湖南师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期月考(六)数学试卷Word版含答案
2022-2023学年人教A版高三上数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高三上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：115 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 已知集合， ，则集合（）A.B.C.D.2. 若，为实数，则""是“"的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 现有下列说法：①若相关指数越大，则模型的拟合效果越好；②设有一个回归方程，当变量增加个单位时，平均增加个单位；③线性回归方程必过点；④若相关系数满足越接近，则这两个变量相关性越强．其中正确的个数是（ ）A.B.C.D.4. 已知平面内的点满足不等式组，则的最大值为（）A.A ={x|lg(x −2)<1}B ={x|<<8}122x A ∩B =(2,12)(−1,3)(2,3)(−1,12)a b b <1a ab <1R 2=4−x y ˆx 1y 4=x +y ˆb ˆa ˆ(,)x ¯¯¯y ¯¯¯r |r|11234P (x,y) x −y +2≥0x +y −4≥02x −y −4≤0yx +133B.C.D. 5. 函数的图象大致为( )A.B.C.D.6. 复兴号动车组列车，是中国标准动车组的中文命名，由中国铁路总公司牵头组织研制、具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车．年月日，智能复兴号动车组在京张高铁实现时速自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小，我们用声强（单位：）表示声音在传播途径中每平方米上的声能流密度，声强级（单位：）与声强的函数关系式为，已知时，．若要将某列车的声强级降低，则该列车的声强应变为原声强的( )A.倍B.倍C.倍D.倍3287411f(x)=+cos x x 2x20191230CR400BF −C 350km I W/m 2L dB I L =10lg(aI)I =W/1013m 2L =10dB 30dB 10−210−310−410−57. 如图在 中，点是 内（不包含边界）任意一点，则 有可能是（ ）A.B.C.D.8. 已知函数为偶函数，当时，，且为奇函数，则 A.B.C.D.9. ， ， ，则，，的大小关系是（ ）A.B.C.D.10. 已知函数 ，的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则的取值范围是( )A.B.C.D.ΔABC D ΔABC AD −→−+23AB −→−12AC −→−+13AB −→−23AC −→−+12AB −→−12AC −→−+13AB −→−12AC −→−f(x)x ∈[−1,1]f(x)=1−x 2−−−−−√f(x +1)f()=212()12−12−3–√23–√2a =0.50.4b =0.3log 0.4c =0.4log 8a b c a <b <cc <b <ac <a <bb <c <af (x)= x ln x −2x,x >0，+x,x ≤0，x 232g(x)=kx −1f(x)y =−1g(x)k (,)1334(,)1234(,1)13(,1)12{}−2n =+2n (n ∈)+1N ∗11. 已知各项均为正数的数列满足，且若当且仅当时，取得最小值，且，则符合条件的实数组成的集合中的元素个数为( )A.B.C.D.12. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，，有，则 A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.已知等差数列的前项和为，，，则的最大值为________.14. 已知，则与的夹角为________．15. 已知，则的值为________． 16. 若在上单调，则实数的取值范围________，若对任意的，都存在，使得，则的取值范围________三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 5 分 ，共计35分 ）17. 已知函数＝，，）的部分图象如图所示．（）＝，（）＝，（）＝-．{}a n −2n =+2n (n ∈)a n+1a n N ∗>0.a 1n =3a n n sin()=0π2a 1a 13456f(x)φ(0<φ<)π2g(x)=sin 2x |f()−g()|=2x 1x 2x 1x 2|−=x 1x 2|min π3φ=()5π12π3π4π6{}a n n (n ∈)S n N ∗=4a 4=−2a 7S n |a|=|b|=2，(a +2b)⋅(a −b)=−2a b tan α=32sin αsin α+cos αf(x)={x +2,x <a,,x ≥ax 2R a <a x 1≥a x 2f()+f()=0x 1x 2a f(x)A sin(ωx +φ)(A >0ω>0|φ|<f f 0f（1）求的解析式；（2）将＝的图象先向右平移个单位，再将图象上的所有点横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数为＝，求＝在上的最大值与最小值．18. 已知数列的前项和为，，.求数列的通项公式；若，，求证：. 19. 锐角三角形 中，，，分别是角，，的对边，且．求;求 的取值范围．20. 已知函数，．求在区间上的极值点；证明：恰有个零点．21. 已知函数．求曲线在点处的切线方程；求函数的解集．22. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为求曲线的直角坐标方程；若两条互相垂直的直线都经过原点(两条直线与坐标轴都不重合)且与曲线分别交于点，(异于原点)，且，求这两条直线的直角坐标方程． 23. 已知关于的不等式有解，记实数的最大值为．求的值；正数，，满足，求证：．f(x)y f(x)y g(x)y g(x){}a n n S n =a 1233(n +1)−n =0S n S n+1(1){}a n (2)=b n 2a n+1S n S n+1n ∈N +++⋯+<3b 1b 2b n △ABC a b c A B C =2sin C −sin B sin B a cos B b cos A (1)A (2)b c f (x)=x sin x +cos x −1g(x)=−f (x)14x 2(1)f (x)(0,2π)(2)g(x)3f (x)=−ln x x 2(1)y =f (x)(1,f (1))(2)(x)>0f ′xOy O x C ρ=4sin θ.(1)C (2)C A B |OA|⋅|OB|=8x |x −2|−|x +3|≥|m +1|m M (1)M (2)a b c a +2b +c =M +≥11a +b 1b +c参考答案与试题解析2022-2023学年高中高三上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】C【考点】交集及其运算指、对数不等式的解法【解析】先求解集合，，再利用集合的运算求解即可.【解答】解：集合， ，则集合 .故选.2.【答案】D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】利用特值即可判断其充分性与必要性均不成立即可得解.【解答】解：当， 时，满足 ，但不成立，即充分性不成立；当，时，满足 ，但不成立，即必要性不成立；则“”是“”的既不充分也不必要条件.故选．3.【答案】CA B A ={x|lg(x −2)<1}={x|2<x <12}B ={x|<<8}122x ={x|−1<x <3}A ∩B =(2,3)C b =−2a =−1b <1a ab <1a =−1b =2ab <1b <1a b <1a ab <1D求解线性回归方程命题的真假判断与应用相关系数【解析】无【解答】解：①③④说法正确；对于②，回归方程，当变量增加个单位时，平均减少个单位，故②错误．故选．4.【答案】B【考点】简单线性规划求线性目标函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：点所表示的区域如图红色区域（由于图形区域限制，未能完全画出），一直延伸到和 的交点处，而的几何意义是到 的斜率．当为 与 的全时，斜率最大选画出图形，注意是指斜率故选：．5.=4−x yˆx 1y 1C P x −y +2>02x −y −4>0y x +1P (−1,0)P x −y +2>0x +y −4={⇒{x −y +2>0x +y −4>0x =1y =3∴==()y x +1max 31+132B y x +1BD【考点】函数奇偶性的性质函数的图象【解析】先判断函数奇函数，再求出即可判断【解答】解：由题意，得，则函数为奇函数，且关于原点对称，故排除选项，；当时，，故排除选项.故选.6.【答案】B【考点】函数模型的选择与应用对数及其运算【解析】无【解答】解：由已知得，解得，故．设某列车原来的声强级为，声强为，该列车的声强级降低后的声强级为，声强为，则，所以，解得．故选．7.【答案】D【考点】向量在几何中的应用f(1)f(−x)==−=−f(x)(−x +cos(−x))2−x +cos x x 2x f(x)A B x=1f(1)=1+cos 1>0C D 10=10lg(a ×)1013a =10−12L =10lg(×I)=10(−12+lgI)10−12L 1I 130dB L 2I 2−L 1L 2=10(−12+lg )−10(−12+lg )I 1I 2=10(lg −lg )I 1I 2=101g =30I 1I 2lg =3I 1I 2=I 2I 110−3B向量加减混合运算及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】8.【答案】C【考点】函数的周期性函数奇偶性的性质函数的求值【解析】此题暂无解析【解答】解：由为偶函数，得，由为奇函数，得f(x)f(−x)=f(x)f(x +1)f(1+x)=−f(1−x)f(x)=−f(2−x)，即，∴，则函数是周期为的周期函数，则.故选.9.【答案】C【考点】指数式、对数式的综合比较【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】D【考点】分段函数的应用【解析】作出函数与直线的图象有且仅有四个不同的交点，结合题目所给信息进行求解即可.【解答】解：因为函数 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上，而函数 关于直线的对称图象为，所以函数的图象与有且只有四个不同的交点，作出函数的图象与的图象如下，易知直线 恒过点 ，f(1+x)=−f(1−x)f(x)=−f(2−x)f(x)=f(−x)=−f(2+x)=f(4+x)f(x)4f()=f(−)=f()=−f()212323212=−=−1−14−−−−−√3–√2C f(x)y =−kx −1f (x)= x ln x −2x,x >0，+x,x ≤0，x 232y =−1g(x)g(x)=kx −1y =−1y =−kx −1f(x)={xln x −2x,x >0，+x,x ≤0，x 232y =−kx −1f(x)={xln x −2x,x >0，+x,x ≤0，x 232y =−kx −1y =−kx −1A (0,−1)AC y =x ln x −2x C (x,a ln x −2x)设直线与相切于点，则,故 ，解得，故，设直线与相切于点，，故 ，解得，可得，所以，解得 ，故选．11.【答案】C【考点】数列递推式数列的函数特性【解析】由题目所提供的递推公式利用累加法求得数列通项，再求得的取值，即可求解.【解答】解：数列 满足：，即 ，则 ，，，，(时该式成立 ).当时，当时，当时，当时取最小值，即解得.又，则满足条件的 为，，，， 共个元素.故选.AC y =x ln x −2x C (x,a ln x −2x)=ln x −1y ′ln x −1=x ln x −2x +1x x =1=−1k AC AB y =+x x 232B (x,−x)x 232=2x +y ′322x +=32+x +1x 232x x =−1=−2+=−k AB 3212−1<−k <−12<k <112D a 1{}a n −2n =+2n (n ∈)a n+1a n N ∗−=4n a n+1a n −=4(n −1)a n a n−1−=4(n −2)a n−1a n−2……−=4×1a 2a 1∴−=4[(n −1)+(n −2)+⋯+2+1]a n a 1=4×(n −1+1)(n −1)2=2(n −1)⋅n (n ≥2)∴=2−2n +a n n 2a 1n =1n =2=2×2+−2=+2a 22a 12a 12n =3=2×3+−2=+4a 33a 13a 13n =4=2×4+−2=+6a 44a 14a 14∵n =3a n ∴ >,a 22a 33>,a 44a 33 +2>+4,a 12a 13+6>+4,a 14a 1312<<24a 1∵sin()=0π2a 1a 114161820225C12.【答案】D【考点】三角函数的最值函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】利用三角函数的最值，求出自变量，的值，然后判断选项即可．【解答】解：因为将函数的周期为，函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象．若对满足的可知，两个函数的最大值与最小值的差为，有，不妨设：，，即在，取得最小值，，此时，，由于，不合题意；不妨设：，，即在，取得最小值，，此时，，当时，满足题意．故选．二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】等差数列的前n 项和等差数列的通项公式【解析】x 1x 2g(x)=sin 2x πφ(0<φ<)π2f(x)=sin(2x −2φ)|f()−g()|=2x 1x 22|−=x 1x 2|min π3=x 2π4=x 17π12f(x)=x 17π12sin(2×−2φ)=−17π12φ=+kπ5π6k ∈Z 0<φ<π2=x 2π4=−x 1π12f(x)=−x 1π12sin[2×(−)−2φ]=−1π12φ=−kππ6k ∈Z k =0φ=π6D 30n ≤6(n ∈)N ∗n >6(n ∈)N ∗S由题意得到时，，时，，则的最大值为.【解答】解：设数列的公差为，由题意可得：，∴，∴时，，时，，则的最大值为.故答案为：.14.【答案】【考点】平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析【解答】直接将，左边以内积的定义展开，代入即可得．15.【答案】【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答16.【答案】,【考点】二次函数的性质函数的值域及其求法n ≤6(n ∈)N ∗≥0a n n >6(n ∈)N ∗<0a n S n ==30S 66(−2+12+0)2d d ==−2−a 7a 47−4=+(n −4)d =4−2n +8=−2n +12a n a 4n ≤6(n ∈)N ∗≥0a n n >6(n ∈)N ∗<0a n S n ==30S 66(−2+12+0)230π3(a +2b)⋅(a −b)=−2|a|=|b|=2[2,+∞)(−∞,−2]函数的单调性及单调区间【解析】由函数在上是单调的，以及一次函数的单调性可得在上递增，可得，且，可得 的范围；由对任意的实数，总存在实数，使得，可得，即，可得 的范围．【解答】解：函数，若函数在上是单调的，由时，递增，可得在上递增，可得，且，解得；由对任意的实数，总存在实数，使得，可得，即，即有，可得．故答案为：，．三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 5 分 ，共计35分 ）17.【答案】观察图象，，∴＝＝，∵＝，∴可得＝．，解得＝．，∵，∴，∵，∴＝．∴．∵将图象右平移个单位，得到的图象，再将图象上的所有点横坐标变为原来的倍得到，∴当，∴，∴＝在上的最小值与最大值分别为．【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式三角函数的最值f(x)R f(x)R a ≥0a +2≤a 2a <a x 1≥a x 2f ()+f ()=0x 1x 2+2+=0x 1x 22−=+2≤0x 22x 1a f(x)={x +2,x <a ,x ≥ax 2f(x)R x<a f(x)=x +2f(x)R a ≥0a +2≤a 2a ≥2<a x 1≥a x 2f ()+f ()=0x 1x 2+2+=0x 1x 22−=+2≤0x 22x 1a +2≤0a ≤−2[2,+∞)(−∞,−2]ω2sin(2×+φ)02×+φkπk ∈Z φkπ−k ∈Z |φ|<A 2y g(x)（1）由题意可求，利用周期公式可求的值，由＝，结合范围，可求，由，可求的值，即可得解函数解析式．（2）根据三角函数图象的变换求出函数 的解析式，根据角的范围结合单调性求出最值．【解答】观察图象，，∴＝＝，∵＝，∴可得＝．，解得＝．，∵，∴，∵，∴＝．∴．∵将图象右平移个单位，得到的图象，再将图象上的所有点横坐标变为原来的倍得到，∴当，∴，∴＝在上的最小值与最大值分别为．18.【答案】解：由得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，于是，故，当时，，又当时，符合上式，所以，.证明：，.T ωsin(2×+φ)0|φ|<A g(x)ω2sin(2×+φ)02×+φkπk ∈Z φkπ−k ∈Z |φ|<A 2y g(x)(1)3(n +1)−n =0S n S n+1=3×S n+1n +1S n n {}S n n ==S 11a 1233=×=2⋅S n n 233n−13n−2=2n ⋅S n 3n−2n ≥2=−=2n ⋅−2(n −1)⋅=(4n +2)⋅a n S n S n−13n−23n−33n−3n =1=a 123=(4n +2)⋅a n 3n−3n ∈N +(2)===2(−)b n 2a n+1S n S n+12(−)S n+1S n S n S n+11S n 1S n+1++⋅⋅⋅+b 1b 2b n =2[(−)+(−)+⋅⋅⋅+(−)]1S 11S 21S 21S 31S n 1S n+1=2(−)<2×=31S 11S n+11S 1数列递推式等比数列的通项公式数列的求和【解析】首先构造等比数列，求出，再求出；利用裂项求和及放缩法得出答案.【解答】解：由得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，于是，故，当时，，又当时，符合上式，所以，.证明：，.19.【答案】解：由正弦定理得： ,化简得： ，可得 ，可得 ,可得．由正弦定理得：，因为为锐角三角形，所以 ,所以 ，可得 可得，可得 ．【考点】S n a n (1)3(n +1)−n =0S n S n+1=3×S n+1n +1Sn n{}S n n ==S 11a 1233=×=2⋅S n n 233n−13n−2=2n ⋅S n 3n−2n ≥2=−=2n ⋅−2(n −1)⋅=(4n +2)⋅a n S n S n−13n−23n−33n−3n =1=a 123=(4n +2)⋅a n 3n−3n ∈N+(2)===2(−)b n 2a n+1S n S n+12(−)S n+1S n S n S n+11S n 1S n+1++⋅⋅⋅+b 1b 2b n=2[(−)+(−)+⋅⋅⋅+(−)]1S 11S 21S 21S 31S n1S n+1=2(−)<2×=31S 11S n+11S 1(1)=2sin C −sin B sin B sin A cos Bsin B cos A 2sin C cos A −sin B cos A =sin A cos B 2sin C cos A =sin C cos A =12A =π3(2)===⋅+b c sinB sinC sin(−C)120∘sin C 3–√21tan C 12△ABC <C <30∘90∘tan C >3–√30<<1tan C3–√<⋅+<2123–√21tan C 12∈(,2)b c 12正切函数的定义域两角和与差的正弦公式正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：由正弦定理得：,化简得： ，可得 ，可得 ,可得．由正弦定理得：，因为为锐角三角形，所以 ,所以 ，可得 可得，可得 ．20.【答案】解：，令，得，或.当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增．故是的极大值点，是的极小值点．综上所述，在区间上的极大值点为，极小值点为.证明：.因为，所以是的一个零点．，所以为偶函数．即要确定在上的零点个数，只需确定时，的零点个数即可．当时，.(1)=2sin C −sin B sin B sin A cos B sin B cos A 2sin C cos A −sin B cos A =sin A cos B 2sin C cos A =sin C cos A =12A =π3(2)===⋅+b c sin B sin C sin(−C)120∘sin C 3–√21tan C 12△ABC <C <30∘90∘tan C >3–√30<<1tan C 3–√<⋅+<2123–√21tan C 12∈(,2)b c 12(1)(x)=x cos x(x ∈(0,2π))f ′(x)=0f ′x =π2x =3π2x ∈(0,)π2(x)>0f ′f (x)x ∈(,)π23π2(x)<0f ′f (x)x ∈(,2π)3π2(x)>0f ′f (x)x =π2f (x)x =3π2f (x)f (x)(0,2π)x =π2x =3π2(2)g(x)=−f (x)14x 2=+1−x sin x −cos x 14x 2(x ∈R)g(0)=0x =0g(x)g(−x)=+1−(−x)sin(−x)−cos(−x)(−x)24=+1−x sin x −cos x =g(x)14x 2g(x)g(x)R x >0g(x)x >0(x)=x −x cos x g ′12=x (1−2cos x)12x =1令，即，即或.时，，单调递减，又，所以；时，，单调递增，且，所以在区间内有唯一零点．当时，由于，，，而在区间内单调递增，，所以恒成立，故在区间内无零点，所以在区间内有一个零点.由于是偶函数，所以在区间内有一个零点，而，综上，恰有个零点．【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究函数的极值【解析】【解答】解：，令，得，或.当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增．故是的极大值点，是的极小值点．综上所述，在区间上的极大值点为，极小值点为.证明：.因为，所以是的一个零点．，所以为偶函数．(x)=0g ′cos x =12x =+2kππ3x =5π3+2kπ(k ∈N)x ∈(0,)π3(x)<0g ′g(x)g(0)=0g()<0π3x ∈(,π)π353(x)>0g ′g(x)g(π)=+π+>0532536π253–√612g(x)(0,π)53x ≥π53sin x ≤1cos x ≤1g(x)=+1−x sin x −cos x 14x 2≥+1−x −114x 2=−x =t (x)14x 2t (x)[π,+∞)53t (x)≥t (π)>053g(x)>0g(x)[π,+∞)53g(x)(0,+∞)g(x)g(x)(−∞,0)g(0)=0g(x)3(1)(x)=x cos x(x ∈(0,2π))f ′(x)=0f ′x =π2x =3π2x ∈(0,)π2(x)>0f ′f (x)x ∈(,)π23π2(x)<0f ′f (x)x ∈(,2π)3π2(x)>0f ′f (x)x =π2f (x)x =3π2f (x)f (x)(0,2π)x =π2x =3π2(2)g(x)=−f (x)14x 2=+1−x sin x −cos x 14x 2(x ∈R)g(0)=0x =0g(x)g(−x)=+1−(−x)sin(−x)−cos(−x)(−x)24=+1−x sin x −cos x =g(x)14x 2g(x)g(x)R g(x)即要确定在上的零点个数，只需确定时，的零点个数即可．当时，.令，即，即或.时，，单调递减，又，所以；时，，单调递增，且，所以在区间内有唯一零点．当时，由于，，，而在区间内单调递增，，所以恒成立，故在区间内无零点，所以在区间内有一个零点.由于是偶函数，所以在区间内有一个零点，而，综上，恰有个零点．21.【答案】解：依题意，函数的定义域为，且，∴， ，∴曲线在点处的切线方程为 ，即.依题意，函数的定义域为，且，令且，解得，故不等式的解集为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究不等式恒成立问题【解析】答案未提供解析．答案未提供解析．【解答】解：依题意，函数的定义域为，g(x)R x >0g(x)x >0(x)=x −x cos x g ′12=x (1−2cos x)12(x)=0g ′cos x =12x =+2kππ3x =5π3+2kπ(k ∈N)x ∈(0,)π3(x)<0g ′g(x)g(0)=0g()<0π3x ∈(,π)π353(x)>0g ′g(x)g(π)=+π+>0532536π253–√612g(x)(0,π)53x ≥π53sin x ≤1cos x ≤1g(x)=+1−x sin x −cos x 14x 2≥+1−x −114x 2=−x =t (x)14x 2t (x)[π,+∞)53t (x)≥t (π)>053g(x)>0g(x)[π,+∞)53g(x)(0,+∞)g(x)g(x)(−∞,0)g(0)=0g(x)3(1)f (x)=−ln x x 2(0,+∞)(x)=2x −f ′1x f (1)=−ln 1=112(1)=2−1=1f ′y =f (x)(1,f (1))y −1=x −1y =x (2)f (x)=−ln x x 2(0,+∞)(x)=2x −f ′1x (x)>0f ′x >0x >2–√2(x)>0f ′(,+∞)2–√2(1)(2)(1)f (x)=−ln x x 2(0,+∞)x)=2x −1且，∴， ，∴曲线在点处的切线方程为 ，即.依题意，函数的定义域为，且，令且，解得，故不等式的解集为．22.【答案】解：因为，所以，所以，故曲线的直角坐标方程为．不妨设其中一条直线的倾斜角为，则该直线的极坐标方程为，则另一条直线的极坐标方程为，将代入曲线的极坐标方程得，将代入曲线的极坐标方程得，则，所以，，故这两条直线的直角坐标方程分别为与．【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化直线与圆相交的性质【解析】【解答】解：因为，所以，所以，故曲线的直角坐标方程为．不妨设其中一条直线的倾斜角为，则该直线的极坐标方程为，则另一条直线的极坐标方程为，将代入曲线的极坐标方程得，将代入曲线的极坐标方程得，则，所以，，故这两条直线的直角坐标方程分别为与．(x)=2x −f ′1x f (1)=−ln 1=112(1)=2−1=1f ′y =f (x)(1,f (1))y −1=x −1y =x (2)f (x)=−ln x x 2(0,+∞)(x)=2x −f ′1x (x)>0f ′x >0x >2–√2(x)>0f ′(,+∞)2–√2(1)ρ=4sin θ=4ρsin θρ2+=4y x 2y 2C +(y −2=4x 2)2(2)α(0<α<)π2θ=αθ=α+π2θ=αC ρ=4sin αθ=α+π2C ρ=4cos α|OA|⋅|OB|=16sin αcos α=8sin 2α=1α=π4y =x y =−x (1)ρ=4sin θ=4ρsin θρ2+=4y x 2y 2C +(y −2=4x 2)2(2)α(0<α<)π2θ=αθ=α+π2θ=αC ρ=4sin αθ=α+π2C ρ=4cos α|OA|⋅|OB|=16sin αcos α=8sin 2α=1α=π4y =x y =−x23.【答案】解：由绝对值不等式得，若不等式有解，则满足，解得．∴．证明：由知正数，，满足足，即∴，当且仅当，即，即，时，取等号．∴成立．【考点】不等式的证明绝对值不等式的解法与证明绝对值三角不等式基本不等式在最值问题中的应用【解析】（1）根据绝对值不等式的性质进行转化求解．（2）利用的代换，结合基本不等式的性质进行证明即可．【解答】解：由绝对值不等式得，若不等式有解，则满足，解得．∴．证明：由知正数，，满足足，即∴(1)|x −2|−|x +3|≥|x −2−(x +3)|=5|x −2|−|x +3|≥|m +1||m +1|≤5−6≤m ≤4M =4(2)(1)a b c a +2b +c =4[(a +b)+(b +c)]=141+1a +b 1b +c =(1+1++)14b +c a +b a +bb +c ≥(2+2)14⋅b +c a +b a +bb +c−−−−−−−−−−−√≥×4=114=b +c a +b a +b b +c a +b =b +c =2a =c a +b =2+≥11a +b 1b +c 1(1)|x −2|−|x +3|≥|x −2−(x +3)|=5|x −2|−|x +3|≥|m +1||m +1|≤5−6≤m ≤4M =4(2)(1)a b c a +2b +c =4[(a +b)+(b +c)]=141+1a +b 1b +c=(1+1++)14b +c a +b a +bb +c (2+2)−−−−−−−−−−−，当且仅当，即，即，时，取等号．∴成立．≥(2+2)14⋅b +c a +b a +b b +c−−−−−−−−−−−√≥×4=114=b +c a +b a +b b +c a +b =b +c =2a =c a +b =2+≥11a +b 1b +c。
