理论力学各章小结

《理论力学》内容小结 第一章 质点运动学 一、运动的描述方法 1．参考系——描述物体运动时被选作参考的另一物体叫参考系。 2．运动与静止——相对于参照坐标系而言，运动质点的坐标是时间t的函数，如质点坐标为常数，则为静止。 3．运动学方程

（a）矢量形式)(trr (b)坐标形式 Ⅰ直角坐标)(1tfx，)(2tfy，)(3tfz

Ⅱ平面极坐标)(trr，)(t 4．轨道——运动质点在空间一连串所占据的点形成的连续曲线，其方程可由上述运动学方程消去t而得。 二、速度与加速度

1．矢量形式dtrdv，22ddddtratv 2．分量形式（平面） Ⅰ直角坐标 速度x，y；加速度x，y

Ⅱ平面极坐标 径向速度r，横向速度r；径向加速度2rr，横向加速度rr2 Ⅲ自然坐标 切向速度s，法向速度0；切向加速度s，tddv或sddvv，法向加速度2v 三、平动参考系 1．匀速直线运动参考系

vvv0（绝对速度＝牵连速度＋相对速度）

aa（绝对加速度＝相对加速度）

2．加速直线运动参考系

vvv0 aaa0（绝对加速度＝牵连加速度＋相对加速度）

第二章 质点动力学 一、质点运动微分方程 1． 自由质点

（a）矢量形式 ),,(trrFrm （b）分量形式 Ⅰ直角坐标 xFxm，yFym，zFzm Ⅱ平面极坐标 rFrrm)(2，Frrm)2( Ⅲ自然坐标 Ftmddv，nFm2v，bF0 2． 非自由质点——取消约束，代以约束范作用力，就可把非自由质点视为自由质点，再和约束方程联立求解。 3． 理想线约束

Ftmd

dv，nnRFm2v

二、功与能 1． 功 zFyFxFrFWzyBAxBAdddd是一个线积分，一般随路径而异 2． 能——物体作功的本领，功是能量变化的量度 3． 动能221vmEk，m是质点的质量，v是质点的速度 4． 势能 如VF，则力所作的功与路径无关，只与两端点的位置有关，这种力叫保守力，在保守力场中，函数),,(zyxV就是质点在),,(zyx点上相对于某一规定零点的势能。 三、质点动力学的几个基本定理与守恒定律 1． 动量定理与动量守恒定律

动量vmp

动量定理Ftmtpd)(dddv 动量守恒定律0F，p恒矢量，或1Cx，2Cy，3Cz 2． 角动量定理与角动量守恒定律 对一点的角动量prJ

力矩FrM

角动量定理 tJMdd 或 xyzxyzyFxFxyyxmtxFzFzxxzmtzFyFyzzymt)(dd)(dd)(dd 角动量守恒定律0M，J恒矢量，或 4Cyzzy

，5Czxxz，6Cxyyx 3． 动能定理与机械能守恒定律 动能定理 rFmEkd)21(dd2v

机械能守恒定律——对保守力成立，EVEk 第三章 质点系动力学 一、质点系 1． 质点系是由许多相互间存在作用的质点所组成的系统。 2． 内力和外力 质点系中质点间相互作用的力叫内力； 其他物体对质点系内质点的作用力叫外力； 质点系中任何两个质点间相互作用的内力满足牛顿第三运动定律，故对整个质点系而言，内力的总和为零，即

011)()(niijjiijiFF

对任意参考点，内力矩之和也为零，即 011)()(niijjiijijiFrM

3． 质心——质点系的全部质量可认为集中在某一点上，这点叫质点系的质心（刚体也是这样）。其直角坐标为



niiniiiCmxmx11，niiniiiCmymy11，niiniiiCmzmz11

对质量连续分布的系统而言，上式中的求和应改为积分。 二、动量定理与动量守恒定律 1． 质点系动量对时间的变化率等于作用在质点系上诸外力的矢量和，这关系叫质点系的动量定理，即

nieiniiiFmttp1)(1ddd

dv

2． 质心运动定理——质点系质心的运动，就好像一个质点的运动一样，此质点的质量等于质点系的质量，而作用在此质点上的力等于作用在质点系上所有诸外力的矢量和，即

nieiCFrm1)(



3． 动量守恒定律——质点系不受外力作用而运动或虽受外力作用，但外力矢量和等于零，则它的动量为一恒矢量。即01)(nieiF，则iniiCmmpvv1恒矢量。 三、质点系角动量定理与动量守恒定律 1． 质点系对惯性系中任一固定点O的角动量对时间的变化率，等于质点系所有外力对同一点的力矩的矢量和，这关系叫质点系的角动量定理，即

