吉布斯亥姆霍兹方程的推导过程
吉布斯一杜亥姆方程
吉布斯一杜亥姆方程杜亥姆方程是数学家威廉·杜亥姆平凡建立的重要微分方程，它有效说明了空间形状的圆滑变化。
杜亥姆方程的形式是曲线的几何形态，它的右侧为曲线本身的曲率，可以用来描述一个曲线的几何性质。
它是实践范式，形式接近布朗赫斯特非线性方程。
杜亥姆方程（又称圆曲线方程），是微分方程的一类，式如下：（1）有限形曲线$$\begin{equation}k(s)^2\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}s^2}+2ks'(s)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}s }+y=0\end{equation}$$其中，$k(s)$（又称曲率半径）是曲线C（s）在s处的曲率半径，s为曲线的弧长参数，y为曲线的切线方向的切线方程，$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}s}$为y的第一次导数，$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}s^2}$为y的第二次导数。
1. 杜亥姆方程是关于曲线空间几何形状属性的重要方程，它表明了曲线的曲率半径与曲线的曲率的关系。
2. 杜亥姆方程具有唯一性，即曲线的平均曲率必须小于当前曲率半径才能满足杜亥姆方程。
3. 杜亥姆方程也有应力强度特性，具有良好的纤维强度和抗张强度。
4. 由杜亥姆方程可以确定曲线的曲率半径，这是给出曲线法线突变点的唯一依据。
5. 当曲线横截面形状为一定时，杜亥姆方程可作为一种曲线定位方法，为圆形曲线的精准设计提供依据。
三、应用1. 在机械设于研究中，杜亥姆方程可以帮助工程师去操纵几何形状的参数，以实现有效的设计，以满足他们的目标。
2. 杜亥姆方程也可以模拟物理系统的运动行为，用来分析，比如研究太阳的运动行为，这将对宇宙的研究起到重要作用。
3. 在建筑物的后期维修与保养中，可以运用杜亥姆方程来检测建筑物的弯曲变形，以调整架构构件吊混凝土楼板的紧固程度。
4. 在工业自动化过程中，杜亥姆方程可以用来模拟机械元件的运动，以便精确定位或控制工业领域的机器运动、机械定位、光学定量测量等。
基于吉布斯自由能定义的范德霍夫等压方程推导
(4 )
将 AG/ ( r )= -
带人式(4 )得式(5 ):
-R T \n K e = \ H me(T -、 m rSme(V) 。
(5)
对 式 (5)等 式 两 边 同 时 对 T 求导得式(6):
(6)
(7)
将 In Z 6
,\S J
RT
R 代人式(7)得 式 (8):
__A__._H__j x RT 了 R
本 文 从 吉 布 斯 自 由 能 函 数 ！= " - # $ 的 定 义 式 出 发 ，提 出 了 一 种 范 德 霍 夫 (Van't Hoff)等压方程的
推导新方法。该方法 要 依 据 吉 布 斯 - 亥 霍 兹 公 式
推 导 ，推 导 程
明了，
，
义 明 。同时，该推导方法 范德霍夫等压方程积分公式中的积分常数的本质，可 一 种 测 算 化
决 定 。在实际应用中，常采用范德霍夫等压方程的积分形式。按 照 反 应 热 效 应 是 否 与 温 度 有关两种情况得到等压方程的积分式：
a )△,.〃/不随温度变化。
如 果 随 温 度 的 变 化 不 大 ，而且所讨论的温度范围较窄时，可 以 近 似 地 把 看 作 定 值 ，与
温度无关。在此条件下将式(2)作不定积分得h 夂6
(T) = [ySem(Y, 29SK) + ZSem(Z,29SK)- aS0m(A, 298K) - bSem{B, 298^： )]
+ £ J w ， ,r ) + z ^ (z ,r )- ai^ M ，r )—^ ^ (5,7)]办 。 对式（11)整理可得式（12):