2022-2023学年湖南师范大学附属中学高三下学期考试卷(六)英语 Word版含答案
2022-2023-1师大附中高三上第六次月考英语时量：120分钟满分：150分第一部分听力（共两节，满分30分）略第二部分阅读（共两节，满分50分）第一节（共15小题；每小题2.5分，满分37.5分）阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中选出最佳选项。
AChicago Botanic GardenEvents☆Midwest Fruit ExplorersMarch 31—April 10, 1—4pmThe Midwest Fruit Explorers presents this hands-on workshop with step-by-step instructions on how to graft(嫁接) and care for fruit trees.☆Midwest Daffodil(水仙花) Society ShowApril 22—28, 10 am—4:30 pmThe Midwest Daffodil Society Show features hundreds of daffodils on display that will be judged by the society. The show includes floral(花卉的) design and photography competitions.☆Ikebana International ShowMay 11—19, 9 am—3:30 pm (Saturday & Sunday only)The Ikebana International Show presents an exhibition of traditional Japanese flower arranging.☆Gardeners of the North Shore Show & SaleThe Gardeners of the North Shore hosts this annual show.June 27—30, 9 am—4:30 pmThis show includes a judged exhibition with more than 500 entries of anything a home gardener can grow, including flowers, vegetables, herbs, and houseplants.☆Garden Tours & Trams(电车)Accessibility at the GardenService AnimalsService animals are welcome. No pets please.Electronic Convenience Vehicles (ECVs)They are available for rent in the Visitor Center on an unreserved, first-come first-served basis. The following fees apply: members $15, nonmembers $ 20. ECVs will not be rented for indoor use.WheelchairsWheelchairs are available free at the Information Desk in the Visitor Center.Daily Hours: 8 am—7 pmGarden View Cafe: 8 am—4 pmGarden Shop: 10 am—4 pm21. What can you do at the Midwest Fruit Explorers?A. Design flower patterns.B. Learn about tree planting.C. Buy some fruit at a good price.D. Take part in its photography competition.22. How much should a woman pay if she wants to take her twin boys aged 6 on a tram tour?A. $ 8.B. $ 14.C. $ 19.D. $ 20.23. What service can visitors enjoy in the garden?A. They can rent ECVs for indoor use.B. They can visit the garden with their pets.C. They can have free coffee from 8 am to 4 pm.D. They can use wheelchairs free of charge if they need to.BEveryone who knew anything about animals warned me against getting a rabbit in my early 20s, but I ignored them, and ended up with three. It tuns out that all the people who are against rabbits have a point: Rabbits get sick all the time, and there are very few vets who specialize in their care. My years with rabbits have been full of feeding, hurried trips to the vet, sleepless nights and begging for advice on the Internet.Now that my animals are old and weak now, I clear their waste and clean their legs with a rabbit-friendly shampoo. I spend a lot of time on the floor, because although my rabbits are hard to satisfy socially, they also hate to be picked up.I am often asked the question: Why rabbits? Why not a dog, or a cat? I try to describe what it’s like to be with them. I had never felt a real duty towards anything until I had my rabbits.My answers never satisfy anyone. I’m not sure about the question, either it so often implies instrumental value, as if the correct reply might be “They make good companions” or “They’re nice to look at”. I don’t have the right kind of reason. I don’t believe in the use value of any living thing. Like humans, animals just are —that’s it. Usually we do not look at other people and think about how to make them work for us. Yet so much of our way of seeing the world is founded on the assumption that animals are meant to serve a purpose. This seems wrong.After all these years with my rabbits, the only thing I know is that there is no lesson to be learned or value to be acquired. There’s just an effort to be made, and as far as I’m concerned, that’s what life is.24. Why do people oppose keeping rabbits?A. It’s very boring.B. It costs a fortune.C. It’s rather demanding.D. It makes the house messy.25. Which word can be used to describe the author?A. Considerate.B. Knowledgeable.C. Sociable.D. Energetic.26. What is the meaning of the underlined sentence in paragraph 4?A. Animals should be treated differently.B. Animals shouldn’t be judged on some purpose.C. The value of animals shouldn’t be ignored.D. Humans should live in harmony with animals.27. What effect does raising rabbits have on the author?A. He keeps being true to himself.B. He reflects on his life more deeply.C. He learns to value others’ opinions.D. He realizes the meaning of life.CScientists at the Massachusetts Institute of Technology(MIT, 麻省理工学院) have turned spider webs into music — creating a strange soundtrack that could help them better understand how the spiders output their complex creations and even how they communicate.The MIT team worked with Berlin-based artist Tomas Saraceno to take 2D (two-dimensional) laser scans of a spider web, which were linked together and made into a mathematical model that could recreate the web in 3D in VR (virtual reality). They also worked with MIT’s music department to create the virtual instrument.“Even though the web looks really random, there actually a re a lot of inside structures and you can visualize them and you can look at them, but it’s really hard to grasp for the human imagination or human brain to understand all these structural details,” said MIT engineering professor Markus Buehler, who presen ted the work on Monday at a virtual meeting of the American Chemical Society.Listening to the music while moving through the VR spider web lets you see and hear these structural changes and gives a better idea of how spiders see the world, Buehler told CNN. “Spiders use vibrations(振动) as a way to locate themselves, to communicate with other spiders and so the idea of thinking really like a spider would experience the world was something that was very important to us as spider material scientists,” he said.Spiders are able to build their webs without shelves or supports, so having a better idea of how they work could lead to the development of advanced new 3D printing techniques. “The reason why I did that is that I wanted to be able to get information real ly from the spider world, which is very weird and mysterious,” Buehler explained. In addition to the scientific value, Buehler said the webs are musically interesting and that you can hear the sounds the spider creates during construction. “It’s unusual and eerie and scary, but finally beautiful,” he described.28. What have MIT scientists done according to the passage?A. They have known how spiders communicate.B. They have translated spider webs into sounds.C. They have created a soundtrack to catch spiders.D. They have made a mathematical model to produce webs.29. What can we know about spider webs from paragraph 3?A. Their structures are beautiful and clear.B. They are complex for people to figure out.C. Professor Markus Buehler knows them well.D. The American Chemical Society presents the result.30. In which field will the study be helpful?A. Printing.B. Virtual reality.C. Painting.D. Film-making.31. What is the main idea of the passage?A. It explains why scientists did the experiment.B. It tells us that the music created by spiders is scary.C. It presents a new and creative way to study spiders.D. It shows how the researchers carry out the experiment.DNearly gone are the days when humans covered themselves with blankets to keep warm, and it’s now the age of covering glaciers with blankets to keep them cool because at the rate climate is changing, which seems like a very workable idea to keep them from melting.At a ski resort(度假胜地) in the Swiss Alps, the Swiss use blankets to protect the glacier from the warm climate. Gian Darms, who handles snow conditions at the ski resort, introduced this unique procedure. The blankets are being used to cover the top of the 10,623-foot Mount Titlis whose glacier has already melted in the last fewdecades and it is expected to disappear completely in the next 50 years due to global warming.Facing the great effect of climate change, resort employees have taken it upon themselves to protect the glacier from the heat and for this process, they spend about five to six weeks every summer covering parts of the glacier with specially protective wool. This helps to reflect the Sun’s energy back into the atmosphere and prevent the glacier from melting, while also preserving the already fallen snow on the glacier in the previous winter season. After the season passes, the employees remove the coating and fill in the gaps in the glacier’s surface with the snow — now that is some commitment to Mother Nature!This practice has been going on for a while now and the area of the glacier has increased to almost 100,000 square meters now. “We’ve been covering more and more in the last few years. Almost 30,000 square meters more is covered this year alone,” said Darms.The ski resort’s actions show how seve re the effect of climate change is on glaciers which have been melting at rapid rates in the past few years. Many different resorts have also started following suit to try to prevent them from melting. Saving an entire glacier is a completely different story. It is actually costly and potentially unfavorable to surrounding ecosystems. As a result, such blankets have only been applied mostly in an effort to preserve profitable ski runs.32. How is the topic introduced?A. By giving an example.B. By analyzing causes.C. By making a comparison.D. By describing a process.33. What does the underlined word “that” refer to in paragraph 3?A. Coating the glacier with special wool.B. Saving the glacier at the ski resort successfully.C. Taking action to slow down climate change.D. Using collected snow for the glacier’s openings.34. What is the author’s attitude towards the future of global glaciers?A. Opposed.B. Worried.C. Indifferent.D. Skeptical.35. What’s the best title for the text?A. Resort Cools Its Glacier with BlanketsB. Global Warming Threatens GlaciersC. Blankets Cover an Entire GlacierD. Glaciers Enter a Different Age Now第二节全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》（共5小题；每小题2.5分，满分12.5分）阅读下面短文，从短文后的选项中选出可以填入空白处的最佳选项。
湖南师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期月考(三)数学试题
（1）证明：
①AD平分∠BAC，
② ；
（2）若 ，求 的最大值．
19.汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素．我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：
年份
2017
2018
2019
2020
2021
年份代码
1
2
3
4
5
销量 万辆
10
12
17
20
26
（1）统计表明销量 与年份代码 有较强的线性相关关系，求 关于 的线性回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；
（2）为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业心随机调查了该地区200位购车车主的购车情况作为样本其中男性车主中购置传统燃油汽车的有 名，购置新能源汽车的有45名，女性车主中有20名购置传统燃油汽车．
