24.2比例线段优秀课件
(课件)24.2相似图形的性质(成比例线段)
a 各等于多少？ ab
、
习题和24.2
3．判断下列各组线段是否是成比例线段： （1） 2厘米，3厘米，4厘米，1厘米； （2） 1．5厘米，2．5厘米，4．5厘米，6．5厘米； （3） 1．1厘米，2．2厘米，3．3厘米，4．4厘米； （4） 1厘米，2厘米，2厘米，4厘米．
∴ ad＝bc， 在等式两边同加上ac， ∴ ad＋ac＝bc＋ac， ∴ ac－ad＝ac－bc， ∴ a（c－d）＝（a－b）c， 两边同除以（a－b）（c－d）， a c ∴ ab cd
．
a b ， 2．已知： 线段a、b、c满足关系式 b c 且b＝4，那么ac＝______．
之间有关系_______________
图 24.2.1
像这样，对于四条线段a、b、c、d，如果 其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的 a c 比， 如 b d （或a∶b＝c∶d），那么，
这四条线段叫做成比例线段，简称比例 线段．此时也称这四条线段成比例．
例1判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：
a c ab cd ； 例2 证明：（1）如果 ，那么 b d b d
a c 证明（1）∵ b d
在等式两边同加上1， a c ∴ 1 1 b d
∴
ab cd b ． d
（2）
a c （2） ∵ b d
a c a c 如果 ，那么 a b c d b d
（1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10； 5 1 a 4 2 c 解 （1） ∵ b 6 3 d 10 2
a c ， ∴ bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱd
，
，
∴ 线段a、b、c、d不是成比例线段．
24.2(2)比例线段 (黄金分割)
24.2比例线段（2）上海市风华初级中学方忠平教学内容分析本课主要是两个部分.第一部分是线段的比例中项问题；第二部分是黄金分割及黄金数的有关知识.教学目标1. 会运用同高(或等高)的两个三角形的面积之比等于对应底边的比,进行三角形的面积比与线段比的转化.2. 在比例线段性质的证明与运用过程中,体会方程思想的作用.3. 会找出一条线段的黄金分割点，找出一个图形中的黄金分割点.4.经历黄金分割点的探索过程，从中体会转化、分类讨论的思想方法. 教学重点及难点重点：黄金分割的意义.难点：熟练并灵活运用黄金分割的意义解题．教学用具准备投影仪、笔记本，预习本教学流程设计教学过程一、 情景引入1．观察（1） 请同学们欣赏一段芭蕾舞表演， 对学生视觉上形成美的冲击.师:“芭蕾舞在跳法上和其他舞种有什么区别吗？” 生:“要掂起脚尖.”师:“你们想知道这是为什么吗？”让学生有了强烈的求知欲.（2） 展示四个国家的国旗.中华人民共和国 朝鲜 新西兰 新加坡2．思考师：请问这四面国旗中有共同图案吗？若有，请指出来.师：为什么都会选择五角星这个图案呢？除了政治因素外，还有一个非常重要的原因就是：五角星是一个非常完美的图案. 古希腊数学家毕达哥拉斯有一句名言：“凡是美的东西，都具有共同的特征，这就是部分与部分以及部分与整体之间的协调一致.”下面就让我们从数学的角度来探究五角星中部分与部分以及部分与整体之间存在着怎样的一种关系.[说明] 通过创设情境“四个国家的国旗中都有五角星这个图案”，就会使同学们认识到五角星这个图案不一般，也就会非常想知道五角星中部分与部分以及部分与整体之间到底蕴涵着怎样的一种关系.有了探究的欲望，就会很乐意完成下面的做一做.3．讨论度量点C 到点A 、B 的距离，计算AB AC 和AC BC 的值，你发现了什么？[说明」（通过学生亲自动手操作、计算，最终发现了AB AC ＝ACBC ，即部分与部分之比等于部分与整体之比，符合毕达哥拉斯的审美观点，很自然地就引出了黄金分割的概念.）二、学习新课1．概念辨析例题1 如图，线段AB 的长度是l ，点P 为线段AB 上的一点，AB AP AP PB =，求线段AP 的长.