浙江大学 浙大 卢兴江版微积分答案 第七章

7 级数

习题7.1

1（1）

13，115，135，163 （2）1234,,,3579 （3）111221

n 骣琪-琪+桫 （4）12 2．（1）(1)ln3

()12

n n q q S q q -==-，收敛，

ln 32ln 3- （2）1n n S n =+，收敛，1 （3）11

1551

n S n 骣琪=

-琪+桫，收敛，15 （4）11ln ln(1)2n S n =++；收敛；1ln 2 （5

）1n S 骣

琪=--琪

桫

，收敛，—1 （6）arctan(1)arctan1n S n =+-，收敛，4p .

3. （1）级数为 21

2(1)n n n ¥

=-+-å，和为1 （2）级数为

1

2

3n n ¥

=å，和为1. 4. （1）发散 （2）发散 （3）发散 （4）发散 （5）收敛 5. （1）发散 （2）发散 （3）发散 （4）发散 （5）发散 （6）发散 （7）收敛，

3

2

（8

）收敛，1-6. （1）提示：利用级数收敛的定义及“若1

n n u ¥

=å

收敛，则必有0()n u n

”之结论

（2）例如(1),1,2,n n u n =-= （3）提示：利用

2121

()k k k u u ¥

-=+å

与1

n n u ¥

=å的部分和之间的关系

7. 12(1)e e ππ

+- 习题7.2

1.（1）发散 （2）收敛 （3）发散 （4）收敛 （5）收敛 （6）收敛 （7）发散 （8）收敛

2.（1）提示：用比较判别法 （2）提示：2122122222

n n n n n n

n n n u a a a a a na a +D

<<=+++++

（3）提示：用比较判别法的极限形式

3.（1）收敛 （2）收敛 （3）收敛 （4）发散 （5）收敛 （6）当1p >时收敛；当1p £时发散.

4.（1）收敛 （2）收敛 （3）发散 （4）收敛 （5）发散 （6）收敛 （7）收敛 （8）收敛

（9）当01a <<时收敛，当1a >时发散； 当1a =时：1s >收敛，1s £发散 （10）收敛.

5.（1）0p >时收敛，0p £时发散 （2）当01a <<时收敛，当1a ³时发散 （3）收敛 （4）当12a >

时收敛，当1

2

a £时发散 （5）当2p >时收敛，2p £时发散 （6）当1a <时收敛，当01a < 时发散 （7）当1p >时收敛；当1p =时：1q >收敛，1q £发散；当1p <时发散 （8）当1a >时收敛，当1a £时发散 （9）0p >时收敛，0p £时发散

6.（3）提示：

211

2n p u n 骣琪?琪桫 7.（4n u n <，再利用（3） 8. 提示：

231

1

2

()d ()d ()d n n n n n f x x f x x f x x +?

++++=

++蝌

，再利用()f x 的单调、正值性质。

习题7.3

1.（1）发散 （2）发散 （3）绝对收敛 （4）绝对收敛 （5）绝对收敛 （6）发散 （7）条件收敛 （8）绝对收敛 （9）条件收敛 （10）条件收敛

2. 收敛（提示：利用Dirichlet 判别法）

3.（1）提示：

2sin sin ()

1cos 222nx nx nx

n n

n n

?-

4．不能，例如 2sin ()

n n nx a b n = 5.绝对收敛 6.提示：利用Abel 判别法. 7. 提示：

10111

()()n

k k n n k k a a a a a na --=-=-++++å

习题7.4

1.（1）[)

2,4- （2）11

,33轹÷-

ê÷ê滕

（3）()1,1- （4）(]2,1- （5）[]1,1- （6）()1,2-

（7）当1p >时，[]1,1-；当01p < 时，[)1,1-；当0p £时，()

1,1-

（8）11

,e e 骣琪-琪桫 （9

）( （10

）22

骣琪-琪桫 2.（1）

21,(1,1)(1)x x ?- （2）3

(1)

,1(1)

x x x x +<- （3）11ln ,(1,1)21x x x x --+?+ （4）ln(1)ln(1),1x x x x x +---< （5）

111

ln arctan ,(1,1)412

x x x x ++?- （6）

2

1,1(1)x

x x +<-

3. 22

(2)x x - 4.（1）4 （2）ln 22p -

+ （3）ln 2 （4

）4ln 93

-. 5.

收敛域为-，和函数()S x 为：(1)0,(0)12ln S S ?=-，

2

222()1ln(2),0,11

x S x x x x x -=+-贡-.

习题7.5

1. []12

1(1)(23)!!1,1,122!n n

n

n n x x x n -¥=--=++?å

2. 1

11(),0,

1(1)!(1)!n n n nx n

f x x n n -ゥ===<<+?+

+

邋. 3.（1）211,(21)!

n n x x n -¥

=<+ -å （2）211(2)1(1),

2(2)!n

n n x x n ¥=+-<+ å

（3）21221

1

1

1

(1)cos (1)sin ,(21)!(22)!n n n n n n x x a a x n n --ゥ

-+==-+-<+ --邋

（4）[

)1ln10,10,1010n

n n x x n ¥

=-?å

（5）(]11

1

(1),1,1(1)n n n x x x n n -¥

+=-+?

+å

（6）

1

22

1

(1)

,1n n n x

x ¥

+-=-<å

（7）[]211

(21)!!

(1),1,1(2)!!(21)

n

n n n x x x n n ¥

+=-+-?

+å