14.已知定圆 ，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则点Q的轨迹：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．其中所有可能的结果有______个．
15.已知点O是△ABC的外心，a，b，c分别为内角A，B，C的对边， ，且 ，则 的值为________．
湖南师大附中2023届高三月考试卷（三）
数学
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围为（）
2022-2023学年人教A版高三上数学月考试卷含答案及解析105029.pdf)
2022-2023学年高中高三上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：95 分考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I（选择题）一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1. 已知复数z满足(1−2i)z=|1+2i|⋅(1−i)，则复数z的虚部为（ ）A.−√55B.−√55iC.√55D.−i2. 假设有两个分类变量X，Y，它们的可能取值分别为{x1,x2}，{y1,y2}，其2×2列联表如下，则选项中各组数据最有可能说明“X与Y有关系”的是( )y1y2总计x1a b a+bx2c d c+d总计a+c b+d a+b+c+dA.a=10,b=10,c=25,d=5B.a=15,b=10,c=10,d=15C.a=20,b=5,c=10,d=15D.a=25,b=10,c=5,d=103. 已知全集为R，集合A＝{x|2x≥1}，B＝{x|x2−3x+2<0}，则A∩∁R B＝（ ）A.{x|0≤x≤1}B.{x|0≤x≤1或x≥2}C.{x|1<x<2}D.{x|0≤x<1或x>2}4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某个零件的三视图，则这个零件的体积等于( )A.6πB.8πC.12πD.14π5. 函数f(x)=xln|x||x|的大致图象为( )A.B.C.D.6. 定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈[0,+∞)(x1≠x2)，有(x2−x1)[f(x2)−f(x1)]<0，则( )A.f(1)<f(−2)<f(3)B.f(3)<f(1)<f(−2)C.f（一2）<f(1)<f(3)D.f(3)<f(−2)<f(1)7. 《九章算术·商功》记载：斜解立方，得两堑堵．堑堵是指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，如图所示的堑堵AED−BFC中，点G在边BC上，且CG=2GB，AB=4，AD=AE=3，则直线EG与平面EFCD所成角的正弦值为( )A.√23B.√33C.2√3913D.√13138. 已知等比数列{a n}的前n项积为T n，若log2a3+log2a7＝2，则T9的值为（ ）A.±512B.512C.±1024D.10249. 已知a，b>0，ab=a+b+8，则ab的最小值为( )A.4B.8C.12D.1610. 若双曲线的一条渐近线被圆x2+y2−4y+2＝0所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为（ ）A.B.C.2D.11. 已知a=log32,b=20.1，c=sin789∘，则a，b，c的大小关系是（）A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a12. 已知点A，B，C在半径为5的球面上，且AB=AC=2√14，BC=2√7，P为球面上的动点，则三棱锥P−ABC体积的最大值为( )A.56√73B.52√73C.49√73D.14√73卷II（非选择题）二、填空题（本题共计 1 小题，共计5分）13. （5分） 如图所示，B ，C 是线段AD 的三等分点，分别以图中各点为起点或终点，与→AC 相等的向量是________．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）14. 已知等差数列{a n }中，a 3=8，a 6=17，d 为公差．(1)求a 1，d ；(2)设b n =a n +2n−1，求数列{b n }的前n 项和S n ． 15. 已知四棱锥P −ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，AC =AB ，平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为AB 的中点，F 为PD 的中点.(1)求证：AF//平面PCE ；(2)若平面PAD 与平面PCE 所成的锐二面角的余弦值为√155，求直线PD 与平面PCE 所成角的正弦值. 16. 为了解某地区某种农产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：x 23456y 86542已知x 和y 具有线性相关关系．(1)求¯x ，¯y ；(2)求y 关于x 的线性回归方程y =ˆbx +ˆa ；(3)若年产量为3.5吨，试预测该农产品的价格．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为ˆb =n∑i=1(x i −¯x)(y i −¯y )n∑i=1(x i −¯x )2，ˆa =¯y −ˆb ⋅¯x.17. 已知椭圆C 1的离心率为√63，一个焦点坐标为(0,2√2)，曲线C 2上任一点到点(94,0)和到直线x =−94的距离相等．(1)求椭圆C 1和曲线C 2的标准方程；(2)点P 为C 1和C 2的一个交点，过P 作直线l 交C 2于点Q ，交C 1于点R ，且Q ，R ，P 互不重合，若→PQ =→RP ，求直线l 与x 轴的交点坐标．18. 已知函数f(x)=(x +1)lnxx ，g(x)=ax −x ，F(x)=f(x)+g(x)，且f(x)与g(x)在x =1处切线的倾斜角互补．(1)求F(x)的单调区间；(2)求证：1+12+13+⋯+1n >ln(n +1)，(n ∈N ∗).19. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的普通方程是xsinα−ycosα=0(π2<α<π)，曲线C 1的参数方程是{x =2+2cosφy =2sinφ(φ为参数)，在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2sinθ.(1)写出l及C1的极坐标方程；(2)已知l与C1交于O，M两点，l与C2交于O，N两点，求|ON|2+|OM|的最大值.参考答案与试题解析2022-2023学年高中高三上数学月考试卷一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1.【答案】C【考点】复数代数形式的混合运算【解析】求出|1+2i|，分母实数化，求出z，从而求出z的虚部．【解答】解：∵(1−2i)z=|1+2i|⋅(1−i)，√5(1−i)1−2i=3√55+√55i，∴z=√55，∴复数z的虚部为：故选：C．2.【答案】C【考点】变量间的相关关系【解析】此题暂无解析【解答】解：比较各选项中|ad−bc|的值，A中，|50−250|=200，B中，|225−100|=125，C中，|300−50|=250，D中，|250−50|=200．故选C．3.【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】A【考点】由三视图求体积（组合型）【解析】本题考查了三视图的基本知识，属于基础题.【解答】解：通过三视图，可以看出这是一个由圆柱和圆锥拼接而成的几何体，上面是圆柱，下面是圆锥.V圆锥=π×12×2=2π，V圆锥=13π×22×3=4π，V总=V圆柱+V圆锥=2π+4π=6π.故选A.5.【答案】A【考点】函数奇偶性的性质函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：因为f(x)=xln|x||x|={lnx,x>0，−ln(−x),x<0，是奇函数，且当x>1时，f(x)>0.故选A.6.【答案】D【考点】函数单调性的性质【解析】由(x2−x1)[f(x2)−f(x1)]<0和函数单调性的定义判断出函数f(x)在[0,+∞)上单调递减，再由偶函数的关系式将f(−2)转化为f(2)，再由自变量的大小判断出三者的大小关系．【解答】解：由题意得，对任意的x1，x2∈[0,+∞)(x1≠x2),(x2−x1)[f(x2)−f(x1)]<0，∴f(x)在[0,+∞)上单调递减.∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(−2)=f(2).∵0<1<2<3，∴f(1)>f(2)>f(3).故选D.7.【答案】D【考点】棱柱的结构特征直线与平面所成的角【解析】由题可知EF⊥平面FBC，所以过点C作GH⊥FC于点H，连接EH，FC，EB，易知∠CEH为直线EG与平面EFCD所成的角，再求出该角对应的正弦值即可．【解答】解：由题可知EF⊥平面FBC，所以过点C作GH⊥FC于点H，连接EH，FC，EB，如图，则GH⊥EF,所以GH⊥平面EFCD，所以∠GEH为直线EG与平面EFCD所成的角．由CG=2GB，AB=4，AD=3，AE=3，可知BG=1，CG=2，√12+32=√10，所以FG=FC=3√2，在△FGC中，FC⋅GH=CG⋅FB，即CH=CG⋅FBFC=2×33√2=√2.又由题意知CB⊥平面ABFE，所以GB⊥EB，√EB2+GB2=√26,所以EG=所以sin∠GEH=GHEG=√2√26=√1313,故选D．8.【答案】B【考点】等比数列的性质【解析】利用已知条件求出a3a7的值，然后利用等比数列的性质求解T9的值．【解答】由log 2a 3+log 2a 7＝2可得：log 2(a 3a 7)＝2，可得：a 3a 7＝4，则a 5＝2或a 5＝−2（舍去负值），等比数列{a n }的前9项积为T 9＝a 1a 2...a 8a 9＝(a 5)9＝5(12)9.【答案】D【考点】基本不等式及其应用基本不等式在最值问题中的应用【解析】由均值不等式a +b ≥2√ab （当且仅当a =b 时等号成立））ab =a +b +8≥2√ab +8，即(√ab −4)(√ab +2)≥0，∴ab ≥16，当且仅当a =b =4时ab 取到最小值16 .【解答】解：由均值不等式，得a +b ≥2√ab ，（当且仅当a =b 时等号成立）则ab =a +b +8≥2√ab +8，即(√ab −4)(√ab +2)≥0，所以ab ≥16，当且仅当a =b =4时等号成立，此时ab 取到最小值，且最小值为16 .故选D.10.【答案】C【考点】双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】B【考点】指数式、对数式的综合比较【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】A【考点】柱体、锥体、台体的体积计算球内接多面体余弦定理【解析】利用数形结合以及转化的思想进行求解.【解答】解：如图所示，在△ABC 中，AB =AC =2√14，BC =2√7，由余弦定理可得cosA =AC 2+AB 2−BC 22⋅AC ⋅AB=(2√14)2+(2√14)2−(2√7)22×2√14×2√14=34，所以sinA =√1−cos 2A =√74.设△ABC 的外接圆半径为r ，所以2√72r =√74，即可得r =4.又因为S △ABC =12×2√14×2√14×√74=7√7为定值，所以当点P 距离平面ABC 越远，三棱锥P −ABC 的体积越大，所以当以△ABC 为底面的三棱锥P −ABC 的高过球心，其高最大.设球的半径为R ，则OB 2=(OP ′)2+(BP ′)2，所以R 2=(OP ′)2+r 2.由题意可知R =5，又因为r =4，解得OP ′=3，所以PP ′=3+R =8，三棱锥P −ABC 最大值为V P−ABC =13×S △ABC ×PP ′=13×7√7×8=56√73.故选A.二、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）13.【答案】→BD【考点】相等向量与相反向量向量在几何中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：设线段AD 的长度为3，则|→AC|=2，与→AC 的方向相同且模等于2的向量仅有→BD ．故答案为：→BD ．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）14.【答案】解：(1)由{a 3=a 1+2d =8，a 6=a 1+5d =17，解得：a 1=2，d =3．(2)由(1)可得a n =3n −1，所以b n =3n −1+2n−1，所以 S n =b 1+b 2+⋯+b n=[2+5+8+⋯+(3n −1)]+[1+21+22+⋯+2n−1]=n[2+(3n −1)]2+1−2n 1−2=3n 2+n2+2n −1=3n 2+n −22+2n .【考点】数列的求和等差数列的通项公式【解析】（1）设公差为d ，则得到{a 3=a 1+2d =8a 6=a 1+5d =17解得即可，（2）由（1）求出a n 的通项公式，得到b n 的通项公式，根据等差数列和等比数列的求和公式计算即可．【解答】解：(1)由{a 3=a 1+2d =8，a 6=a 1+5d =17，解得：a 1=2，d =3．(2)由(1)可得a n =3n −1，所以b n =3n −1+2n−1，所以 S n =b 1+b 2+⋯+b n=[2+5+8+⋯+(3n −1)]+[1+21+22+⋯+2n−1]=n[2+(3n −1)]2+1−2n 1−2=3n 2+n2+2n −1=3n 2+n −22+2n .15.【答案】(1)证明：取PC 的中点H ，连接EH,FH,∵E 为AB 的中点，ABCD 是边长为2的菱形，∴AE//CD ，且AE =12CD ，又F 为PD 的中点，∴FH//CD,FH =12CD ，{∴AE//FH ，AE=FH}，故四边形{AEHF}是平行四边形，{∴AF//EH}，又{∵AF\not\subset}平面{PCE,EH\subset}平面{PCE},{∴AF//}平面{PCE}.{(2)}解：∵平面{PAB ⊥}平面{ABCD}，平面{PAD ⊥}平面{ABCD},{∴PA ⊥}平面{ABCD}，以{BD}为{x}轴，{CA}为{y}轴，设{AC}与{BD}的交点为{O}，过{O}作平面{ABCD}的垂线为{z}轴，建立空间直角坐标系，如图：设{P A=m(m\gt 0)}.则{A(0,1,0), B(-\sqrt{3}, 0,0), C(0,-1,0),}{ D(\sqrt{3}, 0,0)}{P(0,1, m), E\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}, 0\right)}.设平面{PAD}的法向量{\overrightarrow{n}=(x ，y ，z),}{\overrightarrow{A P}=(0,0, m), \overrightarrow{A D}=(\sqrt{3},-1,0).}所以{\left\{\begin{array}{l}{m z=0} \\ {\sqrt{3} x-y=0}\end{array}\right.}，令{x=1，}所以{\overrightarrow{n}=(1,\sqrt{3},0)}设平面{PCE}的法向量为{\overrightarrow{m}=(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime})}，{\overrightarrow{E P}=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2}, m\right), \overrightarrow{P C}=(0,-2,-m),}所以{\left\{\begin{array}{l}{\dfrac{\sqrt{3}}{2} x^{\prime}+\dfrac{1}{2} y^{\prime}+m z^{\prime}=0} \\ {-2 y^{\prime}-m z^{\prime}=0}\end{array}\right.},令{z^{\prime}=2}，故{\overrightarrow{m}=(-\sqrt{3}m,-m,2)}.因为平面{PAD}与平面{PCE}所成的锐二面角的余弦值为{\dfrac{\sqrt{15}}{5}}，{\therefore | \cos <\overrightarrow{n}, \overrightarrow{m}>|}{=\dfrac{2 \sqrt{3} m}{2 \times \sqrt{4 m^{2}+4}}=\dfrac{\sqrt{15}}{5}}，解得：{m=2}，{\therefore \overrightarrow{P D}=(\sqrt{3},-1,-2), \overrightarrow{m}=(-2 \sqrt{3},-2,2)}，设直线{PD}与平面{PCE}所成角为{α}，{\therefore \sin \alpha=|\cos <\overrightarrow{P D}, \overrightarrow{m}>|}{=| \dfrac{-6+2-4}{\sqrt{8} \times \sqrt{20}}|=\dfrac{\sqrt{10}}{5}}.【考点】用空间向量求平面间的夹角直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】{(1)}证明：取{PC}的中点{H}，连接{EH,FH,}∵{E}为{AB}的中点，{ABCD}是边长为{2}的菱形，∴{AE//CD}，且{A E=\dfrac{1}{2} C D}，又{F}为{PD}的中点，{\therefore F H / / C D, F H=\dfrac{1}{2} C D}，{∴AE//FH，AE=FH}，故四边形{AEHF}是平行四边形，{∴AF//EH}，又{∵AF\not\subset}平面{PCE,EH\subset}平面{PCE},{∴AF//}平面{PCE}.{(2)}解：∵平面{PAB⊥}平面{ABCD}，平面{PAD⊥}平面{ABCD},{∴PA⊥}平面{ABCD}，以{BD}为{x}轴，{CA}为{y}轴，设{AC}与{BD}的交点为{O}，过{O}作平面{ABCD}的垂线为{z}轴，建立空间直角坐标系，如图：设{P A=m(m\gt 0)}.则{A(0,1,0), B(-\sqrt{3}, 0,0), C(0,-1,0),}{ D(\sqrt{3}, 0,0)}{P(0,1, m), E\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}, 0\right)}.设平面{PAD}的法向量{\overrightarrow{n}=(x，y，z),}{\overrightarrow{A P}=(0,0, m), \overrightarrow{A D}=(\sqrt{3},-1,0).}所以{\left\{\begin{array}{l}{m z=0} \\ {\sqrt{3} x-y=0}\end{array}\right.}，令{x=1，}所以{\overrightarrow{n}=(1,\sqrt{3},0)}设平面{PCE}的法向量为{\overrightarrow{m}=(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime})}，{\overrightarrow{E P}=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}, m\right), \overrightarrow{P C}=(0,-2,-m),}所以{\left\{\begin{array}{l}{\dfrac{\sqrt{3}}{2} x^{\prime}+\dfrac{1}{2} y^{\prime}+m z^{\prime}=0} \\ {-2 y^{\prime}-mz^{\prime}=0}\end{array}\right.},令{z^{\prime}=2}，故{\overrightarrow{m}=(-\sqrt{3}m,-m,2)}.因为平面{PAD}与平面{PCE}所成的锐二面角的余弦值为{\dfrac{\sqrt{15}}{5}}，{\therefore | \cos <\overrightarrow{n}, \overrightarrow{m}>|}{=\dfrac{2 \sqrt{3} m}{2 \times \sqrt{4 m^{2}+4}}=\dfrac{\sqrt{15}}{5}}，解得：{m=2}，{\therefore \overrightarrow{P D}=(\sqrt{3},-1,-2), \overrightarrow{m}=(-2 \sqrt{3},-2,2)}，设直线{PD}与平面{PCE}所成角为{α}，{\therefore \sin \alpha=|\cos <\overrightarrow{P D}, \overrightarrow{m}>|}{=| \dfrac{-6+2-4}{\sqrt{8} \times \sqrt{20}}|=\dfrac{\sqrt{10}}{5}}.16.【答案】解：{(1)}{\overline{x}=\dfrac{2+3+4+5+6}{5}=4}，{\overline{y}=\dfrac{8+6+5+4+2}{5}=5}.{(2)}由题意，{\sum\limits ^{n}_{i=1}\left(x_{i}-\overline {x}\right)\left(y_{i}-\overline {y}\right)=-14}，{\sum\limits ^{n}_{i=1}\left(x_{i}-\overline {x}\right)^{2}=10}，{\therefore \hat{b}=-1.4}，{\hat{a}=5-(-1.4)\times 4=10.6}，{\therefore} {y}关于{x}的线性回归方程为{y=-1.4x+10.6}.{(3)}当{x=3.5}时，{y=-1.4\times 3.5+10.6=5.7}，{\therefore}当年产量为{3.5}吨时，预计该农产品的价格为{5.7}千元/吨.【考点】众数、中位数、平均数、百分位数求解线性回归方程【解析】【解答】解：{(1)}{\overline{x}=\dfrac{2+3+4+5+6}{5}=4}，{\overline{y}=\dfrac{8+6+5+4+2}{5}=5}.{(2)}由题意，{\sum\limits ^{n}_{i=1}\left(x_{i}-\overline {x}\right)\left(y_{i}-\overline {y}\right)=-14}，{\sum\limits ^{n}_{i=1}\left(x_{i}-\overline {x}\right)^{2}=10}，{\therefore \hat{b}=-1.4}，{\hat{a}=5-(-1.4)\times 4=10.6}，{\therefore} {y}关于{x}的线性回归方程为{y=-1.4x+10.6}.{(3)}当{x=3.5}时，{y=-1.4\times 3.5+10.6=5.7}，{\therefore}当年产量为{3.5}吨时，预计该农产品的价格为{5.7}千元/吨.17.【答案】解：{(1)}设{C_{1}:\dfrac{x^{2}}{b^{2}}+\dfrac{y^{2}}{a^{2}}=1\left(a\gt b\gt 0\right)}，根据条件可知{\sqrt{a^{2}-b^{2}}=2\sqrt{2}}，且{\dfrac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}}，得{a^{2}=12, b^{2}=4}，所以{C_{1}}的标准方程为{\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{12}=1}．曲线{C_{2}}是以{\left(\dfrac{9}{4}, 0\right)}为焦点，{x=-\dfrac{9}{4}}为准线的抛物线，故{C_{2}}的标准方程为{y^{2}=9x}．{(2)}联立{\left\{ \begin{array} {l}{3x^{2}+y^2=12}, \\ {y^{2}=9x}, \end{array} \right.}解得{\left\{ \begin{array} {l}{x=1}, \\ {y=\pm 3},\end{array} \right.}不妨取{P\left(1, 3\right)}．若直线{l}的斜率不存在，{Q}和{R}重合，不符合条件，故可设直线{l:y=k\left(x-1\right)+3}，由题意可知{k\ne 0}，联立{\left\{ \begin{array} {l}{y=kx+3-k}, \\ {y^{2}=9x}, \end{array} \right.}可得{y_Q=\dfrac{9-3k}{k}}．联立{\left\{ \begin{array} {l}{y=kx+3-k}, \\ {3x^{2}+y^{2}=12}, \end{array} \right.}可得{y_{R}=\dfrac{9-3k^{2}-6k}{3+h^{2}}}，因为{\overrightarrow {PQ}=\overrightarrow {RP}}，所以{P}是{QR}的中点，所以{\dfrac{y_{Q}+y_{R}}{2}=3}，即{\dfrac{9-3k}{k}+\dfrac{9-3k^{2}-6k}{3+k^2}=6}．解得{k=1}，所以直线{l}的方程为{y=x+2}，其与{x}轴的交点坐标为{\left(-2, 0\right)}．【考点】抛物线的标准方程椭圆的标准方程圆锥曲线的综合问题【解析】本题考查椭圆和抛物线的标准方程和性质．{(Ⅱ)}答案未提供解析．【解答】解：{(1)}设{C_{1}:\dfrac{x^{2}}{b^{2}}+\dfrac{y^{2}}{a^{2}}=1\left(a\gt b\gt 0\right)}，根据条件可知{\sqrt{a^{2}-b^{2}}=2\sqrt{2}}，且{\dfrac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}}，得{a^{2}=12, b^{2}=4}，所以{C_{1}}的标准方程为{\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{12}=1}．曲线{C_{2}}是以{\left(\dfrac{9}{4}, 0\right)}为焦点，{x=-\dfrac{9}{4}}为准线的抛物线，故{C_{2}}的标准方程为{y^{2}=9x}．{(2)}联立{\left\{ \begin{array} {l}{3x^{2}+y^2=12}, \\ {y^{2}=9x}, \end{array} \right.