如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB （AP>PB ）两段，其中AP 是AB 和PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P 称为线段AB 的黄金分割点AP 与AB 的比值为215-，近似值为0.618，这个比值称做黄金分割数（简称黄金数）.师：下面就让我们来解决刚才的问题，若由黄金分割点来看，理想身材的黄金分割点是肚脐，即一个人的上半身的长度与下半身的长度的比值或下半身的长度与整个身高的比值越接近0.618，就会越给別人有一种美的感觉.但是很可惜，一般人的这个比值大约只有0.58到0.60左右（腿长的人会有较高的比值），由此可见，芭蕾舞演员掂起脚尖跳舞是为了提高这个比值，增加美感.现实生活中这样的例子也很多，比如：女性穿高跟鞋，会让人体看起来更美些.黄金分割是古希腊数学家毕达哥拉斯发现的，古希腊人把它广泛应用于艺术创作当中，其中最经典的作品就是雕像——维纳斯女神，她的上半身和下半身的比率正是0.618.[说明]当学生了解了黄金分割的概念之后，再来解决芭蕾舞演员跳舞要掂起脚尖的问题，并欣赏雕像-----维纳斯女神，能使学生感受到黄金分割的美学价值.2．例题分析 问题一（1） 线段AB 有没有除点P 以外的黄金分割点呢？（2） 点D 应满足怎样的条件？（3） 在五角星中点D 是线段AB 的黄金分割点吗？（4） 你还发现了什么？ [说明]（这四个问题是有层次性的，问题（1）的结论是显然的，但学生得到的方法却是多样的，有的是凭直觉，有的是利用轴对称得到的，有的是采用旋转方法得到的；问题（2）进一步强化了黄金分割的概念；有了问题1的铺垫，问题（3）、（4）的结论很容易得出，A P BD这时学生就真正体会到了五角星确实是一个完美的图形，进一步感受到了黄金分割的美.）问题二师：下面我们再来了解黄金分割在现实生活中的应用.请同学们观察两幅照片，哪一更具有美感呢？师：你们知道这是为什么吗？因为绝对的对称会给人单调、静止、缺乏活力的感觉，为了打破这种感觉，我们在构图的时候，就需要灵活地运用黄金分割来构图，把画面的上下左右用黄金分割来做出4条线，人们发现4条线交汇的4个点是人们的视觉最敏感的地方，被反复证明的是当被摄主体处于或发布在这4个点附近最容易得到“眼球”，在摄影理论里把这4个点称为“趣味中心”.[说明]学生选择图（2）完全是一种直觉，并不明白其中的原因，当把上述道理讲给学生听时，他们对黄金分割的美学价值有更深的认识.问题三师：下面再来看看黄金分割在建筑上的应用.（展示巴黎埃斐尔铁塔、上海东方明珠电视塔、古埃及金字塔三幅图片，讲述其中蕴涵的黄金分割比例，体会黄金分割在建筑上的应用价值和人文价值.）问题四师：同学们已经了解到线段的黄金分割是完美的分割，事实上现实生活中还有另外一种有趣的黄金分割现象.请同学们在下面十个矩形中（请若干个同学来找出他认为最合乎美的矩形，最后大部分同学将目标锁定在第①、⑤、⑧和⑩这四个矩形上，此时告诉他们这四个矩形分别是5×8，8×13，13×21，21×34的矩形，请他们用计算器算出这四个矩形的宽与长的比值（结果保留3个有效数字），结果分别是：0.625，0.615，①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩0.619，0.618，这时同学们惊奇地发现这四个矩形的宽与长的比值均接近于黄金比，从而引出黄金矩形的概念.[说明]黄金矩形的概念并不是直接告诉学生的，而是通过亲身经历这么一个活动过程，自己感悟到合乎美的矩形和黄金分割的内在联系.） 矩形的宽与长的比为黄金比，这样的矩形称之为黄金矩形.师：古希腊人已经发现黄金矩形是最合乎美的矩形，他们将建筑物的门、窗的轮廓都设计成黄金矩形的形状，其中最著名的就是巴特农神庙.如果把巴特农神庙的轮廓抽象为矩形ABCD ，以矩形ABCD 的宽为边在其内部作正方形AEFD ，那么我们可以惊奇的发现，BC AB BE BC =，点E 是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？[说明]这里涉及到比例变形的一些技巧，要给学生时间进行充分的交流.