(完整版)初中数学竞赛专题选讲-配方法(含答案)
初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全(配PDF版)-第08章-二次方程与方程组
第八章 二次方程与方程组第一节 一元二次方程【赛题精选】§1、一元一次方程的解法主要有：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法。
例1、利用直接开平方法解下列关于x 的方程。
（1）0)1(9)2(22=+--x x （2）)0(0)22()(22>=+-+a a x a x（3）)21(2142222nx n x n x x ++=++例2、利用因式分解法解下列关于x 的方程。
（1）(5x+2)(x-1)=(2x+11)(x-1) （2）0452=+-x x(3)02_23()12(2=++-+x x (4)0)()(22222=-++-q p pq x q p x（5）x m x m x x m )1()1()1(2222-=--+-例3、用配方法解下列关于x 的方程。
（1）)0(02≠=++a c bx ax （2）03)12()1(2=-+-+-m x m x m（3）01333223=-+++x x x§2、根的判别式、根与系数的关系韦达定理：若)0(02≠=++a c bx ax 的两个根为1x 、2x ，那么1x 、2x 与a 、b 、c的关系为：两根之和a b x x -=+21；两根之积ac x x =21。
例4、若首项系数不相等的两个二次方程02)2()1(222=+++--a a x a x a （1）、02)2()1(222=+++--b b b x b （2）（其中a 、b 均为正整数）有一个公共根。
求ab ab b a b a --++的值。
例5、已知方程02=++c bx x 与02=++b cx x 各有两个根1x 、2x 及'1x 、'2x ，且1x 2x ＞0，'1x '2x ＞0。
求证：（1）1x ＜0，2x ＜0，'1x ＜0，'2x ＜0；（2）b-1≤c ≤b+1；（3）求b 、c 所有可能的值。
七年级下册配方法竞赛题
七年级下册配方法竞赛题配方法是把一个代数式经过变化成一个完全平方式或含有完全平方式的代数式形式。
这种变化的手段在解决初中数学问题时有着广泛的应用。
1. 用配方法分解因式例1. 分解因式分析：观察题目发现中间项系数如果为2时，即符合公式。
由此可考虑使用配方法解决。
解：原式2. 用配方法化简求值例2. 已知。
求的值。
分析：本题若把x，y直接代入较为复杂。
但用配方法将代数式适当变形，则可简化运算。
解：原式3. 用配方法确定代数式的最值例3. 当x变化时，分式的最小值是_________。
分析：因分式中分子、分母的次数相等，故可将原分式用整式、真分式的形式表示，通过配方确定最小值。
解：原式故当时，原式有最小值4。
4. 用配方法证明等式例4. 已知。
求证。
分析：初看本试题较为复杂，若将已知方程左边拆开重组，进行配方变形，然后由非负数性质，便可找出其中奥妙。
证明：由非负数的性质，得且，5. 用配方法解方程有关问题例5. 已知，在斜边为10的直角三角形中，两直角边a、b是方程的两个根。
求m的值。
分析：本题可由一元二次方程根与系数的关系及勾股定理得出相应的关系式，进行配方变形后整体代入即可。
解：依题意，得由（3），得，将（1）、（2）代入（4），则解得（不合题意，舍去），6. 用配方法解决二次函数有关问题例6. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多销售2件，问：每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？分析：实际生活中的问题，往往可以通过建立适当的函数关系式，求函数的最值来解决。
而求函数最值是通过配方法来完成的。
本试题中“平均每日盈利”是“每件衬衫售价”的函数，故考虑用函数来解决。
解：设每件衬衫降价x元时，商场平均每天盈利y元。
则当5时，答：略。
思考与练习：1. 在实数范围内解方程。
初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题04 和差化积——因式分解的方法(2)答案[精品]
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专题04 和差化积-------因式分解的方法(2)例1. A 提示 将原式重新整理成关于x 的二次三项式例2. (1) (23)()a b c a b c ++++ 提示 原式222(34)(352)a b c a c bc b =+++++(2) 2()(2)x y x z -- 提示 原式2232(2)(24)(2)x z y xz x y x x z =-+-+-例3. 原式223222(1)(22)(1)(1)(2(1)(1)(1)x a x x a x x x x a x x a x x =+++++--=+++++-22(1)(21)(1)(1)(1)x a ax x x x a x a =+++-=++++-例4. 12k = 提示 222(2)()x xy y x y x y +-=+- ∴可设原式(22)()x y x y n =++-+展开比较对应项系数得28,2210,2,n n k n +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩解得＝12．例5 原式＝()2221x x -+． 例6 设2－（a ＋5）＋5a －1＝（＋b ）（＋c ）＝2＋（b ＋c ）＋bc ．∴()5,5 1.b c a bc a +=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩①② ①×5＋2得bc ＋5（b ＋c ）＝－26，bc ＋5（b ＋c ）＋25＝－1，（b ＋5）（c ＋5）＝－1．∴51,51b c +=⎧⎨+=-⎩或51,5 1.b c +=-⎧⎨+=⎩ ∴4,6b c =-⎧⎨=-⎩或6,4.b c =-⎧⎨=-⎩故a ＝5． A 级1．（3a ＋2b －c ）（3a －2b ＋c ）2．（＋3y ）（＋2y ＋1）3．（＋y ＋1）（－y ＋3）4．－185．C6．D7．D8．D9．（1）（2a ＋b ）（a －b ＋c ）；（2）（a ＋c －2b ）2；（3）（－2）（2－＋a ）；（4）（－2y ＋3）（2－3y －4）；（5）（＋1）（y ＋1）（－1）（y －1）．10．提示：由题意得4,4 1.b c abc a+=--⎧⎨=-⎩①②①×4＋②，得（b＋4）（c＋4）＝－1，推得3,5bc=-⎧⎨=-⎩或5,3,bc=-⎧⎨=-⎩故a＝4．11．∵2－3y－4y＝（＋y）（－4y），∴可设原式＝（＋y＋m）（－4y＋n），展开比较对应项系数得b＝－6或9．B级1．＝－52．－2 提示：原式＝（2＋3－）－2y（＋2），令＝－2．3．5提示：令原式＝（－y＋4）·A，取一组，y的值代入上式．4．－35．C 提示：＝－1，＝－2是方程3＋a2＋b＋8＝0的解．6．C 提示：原式＝（－2y）2＋（2＋3）2＋167．A 提示：原式＝2（－2y）2＋（－2）2＋（y＋3）2≥0，且这三个数不能同时为零，M＞0．8．C9．＝－3 提示：因2＋3＋2＝（＋1）（＋2），故可令原式＝（＋my＋1）·（十ny＋2），展开比较对应项系数求出．10．提示：左边＝（a2＋b2）2－2a2b2＋（a2＋b2＋2ab）2＝（a2＋b2）2－2a2b2＋（a2＋b2）2＋4ab（a2＋b2）＋4a2b2＝2（a2＋b2）＋4ab（a2＋b2）＋2a2b2＝2（a2＋b2＋ab）2＝右边．11．将原等式展开2＋（a＋b＋c）＋ab－l0c＝2－10－11．∴10,1011.a b cab c++=-⎧⎨-=-⎩①②①×10＋②得ab＋10a＋10b＝－111．∴（a＋10）（b＋10）＝－11．∴101,1011.ab+=⎧⎨+=-⎩或101,1011.ab+=-⎧⎨+=-⎩或1011,10 1.ab+=⎧⎨+=-⎩或1011,10 1.ab+=-⎧⎨+=⎩∴9,21ab=-⎧⎨=-⎩或11,1ab=-⎧⎨=⎩或1,11ab=⎧⎨=-⎩或21,9.ab=-⎧⎨=-⎩代入①得c＝0或20．12．原式＝（5＋34y）－（53y＋152y3）＋（4y4＋12y5）＝4（＋3y）－52y2（＋3y）＋4y4（＋3y）＝（＋3y）（4－52y2＋4y2）＝（＋3y）（2－4y2）＝（＋3y）（＋y）（－y）（＋2y）（－2y）．当y＝0时，原式＝5≠33;当y≠0时，＋3y，－y，－2y，＋2y，＋y互不相同，而33不可能分解为4个以上不同因数的积，所以，当取任意整数，y取不为0的任意整数，原式≠33．。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第4讲明快简捷—构造方程的妙用
