运筹学模型建立与分析1汇总
《运筹学》知识点全总结汇总
一、线性规划：基本概念1、下面的表格总结了两种产品A和B的关键信息以及生产所需的资源Q, R, S：资源每单位产品资源使用量可用资源产品A 产品BQ R S 213123224利润/单位3000美元2000美元满足所有线性规划假设。
（1）在电子表格上为这一问题建立线性规划模型；（2）用代数方法建立一个相同的模型；（3）用图解法求解这个模型。
5、普里默（Primo）保险公司引入了两种新产品：特殊风险保险和抵押。
每单位特殊风险保险的利润是5美元，每单位抵押是2美元。
管理层希望确定新产品的销售量使得总期望利润最大。
工作的要求如下：部门单位工时可使用工时特殊风险抵押承保管理索赔322124008001200（1）为这个问题在电子表格上建立一个线性规划模型并求解。
（2）用代数形式建立相同的模型。
8、拉尔夫·艾德蒙（Ralph Edmund）喜欢吃牛排和土豆，因此他决定将这两种食品作为正餐的全部（加上一些饮料和补充维生素的食品）。
拉尔夫意识到这不是最健康的膳食结构，因此他想要确定两种食品的食用量多少是合适的，以满足一些主要营养的需求。
他获得了以下营养和成本的信息：成分每份各种成分的克数每天需要量（克）牛排土豆碳水化合物蛋白质脂肪520151552≥50≥40≤60每份成本4美元 2美元拉尔夫想确定牛排和土豆所需要的份数（可能是小数），以最低的成本满足这些需求。
（1）为这个问题在电子表格上建立一个线性规划模型并求解。
（2）用代数形式建立相同的模型；（3）用图解法求解这个模型。
二、线性规划的what-if分析1、G.A.T公司的产品之一是一种新式玩具，该产品的估计单位利润为3美元。
因为该产品具有极大的需求，公司决定增加该产品原来每天1000件的生产量。
但是从卖主那里可以购得的玩具配件（A,B）是有限的。
每一玩具需要两个A类配件，而卖主只能将其供应量从现在的每天2000增加到3000。
同时，每一玩具需要一个B类的配件，但卖主却无法增加目前每天1000的供应量。
第二章——运筹学建模方法
1第二章、运筹学建模方法综述2定义问题和收集数据 数学建模模型求解 检验模型 准备应用模型 实施3运筹学研究小组首先要做的是研究相关系统，并使被研究的问题得到明确的说明。
包括确定合适的目标、实际的限制条件、研究领域和组织的其他领域间的相互关系、可选择的行动路线、制定决策的时间限制等。
2.1定义问题和收集数据4针对美国企业的大量调查发现，管理层趋向于采取满意利润目标和其他目标相结合的方式代替长期收益最大化。
典型地，其他目标包括维持稳定收益、增加市场份额、实现产品多样化、维持稳定价格、提高员工士气、维持企业的家族控制以及提高企业声望。
另外，存在包含与盈利动机不相吻合的社会责任的其他考虑。
2.1定义问题和收集数据5商业企业一般涉及以下五个方面所用者（股东等），追求盈利员工，期望合理工资水平上的稳定雇佣 客户，期望以合理的价格获得可靠的产品 供应商，期望声誉以及产品的合理出售价格政府以及国家，期望公正的税收和考虑国家利益6例：在为旧金山警察局所开展的运筹学研究中，建立了一个优化调度和配置巡警的计算机系统。
这个新系统每年为警察局节约1100万美元，同时增加了300万美元的交通管理收入，并且将反映时间减少了20%。
在评估该项研究的合适目标时，确定了三个基本目标：(1). 维持高水平的居民安全(2). 维持高水平的警员士气(3). 最小化运作成本7收集数据通常，研究小组会花费大量的时间收集问题的数据。
大部分数据既用于获得对问题的充分理解，又为下一阶段研究建立的数学模型提供所需的输入。
82.2 数学建模商业问题的数学模型，是描述问题实质的方程和相关数学表达式的系统。
n 个相关的可量化的决策，称为决策变量(decision variables)(x 1, x 2, …x n )绩效（如收益）的合理度量被表示成这些决策变量的数学函数（例如，P =3x 1+2x 2+…+5x n ），这个函数称为目标函数(objective function)9 任何对决策变量值的约束也能够被数学表示，通常是通过等式或不等式（例如：x 1+3x 1x 2+2x 2≤10），这些用于限制的数学表达式称为约束(constraints)。
运筹学第3章：运输问题-数学模型及其解法
整数规划模型
01
整数规划模型是线性规划模型 的扩展，它要求所有变量都是 整数。
02
整数规划模型适用于解决离散 变量问题，例如车辆路径问题 、排班问题等。
03
在运输问题中，整数规划模型 可以用于解决车辆调度、装载 等问题，以确保运输过程中的 成本和时间效益达到最优。
混合整数规划模型
混合整数规划模型是整数规划和线性规划的结合，它同时包含整数变量和 连续变量。
运筹学第3章：运输问题-数学模 型及其解法
目录
• 引言 • 运输问题的数学模型 • 运输问题的解法 • 运输问题的应用案例 • 结论
01 引言
运输问题的定义与重要性
定义
运输问题是一种线性规划问题，主要 解决如何将一定数量的资源（如货物 、人员等）从起始地点运送到目标地 点，以最小化总运输成本。
总结词