最终发现巴特农神庙的轮廓为黄金矩形，展示了黄金分割的文化价值.师：黄金矩形之所以称为黄金矩形，并不仅仅因为它的宽与长的比等于黄金比，更重要的是：由上述方法作图后得到的新的矩形BCFE 也为黄金矩形（原因留给同学们课后思考）.巴特农神庙之所以神奇，并不仅仅因为它的的轮廓恰好为黄金矩形，它有更深层次的美.[说明]动画演示巴特农神庙在构造上不断符合黄金矩形的神奇现象. 通过动画演示巴特农神庙在构造上不断符合黄金矩形的神奇现象，同学们已经被巴特农神庙中所蕴涵的建筑艺术所折服，使学生再一次感受到了黄金分割和黄金矩形的美学价值.3．问题拓展例题2 已知：如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AOD BOC S S ∆∆= 求证：OA CO OB DO =. 证略 尝试：（1）作顶角为036的等腰三角形ABC;（2）分别量出底边BC 与腰AB 的长度;OA B D C（3）作B ∠的平分线，交AC 于点D ，量出BCD ∆的底边CD 的长度.最后，分别求出ABC ∆与BCD ∆的底边与腰的长度的比值（精确到0.001）问：比值是多少？所以我们把顶角为o 36的三角形称为黄金三角形.它具有如下的性质：（1）618.0≈ABBC ; （2）设BD 是ABC ∆的底角的平分线，则BCD ∆也是黄金三角形，且点D 是线段AC 的黄金分割点;（3）如再作C ∠的平分线，交BD 于点E ，则CDE ∆也是黄金三角形，如此继续下去，可得到一串黄金三角形.巩固练习已知点C 是线段AB 的黄金分割点AC ＝555-，且AC ＞BC ，求线段AB 与BC 的长.课堂小结1、今天我们共同研究了什么数学知识？2、和以往的数学知识相比，今天的内容有什么不同？作业布置书后练习1、2、3，练习册24.2（2）教学设计说明本节课的研究对象是“黄金分割”，我采用从“美学”——“数学”的逻辑顺序去阐述这个课题，能够极大的提高学生探究的兴趣.并且引用了四个生活中的例子，使学生在不断享受“美”的过程中掌握知识，体验数学的社会功能.。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 24.2 比例线段-黄金分割 课件
比例的等比性质：
如果
a
,b
c d
k
(b,
d
0)
那么
ac a c _b___d___b____d_.
k
a k b a kb
c k d c kd
a c kb kd k bc bd
例1 在梯形ABCD中，对角线AC与BD相交于点
O，SAOD
SBOC ，求证：
DO OB
CO OA
想一想：将条件 SAOD SBOC 换成DC//AB，其它条 件不变，能证明原来的结论正确吗？
AC AD
1.如图，在△ ABC中，点D、E分别在AB、AC
上，且 AD AE
DB EC
.已知S △ ADE=1，S △ DBC=12，
求S △ ABC.
H
3.已知四条线段长分别为1厘米， 2 厘米，2厘米，
x厘米，它们是成比例线段，则x=
厘米.
例2 如图，线段AB的长度为l，点P是线段AB上一 点， PB AP (线段AP是PB、AB的比例中项）,
我们做过调查，如果市场上有的电视频主要 有两种，一种是宽:长为3∶4的，另一种是 9∶16的.这两个比值都很接近0.618，也就 是因为黄金矩形是最美的.
画家们发现，按 0.618∶1来设计腿长与 身高的比例，画出的人 体身材最优美，
现今的女性，腰身以下 的长度平均只占身高的 0.58，因此古希腊维纳 斯女塑像及太阳神阿波 罗的形象都通过故意延 长双腿，使之与身高的 比值为0.618，
B P1
∵点P1称为AB的 黄金分割点 （点P1靠近B）
P1B AP1 5 1 0.618 (黄金数) AP1 AB 2
∵点P2称为AB的 黄金分割点 （点P2靠近B）
《比例线段》PPT课件 (公开课获奖)2022年浙教版 (1)
的一个较小的取值范 围 ,逐一将这些可取
数式的值，如下表：
3
的值代入方程进行尝
x
13 14
15 16 17 18 …
试检验.能使方程左右 两边相等的未知数的
值就是方程的解.这种
2x 12 3 8 4 0
3
33
14
尝试检验的方法是解 决问题的一种重要的 方法.