第四讲明快简捷—结构方程的妙用有些数学识题固然表面与一元二次方程没关，可是假如我们能结构一元二次方程，那么就能运用一元二次方程丰富的知识与方法协助解题，结构一元二次方程的常用方法是：1．利用根的定义结构当已知等式拥有同样的结构，便可把某两个变元当作是对于某个字母的一元二次方程的两根．2．利用韦达定理逆定理结构若问题中有形如x y a ，xy b 的关系式时，则x 、y可看作方程z2az b0 的两实根．3．确立主元结构对于含有多个变元的等式，能够将等式整理为对于某个字母的一元二次方程．成功的结构是成立在敏锐的察看、适合的变形、宽泛的联想的基础之上的；成功的结构能收到明快简捷、声东击西的成效．注：很多半学识题表面上看难以求解，但假如我们创建性地运用已知条件，以已知条件为素材，以所求结论为方向，有效地运用数学知识，结构出一种协助问题及其数学形式，就能使问题在新的形式下获取简解，这就是解题中的“结构”策略，结构图形，结构方程、结构函数、结构反例是常用结构方法．【例题求解】【例 1】已知x、 y 是正整数，而且xy x y 23 ， x2 y xy2120 ，则 x2y 2．思路点拨x 2y2(x y) 2 2 xy ，变形题设条件，可视x y 、 xy 为某个一元二次方程两根，这样问题可从整体上获取简解．【例2】若ab1，且有 5a220019 0及 9b22001b 5 0，则a的值是()a bA ．9B．5C．2001D．2001 5959思路点拨第二个方程可变形为520019 0 ，这样两个方程拥有同样的结构，从利用b 2b定义结构方程下手．【例 3】已知实数a、 b 知足 a 2ab b2 1 ，且 t ab a2b2，求t的取值范围．思路点拨由两个等式可求出 a b 、 ab 的表达式，这样既能够从配方法下手，又能从结构方程的角度去探究，有较大的思想空间．【例 4】已知实数a、 b 、c知足 a b c 2 ， abc 4 ．(1)求 a 、b、 c 中最大者的最小值；(2) 求 a b c 3 的最小值．思路点拨不如设 a≥ b，a≥ c，由条件得 b c 2 a， bc 4．结构以 b、c 为实根的一元二a次方程，经过△≥ 0 探究a的取值范围，并以此为基础去解(2) ．注：结构一元二次方程，在问题有解的前提下，运用鉴别式△≥0，成立含参数的不等式，减小范围迫近求解，在求字母的取值范围，求最值等方面有宽泛的应用．【例5】试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别构成的二位数之和的平方，恰巧等于这个四位数．(2003 年全国初中数学联赛试题)思路点拨设前后两个二位数分别为x ，y ，则有( x y) 2100x y ，将此方程整理成对于x (或y )的一元二次方程，在方程有解的前提下，运用鉴别式确立y (或x )的取值范围．学历训练1．若方程 m2 x 2( 2m 3) x10 的两个实数根的倒数和是s ，则 s 的取值范围是．2 ．如图，在Rt △ ABC中，斜边AB＝5，CD⊥AB ，已知BC 、 AC 是一元二次方程x2(2m1)x4( m1)0 的两个根，则m 的值是．3．已知a、b知足 a 22a10 ， b 22b 1 0 ，则ab =．b a4．已知210 ，210 ，，则的值为 ()A ． 2B． -2C． -1D． 05．已知梯形 ABCD的对角线 AC 与 BD 订交于点 O，若 S△AOB＝4， S△COD＝ 9，则四边形ABCD 的面积 S 的最小值为 ()A ．21B． 25C． 26D． 366．如图，菱形 A6CD 的边长是5，两条对角线交于O 点，且 AO 、BO 的长分别是对于x 的方程的根，则m 的值为 ()A．一 3 B ． 5C．5 或一 3n 一 5 或 37．已知 p 22 p 5 0， 5q22q 1 0，此中 p 、 q 为实数，求p21的值．q 28．已知x和 y 是正整数，而且知足条件xy x y 71， x 2 y xy 2880 ，求 x2y 2的值．9．已知 3m22m 5 0 ， 5n 22n 3 0 ，此中 m、 n 为实数，则m 1 ＝．n10．假如a、、c为互不相等的实数，且知足关系式b2c22a216a 14与bc a24a 5，b那么 a 的取值范围是．11．已知 5 x22y 22xy 14x 10y 17 0 ，则x =， y =．；12．如图，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90°， AC ＝b，AB ＝ c，若 D 、E 分别是 AB 和 AB 延伸线上的两点，BD=BC ，CE⊥CD，则以 AD 和 AE 的长为根的一元二次方程是．13．已知a、 b 、c均为实数，且a b c0 ， abc 2 ，求 a b c 的最小值．14．设实数a、 b 、c知足 a 2bc8a70，求 a 的取值范围．2c 2bc6a6b0S梯形ABCD13，梯形的高AE=53，且15．如图，梯形 ABCD 中， AD ∥BC ， AD ＝AB ，82S ABC1113 ．AD BC40(1)求∠ B 的度数；(2)设点 M 为梯形对角线AC 上一点， DM 的延伸线与 BC 订交于点 F，当 S ADM1253，32求作以 CF、 DF 的长为根的一元二次方程．16．如图，已知△ ABC 和平行于 BC 的直线 DE ，且△ BDE 的面积等于定值k 2，那么当 k 2与△ BDE 之间知足什么关系时，存在直线DE，有几条 ?参照答案。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第13讲 怎样求最值(衡中内参)2021年版
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第十三讲 怎样求最值在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题，求最值问题的方法归纳起来有如下几点： 1．运用配方法求最值；2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值； 3．建立函数模型求最值；4．利用基本不等式或不等分析法求最值．注：数学中最大值、最小值问题，运用到社会实践、生活实际中所体现出来的就是最优化思 想，所谓最优，就是我们所期望的目标量能达到最大或最小．一次函数、反比例函数并无最值，但当自变量取值范围有条件限制的，最值在图象的端点处取得；定义在全体实数上的二次函数最值在抛物线的顶点处取-得．即： 对于c bx ax y ++=2（0≠a ）(1)若a>0，则当a bx 2-=时，a b ac y 442-=最小值；(2)若a<0，则当abx 2-=时， a b ac y 442-=最大值．【例题求解】【例1】 设a 、b 为实数，那么b a b ab a 222--++的最小值是 ．思路点拨 将原式整理成关于a 的二次多项式从配方法入手；亦可引入参数设t b a b ab a =--++222，将等式整理成关于a 的二次方程0)2()1(22=--+-+t b b a b a ，利用判别式求最小值．【例2】若32211-=+=-z y x ，则222z y x ++可取得的最小值为( ) A ．3 B ．1459 C ．29D ．6 思路点拨 设k z y x =-=+=-32211，则222z y x ++可用只含k 的代数式表示，通过配方求最小值．【例3】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实根，当m 为何值时，2221x x +有最小值，并求这个最小值．思路点拨 由韦达定理知2221x x +是关于m 的二次函数，是否是在抛物线的顶点处取得最小值，就要看自变量m 的取值范围，从判别式入手．注：定义在某一区间的条件限制的二次函数最值问题，有下两种情形： (1)当抛物线的顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值；(2)当抛物线的顶点不在该区间内，二次函数的最值在区间内两端点处取得．【例4】 甲、乙两个蔬菜基地，分别向A 、B 、C 三个农贸市场提供同品种蔬菜，按签订的合同规定向A 提供45吨，向B 提供75吨，向C 提供40吨．甲基地可安排60吨，乙基地可安排100吨．甲、乙与A 、B 、C 的距离千米数如表，设运费为1元／(千米·吨)．问如何安排使总运费最低?求出最小的总运费值．思路点拨 设乙基地向A 提供x 吨，向B 提供y 吨，这样总运费就可用含x ，y 的代数式表示；因为1000≤+≤y x 0，450≤≤x ，所以问题转化为在约束条件下求多元函数的最值．【例5】 某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示，该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x 天应付的养护与维修费为[500)1(41+-x ]元．(1)如果将该设备从开始投入使用到报废共付的养护与维修费及购买该设备费用的和均摊到每一天，叫做每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗y (元)表示为使用天数x (天)的函数； (2)按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问该设备投入使用多少天应当报废?