标运算公式。
还是这两个向量 A(x₁, y₁) 和B(x₂, y₂) ，相减后的向量坐标就是 (x₁ - x₂, y₁ - y₂) 。
我想起有一次我和朋友一起玩拼图游戏，我们把拼图分成了两部分，一部分的位置可以用一个向量坐标表示，另一部分用另一个向量坐标表示。
当我们要把这两部分拼接到一起时，就得算出它们的相对位置，这时候向量减法的坐标运算公式就派上用场啦。
还有数乘向量的坐标运算公式。
如果有一个实数λ 与向量 A(x, y) 相乘，那么得到的向量坐标就是(λx, λy) 。
这就好像是把一个物体按照一定的比例放大或缩小，坐标也跟着相应地变化。
向量数量积的坐标运算公式也很重要。
对于向量 A(x₁, y₁) 和B(x₂, y₂) ，它们的数量积等于 x₁x₂ + y₁y₂。
这让我想到了物理中的力做功的问题，力和位移都可以用向量来表示，通过这个公式就能算出力做的功。
在实际解题中，这些公式常常需要我们灵活运用。
比如说，有一道题给出了两个向量的坐标，让我们求它们的和与差。
这时候，我们只要把对应的坐标相加或相减就可以了。
又比如，要判断两个向量是否垂直，就可以通过它们数量积的坐标运算结果是否为 0 来判断。
总之，向量坐标的运算公式虽然看起来有点复杂，但只要我们多做练习，多联系实际生活中的例子去理解，就一定能掌握它们，让数学变得不再那么可怕。
就像我们在生活中面对各种困难，只要找到合适的方法和工具，就能轻松应对，走向成功！。
向量坐标运算公式
向量坐标运算公式向量坐标运算是数学中非常重要的一类运算，它的基本思想就是利用坐标系中的“向量”结构，对某一空间中的多个元素进行运算。
它可以实现生活中的科学、技术、工程和数学应用。
本文将介绍向量坐标运算的基本定义、公式和解决问题的过程。
一、定义向量坐标运算是以坐标系为基础，以“向量”作为结构，在“平面”上进行坐标点之间的运算。
简而言之，它是一种以坐标系为基础，以向量作为结构，对空间中各个元素之间进行运算的科学方法。
二、公式（1）两个向量之间的运算A：(a,b)，B：(c,d)向量A与向量B的点积（Dot Product）：AB=ac+bd向量A与向量B的叉积（Cross Product）：A×B=ad-bc（2）向量乘以标量A：(a,b)标量m：m数量m与向量A的乘积（Scalar Product）：mA= (ma,mb)（3）向量与矩阵之间的乘法A：（a,b）矩阵M：（a,b）矩阵M与向量A的乘积：MA=（ma,mb）三、用向量坐标运算解决问题例如，假设有一个某个区域的地图，其中有若干个点(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)等。
在该区域内，若要计算从(x1,y1)到(x2,y2)的距离，可以使用向量坐标运算公式和点积计算，也可以使用矩阵乘法计算从(x1,y1)到(x3,y3)的距离。
1、使用点积计算距离A：(x2-x1,y2-y1)B：(x2-x1,y2-y1)距离d=AB= (x2-x1)^2+(y2-y1)^22、使用矩阵乘法计算距离矩阵M：(x3-x1,x2-x1)向量A：(y3-y1,y2-y1)距离d=MA= (x3-x1)^2+(y2-y1)^2+(x2-x1)^2四、结论以上就是向量坐标运算的基本定义、公式和解决问题的过程。
可以看出，在计算机科学、地球科学、物理学、航空航天工程和数学中，向量坐标运算都有着重要的应用，在解决实际问题中也可以发挥无穷的作用。
坐标向量的运算的所有公式
坐标向量的运算的所有公式坐标向量的运算是广泛应用在几何、代数、物理等领域的一种数学运算方法，可以用来解决各种复杂的问题。
本文将尝试介绍坐标向量运算的基本公式以及它的应用。
首先，通过研究坐标向量的性质发现，它可以用来表示物理量的运动方向，也可以表示物体的位置。
坐标向量被定义为有向量，可以用来描述方向。
这样，坐标向量可以表示两个物理量之间的运动方向，如势能，速度，加速度等。
其次，坐标向量的运算包括加法运算和乘法运算两种：1.法运算：坐标向量的加法运算是把两个坐标向量相加，得到的结果是另一个坐标向量。
如果用a表示坐标向量，则可用a+b=c的方式表达，其中c表示a和b的和。
2. 乘法运算：坐标向量的乘法运算是把一个坐标向量乘以一个数，得到的结果是另一个坐标向量。
其表示方式为a*b=c，其中c表示a和b的乘积。
此外，坐标向量还可以通过向量乘积、叉乘以及点乘来进行运算： 1.量乘积：坐标向量的乘积，也称积乘（dot product），是把两个坐标向量相乘，得到的结果是一个标量，用a*b=c的方式表达，其中c表示a和b的乘积。
2.乘：坐标向量的叉乘，也称为矢量积（cross product），是把两个坐标向量的叉乘，得到的结果是另一个坐标向量，用a*b=c的方式表达，其中c表示a和b的叉乘结果。
3.乘：坐标向量的点乘，也称为夹角余弦（cosine），是把两个坐标向量的点乘，得到的结果是一个标量，用a*b=c的方式表达，其中c表示a和b的夹角余弦结果。
最后，值得一提的是，坐标向量运算的实际应用，主要是用来解决物体的位置和受力问题。