}解得{\left\{ \begin{array} {l}{x=1}, \\ {y=\pm 3},\end{array} \right.}不妨取{P\left(1, 3\right)}．若直线{l}的斜率不存在，{Q}和{R}重合，不符合条件，故可设直线{l:y=k\left(x-1\right)+3}，由题意可知{k\ne 0}，联立{\left\{ \begin{array} {l}{y=kx+3-k}, \\ {y^{2}=9x}, \end{array} \right.}可得{y_Q=\dfrac{9-3k}{k}}．联立{\left\{ \begin{array} {l}{y=kx+3-k}, \\ {3x^{2}+y^{2}=12}, \end{array} \right.}可得{y_{R}=\dfrac{9-3k^{2}-6k}{3+h^{2}}}，因为{\overrightarrow {PQ}=\overrightarrow {RP}}，所以{P}是{QR}的中点，所以{\dfrac{y_{Q}+y_{R}}{2}=3}，即{\dfrac{9-3k}{k}+\dfrac{9-3k^{2}-6k}{3+k^2}=6}．解得{k=1}，所以直线{l}的方程为{y=x+2}，其与{x}轴的交点坐标为{\left(-2, 0\right)}．18.【答案】{(1)}解：由题意，知{f'\left(x\right)=\dfrac{x-\ln x+1}{x^2}}，{g'\left(x\right)=-\dfrac a{x^2}-1}，由于{f\left(x\right)}与{g\left(x\right)}在{x=1}处切线倾斜角互补，则{f'\left(1\right)=-g'\left(1\right)}，即{{\dfrac{1-\ln1+1}{1^2}}={\dfrac a1}+1} ，解得{a=1}，所以{F\left(x\right)={\dfrac{\left(x+1\right)\ln x}x}+{\dfrac1x}-x}，定义域为{\left(0,+\infty\right)}，则{F'\left(x\right)=\dfrac{x-\ln x+1}{x^2}-\dfrac1{x^2}-1=\dfrac{x-\ln x-x^2}{x^2}}.令{h(x)=x-\ln x-x^2}，{h'\left(x\right)=1-\dfrac1x-2x=\dfrac{-2\left(x-{\frac14}\right)^2-{\frac78}}x \lt 0}，所以{h\left(x\right)}在{\left(0,+\infty\right)}上单调递减.又{h\left(1\right)=0}，所以{F\left(x\right)}的单调递增区间为{\left(0,1\right)}，单调递减区间为{\left(1,+\infty\right)}.{(2)}证明：由{(1)}知{x=1}是函数{F\left(x\right)}的极大值点也是最大值点，所以{F\left(x\right)\leq F\left(1\right)=0} ,即{{\dfrac{\left(x+1\right)\ln x}x}+{\dfrac1x}-x\leq0}，即{{\dfrac{(x+1)\ln x}x}\leq{\dfrac{(x+1)(x-1)}x}}，又{x \gt 0}，所以{\ln x\leq x-1}，当且仅当{x=1}时取等号.令{x={\dfrac{n+1}n} \gt 1}，则{\ln{\dfrac{n+1}n} \lt {\dfrac{n+1}n}-1={\dfrac1n}}，所以{\ln{\dfrac21} \lt 1}，{\ln{\dfrac32} \lt {\dfrac12}} ，{\ln{\dfrac43} \lt {\dfrac13}}，{\cdots}，{\ln{\dfrac{n+1}n} \lt {\dfrac1n}}，以上各式相加，得{\ln2+\ln\dfrac32+\ln\dfrac43+...+\ln\dfrac{n+1}n }{\lt 1+\dfrac12+\dfrac13\cdots+\dfrac1n}，即{\ln\left(2\times\dfrac32\times\dfrac43\times \cdots \times\dfrac{n+1}n\right)}{=\ln(n+1) \lt 1+\dfrac12+\dfrac13\cdots+\dfrac1n}，所以原不等式得证.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性利用导数证明不等式【解析】(1)由题知{f'\left(1\right)=-g'\left(1\right)},解得{a=1},则{F\left(x\right)={\dfrac{\left(x+1\right)\ln x}x}+{\dfrac1x}-x},定义域为{\left(0,+\infty\right)},利用导数求解单调区间即可.（2）由（{1}）知{x=1}是函数{F\left(x\right)}的极大值点也是最大值点,{F\left(x\right)\leq F\left(1\right)=0},则{\ln x\leq x-1},令{x= {\dfrac{n+1}n} \gt 1},则{\ln{\dfrac{n+1}n} \lt {\dfrac{n+1}n}-1={\dfrac1n}},可得{\ln{\dfrac21} \lt 1,\ln{\dfrac32} \lt{\dfrac12}} ,{\ln{\dfrac43} \lt {\dfrac13}} ...{\ln{\dfrac{n+1}n} \lt {\dfrac1n}},以上各式相加,可证得结果.【解答】{(1)}解：由题意，知{f'\left(x\right)=\dfrac{x-\ln x+1}{x^2}}，{g'\left(x\right)=-\dfrac a{x^2}-1}，由于{f\left(x\right)}与{g\left(x\right)}在{x=1}处切线倾斜角互补，则{f'\left(1\right)=-g'\left(1\right)}，即{{\dfrac{1-\ln1+1}{1^2}}={\dfrac a1}+1} ，解得{a=1}，所以{F\left(x\right)={\dfrac{\left(x+1\right)\ln x}x}+{\dfrac1x}-x}，定义域为{\left(0,+\infty\right)}，则{F'\left(x\right)=\dfrac{x-\ln x+1}{x^2}-\dfrac1{x^2}-1=\dfrac{x-\ln x-x^2}{x^2}}.令{h(x)=x-\ln x-x^2}，{h'\left(x\right)=1-\dfrac1x-2x=\dfrac{-2\left(x-{\frac14}\right)^2-{\frac78}}x \lt 0}，所以{h\left(x\right)}在{\left(0,+\infty\right)}上单调递减.又{h\left(1\right)=0}，所以{F\left(x\right)}的单调递增区间为{\left(0,1\right)}，单调递减区间为{\left(1,+\infty\right)}.{(2)}证明：由{(1)}知{x=1}是函数{F\left(x\right)}的极大值点也是最大值点，所以{F\left(x\right)\leq F\left(1\right)=0} ,即{{\dfrac{\left(x+1\right)\ln x}x}+{\dfrac1x}-x\leq0}，即{{\dfrac{(x+1)\ln x}x}\leq{\dfrac{(x+1)(x-1)}x}}，又{x \gt 0}，所以{\ln x\leq x-1}，当且仅当{x=1}时取等号.令{x={\dfrac{n+1}n} \gt 1}，则{\ln{\dfrac{n+1}n} \lt {\dfrac{n+1}n}-1={\dfrac1n}}，所以{\ln{\dfrac21} \lt 1}，{\ln{\dfrac32} \lt {\dfrac12}} ，{\ln{\dfrac43} \lt {\dfrac13}}，{\cdots}，{\ln{\dfrac{n+1}n} \lt {\dfrac1n}}，以上各式相加，得{\ln2+\ln\dfrac32+\ln\dfrac43+...+\ln\dfrac{n+1}n }{\lt 1+\dfrac12+\dfrac13\cdots+\dfrac1n}，即{\ln\left(2\times\dfrac32\times\dfrac43\times \cdots \times\dfrac{n+1}n\right)}{=\ln(n+1) \lt 1+\dfrac12+\dfrac13\cdots+\dfrac1n}，所以原不等式得证.19.【答案】解：{\left ( {1} \right )}把{x=\rho {\rm cos} \theta, \quad y=\rho {\rm sin} \theta}代入直线{l}的方程得：{\rho {\rm cos} \theta {\rm sin} \alpha - \rho {\rm sin} \theta {\rm cos} \alpha=0}，整理得：{{\rm sin} (\theta-\alpha)=0}所以{l}极坐标方程是{\theta=\alpha(\rho \in \rm \textbf R, \dfrac{\pi}{2}\lt \alpha\lt \pi)}.{C_{1}}的普通方程是{x^{2}+y^{2}-4 x=0}，其极坐标方程是{\rho=4 {\rm cos} \theta}.{\left ( {2} \right )}{C_{1} : \rho=4 {\rm cos} \theta, \quad C_{2} : \rho=2 {\rm sin} \theta}，将{\theta=\alpha}分别代入{C_{1}，C_{2}}得{|O M|=-4 {\rm cos} \alpha, \quad|O N|=2 {\rm sin} \alpha}.所以{|O N|^{2}+|O M|=4 {\rm sin} ^{2} \alpha-4 {\rm cos} \alpha}{=-4 {\rm cos} ^{2} \alpha-4 {\rm cos} \alpha+4}{=-4({\rm cos} \alpha+\dfrac{1}{2})^{2}+5}又{\dfrac{\pi}{2}\lt \alpha\lt \pi}，所以{-1\lt {\rm cos}\alpha\lt 0}.所以，当{{\rm cos}\alpha=-\dfrac{1}{2}}时，即{\alpha=\dfrac{2\pi}{3}}时，{|O N|^{2}+|O M|}取得最大值{5}.【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化圆的参数方程直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化函数最值的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：{\left ( {1} \right )}把{x=\rho {\rm cos} \theta, \quad y=\rho {\rm sin} \theta}代入直线{l}的方程得：{\rho {\rm cos} \theta {\rm sin} \alpha - \rho {\rm sin} \theta {\rm cos} \alpha=0}，整理得：{{\rm sin} (\theta-\alpha)=0}所以{l}极坐标方程是{\theta=\alpha(\rho \in \rm \textbf R, \dfrac{\pi}{2}\lt \alpha\lt \pi)}. {C_{1}}的普通方程是{x^{2}+y^{2}-4 x=0}，其极坐标方程是{\rho=4 {\rm cos} \theta}.{\left ( {2} \right )}{C_{1} : \rho=4 {\rm cos} \theta, \quad C_{2} : \rho=2 {\rm sin} \theta}，将{\theta=\alpha}分别代入{C_{1}，C_{2}}得{|O M|=-4 {\rm cos} \alpha, \quad|O N|=2 {\rm sin} \alpha}.所以{|O N|^{2}+|O M|=4 {\rm sin} ^{2} \alpha-4 {\rm cos} \alpha}{=-4 {\rm cos} ^{2} \alpha-4 {\rm cos} \alpha+4}{=-4({\rm cos} \alpha+\dfrac{1}{2})^{2}+5}又{\dfrac{\pi}{2}\lt \alpha\lt \pi}，所以{-1\lt {\rm cos}\alpha\lt 0}.所以，当{{\rm cos}\alpha=-\dfrac{1}{2}}时，即{\alpha=\dfrac{2\pi}{3}}时，{|O N|^{2}+|O M|}取得最大值{5}.。
2022-2023学年人教A版高三上数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高三上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：115 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 已知集合，则（ ）A.B.C.D.2. 使得的展开式中含有常数项的最小的为( )A.B.C.D.3. 如图是某同学在高一次数学测试成绩的茎叶图，则下列结论正确的是( )A.该同学次数学成绩的众数为分B.该同学次数学成绩的平均分为分C.该同学次数学成绩的中位数为分D.该同学次数学成绩的极差为分A ={x|x −1≥0},B ={0,1.2}A ∩B ={0}{1}{1,2}{0,1,2}(n ∈)(3x +)1x x −√nN ∗n 456788768858858274. 点从出发，沿单位圆按顺时针方向运动弧长到达点，则的坐标为( )A.B.C.D. 5. 在 中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，.若，，，则的最小值为( )A.B.C.D.6. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）A.B.C.D.7. 某城市的汽车牌照号码由个英文字母后接个数字组成，其中个数字互不相同的牌照号码共有（ ）P (1,0)2π3Q Q (−,)123–√2(−,−)3–√212(−,−)123–√2(−,)3–√212△ABC P =3BP −→−PC −→−P AB AC M N =λAM −→−AB −→−=μAN −→−AC −→−(λ>0,μ>0)λ+μ+13–√2+12–√23252y =−xy =x 3y ＝−1xy =e x244124B.个C.个D.个8. 年月日日，第七届世界军人运动会在湖北武汉举办，中国代表团共获得金银铜，共枚奖牌．为了调查各国参赛人员对主办方的满意程度，研究人员随机抽取了名参赛运动员进行调查，所得数据如表所示：男性运动员女性运动员对主办方表示满意对主办方表示不满意现有如下说法：①在参与调查的名运动员中任取人，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为；②在犯错误的概率不超过的前提下可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；③没有的把握认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”．则正确命题的个数为（ ）附：，A.B.C.D.9. 已知等比数列的各项均为正数，满足，，记等比数列的前项和为，则当取得最大值时，( )A.或B.或C.或D.或10. 天气预报说，今后三天每天下雨的概率相同，现用随机模拟的方法预测三天中恰有两天下雨的概率，用骰子点数来产生随机数.依据每天下雨的概率，可规定投一次骰子出现点和点代表下雨；投A 226A 410(C 126)2104A 22610420191018−27133644223950020022050305001121%99.9%=K 2n(ad −bc)2(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)P(≥k)K 20.1000.0500.0100.001k 2.7063.8416.63510.8280123{}a n ⋅=16a 2a 16=+a 6a 7+a 3a 418a n n T n T n n =899101011111212，，，，，．则在此次随机模拟试验中，估计每天下雨的概率和三天中恰有两天下雨的概率的近似值分别为（ ）A.，B.，C.，D.，11. 已知函数，，则(等于( )A.B.C.D.12. 已知是定义域为的单调函数，若对任意的，都有，且方程＝在区间上有两解，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知复数，其中为虚数单位，则复数的模是________.14. 名同学排成一列，某个同学不排排头的排法种数为________（用数字作答）．15. 在半径为的圆上有，两点，且，在该圆上任取一点，则使为锐角三角形的概率为________.16. 数列的首项为，数列为等比数列且，若，则5614354432511543531238121813151329f(x)=a +b sin x +4(a,b ∈R)x 3f (lg(10))log 2=5f lg(lg2))−5−134f(x)(0,+∞)x ∈(0,+∞)f[f(x)+x]=4log 13|f(x)−3|−6+9x −4+a x 3x 2(0,3]a 0<a ≤5a <50<a <5a ≥5z =3−i 1+ii z 5a A B AB =a P △PAB {}a =1a {}b =b a n+1=b b 2018110三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 5 分 ，共计35分 ）17. 已知正项数列是等比数列，且，，成等差数列．求的通项公式；求数列的前项和.18. 某农场所对冬季昼夜温差大小与某反季大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了年月日至月日的每天昼夜温差与实验室每天每颗种子中的发芽数，得到如下表：日期12月日12月日12月日12月日12月日温差101113128该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取组，用剩下的组数据求线性回归方程，再对被选取的两组数据进行检验．求选取的组数据恰好是不相邻的天数据的概率：若选取的是月日与月日的两组数据，请根据月日至月日的数据，求出关于的线性回归方程；并预报当温差为时，种子发芽数．附：回归直线方程： ，其中 19. 在平面直角坐标系中，以为始边作角与，它们的终边与单位圆分别相交于点，已知点.求的值；若，求的值.20. 已知函数，．当时，求的最小值；函数，当时，证明：函数在上有两个零点． 21. 已知函数.讨论函数的单调性；对任意，求证：.22. 在直角坐标系 中，曲线的方程为，直线恒过定点，倾斜角为．求曲线和直线的参数方程；{}a n =a 1121a 2+21a 31a 4(1){}a n (2){n }a n n S n 201912112510012345C x ∘23(1)22(2)121125122124y x =x +y ˆb ˆa ˆC 14∘=x +y ˆb ˆaˆ=;=−b ˆ−n ∑i=1n x i y i xy ¯¯¯¯¯−n ∑i=1n x 2i x ¯¯¯2a ˆy ¯¯¯b ˆx ¯¯¯xOy Ox αβ(0<β<α<π)P,Q P (−,)4535(1)=1+sin 2α2α+2sin αcos αcos 2(2)⋅=−OP −→−OQ −→−13sin βf (x)=x −(m +1)ln x −3e g(x)=x ln x (1)m =0f (x)(2)h (x)=f (x)+mg(x)m >0h (x)(,e)1e f (x)=1+(a +1)x +ln x (1)f (x)(2)x >0+1+(a +1)x >f (x)2e x xe 2xOy C +=1x 24y 216l M(1,2)α(1)C l23. 已知函数.当，时，求不等式的解集；若，且函数的最小值为，求的值．f (x)=2|x +a|+|3x −b|(1)a =1b =0f (x)≥3|x|+1(2)a >0b >0f (x)23a +b参考答案与试题解析2022-2023学年高中高三上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解．∵，∴．故选．2.【答案】B【考点】二项展开式的特定项与特定系数【解析】此题暂无解析【解答】解：设的展开式的通项为，则，令得．又，∴当时，最小，即．故选．A ={x|x −1≥0}={x|x ≥1},B ={0,1,2}A ∩B ={x|x ≥1}∩{0,1,2}={1,2}C (n ∈)(3x +)1x x−√n N ∗T r+1==T r+13n−r C r n x n−r x −r 323n−r C r n x n−r 52n −r =052n =r 52n ∈N ∗r =2n =5n min BB【考点】茎叶图众数、中位数、平均数、百分位数极差、方差与标准差【解析】利用茎叶图、平均数、极差、众数、中位数的定义和性质直接求解．【解答】解：由茎叶图得：该同学次数学成绩的众数是，故不正确；该同学次数学成绩的平均分为分，故正确；该同学次数学成绩的中位数是： ，故错误．该同学次数学成绩的的极差是： ，故不正确；故选．4.【答案】C【考点】任意角的三角函数【解析】利用任意角的三角函数以及角的变换得解.【解答】解：设点的坐标为.由题意，得，.所以.故选.5.【答案】886A 8=8568+72+78+86+86+95+96+998B 8=8686+862C 899−68=31D B Q (x,y)x =cos(−)=−2π312y =sin(−π)=−sin(π−π)=−23233–√2Q (−,−)123–√2C向量的共线定理基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴,∴,∵,，∴,∵三点共线,,.当且仅当,即时等号成立.∴ 的最小值为.故选.6.【答案】B【考点】奇偶性与单调性的综合=3BP −→−PC −→−−=3(−)AP −→−AB −→−AC −→−AP −→−=+AP −→−14AB −→−34AC −→−=λAM −→−AB −→−=μAN −→−AC −→−=+AP −→−14λAM −→−34μAN −→−P,M,N ∴+=114λ34μ∴λ+μ=(λ+μ)(+)14λ34μ=+++1434μ4λ3λ4μ≥1+2⋅μ4λ3λ4μ−−−−−−−√=1+2×3–√4=1+3–√2=μ4λ3λ4μλ=,μ=1+3–√43+3–√4λ+μ+13–√2A由函数的奇偶性与单调性逐一判断即可．【解答】对于，为奇函数，但在上是减函数，不符合题意；对于，为奇函数，且在上是增函数，符合题意；对于，为奇函数，在和上单调递增，当在整个定义域内不是增函数，不符合题意；对于，为非奇非偶函数，不符合题意．7.【答案】A【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】先从个英文字母中选出个英文字母的方法数为，后接个数字组成的方法数为．8.【答案】C【考点】独立性检验【解析】依题意，对选项中的命题分析，计算概率值和观测值，对照临界值判断正误即可．【解答】依题意知，任取名参赛人员，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为，所以①错误；由表中数据，计算，所以在犯错误的概率不超过的前提下可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”，②正确；又，所以没有的把握认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”，③正A y =−x R B y =x 3R C y =−1x(−∞,0)(0,+∞)D y =e x 262()C 12624A 4101P ==20050025=≈5.952>2.076K 2×500(200×30−50×220)2250×250×420×801%5.952<6.63599.9%9.【答案】C【考点】等比中项等差数列的前n 项和【解析】根据，推断出，进而表示出和，联立方程求得公比，进而根据等比数列的通项公式求得，进而求得，然后令求得的范围，答案可得．【解答】解：∵，，∴可得，，，.时，，或时，取得最大值.故选10.【答案】C【考点】模拟方法估计概率【解析】本题考查随机事件的概率、古典概型.【解答】解：由古典概型的概率计算公式，知每天下雨的概率为；由所得到的组随机数，知三天中有两天下雨的概率为.故选.11.【答案】C=lg b n a n =a n 10b n a 3a 6q a n b n ≥0b n n ⋅=16a 2a 16=+a 6a 7+a 3a 418=4a 9q =12∴=2a 10=1a 11n >12<1a n ∴n =10n =11T n C.=261310=21015C【考点】函数奇偶性的性质函数的求值【解析】由题设条件可得出与互为相反数，再引入，使得，利用奇函数的性质即可得到关于（）的方程，解方程即可得出它的值【解答】解：∵，∴与互为相反数,则设，那么,令，即，此函数是一个奇函数，故，∴，,∴．故选．12.【答案】A【考点】函数的零点与方程根的关系利用导数研究函数的单调性【解析】由题设知必存在唯一的正实数，满足＝，＝，＝，故＝，＝，＝，左增，右减，有唯一解＝，故＝＝，由题意可得＝在区间上有两解，讨论＝的单调性和最值，分别画出作出，和＝的图象，通过平移即可得到的范围．【解答】∵定义域为的单调函数满足＝，∴必存在唯一的正实数，满足＝，＝，①∴＝，②由①②得：＝，＝，＝，左增，右减，有唯一解＝，lg(10)log 2lg(lg2)g(x)=a +b sin x x 3f(x)=g(x)+4f lg(lg2)lg(10)+lg(lg2)=lg1=0log 2lg(10)log 2lg(lg2)lg(10)=m log 2lg(lg2)=−m f(x)=g(x)+4g(x)=a +b sin x x 3g(−m)=−g(m)f(m)=g(m)+4=5g(m)=1f(−m)=g(−m)+4=−g(m)+4=3C a f(x)+x log 13a f(a)4f(a)+a log 13a 4+log a 13a a log 13a −4a (13)a−4a 3f(x)+log x 13a 3x ||log 13−6+9x −4+a x 3x 2(0,3]g(x)−6+9x −4+a x 3x 2y =x ||log 13y −6+9x −4x 3x 2a (0,+∞)f(x)f[f(x)+x]log 134a f(x)+x log 13a f(a)4f(a)+a log 13a 4+a log 13a a log 13a −4a (13)a−4a 3f(x)+x log故＝＝，＝，由方程＝在区间上有两解，即有＝，由＝，＝＝，当时，，递减；当时，，递增．