思路点拨 在解本题时可能要用到以下数学知识点：对于确定的正常数a 、b 以及在正实数范围内取值的变量x ，一定有b a xb ax b x x a 22=≥+，即当且仅当b x x a =时，bxx a +有最小值ba 2．注：不等式也是求最值的有效方法，常用的不等式有：(1)02≥a ； (2)ab b a 222≥+；（3）若0>a ，0>b ，则ab b a 2≥+； (4)若0>a ，0>b ，0>x ，则bab x x a 2≥+． 以上各式等号当且仅当b a = (或bxx a =)时成立．学历训练1．当x 变化时，分式12156322++++x x x x 的最小值为 ．2．如图，用12米长的木方，做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，选择窗子的长、宽各为 、 米．3．已知实数a 、b 、c 满足0=++c b a ，6222=++c b a ，则a 的最大值为 ．4．已知x 、y 、z 为三个非负实数，且满足523=++z y x ，2=-+z y x ，若z y x s -+=2，则s 的最大值与最小值的和为( ) A ．21 B ．85C ．1D ．365．已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若S △AOB =4，S △COD =9，则四边形ABCD 的面积S 四边形ABCD 的最小值为( )A ．2lB ．25C ．26D ．366．正实数x 、y 满足1=xy ，那么44411y x +的最小值为( )A ．21 B ．85C ．1D ．45E ．27．启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x (万元)时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且107107102++-=x x y ，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费：(1)试写出年利润S (万元)与广告费x (万元)的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元? (2)把(1)中的最大利润留出3万元作广告，其余的资金投资新项目，现有6个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表： 项目 A B C D E F 每股(万元) 5 2 6 4 6 8 收益(万元)0．550．40．60．50．9l如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的，收益总额不得低于1．6万元，问有几种符合要求的投资方式?写出每种投资方式所选的项目．8．某市20位下岗职工在近郊承包50亩土地办农场，这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种这作物品种 每亩地所需职工数每亩地预计产值蔬菜 21 1100元 烟叶 31 750元 小麦41 600元请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物，20位职工都有工作，且使农作物预计总产值最多．9．如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a 为l0m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为xm ，面积为sm 2． (1)求s 与x 的函数关系式；(2)如果要围成面积为45m 2的花圃，AB 的长是多少米?(3)能围成面积比45m 2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．10．设1x 、2x 是关于x 的一元二次方程22=++a ax x 的两个实数根，则)2)(2(1221x x x x --的最大值为 ．11．若抛物线1)1(2----=k x k x y 与x 轴的交点为A 、B ，顶点为C ，则△ABC 的面积最小值为12．已知实数a 、b 满足122=++b ab a ，且22b a ab t --=，则t 的最大值为 ，最小值为 ．13．如图，B 船在A 船的西偏北45°处，两船相距102km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度2倍，那么A 、B 两船的最近距离为 km ．14．销售某种商品，如果单价上涨m ％，则售出的数量就将减少150m，为了使该商品的销售金额最大，那么m 的值应该确定为 ．15．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每 月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出 辆车(直接填写答案)； (2)x 的代数式填空：16．甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是p (万元)和q (万元)，它们与投入资金x (万元)的关系有经验公式x p 51=，x q 53=． 今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少?能获得多大的利润? 链接17．如图，城市A 位于一条铁路线上，而附近的一小镇B 需从A 市购进大量生活、生产用品，如果铁路运费是公路运费的一半．问该如何从B 修筑一条公路到铁路边，使从A 到B 的运费最低?18．设1x ，2x ，…n x 是整数，并满足： （1）21≤≤-i x ，n i ,2,1=； （2）1921=+++n x x x ； （3）9922221=+++n x x x ．求33231n x x x +++ 的最大值和最小值．未租出的车辆数 租出的车辆数 所有未租出的车 辆每月的维护费租出的车每 辆的月收益参考答案教学反思1 、要主动学习、虚心请教，不得偷懒。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答_第14讲_图表信息问题
初中学习资料整理总结学历训练1． 如图，是某出租车单程收费y (元)与行驶路程x (千米)之间的函数关系的图象，请根据图象回答以下问题： (1)当行驶8千米时，收费应为 ； (2)从图象上你能获得哪些正确的信息(请写出2条)① ；② ．(3)收费y (元)与行驶x (千米)( x ≥3)之间的函数关系式为 ．2．甲、乙两人(甲骑自行车，乙骑摩托车)从A 城出发到B 地旅行，如图表示甲、乙两人离开A 城的路程与时间之间的函数图象。
根据图象，你能得到关于甲、乙两人旅行的哪些信息?答题要求：(1)请至少提供四条信息，如，由图象可知：甲比乙早出发4小时；甲离开A 城的路程与时间的函数图象是一条折线段，说明甲作变速运动． (2)不要再提供“(1)”中已列举的信息．① ；② ； ③ ；④ ．3．如图，已知函数c bx ax y ++=2的图象过(一1，0)和(0，一1)两点，则a 的取值范围是 ． 4．下列各图中，能表示函数)1(x k y -=和xky =(0≠k )在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )．5．三峡工程在6月1日至6月10日下闸蓄水期间，水库水位由106米升至135米，高峡平湖初现人间．假设水库水位匀速上升，那么下列图象中，能正确反映这10天水位h (米)随时间t (天)变化的是( )6．在同一坐标系中，函数c bx ax y ++=2与xby =的图象大致是( )7．某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观．如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响．但同时考虑到文物的修缮和保存费用问题，还要保证一定的门票收入．因此，博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数．在该方法实施过程中发现：每周参观人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系．在这样的情况下，如果确保每周4万元的门票收人，那么每周应限定参观人数是多少?门票价格应是多少元?8．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过140千米／时)，对线连结这些点，得到函数的大致图象；(2)观察图象，估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数的解析式；(3)该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为46．5米，请推测刹车时的速度是多少?请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶?9．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则化简二次根式22)()(c b c a -++的结果是 ．