按照现有教材采用吉布斯亥姆霍兹方程推导等压方程得不出c而按照吉布斯自由能的定义式则可以直接推导出c的物理意义同时公式c也提供了一种测算化学反应标准熵变21的方法
亥姆霍兹自由能方程
亥姆霍兹自由能方程（Helmholtz free energy equation）是热力学中的一个基本方程，表示系统自由能的微分形式。
它描述了系统在恒定外力作用下的平衡态时，其热力学性质之间的关系。
具体来说，亥姆霍兹自由能方程可以表示为：ΔG = ΔH - TΔS，其中ΔG表示变化的值，ΔH表示焓的改变量，T表示温度（绝对温度），ΔS表示熵的改变量。
这个方程表明，如果系统在恒定外力作用下达到平衡态，那么其亥姆霍兹自由能的变化等于焓的变化减去温度乘以熵的变化。
亥姆霍兹自由能是一个热力学函数，定义为G = U - TS，其中U是系统的内能，S是熵，T是绝对温度，而S = G + ΔQ/T。
这个方程在化学和工程中的许多领域都有应用，包括化学反应平衡、材料科学、能源转换等。
求解亥姆霍兹方程
求解亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程是物理学中的一类重要方程，广泛应用于声学、电磁学、量子力学等领域。
求解亥姆霍兹方程是这些领域中的重要问题，下面我们来探讨一下。
一、亥姆霍兹方程的定义亥姆霍兹方程是一个二阶偏微分方程，它的一般形式为：$$ \Delta u + k^2 u = f $$其中，$u$是未知函数，$k$是常数，$f$是给定的源函数，$\Delta$是拉普拉斯算子。
该方程可以描述一个介质中的波动现象。
二、亥姆霍兹方程的求解方法亥姆霍兹方程的求解方法主要有两种：分离变量法和格林函数法。
1. 分离变量法分离变量法是一种常用的求解亥姆霍兹方程的方法。
该方法将未知函数表示为一系列单独的函数的乘积，从而将亥姆霍兹方程转化为一系列常微分方程，再求解这些常微分方程。
例如，对于一个圆柱体内的亥姆霍兹方程，我们可以将未知函数表示为：$$ u(r,\theta,z) = H(r) G(\theta) F(z) $$其中，$r$、$\theta$和$z$分别是圆柱体内的径向、角向和轴向坐标，$H$、$G$和$F$是对应的函数。
代入亥姆霍兹方程，得到：$$ \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r\frac{\partial H}{\partial r} \right) G F + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 G}{\partial \theta^2} H F + \frac{\partial^2 F}{\partial z^2} H G + k^2 H G F = f $$将分离变量后的方程化为各自的常微分方程后，我们可以分别求解$H$、$G$和$F$，再将其乘积得到原方程的解。
2. 格林函数法格林函数法也是一种常用的求解亥姆霍兹方程的方法。
该方法基于格林函数理论，通过求解一些特定的泊松方程来构造出亥姆霍兹方程的格林函数，从而求得原方程的解。
亥姆霍兹方程通解
亥姆霍兹方程通解亥姆霍兹方程通解在物理学和工程学中具有重要的应用价值。
亥姆霍兹方程是一种特殊的偏微分方程，描述了波动现象。
它的通解形式可以通过分离变量法得到，这个方法在解决波动方程和传热方程等问题时非常有用。
亥姆霍兹方程的一般形式是：d^2d/dd^2 + d^2d = 0其中d是未知函数，d是自变量，d是常数。
这个方程可以用来描述声波、电磁波等各种波动现象。
而亥姆霍兹方程的通解形式可以写成：d(d) = d cos(dd) + d sin(dd)其中d和d是常数，代表了波函数的振幅和相位。
