立体几何初步复习
2020-2021学年必修二高一数学下学期期末第八章 立体几何初步(章节专练解析版)
第八章 立体几何初步（章节复习专项训练）一、选择题1．如图，在棱长为1正方体ABCD 中，点E ，F 分别为边BC ，AD 的中点，将ABF ∆沿BF 所在的直线进行翻折，将CDE ∆沿DE 所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法错误．．的是A ．无论旋转到什么位置，A 、C 两点都不可能重合B ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为60︒C ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为90︒D ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒【答案】D【详解】解：过A 点作AM⊥BF 于M ，过C 作CN⊥DE 于N 点在翻折过程中，AF 是以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的母线，同理，AB ，EC ，DC 也可以看成圆锥的母线；在A 中，A 点轨迹为圆周，C 点轨迹为圆周，显然没有公共点，故A 正确；在B 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为60°，又AF ，EC 分别可看成是圆锥的母线，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于60°即可，故B 正确；在C 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为90°，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故C 正确；在D 中，能否使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒，只需看以B 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故D 不成立；故选D ．2．如图所示，多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，//EF AB ，32EF =，EF 到平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积V 为（ ）A ．92B ．5C ．6D ．152【答案】D【详解】解法一：如图，连接EB ，EC ，AC ，则213263E ABCD V -=⨯⨯=.2AB EF =，//EF AB2EAB BEF S S ∆∆∴=.12F EBC C EFB C ABE V V V ---=∴= 11132222E ABC E ABCD V V --==⨯=. E ABCDF EBC V V V --∴=+315622=+=. 解法二：如图，设G ，H 分别为AB ，DC 的中点，连接EG ，EH ，GH ，则//EG FB ，//EH FC ，//GH BC ，得三棱柱EGH FBC -，由题意得123E AGHD AGHD V S -=⨯ 1332332=⨯⨯⨯=， 133933332222GH FBC B EGH E BGH E GBCH E AGHD V V V V V -----===⨯==⨯=⨯， 915322E AGHD EGH FBC V V V --=+=+=∴. 解法三：如图，延长EF 至点M ，使3EM AB ==，连接BM ，CM ，AF ，DF ，则多面体BCM ADE -为斜三棱柱，其直截面面积3S =，则9BCM ADE V S AB -=⋅=.又平面BCM 与平面ADE 平行，F 为EM 的中点，F ADE F BCM V V --∴=，2F BCM F ABCD BCM ADE V V V ---∴+=， 即12933233F BCM V -=-⨯⨯⨯=， 32F BCM V -∴=，152BCM ADE F BCM V V V --=-=∴. 故选：D 3．下列命题中正确的是A ．若a ，b 是两条直线，且a ⊥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面B ．若直线a 和平面α满足a ⊥α，那么a 与α内的任何直线平行C ．平行于同一条直线的两个平面平行D ．若直线a ，b 和平面α满足a ⊥b ，a ⊥α，b 不在平面α内，则b ⊥α【答案】D【详解】解：如果a ，b 是两条直线，且//a b ，那么a 平行于经过b 但不经过a 的任何平面，故A 错误； 如果直线a 和平面α满足//a α，那么a 与α内的任何直线平行或异面，故B 错误；如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线可能平行，也可能相交，也可能异面，故C 错误； D 选项：过直线a 作平面β，设⋂=c αβ，又//a α//a c ∴又//a b//b c ∴又b α⊂/且c α⊂//b α∴．因此D 正确．故选：D ．4．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，M 为棱BB 1的中点，则下列结论中错误的是( )A ．D 1O⊥平面A 1BC 1B ．MO⊥平面A 1BC 1C ．二面角M －AC －B 等于90°D ．异面直线BC 1与AC 所成的角等于60°【答案】C【详解】对于A ，连接11B D ，交11AC 于E ，则四边形1DOBE 为平行四边形 故1D O BE1D O ⊄平面11,A BC BE ⊂平面111,A BC DO ∴平面11A BC ，故正确对于B ，连接1B D ，因为O 为底面ABCD 的中心，M 为棱1BB 的中点，1MO B D ∴,易证1B D ⊥平面11A BC ，则MO ⊥平面11A BC ，故正确；对于C ，因为,BO AC MO AC ⊥⊥，则MOB ∠为二面角M AC B --的平面角，显然不等于90︒，故错误对于D ，1111,AC AC AC B ∴∠为异面直线1BC 与AC 所成的角，11AC B ∆为等边三角形，1160AC B ∴∠=︒，故正确故选C5．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别是棱1AA 和1BB 的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于点G 、H ，则GH 与AB 的位置关系是A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或异面【答案】A【详解】 在长方体1111ABCD A BC D -中，11//AA BB ，E 、F 分别为1AA 、1BB 的中点，//AE BF ∴，∴四边形ABFE 为平行四边形，//EF AB ∴， EF ⊄平面ABCD ，AB 平面ABCD ，//EF ∴平面ABCD ，EF ⊂平面EFGH ，平面EFGH平面ABCD GH =，//EF GH ∴， 又//EF AB ，//GH AB ∴，故选A.6．如图所示，点S 在平面ABC 外，SB⊥AC ，SB=AC=2，E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长是A ．1 BC ．2D ．12【答案】B【详解】取BC 的中点D ，连接ED 与FD⊥E 、F 分别是SC 和AB 的中点，点D 为BC 的中点⊥ED⊥SB ，FD⊥AC,而SB⊥AC ，SB=AC=2则三角形EDF 为等腰直角三角形,则ED=FD=1即故选B.7．如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆O 上一点（不同于A ，B 两点），且PA AC =，则二面角P BC A --的大小为A ．60°B ．30°C ．45°D ．15°【答案】C【详解】 解：由条件得,PA BC AC BC ⊥⊥.又PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC .又因为PC ⊂平面PAC ， 所以BC PC ⊥.所以PCA ∠为二面角P BC A --的平面角.在Rt PAC ∆中，由PA AC =得45PCA ︒∠=. 故选：C .8．在空间四边形ABCD 中，若AD BC BD AD ⊥⊥，，则有A ．平面ABC ⊥平面ADCB ．平面ABC ⊥平面ADBC ．平面ABC ⊥平面DBCD ．平面ADC ⊥平面DBC【答案】D【详解】 由题意，知AD BC BD AD ⊥⊥，，又由BC BD B =，可得AD ⊥平面DBC ，又由AD ⊂平面ADC ，根据面面垂直的判定定理，可得平面ADC ⊥平面DBC9．直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于 A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【详解】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B 1A 1到E ，使A 1E =A 1B 1，连结AE ，EC 1，则AE ⊥A 1B ，⊥EAC 1或其补角即为所求，由已知条件可得⊥AEC 1为正三角形，⊥⊥EC 1B 为60，故选C ．10．已知两个平面相互垂直，下列命题⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线⊥一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面⊥过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【详解】由题意，对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故⊥错误；对于⊥，设平面α∩平面β=m ，n⊥α，l⊥β，⊥平面α⊥平面β， ⊥当l⊥m 时，必有l⊥α，而n⊥α， ⊥l⊥n ，而在平面β内与l 平行的直线有无数条，这些直线均与n 垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即⊥正确；对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；对于⊥，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，若该直线不在第一个平面内，则此直线不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；故选A ．