资源分配优化是运输问题在资源管理 领域的应用，主要解决如何将有限的 资源合理地分配到各个部门或项目， 以最大化整体效益。
详细描述
资源分配优化需要考虑资源的数量、 质量、成本等多个因素，通过建立运 输问题的数学模型，可以找到最优的 资源分配方案，提高资源利用效率， 最大化整体效益。
05 结论
运输问题的发展趋势与挑战
生产计划优化
总结词
生产计划优化是运输问题在生产领域的应用，主要解决如何合理安排生产计划， 满足市场需求的同时降低生产成本。
详细描述
生产计划优化需要考虑原材料的采购、产品的生产、成品的销售等多个环节，通 过建立运输问题的数学模型，可以找到最优的生产计划和调度方案，提高生产效 率，降低生产成本。
资源分配优化
发展趋势
随着物流行业的快速发展，运输问题变得越来越复杂，需要更高级的数学模型和算法来 解决。同时，随着大数据和人工智能技术的应用，运输问题的解决方案将更加智能化和
运筹学知识点总结
运筹学：应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。
第一章、线性规划的图解法1.基本概念线性规划：是一种解决在线性约束条件下追求最大或最小的线性目标函数的方法。
线性规划的三要素：变量或决策变量、目标函数、约束条件。
目标函数：是变量的线性函数。
约束条件：变量的线性等式或不等式。
可行解：满足所有约束条件的解称为该线性规划的可行解。
可行域：可行解的集合称为可行域。
最优解：使得目标函数值最大的可行解称为该线性规划的最优解。
唯一最优解、无穷最优解、无界解（可行域无界）或无可行解（可行域为空域）。
凸集：要求集合中任意两点的连线段落在这个集合中。
等值线：目标函数z，对于z的某一取值所得的直线上的每一点都具有相同的目标函数值，故称之为等值线。
松弛变量：对于“≤”约束条件，可增加一些代表没使用的资源或能力的变量，称之为松弛变量。
剩余变量：对于“≥”约束条件，可增加一些代表最低限约束的超过量的变量，称之为剩余变量。
2.线性规划的标准形式约束条件为等式（=）约束条件的常数项非负（b j≥0）决策变量非负（x j≥0）3.灵敏度分析：是在建立数学模型和求得最优解之后，研究线性规划的一些系数的变化对最优解产生什么影响。
4.目标函数中的系数c i的灵敏度分析目标函数的斜率在形成最优解顶点的两条直线的斜率之间变化时，最优解不变。
5.约束条件中常数项b i的灵敏度分析对偶价格：约束条件常数项中增加一个单位而使最优目标函数值得到改进的数量。
当某约束条件中的松弛变量（或剩余变量）不为零时，这个约束条件的对偶价格为零。
第二章、线性规划问题在工商管理中的应用1.人力资源分配问题（P41）设x i为第i班次开始上班的人数。
2.生产计划问题（P44）3.套材下料问题（P48）下料方案表（P48）设x i为按各下料方式下料的原材料数量。
4.配料问题（P49）设x ij为第i种产品需要第j种原料的量。
运筹学总结
1.运筹学发展史早期运筹学的使用人物：孙子阿基米德第二次世界大战发展得很快，战后从军事领域应用到经济、管理领域运筹学发展史上著名人物：苏联的康托洛维奇美国的丹杰格美国的冯·诺伊曼2.运筹学的概念和地位又叫决策科学、最优方案学等哲学位于最高层，研究对象为事和物自然科学是典型的研究物及其变化过程的科学人类社会也是物的一种，因此社会科学也属于研究物及其变化过程的科学运筹学就是研究事的科学，研究办事过程中的科学规律的科学3.运筹学研究的研究特点：以实际系统为研究对象(从实践中来到实践中去)多学科结合依靠计算机和数学模型为工具4.运筹学研究方法：系统分析和提出问题建立和改进数学模型求解和解的控制回到实践实施和检测效果5.线性规划：a. 问题的数学实质：求一个线性函数在满足一组线性等式或不等式条件下的极值问题b. 数学模型：由三部分构成：目标函数一组约束条件决策变量范围约束c. 线性规划都可以转换成一种标准形式，便于程序编制和统一求解方法标准化步骤：目标函数极大化约束条件不等式要等式化决策变量要正值化线性函数因为是多元奇对称的，所以min f(x)=-max f(x)松弛变量的作用：数学上来看，用于保证不等式等价于等式，随着不等式中的变量改变而改变在实际意义上，松弛变量为资源的剩余量，由于其不产生利润，故在目标函数中系数为0d.线性规划的图解法常在2个变量规划中使用，从平面解析几何的观点出发研究可行区域可行域是满足全部约束的点的集合，在空间上是一个凸多边形(两个变量为平面凸多边形，三个变量为凸多面体...)从解方程组来看，其可行区域对应非齐次方程组的通解由对应齐次方程组的通解和非齐次方程组的特解构成，有无穷多个解e.线性规划解的情况：无解(平面上没有可行区域)有唯一解(目标函数的最优值在可行区域的某个顶点达到)有无穷个解(目标函数的最优值在可行区域的某条边界线上达到)无界(目标函数的最优值在可行区域内可以向无穷大或无穷小发展)f.线性规划的约束矩阵和解：AX=b 中通常通过标准化后A矩阵为m*n(n>m)型，从中提取出不同的基B，令非基变量为0得到的基本解x=(B-1b 0)非基变量对应不生产的产品种类，其产量为0(非基变量值为0)，其利润为0(在目标函数中对应系数为0)，如果XB的所有元素值都大于0，此时称为基本可行解(产量都为正)基本可行解在图像上对应凸多边形的顶点，一般为有限个(基B的个数有限)，通过迭代可以找到最优解如果基变量B-1b中有0值，则称为退化，迭代会出现循环；B-1b如果全不为0，则称非退化g.