MFrmrttJnieiiniiii1)(1ddd

d

v

对质心来讲，角动量定理的表达式与对固定点相同。 2． 角动量守恒定律——质点系如不受外力作用，或虽受外力作用，但对某固定点的力矩的

矢量和为零，则对此固定点而言，角动量为一恒矢量，即如0M，则J恒矢量。 质点系动能定理与机械能守恒定律 1． 质点系动能的微分等于诸外力及诸内力所作元功之和，这关系叫质点系的动能定理，即

iniiiinieiniiikrFrFmEdd21dd1)(1)(12v

2． 柯尼希定理——质点系中各质点的动能为质点系全部质量集中在质心并随质心平动的动能及各质点对质心运动时动能之和，即

212212

1

iiniCkmmEvv

 3． 机械能守恒定律——如内力及外力都是保守力，则质点系的机械能守恒，即

EVEk。

四、变质量物体的运动 1．变质量物体的运动方程

a．Futmtm)(ddddvv

b．如0u，则Fmt)(d

dv

c．如vu，则Ftmddv 五、质心坐标系与实验室坐标系 1． 质心坐标系——以质心为原点的坐标系，在此坐标系中可观测散射（碰撞）之类问题，常为理论工作者所采用。 2． 实验室坐标系——以实验室作为参考系的坐标系，常为实验工作者所采用。 第四章 有心力作用下质点的运动 一、有心力 1． 力心——作用力恒通过的某一固定点叫力心。 2． 一般性质

ａ.有心力)(rF是保守力。

b．有心力的角动量守恒，mhmr2，即hr2常数，如为直角坐标系，则hxyyx。 c．质点受有心力作用，必在一平面上运动，这时用极坐标较方便。 3．轨道微分方程（比耐公式）

mFuuuh2222dd，ru1

4．平方反比引力——行星的运动 a.轨道方程——圆锥曲线，且原点在力心上。

)cos(21104222mkEh

khr

故偏心率2221khmEe，以此与圆锥曲线的标准式相比较，知0E，1e，轨道为椭圆；0E，1e，轨道为抛物线；0E，1e，轨道为双曲线。 5．开普勒定律 a．行星绕太阳作椭圆运动，太阳位于其中的一个焦点上。 b．行星和太阳之间的联线（矢径），在相等时间内所扫过的面积相等。 c．行星运行时，周期的平方和轨道的半长轴的立方成正比。 6．万有引力定律——可由牛顿定律和开普勒三定律推出。 7．宇宙速度

a．第一宇宙速度9.71grvkm/s，绕地球转。

b．第二宇宙速度2.1122grvkm/s，脱离地球的最小速度。 c．第三宇宙速度7.163vkm/s，脱离太阳系的最小速度。 二、两体问题 1． 两物体相互在引力作用下运动时，每一物体绕两者的质心作圆锥曲线运动，而此质心则作惯性运动。 2． 把物体看作不动，而把另一物体看成绕它作圆锥曲线运动时，可在利用动力学方程时

视后者的质量减小到，且Mm111，叫折合质量。

3． 开普勒第三定律的修正 2122322131/mMmMaa 第五章 刚体力学 一、刚体各种可能的运动 1．平动——刚体各点的速度和加速度相同，但不一定是直线运动，平动有3个独立变量，与质点同。 2．定轴运动——转动轴上诸点不动，其它各点都绕轴线上某点作圆周运动。定轴转动只有1个独立变量。 3．平行于一平面的运动——各点均始终在平行于某固定平面的平面内运动。可分解为平动及定轴转动的组合，故有3个独立变量。