11．在空间中，给出下列说法：⊥平行于同一个平面的两条直线是平行直线；⊥垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ；⊥过平面α的一条斜线，有且只有一个平面与平面α垂直.其中正确的是（ ）A ．⊥⊥B ．⊥⊥C ．⊥⊥D ．⊥⊥ 【答案】B【详解】⊥平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，不正确；易知⊥正确；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β可能平行，也可能相交，不正确；易知⊥正确.故选B.12．下列结论正确的选项为( )A ．梯形可以确定一个平面；B ．若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；C ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l⊥αD ．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．【答案】A【详解】因梯形的上下底边平行，根据公理3的推论可知A 正确．两条直线和第三条直线所成的角相等，这两条直线相交、平行或异面，故B 错．当直线和平面相交时，该直线上有无数个点不在平面内，故C 错．如果两个平面有三个公共点且它们共线，这两个平面可以相交，故D 错．综上，选A ．13．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为A ．27πB ．36πC ．54πD ．81π 【答案】B【详解】设圆柱的底面半径为r ．因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r ．因为该圆柱的体积为54π，23π2π54πr h r ==，解得3r =，所以该圆柱的侧面积为2π236r r ⨯=π．14．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为A ．8π3B ．32π3C ．8πD 【答案】C【详解】设球的半径为R ，则截面圆的半径为，⊥截面圆的面积为S ＝π2＝（R 2－1）π＝π，⊥R 2＝2，⊥球的表面积S ＝4πR 2＝8π．故选C. 15．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，那么这个圆柱的体积是A ．2πB ．1πC ．22πD ．21π【答案】A【详解】由题意可知，圆柱的高为2，底面周长为2，故半径为1π，所以底面积为1π，所以体积为2π，故选A ． 16．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是（ ）A ．原来相交的仍相交B ．原来垂直的仍垂直C ．原来平行的仍平行D ．原来共点的仍共点【答案】B【详解】解：根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，与x 轴平行的线段长度不变，与y 轴平行的线段长度变为原来的一半，且倾斜45︒，故原来垂直线段不一定垂直了；故选：B ．17．如图所示为一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为45︒，腰和上底长均为1的等腰梯形，则原平面图形为 ( )A ．下底长为1B ．下底长为1+C ．下底长为1D ．下底长为1+【答案】C【详解】45A B C '''∠=，1A B ''= 2cos451B C A B A D ''''''∴=+=∴原平面图形下底长为1由直观图还原平面图形如下图所示：可知原平面图形为下底长为1故选：C18．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（ ）A 3RB 3RC 3RD 3R 【答案】C【详解】设底面半径为r ，则2r R ππ=，所以2R r =.所以圆锥的高2h R ==.所以体积22311332R V r h R ππ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭.故选：C .19．下列说法中正确的是A ．圆锥的轴截面是等边三角形B ．用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台C ．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成D ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱【答案】D【详解】圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，A 错误；只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，B 错误；等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周的几何体，是由一个圆柱和两个圆锥组合而成，故C 错误；由棱柱的定义得，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故D 正确．20．如图，将矩形纸片ABCD 折起一角落()EAF △得到EA F '△，记二面角A EF D '--的大小为π04θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，直线A E '，A F '与平面BCD 所成角分别为α，β，则（ ）．A ．αβθ+>B ．αβθ+<C ．π2αβ+>D ．2αβθ+> 【答案】A【详解】如图，过A '作A H '⊥平面BCD ，垂足为H ，过A '作A G EF '⊥，垂足为G ，设,,A G d A H h A EG γ'''==∠=，因为A H '⊥平面BCD ，EF ⊂平面BCD ，故A H EF '⊥，而A G A H A '''⋂=，故EF ⊥平面A GH '，而GH ⊂平面A GH '，所以EF GH ⊥，故A GH θ'∠=，又A EH α'∠=，A FH β'∠=.在直角三角形A GE '中，sin d A E γ'=，同理cos d A F γ'=， 故sin sin sin sin sin h h d dαγθγγ===，同理sin sin cos βθγ=， 故222sin sin sin αβθ+=，故2cos 2cos 21sin 22αβθ--=， 整理得到2cos 2cos 2cos 22αβθ+=， 故()()2cos cos cos 22αβαβαβαβθ+--⎡⎤++-⎣⎦+=， 整理得到()()2cos cos cos αβαβθ+-=即()()cos cos cos cos αβθθαβ+=-， 若αβθ+≤，由04πθ<< 可得()cos cos αβθ+≥即()cos 1cos αβθ+≥， 但αβαβθ-<+≤，故cos cos αβθ->，即()cos 1cos θαβ<-，矛盾， 故αβθ+>.故A 正确，B 错误. 由222sin sin sin αβθ+=可得sin sin ,sin sin αθβθ<<，而,,αβθ均为锐角，故,αθβθ<<，22παβθ+<<，故CD 错误.故选：D.二、填空题 21．如图，已知六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝AB ，则下列结论正确的是_____．（填序号）⊥PB ⊥AD ；⊥平面P AB ⊥平面PBC ；⊥直线BC ⊥平面P AE ；⊥sin⊥PDA =．【答案】⊥【详解】⊥P A ⊥平面ABC ，如果PB ⊥AD ，可得AD ⊥AB ，但是AD 与AB 成60°，⊥⊥不成立，过A 作AG ⊥PB 于G ，如果平面P AB ⊥平面PBC ，可得AG ⊥BC ，⊥P A ⊥BC ，⊥BC ⊥平面P AB ，⊥BC ⊥AB ，矛盾，所以⊥不正确；BC 与AE 是相交直线，所以BC 一定不与平面P AE 平行，所以⊥不正确；在R t⊥P AD 中，由于AD ＝2AB ＝2P A ，⊥sin⊥PDA =，所以⊥正确；故答案为: ⊥22．如图，已知边长为4的菱形ABCD 中，,60AC BD O ABC ⋂=∠=︒.将菱形ABCD 沿对角线AC 折起得到三棱锥D ABC -，二面角D AC B --的大小为60°，则直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为______.【详解】⊥四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，,,AC OD AC OB OB OD ∴⊥⊥==，DOB ∴∠为二面角D AC B --的平面角，60DOB ∠=︒∴，OBD ∴△是等边三角形.取OB 的中点H ，连接DH ，则,3DH OB DH ⊥=.,,AC OD AC OB OD OB O ⊥⊥⋂=，AC ∴⊥平面,OBD AC DH ∴⊥，又,AC OB O AC ⋂=⊂平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，DH ∴⊥平面ABC ，2114333D ABC ABC V S DH -∴=⋅=⨯=△4,AD AB BD OB ====ABD ∴∆的边BD 上的高h =1122ABD S BD h ∴=⋅=⨯=△设点C 到平面ABD 的距离为d ，则13C ABD ABD V S d -=⋅=△.D ABC C ABD V V --=，d ∴=∴=⊥直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为d BC = 23．球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_______． 【答案】932或332【解析】设圆锥的底面半径为r,高为h,球的半径为R ．由立体几何知识可得，连接圆锥的顶点和底面的圆心，必垂直于底面，且球心在连线所成的直线上．分两种情况分析：（1）球心在连线成构成的线段内因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为（2）球心在连线成构成的线段以外因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为24．如图，四棱台''''ABCD A B C D -的底面为菱形，P 、Q 分别为''''B C C D ，的中点．若'AA ⊥平面BPQD ，则此棱台上下底面边长的比值为___________．