比如在物理学中常见的势能方程就可以用坐标向量的运算来计算，在机械学中常见的力学平衡问题也可以用坐标向量的运算来求解。
综上所述，坐标向量的运算是一种重要的数学运算方法，可以用来解决各类物理、几何等问题，十分有用。
坐标向量的运算总结起来就是加法、乘法、向量乘积、叉乘以及点乘运算，可以用来解决物体的位置和受力问题，是广泛应用在几何、代数、物理等领域的一种数学运算方法。
平面向量数乘运算的坐标表示课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册
问题2 如何用坐标表示向量共线的条件?
设
a // b (b 0) 存在实数λ，使
a b
( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x2 , y2 )
消去λ，得 x1 y2 x2 y1 0
重要结论2：
a // b (b 0) x1 y2 x2 y1 0
们是同向还是反向?
解:法一
ห้องสมุดไป่ตู้
ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),
当 ka+b 与 a-3b 平行时,存在唯一实数λ,使 ka+b=λ(a-3b).
由(k-3,2k+2)=λ(10,-4).
- = ,
得
解得 k=λ=- .
,
2
2
所以(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,
解得 k=- .
所以 ka+b=(- , )=- (10,-4)=- (a-3b),
故 ka+b 与 a-3b 反向.
【课本例题8】已知A（－1，－1），B（1，3），C（2，5），判断A，B，
C三点之间的位置关系．
【解析】在平面直角坐标系中作出A,B,C三点，观察图形，
＝(1 , 1 )，＝(2 , 2 )
向量与共线
(1 , 1 )，(2 , 2 )
点满足＝
(1 , 1 )，(2 , 2 )
点为中点
1 2 －2 1 ＝0
1 + 2 1 + ��2
两向量相乘的坐标公式
两向量相乘的坐标公式
两个向量相乘有多种不同的定义，包括数量积（点积）、向量积（叉积）和混合积。
在下面我们将逐一介绍这三种向量相乘的坐标公式。
1.数量积（点积）:
数量积（点积）是两个向量之间的一种运算，其结果是一个标量。
两
个向量的数量积的坐标公式如下：
设两个向量A和B的坐标分别为(A₁,A₂,A₃)和(B₁,B₂,B₃)，则它们的数
量积（点积）为：
A·B=A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃
2.向量积（叉积）:
向量积（叉积）是两个向量之间的一种运算，其结果是一个新的向量，该向量垂直于原来两个向量所在的平面。
两个向量的向量积的坐标公式如下：
设两个向量A和B的坐标分别为(A₁,A₂,A₃)和(B₁,B₂,B₃)，则它们的向
量积（叉积）为：
A×B=(A₂B₃-A₃B₂,A₃B₁-A₁B₃,A₁B₂-A₂B₁)
3.混合积:
混合积是三个向量之间的一种运算，其结果是一个标量，表示由这三
个向量所组成的平行六面体的有向体积。
设三个向量A、B和C的坐标分别为(A₁,A₂,A₃)、(B₁,B₂,B₃)和
(C₁,C₂,C₃)，则它们的混合积为：
(A×B)·C=(A₂B₃-A₃B₂)C₁+(A₃B₁-A₁B₃)C₂+(A₁B₂-A₂B₁)C₃
这些坐标公式是向量相乘的基本公式，在向量运算中非常常见且有广泛的应用。
向量的数乘和点乘
向量的数乘和点乘一、向量数乘（一）定义1. 实数λ与向量→a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λ→a。
2. 当λ > 0 时，λ→a 的方向与→a 的方向相同；当λ < 0 时，λ→a 的方向与→a 的方向相反；当λ = 0 时，λ→a=→0。
3. 设→a=(x,y)，则λ→a=(λ x,λ y)。
（二）运算律1. 结合律：λ(μ→a) = (λμ)→a。
- 例如，设→a=(1,2)，λ = 2，μ=3。
- 先计算μ→a=3(1,2)=(3,6)，再计算λ(μ→a) = 2(3,6)=(6,12)。
- 而 (λμ)→a=(2×3)→a=6(1,2)=(6,12)，两者相等。
2. 第一分配律：(λ+μ)→a=λ→a+μ→a。
- 例如，设→a=(2, - 1)，λ = 1，μ = 2。
- 左边：(λ+μ)→a=(1 + 2)(2,-1)=3(2,-1)=(6,-3)。
- 右边：λ→a+μ→a=1×(2,-1)+2×(2,-1)=(2,-1)+(4,-2)=(6,-3)，等式成立。
3. 第二分配律：λ(→a+→b)=λ→a+λ→b。
- 设→a=(1,3)，→b=( - 1,2)，λ = 2。
- 左边：→a+→b=(1 - 1,3 + 2)=(0,5)，λ(→a+→b)=2(0,5)=(0,10)。
- 右边：λ→a+λ→b=2(1,3)+2(-1,2)=(2,6)+(-2,4)=(0,10)，等式成立。
