比例线段讲义

比例线段讲义(总8页)
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精锐教育学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级： 课 时 数：
学员姓名： 辅导科目： 学科教师：应风平
授课 类型
T （比例线段的概念） C （比例线段的性质） T （比例线段的应用）
授课
日期时段
教学内容
知识点1 相似图形
形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. 知识点2 比例线段的相关概念
如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是n m b a =，或写成n m b a ::=．
注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位．
在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．
注意：
(1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．
(2)比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a
d c b =． 知识点3 比例的性质
基本性质：
(1)bc ad d c b a =⇔=::；
(2)b a c b c c a ⋅=⇔=2::．
注意：
由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除 了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．
更比性质(交换比例的内项或外项)：
经典题型分析：
类型1 比例线段
1、 已知a 、b 、c 、d 是四条线段，它们的长度如下，试判断它们是不是成比例线段
⑴a =1mm , b= , c= , d=4cm;
⑵7
11=a cm , b= , c=40cm , cm d 213=.
[说明] 解题小结：①统一单位；②从大到小（从小到大）排列；③通过求比例或求积判断.
变式：1、（1）已知线段a ＝30mm ，b ＝2cm ，c ＝45
cm ，d ＝12mm ，试判断a 、b 、c 、d 是否成比例线段.
（2）已知a 、b 、c 、d 是比例线段，其中a ＝6cm ，b ＝8cm ，c ＝24cm,则线段d 的长度是多长
2、四条线段d c b a ,,,满足d
c b a =，则以下比例式不成立的是____________ A 、
d b c a = B 、c b a d = C 、b a d b c a =++ D 、d
d c b b a +=+
3、⊿ABC 中，如果4:3:=CB AC ，∠C 的内角平分线交AB 于P ，那么=PB PA : ;
4、已知a =3 cm ，b =6 cm ，求a ，b ，(a +b )的第四比例项.
类型2 比例的性质
1、比例的基本性质
2、（1）如果bc ax =，那么将x 作为第四比例项的比例式是（ ）
A x a c b =
B b c x a =
C x c b a =
D c
a b x = （2）若53=-y y x ，则=y
x ；
变式：
1.
43=y x ，则=+y
y x __________; 2.如果5:4:3::=c b a ，那么
=+--+c b a c b a 3532 ；
3.若0622=--y xy x ，则=y x : ；
4.三线段a 、b 、c 中，a 的一半的长等于b 的四分之一长，也等于c 的六分之一长，那么这三条线段的和与b 的比等于（ ）
A 6:1
B 1:6
C 3:1
D 1:3
5.已知,4:)2()4(:-=+x x x 求x 的值.
2、比例的合比性质
3、（1）已知3==d c b a ，求d d
c b
b a ++和 （2）如果k d
c b a ==，那么
d d
c b
b a +=+成立吗 （3）如果k d
c b a ==，那么
d d
c b
b a -=-成立吗为什么
合比性质：
变式.2==d c b a ，求d d c b b a ++和和b
b a b b a 2-2和+的值。

3、比例的等比性质
3、如果f e d c b a ==，那么b a
f d b e c a =++++成立吗
等比性质：
变式：
1、已知：).0(,5
2≠+==d b d c b a 则=++d b c a
2、已知：
432z y x ==，求z y x z y x -+++的值；
3、若
k a
c b b c a c b a =+=+=+，（c b a ,,都是实数），则k=______ 或-1 D.无法确定
类型3 比例中项
4、（1）线段a ，b 的积是625，则a 、b 的比例中项是 ；
（2）数3和12的比例中项为____________
变式：1、已知线段1=a ，4=b ，则线段b a ,的比例中项为_____________；
2、已知17,17+=-=b a ，则b a ,的比例中项为____________;
3、如图，⊿ABC 中，∠C = 090，CD 是斜边AB 上的高，AD = 9，BD = 4，那么 CD = ；AC = ；
类型4 平行线线段成比例定理
5、如图，⊿ABC 中，DE ∥BC ，AD = 3k ，BD = 3k ，那么=BC DE : ；
变式1. 如图，DE ∥BC,在下列比式中，不能成立的是（ ）
.AD AE A DB EC = .DE AE B BC EC = .AB AC C AD AE = .DB AB D EC AC =
3、如图，1l ∥2l ∥3l ，那么EG FG
= ；
EF AF
FC FD AE AC
3、在阳光下，身高的小强在地面上的影长为2m ，在同一时刻，测得学校的旗在地面上的影长为18m.则旗杆的高度为_____（精确到）.
6、 如图，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AD=4cm ，BD=8cm ，DE=5cm ，求线段BF 的长.
变式：
1、如图，已知△ABC ，延长BC 到D ，使CD=BC.取AB 的中点F ，连接FD 交AC 于点E. （1）求 的值
（2）若AB=a,FB=EC ，求AC 的长.
2、如图，G 为⊿ABC 的重心，GF ∥AC ，求DF :FC 、BC :BF 的值；
3、 如图，已知△ABC 中，AE:EB=1:3，BD:DC=2:1,AD 与CE 相交于F.
求 的值.
类型5 黄金分割比
7、 若线段AB =1，点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，则AC =________.
变式：
1、 E 、F 为线段AB 的黄金分割点，已知AB=10cm ，则EF 的长度为_____cm.
2、今年我市各所学校开展“书香校园工程”，小明发现自己所阅读的一本书的宽与长之比为黄金分割比，已知这本书的长为20cm ，则它的宽约为（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
3、如图，ABC ∆中，CD A AC AB o ,36,=∠=是角平分线，则AB
CD 等于( ) A 、21-5 B 、22-5 C 、31-5 D 、3
2-5
课后练习：
一、填空
1．
,3
2=b a 则=+b a a __________; 2．已知,23=y x 求=+-y
x y x 22_____________; 3．在比例尺为1︰500000的地图上，量得甲、乙两地的距离是25㎝，则两地的实际距离是 。

4．已知点P 在线段AB 上，且AP ︰PB ＝2︰5，则AB ︰PB ＝ ，AP ︰AB ＝ 5．如图，已知AD AE DB EC =，AD ＝15，AB ＝40， AC ＝28，则AE ＝ 。

6．已知：线段a ＝3，b ＝2，c ＝4，则b 、a 、c 的第四比例项d ＝ ；
则a 、b 、(a －b )的第四比例项是 ；3a 、(2a －b )的比例中项是 。

7. 把一个矩形的硬纸片剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，那么原
矩形的长边和短边之比为 。

8. 求x ： ①5:3:4=x ②9:11:)2(=+x x ③12::3x x = ④)1(::1x x x -=
9. 已知235x y z ==，且3x ＋4z －2y ＝40，求x 、y 、z 的值。

A B
C
D E。