在＝处取得最大值，＝，＝，分别作出，和＝的图象，可得两图象只有一个交点，将＝的图象向上平移，至经过点，有两个交点，由＝即＝，解得＝，当时，两图象有两个交点，即方程＝在区间上有两解．二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】复数的模复数代数形式的乘除运算【解析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，最后利用复数模的计算公式求模．【解答】解：，∴．故答案为：．14.【答案】【考点】分步乘法计数原理【解析】先排不在排头的这个学生，方法有种，其他学生任意排，有种，根据分步计数原理，求得结果．f(x)+x log 13a 3f(x)3−x log 13|f(x)−3|−6+9x −4+ax 3x 2(0,3]x ||log 13−6+9x −4+a x 3x 2g(x)−6+9x −4+a x 3x 2g'(x)3−12x +9x 23(x −1)(x −3)1<x <3g'(x)<0g(x)0<x <1g'(x)<0g(x)g(x)x 1a g(0)a −4g(3)a −4y =x ||log 13y −6+9x −4x 3x 2y −6+9x −4x 3x 2(3,1)g(3)1a −41a 50<a ≤5|f(x)−3|−6+9x −4+a x 3x 2(0,3]5–√z ====1−2i 3−i 1+i (3−i)(1−i)(1+i)(1−i)2−4i 2|z |==+(−212)2−−−−−−−−−√5–√5–√964A 44【解答】解：先排不在排头的这个学生，方法有种，其他学生任意排，有种，根据分步计数原理，所有的排列方法共有种，故答案为：．15.【答案】【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】无【解答】解：设圆心为，连接并延长交圆于点，连接并延长交圆于点，连接，，．因为，为直径，所以，当点在点或点处时， 为直角三角形，当点在点与点之间的劣弧上时，为锐角三角形，故使为锐角三角形的概率为.故答案为：.16.【答案】【考点】数列递推式等比数列的性质【解析】由已知结合，得到，结合及等比数列的性质求得．【解答】解：由，且，得，，4A 444⋅=96A 449616O AO C BO D BC AD CD AC BD ∠ABC =∠BAD =90∘P C D △ABP P C D △ABP △ABP 16162018=b n a n+1a n=...a 21b 1b 2b 20=b 10b 112018110a 21=b n a n+1a n =1a 1==b 1a 2a 1a 2=b 2a 3a 2==b b b∴，∴，．∴．∵数列为等比数列，∴．故答案为：．三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 5 分 ，共计35分 ）17.【答案】解：设数列的公比为．且，，成等差数列，，整理得，即，解得 .的通项公式为 .，,，两式相减得，.【考点】等比数列的通项公式等差数列的性质数列的求和【解析】==a 3a 2b 2b 1b 2==a 4a 3b 3b 1b 2b 3⋯=⋯a n b 1b 2b n−1=⋯a 21b 1b 2b 20{}b n =()()⋯()=(=2018a 21b 1b 20b 2b 19b 10b 112018110)102018(1){}a n q ∵=a 1121a 2+21a 31a 4∴+1q12=2(+2)112q 3112q 22−+2q −1=0q 3q 2(2q −1)(+1)=0q 2q =12∴{}a n =a n ()12n(2)∵n =n a n ()12n ∴=1×+2×+⋯+n S n 12()122()12n∴=1×+2×+⋯+(n −1)12S n ()122()123()12n +n()12n+1=+++⋯12S n 12()122()123+−()12nn()12n+1=−[1−]12()12n1−12n()12n+1=1−−()12nn()12n+1=1−(n +2)()12n+1∴=2−(n +2)S n ()12n1+2,111（1）设数列的公比为．由且成等差数列，得，整理得，解得 .的通项公式为 .【解答】解：设数列的公比为．且，，成等差数列，，整理得，即，解得 .的通项公式为 .，,，两式相减得，.18.【答案】；，．【考点】古典概型及其概率计算公式{}a n q =a 112,+2,1a 21a n 1a 4+1q 12=2+2112q 3 112q 22−+2q −1=0,(2q −1)(+1)=0q 3q 2q 2q =12{}a n =a n ()12n(1){}a n q ∵=a 1121a 2+21a 31a 4∴+1q 12=2(+2)112q 3112q 22−+2q −1=0q 3q 2(2q −1)(+1)=0q 2q =12∴{}a n =a n ()12n(2)∵n =n a n ()12n ∴=1×+2×+⋯+n S n 12()122()12n∴=1×+2×+⋯+(n −1)12S n ()122()123()12n +n()12n+1=+++⋯12S n 12()122()123+−()12nn()12n+1=−[1−]12()12n 1−12n()12n+1=1−−()12nn()12n+1=1−(n +2)()12n+1∴=2−(n +2)S n ()12n(1)35(2)=x −3y ˆ5232求解线性回归方程【解析】无无【解答】解：设抽取到不相邻的两组数据为事件，从组数据中选取组数据共有中情况：，，，，，，，，，，其中数字为月份的日期数，事件包含的基本事件有种，∴；根据所给数据求得，，，，所以关于的线性回归方程为x 当时，．19.【答案】解：由三角函数的定义得，，∴，∴原式．故所求值为.∵，，，故，∴，∵，∴，∴，∴(1)A 5210(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(4,5)12A 6P (A)=35(2)==12x ¯¯¯11+12+133==27y ¯¯¯25+30+263==2.5b ˆ−n ∑i=1n x i y i xy ¯¯¯¯¯−n ∑i=1n x 2i x ¯¯¯2=−=27−×12=−3a ˆy ¯¯¯b ˆx ¯¯¯52y x =x −3yˆ52x =14=×14−3=32yˆ52(1)cos α=−45sin α=35tan α==−sin αcos α34=1+sin 2α2α+2sin αcos αcos 2=(cos α+sin α)22cos α(cos α+sin α)=cos α+sin α2cos α=1+tan α2=−1238=1818(2)⋅=−OP −→−OQ −→−13=(cos α,sin α)OP −→−=(cos β,sin β)OQ −→−cos αcos β+sin αsin β=−13cos(α−β)=−130<β<a <π0<α−β<πsin(α−β)===1−(a −β)cos 2−−−−−−−−−−−−√1−19−−−−−√22–√3sin β=sin[(α−(α−β)]=sin αcos(α−β)−cos αsin(α−β)×(−)+×=2–√8−3–√.【考点】任意角的三角函数三角函数的恒等变换及化简求值三角函数中的恒等变换应用【解析】（1）由三角函数的定义得，∴原式．故所求值为.（2）∵，故，∴，∵，∴，∴，∴ . 【解答】解：由三角函数的定义得，，∴，∴原式．故所求值为.∵，，，故，∴，∵，∴，=×(−)+×=35134522–√38−32–√15cos α=−,sin α=4535=====1+sin 2α2α+2sin αcos αcos 2(cos α+sin α)22cos αcos α+sin α2cos α1+tan α2cos α1+tan α2=−=12381818⋅=−,=(cos α,sin α),=(cos β,sin β)OP −→−OQ −→−13OP −→−OQ −→−cos αcos β+sin αsin β=−13cos(α−β)=−130<β<a <π0<α−β<πsin(α−β)===1−(a −β)cos 2−−−−−−−−−−−−√1−19−−−−−√22–√3sin β=sin[(α−(α−β)]=sin αcos(α−β)−cos αsin(α−β)=×(())−×=35134522–√38−32–√15(1)cos α=−45sin α=35tan α==−sin αcos α34=1+sin 2α2α+2sin αcos αcos 2=(cos α+sin α)22cos α(cos α+sin α)=cos α+sin α2cos α=1+tan α2=−1238=1818(2)⋅=−OP −→−OQ −→−13=(cos α,sin α)OP −→−=(cos β,sin β)OQ −→−cos αcos β+sin αsin β=−13cos(α−β)=−130<β<a <π0<α−β<π(α−β)===−−−−−2–√∴，∴ . 20.【答案】解：当时，，，，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以．证明：，，因为，，所以在上单调递增.又因为，所以当时，，当时，，所以的最小值为．因为，所以在上存在一个零点.因为，知在上也存在一个零点，所以在上有两个零点．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值利用导数研究与函数零点有关的问题【解析】无无【解答】sin(α−β)===1−(a −β)cos 2−−−−−−−−−−−−√1−19−−−−−√22–√3sin β=sin[(α−(α−β)]=sin αcos(α−β)−cos αsin(α−β)=×(−)+×=35134522–√38−32–√15(1)m =0f(x)=x −ln x −3e x ∈(0,+∞)(x)=1−=f ′1x x −1x x >1(x)>0f ′0<x <1(x)<0f ′f(x)(0,1)(1,+∞)f(x =f(1)=1−)min 3e (2)h(x)=x −ln x −+m(x −1)ln x 3e (x)=m(ln x +1−)+1−h ′1x 1x m >0(x)=m(+)+>0h ′′1x 1x 21x 2(x)h ′(0,+∞)(1)=0h ′0<x <1(x)<0h ′x ≥1(x)≥0h ′h(x)h(1)=1−<03e h ()=>01e m(e −1)+e −2e h(x)(,1)1e x 1f(e)=m(e −1)+e −1−>03e h(x)(1,e)x 2h(x)(,e)1e(x)=x −ln x −3解：当时，，，，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以．证明：，，因为，，所以在上单调递增.又因为，所以当时，，当时，，所以的最小值为．因为，所以在上存在一个零点.因为，知在上也存在一个零点，所以在上有两个零点．21.【答案】解：由题意得的定义域为，. 当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减．证明：要证，即证，即证 . 令，则 . 易得在上单调递减，在上单调递增，(1)m =0f(x)=x −ln x −3e x ∈(0,+∞)(x)=1−=f ′1x x −1x x >1(x)>0f ′0<x <1(x)<0f ′f(x)(0,1)(1,+∞)f(x =f(1)=1−)min 3e (2)h(x)=x −ln x −+m(x −1)ln x 3e (x)=m(ln x +1−)+1−h ′1x 1x m >0(x)=m(+)+>0h ′′1x 1x 21x 2(x)h ′(0,+∞)(1)=0h ′0<x <1(x)<0h ′x ≥1(x)≥0h ′h(x)h(1)=1−<03e h ()=>01e m(e −1)+e −2e h(x)(,1)1e x 1f(e)=m(e −1)+e −1−>03e h(x)(1,e)x 2h(x)(,e)1e (1)f (x)(0,+∞)(x)=a +1+=f ′1x (a +1)x +1x a ≥−1(x)>0f ′f (x)(0,+∞)a <−1(x)>0f ′x <−1a +1(x)<0f ′x >−1a +1f (x)(0,−)1a +1(−,+∞)1a +1(2)+1+(a +1)x >f (x)2e x xe 2⋅>ln x 2e 2e x x ⋅>2e 2e x x 2ln x x g(x)=e x x 2(x)=g ′(x −2)e x x 3g(x)(0,2)(2,+∞)=g(2)=2令，则 . 所以在上单调递增，在上单调递减，所以 ．综上，即 . 【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究不等式恒成立问题【解析】（1）由题意得，的定义域为， . 当时，恒成立，∴在上单调递增．当时，令，解得，令，解得，∴在上单调递增，在上单调递减．【解答】解：由题意得的定义域为，. 当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减．证明：要证，即证，即证 . 令，则 . 易得在上单调递减，在上单调递增，所以，h (x)=x (x)=h ′1−ln x x 2h (x)(0,e)(e,+∞)h =h (e)=<(x)max 1e 12⋅>2e 2e x x 2ln x x +1+(a +1)x >f (x)2e x xe 2f (x)(0,+∞)(x)=a +1+=f ′1x (a +1)x +1x a ≥−1(x)>0f ′f (x)(0,+∞)a <−1(x)>0f ′x <−1a +1(x)<0f ′x >−1a +1f (x)(0,−)1a +1(−,+∞)1a +1(1)f (x)(0,+∞)(x)=a +1+=f ′1x (a +1)x +1x a ≥−1(x)>0f ′f (x)(0,+∞)a <−1(x)>0f ′x <−1a +1(x)<0f ′x >−1a +1f (x)(0,−)1a +1(−,+∞)1a +1(2)+1+(a +1)x >f (x)2e x xe 2⋅>ln x 2e 2e x x ⋅>2e 2e x x 2ln x x g(x)=e x x 2(x)=g ′(x −2)e x x 3g(x)(0,2)(2,+∞)g =g(2)=(x)min e 24≥×=2则 . 所以在上单调递增，在上单调递减，所以 ．综上，即 . 22.【答案】解：曲线的参数方程是(为参数)，直线的参数方程是(为参数）.当时，直线的参数方程为(为参数），将其代入椭圆方程：化简得，由题意知 恒成立，，由参数的几何意义得.【考点】直线的参数方程椭圆的参数方程参数的意义【解析】此题暂无解析【解答】解：曲线的参数方程是(为参数)，直线的参数方程是(为参数）.当时，直线的参数方程为(为参数），将其代入椭圆方程：化简得，由题意知 恒成立，，(x)=h ′x 2h (x)(0,e)(e,+∞)h =h (e)=<(x)max 1e 12⋅>2e 2e x x 2ln x x +1+(a +1)x >f (x)2e x xe 2(1)C {x =2cos θy =4sin θθl {x =1+t cos αy =2+t sin αt (2)α=π3l x =1+，t 2y =2+t ，3–√2t +(4+2)t −8=074t 23–√Δ>0=−t 1t 2327|AM|⋅|BM|=|⋅|=t 1t 2327(1)C {x =2cos θy =4sin θθl {x =1+t cos αy =2+t sin αt (2)α=π3l x =1+，t 2y =2+t ，3–√2t +(4+2)t −8=074t 23–√Δ>0=−t 1t 2327AM|⋅|BM|=|⋅|=32由参数的几何意义得.23.【答案】解：当， 时，不等式，即，∴，∴ 或，解得或，∴不等式的解集为.，，当时，；当时， ；当时，，∵函数的最小值为，∴当时， ，可得 ，∴.【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】讨论去绝对值即可解出；，，对，分类讨论：利用一次函数的单调性及其函数的最小值为，可得：当时， ，即可得出．【解答】解：当， 时，不等式，即，∴，∴ 或，解得或，∴不等式的解集为.，，当时，；当时， ；|AM|⋅|BM|=|⋅|=t 1t 2327(1)a =1b =0f (x)≥3|x|+12|x +1|+|3x|≥3|x|+1|x +1|≥12x +1≥12x +1≤−12x ≥−12x ≤−32f(x)≥3|x|+1{x|x ≥−或x ≤−}1232(2)a >0b >0x ≥b 3f (x)=2(x +a)+(3x −b)=5x +2a −b −a ≤x <b 3f (x)=2(x +a)−(3x −b)=−x +2a +b x <−a f (x)=−2(x +a)−(3x −b)=−5x −2a +b f (x)2x =b 3f ()=+2a −b =2b 35b 36a +2b =63a +b =3(1)(2)a ＞0b ＞0a b 2x =b 3f ()=2b 3(1)a =1b =0f (x)≥3|x|+12|x +1|+|3x|≥3|x|+1|x +1|≥12x +1≥12x +1≤−12x ≥−12x ≤−32f(x)≥3|x|+1{x|x ≥−或x ≤−}1232(2)a >0b >0x ≥b 3f (x)=2(x +a)+(3x −b)=5x +2a −b −a ≤x <b 3f (x)=2(x +a)−(3x −b)=−x +2a +b f (x)=−2(x +a)−(3x −b)=−5x −2a +b当时，，∵函数的最小值为，∴当时， ，可得 ，∴.x <−a f (x)=−2(x +a)−(3x −b)=−5x −2a +b f (x)2x =b 3f ()=+2a −b =2b 35b 36a +2b =63a +b =3。
2022-2023学年湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考(六) 数学(word版)
长郡中学2023届高三月考试卷（六）数 学本试卷共8页。
时量120分钟，满分150分。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合||1|1,{} ==--∈A y y x x R ，{}3|log 1,=≥B x x ，则A∩=RBA ．{|1}≥-x xB ．{}|3<x xC ．}{|13-≤≤x xD ．{}|13-≤<x x2.若复数z 满足||2,3-=⋅=z z z z ，则2z 的实部为A -2B ．-1C ．1D ． 2★3.函数()()241--=-x x x e e f x x 的部分图象大致是★4.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，其对称中心O 平分线段MN ，且2MN BC =，点E 为DC 的中点，则⋅=EM ENA ． 12-B ．32-C ． -2D ．-3★5.随着北京冬奥会的举办，中国冰雪运动的参与人数有了突飞猛进的提升。
某校为提升学生的综合素养、大力推广冰雪运动，号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动的主力军”，开设了“陆地冰壶”“陆地冰球”“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程，甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，设事件A=“甲乙两人所选课程恰有一门相同”事件B=“甲乙两人所选课程完全不同”，事件C=“甲乙两人均未选择陆地冰壶课程”，则 A ． A 与B 为对立事件 B ．A 与C 互斥 C ． B 与C 相互独立D ． A 与C 相互独立★6.已知三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，底面△ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形，且23，π=∠=BC BCA ，三棱锥P-ABC的体积为，过点A 作⊥AM PB 于M ，过M 作MN ⊥PC 于N ，则三棱锥P-AMN 外接球的体积为A ．323π B．3C．3D ．43π7.若sin 2sin ,sin()tan()1αβαβαβ=+⋅-=，则tan tan αβ=A ．2B ．32C ． 1D ．128.已知函数f （x ），g （x ）的定义域为R 。
2022-2023学年人教A版高三上数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高三上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知集合，集合 ，则集合子集个数是( )A.B.C.D.2. 已知，，则的取值范围是( )A.B.C.D.3. 已知，，且，则的最小值为（ ）A.B.C.D.4. 已知函数若，则（ ）A.A ={x ∈N|0<x <16}log 2B ={x|−2>0}2x A ∩B 248161≤a +b ≤4−1≤a −b ≤23a −b [−,]52192[−8,1][−1,8][1,8]a >0b >0a +b =2f (x)=+1a 4b 724925{，x ≤0,2x a −x,x >0,log 2f (f (−1))=−1a =−2B.C.D.5. 已知为奇函数，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 函数的大致图象为（ ）A.B.C.−12f (x)=−(a ≠2)a x 2x m<−a f (m)>0f (x)=(−x)sin x1xD.7. 已知定义在上的奇函数，则的大小关系为( )A.B.C.D.8. 等腰直角中，点是斜边边上一点，若，则的面积为▲二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 已知定义域为的奇函数，满足 下列叙述正确的是( )A.存在实数，使关于的方程有个不相等的实数根B.当时，恒有C.若当时，的最小值为，则D.若关于的方程和的所有实数根之和为零，则10. 对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，，定义函数，则下列命题中正确的是( )A.B.函数的最大值是C.函数的最小值是R f(x)=−k +2sin x e x e −x a =f(),b =f(),c =f()log 234log 445log 889c <b <aa <b <cc <a <ba <c <b△ABC P BC =+AP −→−4AB −→−||AB −→−AC −→−||AC −→−|△ABC R f (x)f (x)= ,x >2,22x −3−2x +2,0<x ≤2,x 2k x f (x)=kx 7−1<<<1x 1x 2f ()>f ()x 1x 2x ∈(0,a]f (x)1a ∈[1,]52x f (x)=32f (x)=m m =−32x [x]x [π]=3[2.5]=2[−1.4]=−2f(x)=x −[x]f(−3.9)=f(4.1)f(x)1f(x)0(x)−=01D.方程没有实数根 11. 下列有关说法正确的是( )A.当时，B.若，则C.函数的最小值为D.若，则的最小值为12. 下列函数中存在零点的函数有（ ）A.B.C.＝D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 若函数 是偶函数，则该函数的定义域是________．14. 已知命题“，使得”是真命题，则实数的最大值是________.15. 已知函数，分别是定义在上的偶函数与奇函数，且，则的值________.16. 关于的方程有两个不等实根，则实数的取值范围是________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 设函数.f(x)−=012x >0lgx +≥21lgx >a c 2b c 2a −>b −c 2c 2f(x)=+4x 2+3x 2−−−−−√2(2a +b)=1+log 3log 3√ab −−√a +2b 3y x +1f (x)=4−ax −x 2−−−−−−−−−√p :∀x ≥32x −1≥m m f (x)g(x)R g(x)=f (x −1)f (2019)x (k −7)+4ln x −+k =0x 21x 2k f(x)=sin x sin(x +)−x +π3cos 214(1)f(x)求的最小正周期、最大值及取最大值时的取值集合；讨论在区间上的单调性．18. 在中，角，，所对的边分别为，，，的面积为．求；若，求周长的最大值．19. 已知函数＝，＝．（1）求函数在上的单调区间；（2）证明：对任意的实数，，），，都有恒成立． 20. 已知数列是等比数列，且满足，是数列的前项和，且，，.求 的通项公式；设 是数列的前项和，若对任意的正整数，恒成立，求实数的取值范围． 21. 年月日，习总书记在民营企业座谈会上指出，“我国民营经济只能壮大、不能弱化”．某民营企业计划投资引进新项目，项目一使用甲种机器生产种产品；项目二使用乙种机器生产种产品．甲种机器每台万元，乙种机器每台万元，当甲、乙两种机器出现故障时，它们每次的维修费用分别为元台和元台．该企业调查了甲、乙两种机器各台一年内的维修次数，得到频数分布表如下：维修次数甲种机器台数维修次数乙种机器台数以这各台甲、乙两种机器需要维修次数的频率分别代替台相应机器需要维修次数的概率．若该企业投入万元购买甲种机器进行生产，求一年内该企业维修费用的数学期望；该企业现有资金万元，计划只投资一个项目，其中万元用于购买机器，并根据机器维修费用的均值预留维修费用，将其余资金作为生产专用资金全部投入生产.据统计：当投入项目一的生产专用资金为万元时，生产产品获利的概率是，且一年获利万元；亏损的概率是，且一年亏损万元.当投入项目二的生产专用资金为万元时，生产产品获利的概率是，且一年获利万元；亏损的概率是，且一年亏损万元.你认为该企业应投资哪个项目？请说明理由.22. 已知函数，.若函数在处取极小值，求实数的值；设，若对任意，不等式恒成立，求实数的值．(1)f(x)x (2)f(x)[−,]π2π2△ABC A B C a b c △ABC (−−)3–√a 2b 2c 24(1)A (2)b sin A =2sin B △ABC f(x)cos x e 1−x g(x)e x+2f(x)(−π,π)x 1∈(−1x 2<x 1x 2|g()−g()|>2f()−2f()x 1x 2x 1x 2{}a n +=8(+)a 4a 6a 1a 3S n {}b n n n ⋅(n +1)⋅=⋅(n ∈)b n+1S n S n+1N ∗=1a 1=b 112(1){},{}a n b n (2)=,c n 1(n +1)a n b nT n {}c n n n +λ<4T n e n λ2018111A B 212500/1000/200014016001220160202001(1)100(2)1110100a A 34a 31014a 110a B 23a 2513a 15f (x)=(+mx +)e x x 2m 2g(x)=a +x +ax ln x x 2(1)f (x)x =−1m (2)m =0x ∈(0,+∞)f (x)≥g(x)a参考答案与试题解析2022-2023学年高中高三上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】交集及其运算子集与真子集的个数问题【解析】先求出，再求其子集个数即可.