【答案】2 3【详解】连接AC，A′C′，则AC⊥A′C′，即A，C，A′，C′四点共面，设平面ACA′C′与PQ和QB分别均于M，N点，连接MN，如图所示：若AA′⊥平面BPQD，则AA′⊥MN，则AA'NM为平行四边形，即A'M＝AN，即31''42A C=AC，''23A BAB∴=，即棱台上下底面边长的比值为23．故答案为23．三、解答题25．如图，在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点．（1）求证：AC 1⊥平面PBD ；（2）求证：BD ⊥A 1P ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】（1）连接AC 交BD 于O 点，连接OP ，因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ，所以O 点是AC 的中点，所以AO =OC ．又因为点P 是侧棱C 1C 的中点，所以CP =PC 1，在⊥ACC 1中，11C P AO OC PC==，所以AC 1⊥OP ， 又因为OP ⊥面PBD ，AC 1⊥面PBD ，所以AC 1⊥平面PBD ．（2）连接A 1C 1．因为ABCD –A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，所以侧棱C 1C 垂直于底面ABCD ，又BD ⊥平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ，因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又AC ∩CC 1=C ，AC ⊥面AC 1，CC 1⊥面AC 1，所以BD ⊥面AC 1，又因为P ⊥CC 1，CC 1⊥面ACC 1A 1，所以P ⊥面ACC 1A 1，因为A 1⊥面ACC 1A 1，所以A 1P ⊥面AC 1，所以BD ⊥A 1P ．26．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BC BB =，12BAC BCA ABC ∠=∠=∠，点E 是1A B 与1AB 的交点，D 为AC 的中点.（1）求证：1BC 平面1A BD ；（2）求证：1AB ⊥平面1A BC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）连结ED ，E 为1A B 与1AB 的交点，E 为1AB 中点，D 为AC 中点，根据三角形中位线定理可得1//ED B C ，由线面平行的判定定理可得结果；（2）由等腰三角形的性质可得AB BC ⊥，由菱形的性质可得11AB A B ⊥，1BB ⊥平面ABC ，可得1BC BB ⊥，可证明1BC AB ⊥，由线面垂直的判定定理可得结果.详解：（1）连结ED ，⊥直棱柱111ABC A B C -中，E 为1A B 与1AB 的交点，⊥E 为1AB 中点，D 为AC 中点，⊥1//ED B C又⊥ED ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD⊥1//B C 平面1A BD .（2）由12BAC BCA ABC ∠=∠=∠知,AB BC AB BC =⊥ ⊥1BB BC =，⊥四边形11ABB A 是菱形，⊥11AB A B ⊥. ⊥1BB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC⊥1BC BB ⊥⊥1AB BB B ⋂=,1,AB BB ⊂平面11ABB A ，⊥BC ⊥平面11ABB A⊥1AB ⊂平面11ABB A ，⊥1BC AB ⊥⊥1BC A B B ⋂=，1,BC A B ⊂平面1A BC ，⊥1AB ⊥平面1A BC27．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，平面PBC ⊥平面ABCD ，⊥BCD 4π=，BC ⊥PD ，PE ⊥BC ．（1）求证：PC ＝PD ；（2）若底面ABCD 是边长为2的菱形，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为43，求点B 到平面PCD 的距离．【答案】（1）证明见解析 （2）3． 【详解】 （1）证明：由题意，BC ⊥PD ，BC ⊥PE ，⊥BC ⊥平面PDE ，⊥DE ⊥平面PDE ，⊥BC ⊥DE .⊥⊥BCD 4π=，⊥DEC 2π=，⊥ED ＝EC ，⊥Rt⊥PED ⊥Rt⊥PEC ，⊥PC ＝PD .（2）解：由题意，底面ABCD 是边长为2的菱形，则ED ＝EC =⊥平面PBC ⊥平面ABCD ，PE ⊥BC ，平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ，⊥PE ⊥平面ABCD ，即PE 是四棱锥P ﹣ABCD 的高.⊥V P ﹣ABCD 13=⨯2PE 43=，解得PE = ⊥PC ＝PD ＝2.设点B 到平面PCD 的距离为h ，⊥V B ﹣PCD ＝V P ﹣BCD 12=V P ﹣ABCD 23=， ⊥1132⨯⨯2×2×sin60°×h 23=，⊥h 3=.⊥点B 到平面PCD 的距离是3. 28．如图，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中，面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，面ABFE 是矩形，平面ABFE ⊥平面ABCD ，BC CD AE a ===，60DAB ∠=.（1）求证：平面⊥BDF 平面ADE ；（2）若三棱锥B DCF -a 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）1.【详解】（1）因为四边形ABFE 是矩形，故EA AB ⊥，又平面ABFE ⊥平面ABCD ，平面ABFE 平面ABCD AB =，AE ⊂平面ABFE ， 所以AE ⊥平面ABCD ，又BD ⊂面ABCD ，所以AE BD ⊥，在等腰梯形ABCD 中，60DAB ∠=，120ADC BCD ︒∴∠=∠=，因BC CD =，故30BDC ∠=，1203090ADB ∠=-=，即AD BD ⊥， 又AE AD A =，故BD ⊥平面ADE ，BD ⊂平面BDF ，所以平面⊥BDF 平面ADE ；（2）BCD 的面积为2213sin12024BCD S a ==， //AE FB ，AE ⊥平面ABCD ，所以，BF ⊥平面ABCD ，2313D BCF F BCD V V a --∴==⋅==，故1a =.。
2020秋新人教版高中数学必修二第八章立体几何初步复习课题型课知识框架思维导图
第八章立体几何初步复习课要点训练一空间几何体的结构特征1.紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定.2.通过举反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可.1.设有四个命题:①底面是矩形的平行六面体是长方体;②棱长都相等的直四棱柱是正方体;③侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体;④对角线相等的平行六面体是直平行六面体.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:底面是矩形的直平行六面体是长方体,①错误;棱长都相等的直四棱柱是正方体,②正确;侧棱垂直于底面两条相邻边的平行六面体是直平行六面体,③错误;任意侧面上两条对角线相等的平行六面体是直平行六面体,④错误.故命题正确的个数是1.答案:A2.在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,取四棱锥A1-ABCD,则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形.答案:D要点训练二空间几何体的表面积与体积1.空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题,关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积问题注意衔接部分的处理.(3)旋转体的表面积问题,应注意其侧面展开图的应用.2.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体问题是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解.(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等进行求解.(3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,再根据条件求解.1.已知一个六棱锥的体积为2√3 ,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为12.解析:由题意可知,该六棱锥是正六棱锥.设该六棱锥的高为h ,则13×6×√34×22×h =2√3,解得h =1.由题意,得底面正六边形的中心到其边的距离为√3,所以侧面等腰三角形底边上的高为√(√3)2+1=2,所以该六棱锥的侧面积为6×12×2×2=12. 2.如图所示,三棱锥O -ABC 为长方体的一角,其中OA ,OB ,OC 两两垂直,三个侧面OAB ,OAC ,OBC 的面积分别为1.5 cm 2,1 cm 2,3 cm 2,求三棱锥O -ABC 的体积.解:设OA ,OB ,OC 的长依次为x cm,y cm,z cm,由已知可得12xy =1.5,12xz =1,12yz =3,解得x =1,y =3,z =2. 将三棱锥O -ABC 看成以C 为顶点,以OAB 为底面,易知OC 为三棱锥C -OAB 的高.故V 三棱锥O -ABC =V C -OAB =13S △OAB ·OC =13×1.5×2=1(cm 3). 3.如图所示,已知三棱柱ABC -A'B'C',侧面B'BCC'的面积是S ,点A'到侧面B'BCC'的距离是a ,求三棱柱ABC -A'B'C'的体积.解:连接A'B ,A'C ,如图所示,这样就把三棱柱ABC -A'B'C'分割成了两个棱锥,即三棱锥A'-ABC 和四棱锥A'-BCC'B'.设所求体积为V ,显然三棱锥A'-ABC 的体积是13V. 而四棱锥A'-BCC'B'的体积为13Sa , 故有13V +13Sa =V ,所以V =12Sa. 要点训练三 与球有关的切、接问题与球相关问题的解题策略(1)作适当的截面(如轴截面等)时,对于球内接长方体、正方体,则截面一要过球心, 二要过长方体或正方体的两条体对角线,才有利于解题.