这个通解能够涵盖各种边界条件和初始条件，因此在实际问题中非常有用。
亥姆霍兹方程的通解在物理学中有广泛的应用。
例如，在声学中，可以使用亥姆霍兹方程的通解来描述声波在各种介质中的传播情况。
在光学中，亥姆霍兹方程的通解可以用来分析光的干涉、衍射等现象。
在电磁学中，亥姆霍兹方程的通解可以用来研究电磁场的分布和传播。
除了理论物理中的应用，亥姆霍兹方程的通解在工程学中也有很多实际应用。
例如，在电信领域，可以使用亥姆霍兹方程的通解来分析电磁波在导线、天线等设备中的传播情况。
在声学工程中，亥姆霍兹方程的通解可以用来设计音响系统、听觉环境等。
在光学工程中，亥姆霍兹方程的通解可以用来设计光学器件、光纤等。
总之，亥姆霍兹方程通解是一种重要的数学工具，用于描述各种波动现象。
它在物理学和工程学的实际应用中发挥着重要作用，为我们理解和解决波动问题提供了有力的工具。
无论是从理论研究还是工程实践的角度，深入理解和掌握亥姆霍兹方程通解都是非常有价值的。
亥姆霍兹方程
K
x
x
g G
x
h H
x
a A
x
d D
非理想溶液 aB γBxB
K a aB υB γB υB xB υBK γKx BB
当 γB 1 Ka Kx 非理想溶液可视作理想溶液
三.复相反应(纯凝聚相)
有气相和凝聚相（液相、固体）共同参与的反应 称为复相化学反应。只考虑凝聚相是纯态的情况，纯 态的化学势就是它的标准态化学势，所以复相反应的 热力学平衡常数只与气态物质的压力有关。纯固态的 活度等于1（标准态选择），并且其饱和蒸气压相对极 小（可忽略）
发生反应进度为1 mol的化学反应Gibbs自由能的 变化值，称为标准摩尔反应吉布斯自由能变化值， 即
rG m 0RTlnK0
K0 exp(rGm0 ) RT
3.计算实验不易测定的平衡常数
求 C (s ) 1 2 O 2 (g ) 的C 平O (衡g )常数，已知
( 1 ) C ( s ) O 2 ( g ) C O 2 ( g )
rG m ( 1 )
( 2 )C O ( g ) 1 2 O 2 ( g ) C O 2 ( g ) r G m ( 2 )
解：(1) - (2) 得（3）
( 3 ) C ( s ) 1 2 O 2 ( g ) C O ( g )
rG m ( 3 )
rG m (3 ) rG m ( 1 ) rG m (2 )
p 总 p N 3 H p H 2 S 66 P6 a60
p N3H p H 2 S 33P 3a 30
Kp ppN3HppH2S130313323 2005. 108
例题3
•
（2）若容器中原有，
p' H2S
亥姆霍兹定理
各科学习都取得了较好成绩。学习成绩报告表明：他的拉丁语、希腊语、希伯来语、宗教、数学及物理学 方面的成绩良好，历史和地理学成绩优异。中学毕业考试结果表明，他的希腊语、法语、拉丁语成绩出色， 数学考试表明了他对数学原理有着超乎寻常的理解。在额外提交的一篇题为 “论自由落体定律”的论文中， 其思想和表述非同一般地准确，表明了他对物理问题的深思熟虑。在随后举行的口试中，他以优异的成绩 获得通过。１８３８年９月，亥姆霍兹以出色的成绩完成了中学学业。 还在中学阶段，亥姆霍兹就对物理学产生了浓厚的兴趣。通过物理学和化学实验的具体操作以及父亲 和其同事间常有的科学讨论的熏陶，他决定投身科学事业的愿望日益强烈。同时，一些独具创造性的实验 也一再唤起他求知的欲望。然而收入欠丰的父亲还要承担亥姆霍兹的两个妹妹和一个弟弟的教育任务，实 在无钱支持他专门从事物理学的学习，遂推荐他到弗里德里希－维廉医学院学习。这样，一方面在学医的 同时，还可以学到一些物理知识；另一方面，学习上能得到政府的资助，条件是五年的医学学习之后，必 须作为军医服务八年。于是亥姆霍兹愉快地接受了父亲的建议，踏上了学医的道路。 扎根弗里德里希－维廉医学院 １８３８年１０月，亥姆霍兹带着对知识的渴求和对自然科学的无限热爱之情，来到了位于柏林的弗 里德里希－维廉医学院，从此开始了新的生活。