【解答】解：∵，，∴，∴子集个数是.故选.2.【答案】C【考点】不等式的基本性质不等式性质的应用【解析】【解答】解：，，，则 .故选．A ∩B A ={x ∈N|0<x <16}={1,2,3}log 2B ={x|−2>0}={x|x >1}2x A∩B ={2,3}A ∩B =422B 3a −b =2(a −b)+(a +b)−2≤2(a −b)≤41≤a +b ≤4−1≤2(a −b)+(a +b)≤8C3.【答案】C【考点】基本不等式【解析】此题暂无解析【解答】解：依题意得，当且仅当即，时取等号，即的最小值是．故选.4.【答案】A【考点】分段函数的应用函数的求值【解析】由题意得， ，∴∴．，故选．【解答】解：由题意得， ，∴．∴.故选．5.+1a 4b =(+)(a +b)121a 4b =[5+(+)]12b a 4a b ≥(5+2)12×b a 4a b −−−−−−−√=92a +b =2,=,b a 4a b a >0,b >0,a =23b =43+1a 4b 92C f (−1)==2−112f (f (−1))=f ()=a −=a +1=−112log 212a =−2A f (−1)==2−112f (f (−1))=f ()=a −=a +1=−112log 212a =−2A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：因为为奇函数，所以，即，因为，所以，此时为奇函数，且为减函数，则，故“”是“”的充分不必要条件．故选.6.【答案】B【考点】函数的图象函数奇偶性的性质与判断【解析】利用函数的奇偶性和时函数值的符号进行排除即可.【解答】解：函数，则)，∴函数为偶函数，排除选项；当时，，，∴，故排除选项.故选.7.f (x)=−(a ≠2)a x 2x f (−1)=−f (1)−=2−a 1a 12a ≠2a =12f (x)=−()12x 2x f (m)>0⇔m <0m <−12f (m)>0A x ∈(0,1)f (x)=(−x)sin x 1x f (−x)=(+x)sin(−x)=(−x)sin x =f(x)1−x 1xf(x)CD x ∈(0,1)−x >01x sin x >0f(x)>0A B【考点】利用导数研究函数的单调性函数奇偶性的性质【解析】根据题意，由奇函数的性质可得＝＝＝，解可得的值，即可得函数的解析式，求出函数的导数，分析可得函数为上的增函数，由对数的运算性质可得，结合函数的单调性分析可得答案．【解答】解：根据题意，为定义在上的奇函数，则，解得，即，则，则函数为上的增函数，，，所以，所以.故选.8.【答案】【考点】直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的判定球的表面积和体积命题的真假判断与应用【解析】f(0)−k +2sin 0e 0e 01−k 0k f(x)R <<log 234log 445log 889f(x)R f(0)=−k +2sin 0=e 0e 01−k =0k =1f(x)=−+2sin x e x e −x f'(x)=++2cos x ≥2+2cos x e x e −x ⋅e x e −x −−−−−−√=2+2cos x ≥0f (x)R ==<log 234log 22()342log 4916log 445==log 445log 43()453log 6464125==log 889log 82()892log 646481<<log 234log 445log 889a <b <c B 252此题暂无解析【解答】略二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,C【考点】命题的真假判断与应用根的存在性及根的个数判断函数奇偶性的判断奇偶性与单调性的综合【解析】求出函数解析式，作出图象．联立直线与，利用判别式法判断；由时的函数的单调性判断；求出函数的根，判断的取值范围即可判断；根据函数奇偶性与对称性判断．【解答】解：∵函数是奇函数，∴若，则，则，则，，若，则，则，即，，当，则，作出函数的图象如图：y =kx y =−2x +2x 2A −1<<<1x 1x 2B f (x)=1a C D f (x)x <−2−x >2f (−x)==−f (x)2−2x −3f (x)=22x +3x <−2−2≤x <00<−x ≤2f (−x)=+2x +2=−f (x)x 2f (x)=−−2x −2x 2−2≤x <0x =0f (0)=0f (x)y =kx,，联立得，，存在，使得，∴存在实数，使关于的方程有个不相等的实数根，故正确；，当时，函数不是单调函数，则不成立，故错误；，当时，，则当时，的最小值为，则，故正确；，函数是奇函数，若关于的两个方程与所有根的和为，∴函数的根与根关于原点对称，则，但时，方程有个根，设分别为，，，且，则有，得，即，则三个根之和为，若关于的两个方程与所有根的和为，则的根为，此时，故错误．故选．10.【答案】A,C【考点】命题的真假判断与应用分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】求出与的值判断；用分段函数写出函数＝的解析式，作出去图象，数形结合判断，，．【解答】解：∵，∴，，则，故正确；A {y =kx,y =−2x +2x 2−(k +2)x +2=0x 2Δ=−8=+4k =4(k +2)2k 2k <1Δ>0k x f (x)=kx 7A B −1<<<1x 1x 2f (x)f ()>f ()x 1x 2B C x =52f ()==15222×−352x ∈(0,a]f (x)1a ∈[1,]52C D f (x)x f (x)=32f (x)=m 0f (x)=32f (x)=m m =−32x >0f (x)=323x 1x 2x 30<<<2<x 1x 2x 3=22x −332x =136=x 31362+=136256x f (x)=32f (x)=m 0f (x)=m −256m =f (−)==−=−25622×(−)+325661638D AC f(−3.9)f(4.1)A f(x)x −[x]B C D f(x)=x −[x]f(−3.9)=−3.9−(−4)=0.1f(4.1)=4.1−4=0.1f(−3.9)=f(4.1)A作出的图象如图，由图可知，函数没有最大值，故错误；的最小值为，故正确；可化为，∵，∴方程有无数个根，故错误．故选.11.【答案】B,D【考点】基本不等式在最值问题中的应用不等式比较两数大小【解析】对每个选项依次判断即可．【解答】解：对于，当时，，当时，显然没有意义，当时，，故错误；对于，若，可得，则，故正确；对于，函数，令，则，则可转化为，∴，故错误；f(x)=x −[x]=⋯⋯x,0≤x <1,x −1,1≤x <2,x −2,2≤x <3,⋯⋯f(x)B f(x)0C f(x)−=012f(x)=x −[x]=12f(−1.5)=−1.5−(−2)=12f(x)−=012D AC A x >1lgx +≥21lgxx =10<x <1lgx +≤−21lgxA B >a c 2bc 2a >b a −>b −c 2c 2B C f(x)=+4x 2+3x 2−−−−−√=t +3x 2−−−−−√+3+1=+1x 2t 2f(x)g(t)==t +(t ≥3)+1t 2t 1tg(t =3+=)min 13103C (2a +b)=1+−−√对于，由，得，即，那么，则，当且仅当，，即，时等号成立，∴的最小值为，故正确.故选.12.【答案】B,C【考点】函数的零点【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】函数的定义域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答14.D (2a +b)=1+log 3log 3√ab −−√(2a +b)=3+ab log 3log 3log 32a +b =3ab (a >0,b >0)+=123b 13aa +2b =(a +2b)(+)23b 13a=+++2a 3b 2b 3a 1343=++2a 3b 2b 3a 53≥2+=3⋅2a 3b 2b 3a −−−−−−−√53=2a 3b 2b 3a +=123b 13aa =1b =1a +2b 3D BD【答案】【考点】全称命题与特称命题命题的真假判断与应用【解析】将原题等价为在恒成立，即可求解【解答】解：命题“，使得”是真命题，∴在恒成立，∵，∴.故答案为：.15.【答案】【考点】函数的周期性函数奇偶性的性质【解析】根据奇函数和偶函数的性质，结合是上的偶函数，是上的奇函数，可得，所以进一步分析可得，，则是以为周期的周期函数，据此即可求出的值．【解答】解：∵，∴，又∵函数是上的偶函数，是上的奇函数，∴.又，∴，∴，，则是以为周期的周期函数，∴.故答案为：.5m ≤(2x −1)minx ∈[3,+∞)p :∀x ≥32x −1≥m m ≤2x −1x ∈[3,+∞)2x −1≤5m ≤550f (x)R g(x)R f (x +1)=−f (x −1)−g(x)=g(−x)=f (−x −1)=f (x +1)f (x +2)=−f (x)f (x +4)=−(x +2)=f (x)f (x)4f (2019)g(x)=f (x −1)g(−x)=f (−x −1)f (x)R g(x)R g(−x)=−g(x)=f (−x −1)=f (x +1)g(x)=f (x −1)f (x +1)=−f (x −1)f (x +2)=−f (x)f (x +4)=−f (x +2)=f (x)f (x)4f (2019)=f (505×4−1)=f (−1)=g(0)=0016.【答案】【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】分离参数，求出右侧函数的单调性和最值或极限，从而得出的范围．【解答】∵有两解，∴有两解，令，则，∴当时，，当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴当＝时，取得最小值＝，又时，，时，，（或由，当时，∴．故答案为．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：，(4,7)k =7+−4ln x x 21x 2+1x 2k (k −7)+4ln x −+k =0x 21x 2k =7+−4ln xx 21x 2+1x 2f(x)=7+−4ln x x 21x 2+1x 2f'(x)=8x ln x +10x −−8x 2x 3(+1x 2)20<x <1f'(x)<0x >1f'(x)>0f(x)(0,1)(1,+∞)x 1f(x)f(1)4x →0f(x)→+∞x →+∞f(x)→7f(x)−7=−4ln x −71x 21+x 2x →+∞f(x)−7→0)4<k <7(4,7)f(x)=sin x(sin x +cos x)−x +123–√2cos 214=+sin 2x −+1−cos 2x 4x 3–√41+cos 2x 214=sin 2x −cos 2x 3–√434=sin(2x −)3–√2π3∴f(x)的最小正周期，当，即时，取最大值为.，结合正弦函数图像可得在区间上单调递增，在区间与上单调递减．【考点】正弦函数的周期性三角函数的最值三角函数中的恒等变换应用正弦函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：，的最小正周期，当，即时，取最大值为.，结合正弦函数图像可得在区间上单调递增，23∴f(x)T =π2x −=2kπ+π3π2x ∈{x|x =kπ+,k ∈Z}5π12f(x)3–√2(2)−≤2x −≤4π3π32π3f(x)[−,]π125π12[−,−]π2π12[,]5π12π2f(x)=sin x(sin x +cos x)−x +123–√2cos 214=+sin 2x −+1−cos 2x 4x 3–√41+cos 2x 214=sin 2x −cos 2x 3–√434=sin(2x −)3–√2π3∴f(x)T =π2x −=2kπ+π3π2x ∈{x|x =kπ+,k ∈Z}5π12f(x)3–√2(2)−≤2x −≤4π3π32π3f(x)[−,]π125π12,]5π在区间与上单调递减．18.【答案】解：因为，所以，即，因为，所以．因为，又，即，所以．又，所以，因为，，解得，所以周长的最大值为．【考点】余弦定理正弦定理基本不等式【解析】【解答】解：因为，所以，即，因为，所以．[−,−]π2π12[,]5π12π2(1)=bc sin A =S △ABC 12(−−)3–√a 2b 2c 24bc sin A =12(−2bc cos A)3–√4tan A =−3–√A ∈(0,π)A =2π3(2)b sin A =2sin B =a sin A b sin Bb sin A =a sin B a =2+−=−bc b 2c 2a 2−4=bc (b +c)2bc ≤()b +c 22−4≤(b +c)2()b +c 22b +c ≤43–√3△ABC 2+43–√3(1)=bc sin A =S △ABC 12(−−)3–√a 2b 2c 24bc sin A =12(−2bc cos A)3–√4tan A =−3–√A ∈(0,π)A =2π3(2)b sin A =2sin B因为，又，即，所以．又，所以，因为，，解得，所以周长的最大值为．19.【答案】函数＝，则，当或时，；当时，，所以，函数的单调递增区间是，，单调递减区间是；证明：因为，＝在上是增函数，所以不等式即为，即在上恒成立，设＝＝，即证函数在上是增函数，即证＝在上恒成立，即证在上恒成立．令＝，则＝，在上单调递减，在上单调递增，所以＝＝，所以，即，因为，所以，所以要证成立，只需证，令，，，当时，，递减；当时，，递增．＝＝，(2)b sin A =2sin B =a sin Ab sin B b sin A =a sin B a =2+−=−bc b 2c 2a 2−4=bc (b +c)2bc ≤()b +c 22−4≤(b +c)2()b +c 22b +c ≤43–√3△ABC 2+43–√3f(x)cos x e 1−x f'(x)>0f'(x)<0f(x)<x 1x 2g(x)e x+2|g()−g()|>2f()−2f()x 1x 2x 1x 2g()−g()>2f()−2f()x 2x 1x 1x 2g()+2f()>g()+2f()x 2x 2x 1x 1h(x)g(x)+2f(x)+2cos x e x+2e 1−x h(x)h'(x)−2(cos x +sin x)≥0e x+1e 1−x μ(x)−(x +1)e x μ'(x)−1e x μ(x)(−∞,0)(0,+∞)μ(x)min μ(0)0μ(x)≥0≥x +1e x ≥2x +2e 2x+1x ∈(−1,0)v'(x)<0v(x)v'(x)>0v(x)v(x)min v(0)0所以，即＝在上恒成立，所以原命题成立．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】（1）求出导函数，由，求出单调减区间，由，求出单调增区间；（2）利用的单调性将问题转化为证明在上恒成立，令＝＝，转化为证明函数在上是增函数，利用函数的单调性与导数的关系，转化为证明在上恒成立，令＝，只需证，再构造，利用导数研究函数的性质证明即可．【解答】函数＝，则，当或时，；当时，，所以，函数的单调递增区间是，，单调递减区间是；证明：因为，＝在上是增函数，所以不等式即为，即在上恒成立，设＝＝，即证函数在上是增函数，即证＝在上恒成立，即证在上恒成立．令＝，则＝，在上单调递减，在上单调递增，所以＝＝，所以，即，因为，所以，h'(x)−2(cos x +sin x)≥0e x+2e 1−x f (x)′f'(x)<0f'(x)>0g(x)g()+2f()>g()+2f()x 2x 2x 1x 1h(x)g(x)+2f(x)+2cos x e x+2e 1−x h(x)μ(x)−(x +1)e x f(x)cos x e 1−x f'(x)>0f'(x)<0f(x)<x 1x 2g(x)e x+2|g()−g()|>2f()−2f()x 1x 2x 1x 2g()−g()>2f()−2f()x 2x 1x 1x 2g()+2f()>g()+2f()x 2x 2x 1x 1h(x)g(x)+2f(x)+2cos x e x+2e 1−x h(x)h'(x)−2(cos x +sin x)≥0e x+1e 1−x μ(x)−(x +1)e x μ'(x)−1e x μ(x)(−∞,0)(0,+∞)μ(x)min μ(0)0μ(x)≥0≥x +1e x ≥2x +2e 2x+1所以要证成立，只需证，令，，，当时，，递减；当时，，递增．＝＝，所以，即＝在上恒成立，所以原命题成立．20.【答案】解：∵是等比数列，设其公比为，又，∴，∵，， ，又，∴，，即，即，∴，∴，∴当时，，又经检验， ，也符合该式，.，①，②，①②可得，，，恒成立，即 对任意的正整数恒成立，只需，即可，∴取值范围为．x ∈(−1,0)v'(x)<0v(x)v'(x)>0v(x)v(x)min v(0)0h'(x)−2(cos x +sin x)≥0e x+2e 1−x (1){}a n q +=(+)=8(+)a 4a 6q 3a 1a 3a 1a 3(−8)(+1)=0q 3q 2a 1+1>0,>0q 2a 1∴−8=0q 3q =2∵=1a 1=a n 2n−1∵(+n)⋅=⋅n 2b n+1S n S n+1(+n)⋅(−)=⋅n 2S n+1S n S n S n+1−==−1S n 1S n+11+nn 21n 1n +1−=−1S n+11n +11S n 1n =−=⋯=−1=11S n−11n −11S 1=S n nn +1n ≥2=−=−b n S n S n−1n n +1n −1n =1+nn 2==b 1121+112∴=b n 1+nn 2(2)∵==c n 1(n +1)a n b n n2n−1∴=+++⋯+T n 120221322n2n−1=+++⋯++T n 2121222323n −12n−1n 2n −=+++⋯+−T n 212012112212n−1n 2n =2−−12n−1n 2n =+++⋯+−T n 12012112212n−1n 2n =4−−12n−2n 2n−1∴+λ=4−−+T n c n 12n−2n 2n−1(λ−1)⋅<4n2n−1λ−1<2nn λ−1≤0λ≤1λ(−∞,1]【考点】数列的求和数列递推式等比数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：∵是等比数列，设其公比为，又，∴，∵，， ，又，∴，，即，即，∴，∴，∴当时，，又经检验， ，也符合该式，.，①，②，①②可得，，，恒成立，即 对任意的正整数恒成立，只需，即可，∴取值范围为．21.【答案】(1){}a n q +=(+)=8(+)a 4a 6q 3a 1a 3a 1a 3(−8)(+1)=0q 3q 2a 1+1>0,>0q 2a 1∴−8=0q 3q =2∵=1a 1=a n 2n−1∵(+n)⋅=⋅n 2b n+1S n S n+1(+n)⋅(−)=⋅n 2S n+1S n S n S n+1−==−1S n 1S n+11+n n 21n 1n +1−=−1S n+11n +11S n 1n =−=⋯=−1=11S n−11n −11S 1=S n n n +1n ≥2=−=−b n S n S n−1n n +1n −1n =1+n n 2==b 1121+112∴=b n 1+n n 2(2)∵==c n 1(n +1)a n b n n 2n−1∴=+++⋯+T n 120221322n 2n−1=+++⋯++T n 2121222323n −12n−1n 2n −=+++⋯+−T n 212012112212n−1n 2n =2−−12n−1n 2n =+++⋯+−T n 12012112212n−1n 2n =4−−12n−2n 2n−1∴+λ=4−−+T n c n 12n−2n 2n−1(λ−1)⋅<4n 2n−1λ−1<2n n λ−1≤0λ≤1λ(−∞,1]50100解：依题意，万元可购买甲种机器(台)，一台甲种机器一年内需要维修一次的频率为，记这台机器一年内需要维修的次数为，则，∴次，∴一年内该企业维修费用的数学期望为(元)，即一年内该企业维修费用的数学期望为万元.由可知，若该企业投资项目一，则一年内该企业维修费用的数学期望为万元，∴企业的生产专用资金为万元，若该企业投资项目一，记一年的收益为万元，则随机变量的分布列为∴万元，若该企业投资项目二，记一年的收益为万元，则随机变量的分布列为∴万元，又，，∴，，∴项目一的风险更小，该企业应投资项目一．【考点】两点分布二项分布超几何分布的期望与方差离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】(1)根据题意维修费用满足二项分布，得出数学期望；（2）分别计算投资两项目的利润期望和方差，根据期望和方差大小得出结论．若该企业投入项目二，则可购买乙种机器台，记台乙种机器需要的维修费用为元，则的可能取值为，，，且，，，∴随机变量的分布列为∴(元)，∴一年内这台乙种机器维修费用的数学期望为(元)，(1)100=501002=0.816020050X X ∼B (50,0.8)EX =50×0.8=40E (2500X)=2500EX =2500×40=10000010(2)(1)101110−100−10=1000ξξξ300−100P 3414Eξ=300×+(−100)×=2003414ηηη400−200P 2313Eη=400×+(−200)×=2002313Dξ=×+×=30000(300−200)234[(−100)−200]214Dη=×+×=80000(400−200)223[(−200)−200]213Eξ=EηDξ<Dη(2)1001Y Y 010002000P (Y =0)=0.1P (Y =1000)=0.8P (Y =2000)=0.1Y Y 010002000P 0.10.80.1EY =0×0.1+1000×0.8+2000×0.1=1000100E (100Y )=100EY =100000即一年内这台乙种机器维修费用的数学期望为万元，∴若该企业投资项目二，则企业的生产专用资金为万元；【解答】解：依题意，万元可购买甲种机器(台)，一台甲种机器一年内需要维修一次的频率为，记这台机器一年内需要维修的次数为，则，∴次，∴一年内该企业维修费用的数学期望为(元)，即一年内该企业维修费用的数学期望为万元.由可知，若该企业投资项目一，则一年内该企业维修费用的数学期望为万元，∴企业的生产专用资金为万元，若该企业投资项目一，记一年的收益为万元，则随机变量的分布列为∴万元，若该企业投资项目二，记一年的收益为万元，则随机变量的分布列为∴万元，又，，∴，，∴项目一的风险更小，该企业应投资项目一．22.【答案】解：，由题意得，解得，当时，，此时在上单调递减，在上单调递增，符合要求．当时，，此时在上单调递增，在上单调递减，所以不符合要求．综上得，．由得，100101110−100−10=1000(1)100=501002=0.816020050X X ∼B (50,0.8)EX =50×0.8=40E (2500X)=2500EX =2500×40=10000010(2)(1)101110−100−10=1000ξξξ300−100P 3414Eξ=300×+(−100)×=2003414ηηη400−200P 2313Eη=400×+(−200)×=2002313Dξ=×+×=30000(300−200)234[(−100)−200]214Dη=×+×=80000(400−200)223[(−200)−200]213Eξ=EηDξ<Dη(1)(x)=[+(m +2)x ++m]f ′e x x 2m 2(−1)=0f ′m =±1m =1(x)=(x +1)(x +2)f ′e x f (x)(−2,−1)(−1,+∞)m =−1(x)=(x +1)x f ′e x f (x)(−∞,−1)(−1,0)m =1(2)f (x)≥g(x)x −1−a (x +ln x)≥0e x −1−a (x +ln x)≥0x+ln x指数化得不等式恒成立，令，则，不等式恒成立，令（），则，当时，，所以不符合题意；当时，，在上单调递减，同理在上单调递增，所以，所以，即，令，则，所以在上,在上单调递减，同理在上单调递增，又，所以．【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值利用导数研究不等式恒成立问题【解析】无无【解答】解：，由题意得，解得，当时，，此时在上单调递减，在上单调递增，符合要求．当时，，此时在上单调递增，在上单调递减，所以不符合要求．综上得，．由得，指数化得不等式恒成立，令，则，不等式恒成立，令（），则，−1−a (x +ln x)≥0e x+ln x x +ln x =t ∀t ∈R −at −1≥0e t h (t)=−at −1e t t ∈R (x)=−a h ′e t a ≤0h (−1)=+a −1<01e a >0(t)<0h ′h (t)(−∞,ln a)(ln a,+∞)h =h (ln a)=a −a ln a −1(t)min a −a ln a −1≥0ln a +−1≤01a φ(a)=ln a +−11a (a)=φ′a −1a 2(0,1)(a)<0φ′φ(a)(0,1)(1,+∞)φ(1)=0a =1(1)(x)=[+(m +2)x ++m]f ′e x x 2m 2(−1)=0f ′m =±1m =1(x)=(x +1)(x +2)f ′e x f (x)(−2,−1)(−1,+∞)m =−1(x)=(x +1)x f ′e x f (x)(−∞,−1)(−1,0)m =1(2)f (x)≥g(x)x −1−a (x +ln x)≥0e x −1−a (x +ln x)≥0e x+ln x x +ln x =t ∀t ∈R −at −1≥0e t h (t)=−at −1e t t ∈R (x)=−a h ′e t (−1)=+a −1<01当时，，所以不符合题意；当时，，在上单调递减，同理在上单调递增，所以，所以，即，令，则，所以在上,在上单调递减，同理在上单调递增，又，所以．a ≤0h (−1)=+a −1<01e a >0(t)<0h ′h (t)(−∞,ln a)(ln a,+∞)h =h (ln a)=a −a ln a −1(t)min a −a ln a −1≥0ln a +−1≤01a φ(a)=ln a +−11a (a)=φ′a −1a 2(0,1)(a)<0φ′φ(a)(0,1)(1,+∞)φ(1)=0a =1。
湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期第6次月考物理试题(解析版)
湖南师大附中2023届高三月考试卷（六）物理得分：_________本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页。
时量75分钟，满分100分。