(2)对于“内切”和“外接”等问题,首先要弄清几何体之间的相互关系,主要是指特殊的点、线、面之间的关系,然后把相关的元素放到这些关系中来解决.1.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为6,底面边长为4,则该球的表面积为( )A.443πB.4849πC.814πD.16π 解析:如图所示,设PE 为正四棱锥P -ABCD 的高,则正四棱锥P -ABCD 的外接球的球心O 必在其高PE 所在的直线上,延长PE 交球面于一点F ,连接AE ,AF.由球的性质可知△PAF 为直角三角形,且AE ⊥PF.因为该棱锥的高为6,底面边长为4,所以AE =2√2,PE =6,所以侧棱长PA =√PE 2+AE 2=√62+(2√2)2=√44=2√. 设球的半径为R ,则PF =2R. 由△PAE ∽△PFA ,得PA 2=PF ·PE ,即44=2R ×6,解得R =113,所以S =4πR 2=4π×(113)2=484π9.答案:B2.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,如果这个球的体积是323π,那么这个正三棱柱的体积是( ) A.96√3 B.16√3 C.24√3 D.48√3解析:由球的体积公式可求得球的半径R =2. 设球的外切正三棱柱的底面边长为a ,高即侧棱长,为h ,则h =2R =4. 在底面正三角形中,由正三棱柱的内切球特征,得a 2×√33=R =2,解得a =4√3. 故这个正三棱柱的体积V =12×√32×(4√3)2×4=48√3.答案:D要点训练四 空间中的平行关系1.平行问题的转化关系2.直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法;(2)判定定理;(3)面与面平行的性质.3.平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法;(2)判定定理;(3)推论;(4)a ⊥α,a ⊥β⇒α∥β.1.如图所示,三棱柱ABC -A'B'C'中,M ,N 分别为BB',A'C'的中点.求证:MN ∥平面ABC'.证明:取B'C'的中点P ,连接MP ,NP (图略),则MP ∥BC',NP ∥A'B'. 因为A'B'∥AB ,所以NP ∥AB.因为AB ⊂平面ABC',NP ⊄平面ABC',所以NP ∥平面ABC'.同理MP∥平面ABC'.因为NP∩MP=P,所以平面MNP∥平面ABC'.因为MN⊂平面MNP,所以MN∥平面ABC'.2.两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB, M∈AC,N∈FB,且AM=FN,过点M作MH⊥AB于点H.求证:平面MNH∥平面BCE.证明:因为正方形ABCD中,MH⊥AB,BC⊥AB,所以MH∥BC.因为BF=AC,AM=FN,所以FNBF =AM AC.因为MH∥BC,所以AMAC =AH AB,所以FNBF =AH AB,所以NH∥AF∥BE.因为MH⊂平面MNH,NH⊂平面MNH,MH∩NH=H, BC⊂平面BCE,BE⊂平面BCE,BC∩BE=B,所以平面MNH∥平面BCE.要点训练五空间中的垂直关系1.空间中垂直关系的相互转化2.判定线线垂直的方法(1)平面几何中证明线线垂直的方法.(2)线面垂直的性质:a⊥α,b⊂α⇒a⊥b;a⊥α,b∥α⇒a⊥b.3.判定线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理.(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”.(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个,则与另一个平面也垂直”.(4)利用面面垂直的性质.4.判定面面垂直的方法(1)利用定义:两个垂直平面相交,所成的二面角是直二面角.(2)判定定理:a⊂α,a⊥β⇒α⊥β.1.如图所示,Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直角边AO所在直线为轴旋转得到,且二面角B-AO-C是直二面角,D是AB上任意一点.求证:平面COD⊥平面AOB.证明:由题意,得CO⊥AO,BO⊥AO,所以∠BOC是二面角B-AO-C 的平面角.因为二面角B-AO-C是直二面角,所以∠BOC=90°,所以CO⊥BO.因为AO∩BO=O,所以CO⊥平面AOB.因为CO⊂平面COD,所以平面COD⊥平面AOB.2.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=BC=2, AD=CD=√7,PA=√3,∠ABC=120°,G为线段PC上的点,O为AC,BD交点.(1)证明:BD⊥平面APC;(2)若G满足PC⊥平面BGD,求PG的值.GC(1)证明:由AB=BC,AD=CD,得BD垂直平分线段AC.所以O为AC的中点,BD⊥AC.因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.因为AC∩PA=A,AC⊂平面APC,PA⊂平面APC,所以BD⊥平面APC.(2)解:连接OG,如图所示.因为PC⊥平面BGD,OG⊂平面BGD,所以PC⊥OG.在△ABC中,由余弦定理,得AC=√22+22-2×2×2×cos120°=2√3.在Rt△PAC中,得PC=√AC2+PA2=√12+3=√所以由△GOC∽△APC可得GC=AC·OCPC =2√155.从而PG=3√155,所以PGGC=32.要点训练六空间角的求解方法1.找异面直线所成角的三种方法(1)利用图中已有的平行线平移.(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移.(3)补形平移.2.线面角求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影,即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足.通常是解由斜线段、垂线段、斜线在平面内的射影所组成的直角三角形.3.求二面角的两种常用方法(1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线.(2)垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.1.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°, AB≠AC,D,E分别是BC,AB的中点,AC>AD,设PC与DE所成的角为α,PD与平面ABC所成的角为β,二面角P-BC-A的平面角为γ,则α,β,γ的大小关系是α<β<γ.解析:因为D,E分别是BC,AB的中点,所以DE∥AC,所以PC与DE所成的角为∠PCA,即α.因为PA⊥平面ABC,所以PD与平面ABC所成的角为∠PDA,即β.如图所示,过点A作AH⊥BC,垂足为H,连接PH,易证BC⊥平面PAH,所以∠PHA是二面角P-BC-A的平面角,即γ.因为AB≠AC,所以AD>AH.因为AC >AD,所以AC >AD >AH,所以PAAC <PAAD<PAAH,所以tan α<tan β<tan γ,所以α<β<γ.2.如图所示,AB是☉O的一条直径,PA垂直于☉O所在的平面,C 是圆周上不同于A, B的一动点.(1)证明:△P BC是直角三角形;(2)若PA=AB=2,且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为√2时,求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.(1)证明:因为AB是☉O的一条直径, C是圆周上不同于A,B的一动点,所以BC⊥AC.因为PA⊥平面ABC,所以BC⊥PA.因为PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC,所以△BPC是直角三角形.(2)解:如图所示,过点A作AH⊥PC于点H,连接BH.因为BC⊥平面PAC,所以BC⊥AH.因为PC∩BC=C,PC⊂平面PBC,BC⊂平面PBC,所以AH⊥平面PBC,所以∠ABH是直线AB与平面PBC所成的角.因为PA⊥平面ABC,所以∠PCA即是PC与平面ABC所成的角.因为tan∠PCA=PAAC=√2,PA=2, 所以AC=√2.在Rt△PAC中,AH=√PA2+AC2=23√3,在Rt△ABH中,sin∠ABH=23√32=√33,即AB与平面PBC所成角的正弦值为√33.要点训练七转化思想转化思想是指在解决数学问题时,一个数学对象在一定条件下转化为另一种数学对象的思想.它包括从未知到已知的转化,从一般到特殊的转化等,折叠问题中体现了转化思想.解决折叠问题的关键在于认真分析折叠前后元素的位置变化情况,看看哪些元素的位置变了,哪些元素的位置没有变,基本思路是利用“不变求变”,一般步骤如下:(1)平面→空间:根据平面图形折出满足条件的空间图形,想象出空间图形,完成平面图形与空间图形在认识上的转化.(2)空间→平面:为解决空间图形问题,要回到平面上来,重点分析元素的变与不变.1.如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.若将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下列结论正确的是()A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC解析:因为在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°, ∠BAD=90°,所以BD⊥CD.因为平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,所以CD⊥平面ABD,所以CD⊥AB.因为AD⊥AB,AD∩CD=D,AD⊂平面ADC,CD⊂平面ADC,故AB⊥平面ADC.因为AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ADC.答案:D2.如图所示,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点.现将△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB,垂足为K.设AK=t,则t的取值范围是(1,1).2→解析:如图所示,过点K作KM⊥AF于M点,连接DM,易得DM⊥AF,与折前的图形对比,可知在折前的图形中D,M,K三点共线,且DK⊥AF, 于是△DAK∽△FDA,所以AKAD =ADDF.所以t1=1DF.所以t=1DF.因为DF∈(1,2),所以t∈( 12,1).3.如图①所示,在等腰梯形CDEF中,DE=CD=√2,EF=2+√2,将它沿着两条高AD,CB折叠成四棱锥E-ABCD(E,F两点重合),如图②所示.①②(1)求证:BE⊥DE;(2)设M为线段AB的中点,试在线段CE上确定一点N,使得MN∥平面DAE.(1)证明:因为AD⊥EF,所以AD⊥AE,AD⊥AB.因为AB∩AE=A,AB⊂平面ABE,AE⊂平面ABE,所以AD⊥平面ABE,所以AD⊥BE.由题图①和题中所给条件知,AE=BE=1,AB=CD=√2,所以AE2+BE2=AB2,即AE⊥BE.因为AE∩AD=A,AE⊂平面ADE,AD⊂平面ADE,所以BE⊥平面ADE,所以BE⊥DE.(2)解:如图所示,取EC的中点G,BE的中点P,连接PM,PG,MG, 则MP∥AE,GP∥CB∥DA,所以MP∥平面DAE,GP∥平面DAE.因为MP∩GP=P,所以平面MPG∥平面DAE.因为MG⊂平面MPG,所以MG∥平面DAE,即存在点N与G重合满足条件,使得MN∥平面DAE.。