（三）向量共线定理1. 向量→a(→a≠→0) 与→b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使→b=λ→a。
2. 例如，已知→a=(2,4)，→b=(4,8)，可以发现→b = 2→a，所以→a 与→b 共线。
二、向量点乘（数量积）（一）定义1. 已知两个非零向量→a 和→b，它们的夹角为θ(0≤slantθ≤slantπ)，则把数量 |→a||→b|cosθ叫做→a 与→b 的数量积（或内积），记作→a·→b，即→a·→b=|→a||→b|cosθ。
向量坐标运算公式总结
向量坐标运算公式总结在数学和物理学中，向量是一个具有大小和方向的量，常用于描述物体的位置、速度和力等相关概念。
而对向量进行运算，是解决许多实际问题的关键步骤之一。
本文将总结一些常用的向量坐标运算公式，帮助读者更好地理解和应用向量运算。
1. 向量的表示在二维坐标系中，一个向量可以用一个有序数对表示，如(a, b)。
表示向量的时候，通常以x轴和y轴分量的形式给出。
在三维坐标系中，一个向量可以用一个有序数组表示，如(a, b, c)。
2. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加，得到一个新的向量。
对于二维向量(a, b)和(c, d)，它们的加法运算规则如下：(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)3. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。
对于二维向量(a, b)和(c, d)，它们的减法运算规则如下：(a, b) - (c, d) = (a - c, b - d)4. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量与一个标量相乘，得到一个新的向量。
对于二维向量(a, b)和实数k，它们的数量乘法运算规则如下：k(a, b) = (ka, kb)5. 内积（点乘）内积（点乘）是指将两个向量相乘后再求和的运算。
对于二维向量(a, b)和(c, d)，它们的内积运算规则如下：(a, b)·(c, d) = ac + bd6. 外积（叉乘）外积（叉乘）是向量间的一种运算，用于产生一个新的向量。
外积只适用于三维向量。
对于三维向量(a, b, c)和(d, e, f)，它们的外积运算规则如下：(a, b, c) × (d, e, f) = (bf - ce, cd - af, ae - bd)7. 向量的模向量的模是指向量的长度或大小。
对于二维向量(a, b)，它的模定义为：| (a, b) | = √(a² + b²)8. 向量的单位向量单位向量是指模为1的向量。
空间向量坐标运算
空间向量坐标运算空间向量是指在空间中有大小和方向的线段。
空间向量的坐标运算包括向量的加法、减法、数乘和内积。
下面将对这些运算进行详细介绍。
一、向量的加法设空间中有两个向量A和B，它们的坐标分别为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)。
向量的加法即将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量C。
它的坐标为(Ax+Bx, Ay+By, Az+Bz)。
例如，设A = (1, 2, 3)和B = (4, 5, 6)，则A+B = (1+4, 2+5, 3+6) = (5, 7, 9)。
二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量。
设向量A和B的坐标分别为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)，则向量A减去向量B的坐标为(Ax-Bx, Ay-By, Az-Bz)。
例如，设A = (1, 2, 3)和B = (4, 5, 6)，则A-B = (1-4, 2-5, 3-6) = (-3, -3, -3)。
三、向量的数乘向量的数乘是指一个向量乘以一个实数。
设向量A的坐标为(Ax, Ay, Az)，实数k，则向量A乘以实数k的坐标为(kAx, kAy, kAz)。
例如，设A = (1, 2, 3)，k = 2，则kA = (2*1, 2*2, 2*3) = (2, 4,6)。
四、向量的内积向量的内积又称为点乘，它是两个向量之间的一种运算。
设向量A和B的坐标分别为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)，则向量A与向量B的内积为Ax*Bx + Ay*By + Az*Bz。
例如，设A = (1, 2, 3)和B = (4, 5, 6)，则A·B = 1*4 + 2*5 +3*6 = 32。
向量的内积有以下几个性质：1. 交换律：A·B = B·A；2. 分配律：(A+B)·C = A·C + B·C；3. 数乘结合律：(kA)·B = k(A·B) = A·(kB)。