第Ⅰ卷一、单项选择题（本题共7小题，每小题4分，共28分。
每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.下列说法正确的是（）A.原子核的比结合能越大，原子核越稳定，一般而言，原子核中核子数越多，比结合能越小B.核聚变与核裂变相比，相同质量的核燃料，核聚变反应中产生的能量更多，所以现在的核电站主要采用核聚变发电C.液体的表面张力其方向总是指向液体内部，所以液面总是有收缩的趋势D.物体中所有分子的热运动动能和分子势能的总和叫作物体的内能，任何物体都具有内能【答案】D【解析】【详解】A．原子核的比结合能越大，原子核越稳定，原子核的比结合能等于原子核的结合能与核子数之比，由于原子核中核子数越多，原子核的结合能越大，则比结合能不一定越小，故A错误；B．核聚变与核裂变相比，相同质量的核燃料，核聚变反应中产生的能量更多，但目前核聚变不可控，则现在的核电站主要采用核裂变发电，故B错误；C．液体表面张力的方向总是与液面相切，故C错误；D．物体中所有分子的热运动动能和分子势能的总和叫作物体的内能，任何物体都具有内能，故D正确。
故选D。
2.如图所示，某同学在某地玩耍，发现一个图示仓库，于是在某点P（P点位置可移动）想以最小的动能将一块小石子丢过仓库（恰好从A点和B点飞过，注意平时可不能这样，非常危险），那么设小石子丢出时速度与水平向右的方向成θ角，以下说法正确的是（）θ=︒A.45θ>︒B.45θ<︒C.45D.无论θ角多大，P点与A点所在墙越近所需动能越小【答案】B 【解析】【详解】ABC ．根据题意可知，石子从P 点抛出后做斜抛运动经过等高的A 、B 两点，设石子抛出时的速度为P v ，经过A 点时的速度为A v ，此时速度方向与水平方向的夹角为α，则有cos cos P A v v θα=石子由P 运动到A 的过程中，由动能定理有221122PA P A mgh mv mv =-解得P Av v =>石子由A 到B 的运动也是斜抛运动，设此过程运动的时间为t ，A 、B 两点间的距离为x ，则有cos A x v t α=⋅0sin 2A tv g α=-⋅联立可得A v =可见，当sin 21α=即45α=︒时，石子经过A 点的速度最小，此时石子的抛出速度最小，抛出的动能最小，则有45θα>=︒故AC 错误，B 正确；D ．当P 点位于A 点所在的墙上时有90θ=︒石子抛出后做竖直上抛运动，无论石子抛出时的动能多大，石子都不可能经过B 点，故D 错误。
湖南师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期月考卷(六)化学试题(原卷版)
湖南师大附中2023届高三月考试卷(六)化学本试题卷分选择题和非选择题两部分，共10分。
时量75分钟，满分100分。
可能用到的柏对银子质亚：H～1C～12N～14O～16Cl～35.5Ca～40Sc～45 Fe～56Sb～122La～139一、选择题：本题共14小题，每小题3分，共42分。
每小题只有一个选项符合题目要求。
1.化学和生产生活紧密相关，下列叙述错误的是A.硝酸铵是一种高效氮肥，但受热或经撞击易发生爆炸，因此必须作改性处理才能施用B.加工馒头、面包和饼干等产品时，加入一些膨松剂(如碳酸氢铵、碳酸氢钠)，可中和酸和受热分解C.亚硝酸钠是一种防腐剂，不能用于任何的食品生产中D.豆腐是通过豆浆加入卤水而成，其生产过程与胶体性质相关2.化学与生活密切相关，下列叙述正确的是A.糖类、油脂、蛋白质是人体基本营养物质，均属于高分子B.乙醇汽油是一种新型化合物C.向牛奶中加入白醋会产生沉淀，这是因为发生了酸碱中和反应D.氢氟酸可用于蚀刻玻璃、石英制品3.环氧树脂胶粘剂广泛应用于日常生活和工业生产等各种方面。
制取环氧树脂胶粘剂的反应如下：下列说法正确的是A.I和II均能与NaOH溶液反应B.I至少有9个原子处于同一直线上C.该反应属于加聚反应D.I、II、III均不含手性碳原子4.下列有关实验原理或操作正确的是A.用图1装置制取并检验乙炔B.用图2所示装置证明SO 2具有漂白性C.用图3所示装置制取并检验NH 3D.用图4所示装置吸收HCl 中的Cl 25.化合物X 的结构如图所示，a 、b 、c 、d 是四种原子序数依次增大的短周期主族元素，基态时c 原子2p 原子轨道上有1对成对电子。
下列说法正确的是A.X 的水溶液呈碱性，不能使酸性高锰酸钾褪色B.原子半径：()()()()d c b a r r r r >>>C.的结构中存在大π键，可表示为64π(用πnm 表示，m 代表参与形成大π键的原子数，n代表参与形成大π键的电子数)D.电负性：a c b<<6.在Rh(铑)表面进行NRR(电催化反应)将N 2转化为NH 3的一种反应机理如图所示，下列说法不正确的是（）A.Rh 薄膜电极为电解池的阴极B.通过②③可知两个氮原子上的加氢过程分步进行C.上述所有过程都需铑电极提供电子才能进行D.反应⑤每转移2mol 电子，生成22.4LN 2(标准状况下)7.实验室以二氧化铈()2CeO 废渣为原料制备含少量Cl -的()233Ce CO ，其部分实验过程如下：已知：3+Ce 能被有机萃取剂(简称HA)萃取，其萃取原理可表示为：3+Ce (水层)3HA +(有机层)()3Ge A (有机层)3H ++(水层)下列说法错误的是A.“酸浸”时2CeO 与22H O 反应生成3+Ce 并放出2O ，该反应的离子方程式为322222O =2CeO H O 6H 2Ce O 4H +++++↑+。
2022-2023学年人教A版高三上数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高三上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知直线l:ax +y +a +√3=0且与线段AB 相交，其中A(3,√33)，B(2,−4√3)，若直线l′与直线l 垂直，则l′的倾斜角范围是（ ）A.[π6,π3]B.[π3,5π6]C.[π6,π2]∪[π2,2π3]D.[π6,2π3]2. 已知点A(0,1)是椭圆x 2+4y 2=4上上一定点，P 为椭圆上异于A 的一动点，则|AP |的最大值为( )A.3√3B.4√3C.4√33D.8√33 3. 将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m,n)重合，则m +n =( )A.345B.365C.283D.323 4. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线T 的左、右焦点分别为F 1(−c,0)，F 2(c,0)，直线4x +3y −4c =0与双曲线T 在第一象限交于点M ，若|OM |=|OF 1|，则双曲线T 的离心率为( )l :ax +y +a +=03–√AB A(3,)3–√3B(2,−4)3–√l'l l'[,]π6π3[,]π35π6[,]∪[,]π6π2π22π3[,]π62π3A(0,1)+4=4x 2y 2P A |AP|33–√43–√43–√383–√3(0,2)(4,0)(7,3)(m,n)m +n =()345365283323xOy T (−c,0)F 1(c,0)F 24x +3y −4c =0T M |OM|=|O |F 1TB.4C.53D.43 5. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2+y 2−4x =0．若直线y =k(x +1)上存在一点P ，使过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的值可以是( )A.−4B.−3C.2D.46. 已知曲线x 2−4y 2=4，过点A(3,1)且被点A 平分的弦MN 所在的直线方程为( )A.3x −4y −5=0B.3x +4y −5=0C.4x −3y −5=0D.4x +3y −5=07. 设a >0，若圆M:x 2−6x +y 2−2y +9=0与圆N:x 2−2ax +y 2+2y +1=0相交，则实数a 的取值范围为( )A.(32,3)B.(3,+∞)C.(0,32)D.(0,3)8. 已知圆C 经过点A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程是( )A.(x −2)2+y 2=50B.(x +2)2+y 2=10C.(x +2)2+y 2=50D.(x −2)2+y 2=1045343xOy C +−4x =0x 2y 2y =k (x +1)P P k−4−324−4=4x 2y 2A (3,1)A MN3x −4y −5=03x +4y −5=04x −3y −5=04x +3y −5=0a >0M :−6x +−2y +9=0x 2y 2N :−2ax ++2y +1=0x 2y 2a (,3)32(3,+∞)(0,)32(0,3)C A(5,1)B(1,3)x C ()(x −2+=50)2y 2(x +2+=10)2y 2(x +2+=50)2y 29.在平面直角坐标系中，已知，动点P 满足，且|a |+|b |＝1，则动点P 的轨迹长度为（ ） A.B.8C.D.10. 下列说法错误的是( )A.一条直线的斜率为k =tanα，则这条直线的倾斜角是αB.过点A(x 1,y 1)和点B(x 2,y 2)的直线的方程为y −y 1y 2−y 1=x −x 1x 2−x 1C.若两直线平行，则它们的斜率相等D.若两直线斜率之积等于−1，则两直线垂直11. 已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，短轴长等于2，离心率为√63，过焦点F 1作y 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是( )A.椭圆C 的方程为y 23+x 2=1B.椭圆C 的方程为x 23+y 2=1C.|PQ |=2√33D.△PF 2Q 的周长为4√312. 已知点F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过F 2的直线交双曲线于A ，B 两点(点A 在点B 的上方)，且AF 1⊥AB ，|AF 1|∶|AB |=3∶4，则该双曲线的离心率可能为( )A.√102B.2C.√5D.√13卷II （非选择题）P |a |+|b |1P8()k =tan ααA(,)x 1y 1B(,)x 2y 2=y −y 1−y 2y 1x −x 1−x 2x 1−1C F 1F 2y 26–√3F 1y C P QC +=y 23x 21C +=x 23y 21|PQ |=23–√3△P Q F 243–√F 1F 2−=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 2F 2A B A B A ⊥AB F 1|A |∶|AB|=3∶4F 1()10−−√225–√13−−√13. 过F(√a 2+b 2,0)作与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线平行的直线，分别交两渐近线于A ，B 两点，若OAFB 四点共圆（为O 坐标原点），则双曲线的离心率为________. 14. 如果圆C ：(x −1)2+(y −a)2=4上总存在两个点到原点的距离为1，那么实数a 的取值范围是________．15. 已知F 为抛物线C:y 2＝x 的焦点，点A ，B 在抛物线上，且分别位于x 轴的上、下两侧，若△BFO 的面积是（O 为坐标原点），且＝12，则直线AB 的斜率是________．16. 如图，已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，点A ，B 分别是椭圆C 的上、下顶点，点P 是直线y =−2b 上的一个动点(与y 轴交点除外)，直线PB 与椭圆C 交于另一点Q,直线AP ，AQ 的斜率的乘积恒为−2，则椭圆C 的离心率为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知直线l:(t +1)x −(t +2)y −t =0(t ∈R),O 为坐标原点.(1)当t =1时，求过点O 且与直线l 平行的直线方程；(2)设点C 在直线l 上，且|OC |的最小值为√5，求t 的值. 18. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 22=1(a >√2)的右焦点为F ，A 、B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，△ABF 的面积为√2+1．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线AP 、AQ 分别与直线x =2√2交于点M 、N ．以MN 为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 19. 已知抛物线C:y 2＝2px(p >0)，点A 在抛物线C 上，点B 在x 轴的正半轴上，等边△OAB 的边长为．（1）求抛物线的方程；（2）若直线l:x ＝ty +2(t ∈[1,3])与抛物线C 相交于D ，E 两点，直线DE 不经过点M(0,1)，△DEM 的面积为S ，求的取值范围．2F (,0)+a 2b 2−−−−−−√−=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 2A B OAFB OC ：(x −1+(y −a =4)2)21a F C :y 2x A B x △BFO O 12AB C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2A B C P y =−2b y PB C Q AP AQ −2Cl :(t +1)x −(t +2)y −t =0(t ∈R),O(1)t =1O l(2)C l |OC|5–√t C +=1(a >)x 2a 2y 222–√F A B △ABF +12–√(1)C(2)F l C P Q AP AQ x =22–√M N MN C :y 22px(p >0)A C B x △OAB l :x ty +2(t ∈[1,3])C D E DE M(0,1)△DEM S(1)求抛物线C 的方程；(2)若过点E(0,a)(a >0)的两直线l 1,l 2的倾斜角互补，直线l 1与抛物线C 交于M ，N 两点，直线l 2与抛物线C 交于P ，Q 两点，△FMN 与△FPQ 的面积相等，求实数a 的取值范围． 21. 已知圆C:x 2+y 2+2x −3=0，直线l:x +y +t =0.(1)若直线l 与圆C 相离，求t 的取值范围；(2)若直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且|MN |=2√2，求直线l 在x 轴上的截距；(3)已知点A(0,b)，问是否存在实数t ，当l 与圆C 相交于P ，Q 两点时满足PA ⊥QA 且|AP |=|AQ |. 若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由. 22. 已知F 1，F 2分别为椭圆 C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的左右焦点，点 P (√62,12)在椭圆C 上，且|PF 1|+|PF 2|=2√2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设A 为椭圆C 的左顶点，过点F 2的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，记直线AM ，AN 的斜率分别为k 1，k 2，若k 1+k 2=3，求直线l 方程．(1)C(2)E (0,a)(a >0),l 1l 2l 1C M N l 2C P Q △FMN △FPQ a C :++2x −3=0x 2y 2l :x +y +t =0(1)l C t(2)l C M N |MN|=22–√l x(3)A(0,b)t l C P Q PA ⊥QA |AP|=|AQ|tF 1F 2C ：+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2P (,)6–√212C |P |+|P |=2F 1F 22–√(1)C(2)A C F 2l C M N AM AN k 1k 2+=3k 1k 2l参考答案与试题解析2022-2023学年高中高三上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】D【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】直线l 过定点M(−1,−√3)，求出直线MA 的倾斜角为π6，直线MB 的倾斜角为2π3，由直线l′与直线l 垂直，能求出l′的倾斜角范围．【解答】∵直线l:ax +y +a +√3=0化为(x +1)a +y +√3=0，∴直线l 过定点M(−1,−√3)，∵直线l:ax +y +a +√3=0且与线段AB 相交，其中A(3,√33)，B(2,−4√3)，k MA =√33+√33+1=√33，直线MA 的倾斜角为π6，k MB =−4√3+√32+1=−√3，直线MB 的倾斜角为2π3，∵直线l′与直线l 垂直，∴l′的倾斜角范围是[π6,2π3]．2.【答案】C【考点】椭圆的定义【解析】设点P 的坐标为(2cosθ,sinθ)，表示出|AP |，利用配方法，即可得出结论．【解答】解：∵点P 在椭圆上，∴设点P 的坐标为(2cosθ,sinθ)，则|AP |=√4cos 2θ+(sinθ−1)2=√−3(sinθ+13)2+163，3.【答案】A【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【解析】由两点关于一条直线对称的性质，求得对称轴所在的直线方程为 2x−y−3=0，再根据垂直及中点在轴上这两个条件求得m，n的值，可得m+n的值【解答】解：由题意可得，对称轴所在的直线即为点(0,2)与点(4,0)构成的线段的中垂线．由于点(0,2)与点(4,0)连成的线段的中点为(2,1)，斜率为−12，故对称轴所在的直线方程为y−1=2(x−2)，即 2x−y−3=0．{n−3m−7×2=−12⋅m+72−n+32−3=0，求再根据点(7,3)与点(m,n)重合，可得{m=35n=315，∴m+n=345，得故选：A．4.【答案】A【考点】双曲线的离心率双曲线的简单几何性质【解析】首先根据直线方程可得过F2，然后根据|OM|＝|OF1|可得直角三角形，结合双曲线定义即可求出结果.【解答】解：根据题意可得直线4x+3y−4c=0经过F2，又|OM|=|OF|，且OF=OF=c，所以MF 1⊥MF 2.由直线4x +3y −4c =0可知tan ∠MF 2F 1=43，可得{|MF 1|−|MF 2|=2a,tan ∠MF 2F 1=|MF 1||MF 2|=43,解得|MF 1|=8a ，|MF 2|=6a ，在Rt △F 1F 2M 中，|MF 1|2+|MF 2|2=|F 1F 2|2，即64a 2+36a 2=4c 2,整理可得25a 2=c 2，所以离心率e =ca =5.故选A.5.【答案】C【考点】点到直线的距离公式直线与圆的位置关系【解析】由题意得圆心到直线的距离小于等于|PC|即|2k −0+k|√k 2+1≤2√2，求解进而即可得结果.【解答】解：由圆C 的方程为x 2+y 2−4x =0，得圆C 的标准方程为(x −2)2+y 2=4，即圆心C(2,0)，半径R =2，又过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，∴P ，C 及两切点构成正方形，即PC =√2R =2√2，又点P 在直线y =k(x +1)上，∴圆心到直线y =k(x +1)的距离为|2k −0+k|√k 2+1≤2√2，解得−2√2≤k ≤2√2，∴实数k 的值可以是2.故选C.6.【答案】A与双曲线有关的中点弦及弦长问题【解析】利用点差法，确定直线MN的斜率，利用直线的点斜式即可得到答案.【解答】解：设M(x1,y1)，N(x2,y2)，由于点A(3,1)是线段MN的中点，所以{x1+x2=6，y1+y2=2，且x1≠x2.又{x21−4y21=4，x22−4y22=4，两式相减整理得：(x1+x2)(x1−x2)−4(y1+y2)(y1−y2)=0，即6×(x1−x2)−4×2×(y1−y2)=0，即y1−y2x1−x2=34，所以直线MN的方程为：y−1=34×(x−3)，即3x−4y−5=0.故选A.7.【答案】A【考点】圆与圆的位置关系及其判定圆的标准方程与一般方程的转化【解析】【解答】解：因为圆M:x 2−6x+y2−2y+9=0的标准方程为(x−3)2+(y−1)2=1，圆N:x 2−2ax+y2+2y+1=0的标准方程为(x−a)2+(y+1)2=a2，所以|a−1|<|MN|<a+1，即|a−1|<√(a−3)2+22<1+a，解得32<a<3．故选A．8.D【考点】直线和圆的方程的应用圆的标准方程【解析】根据垂径定理可得弦AB 的垂直平分线必然过圆心，故利用线段中点坐标公式求出AB 的中点坐标，由A 和B 的坐标求出直线AB 的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为−1求出线段AB 垂直平分线的斜率，由求出的斜率与AB 的中点坐标得出线段AB 的垂直平分线方程，又圆心在x 轴上，令求出的直线方程中y =0，求出x 的值，可确定出圆心C 的坐标，再由A 和C 的坐标，利用两点间的距离公式求出|AC |的长，即为圆C 的半径，由圆心和半径写出圆C 的标准方程即可．【解答】解：∵A(5,1)，B(1,3)，∴线段AB 的中点坐标为(5+12,1+32)，即(3,2)，直线AB 的斜率k AB =3−11−5=−12，∴线段AB 垂直平分线的方程为y −2=2(x −3)，即y =2x −4，又圆心在x 轴上，∴令y =0，得到2x −4=0，即x =2，∴圆心C 坐标为(2,0)，∴圆的半径r =|AC |=√(5−2)2+(1−0)2=√10，则圆C 的方程为(x −2)2+y 2=10．故选D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】P （5，0），Q （1，【考点】轨迹方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系两条直线平行与倾斜角、斜率的关系直线的倾斜角【解析】根据直线倾斜角的范围，可得A 不正确；根据直线的斜率存在，可知当AB 与x 轴垂直时不能用题中方程表示，得B 不正确；根据两条与x 轴都垂直的直线互相平行但斜率都不存在，得C 不正确；根据垂直的两条直线的关系，可得D 正确．【解答】解：对于A ，直线的斜率为k =tanα，当α∈[0,π)时直线的倾斜角是α，但条件中没有α∈[0,π)，故A 不正确；对于B ，若A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，当直线AB 的斜率存在时，AB 的方程为y −y 1y 2−y 1=x −x 1x 2−x 1，但它不能表示斜率不存在的直线，故当AB 与x 轴垂直时不能表示，故B 不正确；对于C ，两条与x 轴都垂直的直线，它们互相平行，但斜率都不存在，故C 不正确；对于D ，根据两条直线垂直的条件，可得斜率之积等于−1的两直线垂直，故D 正确.故选ABC.11.【答案】A,C,D【考点】椭圆的离心率椭圆的定义【解析】由已知求得b ，再由离心率结合隐含条件求得a ，可得椭圆方程，进一步求得通径及△PF 2Q 的周长判断得答案．【解答】解：由已知得，2b =2，b =1，ca =√63，又a 2=b 2+c 2，解得a 2=3．∴椭圆方程为x 2+y 23=1，故A 正确，B 不正确；如图：c=√2，F1(0,−√2)，把y=−√2代入椭圆方程x2+y 23=1，解得：x=±√33，∴|PQ|=2×√33=2√33，故C正确；△PF2Q的周长为4a=4√3，故D正确.故选A，C，D.12.【答案】A,C,D【考点】双曲线的特性双曲线的离心率双曲线的标准方程【解析】本题根据双曲线的定义将A，B两点满足已知条件的所有情况列出来，再根据已知条件求出双曲线中a和c的关系式，从而求出离心率.【解答】解：设|AF1|=3m(m>0)，则|AB|=4m，|BF1|=5m，当A，B均在双曲线的右支上时，由双曲线的定义可知，|AF2|=3m−2a，所以|BF2|=m+2a，所以|BF1|−|BF2|=5m−(m+2a)=2a，解得：m=a，所以|AF1|=3a，|AF2|=a,在Rt△AF1F2中，由勾股定理可得4c 2=9a2+a2=10a2，所以e=ca=√102；当点A在双曲线的左支上时，由双曲线的定义可知，|BF2|=5m−2a，所以|AF2|=9m−2a，所以|AF2|−|AF1|=9m−2a−3m=2a，解得：m=23a，所以|AF1|=2a，|AF2|=4a，在Rt△AF1F2中，由勾股定理可得4c 2=4a2+16a2=20a2，所以e=√5；当A，B分别在双曲线的右支、左支上时，可得：|AF2|=2m，则|F1F2|=√13m，所以e=√13.综上，该双曲线的离心率为√102或√5或√13.故选ACD.三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】√2【考点】双曲线的离心率双曲线的渐近线【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得F(c,0)，不妨设直线OA的方程为y=ba x，直线OB的方程为y=−ba x，则过点F平行于OA的直线FB的方程为y=ba(x−c)，平行于OB的直线FA的方程为y=−ba(x−c)．由{y=ba x，y=−ba(x−c)，得A(c2,bc2a)．于是线段AB与OF互相垂直平分．则四边形OAFB（O为坐标原点）为菱形，其外接圆圆心在AB，OF的交点处，∴OA⊥AF，则→OA⋅→AF=c 24−b2⋅c24a2=0，得a=b ，∴双曲线的离心率e 2=1+b2a2=2，则e=√2 .故答案为：√2.14.【答案】(−2√2,0)∪(0,2√2)【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】圆(x−1)2+(y−a)2=4和圆x2+y2=1相交，两圆圆心距大于两圆半径之差、小于两圆半径之和．【解答】解：由题意可得，圆C ：(x −1)2+(y −a)2=4和圆x 2+y 2=1相交，根据两圆圆心距d =√(1−0)2+(a −0)2=√1+a 2，可得2−1<√1+a 2<2+1，即：−2√2<a <2√2，又∵a 2>0，故实数a 的取值范围是 (−2√2,0)∪(0,2√2).故答案为：(−2√2,0)∪(0,2√2)．15.【答案】-【考点】直线与抛物线的位置关系抛物线的性质【解析】设直线AB 的方程为：x ＝ty +m ，点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，代入抛物线方程，运用韦达定理和三角形的面积，计算可得所求值．