立体几何初步(知识点梳理)
春季高考立体几何部分知识点梳理与历年试题一.线面之间空间关系与证明方法A.线//线的证明方法1.将两条直线放到一个平面（或者转移到同一平面）利用平行四边形或者三角形的中位线来证明2. 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.（线//面→线//线）3. 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。
（面//面→线//线）4.垂直于同一个平面的两条直线平行。
B.线⊥线的证明方法1.异面直线平移到一个平面证明垂直2. 一条直线垂直于一个平面,则这条直线与平面任意直线垂直.（线⊥面→线⊥线）C.线//面的证明方法1. 平面外一直线与平面一直线平行,则该直线与此平面平行. （线//线→线//面）2. 如果两个平面平行,那么其中一平面的任一直线平行于另一平面（面//面→线//面）D. 线⊥面的证明方法1.一条直线与一个平面的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（线⊥线→线⊥面）2. 两平面垂直，则一个平面垂直于交线的直线垂直于另一个平面（面⊥面→线⊥面）E. 面//面的证明方法1.一个平面有两条相交直线与另一个平面平行，则这两平面平行（线//面→面//面）2. 如果一个平面的两条相交直线和另一个平面的两条相交直线分别平行,那么这两个平面平行（线//线→面//面）3.垂直于同一条直线的两个平面平行。
4.平行于同一个平面的两个平面平行。
F. 面⊥面的证明方法1.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直（线⊥面→面⊥面）二.各几何体的体积公式柱体（圆柱，棱柱）V=s∙h 其中s为底面积，h为高s∙h其中s为底面积，h为高椎体（圆柱，棱柱）V=13ss3表面积S=4πs2球体体积V=432012年春考真题23.已知空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，给出以下四个命题：1.AC与BD是相交直线2.AB//DC3.四边形EFGH是平行四边形4.EH//平面BCD其中真命题的个数是A. 4B.3C.2D.1解析：如图AC与BD没有相交，是异面直线。
《立体几何初步》单元知识总结
学习必备欢迎下载第一章《立体几何初步》单元知识总结知识链接构成几何体的基本元平行投影与中心投空间几何体柱，锥，台，球的结构特征柱，锥，台，球的表面积和体积直观图和三视图的画法平面的基本性质确定平面的条件空间平行直线及其传递点，线，面之空间中的平行关直线与平面平行的判定及性间的位置关质系平面与平面平行的判定及性直线与平面垂直的判定及性空间中的垂直关系平面与平面垂直的判定及性点击考点（1）了解柱，锥，台，球及简单组合体的结构特征。
（2）能画出简单空间图形的三视图，能识别三视图所表示的立体模型，并会用斜二测法画出它们的直观图。
（3）通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。
（4）理解柱，锥，台，球的表面积及体积公式。
（5）理解平面的基本性质及确定平面的条件。
（6）掌握空间直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的判定及性质。
（7）掌握空间直线与平面，平面与平面垂直的判定及性质。
名师导航1.学习方法指导（ 1）空间几何体①空间图形直观描述了空间形体的特征，我们一般用斜二测画法来画空间图形的直观图。
②空间图形可以看作点的集合，用符号语言表述点，线，面的位置关系时，经常用到集合的有关符号，要注意文字语言，符号语言，图形语言的相互转化。
③柱，锥，台，球是简单的几何体，同学们可用列表的方法对它们的定义，性质，表面积及体积进行归纳整理。
④对于一个正棱台， 当上底面扩展为下底面的全等形时， 就变为一个直棱柱； 当上底面收缩为中心点时，就变为一个正棱锥。
由 S 正棱台侧1(c c )h 和 V 正棱台h(sss s ) ，就可看出它们的侧面积与体积23公式的联系。
（ 2） 点，线，面之间的位置关系①“确定平面”是将空间图形问题转化为平面图形问题来解决的重要条件，这种转化最基本的就是三个 公理。
②空间中平行关系之间的转化：直线与直线平行 直线与平面平行平面与平面平行。
③空间中垂直关系之间的转化：直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直。
立体几何初步知识点全总结
立体几何初步知识点全总结一、空间几何体的结构。
1. 棱柱。
- 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
- 分类：- 按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
- 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱。
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。
- 性质：- 侧棱都相等，侧面是平行四边形。
- 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形。
- 过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形。
2. 棱锥。
- 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
- 分类：- 按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。
- 正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥。
- 性质：- 正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）。
- 棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。
3. 棱台。
- 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。
- 分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥等截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台等。
- 性质：- 棱台的各侧棱延长后交于一点。
- 棱台的上下底面是相似多边形，侧面是梯形。
4. 圆柱。
- 定义：以矩形的一边所在直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。
- 性质：- 圆柱的轴截面是矩形。
- 平行于底面的截面是与底面全等的圆。
5. 圆锥。
- 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转，其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
- 性质：- 圆锥的轴截面是等腰三角形。
- 平行于底面的截面是圆，截面半径与底面半径之比等于顶点到截面距离与圆锥高之比。
6. 圆台。
- 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。
立体几何复习初步
【自主解答】(1)在等边△ABC中,AD=AE,所以 AD AE ，在折叠
DB EC
后的三棱锥A-BCF中也成立,所以DE∥BC.因为DE⊄平面BCF,BC⊂ 平面BCF,所以DE∥平面BCF. (2)在等边△ABC中,F是BC的中点, 所以AF⊥FC①,BF=CF= 1 .
6.表面积与体积公式 (1)柱体:①表面积:S=S侧+2S底;②体积:V=S底h(h为柱体的高).
1 (2)锥体:①表面积:S=S侧+S底;②体积:V= S底h(h为锥体的高). 3 (3)台体:①表面积:S=S侧+S上底+S下底;②体积:V= 1 (S上底+ S上底S下底 3
+S下底)h(h为台体的高).
3
×60+402×20=32000+32000=64000(cm3). 答案:64000cm3
【延伸探究】本例中如何证明直线BD⊥平面PEG. 【证明】如图,连接EG,HF及BD,EG与HF相交于O点,连接PO, 由正四棱锥的性质可知,PO⊥平面EFGH, 所以PO⊥HF.因为EG⊥HF, PO∩EG=O,所以HF⊥平面PEG. 又因为BD∥HF,所以BD⊥平面PEG.
所以BA⊥平面PAD,
因为AB∥CD,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD且CD⊥AD, 又因为在平面PCD中,EF∥PD(三角形的中位线),于是CD⊥FE 因为在平面ABCD中,由(2),BE∥AD,于是CD⊥BE. 因为FE∩BE=E,FE⊂平面BEF,BE⊂平面BEF,所以CD⊥平面BEF, 又因为CD⊂平面PCD,所以平面BEF⊥平面PCD.
【解析】易知该四棱锥中,PA⊥底面ABCD,PA=a,底面是边长为a 的正方形,故体积V= 答案: 1 a3
第8章 立体几何初步(复习课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
81 C. 4 π
D．16π
(1)如图，设 PE 为正四棱锥 P-ABCD 的高，则正四棱锥 P-ABCD 的 外接球的球心 O 必在其高 PE 所在的直线上，延长 PE 交球面于一点 F，连接 AE，AF.