向量的坐标表示与运算公式(一)
向量的坐标表示与运算公式(一)
向量的坐标表示与运算公式
1. 向量的坐标表示
向量可以用坐标表示，其中一维向量表示为一个实数，二维向量表示为一个有序实数对，三维向量表示为一个有序实数三元组。
一般地，n维向量表示为一个有序实数n元组。
2. 向量的加法
向量的加法是指将两个向量对应的分量分别相加得到一个新的向量。
向量的加法公式如下所示：
[addition](
其中，[A](
举例：假设有两个二维向量[A](
[addition_example](
3. 向量的数乘
向量的数乘是指将一个实数与向量的每个分量相乘得到一个新的向量。
向量的数乘公式如下所示：
[scalar_multiplication](
其中，[a](
举例：假设有一个二维向量[A](
[scalar_multiplication_example](
4. 向量的点积
向量的点积（内积）是指将两个向量对应的分量逐一相乘再相加得到一个实数。
向量的点积公式如下所示：
[dot_product](
其中，[A](
举例：假设有两个三维向量[A](
[dot_product_example](。
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三、向量数乘运算及其几何意义
一、知识回顾：
1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个 ，记作 ，它的模与方向规定如下： １）||a λ= ；
2） λ＞０时,a λ的方向与 的方向相同；当λ＜０时, a λ的方向与 的方向相反； 实数与向量的积的运算律：
运算律：()a λμ= ； ()a λμ+= ； ()a b λ+= .
2．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a
共线⇔有且只有一个实数λ，使得
二、沙场练兵：
1．已知向量a = e 1-2 e 2，b =2 e 1+e 2, 其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6 e 1-2 e 2的关系为（ ） A ．不共线 B ．共线 C ．相等 D ．无法确定
2．已知向量e 1、e 2不共线，实数(3x -4y )e 1＋(2x -3y )e 2 =6e 1+3e 2 ,则x －y 的值等于 （ ） A ．3 B ．-3 C ．0 D ．2
3．若AB =3a , CD =－5a ,且||||AD BC =,则四边形ABCD 是 （ ） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．等腰梯形 D ．不等腰梯形 4．AD 、BE 分别为△ABC 的边BC 、AC 上的中线，且AD =a ,BE =b ,那么BC 为（ ）
A ．32a ＋34b
B ．32a －32b
C ．32a －34b
D ． －32a ＋3
4
b
5．已知向量a ,b 是两非零向量，在下列四个条件中，能使a ,b 共线的条件是 （ ） ①2a -3b =4e 且a +2b = -3e ②存在相异实数λ ，μ，使λa -μb =0
③x a +y b =0 (其中实数x , y 满足x +y =0) ④已知梯形ABCD ，其中AB =a ,CD =b A ．①② B ．①③ C ．② D ．③④
*
6．已知△ABC 三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P ，若PA PB PC AB ++=，则（ ） A ．P 在△ABC 内部 B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边所在直线上 D ．P 在线段BC 上
二、填空题
7．若|a |=3,b 与a 方向相反,且|b |=5,则a = b
8．已知向量e 1 ,e 2不共线，若λe 1－e 2与e 1－λe 2共线,则实数λ=
9．a ,b 是两个不共线的向量，且AB =2a ＋k b ,CB =a ＋3b ,CD =2a －b ,若A 、B 、D 三点共线，则实数k 的值可为
*
10．已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ,CD =5a ＋6b －8c 对角线AC 、BD 的中点为E 、F ，则向量EF =
三、解答题
11．计算：⑴(－7)×6a =
⑵4(a ＋b )－3(a －b )－8a =
⑶(5a －4b ＋c )－2(3a －2b ＋c )=
12．如图，设AM 是△ABC 的中线，AB =a , AC =b ,求AM
13．设两个非零向量a 与b 不共线,
⑴若AB =a ＋b ,BC =2a ＋8b ,CD =3(a －b ) ,求证：A 、B 、D 三点共线; ⑵试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.