【解答】设直线AB 的方程为：x ＝ty +m ，点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，x ＝ty +m 代入y 2＝x ，可得y 2−ty −m ＝0，根据韦达定理有y 1⋅y 2＝−m ，∵＝12，∴x 1⋅x 2+y 1⋅y 2＝12，从而(y 1⋅y 2)2+y 1⋅y 2−12＝0，∵点A ，B 位于x 轴的两侧，∴y 1⋅y 2＝−4，故m ＝4．不妨令点A 在x 轴上方，则y 1>0，又F （，0)，△BFO 的面积是，可得×(−y 2)＝，即有y 1＝1，y 2＝−4，x 1＝1，x 2＝16，直线AB 的斜率是：．16.【答案】√33【考点】椭圆的离心率直线与椭圆结合的最值问题【解析】此题暂无解析【解答】解：设点Q 的坐标为(m,n)，有m 2a 2+n 2b 2=1 ，可得：m 2=a 2(b 2−n 2)b 2，点A 的坐标为(0,b) ,点B 的坐标为(0,−b)，直线BQ 的斜率为n +bm ，可得直线PQ 的方程为：y =n +bm x −b ，代入y =−2b ，可求得点P 的坐标为(−bmn +b ,−2b)；直线AQ 的斜率为n −bm ，则直线AP 的斜率为：3bbmn +b =3(n +b)m ，有n −bm ×3(n +b)m =3(n 2−b 2)m 2=3(n 2−b 2)a 2(b 2−n 2)b 2=−3b 2a 2=−2，可得3b 2=2a 2，有3a 2−3c 2=2a 2，得e =√33.故答案为：√33.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：(1)当t =1时，直线l:2x −3y −1=0，∴k =−2−3=23∴过点O 且与直线l 平行的直线方程y =23x ，即3y −2x =0.(2)由题意得：d =|−t |√(t +1)2+(t +2)2=√5，∴t 2=5(2t 2+6t +5)，即9t 2+30t +25=0,解得t =−53.【考点】点到直线的距离公式直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当t =1时，直线l:2x −3y −1=0，∴k =−2−3=23∴过点O 且与直线l 平行的直线方程y =23x ，即3y −2x =0.(2)由题意得：d =|−t |√(t +1)2+(t +2)2=√5，∴t 2=5(2t 2+6t +5)，即9t 2+30t +25=0,解得t =−53.18.【答案】解：(1)△ABF 的面积S =12(a +c)⋅b =12(a +√a 2−2)⋅√2=√2+1，解得a =2，即椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1 . (2)已知点A(−2,0)，设直线PQ 的方程为x =ty +√2，点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),直线AP 的方程为y =y 1x 1+2(x +2)，直线AQ 的方程为y =y 2x 2+2(x +2)，将x =2√2代入直线AP 、AQ 方程，可得M (2√2,(2√2+2)y 1x 1+2)，N (2√2,(2√2+2)y 2x 2+2)，设以MN 为直径的圆过定点P(m,n)，则→PM ⋅→PN =0，即→PM ⋅→PN =(2√2−m)2+((2√2+2)y 1x 1+2−n)((2√2+2)y 2x 2+2−n)=(2√2−m)2+(2√2+2)y 1x 1+2⋅(2√2+2)y 2x 2+2−n ((2√2+2)y 1x 1+2+(2√2+2)y 2x 2+2)+n 2=(2√2−m)2+(2√2+2)y 1ty 1+√2+2⋅(2√2+2)y 2ty 2+√2+2−n ((2√2+2)y 1ty 1+√2+2+(2√2+2)yty 2+√2+2)+n 2=(2√2−m)2+(2√2+2)2y 1y 2−n(2√2+2)[2ty 1y 2+(√2+2)(y 1+y 2)]t 2y 1y 2+(√2+2)t(y 1+y 2)+(√2+2联立椭圆x 24+y 22=1和直线PQ 的方程为x =ty +√2，可得(ty +√2)2+2y 2−4=0，化简得(t 2+2)y 2+2√2ty −2=0，即y 1+y 2=−2√2tt 2+2 ，y 1y 2=−2t 2+2，代入上式化简得(2√2−m)2+(2√2+2)2(−2)−n(2√2+2)[2t(−2)+(√2+2)(−2√2t)]−2t 2+(√2+2)t(−2√2t)+(√2+2)2(t=(2√2−m)2−2+2√2nt +n 2=0，由此可知，若上式与t 无关，则n =0，又→PM ⋅→PN =0，(2√2−m )2−2=0,m =2√2±√2，因此以MN 为直径的圆恒过定点(√2,0)和(3√2,0) .【考点】椭圆的标准方程椭圆的定义和性质圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】【解答】解：(1)△ABF 的面积S =12(a +c)⋅b =12(a +√a 2−2)⋅√2=√2+1，解得a =2，即椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1 . (2)已知点A(−2,0)，设直线PQ 的方程为x =ty +√2，点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),直线AP 的方程为y =y 1x 1+2(x +2)，直线AQ 的方程为y =y 2x 2+2(x +2)，将x =2√2代入直线AP 、AQ 方程，可得M (2√2,(2√2+2)y 1x 1+2)，N (2√2,(2√2+2)y 2x 2+2)，设以MN 为直径的圆过定点P(m,n)，则→PM ⋅→PN =0，即→PM ⋅→PN =(2√2−m)2+((2√2+2)y 1x 1+2−n)((2√2+2)y 2x 2+2−n)=(2√2−m)2+(2√2+2)y 1x 1+2⋅(2√2+2)y 2x 2+2−n ((2√2+2)y 1x 1+2+(2√2+2)y 2x 2+2)+n 2=(2√2−m)2+(2√2+2)y 1ty 1+√2+2⋅(2√2+2)y 2ty 2+√2+2−n ((2√2+2)y 1ty 1+√2+2+(2√2+2)yty 2+√2+2)+n 2=(2√2−m)2+(2√2+2)2y 1y 2−n(2√2+2)[2ty 1y 2+(√2+2)(y 1+y 2)]t 2y 1y 2+(√2+2)t(y 1+y 2)+(√2+2联立椭圆x 24+y 22=1和直线PQ 的方程为x =ty +√2，可得(ty +√2)2+2y 2−4=0，化简得(t 2+2)y 2+2√2ty −2=0，即y 1+y 2=−2√2tt 2+2 ，y 1y 2=−2t 2+2，代入上式化简得(2√2−m)2+(2√2+2)2(−2)−n(2√2+2)[2t(−2)+(√2+2)(−2√2t)]−2t 2+(√2+2)t(−2√2t)+(√2+2)2(t=(2√2−m )2−2+2√2nt +n 2=0，由此可知，若上式与t 无关，则n =0，又→PM ⋅→PN =0，(2√2−m )2−2=0,m =2√2±√2，因此以MN 为直径的圆恒过定点(√2,0)和(3√2,0) .19.【答案】因为△OAB 是边长为的等边三角形，点A 在抛物线C 上，点B 在x 轴的正半轴上，所以，所以，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ；由题意，联立直线x ＝ty +2与抛物线y 2＝4x 的方程，消去x 可得，y 2−4ty −8＝0，设D(x 1,y 1)，E(x 2,y 2)，则y 1+y 2＝4t ，y 1y 2＝−8，所以|DE |＝，因为点M(0,1)，所以点M 到直线l:x −ty −2＝0的距离为，所以△DEM 的面积S ＝＝，所以＝4(t 2+2)(t +2)＝4(t 3+2t 2+2t +4)，令f(t)＝t 3+2t 2+2t +4，因为t ∈[1,3]，则f ′(t)＝3t 2+4t +2>0，所以f(t)在[1,3]上单调递增，所以f(t)∈[9,55]，故∈[36,220]，所以的取值范围为[36,220]．【考点】抛物线的标准方程直线与抛物线的位置关系抛物线的性质【解析】（1）利用等边三角形的性质得到点A的坐标，从而得到p的等式关系，求出p的值即可得到抛物线的方程；（2）联立直线l与抛物线的方程，得到韦达定理，利用弦长公式求出|DE|，由点到直线的距离公式求出点M到直线l的距离d，从而求出△DEM的面积S，将用t表示出来，构造f(t)＝t 3+2t2+2t+4，利用导数求解函数f(t)的取值范围，即可得到的范围．【解答】因为△OAB 是边长为的等边三角形，点A在抛物线C上，点B在x轴的正半轴上，所以，所以，解得p＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x；由题意，联立直线x＝ty+2与抛物线y 2＝4x的方程，消去x可得，y2−4ty−8＝0，设D(x1,y1)，E(x2,y2)，则y1+y2＝4t，y1y2＝−8，所以|DE|＝，因为点M(0,1)，所以点M到直线l:x−ty−2＝0的距离为，所以△DEM的面积S ＝＝，所以＝4(t 2+2)(t+2)＝4(t3+2t2+2t+4)，令f(t)＝t 3+2t2+2t+4，因为t∈[1,3]，则f′(t)＝3t2+4t+2>0，所以f(t)在[1,3]上单调递增，所以f(t)∈[9,55]，故∈[36,220]，所以的取值范围为[36,220]．20.【答案】解：(1)因为焦点F(p2,0)，所以点A，B的坐标分别为(p2,p),(p2,−p)．所以S△AOB=12⋅2p⋅p2=2，故p=2．故抛物线C的方程为y 2=4x.(2)由题意可知直线l1,l2的斜率存在，且不为0，设直线l1:x=t(y−a)．设点M(x1,y1),N(x2,y2)．联立方程可得{y2=4x,x=t(y−a) 消去x，可得y2−4ty+4at=0．则Δ1=16t2−16at>0.因为y1+y2=4t,y1y2=4at．所以|MN|=√1+t2|y1−y2|=√1+t2√16(t2−at)=4√1+t2√t2−at，焦点F 到直线l 1的距离d =|1+ta |√1+t 2，所以S △FMN =12×4√1+t 2√t 2−at ×|1+ta |√1+t 2=2√t 2−at |1+ta | ．设直线l 2;x =−t(y −a)，与抛物线方程联立可得Δ2=16t 2+16at >0．将t 用−t 替换，可得S △FPQ =2√t 2+at |ta −1|由S △FMN =S △FPQ 可得2√t 2−at |1+ta |=2√t 2+at |ta −1|即√t +at −a =|ta +1ta −1|，两边平方并化简可得t 2=12−a 2，所以2−a 2>0，解得0<a <√2.又由Δ1>0且Δ2>0得t <−a 或t >a ，可知t 2>a 2，所以12−a 2>a 2，即(a 2−1)2>0，所以a ≠1，所以实数a 的取值范围是(0,1)∪(1,√2)．【考点】抛物线的求解抛物线的标准方程直线与抛物线的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)因为焦点F (p2,0)，所以点A ，B 的坐标分别为(p2,p ),(p2,−p )．所以S △AOB =12⋅2p ⋅p2=2，故p =2．故抛物线C 的方程为y 2=4x.(2)由题意可知直线l 1,l 2的斜率存在，且不为0，设直线l 1:x =t(y −a)．设点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)．联立方程可得{y 2=4x,x =t(y −a) 消去x ，可得y 2−4ty +4at =0．则Δ1=16t 2−16at >0.因为y 1+y 2=4t,y 1y 2=4at ．所以|MN |=√1+t 2|y 1−y 2|=√1+t 2√16(t 2−at )=4√1+t 2√t 2−at ，焦点F 到直线l 1的距离d =|1+ta |√1+t 2，所以S △FMN =12×4√1+t 2√t 2−at ×|1+ta |√1+t 2=2√t 2−at |1+ta | ．设直线l 2;x =−t(y −a)，与抛物线方程联立可得Δ2=16t 2+16at >0．将t 用−t 替换，可得S △FPQ =2√t 2+at |ta −1| 由S △FMN =S △FPQ 可得2√t 2−at |1+ta |=2√t 2+at |ta −1|即√t +at −a =|ta +1ta −1|，两边平方并化简可得t 2=12−a 2，所以2−a 2>0，解得0<a <√2.又由Δ1>0且Δ2>0得t <−a 或t >a ，可知t 2>a 2，所以12−a 2>a 2，即(a 2−1)2>0，所以a ≠1，所以实数a 的取值范围是(0,1)∪(1,√2)．21.【答案】解：(1)圆C:(x +1)2+y 2=4，C(−1,0),r =2.因为直线l 与圆C 相离，所以d >r ，所以|t −1|√2>2，所以|t −1|>2√2，所以t −1>2√2或t −1<−2√2，所以t >2√2+1或t <1−2√2.(2)|MN |=2√r 2−d 2=2√4−d 2=2√2，所以d 2=2，所以d =√2，所以|t −1|√2=√2，所以|t −1|=2，所以t =−1或3.令y =0则x =−t ，所以直线l 在x 轴上的截距为−3或1.(3)假设存在满足题意的实数t ，联立方程{x 2+y 2+2x −3=0x +y +t =0，消去y ，整理得2x 2+2(t +1)x +t 2−3=0，因为直线l 与圆C 有两个交点P ，Q ，所以Δ>0，解得1−2√2<t <1+2√2.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)，则x 1+x 2=−(t +1),x 1x 2=t 2−32.因为|PA |=|QA |，所以点A 在直线y =x +1上，令x =0得y =1，所以b =1，所以A(0,1)，因为PA ⊥QA ，所以x 1x 2+(y 1−1)(y 2−1)=0，即：x 1x 2+(−x 1−t −1)(−x 2−t −1)=0，整理得：2x 1x 2+(t +1)(x 1+x 2)+t 2+2t 2+1=0，把x 1+x 2=−(t +1),x 1x 2=t 2−32代入得t 2=3，所以t =±√3，满足Δ>0.所以存在实数t =±√3.【考点】直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)圆C:(x +1)2+y 2=4，C(−1,0),r =2.因为直线l 与圆C 相离，所以d >r ，所以|t −1|√2>2，所以|t −1|>2√2，所以t −1>2√2或t −1<−2√2，所以t >2√2+1或t <1−2√2.(2)|MN |=2√r 2−d 2=2√4−d 2=2√2，所以d 2=2，所以d =√2，所以|t −1|√2=√2，所以|t −1|=2，所以t =−1或3.令y =0则x =−t ，所以直线l 在x 轴上的截距为−3或1.(3)假设存在满足题意的实数t ，联立方程{x 2+y 2+2x −3=0x +y +t =0，消去y ，整理得2x 2+2(t +1)x +t 2−3=0，因为直线l 与圆C 有两个交点P ，Q ，所以Δ>0，解得1−2√2<t <1+2√2.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)，则x 1+x 2=−(t +1),x 1x 2=t 2−32.因为|PA |=|QA |，所以点A 在直线y =x +1上，令x =0得y =1，所以b =1，所以A(0,1)，因为PA ⊥QA ，所以x 1x 2+(y 1−1)(y 2−1)=0，即：x 1x 2+(−x 1−t −1)(−x 2−t −1)=0，整理得：2x 1x 2+(t +1)(x 1+x 2)+t 2+2t 2+1=0，把x 1+x 2=−(t +1),x 1x 2=t 2−32代入得t 2=3，所以t =±√3，满足Δ>0.所以存在实数t =±√3.22.【答案】解：(1)由|PF 1|+|PF 2|=2a =2√2，可得a =√2，∴椭圆C 的方程为x 22+y 2b 2=1，将P (√62,12)代入可得34+14b 2=1，解得b 2=1，∴椭圆方程为x 22+y 2=1.(2)易求得右焦点F(1,0)，若直线l 斜率不存在时，k 1+k 2=0，不合题意，舍去；设直线l 的方程为y =k(x −1)，联立方程：{y =k(x −1),x 22+y 2=1,化简得(1+2k 2)x 2−4k 2x +2k 2−2=0，设直线l 与椭圆C 的两个交点为M (x 1,y 1) ，N (x 2,y 2)，根据韦达定理得x 1+x 2=4k 21+2k 2，x 1x 2=2k 2−21+2k 2，而k 1=y 1x 1+√2，k 2=y 2x 2+√2，又有k 1+k 2=3，所以y 1x 1+√2+y 2x 2+√2=k (x 1−1)x 1+√2+k (x 2−1)x 2+√2=k 2x 1x 2+(√2−1)(x 1+x 2)−2√2x 1x 2+√2(x 1+x 2)+2=k 4k 2−4+(√2−1)4k 2−2√2(2k 2+1)2k 2−2+4√2k 2+2+4k 2=k −(4+2√2)(6+4√2)k2=−(4+2√2)(6+4√2)k =3，解得k =−2−√23，∴直线l:y =−2−√23(x −1)，即(2−√2)x +3y −(2−√2)=0.【考点】椭圆的标准方程直线与椭圆的位置关系【解析】(1)根据椭圆的定义可得a =√2，再根据点P (√62,12)在椭圆C 上建立等式求解，即可求得椭圆C 的方程；(2)设直线I 的方程为y =k(x −1)，与抛物线联立结合韦达定理得x 1+x 2=4k 21+2k 2，x 1x 2=2k 2−21+2k 2再根据题意k 1+k 2=3建立关于k 的方程，解出k 即可得直线l 方程．【解答】解：(1)由|PF 1|+|PF 2|=2a =2√2，可得a =√2，∴椭圆C 的方程为x 22+y 2b 2=1，将P (√62,12)代入可得34+14b 2=1，解得b 2=1，∴椭圆方程为x 22+y 2=1.(2)易求得右焦点F(1,0)，若直线l 斜率不存在时，k 1+k 2=0，不合题意，舍去；设直线l 的方程为y =k(x −1)，联立方程：{y =k(x −1),x 22+y 2=1,化简得(1+2k 2)x 2−4k 2x +2k 2−2=0，设直线l 与椭圆C 的两个交点为M (x 1,y 1) ，N (x 2,y 2)，根据韦达定理得x 1+x 2=4k 21+2k 2，x 1x 2=2k 2−21+2k 2，而k 1=y 1x 1+√2，k 2=y 2x 2+√2，又有k 1+k 2=3，所以y 1x 1+√2+y 2x 2+√2=k (x 1−1)x 1+√2+k (x 2−1)x 2+√2=k 2x 1x 2+(√2−1)(x 1+x 2)−2√2x 1x 2+√2(x 1+x 2)+22−4+(√2−1)4k2−2√2(2k2+1)2k2−2+4√2k2+2+4k2 =k4k=k−(4+2√2)(6+4√2)k2=−(4+2√2)(6+4√2)k=3，√23，解得k=−2−√23(x−1)，∴直线l:y=−2−即(2−√2)x+3y−(2−√2)=0.。
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湖南师大附中2023届高三月考试卷（六） 数学 命题人、审题人：高三数学备课组 时量：120分钟 满分：150分 得分：______ 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知复数z满足i11i1iz
，则z（ ）
A．2i B．2i C．2i D．2i 2．已知集合
22(,)2,,,(,)10AxyxyxyBxyxZZ
，则AB的元
素个数为（ ） A．9 B．8 C．6 D．5 3．已知函数()3ln||fxxx，则()fx的图象大致为（ ）
A． B． C． D． 4．我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古 代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD是由4
个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若,ABaADb，E为BF的中点，则AE（ ）
A．4255ab B．2455ab C．4233ab D．2433ab
5．6()(2)axx
的展开式中5x的系数是12，则实数a的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7 6．已知四棱锥PABCD的底面是边长为2的正方形，Q为BC的中点，PQ面ABCD，且2PQ，动点N在以D为球心，半径为1的球面上运动，点M在面ABCD内运动，且5PM，则MN长度的最小值为（ ）
A．352 B．23 C．52 D．332
7．设1sin
8
19
,e1,ln47abc，e为自然对数的底数，则（ ）
A．abc B．acb C．cab D．bca 8．已知函数213()3sinsin(0)222xfxx，若()fx在3,22上无零点，
则的取值范围是（ ） A．280,,99 B．2280,,939 C．280,,199
D．28,[1,)99
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．已知正方体1111ABCDABCD的棱长为1，点P是棱1CC
上的一个动点（包含端点），
则下列说法不正确的是（ ） A．存在点P，使DP∥面11ABD B．二面角1PBBD
的平面角为60
C．1PBPD
的最小值是5 D．P到平面11ABD的距离最大值是33
10．定义：如果函数()fx在[,]ab上存在1212,xxaxxb，满足
12
()()fafbfxfxab
，则称12,xx为[,]ab上的“对望数”，函数()fx为[,]ab上
的“对望函数”．下列结论正确的是（ ） A．若函数()fx为[,]ab上的“对望函数”，则()fx在[,]ab上单调
B．函数2()fxxmxn
在任意区间[,]ab上都不可能是“对望函数”
C．函数321()23fxxx是[0,2]上的“对望函数”
D．函数()sinfxxx是11,
66
上的“对望函数”
11．已知双曲线2222:1(0)xyCabab的左，右顶点分别为12,AA，点P，Q是双曲线
C上关于原点对称的两点（异于顶点），直线121,,PAPAQA
的斜率分别为121,,PAPAQAkkk，若
1234PAPAkk，则下列说法正确的是（ ） A．双曲线C的渐近线方程为34yx B．双面线C的离心率为72
C．11PAQA
kk
为定值 D．12tanAPA的取值范围为(0,)
12．定义在R上的函数()fx与()gx的导函数分别为()fx和()gx，若(1)(2)2,()(1)gxfxfxgx，且(2)gx为奇函数，则下列说法一定正确的
是（ ） A．(2)0g B．函数()fx关于2x对称
C．函数()fx是周期函数 D．2023
1()0kgk
第Ⅱ卷 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为______． 14．平面直角坐标系xOy中，已知AB是圆22:(1)(1)2Cxy
的一条弦，且
ACBC，M是AB的中点，当弦AB在圆C上运动时，直线:3490lxy上总存在
P，Q两点，使得2PMQ
恒成立，则线段PQ长度的取值范围是______．
15．已知()exfx
（e为自然对数的底数），()ln2gxx，直线l是()fx与()gx的公
切线，则直线l的方程为______．
16．如图，已知椭圆22122
:1(0)xyCabab和抛物线22:2(0)Cypxp的一个交点
为P，直线PO交1C于点Q，过Q作PQ的垂线交1C于点R（不同于Q），若PR是2C的切线，则椭圆1C的离心率是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 如图，ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且22cosacbC． （1）求角B的大小； （2）已知3b，若D为ABC△外接圆劣弧AC上一点，求ADDC的最大值． 18．（本小题满分12分）
在数列na中，11a，其前n项和为nS，且满足2212,2nnnaSSnnN．
（1）求证：数列1nS是等差数列； （2）证明：当2n时，1231113232nSSSSn． 19．（本小题满分12分） 如图，在直四棱柱1111ABCDABCD中，底面1111ABCD是梯形，且
11111111111111,1,2ABDCADDDDCABADAC∥，E是棱11AB的中点．
（1）求证：CDAD； （2）求点1C到平面11CDB的距离； （3）求二面角11DCEB的余弦值． 20．（本小题满分12分） 基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中笔试通过后才能进入面试环节．2021年有3500名学生报考
某试点高校，若报考该试点高校的学生的笔试成绩2,N，其正态密度函数22()21()e2xfx
的最大值为220，且(50)(70)PP．笔试成绩高于70
分的学生进入面试环节． （1）求和； （2）从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，求这10人中至少有一人进入面试的概率； （3）现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为13、13、12、12．设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
附：若2,XN，则(||)0.6827PX，(||2)0.9545PX，100.841350.1777，100.977250.7944
．
21．（本小题满分12分）
过抛物线22(0)ypxp的对称轴上的定点(,0)(0)Mmm，作直线AB与抛物线相交于A，B两点．
（1）证明：A，B两点的纵坐标之积为定值； （2）若点N是定直线:lxm上的任一点，设直线,,ANMNBN的斜率分别为123,,kkk，试探索123,,kkk之间的关系，并证明． 22．（本小题满分12分） 已知函数()esincos,()cos2exxfxxxgxxx，其中e是自然对数的底数．
（1）判断函数()yfx在0,2内零点的个数，并说明理由；
（2）任意10,2x，存在20,2x，使得不等式12fxgxm成立，试求实数m的取值范围； （3）若1x，求证：()()0fxgx． 湖南师大附中2023届高三月考试卷（六）
数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C A A C C C B BD BCD BCD ACD
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．D【解析】因为i11i1iz，所以12i1i1iz
，所以
2(12i)(1i)(12i)(1i)2i(12i)2i1i22z
．故选D．
2．C 【解析】因为集合