由上表知，当x＝15时，2 x 12 3
方程的两边都是整式，只含 有一个未知数，并且未知数 的指数是一次，这样的方程 叫做 一元一次方程 。
⒈判断以下各式哪些是一元一次方
程 ? (1)5x =0
√
x (2)y2 =4 +y
√ (3)3m +2 =1 -m
(4)1 +3x
x
(5) 3 4 x
x
⒉你能写出一个一元一次方程吗 ?
3、小强、小杰、张明参加投篮比赛 ,每人投20次.小强投进10个
清代数学家李善兰翻译外国数学著作时 ,开始将 equation一词译为 "方程〞 ,至||今一直这样沿用.
在小学我们已经学过,方程是指含有未知数的等式.
运用已学的知识 ,根据以下问题中的条件 ,分别列出
方程：
1、一件衣服按 8 折销售的售价为72元,这件衣服的原价是多
少元? 设这件衣服的原价为x元,可列出方程
称比例线段．
5 做一做
线段a =10mm ,b =6cm ,c =2cm ,d =3cm. 问：这四条线段是否成比例 ?为什么?
解：这四条线段成比例
∵a =10mm =1cm
∴
a＝ c
1 ，d＝ 2b
3＝ 6
1 2
∴
a c
初中数学《比例线段》优质课PPT课件
和
2 3
的比例中项是什么？
（3）若线段a=2cm,b=8cm,则线段a和b 的比例中项是什么?
摄影作品之美
判断题
(1).如图，点 P是线段 AB的黄金分割点，
( AP BP),则 AP BP .
（）
AB AP
A
P
B
(2). 已知，线段 MN 被点C黄金分割， (MC NC), 则 MC2 MN • NC
比例线段（３）
判断下列几组数成比例的是: (1)1,3,3,9
(2)2,3,4,5
(3)-1,2,2,-4
概念:
一般地，如果三个数a,b, c满足
比例式 a b (或a : b b : c),则 bc
b就叫做a, c的比例中项。
练习1：
（1）1是不是
1
1 2
和
2 3
的比例中项？
(2)
11 2
468m
欣赏之三:上海东方明珠塔
上海东方明珠电视塔高 468m,上球体到塔底的 距离约为289.2m, 289.2 与468的比值是一个神奇 的数字,这个塔的设计精 巧,外型匀称、漂亮、美 289.2m 观、大方.
A
D
E
F
B
C
欣赏之四: 蒙娜丽莎
著名画家达·芬奇的蒙 娜丽莎,拉斐尔笔下温和、 俊秀的圣像,其漂亮的面 部是矩形ABCD的宽BC 与长AB的比也是一个神 奇的数.
MCNຫໍສະໝຸດ 二、请你欣赏 感受匀称 协调之美
欣赏之一:
世界艺术珍品——维纳斯 女神, 她是西元前一百多 年希腊雕塑鼎盛时期的代 表作，她的上半身(以肚脐
眼为分界点)和下半身的比 值接近0.618.