*
14．设OA ,OB 不共线,P 点在AB 上,求证:OP =λOA +μOB 且λ+μ=1(λ, μ∈R).
四、平面向量基本定理及坐标表示（1）
一、知识回顾：
1．平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线．．．向量，那么对这一平面内的任一向量a
，有且只有一对实数21,λλ使： ，其中不共线的向量21,e e
叫做表示这一平面内所有向量
的 。
2．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，为基底，
则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，
a ＝(),x y 叫做向量a
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的坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
注：(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量。
(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。
3．平面向量的坐标运算：
若()()2211,,,y x y x ==，则a b ±=r r
若()()2211,,,y x B y x A ，则AB =uu u r
若=(x,y)，则λ=
若()()0,,,,2211≠==b y x b y x a ，则//a b ⇔r r
二、沙场练兵：
1．下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ） A ．e 1=(0,0), e 2 =(1,－2) ; B ．e 1=(-1,2),e 2 =(5,7);
C ．e 1=(3,5),e 2 =(6,10);
D ．e 1=(2,-3) ,e 2 =)4
3
,21(-
2．已知向量a 、b ，且AB =a +2b ,BC = -5a +6b ,CD =7a -2b ,则一定共线的三点是 （ ） A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D 3．如果e 1、 e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有 （ ） ①λe 1＋μe 2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α中的任一向量a ,使a =λe 1＋μe 2的λ, μ有无数多对；
③若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数k ,使λ2e 1+μ2e 2=k (λ1e 1+μ1e 2)； ④若实数λ, μ使λe 1＋μe 2=0，则λ=μ=0.
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．仅②
4．过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD =x AB ,AE =y AC ,xy ≠0，则11
x y
+的
值为 （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
5．若向量a =(1,1),b =（1,-1) ,c =(-2,4) ,则c = ( ) A ．-a +3b B ．3a -b C ．a -3b D ．-3a +b
*
6．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1),B (-1,3),若点C (x , y )满足OC =αOA +βOB ，其中α,β∈R 且α+β=1，则x , y 所满足的关系式为 （ ）
A ．3x +2y -11=0
B ．(x -1)2
+(y -2)2
=5 C ．2x -y =0 D ．x +2y -5=0
二、填空题
7．作用于原点的两力F 1 =(1,1) ,F 2 =(2,3) ,为使得它们平衡，需加力F 3= ; 8．若A (2,3)，B (x , 4),C (3,y ),且AB =2AC ,则x = ，y = ;
9．已知A (2,3),B (1,4)且
1
2
AB =(sin α,cos β), α,β∈(-2π,2π),则α+β=
*
10．已知a =(1,2) ,b =(-3,2),若k a +b 与a -3b 平行，则实数k 的值为
三、解答题
11.已知向量b 与向量a =(5,-12)的方向相反，且|b |=26,求b
12．如果向量AB =i -2j ,BC =i +m j ,其中i 、j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值使A 、B 、C 三点共线。
13．已知A 、B 、C 三点坐标分别为(-1,0)、(3,-1)、(1,2）,11
,,33
AE AC BF BC ==
求证：//EF AB
*
14．已知A (2,3)、B (5,4)、C (7,10)，若()AP AB AC R λλ=+∈，试求λ为何值时，点P 在第三象限内？。