拉姆齐模型(RCK)与世代交替模型的异同

拉姆齐模型与世代交替模型的异同
一、拉姆齐模型与世代交替模型的相同点
拉姆齐模型(又称RCK 模型）与世代交替模型（又称Diamond 模型)都是现代经济增长理论的基准分析模型.两个模型的主要相同点在于：
第一，在这两种基准模型的一般均衡分析框架下,宏观层面的经济增长都具备了各个经济主体追求利益最大化的微观基础，这就使得经济学家能够在动态时间视角以及资源跨期最优配置的设定下对宏观经济增长进行更为深入的研究。

第二，两个模型均放弃了储蓄率外生给定的假设而通过家庭的效用最大化行为，将储蓄率表示为资本存量的函数,以便分析储蓄率的变动情况。

第三，两个模型在求解经济体一般均衡的结果时，都从市场竞争以及中央计划者配置（社会性最优）两个角度审视相应最优化结果是否具有一致性，从而比较并分析市场机制与计划手段的社会福利情况。

第四,两个模型的一般均衡结果中，人均资本存量以及人均消费量（以效率劳动的角度衡量)在长期内的增长率均为零，不存在持续性的增长机制。

二、拉姆齐模型与世代交替模型的区别
从两个模型形式上的区别来看,经典的拉姆齐模型假设经济体中个人的寿命是无限的，因此对于家庭效用函数的构建以及效用最大化问题的讨论便从数理角度转化为了无限期连续型最优控制问题；而经典的世代交替模型假设经济体中个人的寿命是有限的，将人的一生简单划分为青年和老年两个阶段，青年阶段通过投入自身要素禀赋获得相应收入并消费,老年阶段则消费青年阶段的储蓄量，经济体每一期都存在着青年人出生、老年人死亡、上一期青年人变成老年人的迭代，因此对于消费者效用最大化行为的刻划便从数理角度转化为了跨期的非线性规划问题。

除了这种形式上的区别之外,两类模型还存在如下两点本质性的差异： 第一，竞争性均衡与社会性最优的关系。

在经典的拉姆齐模型中，竞争性均衡与社会性最优的结果是一致的。

首先考虑社会性最优的情形（计划增长模型），假设存在一个代表经济体中全部民众的善意计划者（中央政府）在既定资源约束下选择最优消费与资本增长路径使得家庭消费效用最大化，则最优选择问题可以表示为如下最优控制问题：
0(,)0
max :(())..:(),(0)t c k U c t e dt s t k f k c nk k k θ∞-=--=⎰
解该最优控制问题,得到家庭最优消费路径为： (())c k cc U c f k n c U c
θ=--- 接下来考虑竞争性均衡（分散化决策）的情形。

假设在竞争性市场中存在众多无差异的家庭和无差异的企业，它们从自身利益最大化的角度分别独立作出决策,并且存在完全竞争的资本和劳动两个要素市场，两种要素均由家庭提供，对于家庭和企业而言两种要素的价格（利率与工资）均为外生给定的变量，因此家庭消费效用最大化问题所对应的最优控制问题变为如下形式：
0(,)0
max :(())..:,(0)t c k U c t e dt s t k rk w c nk k k θ∞-=+--=⎰
解该最优控制问题，得到家庭最优消费路径为：
()c cc U c r n c U c
θ=--- 另一方面,由企业的利润最大化问题可得如下两个一阶条件:
(),()()k k r f k w f k kf k ==-
将这两个一阶条件代入最优消费和资本增长路径，可以发现结果与前述社会性最优问题对应的最优消费和资本增长路径一致。

因此在拉姆齐模型中，竞争性均衡的结果就是社会性最优的结果，两者有内在的一致性，即资源的动态最优配置可以完全通过市场机制实现。

而在经典的世代交替模型中,竞争性均衡与社会性最优的结果是不一致的.首先考虑社会性最优的情形，与前述相似,存在一个善意的中央计划者最大化家庭的效用贴现值总和,家庭效用最大化问题对应的非线性规划问题为：
11
112012101112max :(1)()(1)[()(1)()]..:()(1)(1)T t t t t t t t t t
u c R u c u c s t k f k n k c n c θθ-----+=-+++++++=++++∑
解该非线性规划问题，并利用经济体处于稳态时的条件，可以解得稳态的资本存量由下式决定：
1()(1)(1)t f k n R *'+=++
接下来考虑竞争性均衡（分散化决策）的情形，此时经济体中每个人都以最大化自身的终身（两期）效用为目标,因此消费者的效用最大化行为对应的非线性规划问题为:
11211211211max :(,)()(1)()
..:,(1)t t t t t t t t t t u c c u c u c s t c s w c r s θ-++++=+++==+
由该问题的一阶条件、厂商的最优化问题的一阶条件以及市场均衡的条件可以解得如下资本的动态方程，其中隐含着稳态资本存量的决定式:
11[()(),()]1t t t t t s f k k f k f k k n
++''-=+ 此式中稳态资本量取决于储蓄函数的具体形式与效用函数的具体设定，因此在一般意义上而言与社会性最优情形下的稳态资本存量不相等，因此在一般意义上而言，世代交替模型中竞争均衡与社会性最优的结果是不一致的.
第二，竞争性均衡与帕累托最优的关系。

在经典的拉姆齐模型中，根据前述竞争均衡与社会性最优结果的一致性，可以知道资源配置的最优结果能够通过市场竞争机制的作用达到，因此竞争性均衡是帕累托最优的。

而在经典的世代交替模型中,竞争均衡的结果存在着帕累托改进的余地。

可以证明，在世代交替模型中,稳态的资本存量可能超过资本的黄金律水平，在这种情况下，如果政府不进行任何干预，则经济体的人均消费量可以表示为下式：
()c f k nk **=-
而如果政府在某一时期0t 对资源进行再配置,让消费更多而储蓄有所下降，以使下一时期的人均资本k 降低到黄金律水平G k ，并使从此以后各期的人均资本k 都保持在黄金律水
平G k 上不变。

即在时期0t 减少储蓄并增加人均消费水平，使时期0t 以后的各个时期人均资本水平都为G k 。

由于本期储蓄等到下一期时才能成为资本投入到生产中，因此0t 时期的人
均资本仍为k *，人均产出也仍然为()f k *
,但储蓄水平却已经降低到G nk ，即降低到了使以后各期的人均资本均为G k 的水平.既然从下一期开始，投入到生产中的人均资本都为低于k *
的水平G k ,所以在时期0t ，每人除了可以消费掉储蓄后剩余的当期产出()G f k nk *-，还可
以消费掉以后不再需要的多出的资本G k k *-,从而0t 时期的人均消费总额为
()()G G f k nk k k **-+-,时期0t 以后的人均消费为()G G f k nk -.又由于以下两式成立，故政府这一重新配置资源的行为是一个帕累托改进（提高了各期的人均消费量）：
()()()()()()()G G G G G G G
G G f k nk k k f k nk k k f k nk f k nk f k nk *****-+->-+->-->-
所以，世代交替模型的竞争均衡结果不是帕累托有效的。

这就是世代交替模型的所谓“动态不一致性”。

以上，便是拉姆齐模型与世代交替模型的主要区别所在。