正是在这里，他接受了多方面的教育，加之自身的天赋和 父母的精心培养，他的智力达到了更高的水平，从而为未来的辉煌事业奠定了坚实的基础。 医学院的学习生活是紧张而有秩序的，他每周都要上４０多节课。它们包括化学、一般解剖学、内脏学、 骨科学、感觉器官解剖学、物理学、内科学、逻辑学、历史、拉丁语、法语等课程。尽管功课很忙，他还 是按父亲嘱咐的那样，每天抽时间用于音乐，演奏莫扎特和贝多芬等人的名作，晚上时常研究歌德和拜伦 的作品或做些微积分。第一学期的课程结束后，他认真研读了休谟、康德等人的著作。在他看来，自己需 要认真学习这些伟人的著作，特别是康德和休谟的著作。休谟的著作曾使他爱不释手，以致有一天晚上他 一气之下连读了几本休谟的著作，其中的认识论问题深深地打动着他，并对他日后的哲学思想的形成产生 了重大影响。 第二学期，他特别被缪勒（Johannes Muller）的生理学课程所吸引。另一件对他来说特别有意义的事情 是，他被学院图书馆指定为助理馆员，馆内丰富的资料给他提供了充足的精神食粮。正如他于１８３９年 ３月给父母的信中所说：“助理馆员的工作每周要花去我两个小时，但这是从馆藏的大量旧文献中发现有价 值的东西的最好方式”。 （ 〔１〕 ，ｐ．１９）正是在这期间，他自学了欧拉（Euler） 、伯努利（D.Bernoulli） 、 达兰贝尔（d Alembert ） 、拉格朗日（Lagrange）和其它科学家的重要著作，从而大大提高了自己的数学物 理水平。 １８３９年夏季学期的课程依然十分紧张，其内容包括动物化学、植物学、自然史、生理学、化学、 历史、拉丁语、法语等课程。但亥姆霍兹仍然挤出时间欣赏希腊著名文学作品。１８４０年冬季学期一开 始，在充分准备基础上，亥姆霍兹顺利通过了解剖学实验考试。此后便开始了自己独立的科学研究和博士 论文工作。 １８４０年冬季—１８４１年夏季， 亥姆霍兹致力于拓宽自己的知识， 特别是数学和力学知识。 １ ８ ４ １ 年 底 ， 他 开 始 考 虑 生 理 学 问 题 并 与 缪 勒 的 学 生 布 吕 克 （ Brü cke,E. ） 、杜布瓦－莱蒙 （du Bois-Reymond,E）等人密切交往，并很快成为这个团体中的一员。他们之间的交流、讨论使彼此受益 匪浅。正如亥姆霍兹在回忆这段宝贵时光时所说的那样：“与这些杰出人物的交往能改变人的价值观，这种 智力交流是人生最有意义的经历”（ 〔１〕 ，ｐ．２２） 。这个团体的目标在于把心理学与物理学结合起来， 从而把心理学建立在牢固的物理学基础上。在这个小组的所有成员中，亥姆霍兹所表现出的数学才能远非 他人所能及。他那深厚的数学基础已经预示了一个杰出的数学家在生理学、物理学等领域中的光辉未来。 老师缪勒极力反对当时流行的关于生命本质的各种形而上学学说，主张一切科学概念都建立在严格的 经验基础之上，倡导生理学研究中应用归纳方法、反对演绎方法。正是在这种影响下，亥姆霍兹利用自己 节省下来的生活津贴买到的一个小显微镜和几本物理、化学教科书为条件开始了自己的生理学方面的博士 论文。 １８４２年８月， 他向缪勒提交了有关神经生理学内容的博士论文。 缪勒认为论文的选题意义重大， 但要使理论无懈可击还必须做另外一些动物实验。９月底他到夏特里（Charité )医院做实习外科医生，这是 一件费时而又繁忙的工作，但亥姆霍兹认为这是非常有趣和有益的工作。与此同时，他还挤时间 十九世纪下半叶的德国已成为世界科学中心，其科学界真可谓群星灿烂、人才辈出。亥姆霍兹正是这 个科学家群体中的一颗光彩照人的巨星。 他既有渊博的知识， 又具有融实验家和理论家为一体的非凡天才， 在其所涉猎的许多领域中都作出了杰出的贡献。为此，医学、生理学、化学、物理学、数学、哲学、美学 等学科都为拥有亥姆霍兹而倍感光荣。 