欣赏之二: 芭蕾舞
初中数学《比例线段》课件
如果两个数a、b的比值与另两个 数c、d的比值相等，那么这四个 数a、b、c、d成比例。
a c a : b c : d或 b d
（a,b,c,d均不为零）
3 9 (1)比例式 的两个内项的积为 18 ， 2 6 两个外项的积为 18 。
一样
有关a、b、c、d成立的比例式吗？
a c a b d c d b , , , , b d c d b a c a
b d c d b a c a , , , a c a b d c d b
例1、根据下列条件，求
a 的值。 b
(1)2a 3b
a b (2) 5 4
利用等式性质
设比值法
3 1 bb b 解法三： a 3 3 a-b a-b 4 1 由 可知，a= b, 代入 ，则 4 b 4 4 b b b b 4
例 2、 a c ab cd （1）已知 你能推出
b d
b d
成立吗？为什么？
（2）已知
a c a+c a ，判断 = = 是否成立？为什么？ b d b+d b
课堂小结: 你学到了什么？还有什么疑惑吗？
1、比例有如下性质:
a c ad bc (a,b,c,d均不为零) b d
3、判断四个数成比例的基本方法： （1）计算a:b和c:d的值是否相等；（2）计算ad和bc的值是否相等
2、对比例式变形检验:是否满足“ 外项之积等于内项之积”
4、比例式变形的常用方法:
a 2b 1 (3) b 4
旧题重现——解方程：
24.2(2)比例线段
PB AP 点P是线段AB上的一点，且 AP AB
求线段AP的长.（用 l 表示）
x l-x
l
A
l
P
.
B
即线段 AP是AB 和PB的比 例中项.
问1：由图可知，线段 AB、AP、PB之间有 怎样的数量关系？
PB AP 问2：结合已知条件 AP AB
答1：AP+PB=AB， 即AP+PB=l 设线段AP的长为x， 则线段PB的长为l-x. PB AP 答2：由 AP AB
8
P1
B
线段AP是较长线段还是较短线段不确定， 分析： 所以要分类讨论. 解： （1）当AP＞PB时， ∴AP=
5 1 2 AB=
（2）当PB＞AP时， ∴AP=
3 5 2 AB=
5 1 ×8= 2
4 5 4 12 4 5
3 5 ×8= 2
A
P1
P2
B
两个 一般地一条线段的黄金分割点有两个
1：已知线段MN的长为2厘米，点P 是线段MN的黄金分割 点，则较长的线段MP的长是 ( 5 1) 厘米，较短的线 段PN的长是 (3 5) 厘米. 2：已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB， AB=4厘米，那么线段AP、PB的长度分别是 (2 5 2)厘米 和 (6 2 5) 厘米．
短= 3 5 全
5 1 3 5 全= 全 2 2
2
例题1：已知点P是线段AB的黄金分割点，若AB=8,
求较长线段AP和较短线段PB. ？ 分析：
？ 8
A
P
B
解：∵P是线段AB的黄金分割点， 根据题意AP＞PB ∴AP= （或PB=
5 1 2 AB=
PB AB AP 8 (4 5 4) 12 4 5
24.2比例线段(2)
复习：
1、比例线段的性质：
① 外项之积等于 ② 合比性 ③ 等比
内项之积
质
性质
2、解决比例计算问题常用方法： 设K法
第1页，共8页。
例题讲解：
例1：已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于
点O，
SAOD SBOC
D
C
求证： DO CO
O
OB OA
A
B
结论： 同高或等高的三角形面积之比就等于
DB EC
S S 1,
12
ADE
DBC
S S 求： 和 EDC
ABC
议一议：
同底或等底的两个三角 形面积之比等于什么？
第4页，共8页。
回顾：比例中项
定义：如果比例的两个内项（或外项）相同， 那么这个相同的项叫做比例中项
即： a b b就是a和c的比例中项 b2 ac bc
试一试：已知线段AB=4, CD=9,线段EF是AB、 CD的比例中项，（1）列出比例式 （2）求出EF的长
例2：如图，已知线段AB的长是 如l 果
点P是线段AB的黄金分割点，AP是较长
线段求线段AP的长和AP与AB的比值。
添问： PB与AP的比值是
5 1 2。
5 1
AP与AB的比值 2 叫做 黄金分割数
5 1
简称： 黄金数的倒数是
2叫做
第7页，共8页。
黄金比
想一想：一条线段有几个黄金分割点？ 两个
探讨：这条线段长度是 l 这两个黄金分割
所对应的底边之比,反之也成立
一题多变： 条件 SAOD SBOC 改成DC∥AB
第2页，共8页。
发现规律： 平行线 三角形面积相等
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比例中项都是线段AP，这时线段AP称为线段AB
和线段PB的比例中项.
a bb2 ac bc
如果点P把线段AB分割成AP和PB（AP >PB）两
段，其中AP是AB和PB的比例中项，那么这种分
割称为黄金分割，点P称为线段AB的黄金分割
点（一条线段有两个黄金分割点）.