10．小刚、爸爸、爷爷同时从家中出发到达同一目的地后都立即返回．小刚去时骑自行车，返回时步行；爷爷去时是步行，返回时骑自行车；爸爸往返都步行．三个人步行的速度不等，小刚与爷爷骑车的速度相等．每个人的行走路程与时间的关系分别是下面三个图象中的一个．走完一个往返，小刚用 分钟，爸爸用 分钟，爷爷用 分钟． 11．小明同学骑自行车在上学的路上要经过两座山梁，行走的路线如图所示．已知上山的速度为1v 米／分钟，平路的速度为2v 米／分钟，下山的速度为3v 米／分钟，其中1v <2v <3v ．那么，小明同学上学骑自行车行走的路程S(米)与所用的时间t (分钟)的函数关系，可能是下面图象中的( )12．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则在下列不等式中， ①abc<0；②a+b+c<0；③a+c>b ；④2bc a -<成立的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个13．如图，直角三角形AOB 中，AB ⊥OB ，且AB ＝OB=3.设直线l ：x=t 截此三角形所得的阴影部分的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系的图像为( )14．设a b >6>o ，将一次函数a bx y +=与b ax y +=的图象画在平面直角坐标系中，则有一组a 、b 的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是( )15．某商场为提高彩电销售人员的积极性，制定了新的工资分配方案，方案规定：每位销售人员的工资总额＝基本工资+奖励工资，每位销售人员的月销售定额为10000元，在销售定额内，得基本工资200元；超过销售定额，超过部分的销售额按相应比例作为奖励工资，奖励工资发放比例如表1所示．(1)已知销售员甲本月领到的工资总额为800元，请问销售员甲在本月的销售额为多少元? (2)依法纳税是每个公民应尽的义务，根据我国税法规定，全月工资总额不超过800元不要缴纳个人所得税；超过800元的部分为“全月应纳税所得额”．表2是缴纳个人所得税税率表．若销售员乙本月共销售A、B两种型号的彩电21台，缴纳个人所得税后实际得到的工资为1275元，又知A型彩电的销售价为每台1000元，B型彩电的销售价为每台1500元，请问销售员乙本月销售A型彩电多少台?表1 表216．有麦田5块A、B、C、D、E，它们的产量(单位：吨)、交通状况和每相邻两块麦田的距离如图所示，要建一座永久性打麦场，这5块麦田生产的麦子都在此打场，问建在哪块麦田上(不允许建在除麦田以外的其他地方)才能使总运输量最小?(图中圆圈内的数字为产量，直线段上的字母a、b、d表示距离，且b<a<d)．17．在元旦晚会上，学校组织了一次关于语文、数学、外语、奥运及日常生活常识的知识竞赛，设定满分为40分，以下依次为30分、20分、10分和0分共五个评分等级，每个小组分别回答这五个方面的问题．现将A、B、C、D、E五个小组的部分得分列表如下：表中：(1)每一竖行的得分均不相同(包括单科和总分)；(2)C组有4个单科得分相同．求：B、C、D、E组的总分并填表进行检验．参考答案。
山东初三初中数学竞赛测试带答案解析
山东初三初中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知二次函数y=x 2﹣6x+m 的最小值是﹣3，那么m 的值等于（ ）A ．10B ．4C ．5D ．62.在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（ ）A ．众数B ．中位数C ．平均数D ．方差3.已知命题“关于x 的一元二次方程x 2+bx+1=0，当b ＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（ ）A ．b=﹣1B ．b="2"C ．b=﹣2D ．b=04.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，OD ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点E ，∠C=60°，如果⊙O 的半径为2，则结论错误的是（ ）A ．AD="DB"B ．C ．OD="1"D ．AB=5.如图，△ABC 中，AB=AC=10，BC=8，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ，则△CDE 的周长为（ ）A ．20B ．12C ．14D ．136.如图，▱ABCD 的顶点A 、B 、D 在⊙O 上，顶点C 在⊙O 的直径BE 上，连接AE ，∠E=36°，则∠ADC 的度数是（ ）A ．44°B ．54°C ．72°D ．53°7.已知点P （a ，a+3）在抛物线y=x 2﹣7x+19图象上，则点P 关于原点O 的对称点P′的坐标是（ ）A ．（4，7）B ．（﹣4，﹣7）C ．（4，﹣7）D ．（﹣4，7）8.若A （﹣，y 1），B （，y 2），C （，y 3）为二次函数y=x 2+4x ﹣5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 1＜y 3＜y 29.下列图形中阴影部分面积相等的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④10.如图，已知点A ，B ，C ，D ，E ，F 是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．11.如图，抛物线y=﹣2x 2﹣8x ﹣6与x 轴交于点A 、B ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记作C 1，将C 1向左平移得C 2，C 2与x 轴交于点B ，D ．若直线y=﹣x+m 与C 1，C 2共有3个不同的交点，则m 的取值范围是（ ）A ．﹣3＜m ＜﹣B ．C ．﹣2＜m ＜D ．﹣3＜m ＜﹣2二、填空题1.如图，点A 是反比例函数y=的图象上的一点，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B ，点C 为y 轴上的一点，连接AC 、BC ，若△ABC 的面积为3，则k 的值是 ．2.如图，⊙O 的半径为4，OA=8，AB 切⊙O 于B ，弦BC ∥OA ，连接AC ，则图中阴影部分的面积为 ．3.对于实数a ，b ，定义运算“⊗”：，例如：5⊗3，因为5＞3，所以5⊗3=5×3﹣32=6．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣6x+8=0的两个根，则x 1⊗x 2= ．4.如图，在△ABC 中，AB=CB ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过点C 作CF ∥AB ，在CF 上取一点E ，使DE=CD ，连接AE ，对于下列结论：①AD=DC ；②△CBA ∽△CDE ；③=；④AE 为⊙O 的切线，一定正确的结论选项是 ． 三、解答题 1.如图，直线y=x+m 与反比例函数相交于点A （6，2），与x 轴交于B 点，点C 在直线AB 上且．过B 、C 分别作y 轴的平行线交双曲线于D 、E 两点．（1）求m 、k 的值；（2）求点D 、E 坐标．2.阅读下面的材料：解方程x 4﹣7x 2+12=0这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x 2=y ，则x 4=y 2，∴原方程可化为：y 2﹣7y+12=0，解得y 1=3，y 2=4，当y=3时，x 2=3，x=±，当y=4时，x 2=4，x=±2．∴原方程有四个根是：x 1=，x 2=﹣，x 3=2，x 4=﹣2，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．（1）解方程：（x 2+x ）2﹣5（x 2+x ）+4=0；（2）已知实数a ，b 满足（a 2+b 2）2﹣3（a 2+b 2）﹣10=0，试求a 2+b 2的值．3.如图，⊙O 的直径为10，在⊙O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，已知BC ：CA=4：3，点P 在半圆弧AB 上运动（不与A 、B 两点重合），过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．（1）求证：AC•CD=PC•BC ；（2）当点P 运动到AB 弧中点时，求CD 的长．4.如图，在一块正方形ABCD 木板上要贴三种不同的墙纸，正方形EFCG 部分贴A 型墙纸，△ABE 部分贴B 型墙纸，其余部分贴C 型墙纸．A 型、B 型、C 型三种墙纸的单价分别为每平方米60元、80元、40元．探究1：如果木板边长为1米，FC=米，则一块木板用墙纸的费用需 元；探究2：如果木板边长为2米，正方形EFCG 的边长为x 米，一块木板需用墙纸的费用为y 元，（1）用含x 的代数式表示y （写过程）．