由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF，
又底面边长为4, 所以AE＝2 2 ， PE＝6, 所以侧棱长PA＝
3
在Rt△CDE中,
故二面角B-AP-C的正切值为2.
tanCED CD 2 3 2， DE 3
归纳总结
(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的 夹角). (2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影). (3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②三垂线法； ③垂面法.
的表面积为 16π，则 O 到平面 ABC 的距离为
A. 3
3 B.2
√C.1
3 D. 2
解析 如图所示，过球心O作OO1⊥平面ABC， 则O1为等边三角形ABC的外心. 设△ABC的边长为a， 则 43a2＝943，解得 a＝3， ∴O1A＝23× 23×3＝ 3. 设球O的半径为r，则由4πr2＝16π，得r＝2，即OA＝2. 在 Rt△OO1A 中，OO1＝ OA2－O1A2＝1，
五、直线、平面平行的判定与性质
1．直线与平面平行
(1)判定定理：平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行， 则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行).
(2)性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任 一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线 线平行”).
2．平面与平面平行
则直线 PB 与 AD1 所成的角为( )
A．
2
(完整版)立体几何初步知识点(很详细的)
立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
（3）棱台：几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。
（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度。
3、空间几何体的直观图——斜二测画法斜二测画法特点：①原来与x 轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变；②原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行，长度为原来的一半。
4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线） ch S =直棱柱侧面积 rh S π2=圆柱侧 '21ch S =正棱锥侧面积 rl S π=圆锥侧面积 ')(2121h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 ()22R Rl rl r S +++=π圆台表 （3）柱体、锥体、台体的体积公式V Sh =柱 2V Sh r h π==圆柱 13V Sh =锥 h r V 231π=圆锥'1()3V S S h =++台 '2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台 （4）球体的表面积和体积公式：V 球=343R π ； S 球面=24R π 4、空间点、直线、平面的位置关系公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。
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立体几何初步复习教学内容:立体几何初步复习教学目的:1.梳理各单元基本知识2.总结各单元基本题型及各基础知识的基本应用知识分析:【本章知识网络】【本章学法点拨】1.必须明确本章内容的复习目标(1)联系实际,从实图下手,加强由模型到图形,再由图形到模型的基本训练,有序地建立图形.文字.符号这三种数学语言的联系,能由一种语言转释成另外两种语言,逐步达到融会贯通的程度．(2)准确理解和系统掌握空间直线和平面的各种位置关系(特别是平行与垂直的位置关系),能够运用概念.公理.定理等进行严密的推理判断和逻辑论证．(3)正确理解空间的各种角和距离的概念,能将其转化为平面角和线段的长度,并能熟练地运用平面几何及三角知识来计算．(4)通过图形能迅速判断几何元素的位置关系,能熟练绘制符合要求的空间图形的直观图.截面图,熟练地处理折叠.截面的问题．但要注意立体几何中的示意图不反映元素关系的真实结构,逻辑论证仍是关键．(5)理解用反证法证明命题的思路,会证一些简单的问题．2.要掌握解题的通法,推理严谨,书写规范(1)转化法是空间直线和平面的位置关系的判断与证明的常用方法,线线关系(主要指平行和垂直).线面关系.面面关系三者中,每两者都存在着依存关系,充分.合理地运用这些关系是解题的关键;另外,转化法还常常运用在求距离时点的位置的变化,以及线面距.面面距间的转化;(2)求角或距离的步骤是〝一作.二证.三计算〞,即先作出所求角或表示距离的线段,再证明它就是所要求的角或距离,然后再进行计算,尤其不能忽视第二步的证明．专题一几种简单几何体的结构一.棱柱的结构特征观察下图可以看出,上面各图中都有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形．1.定义一般地,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中,两个互相平行的面叫做棱柱的底面,简称底;其余各面叫做棱柱的侧面;相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．2.棱柱的分类底面是三角形.四边形.五边形… …的棱柱分别叫做三棱柱.四棱柱.五棱柱……3.棱柱的记法(1)用表示底面各顶点的字母表示棱柱．如图(1)可表示为棱柱ABCD—A1B1C1D1;图(2)可表示为棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1;图(3)可表示为棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1．(2)用棱柱的对角线表示棱柱．如图(1)可表示为棱柱AC1或棱柱BD1等;图(2)可表示为棱柱AC1或棱柱AD1或棱柱AE1等;图(3)可表示为棱柱AC1或棱柱AD1等．二.棱锥的结构特征观察下图,可以看出,上面三个图中的共同特点:(1)均由平面图形围成;(2)其中一个面为多边形;(3)其他各面都是三角形;(4)这些三角形有一个公共顶点．1.定义一般地,有一个面是多边形,其余各面都是有一公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥．棱锥是多面体中重要的一种,它有两个本质特征:(1)有一个面是多边形;(2)其余的各面是有一个公共顶点的三角形．两者缺一不可,因此棱锥有一个面是多边形,其余各面都是三角形,但是也要注意:〝有一个面是多边形,其余各面都是三角形〞的几何体未必是棱锥．2.棱锥的分类底面为三角形.四边形.五边形……的棱锥分别叫做三棱锥.四棱锥.五棱锥… …,其中三棱锥又叫做四面体．3.棱锥的记法(1)用顶点和底面各顶点的字母表示．如图(4)可记为三棱锥P—ABC;图(5)可记为四棱锥P—ABCD;图(6)可记为五棱锥P 一ABCDE等．(2)用对角面表示．如图(5)可记为四棱锥P—AC;图(6)可记为五棱锥P—AC等．三.圆柱的结构特征观察图(7)可知:它有两个互相平行的平面,且这两个〝平面〞是等圆．图形可以看作是矩形AOO’A’绕OO’旋转而成的．1.定义以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．2.圆柱的记法用表示它的轴的字母表示,如图(7)可记为圆柱OO’．四.圆锥的结构特征观察图(8)可以看出:它有一个圆面,一个顶点,其他为曲面;可看作是直角△AOS绕其直角边OS旋转而成的．1.定义以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．2.圆锥的记法用表示它的轴的字母表示．如图(8)的圆锥可记为圆锥SO．五.圆台和棱台的结构特征观察图(9)(10)可以看出图形是由平行于底面的平面去截锥体而得到的．1.定义用一个平行于棱锥(圆锥)底面的平面去截棱锥(圆锥),底面和截面之间的部分所构成的几何体叫做棱台(圆台).2.圆台的记法用表示轴的字母表示,如圆台3.棱台的记法(1)用各顶点表示:如四棱台(2)用对角线表示:如四棱台六.球的结构特征从图(11)可以看出,此几何体是由半圆绕直径旋转而成的.1.定义以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体,简称球.2.球的记法用表示球心的字母表示,如球O七.柱.锥.台的关系【典例解析】例1. 下面两图绕虚线旋转一周后形成的立体图形是由哪些简单几何体构成的? 解:旋转后的图形如下图所示其中(l)由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3.,圆台O3O4组成;(2)由一个圆锥O4O5,一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O1O2组成．点评:当一个平面图形绕某条直线旋转后会形成一个旋转体,如直角三角形绕其直角边旋转会形成一个圆锥,矩形绕其一边旋转会形成一个圆柱,直角梯形绕其直角腰旋转会形成一个圆台,半圆绕直径旋转会形成球等．