他的科学贡献之大，仅从亥姆霍兹微分方程、亥姆霍兹方程、亥姆霍兹双电层、亥姆霍兹流动、亥姆 霍兹自由能、亥霍姆兹线圈、亥姆霍兹共鸣器、杨－亥姆霍兹三色学说，以及他的学生维恩（ W.Wien） 、 赫兹（H.Hertz） 、罗兰（H.Rowland） 、迈克耳逊（A.A.Michelson）等人就足见一斑。而他的科学和哲学思 想又是如此地丰富而深刻，以致现代西方哲学中的新康德主义、维也纳学派、弗洛伊德精神分析哲学等流 派都从他那里获得了使自身得以产生和发展的营养，并把他作为自己的主要拥护者和最出色的见证人。就 连马克思主义经典作家恩格斯、列宁也都曾对其科学和哲学思想作了认真研究，这是只有爱因斯坦等极少 数杰出人物才享有的殊荣。因此，认真研究亥姆霍兹的科学与哲学，对于我们全面而深刻地理解现代科学 与现代西方哲学的产生与发展有着极为重要的意义。 鉴于亥姆霍兹的科学与哲学思想之丰富而深刻，因此，本文将着力于他的科学生涯及其贡献的一般方面。 奇特的少年时代 １８２１年８月３１日，赫尔曼· 冯· 亥姆霍兹（Hermann Von Helmholtz）诞生于德国柏林附近的波茨坦 （Potsdam） 。 父亲Ａ．Ｆ．Ｊ．亥姆霍兹（August Ferdinand Julius Helmholtz）是波茨坦一所中学的教师。他兴趣广 泛， 对于绘画、 美学、 哲学、 语言学都有相当研究。 他常与朋友在一起谈论哲学问题， 著名哲学家Ｊ． Ｇ． 费 希特的儿子Ｉ．Ｈ．费希特就是他的挚友和家中常客。无论是作为一位教师还是一位父亲，他都尽心尽责 地履行着自己的义务。 母亲Ｆ． Ｃ． 彭妮 （Fraü lein CaralinePenne） 是汉诺威一位军官的女儿。 她性情温和、 天资聪颖，对每件事情的判断都十分朴实、清晰而富有启发，似乎有着一种透过现象而直视本质的直觉。 她把自己全部的精力都奉献给了持家和教育四个孩子这一平凡而伟大的事业。双亲的优良品格在亥姆霍兹 身上都得到了继承和发扬。 幼时的亥姆霍兹是一个体弱多病的孩子，每次生病都加重着父母的忧虑，然而庆幸的是每次他都得到 了良好的恢复。有一次，一位亲戚对他的父亲说：“你不要为儿子还没学到什么东西而忧伤，我肯定八岁前 不让他学什么将对他是有益的。洪堡（ A.von Humboldt）不是在八岁前还不知道什么吗，而现在他被国王 任命为科学院院长，有着阁下头衔和一大笔年薪。我预见你儿子也会这样的。”（ 〔１〕 ，ｐ．６） 。说不清 这是一种安慰，还是真的预见，这种奇迹果真在亥姆霍兹身上实现了。 由于体弱多病，他老是被限制在家里，时常是在床上看画册、玩积木游戏，对于这些他近乎达到了入 迷的地步。也正是通过这些，父母对他进行了精心的早期教育，以致他在小学时，在几何学课上所表现出 的超常的几何知识令老师们都感到吃惊，７岁入小学时，他身体仍不健壮，后经体育锻炼逐渐好转。 １８３２年，亥姆霍兹升入中学一年级。在班上他已能很轻松地跟上课程，对此他的老师也很满意。 尽管他的写字和家庭数学作业做的都不太令人满意，但他的自学能力，以及他对于自己感兴趣的问题所倾 注的热情和所具有的丰富的想象力，都受到了高度评价。也许是幼时多病所致，他的记忆力十分不好。对 他来说，单词、语法和成语的记忆是较难对付的，历史课更是他所不能及的，背诵散文对他来说简直是一 种折磨。然而奇怪的是，欣赏文学大师的诗作他并不感到困难，这也许是因为他那敏锐的审美鉴赏力的缘 故吧。在家时，父亲总是竭尽全力去唤起孩子们对于诗歌、艺术和音乐的美感，并把他们塑造成虔诚的爱 国者。 中学阶段的最初三年，亥姆霍兹主要学习语法和美学。二年级时他的课程又增加了数学和物理学。有 时他不在班上读西塞罗和维吉尔〔 （＊）ｂ〕 ，而在老师视力所不及的桌子下研究望远镜所涉及的光学问题 或学习一些光学原理，这些知识在他此后发明检眼镜时起了重要作用。 十五岁时，亥姆霍兹还是一个性情温和、沉默寡言的孩子。这时他的智力已得到了突飞猛进的发展，
