矩阵论答案

华北电力大学硕士研究生课程考试试题（A 卷）

2013～2014学年第一学期

课程编号：50920021 课程名称：矩阵论 年 级：2013 开课单位：数理系 命题教师：邱启荣 考核方式：闭卷 考试时间：120分钟 试卷页数： 2页

特别注意：所有答案必须写在答题册上，答在试题纸上一律无效

一、判断题（每小题2分，共10分）

1. 方阵A 的任意一个特征值的代数重数不大于它的几何重数。

见书52页，代数重数指特征多项式中特征值的重数，几何重数指不变子空间的维数，前者加起来为n ，后者小于等于n 2. 设12,,

,m ααα是线性无关的向量,则12d im (s p a n {,,

,})m

m ααα=.

正确，线性无关的向量张成一组基

3.如果12,V V 是V 的线性子空间,则12V V ⋃也是V 的线性子空间. 错误，按照线性子空间的定义进行验证。

4. n 阶λ-矩阵()A λ是可逆的充分必要条件是()A λ的秩是n .

见书60页，需要要求矩阵的行列式是一个非零的数

5. n 阶实矩阵A 是单纯矩阵的充分且必要条件是A 的最小多项式没有重根. 见书90页。

题号 1 2 3 4 5 答案 × √ × × √

二、填空题（每小题3分，共27分） （6）

2100

21,00

3A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝

⎭

则A

e

的Jordan

标准型为2

2

3e

100

e

0,00

e ⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

。

首先写出A

e

然后对于若当标准型要求非对角元部分为1.

（7）3

01

2

03

0λλλ-⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪-⎝

⎭的Smith

标准型为1

3

00

(3)(2)λλλ⎛⎫ ⎪

- ⎪

⎪-+⎝

⎭

见书61-63页，将矩阵做变换即得

（8）设1000.1

0.30.200.4

0.5A ⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪-⎝

⎭，则100lim 0

0000

0n

n A →+∞⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝

⎭

。 见书109页，可将A 对角化再计算即得。

（9）2

34

5⎛⎫

⎪-⎝⎭

在基11120000,,,00001321⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

下的坐标为(1,1,2,1)T

。 见书12页，自然基下坐标为（2,3,4，-5）T ，再写出过渡矩阵Ａ，坐标即A 的逆乘以自然基下坐标。对于本题来说。由于第一行实际上只和前两个基有关，第二行只和后两个基有关。因此不用那么麻烦，只需要计算（1,1）x+（1,2）y=（2,3）就可得解为1,1.再解（1，-3）x+（2,1）y=（4，-5）就可以得解为2,1.整理一下即得坐标。

（10）设4232

4353

7A -⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪--⎝

⎭

，则A ∞

= 15。

见书100页，计算每行的绝对值的和。

（11）202111

23x x x

x x e x

x →-⎛⎫

⎪+-

⎪

⎪

+⎝⎭

s in c o s ln ()

lim s in =2003⎛⎫

⎪⎝⎭

。 对矩阵中的每个元素求极限。 （12）设,,m n

p q

m q

A R

B R

C R

⨯⨯⨯∈∈∈是已知矩阵，则矩阵方程A X B

C

=的极小范数最小二乘解

是+

()T

X

A B C

=

⊗

见书113-115页，将矩阵方程拉直，再用广义逆的定义去算。 （13）若n 阶方阵A 满足30

A =，则cos A

=

2

12

E

A

-

。

见书121页，3

A =，所以后面的项都为零。

（14）方阵A 的特征多项式是3

3

(2)(3)(5)

λλλ---，最小多项式是2

(2)(3)(5)

λ

λλ---，则A

的Jordan 标准形是3((2,1),(2,2),3,5)d ia g J J E 。

特征多项式决定了A 的阶数以及各个特征值的重根数，即有3个2,3个3，1个5.最小多项式

决定了若当块的大小，如2有1个1阶和1个2阶，3和5都只有1阶的若当块。 三(7分)、设

12132001

021

71,01222501

820

214

0A B C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪=-== ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝

⎭⎝

⎭⎝

⎭

， 证明A X

X B C

+=有唯一解。

见书114页，本题需要验证A 和-B 没有相同的特征值，具体解法如下。 证明： 33+T

A E E B

⊗

⊗非奇异。

显然, B - 的特征值为2,1,2--,下证明：2,1,2--不是A 的特征值：

（1） 方法1：用圆盘定理。A 的三个行圆盘分别是(12,4),(7,2),(8,1)B B B - , 2,1,2--都不在

(12,4)(7,2)(8,1)B B B ⋃⋃-中，因此

A

与

B

-没有相同的特征值，从而0不是

33+T

A E E B

⊗⊗的特征值，故33+T

A E E B

⊗

⊗可逆，从而A X X B C

+=有唯一解。

（2） 方法2：求出A 的特征多项式，再证明2,1,2--不是A 的特征值。 方法3：直接写出33+T

A E E B

⊗

⊗，再证明它非奇异。

四(8分)、设3维内积空间在基123,,ααα下的矩阵2

111

5010

3A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝

⎭

。求123{++}s p a n ααα 的正

交补空间。

见书28页，内积空间在基下的矩阵是指度量矩阵。按照内积定义给出正交补空间中元素应该满足的条件。然后求解。

解：设112233123=++({++})x x x s p a n βαααααα⊥∈，则123(,,)T x x x 满足方程

123(,,)(1,1,1)

T

x x x A =

1232+6+2=0

x x x

它的基础解系为12=(-3,1,0),=(0,1,3)T T ξξ-，因此

1231223({++})={3+,3}s p a n s p a n ααααααα⊥

--

五(10分)、设5阶实对称矩阵A 满足23(3)(5)0A E A E -+=，(3)1ra n k A E -=，求A 的谱半径和Frobenius 范数F

A

。

注意A 满足的方程说明那个式子是零化多项式，并不是最小多项式，也不是特征多项式。只说明A 的特征根为3和-5，再根据后面的条件才知道有4个3和1个-5.然后根据范数定义得到结果。

解：因为实对称矩阵A 是5阶矩阵，且满足23(3)(5)0A E A E -+=，(3)1ra n k A E -=，因此存在正交矩阵P ,使得

(3,3,3,3,5)

T

P A P d ia g =-