例2. 请画出如图几个几何体的表面展开图解:展开图如图所示点评:立体图形的展开或平面图形的折叠是我们培养空间立体感的好方法,希望同学们注意这一方面的练习.专题二三视图与直观图一.三视图的概念三视图是观察者从不同位置观察同一个几何体,画出的空间几何体图形．三视图包括正视图.侧视图.俯视图三种．二.柱.锥.台.球的三视图1.圆柱的正视图和侧视图都是矩形,俯视图为圆．2.圆锥的正视图和侧视图都是三角形,俯视图是圆和圆心．3.圆台的正视图和侧视图都是等腰梯形,俯视图是两个同心圆．4.球的三视图都是圆．三.简单组合体的三视图对于简单空间几何体的组合体,一定要认真观察．先认识它的基本结构,然后再画它的三视图．四.直观图及其画法1.空间图形的直观图用来表示空间图形的平面图形叫做空间图形的直观图．2.斜二测画法一种画直观图的方法,其规则是:(1)在已知图形中建立直角坐标系_Oy．画直观图时,它们分别对应轴和轴,两轴交于．使∠O,它们确定的平面表示水平平面．(2)已知图形中平行于_轴和y轴的线段．在直观图中分别画成平行于轴和轴的线段．(3)已知图形中平行于_轴的线段,在直观图中保持原长度不变;平行于y轴的线段,长度变为原来的．五.投影1.中心投影一个点光源把一个图形照射到一个平面上,这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影．2.中心投影与平行投影的区别与联系(1)中心投影和平行投影都是空间图形的基本画法．平行投影包括斜二测画法和三视图．中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多,但直观性强,看起来与人的视觉效果一致,最像原来的物体．(2)画实际效果图时,一般用中心投影法,画立体几何中的图形时一般用平行投影法．【典例解析】例1. 画如图(1)(2)所示的三视图解:三视图如图(a)(b)所示点评:(1)三视图的训练有助于我们空间能力的培养和今后应用数学知识解决工程建设.机械制造及日常生活中的问题．(2)画图时要保证〝长对正.高平齐.宽相等〞.例2. 如图(1)(2)(3)是一些立体图形的视图,但是观察的方向不同,试说明下列各图可能是哪一种立体图形的视图.解:(1)可能为球.圆柱,如图:(2)可能为棱锥.圆锥.棱柱,如图:(3)可能为四棱柱,如图:点评:这是一道综合能力较强的习题,要求学生有分类讨论的意识和对空间几何体较强的想象力.例3. 用斜二测画法画长.宽.高分别是4cm.3cm.2cm的长方体的直观图.解:(1)画轴:如图.画_轴.y轴.z轴,三轴相交于点O,使∠_Oz=45°,∠_Oz=90°.(2)画底面:以点O为中点,在_轴上取线段MN,使MN=4cm;在y轴上取线段PQ,使PQ.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作_轴的平行线,设它们的交点分别为A.B.C.D,四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.(3)画侧棱:过A.B.C.D各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2cm 长的线段(4)成图:顺次连接,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到长方体的直观图.点评:上述画直观图的方法称为斜二测画法,它的步骤是:(1)在已知图形中取互相垂直的_轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的轴和轴,两轴交于点,且使(或135°),它们确定的平面表示水平面.(2)已知图形中平行于_轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段.(3)已知图形中平行于_轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,长度为原来的一半.例4. 已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面直观图的面积为( )A.B.C.D.分析:先根据题意,画出直观图,然后根据直观图的边长及夹角求解.解:如图(1)(2)所示的实际图形和直观图,由(2)可知,,,在图(2)中作于D’,则∴应选D.点评:本例是求直观图的面积,因此应在直观图中求解,需求出直观图的底和高,然后用三角形面积公式求解.专题三几种简单几何体的面积.体积一.柱体的表面积柱体的表面积是侧面面积与上.下底面面积之和.棱柱的侧面展开图是平行四边形,上.下底面不变,因此只要计算出侧面面积,其表面积可求;圆柱的侧面展开图是矩形,上.下底面不变.设柱体的底面周长为c,高为l,则侧面积为·=c·l,故.二.锥体的表面积一个棱锥的侧面展开图是由若干个三角形拼成的,因此侧面积为各个三角形面积之和,一个圆锥的侧面展开图为扇形,利用扇形面积公式可求侧面积,所以它们的表面积公式为:.三.台体的表面积一个棱台的侧面展开图为若干个梯形拼接而成,因此侧面积为各个梯形的面积之和,而圆台的侧面展开图为扇环,其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到,所以它们的表面积公式为:.注意区分所求的是侧面积还是表面积;再就是要认清所求的几何体是柱.锥.台中的哪一类及〝棱〞还是〝圆〞.四.柱体的体积公式V=Sh,其中,S为底面积,h为柱体的高.评注:它既适合于棱柱,又适合于圆柱.五.锥体的体积公式,其中S为底面积,h为锥体的高.六.台体的体积公式,其中S为台体的上底面面积,S’为台体的下底面面积,h为台体的高.七.球的表面积.体积公式设球半径为R,【典例解析】例1. 已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm,高与斜高的夹角为30°,如图,求正四棱锥的侧面积和表面积.(单位:)分析:利用正棱锥的高.斜高.底面边心距组成的直角三角形求解,然后代入公式.解:正棱锥的高PO.斜高PE,底面边心距OE组成Rt△POE.∵OE=2cm,∠OPE=30°,点评:正四棱锥中有四个Rt△,应引起重视,即原题图中Rt△POB.Rt△POE.Rt△PBE.Rt△OBE.例2. 一个正四棱台两底面边长分别为m.n,侧面积等于两个底面积之和,则这个棱台的高为( )A.B.C.D.分析:利用直角梯形,转化为直角三角形,结合面积公式求解.解:如图所示,设分别为棱台上.下底面中心,.M分别为的中点,连结,则M1M为斜高.过M1作M1H⊥OM于H点,则M1H=OO1由已知得在Rt△M1HM中,MH=OM－O1M1∴应选A.点评:在正四棱台中有三个直角梯形应注意,一个是O1OMM1,一个是O1OBB1,一个是B1BMM1,它们都可以转化成直角三角形,利用直角三角形求解.例3. 如图,一个三棱柱形容器中盛有水,且侧棱AA1=8,若侧面AA1B1B水平放置时,液面恰好过AC.BC.A1C1.B1C1的中点,当底面ABC水平放置时,液面高为多少?分析:当三棱柱的侧面AA1B1B水平放置时,液体部分是四棱柱,其高为原三棱柱的高,侧棱AA1的长为8.解:设AC.BC边的中点分别为E.F,设当底面ABC水平放置时,液面高度为h.由条件及两种状态下液体体积相等可得,∴h=6.点评:等积法是立体几何中的常用方法,在柱.锥中经常通过灵活转换底面,顶点来求高或点到面的距离,应熟练掌握.例4. (1)用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面,要求铁桶的上底半径是24cm,下底半径为16cm,母线长为48cm,则矩形铁皮的长边长最少是多少?(2)一扇形铁皮AOB,半径OA=72cm,圆心角∠AOB=60°,现剪下一个扇环ABCD作圆台形容器的侧面,并从剩余的扇形COD内剪下一个最大的圆刚好做容器的下底(圆台下底面大于上底面),则OC应取多少?分析:圆台侧面展开图为一扇环,扇环两弧长分别为圆台上.下底面圆的周长.解:(1)如图(1),设圆台的侧面展开图的圆心角为∠α,OA=_.由相似三角形知识得则,为等边三角形.,即矩形铁皮的长边长最少为144cm.(2)如图(2),∵∠AOB=60°=∴圆O1周长,即在Rt△O1MO中,∠,∴OO1=2O1M=24点评:注意展开前后有关数学量的变与不变关系,是解决此类问题的突破口.专题四空间的平行与异面直线一.平面的特征与性质1.平面的基本特征:无限延展性．2.平面的基本性质(1)公理 1:对直线 a 和平面α,若点 A.B∈a , A.B∈α,则(2)公理 2:若两个平面α.β有一个公共点P,则α.β有且只有一条过点P的公共直线 a.(3)公理 3及三个推论即为平面的确定条件:① 不共线的三点可确定一个平面;② 一条直线和其外一点可确定一个平面;③ 两条相交直线可确定一个平面;④ 两条平行直线可确定一个平面．二.空间两条不重合的直线的位置关系空间两条不重合的直线有三种位置关系:相交.平行.异面．1.若从有无公共点的角度看,可分两类(1)有且仅有一个公共点——相交直线;(2)没有共点——2.若从是否共面的角度看,也可分两类:(1)在同一平面内——(2)不同在任一平面内——异面直线．三.平行直线1.定义同一平面内,两条不相交的直线称为平行直线．2.公理 4平行于同一条直线的两条直线平行．它是证明〝对应边平行且方向相同的两个角相等〞即等角定理的基础,也是论证平行问题的主要根据．3.等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同,那么这两个角相等．四.异面直线1.异面直线的定义不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．