第三章--热力学第一定律3(河北理工大学)
∆G (T2 ) − ∆G (T1 ) = − ∫ ∆SdT
T2 T1
§3.8 热力学第二定律在单组分系统相平衡 中的应用
• 克拉佩龙方程 • 固-液平衡、固-固平衡积分式 • 液-气、固-气平衡的蒸气压方程——克-克方程 —— -
1. 克拉佩龙方程
恒温恒压T，p 可逆相变 B(α) ∆Gm=0 dGm(α) B’(α ) 可逆相变 ∆G’m=0 B(β) dGm(β) B’(β )
3. 液-气、固-气平衡的蒸气压方程—克-克方程
对于液-气两相平衡，并假设气体为1mol理想气 体，将液体体积忽略不计，则
∆ vap H m dp ∆ vap H m = = dT TVm (g) T ( RT / p )
d ln p ∆ vap H m = dT RT 2
∆ 这就是Clausius-Clapeyron 方程， vap H m是摩尔气化热。
假定 ∆ vap H m 的值与温度无关，积分得：
∆ vap H m 1 1 p2 ln =− ( − ) p1 R T2 T1
这公式可用来计算不同温度下的蒸气压或摩尔蒸发热。
热力学第二定律的内容关联： 热力学第二定律的内容关联：
卡诺循环 热力学第二定律
热 力 学 第 一 定 律
熵，熵增原理
PVT
Ө $ m
恒容
$ Ө ∆ r Am Ө ∂( ) $ ∆ rU m T =− 2 ∂T T
• 麦克斯韦关系式
（不讲）
• 热力学函数关系式的推导和证明 （不讲）
3. 由基本方程计算纯物质pVT变化的∆A, ∆G
恒温 dT=0时，从热力学基本方程 dA= – SdT – pdV dG= – SdT+Vdp 得 dAT= – pdV dGT= Vdp 对于理想气体，将pV=nRT代入积分，有 ∆AT = –nRT ln(V2 /V1) ∆GT = nRT ln(p2 /p1) 两者相等。
第2章 化学热力学与无机合成 - 2012简明无机合成课件--西北大学材料学院
③ (CO,CO2) 线段位于金属氧化物线段之下的温度区间 内，CO可用于还原金属氧化物而本身被氧化为CO2。
2.2.3 Ellingham 图应用实例
还原金属氧化物的 Ellingham 图 m—表示熔化温度 b—表示沸腾温度 ●—是指元素 ○—是指氧化物 +是指相转变
G θ (CO, CO2 )
G θ (M, M xO)
如果这样，下列三个反应也至少有一个反应的标准Gibbs 自由能变必为负值，即反应是自发的：
(a) (d) M xO(s) C(s) xM(s或l) CO(g) G θ G θ (C, CO) G θ (M, M xO)
(b) (d) M xO(s) (1/ 2)C(s) xM(s或l) (1/ 2)CO2 (g)
1400℃
G1θ673
H
θ 298
TS
θ 298
(3388kJ mol1 16731.955kJ mol1)
117kJ mol10
反应A2Ca 3 (PO4 )2 (s) 10C(s) 6CaO(s) P4 (s) 10CO(g)
+
反应B
CaO (s) SiO 2 (s) CaSiO 3 (s)
西北大学硕士研究生和本科生高年级用教材
简明无机合成化学
CONCISE INORGANIC SYNTHESIS CHEMISTRY
西北大学化学与材料科学学院
COLLEGE OF CHEMISTRY & MATERIALS SCIENCE
第 2 章化学热力学与无机
合
本章引言
物理化学上册_天津大学第五章-第二部分
105KJ
mol1
(3)
ln
K2 K1
r
H
m
R
1 T2
1 T1
ln
K2 8.1109
105 103 8.314
1 298.15
1 373.15
K
2
1.631012
例题：
乙醇气相脱水可制备乙烯，其反应为：