单纯形方法：思想：先找一个基本可行解，然后判断是否为最优解，如果不是则沿着可行域的边找下一个更优基本可行解(非退化情况下通过迭代将严格改善解的情况) 典则式：基变量和目标函数用非基变量表出的形式称为该基的典则形式;通过典则式,目标函数可知要如何换基(注意：初始基变量对应的检验数一定要全为0才是典则式) 最优解的判别：针对标准线性规划的典则式求最大目标函数时，如果所有检验数都小于等于0，则当前解为最优解，否则继续迭代(注意：非基变量对应的检验数有0则再迭代一次判断是唯一解或无穷解)单纯形方法步骤(针对线性规划的标准形式max型)：先判断是否无界(存在一个正检验数，它对应的列小于等于0)再看是否有最优解(所有检验数小于等于0)，如果不是最优解，则继续往下进行选最大正检验数对应的非基变量进基(决定制造该类产品使收入增加最多)在列中正元素(正值才有实际意义)选择比值最小的元素(确定该类产品制造量的极限，同时确定出一个离基变量，即用完对应 "剩余资源")转轴元化1，将列中其他元素化0(得到新的典则式：找一个新基，目标函数和新基变量用非基变量表示)，判断是否为最优解(记住典则式的矩阵形式推导过程)(注意：统一选单位阵，即初等矩阵做为基，可将B-1的乘法转换为行变换)(两阶段法：用人工变量法得到单位阵，原问题有可行解的充要条件是辅助问题值为0) h.单纯形方法的解情况：由于从基本可行解出发可有三种：唯一解无穷解无界(无界判断条件：存在一个正检验数，它对应的列没有正数)(经过有限次迭代必然可以得到最优解：所有检验数都小于等于0)(迭代过程中如果后一个解和前一个解相同则有无穷个最优解:检验数为0)i.运用方案：资源有限，产品利润最大问题(以产品数目为决策变量)下料问题(产品使用不同的方案使得总的剩余料最小，决策变量是某方案的执行次数)配料问题(原料的配置比例也作为约束方程，总利润＝总毛利润－配料成本，每种产品的每种原料量为决策变量)连续投资(根据每年的投资额写方程，第一年全投，每个项目每年的额度为一个决策变量)人员排班(以某时段开始上班的人数为决策变量，注意工作时间与工作段的比例)仓库租用(注意前一个月的可能要算到后一个月租用的)共同点：做一件事情有多个方案，每个可能方案分配一定份额，用目标来得到最优值j.灵敏度分析：c的改变：如果是非基变量对应的价值量改变，则用原来的检验数减去改变量，再判断是否检验数仍小于0；如果是基变量对应的价值量改变，则用改变量乘以基变量对应行，再加到检验数，判断是否检验数都小于0b的改变：新的b'为B-1*b B-1可以直接在单纯型表上初始基变量处得到6. 线性规划的对偶理论a.对偶问题与原问题的模型对比：原问题为求最大则对偶问题为求最小右边向量和价值系数约束矩阵的转置原问题的约束条件符号与对偶问题的变量类型相同(max->min,min->max相反)原问题的变量类型与对偶问题的约束符号相反(max->min,min->max相反)b.原问题和对偶问题的典型应用：原问题是甲方寻求自身利益最大；对偶问题是乙方使得甲方利益最小，同时使得自身利益最大(对策论)投入产出及寻租模型营养配餐及营养素问题c.原问题和对偶问题的最优解相同：甲乙两方信息对称情况下，甲方最大收入等于乙方愿意提供的最小租金(弱对偶性) 即原问题的最优解和对偶问题的最优解互为上下界d.原问题和对偶问题的解的对应关系：原问题有最优解，对偶问题一定有最优解原问题有可行解对偶问题可能没有可行解原问题无界，对偶问题无可行解原问题无可行解，对偶问题可能是无界，也可能是无可行解达到最优解时的互补松弛定理：达到最优解时，严格不等式对应的对偶变量取0，严格等式对应的对偶变量非0，反之亦然e.影子价格的经济意义：影子价格就是对偶问题的最优解从系统理论来看：影子价格是考虑了系统状态(B-1)和价值取向(CB)下作出的资源最优配置，是动态的从数学角度来看：右边向量的变化引起目标函数最优解的变化(单位资源改变量的估价)，为对偶问题中y的取值影子价格的指导意义：在目标函数的导向下其资源价值最准确，它反映了资源在系统内的稀缺程度，真实价格和本系统内价值的差值拥有者在资源的影子价格高于实际价格时应该卖出，影子价格低于实际价格时应该买入；影子价格又叫单纯形乘子，程序编制中作为单纯形计算中的一个单元f.检验数的意义：从数学角度来看：非基变量的改变量引起目标函数的改变量由于非基变量代表资源剩余，优化后的结果是强迫充分利用，所以非基变量取值为0 g. 原问题的最后一张单纯形表上可以得到：达到最优解时，对偶问题的变量取值就是原问题中松弛变量对应的检验数取反对偶问题最优解(影子价格)的相反数(max min转换时要取反)h.求对偶问题的最优解方法(1).互补松弛定理：已知原问题或者对偶问题的最优解，可得到对偶问题或者原问题的最优解(2).对偶单纯形方法(min的价值系数本应都为负，这里针对min的价值系数都为正的情况)：对偶单纯型方法相当于将对偶问题min转换成原问题max，再利用单纯形方法求得最优解b向量必须保持为正，可能需要设置人工变量并用M法(min时在目标函数里取正) 多目标规划也可以用对偶单纯型方法，并且偏移变量总可以组成单位阵，无需人工变量(3).