第四章练习题及参考解答

第四章练习题及参考解答

4.1 假设在模型i i i i u X X Y +++=33221βββ中，32X X 与之间的相关系数为零，于是有人建议你进行如下回归：

i

i i i i i u X Y u X Y 23311221++=++=γγαα

(1)是否存在3

322ˆˆˆˆβγβα==且？为什么？ (2)1

11ˆˆˆβαγ会等于或或两者的某个线性组合吗？ (3)是否有()()()

()33

22ˆvar ˆvar ˆvar ˆvar γβαβ==且？

练习题4.1参考解答：

(1) 存在3

322ˆˆˆˆβγβα==且。 因为()()()()

()()()

2

3223223232322

ˆ∑∑∑∑∑∑∑--=

i

i

i

i

i i

i

i i

i

i x x x x x x x y x x y β

当32X X 与之间的相关系数为零时，离差形式的

032=∑i i

x x

有()()()()222223222322

ˆˆα

β===

∑∑∑∑∑∑i

i

i

i

i

i

i

i x

x y x x x x y 同理有：3

3ˆˆβγ= (2) 1

11ˆˆˆβαγ会等于或的某个线性组合 因为 12233ˆˆˆY X X βββ=--，且122ˆˆY X αα=-，133ˆˆY X γγ=- 由于3

322ˆˆˆˆβγβα==且，则 11222222

ˆˆˆˆˆY Y X Y X X α

ααββ-=-=-= 1

13333

3

3

ˆˆˆˆˆY Y X Y X X γγγββ-=-=-= 则 11

122332

3112

3

ˆˆˆˆˆˆˆY Y Y X X Y X X Y X X αγβββαγ--=--=--=+- (3) 存在()()()

()33

22ˆvar ˆvar ˆvar ˆvar γβαβ==且。

因为()

()

∑-=223

2

22

2

1ˆvar r x i

σβ

当023=r 时，()

()()2222

223

2

22

2

ˆvar 1ˆvar α

σσβ==

-=∑∑i

i

x

r x 同理，有()

()33

ˆvar ˆvar γβ=

4.2在决定一个回归模型的“最优”解释变量集时人们常用逐步回归的方法。在逐步回归中既可采取每次引进一个解释变量的程序(逐步向前回归)，也可以先把所有可能的解释变量都放在一个多元回归中，然后逐一地将它们剔除(逐步向后回归)。加进或剔除一个变量，通常是根据F 检验看其对ESS 的贡献而作出决定的。根据你现在对多重共线性的认识，你赞成任何一种逐步回归的程序吗？为什么？

练习题4.2参考解答：

根据对多重共线性的理解，逐步向前和逐步向后回归的程序都存在不足。逐步向前法不能反映引进新的解释变量后的变化情况，即一旦引入就保留在方程中；逐步向后法则一旦某个解释变量被剔出就再也没有机会重新进入方程。而解释变量之间及其与被解释变量的相关关系与引入的变量个数及同时引入哪些变量而呈现出不同，所以要寻找到“最优”变量子集则采用逐步回归较好，它吸收了逐步向前和逐步向后的优点。

4.3 下表给出了中国商品进口额Y 、国内生产总值GDP 、居民消费价格指数CPI 。

资料来源：《中国统计年鉴》，中国统计出版社2000年、2008年。

请考虑下列模型：i t t t u CPI GDP Y ++=ln ln ln 321βββ＋ 1)利用表中数据估计此模型的参数。 2)你认为数据中有多重共线性吗？ 3)进行以下回归：

i

t t i t t i t t v CPI C C GDP v CPI B B Y v GDP A A Y 321221121ln ln ln ln ln ln ++=+=+=＋＋

根据这些回归你能对数据中多重共线性的性质说些什么？

4)假设数据有多重共线性，但3

2ˆˆββ和在5%水平上个别地显著，并且总的F 检验也是显著的。对这样的情形，我们是否应考虑共线性的问题？

练习题4.3参考解答： (1) 参数估计结果如下

22ln() 3.060 1.657ln() 1.057ln() (0.337) (0.092) (0.215)0.992 0.991 F 1275.093

GDP CPI R R =-+-===进口

(括号内为标准误)

(2)居民消费价格指数的回归系数的符号不能进行合理的经济意义解释，且且CPI 与进口之间的简单相关系数呈现正向变动。可能数据中有多重共线性。 计算相关系数

:

(3)最大的CI=108.812，表明GDP 与CPI 之间存在较高的线性相关。

(4)分别拟合的回归模型如下：

22ln Y 4.09071.2186ln () t= (-10.6458) (34.6222)

0.9828 0.9820 1198.698

GDP R R F =-+===