C2H5OH (g) == C2H4(g) + H2O(g)，各物质298 K时
81.88 42.80
CO2(g)
-393.509
-394.359
213.74
37.11
解：碳酸钙的分解反应是： CaCO3(s) = CaO(s) + CO2(g)
由题给数据求得 T1 = 298.15 K 时碳酸钙分解反应
ΔrGm (T1 ) νBΔfGm B,T1 [(1128.79) (604.03)
B
K
n0
p /p
nB
νB nBνB
B
n0
p /p
nB
νB
Kn
由此式可见，在总压一定的条件下，加入惰性组分，n0 nB
增大 。若 B 0 ，将使 Kn 增大，故平衡向产物方向移动。 若 B 0，将使 Kn 减小，故平衡向反应物方向移动。
总之，加入惰性组分，相当于系统总压减少。
B
160.59J mol 1 K 1
得 ΔrGm (T1 ) Δr Hm T1 T1 Δr Sm T1
[178.321 298.15160.5910 3 ] kJ mol 1 130.441 kJ mol 1
碳酸钙的分解为两个纯固相，与一个气相参与的反应。要 求至少产生 100 kPa 的CO2(g)，所以平衡压力商
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吉布斯亥姆霍兹方程的推导过程
吉布斯亥姆霍兹方程是由美国数学家詹姆斯吉布斯亥姆霍兹于1771年提出的一个关于数学分析和微分方程的重要定理，它定义了曲线的切线，并可以用来推导曲线上点的泰勒展开式。
它可以被解释为连续点将曲线上的点连接起来，形成一个分析几何形状（如三角形，椭圆形等）的关键定理。
吉布斯-亥姆霍兹方程的形式如下：
$$f(x) = frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$
其中，f(x)为一个分量的梯度，f(x + h) - f(x)表示一段距离h之间的差值，h为曲线两点之间的距离，也是根据吉布斯-亥姆霍兹定理判断曲线的切线是否水平的参数。
在本文中，我们将介绍吉布斯-亥姆霍兹方程的推导过程。
们首先来看一下吉布斯-亥姆霍兹方程的一个直观解释，首先，它表明当一条曲线经过两点（即f (x)和f (x + h)）时，此曲线的切线的方向量只取决于此曲线的两个偏导数之差，而不受其他因素的影响。
另外，吉布斯-亥姆霍兹方程还可以用来推导曲线上点的泰勒展开式，而泰勒展开式经常用来表示曲线的近似形状，即曲线原本极其精细的形状，通过泰勒展开式可以用较少的项目进行近似表示。
现在我们来证明一下吉布斯-亥姆霍兹方程，首先，我们假设有一条曲线，它有以下函数表示：
$$f(x) = x^2 $$
此曲线的斜率可以表示为：
$$f(x) = frac{d}{dx} (x^2) = 2x $$
而根据吉布斯-亥姆霍兹方程，我们可以求得此曲线在两点间的
斜率为：
$$f(x) = frac{f(x+h) - f(x)}{h} = frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h$$
如果h趋近于0，则h 0，此时两点间的斜率变为2x，即在x处的导数值，即：
$$f(x) = 2x$$
由此可见，当h趋近于0时，吉布斯-亥姆霍兹方程的两边相等，也就证明了吉布斯-亥姆霍兹方程的正确性。
综上所述，吉布斯-亥姆霍兹方程可以用来推导曲线上点的泰勒
展开式，也可以表示曲线的切线方向量，这是一个非常精准和有用的定理。
虽然它只定义了曲线切线的表达方式，但它可以被用来求出曲线上点的梯度，从而可以用来研究曲线的几何形状。
因此，它可以用来研究各种现象和问题，包括力学、电磁学等的研究。
吉布斯-亥姆霍兹方程是一个关于曲线的重要定理，它定义了曲
线上点的泰勒展开式和切线的表达方式，可以用来求出曲线的梯度等，在微积分、分析几何以及其他研究领域有着非常重要的作用。