求原问题最优解：先写出原问题线性规划模型，利用单纯形方法迭代，在最后一张单纯形表上可以得到对偶最优解的负值(因为原问题有最优解则对偶问题一定有最优解)7.线性规划的敏感性分析(1)价值系数c的变化：几何意义：是目标函数代表的直线倾角变化经济意义：不改变最大收益条件下产品价格的改变(对应某些商品的打折、涨价等)当c是非基变量的系数时，减少不受限制，增加量不能超过检验数的负值(2)右边向量的变化：几何意义：可行区域的边界平移经济意义：可用资源量的变化将对目标函数影响8.整数规划典型应用：员工排班问题整数规划＝线性规划＋整数约束整数规划的分类：纯整数规划混合整数规划 01规划整数规划对应的线性规划称为该整数规划的松弛问题，松驰问题的最优解是对应整数规划最优解的上界(对标准线性规划)整数规划的可行域是对应松驰问题可行域的子集(凸多面体上的点集)求整数规划的错误思想：穷举法(运算量巨大) 四舍五入法(可能取值不在可行域，或取得的非最优)整数规划的最优解求法目前广泛应用的是分支定界法:从几何上来看：上下届修正的过程称为定界，每次定界就是通过加整数约束来进一步划分可行域从数据结构来看：定界分支法求整数解的过程就是搜索二叉树子节点的过程整数规划对应的松弛问题的最优解做为起始节点定界将原问题分成两个不相容的子问题，每个子问题成为一个子节点子节点的值相比父节点增加了"某个变量为整数"的约束，越接近整数解，但越远离松弛问题的最优解上界是所有探索过的节点中的最大目标函数值确定，下界由已找到的最大整数确定；剪枝：关闭目标函数值小于下界的节点从单纯形方法来看，每个节点就代表一次线性规划的求解过程，子节点的值总比父节点的值小01规划：01规划是特殊的整数规划，整数变量取值为0或101规划的应用典型：背包问题子集覆盖问题(学校、医院、消防站、雷达站等的架设) 固定费用问题01整数规划解法：1 min化成max2 所有系数化为正数x'=(1-x)代入3 约束条件里所有x都换成x'(一定要、)4 按正系数从小到大排列5 分支定界9.多目标规划:在线性规划的基础上引入偏差变量和优先权，得到的新的线性规划问题多目标规划是求目标函数最小的线性规划问题，应用对偶单纯型方法求解整数规划属于多目标规划的一种，是在线性规划问题上引入整数约束多目标来源：设备、台时、利润等得到的结果一般是满足前面几个目标的满意解多目标线性规划比一般线性规划更符合实际情况，但求解难度较大两变量的多目标规划可用图解法：图解法时d看成直线偏移量，按优先权先后满足约束条件直到不满足得到各个偏差变量的值di多变量的目标规划用单纯型法：将决策变量和偏差变量都看成单纯型表中的变量，注意检验数的优先级10.网络图论图的构成：由顶点和边构成图的分类：无向图G(N,E) N表示点node E表示无向边edge有向图G(N,A) N表示点node A表示有向弧arch简单图：没有圈、没有重边的图简单无向图：对某个顶点而言没有圈，对任意两点之间而言没有两条以上的边,但可以无边 m<=n(n-1)/2简单有向图：对某个顶点而言没有自身的回路，对任意两点之间而言没有两条以上的同向弧，但可以无弧m<=n(n-1)完全图：在简单图的基础上构成完全无向图：简单无向图的基础上，任意两点之间都有唯一一条边 m=n(n-1)/2完全有向图：简单有向图的基础上，任意两点之间都有唯一的两条弧，且方向相反 m=n(n-1)图的连通性：对无向图而言，图上所有顶点之间都可以连通，则称该图为连通图对有向图而言，图上所有顶点之间都可以连通，则称该图为强连通图对有向图而言，图上所有顶点之间至少都可以单向连通，则称该图为单向连通图图的关联矩阵：描述点和边之间的连接关系，不一定为方阵无向图的关联矩阵：行i表示点i，列表示图中存在的边i行1的个数表示顶点i的度数，每列1的个数都是2有向图的关联矩阵：行i表示点i，列表示图中存在的边i行非0元素的个数表示顶点i的度数(入度：-1的个数出度：1的个数)，每列仅有一个1和一个-1图的邻接矩阵：描述点和点之间的连接关系，一定是方阵无向图的邻接矩阵：行i和列j都表示图中的顶点，点i和点j之间如果直接相连则为1，不直接相连则为0行i中和列i中元素相同，都表示顶点i的度数方阵是对称矩阵，主对角线上元素都为0有向图的邻接矩阵：行i和列j都表示图中的顶点，有弧ij则为1，不直接相连则为0i行非0元素的个数为顶点i的出度，i列非零元素的个数为顶点i的入度完全有向图中，行i中和列i中元素相反；完全有向图中，方阵反对称，主对角线上的元素都为0图的子图与支撑子图：子图是从点角度出发的支撑子图是包括图中所有顶点的子图(点不可少，边可少)数树和支撑树：对n>=3的图，判定图为树的方法：树是无圈、连通子图有n-1条边且连通有n-1条边且无回路任意两点间有唯一路相连无回路，在任意两点之间加一条边则构成唯一回路支撑树是包含所有顶点的树，支撑树一定是支撑子图，反之不一定支撑树的特征：n个顶点n-1条边找支撑树的两种方法：破圈法(去边)和避圈法(选边)简单路和初级路：简单路：无重边可有重点的路初级路：无重点可有重边的路图论中的典型问题一：找最小支撑树方法：破圈法，从权值最大的开始去除，直到不含圈，此时有n-1条边剩下避圈法，从权值最小的开始选入，所有的边都不构成圈，此时有n-1条边入选典型问题二：指定两地间最短距离标号方法：已标点集和未标点集，(a,b)a是来源点，b是距离之和图论中的典型问题三：找最大最小流的标号法最大流的标号方法：一个一个点找下去，(a,b)a是来源点，b是流量的增量标号条件：前向弧可增加，后向弧可减少(最少为0) 