（2）如果一块木板需用墙纸的费用为225元，求正方形EFCG 的边长为多少米？5.某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，等腰直角△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，小敏将三角板中含45°角的顶点放在A 上，斜边从AB 边开始绕点A 逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC 于点D ，直角边所在的直线交直线BC 于点E．（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；（2）当0°＜α≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：小颖的想法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF（如图2）；小亮的想法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接EG（如图3）；请你从中任选一种方法进行证明．（3）小敏继续旋转三角板，请你继续研究：当135°＜α＜180°时（如图4），等量BD2+CE2=DE2是否仍然成立？请作出判断，不需要证明．6.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（2，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3），连接AB．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．山东初三初中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值是﹣3，那么m的值等于（）A．10B．4C．5D．6【答案】D【解析】解：原式可化为：y=（x﹣3）2﹣9+m，∵函数的最小值是﹣3，∴﹣9+m=﹣3，m=6．故选：D．【点评】考查了二次函数的最值，会用配方法将原式化为顶点式是解题的关键．2.在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（）A．众数B．中位数C．平均数D．方差【答案】B【解析】解：由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．故选：B．【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．3.已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，当b＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（）A．b=﹣1B．b="2"C．b=﹣2D．b=0【答案】A【解析】解：△=b2﹣4，由于当b=﹣1时，满足b＜0，而△＜0，方程没有实数解，所以当b=﹣1时，可说明这个命题是假命题．故选：A．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了根的判别式．4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，∠C=60°，如果⊙O的半径为2，则结论错误的是（）A．AD="DB"B．C．OD="1"D．AB=【答案】D【解析】解：连接OA，OB．∵OD⊥AB，∴由垂径定理和圆周角定理知，OD是AB的中垂线，有AD=BD，∠AOD=∠BOD=∠C=60°．∴AD=AOsin60°=，OD=OAsin∠AOD=OAsin60°=1．∴AB=2．∴A，B，C均正确，D错误．故选D．【点评】本题利用了垂径定理和圆周角定理，直角三角形的性质，锐角三角函数的概念求解．5.如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20B．12C．14D．13【答案】C【解析】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，∴AD ⊥BC ，CD=BD=BC=4，∵点E 为AC 的中点，∴DE=CE=AC=5，∴△CDE 的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．故选：C ．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．6.如图，▱ABCD 的顶点A 、B 、D 在⊙O 上，顶点C 在⊙O 的直径BE 上，连接AE ，∠E=36°，则∠ADC 的度数是（ ）A ．44°B ．54°C ．72°D ．53°【答案】B【解析】解：∵BE 是直径，∴∠BAE=90°， ∵四边形ABCD 是平行四边形，∠E=36°， ∴∠BEA=∠DAE=36°， ∴∠BAD=126°， ∴∠ADC=54°，故选：B ．【点评】本题考查了圆周角定理及平行四边形的性质，解题的关键是认真审题，发现图形中的圆周角．7.已知点P （a ，a+3）在抛物线y=x 2﹣7x+19图象上，则点P 关于原点O 的对称点P′的坐标是（ ）A ．（4，7）B ．（﹣4，﹣7）C ．（4，﹣7）D ．（﹣4，7）【答案】B【解析】解：把点P （a ，a+3）代入函数y=x 2﹣7x+19得：a+3=a 2﹣7a+19，解得：a=4，∴点P 的坐标是（4，7）， ∴点A 关于原点的对称点A′的坐标为（﹣4，﹣7）．故选B ．【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，以及关于原点对称的点坐标之间的关系．8.若A （﹣，y 1），B （，y 2），C （，y 3）为二次函数y=x 2+4x ﹣5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 1＜y 3＜y 2【答案】B【解析】解：∵y=x 2+4x ﹣5=（x+2）2﹣9，∴对称轴是x=﹣2，开口向上，距离对称轴越近，函数值越小，比较可知，B （，y 2）离对称轴最近，C （，y 3）离对称轴最远，即y 2＜y 1＜y 3．故选：B ．【点评】主要考查了二次函数的图象性质及单调性的规律．9.下列图形中阴影部分面积相等的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④【答案】D【解析】解：①中直线y=x+2与坐标轴的交点为（0，2）、（2，0）．∴三角形的底边长和高都为2则三角形的面积为×2×2=2；②中三角形的底边长为1，当x=1时，y=3 ∴三角形的高为3则面积为×1×3=；③中三角形的高为1，底边长正好为抛物线与x 轴两交点之间的距离∴底边长=|x 1﹣x 2|==2 则面积为×2×1=1；④设A 的坐标是（x ，y ），代入解析式得：xy=2，则面积为×2=1∴阴影部分面积相等的是③④．故选D ．【点评】本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数、正比例函数的性质，是一道难度中等的题目．10.如图，已知点A ，B ，C ，D ，E ，F 是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】解：连接AF ，EF ，AE ，过点F 作FN ⊥AE 于点N ，∵点A ，B ，C ，D ，E ，F 是边长为1的正六边形的顶点， ∴AF=EF=1，∠AFE=120°， ∴∠FAE=30°，∴AN=，∴AE=，同理可得：AC=， 故从任意一点，连接两点所得的所有线段一共有15种，任取一条线段，取到长度为的线段有6种情况， 则在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为：．故选：B ．【点评】此题主要考查了正多边形和圆，正确利用正六边形的性质得出AE 的长是解题关键．11.如图，抛物线y=﹣2x 2﹣8x ﹣6与x 轴交于点A 、B ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记作C 1，将C 1向左平移得C 2，C 2与x 轴交于点B ，D ．若直线y=﹣x+m 与C 1，C 2共有3个不同的交点，则m 的取值范围是（ ）A ．﹣3＜m ＜﹣B ．C ．﹣2＜m ＜D ．﹣3＜m ＜﹣2【答案】A【解析】解：令y=﹣2x 2﹣8x ﹣6=0，即x 2+4x+3=0，解得x=﹣1或﹣3，则点A （﹣1，0），B （﹣3，0），由于将C 1向左平移2个长度单位得C 2，则C 2解析式为y=﹣2（x+4）2+2（﹣5≤x≤﹣3），当y=﹣x+m 1与C 2相切时，令y=﹣x+m 1=y=﹣2（x+4）2+2，即2x 2+15x+30+m 1=0，△=﹣8m 1﹣15=0，解得m 1=﹣，当y=﹣x+m 2过点B 时，即0=3+m 2，m 2=﹣3，当﹣3＜m ＜﹣时直线y=﹣x+m 与C 1、C 2共有3个不同的交点，故选：A ．