对异面直线定义理解须注意的问题:(1)〝不同在任何一个平面内〞,指这两条直线永不具备确定平面的条件,因此,异面直线既不相交,也不平行．要注意把握异面直线的不共面性．(2)不能把异面直线误解为:分别在不同平面内的两条直线为异面直线．2.异面直线的性质从空间直线的位置关系看,异面直线既不平行也不相交．3.异面直线的判定方法(1)定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内．(2)反证法:用此方法可以证明两直线是异面直线．定义法仅仅用来直观判断,直观判断还可用以下结论:过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线．4.关于异面直线的有关概念(1)两条异面直线所成的角的定义直线a.b是异面直线,经过空间一点 O ,分别引直线 a’ // a,b’ // b ,相交直线 a’.b’所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a.b 所成的角．(2)两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成角是直角,则称这两条异面直线互相垂直．5.对异面直线概念理解须注意的问题(1)异面直线所成角θ的范围是00_lt;θ≤900 .(2)为了求异面直线 a , b 所成的角,可以在空间中任取一点O,过 O 分别作直线a’ // a , b’ // b ,再通过解三角形,求出 a,b 所成的角．但是,为了简便,点O 常常取在两条异面直线中的一条上,特别是这一直线的某些特殊点,例如〝端点〞或〝中点〞处．(3)将两条异面直线所成的角转化为平面上的相交直线的夹角,实现了空间问题向平面问题的转化,使平面几何与立体几何建立了联系,促进了数学学科间的知识的渗透．【典例解析】例1. 如图所示,O1是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心,G是对角线A1C 和截面B1D1A的交点,求证:O1.G.A三点共线.分析:证明点共线问题往往使用公理2证明点同时在两个面内即可.证明:在上底面A1B1C1D1中,,平面,∴O1是平面B1D1A和平面的公共点.∵平面B1D1A=G,平面∴G是平面B1D1A和平面的公共点∵A∈平面B1D1A,A∈平面∴A是平面B1D1A和平面的公共点∴O1.G.A在两个平面B1D1A和的交线上,由公理2,知O1.G.A三点共线.点评:(1)证明若干点共线问题,只需证明这些点同在两个相交平面内即可(证明直线过一点也可利用此法).(2)证明三线共点,只需证明其中两线相交,然后证另一条也过交点.(3)证明点.线共面有两种基本方法:①先用部分点.线确定一平面,再证余下的点.线都在此平面内;②分别用部分点.线确定两个(或多个)平面,再证这些平面是重合的.例2. 已知棱长为a的正方体中,M.N分别为CD.AD中点.求证:四边形是梯形.证明:如图连结AC,∵M.N为CD.AD的中点,.由正方体性质知∴四边形是梯形.点评:运用公理4证得四边形为梯形(即证得,且),关键是利用了桥梁AC.专题5 直线与平面平行.平面与平面平行一.直线和平面的位置关系用二分法分类直线l和平面α二.直线和平面平行的判定及性质1.判定如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.(简述为线线平行线面平行)即2.性质如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行.(简述为线面平行线线平行)3.过平面外一点有无数条直线与此平面平行;过直线外一点有无数个平面与此直线平行,但有且只有一个平面过直线和此点.三.两个平面的位置关系1.两平面平行——没有公共点2.两平面相交——有一条公共直线四.两个平面平行的判定与性质1.判定(1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(2)垂直于同一条直线的两个平面平行,即(3)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行.2.性质(1)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线与另一个平面平行.(2)如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行五.两个平行平面的距离和两个平行平面同时垂直的直线,叫做这两个平面的公垂线．公垂线夹在平行平面间的部分．叫做这两个平面的公垂线段．两个平行平面的公垂线段的长度,叫做两个平行平面的距离．【典例解析】例1. 在正方形中,已知正方体的棱长为,M.N分别在其对角线AD1与DB上,若AM=BN=_.(1)求证:MN//平面CDD1C1;(2)设MN=y,求y=f(_)的表达式;(3)求MN的最小值,并求此时_的值;(4)求AD1与BD所成的角.(1)证明:作MP⊥DD1,NQ⊥CD,连结PQ,如图所示.∵正方形ADD1A1与ABCD有公共边AD,又∵AM=NB=_,∵D1M=DN=2－_又∵AD⊥DD1,AD⊥CD,MP⊥DD1,NQ⊥CD,∵MP//AD//NQ∴D1M:AD1=MP:AD,DN:DB=NQ:BC∴MP=NQ∴四边形MNQP为平行四边形∵MN//PQ,平面DCC1D1∴MN//平面DCC1D1(2)解:作MH⊥AD,连结NH∵MH//AA1//DD1,∴AH:HD=AM:MD1=BN:ND ∴HN//AB又∵AA1⊥AB,∴MH⊥HN在Rt△MAH中,∠MAH=45°,∴MH同理在Rt△MHN中,即(3)解:∴当_=1时,y有最小值1,即MN的最小值为1.(4)解:连结,∴异面直线AD1与BD所成的角为DB与BC1所成的锐角或直角.连结C1D,则△C1DB为等边三角形,即异面直线AD1与BD所成的角为60°.点评:(1)中想证线面平行可利用线线平行,如上面所证,也可通过面面平行来推线面平行,面MNH//面CDD1C1,面MNH,∴MN//面CDD1C1;(4)中AD1与BD所成角不要写成∠C1BD,而是∠C1B D或其补角.例2. 如图所示,在棱长为2cm的正方体中,A1B1的中点是P,问过点A1作与截面PBC1平行的截面也是三角形吗?求该截面的面积.解:取AB.C1D1的中点M.N,连结.NA1.由于,所以四边形A1MCN 是平行四边形.又∵,∴平面平面PBC1因此,过A1点作与截面PBC1平行的截面是平行四边形.又连结MN,作于H,由于,则.故点评:本题是利用面面平行知识解决截面的问题,使我们加深对线面平行.面面平行性质的理解．专题6 直线与平面垂直.平面与平面垂直一.线面垂直的定义如果直线l和平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α垂直,记作l⊥α.二.线面垂直的判定及性质1.判定(1)利用定义:如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直,则此直线与这个平面互相垂直.(2)可作定理用的命题:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.用符号可表示为a//b,a⊥αb⊥α.(3)直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线就垂直于这个平面.用符号可表示为.2.性质(1)由直线和平面垂直的定义知:直线垂直于平面内的任意直线.(2)直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一平面的两条直线平行.用符号可表示为a⊥α,b⊥αa//b.说明:性质定理可看成是命题〝a⊥α,a//bb⊥α〞的逆命题.三.线面角直线和平面所成的角的定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.特别地,如果一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角为直角;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0°的角,四.面面垂直定义1.二面角(1)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面,如图所示,即为一个二面角α—l—β.(2)以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角,如图所示,若OA⊥l,OB⊥l,则∠AOB是二面角α—l—β的平面角.说明:①画二面角的平面角时,使平面角的两边分别平行于表示两个半平面的平行四边形的一组对边,即表明垂直于二面角的棱.②平面角∠AOB的大小与O点的位置无关.③二面角的大小是通过它的平面角来度量的,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度,由此可知,二面角的取值范围是.2.面面垂直一般地,若两平面相交,当平面角为直角时,我们称两平面垂直.五.面面垂直的判定及性质1.判定(1)定义:证明平面角为直角.(2)判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.简述为〝线面垂直,则面面垂直〞,记为:l⊥β,lβ=A,lα,则α⊥β.2.性质(1)两个平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.用符合可表示为α⊥β,= l,l.说明:①必须注意两个平面垂直的性质定理成立的条件:_lt;1_gt;线在面内;_lt;2_gt;线垂直于交线,从而可得出线面垂直.。