取点集流量调整：由终点到起点找出增广链，前向弧加调整量，后向弧减调整量已达到最大流的判断：无法再找到新的增加量图论中的典型问题四：运输问题运输问题包括产销平衡、产大于销、销大于产三种，以产销平衡问题为基础运输问题中又包括含转运点与不含转运点两类运输问题的线性规划模型及单纯型算法、图模型、表上作业算法表上作业算法包括：伏格尔寻找解、位势法的两步判断、闭合回路法调整三步注意：由于运输问题是求目标函数最小值问题，所以检验数要全>=0才行在“量表”上调整量(基本解)，“价表”上调整价格范围图论中的典型问题五：指派问题指派问题既可以画出图，又可以看成是0-1整数规划问题指派问题的表上作业法：匈牙利算法，包括寻找最优解(划线)、判断(看最小划线的条数是否为n)、调整(选取未划去元素的最小值，+两次划去的元素-未划去的元素)11.决策分析决策分析是在不确定情况下，根据已知信息提高决策准确性的科学方法决策分析的过程：寻找可能方案与可能事件每个可能事件的概率(可列一张事件发生概率表)每个方案针对每个事件的损益值(得到列一张损益表)画出决策树，采用最大期望值原则逆向、比较得到决策最优路径通过调研或者咨询得到可能事件的后验概率利用效用理论或者灵敏度分析来辅助优化决策事件发生概率未知时的决策准则：用损益值表(列表示可能事件，行表示可能决策，以对角线为分界两端有规律)一般方法：乐观主义方法maxmax 悲观主义方法maxmin 折中主义方法(给每个可能事件定出概率) 等可能性方法较好方法：等可能最大期望值方法/最小机会损失方法(两种方法等效，最小机会损失法需要另外列一张机会损失表)决策过程的描述：决策树采用最大期望值准则决定最优路径包括要素：决策点(分支上含决策方向)、事件点(分支上含不同事件出现的概率)、决策树的终端损益值期望值从尾到头逆向传递到决策点，在每个事件点上标注最大期望值注意：EMV虽大，但可能亏损值很大的情况下，需要做调研来调整概率(后验概率修正主观概率)调研与后验概率：后验概率是在先验概率和附加信息的基础上得到的，能很大程度上提高决策准确性获得后验概率的方法：咨询，调研调研或咨询将产生一笔花费，将获得附加信息修正可能事件出现的概率调研或咨询得到的附加信息(信息)的价值，称为样本信息期望值EVSI：有附加信息的EMV－没有附加信息的EMV完全信息期望值EVPI：＝有EVPI的EMU(总为最优决策产生的EMV)－没有附加信息的EMV决策树里先画事件点，最后画决策点，逆向得到最大期望值EVPI表示附加信息的最大价值，总是高于样本信息价值EVPI不需要做调研或咨询就能直接得到效用曲线：根据每个人不同的风险喜好来制定不同效用曲线通过对比提问法得到某些点(有陪有赚点最好都有，取5个点)，再通过曲线拟合方法得到曲线将EMV按效用曲线转换成效用值，最大效用期望值对应保守者，最小效用期望值对应风险爱好者将决策树终端的损益值改成效用值得到的决策更符合决策人自身喜好12.对策论对策也叫博弈，对策论就是研究对策行为中斗争双方是否存在着最合理的行动方案，以及如何找到最合理行动方案的数学理论对策论的代表人物：冯·诺伊曼，纳什对策论分析的要素：局中人(可以是抽象的双方)，局中人的策略集，局势(含对应的赢得函数)对策论中最基础的模型是二人零合对策，其对策方法对局中人1来说为maxmin(赢得矩阵)，对局中人2来说为minmax(损失矩阵)非平衡局势的对策采用概率来决策，使用等式组得到结果，注意使用超优原则化简超优原则：行去掉小的，列去掉大的，最好能化为2*2矩阵*注意三种变量：松弛变量偏差变量人工变量偏差变量本质上就是松弛变量，人工变量必须加上M或者-M来约束以便得到初始B为单位阵13.排队论排队论又叫随机服务系统理论排队模型包括输入过程(需要知道到达时间间隔的概率分布)、排队规则(一般是先到先服务)、服务过程(需要知道服务时间的概率分布)排队论数学模型：X/Y/Z--X：相继到达的时间间隔分布 Y：服务时间的分布 Z服务台的数目排队论讨论的指标：队长n（包括在队列中等待服务的顾客数和正在被服务的顾客数）逗留时间等待时间当输入过程是泊松分布时，顾客相继到达的时间间隔服从负指数分布，服务时间也服从负指数分布。
《运筹学》复习资料整理总结
《运筹学》复习资料整理总结1. 建立线性规划模型的步骤。
确定决策变量 确定目标函数 确定约束条件方程2. 线性规划问题的特征。
都有一个追求的目标，这个目标可表示为一组变量的线性函数，按照问题的不同，追求的目标可以为最大，也可以为最小。
问题中有若干个约束条件，用来表示问题中的限制或要求，这些约束条件可以用线性等式或线性不等式表示。
问题中用一组决策变量来表示一种方案。
3. 线性规划问题标准型的特征。
4. 化标准型的方法。