【点评】本题主要考查抛物线与x 轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．二、填空题1.如图，点A 是反比例函数y=的图象上的一点，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B ，点C 为y 轴上的一点，连接AC 、BC ，若△ABC 的面积为3，则k 的值是 ．【答案】﹣6【解析】解：连结OA ，如图，∵AB ⊥x 轴， ∴OC ∥AB ， ∴S △OAB =S △CAB =3，而S △OAB =|k|，∴|k|=3，∵k＜0，∴k=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．2.如图，⊙O的半径为4，OA=8，AB切⊙O于B，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为．【答案】π【解析】解：连接OB、OCOB是半径，AB是切线，∵OB⊥AB，∴∠ABO=90°，∴sinA==，∴∠A=30°，∵OC=OB，BC∥OA，∴∠OBC=∠BOA=60°，∴△OBC是等边三角形，因此S阴影=S扇形CBO==π．故答案为π．【点评】本题利用了平行线的性质，同底等高的三角形面积相等，切线的概念，正弦的概念，扇形的面积公式求解．3.对于实数a，b，定义运算“⊗”：，例如：5⊗3，因为5＞3，所以5⊗3=5×3﹣32=6．若x1，x 2是一元二次方程x2﹣6x+8=0的两个根，则x1⊗x2= ．【答案】±4【解析】解：x2﹣6x+8=0，解得：x=4或2，当x1=2，x2=4时，x1⊗x2=22﹣2×4=﹣4；当x1=4，x2=2时，x1⊗x2=4×2﹣22=4；故答案为：±4．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键．4.如图，在△ABC中，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE=CD，连接AE，对于下列结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③=；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论选项是．【答案】①②④【解析】解：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AC，而AB=CB，∴AD=DC，所以①正确；∵AB=CB，∴∠1=∠2，而CD=ED，∴∠3=∠4，∵CF∥AB，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2=∠3=∠4，∴△CBA∽△CDE，所以②正确；∵△ABC不能确定为直角三角形，∴∠1不能确定等于45°，∴和不能确定相等，所以③错误；∵DA=DC=DE，∴点E在以AC为直径的圆上，∴∠AEC=90°，∴CE⊥AE，而CF∥AB，∴AB⊥AE，∴AE为⊙O的切线，所以④正确．故答案为①②④．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、平行线的性质和相似三角形的判定．三、解答题1.如图，直线y=x+m与反比例函数相交于点A（6，2），与x轴交于B点，点C在直线AB上且．过B、C分别作y轴的平行线交双曲线于D、E两点．（1）求m、k的值；（2）求点D 、E 坐标．【答案】（1）m=﹣4，k=12（2）D （4，3） E （1，12）【解析】解：（1）把A （6，2）代入y=x+m 与y=，得m=﹣4，k=12；（2）过A 作AM ⊥x 轴于M ，由（1）可得，直线解析式为y=x ﹣4，y=，当y=0时，x ﹣4=0，x=4，∴B （4，0）， ∴BM=2，当x=4时，y==3， ∴D （4，3）．又=，∴BN=3， ∴点C 的横坐标是1，又直线AB 的解析式是y=x ﹣4，∴点C 的纵坐标是﹣3，又CE ∥y 轴，∴点E 的横坐标是1，再根据反比例函数的解析式求得点E 的纵坐标是12， 则E （1，12）．【点评】此题考查了待定系数法求函数解析式的方法，能够借助平行求点的坐标．2.阅读下面的材料：解方程x 4﹣7x 2+12=0这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x 2=y ，则x 4=y 2，∴原方程可化为：y 2﹣7y+12=0，解得y 1=3，y 2=4，当y=3时，x 2=3，x=±，当y=4时，x 2=4，x=±2．∴原方程有四个根是：x 1=，x 2=﹣，x 3=2，x 4=﹣2，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．（1）解方程：（x 2+x ）2﹣5（x 2+x ）+4=0；（2）已知实数a ，b 满足（a 2+b 2）2﹣3（a 2+b 2）﹣10=0，试求a 2+b 2的值．【答案】见解析【解析】解：（1）设y=x 2+x ，则y 2﹣5y+4=0，整理，得（y ﹣1）（y ﹣4）=0，解得y 1=1，y 2=4，当x 2+x=1即x 2+x ﹣1=0时，解得：x=； 当当x 2+x=4即x 2+x ﹣4=0时，解得：x=； 综上所述，原方程的解为x 1，2=，x 3，4=；（2）设x=a 2+b 2，则x 2﹣3x ﹣10=0，整理，得（x ﹣5）（x+2）=0，解得y 1=5，y 2=﹣2（舍去），故a 2+b 2=5．【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．3.如图，⊙O 的直径为10，在⊙O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，已知BC ：CA=4：3，点P 在半圆弧AB 上运动（不与A 、B 两点重合），过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．（1）求证：AC•CD=PC•BC ；（2）当点P 运动到AB 弧中点时，求CD 的长．【答案】见解析【解析】（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°， ∵CD ⊥CP ， ∴∠PCD=90°， ∴∠ACB=∠PCD ， ∵∠A 与∠P 是对的圆周角，∴∠A=∠P ， ∴△ABC ∽△PDC ，∴，∴AC•CD=PC•BC ；（2）解：当点P 运动到的中点时，过点B 作BE ⊥PC 于E ，∵BC ：CA=4：3，AB=10， ∴BC=8，AC=6， ∵点P 是的中点，∴∠PCB=∠ACB=45°，∴BE=CE=BC•sin45°=8×=4，在Rt △EPB 中，tan ∠P=tan ∠A===， ∴PE=BE=3， ∴PC=PE+CE=7，∴CD=PC•tan ∠P=×7=．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理以及锐角三角函数的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想与转化思想的应用．4.如图，在一块正方形ABCD 木板上要贴三种不同的墙纸，正方形EFCG 部分贴A 型墙纸，△ABE 部分贴B 型墙纸，其余部分贴C 型墙纸．A 型、B 型、C 型三种墙纸的单价分别为每平方米60元、80元、40元．探究1：如果木板边长为1米，FC=米，则一块木板用墙纸的费用需 元； 探究2：如果木板边长为2米，正方形EFCG 的边长为x 米，一块木板需用墙纸的费用为y 元， （1）用含x 的代数式表示y （写过程）．（2）如果一块木板需用墙纸的费用为225元，求正方形EFCG 的边长为多少米？【答案】（1）55 y=20x 2﹣40x+240（2）正方形EFCG 的边长为或米【解析】解：探究1：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=DA=1， ∴S 正方形ABCD =1，∵四边形EFCG 是正方形，∴EF=CF=，∴S 正方形EFCG =，BF=，∴S △ABE ==∴空白部分的面积为：1﹣﹣=，∴这块木板用墙纸的费用为：+80+40×=55元．故答案为：55．探究2：（1）∵木板边长为2米，∴木板的面积为：4平方米． ∵正方形EFCG 的边长为x 米， ∴S 正方形EFCG =x 2，S △ABE =2﹣x ，∴空白的面积为：4﹣x 2﹣（2﹣x ）=2﹣x 2+x ，y=60x 2+80（2﹣x ）+40（2﹣x 2+x ），y=20x 2﹣40x+240．（2）当y=225时，225=20x 2﹣40x+240，解得：x 1=，x 2=∴正方形EFCG 的边长为或米．【点评】本题考查了正方形的性质，平面几何图形的面积公式的计算，抛物线的解析式的求法．5.某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，等腰直角△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，小敏将三角板中含45°角的顶点放在A 上，斜边从AB 边开始绕点A 逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC 于点D ，直角边所在的直线交直线BC 于点E ．