线段AP与AB的比值 5 1 称为黄金分割数（黄 2
例题1 已知 AD AE，求证：（1） AB A；C （
DB EC
DB EC
2） AB A.C
AD AE 证明：（1）
AD
AE，
ADDBAEEC
DB EC
DABB
（合比性质），即 DB
ACEC
EC.
（2） AD AE，DB EC， DB EC AD AE
DB ADECAE AD AE
满足ba。
c d
，
那么 ab cd 是否成立？
bd
解：不妨设
a b
c d
k ，得：a=kb，c=kd，
a b k b b k 1 ,c d k d d k 1
bb
dd
ab cd 成立.
合比
b
如果
a b
d
c d ，那么
ab b
cd d
.
性质
如果 a c ，那么 ab cd .
bd
bd
证明：过点A作 AHBD ，垂足为点H.
S AO D 1 2DA O,H S AO B 1 2OA B，H
SAOD SAOB
1 DO AH
2 1
BO
AH
DO
SBOC
OB，同理：SAOB
COOA .2来自SAO DSBO ，CDOOB
CO.
OA
D
C
H
O
A
B
例题3 已知线段AB的长度是l，点P是线段
AB的一点，PB AP ，求AP的长.
比例外项
DE AD BC AB
两个外项的积等于两个内项的积,即如
果
a b
c d
，那么ad = bc.
bd ac
ab cd
cd ab
练习
如果a=10cm，b=0.2m，c=30mm，d=6cm,则下
列比例式成立的是（
）
A. a bB. bC. c D. a c
dc
da
bd
d a cb
讨论
如果线段a、b、c、d
金数），近似值为0.618，它的倒数 5 1 称为 2
黄金比.
黄金分割的应用
课后练习
1. 已知线段a=4厘米，c=9厘米，求线段a和c的比例中
项b.
b=6
2. 如图，已知AD、BE是 ABC的两条高.
求证：BC BE . AC AD
3. 已知线段MN的长为2厘米，点P是线段MN的黄金分
割点，则较长的线段MP的长是
AP AB
解：设AP=x，则PB=l-x，
由 PB AP ，l x x ， AP AB x l
即 x2lxl20 ，解得xl 5l2 1 5l
2
2
， x
1
5l
2
AP 5 1l 2
由例题3可知，AB=l，AP 5 1l，得： 2
AP 510.618，而在比例式 PB AP 中，
AB 2
AP AB
（合比性质），即 AB AC . AD AE
课后练习
1. 已知点B在线段AC上，BC=2AB，求下列各组
线段的比值:
（1）AB : BC；（2）AC : AB；（3）BC : AC.
（1）1 ；（2）3；（3）2 .
2.
2
3
如图，已知线段BD与CE相交于点A，
AD BD
AE CE
求证：（1） AD AE ；
思考
已知
a b
c d
那么 a c 与 a
bd
b
和c
d
有什么关系？
设 a c k ，可得： ackbkdk
bd
bd bd
因此 acack bd b d
等比性质
如果
ac bd
k ，那么
ac ac k bd b d
推广
如果 a1 a2 a3 k，那么 b1 b2 b3
a1a2a3a1a2a3k b1b2b3 b1 b2 b3
5 1 厘米，
较短线段PN的长是 3 5 厘米.
AB AC
（2） AB AD .
AC AE
课后练习
3. 已知 x:y5:2，求 xy:y的值.
7 2
4. 已知 a b c ，abc36，求 a、b、c的值.
345
a9,b1,2 c1.5
例题2 已知，如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于
点O，SAODSBOC.求证：DOOB
CO
.
OA
24.2 比例线段
如图，DE是ABC的中位线，线段DE与
BC的比可记作
DE BC
（或DE : BC），于
是得到 DE 1
BC 2
对于四条线段a、b、c、d ，
如果 a : b=c : d （或
）a ，c
bd
那么 a、b、c、d 叫做成比例线段，
简称比例线段.
比例线段
比例内项
a:b=c:d
比例是指四条线段 之间的一种关系， 它们有顺序要求。