123123123123min z 2+223-8340,0,x x x x x x x x x x x x =+-+=⎧⎪-+-≤⎨⎪≤≥⎩为自由变量123123123123min z 2+223-634,0,x x x x x x x x x x x x =+-+=⎧⎪-+-≥⎨⎪≥⎩为自由变量5. 基本解：令其余的变量取值为0，则得到Ax=b 的一个解y,称此解为线性规划问题的基本解。
6. 基本可行解：若基本解y 满足y ≥0,则称这个解为基本可行解。
7. 可行解：满足约束条件的解x=（x1、x2、……xn ）T 称为线性规划问题的可行解。
8. 最优解：函数达到最优的可行解叫做最优解。
9.图解法适合于变量个数为2个的线性规划问题。
10.单纯形法解线性规划问题如何确定初始基本可行解。
（1）约束条件为≤，先加入松弛变量x1、x2……xm后变为等式，取松弛变量为基本变量（2）约束条件为=，先加入人工变量xm+1、xm+2……xm+n，人工变量价值系数为m（3）约束条件为≥，先加入多于变量xn+1、xn+2……xm+n后变为等式，在添加人工变量xn+m+111.单纯形法最优解的检验准则。
（1）若基本可行解x’对应的典式的目标函数中非基变量的系数全部满足cN-cBB-1Pj≤0,则基本可行解x’为原问题的最优解。
（2）若基本可行解x’对应的典式的目标函数中所有非基变量的系数满足cN-cBB-1Pj≤0,且有一非基变量的系数满足Ck-Zk=0,则原问题有无穷多组最优解12.对目标函数为极小（min）型的线性规划问题，用单纯形法解的三种处理方法。
运筹学(1)
一、绪论§1 运筹学的简史运筹学作为科学名称出现于20世纪30年代末。
英、美对付德国空袭，采用雷达，技术上可行，实际运用不好用。
如何合理运用雷达？“运用研究”（Operational Research）,我国1956年用“运用学”名词，1957年正式定名为运筹学。
运筹学小组在英、美军队中成立，研究：护航舰队保护商船队的编队问题、当船队遭受德国潜艇攻击时如何使船队损失最小问题、反潜深水炸弹的合理爆炸深度（德国潜艇被摧毁数增到400%）、船只在受敌机攻击时的逃避方法（大船急转向、小船缓转向，中弹数由47%降到29%）。
运筹学组织在英、美军队（RAND）中成立，研究：战略性问题、未来武器系统的设计和合理运用方法、美国空军各种轰炸机系统的评价、未来武器系统和未来战争战略、苏联军事能力及未来预报、苏联政治局计划的行动原则和未来战争的战略、到底发展哪种洲际导弹（50年代）、战略力量的构成和数量（60年代）。
运筹学在工业、农业、经济、社会问题等领域有应用。
运筹数学：数学规划（线性规划（丹捷格（G.B.Dantzig）1947，单纯形法；康托洛维奇1939解乘数法，1960《最佳资源利用的经济计算》，诺贝尔奖；列昂节夫1932投入产出模型；冯.诺意曼）、非线性规划、整数规划、目标规则、动态规划、随机规划等）、图论与网络、排队论（随机服务系统理论）(丹麦工程师爱尔朗（Erlang）1917提出一些著名公式)、存贮论、对策论（冯.诺意曼和摩根斯坦，1944《对策论与经济行为》）、决策论、维修更新理论、搜索论、可靠性和质量管理等。
运筹学领域的诺贝尔奖得主：阿罗、萨谬尔逊、西蒙（经济学家）、多夫曼、胡尔威茨、勃拉凯特（Blackett,美，物理学家）。
运筹学会的建立：英国（1948年）、美国（1952年）、法国（1956年）、日本（1957年）、印度（1957年）、中国（1980年），38个国家和地区。
国际运筹学联合会（IFORS）的成立：1959年，英、美、法发起成立，中国1982年加入。
运筹学课程总结
运筹学课程总结⼀、运筹学简述（⼀）运筹学的定义运筹学是⼀门应⽤科学，⾄今还没有统⼀且确切的定义。
莫斯和⾦博尔曾对运筹学的定义是：“为决策机构在对其控制下业务活动进⾏决策时，提供以数量化为基础的科学⽅法。
”它强调科学⽅法，以量化为基础。
另⼀定义是：“运筹学是⼀门应⽤科学，它⼴泛应⽤现有的科学技术知识和数学⽅法，解决实际中提出的专门问题，为决策者选择最优决策提供定量依据。
”中国百科全书给出的定义是：“运筹学是⽤数学⽅法研究经济、民政和国防等部门在内外环境约束的条件下合理分配⼈⼒、物⼒、财⼒等资源，使实际系统有效运⾏的技术科学，它可以⽤来预测发展趋势，制定⾏动规划或优选可⾏⽅案。
”如论如何定义，都表明着，运筹学是为提供最优化⽅法、最佳解决⽅案的科学。
（⼆）运筹学的⼯作步骤1、建⽴数学模型：认清⽬标和约束；2、寻求可⾏⽅案：求解；3、评估各个⽅案：解的检验、灵敏度分析等；4、选择最优⽅案：决策；5、⽅案实施：回到实践中；6、后评估：考察问题是否得到完满解决。
（三）运筹学的应⽤运筹学在各个领域的应⽤⾮常⼴泛，主要有以下⼏个⽅⾯：1、⽣产计划：⽣产作业的计划、⽇程表的编排、合理下料、配料问题、物料管理等；2、库存管理：多种物资库存量的管理，库存⽅式、库存量等；3、运输问题：确定最⼩成本的运输线路、物资的调拨、运输、⼯具的调度以及建⼚地址的选择等；4、⼈事管理：对⼈员的需求和使⽤的预测，确定⼈员编制、⼈员合理分配，建⽴⼈才评价体系等；5、市场营销：⼴告预算、媒介选择、定价、产品开发与销售、计划制定等；6、财务和会计：预测、贷款、成本分析、定价、证券管理、现⾦管理等；7、设备维修、更新，项⽬选择、评价，⼯程优化设计与管理等⼆、运筹学相关理论与⽅法（⼀）线性规划1、简述线性规划是运筹学的⼀个重要分⽀，它是现代科学管理的重要⼿段之⼀，在合理利⽤⼀定规格的原材料、不同成分原材料的合理配⽐、运输⽅案的优化选择以及劳动⼒安排等⽅⾯有⾮常⼴泛的应⽤。