（1）小敏在线段BC 上取一点M ，连接AM ，旋转中发现：若AD 平分∠BAM ，则AE 也平分∠MAC ．请你证明小敏发现的结论；（2）当0°＜α≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD 、CE 、DE 之间存在如下等量关系：BD 2+CE 2=DE 2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：小颖的想法：将△ABD 沿AD 所在的直线对折得到△ADF ，连接EF （如图2）；小亮的想法：将△ABD 绕点A 逆时针旋转90°得到△ACG ，连接EG （如图3）；请你从中任选一种方法进行证明．（3）小敏继续旋转三角板，请你继续研究：当135°＜α＜180°时（如图4），等量BD 2+CE 2=DE 2是否仍然成立？请作出判断，不需要证明．【答案】见解析【解析】 （1）证明：如图1，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°． ∵∠DAE=45°， ∴∠BAD+∠EAC=45°． ∵∠BAD=∠DAM ， ∴∠BAD+∠EAC=∠DAM+∠EAC=45°， ∴∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC ， ∴∠MAE=∠EAC ，即AE 平分∠MAC ；（2）选择小颖的方法．证明：如图2，连接EF ．由折叠可知，∠BAD=∠FAD ，AB=AF ，BD=DF ，∵∠BAD=∠FAD ， ∴由（1）可知，∠CAE=∠FAE ．在△AEF 和△AEC 中，，∴△AEF≌△AEC（SAS），∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°．在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，∴BD2+CE2=DE2．选择小亮的方法，证明：∵将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，∴△ADB≌△AGC，∴∠B=∠ACG=45°，AD=AG，BD=CG，∵∠BAC=∠DAG=90°，∠DAE=45°，∴∠EAG=45°，在△DAE和△GAE中，，∴△DAE≌△GAE（SAS），∴DE=EG，∵∠ACB=90°，∴∠ECG=∠ACB+∠ACG=45°+45°=90°μ，∴△ECG是直角三角形，∴CG2+CE2=EG2，即BD2+CE2=DE2；（3）当135°＜α＜180°时，等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立．证明如下：如图4，按小颖的方法作图，设AB与EF相交于点G．∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，∴AF=AB，∠AFD=∠ABD=135°，∠BAD=∠FAD．又∵AC=AB，∴AF=AC．又∵∠CAE=90°﹣∠BAE=90°﹣（45°﹣∠BAD）=45°+∠BAD=45°+∠FAD=∠FAE．∴∠CAE=∠FAE．在△AEF和△AEC中，∵，∴△AEF≌△AEC（SAS），∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．∴∠DFE=∠AFD﹣∠AFE=∠135°﹣∠C=135°﹣45°=90°．∴∠DFE=90°．在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，∴BD2+CE2=DE2【点评】本题考查了几何变换综合性题目，用到的知识点有角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，折叠对称的性质，全等三角形的判定和性质等，题目的综合性较强，难度较大，正确做出图形的辅助线是解题的关键．6.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（2，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3），连接AB．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ，如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，△PAC 的面积最大？并求出此时P 点的坐标和△PAC 的最大面积．【答案】（1）y=x 2﹣4x+3（2）抛物线的对称轴与⊙C 相离（3）p （，﹣），则S △PAC 的最大值=【解析】解：（1）设抛物线的解析式为y=a （x ﹣2）2﹣1把A （0，3）代入得：3=4a ﹣1解得：a=1，故 y=（x ﹣2）2﹣1=x 2﹣4x+3；（2）抛物线的对称轴与⊙C 相离理由如下：如图1，过点C 作CE ⊥BD 于E令y=0，则x 2﹣4x+3=0解得：x 1=1，x 2=3则B （1，0），C （3，0），A （0，3），故AB=，∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°， ∴∠2=∠3， ∴△AOB ～△BEC∴=， ∴=， ∴CE=，∴BF=CE=1＞， ∴抛物线的对称轴与⊙C 相离；（3）设P （m ，m 2﹣4m+3），如图2，过点P 作作PQ ∥y 轴交AC 于点Q ，设AC 的解析式为：y=kx+b ，故， 解得：，故AC 的解析式为：y=﹣x+3，则Q （m ，﹣m+3），则PQ=﹣m+3﹣（m 2﹣4m+3）=﹣m 2+3m ，S △PAC =S △AQP +S △CQP=×3（﹣m 2+3m ），=﹣m 2+m ，则m=﹣=÷3=，把m=代入得：﹣×+×=， 故p （，﹣），则S △PAC 的最大值=．【点评】此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系、图形面积的求法等知识，正确表示出S △PAC =S △AQP +S △CQP 是解题关键．。
初中数学竞赛代数专题之一元二次方程培优讲义例题练习及解答
初中数学竞赛之一元二次方程培优讲义形如0=a 的方程叫做一元二次方程。
当240b ac -≥时，一元二次方程的两根为1242b x a-±=、一、专题知识1.直接开平方法、配方法、公式法、因式分解发是一元二次方程的四种基本解法。
2.公式法是解一元二次方程最一般地方法：（1）240b ac ->时，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根122b x a-±=、（2）240b ac -=时，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-（3）240b ac -<时，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实数根二、经典例题例题1已知m n 、是有理数，方程20x mx n ++=2-，求m n +的值。
解：由题意得22)2)0m n ++=即(92)(0m n m -++-而m n 、是有理数，必有92040m n m -+=⎧⎨-=⎩，解得41m n =⎧⎨=-⎩，所以m n +的值为3.例题2求证：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠至多有两个不相等的实数根。
证明：用反证发假设方程20(0)ax bx c a ++=≠有三个不同的实数根1x 、2x 和3x ，则有2110(0)ax bx c a ++=≠①2220(0)ax bx c a ++=≠②2330(0)ax bx c a ++=≠③①—②得22121212()()0,a x x b x x x x -+-=≠有12()0a x xb ++=④同理②—③有23()0a x xb ++=⑤④—⑤得1313()0()a x x x x -=≠必有0a =，与已知条件矛盾，所以一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠至多有两个不相等的实数根。
例题3已知首项系数不相等的两个一元二次方程222(1)(2)(2)0a x a a a --+++=及222(1)(+2)(+2)0(,)b x b x b b a b Z -++=∈有一个公共根，求a bb aa b a b --++的值。
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初中数学竞赛专题
[配方法]
一、内容提要
1. 配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a
2
±2ab+b2写成完全平方式
（a±b）2. 有时需要在代数式中添项、折项、分组才能
写成完全平方式.