运筹学(简化)
第一部分 运筹学一、什么是运筹学？实例：一公司有：三个工厂：A 、B 、C 。
各工厂分别有140吨、120吨、50吨产品待运；三个仓库：甲、乙、丙。
甲库可存货60吨，乙库可存货100吨，丙库可存货150吨；直观思路：1、距离最短A －丙。
（140吨）； 2、B －丙。
（10吨）；依此类推。
可得调运方案：总吨公里数＝140＊1.5＋60＊12＋50＊13.5＋10＊3＋50＊4.5＝1860。
最佳方案：对该问题如果利用数学符号（即建立数学模型）来表示,可如下讨论：设工厂A 向仓库甲、乙、丙的调运吨数分别为11x 、12x 、13x ，工厂B 向仓库甲、乙、丙的调运吨数分别为21x 、22x 、23x ，工厂C 向仓库甲、乙、丙的调运吨数分别为31x 、32x 、33x ，则调运货物的总吨公里数（相当于运输费用）为33323133222113121195.4635.13125.169x x x x x x x x x z ++++++++=现在需要求该函数的最小值，而限制条件为：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥=++=++=++=++=++=++0,,,,,,,,1501006050120140333231232221131211332313322212312111333231232221131211x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x运筹学：以系统为研究对象，把系统的功能和特点用模型表示，通过对模型的定量分析，从总体上寻求最优策略，为决策和揭露新问题提供数量根据，并以研究结果的应用为目的，保证系统高效运行。
运筹学建立模型的最终目的是实现系统的最优化，帮助管理者作出正确的决策，使系统正常有效地运行。
这里的最优化是指在一定条件下求最优解（可以是求最大值，也可以是求最小值）。
运筹学研究系统的基本方法由以下5个阶段构成：第一阶段：观察所要研究的系统，确定存在的问题、影响问题的因素、约束、假设以及准备优化的目标。
运筹学复习资料(1)
运筹学复习一、单纯形方法（表格、人工变量、基础知识）线性规划解的情况：唯一最优解、多重最优解、无界解、无解。
其中，可行域无界，并不意味着目标函数值无界。
无界可行域对应着解的情况有：唯一最优解、多重最优解、无界解。
有界可行域对应唯一最优解和多重最优解两种情况。
线性规划解得基本性质有：满足线性规划约束条件的可行解集（可行域）构成一个凸多边形；凸多边形的顶点（极点）与基本可行解一一对应（即一个基本可行解对应一个顶点）；线性规划问题若有最优解，则最优解一定在凸多边形的某个顶点上取得。
单纯形法解决线性规划问题时，在换基迭代过程中，进基的非基变量的选择要利用比值法，这个方法是保证进基后的单纯型依然在解上可行。
换基迭代要求除了进基的非基变量外，其余非基变量全为零。
检验最优性的一个方法是在目标函数中，用非基变量表示基变量。
要求检验数全部小于等于零。
“当x1由0变到45/2时，x3首先变为0，故x3为退出基变量。
”这句话是最小比值法的一种通俗的说法，但是很有意义。
这里，x1为进基变量，x3为出基变量。
将约束方程化为每个方程只含一个基变量，目标函数表示成非基变量的函数。
单纯型原理的矩阵描述。
在单纯型原理的表格解法中，有一个有趣的现象就是，单纯型表中的某一列的组成的列向量等于它所在的单纯型矩阵的最初的基矩阵的m*m矩阵与其最初的那一列向量的乘积。
最初基变量对应的基矩阵的逆矩阵。
这个样子：'1222 1 0 -32580 1 010 0 158P B P -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦５１＝５所有的检验数均小于或等于零，有最优解。
但是如果出现非基变量的检验数为0，则有无穷多的最优解，这时应该继续迭代。
解的结果应该是：X *= a X 1*+(1-a)X 2* （0<=a<=1）说明：最优解有时不唯一，但最优值唯一；在实际应用中，有多种方案可供选择；当问题有两个不同的最优解时，问题有无穷多个最优解。
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运筹学模型练习与分析
一、线性规划模型
（要求：
1）建立下列问题的线性规划模型，使用运筹学软件进行求解；
2）写出问题的最优解及目标函数的最优值；
3）针对求解结果进行分析：各价值系数的范围、各个资源数量的变化范围；
4）哪些资源是紧缺资源？应采取哪些措施或对策进行改进？
）
1. 现有A、B、C三种类型的原煤，每种煤的技术指标和价格不同（见表1），现将三种煤混合生产配煤，配煤要达到的技术指标见表1，问如何混合费用最低？
表1
指标品种价格（元/吨）发热量（千卡/
公斤）
含硫量（%）
A B C 200
160
180
20
24
22
0.01
0.05
0.03
配煤21 0.025
2. 某公司已开发一种新型洗衣皂，广告部门正在制订宣传计划，决定使用电视、无线电广播和直接邮寄广告单等三种宣传手段。
广告费分别是：电视节目2600元，无线电节目1000元，直接邮寄广告单1500元。
可采用的各种方法的套数为：电视节目不超过12套，无线电节目不超过40套，直接邮寄不超过25套；并且无线电
至少要9套，直接邮寄广告单至少要5套。
每套广告宣传手段的有效覆盖量取决于该广告所达到的地区，这里先考虑两个区：一区内电视节目、无线电节目和直接邮寄广告单的有效覆盖量分别被限制为7万、10万和7.5万人；二区内的有效覆盖量大大增加，相应为65万、30万和45万人。
三种宣传手段相应每套广告对未婚人的覆盖量是10万、8万和9.5万人；每套广告对已婚人的覆盖量是40万、50万和25万人。
公司要求：从事广告活动的开支不得超过60000元。
一区覆盖量至少要达到250万人，二区覆盖量至少达到1000万人。
在未婚人中的覆盖量不超过350万人，已婚人中覆盖量至少为280万人。
试确定要作广告手段的最佳套数，以获得最大有效覆盖量。
3．某糖果厂用原料A，B，C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。
已知各种牌号糖果中A，B，C含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价见表2所示。
问该厂每月生产这三种牌号糖果各多少kg，使该厂获利最大？
表2
甲乙丙原料成本（元
/kg）每月限制用量（kg）
A B C ≥60%
≤20%
≥30%
≤50%
≤60% 2.00
1.50
1.00
2 000
2 500
1 200
加工费（元/kg）
售价（元/kg）0.50
3.40
0.40
2.85
0.30
2.25
4．某构件厂生产甲、乙两种商品混凝土拌合料，该厂每小时可以生产甲种混凝土拌合料14车，或生产乙种混凝土拌合料7车。
由于运输条件的限制，每小时可运输甲种混凝土拌合料7车，或运输乙种混凝土拌合料12车。
根据装车能力，每小时仅能装8车(装哪一种都行。
预计甲种混凝土拌合料每车价值60元，乙种混凝土拌合料每车价值100元，问该厂每小时应生产每种混凝土拌合料各多少车才能使产值最高？
5．某车间有两台机床甲和乙，可用于加工三种工件。
假定这两台机床的可用台时数分别为700和800，三种工件的数量分别为300，500和400，且已知用不同机床加工单位数量的不同工件所需的台时数和加工费用，问怎样分配机床的加工任务，才能既满足加工工件的要求，又使总加工费用最低？
机床类型单位工件
所需加工
台时
单位工件
的加工费
用
可用台时
数
工件1 工件2
工件3
工件1 工件2 工件3
甲0.4 1.1 1.0 13 9 10 700 乙0.5 1.2 1.3 11 12 8 800
6．某公司有四个农场，各农场的总耕地面积、最大水资源供应量、适合种植的农作物情况如以下两表所示。
由于水资源短缺，需统一调配水资源，为了平衡，规定每个农场受灌溉面积占农场总耕地面积的比例相同。
如何确定各农场种植各种植物的面积，使总收入最大？
农场耕地面积（亩）最大水资源供应量（吨）
1 4000 6000
2 6000 9000
3 5000 5500
4 4500 5000
农作物单位种植面积收入（元）单位面积耗水量
（吨）最大种植面积（亩）
棉花800 2 6000
玉米600 1.5 5500
高粱450 1 5000
7．某证券投资公司将1000万元资金用于证券投资，各投资证券的情况如表所示。
要求投资满足：国债投资额不能少于300万元；投资证券的平均评级不超过1.5；投资证券的平均到期年限不超过5年。
每种证券投资多少可以使税后收益最大？
证券代码证券类型评级到期年限每年税后收益（%）
A 地方债券 2 9 4.3
B 基金 2 12 4.4
C 国债 1 5 3.2
D 国债 1 4 3
E 地方债券 4 3 3.2
F 基金 5 4 4.5
8．某公司雇用多名话务员工作，他们每天连续工作3节、每节3个小时。
根据调查，对于不同的时间，由于业务量不同，需要的话务员的人数不等，公司付的薪水也不相同，相关数据如表所示。
如何安排话务员才能保证服务人数，又使公司总成本最低？
工作时间0-3点3-6点6-9点9-12点12-15点15-18点18-21点21-0点最少人数8 6 15 20 25 23 18 10
薪水26 30 28 22 20 20 22 24
9．某部门打算安排四人承担四个不同工作，每个工作由一个人完成。
经考核四人完成不同工作的成绩（百分制）如表所示。
A B C D
甲85927390
乙95877895
丙82837990
丁86908088
1）如何安排他们的工作使总成绩最好。
2）增加任务E（92,88,95,86），应如何安排？
3）在增加任务E的情况下，某人可以承担两项工作，则应如何指派？4）假设甲不能承担工作D、丙不能承担工作B，则应如何安排？。