常用的有以下三种：
①由a2+b2配上2ab， ②由2 ab配上a2+b2，
③由a2±2ab配上b2.
2. 运用配方法解题，初中阶段主要有：
① 用完全平方式来因式分解
例如：把x4+4 因式分解.
原式＝x4+4＋4x2－4x2=(x2+2)2－4x2＝……
这是由a2+b2配上2ab.
② 二次根式化简常用公式：aa2，这就需要把被开方数
写成完全平方式.
例如：化简625.
我们把5－26写成 2－232＋3
＝2)2(－232＋2)3(
＝（2－3）2.
这是由2 ab配上a2+b2.
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③ 求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方
是非负数，零就是最小值.即∵a2≥0， ∴当a=0时，
a2的值为0是最小值.
例如：求代数式a2+2a－2 的最值.
∵a2+2a－2= a2+2a+1－3=(a+1)2－3
当a=－1时, a2+2a－2有最小值－3.
这是由a2±2ab配上b
2
④ 有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一
个非负数都是零，有时就需要配方.
例如:：求方程x2+y2+2x-4y+5=0 的解x, y.
解：方程x2+y2+2x-4y+1＋4＝0.
配方的可化为 （x+1）2+(y－2)2=0.
要使等式成立，必须且只需0201yx.
解得 21yx
此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、
不等式时，也常要有配方的知识和技巧.
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二、例题
例1. 因式分解：a2b2－a2+4ab－b2+1.
解：a2b2－a2+4ab－b2+1＝a2b2+2ab+1+(－a2+2ab－b2)
（折项，分组）
＝（ab+1）2－(a－b)2
（配方）
＝（ab+1+a-b）(ab+1-a+b)
（用平方差公式分解）
本题的关鍵是用折项，分组，树立配方的思想.
例2. 化简下列二次根式：
①347； ②32； ③223410.
解：化简的关键是把被开方数配方
①347＝33224＝2)32(
＝32＝2＋3.
②32＝2322＝2324＝2)13(2
＝2)13(2＝.226
③223410＝2)12(410
＝）＋（12410
＝246＝22224＝
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2
)22(
=2－2.
=
例3. 求下列代数式的最大或最小值：
① x2+5x+1； ② －2x2－6x+1 .
解：①x2+5x+1＝x2+2×2`5x+225－425+1
＝（x+25）2－421.
∵（x+25）2≥0，其中0是最小值.
即当x=25时，x2+5x+1有最小值－421.
②－2x2－6x+1 ＝－2（x2+3x-21）
=－2(x2+2×23x+4949－21)
＝－2（x+23）2+211
∵－2（x+23）2≤0，其中0是最大值，
∴当x=－23时，－2x2－6x+1有最大值211.
例4. 解下列方程：
①x4－x2+2xy+y2+1=0 ；
②x2+2xy+6x+2y2+4y+10=0.
解：①（x4－2x2＋1）＋（x2+2xy+y2）=0 . （折项，分组）
(x2－1)2+(x+y)2=0. （配方）
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根据“几个非负数的和等于零，则每一个非负数都应等
于零”.
得 0012yxx
∴1,1yx 或 11yx
②x2+2xy+y2+6x+6y+9+y2－2y+1=0 . (折项，分组)
(x+y)2+6（x+y）+9+y2－2y+1=0.
(x+y+3)2+(y－1)2＝0. （配方）
∴0103yyx ∴14yx
例5. 已知：a, b, c, d 都是整数且m=a2+b2, n=c2+d2,
则mn也可以表示为两个整数的平方和，试写出其形式.
解：mn=( a2+b2)( c2+d2)= a2c2+ +a2d2 +b2 c2+ b2 d2
= a2c2+ b2 d2+2abcd+ a2d2 +b2 c2－2abcd (分
组，添项)
=(ac+bd)2+(ad-bc)
2
例6. 求方程 x2+y2-4x+10y+16=0的整数解
解：x2-4x+16+y2+10y+25=25 (添项)
（x－4）2+(y+5)2＝25 （配方）
∵25折成两个整数的平方和，只能是0和25；9和16.
∴9)5(16)4(16)5(9)40)5(25)4(25)5(0)422222222yxyxyxyx或（或或（
由5504yx得04yx
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同理，共有12个解104yx5-9yx51yx……
三、练习
1. 因式分解：
①x4+x2y2+y4 ； ②x2-2xy+y2-6x+6y+9 ； ③
x4+x2-2ax-a2+1.
2. 化简下列二次根式：
①25204912422xxxx （－23＜x<25）；
②2234432xxxxx (1
⑤324411； ⑥5353；
⑦（14＋65）÷（3＋5）； ⑧（x3）2＋1682xx.
3求下列代数式的最大或最小值：
①2x2+10x+1 ； ②－21x2+x-1.
4.已知：a2+b2－4a－2b+5 . 求：223ba的值.
5.已知：a2+b2+c2=111, ab+bc+ca=29 . 求：a+b+c的值.
6.已知：实数a, b, c 满足等式a+b+c=0, abc=8 .
试判断代数式cba111值的正负.
7.已知：x=3819,求：1582316262234xxxxxx.
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参考答案
1. ②（x－y－3）2
2. ①8， ②0.5x， ③3－22， ④2210， ⑤
2＋3， ⑥10
⑦3＋5， ⑧7－2x （x≤3）
3. ①当x=－25时，有最小值－223 ②x=1时，有最
大值－21
4. a=2, b=1 代数式值是3＋22
5. ±13 6.负数。由（a+b+c）2=0 得出ab+ac+bc<0
4. 值为5。 先化简已知为4－3，代入分母值为2， 可
知x2－8x+13=0
分子可化为（x2+2x+1）(x2－8x+13)+10 ＝10
5. 配方（a－b）2+(b－c)2=0
6. ①36yx ②1,11,1yx ③12yx
7. ①21312111yxyxyxyx ②（x-3）
2+(y+5)2
=9 ……