光学设计缩放法练习(三片式双高斯)
第17章三片式照相物镜设计
17.1 设计任务
本实例参照黄一帆和李林编的《光学设计教程》图书中的案例，并进行了部分内容的修改完善。设计任务为：
系统焦距为9 mm，F#为4，全视场2ω为40o。要求所有视场在67.5 lp/mm 处MTF>0.3。
17.2 设计过程
（1）系统建模
为简化设计过程，作者从《光学设计手册》（李世贤，等.北京理工大学出版社.1990）中选取了一个三片式照相物镜作为初始结构，见表17-1所示。
根据建模的步骤，首先是系统特性参数输入过程。
点击按钮，在“General”系统通用数据对话框中设置孔径和玻璃库。
Type：）中选择“Image Space F#”，并根据设计要求在“Aperture Value：”输入“4”；在玻璃库（Glass Catalogs）里输入“CHINA”，以
。
点击按钮，打开“Fiel d Data”对话框设置5个视场（0ω,0.3ω，0.5ω，0.7ω和ω。
Wavelength Data”对话框设置“Select→F，d，C[Visibl e]
接着在透镜数据编辑器（Lens Data Editor）中输入初始结构，如图17-1所示。
在表17-1中，第7面厚度为透镜组最后一面与像面之间的间距，但是表中并没有列出。为了将要评价的像面设为系统的焦平面，可以利用ZEMAX的求解（Solve）功能。该功能用于设定光学系统结构的参数，如Curvature、Thickness、Glass、Semi-Diameter、Conic和Parameter等操作数。
求解（Solve）功能使用方法：
用鼠标左键双击（或单击鼠标右键）需要设置“Solve”功能的单元格（即第“7”面所在的行和“Thickness”所在的列交叉的单元格），将弹出标题为“Thickness Solve on Surface 7”的对话框，如图17-2所示。
图17-1 三片式照相物镜初始结构参数
图17-2 Thickness Solve on Surface 7对话框
根据本系统的设计要求，在图17-2中，对话框“Solve Type”中选择“Marginal Ray Height”，并将“Height：”值输入为“0”，表示将像面设置在了边缘光线聚焦的像方焦平面上。对话框中的“Pupil Zone”定义了光线的瞳面坐标，用归一化坐标表示。“Pupil Zone”的值如果为0，则表示采用近轴光线；如果为-1和+1
M”字母，表示这一厚度采用了求解“Solve”方法。
初始结构参数输入后，由于系统焦距与设计要求并不相符，因此需要通过缩放功能进行调整。
初始结构参数的缩放功能使用方法：
执行命令“Tools→Scale Lens”，即可打开名称为“Scal e Lens”的对话框，如图17-3所示。
图17-3 焦距缩放
图17-4 焦距缩放后的二维结构图
由于系统现有的焦距为74.98 mm，且设计任务要求将其变为9 mm，因此缩放因子为。所以在“Scale By Factor（缩放因子）”后面输入
“0.120032”Lens Data Editor中的结构数据将发生变化，此时系统焦距EFFL9 mm。
17-4所示。从“Layout
前后两表面相交的情况，即第一光学表面边缘厚度为负值。很显然，这是不合理的。为了解决此问题，可以再次利用“Solve（求解）”功能，在“Thickness solve on surface 1”对话框中将第一面厚度的“Solve Type（求解类型）”中选择“Edge Thickness（边缘厚度）”，并在“Thickness（厚度）”中输入“0.1”，这表示第一面边缘厚度被控制为0.1 mm。该值在优化过程中不会被改变。点击“Layout”结构图中的“Update（更新）”即可得到图17-5。
图17-5 设置Solve后的二维轮廓图
（2）初始性能评价
、
列图和MTF图线。在MTF67.5 lp/mm处的MTF 值，因此通过“Settings”对话框将采样频率（即空间频率）定为68 lp/mm。
从FFT MTF曲线图，如图17-6所示，可以看出系统成像质量较差，需要进一步优化。
图17-6 FFT MTF曲线图
（3）优化
进行优化之前需要设置评价函数。从主窗口“Editors”中选择“Merit Function”，在新打开的评价函数编辑器（Merit Function Editor）中选择“Tools →Default Merit Function...”，在评价函数设置对话框中，选择默认评价函数中的“PTV + Wavefront + Centroid”评价方法。并将厚度边界条件设置为：玻璃（Glass）
厚度的最小值（Min）为0.5 mm，最大值（Max）为10 mm；空气（Air）厚度最小值（Min）为0.1 mm，最大值（Max）为100 mm。边缘厚度（Edge）都设置为0.1 mm，如图17-7所示。
图17-7 默认评价函数设置
图17-8 参考设计结果的Lens Data Editor窗口
Merit Function Editor”窗口。系统已经根据上述设
EFFL以控制系统焦距目标值（Target）为9 mm，权重（Weight）为1。
再次返回“Lens Data Editor”编辑窗口，为系统结构设置变量。变量设置可以有不同选择。这里采用的做法是将系统各表面半径（光阑面除外）和第一、第
优化。
如果曲率半径（Radius）和厚度间隔（Thickness）经反复优化都不能满足设计要求，此时可以考虑设置玻璃（Glass）为变量，以便更换玻璃。
注意：当设置玻璃为变量时，单元格会出现两个数字并与逗号隔开，前面是折射率值，后面是阿贝数值。
设计练习
请您总结一下三片式照相物镜设计的设计过程和技巧，并自行完成如下设计任务。
系统焦距为10mm，F#为5，全视场2ω为38o，工作在可见光波段，玻璃材料只能有两种（注意设计实例中有三种），要求所有视场满足：在50lp/mm处MTF>0.3。
提示：
典型的三片式照相镜头也称为库克（COOKE）镜头，它只有三个镜片，因结构简单、造价低廉被广泛地应用在价格较低的照相机上。它的结构它的是：正透镜+负透镜+正透镜。三者之间相互分离。这种镜头的复杂化形式分为两类：一类是把前后两个正透镜中的一个分成两个分离的镜片（即有三个变成四个），目的是增大镜头的相对孔径；另一类是把前后两个正透镜中的一个或两个用双胶合透镜组代替，目的是在增加相对孔径的同时，增加全视场，并改善边缘视场的成像质量。
它的优化变量有如下几类：
1）曲率半径（Radius）：有6个。
2）厚度间隔（Thickness）：如果不把物距和像距算在内的话，有5个。
3）玻璃材料（Glass）：和镜片的个数相同，有3个。
4）二次曲面系数（Conic）：有6个，一般对于纯球面系统而言须将它们设为零。
虽然整个系统只有三个镜片，但是正是因为参与优化的变量近15个所以可以校正大部分初级像差。
在优化过程中，光阑（STOP）位置也是可以参与优化的。尤其是物方远心和像方远心光学系统中，光阑的位置对成像质量的影响很大。
在优化过程中，半口经（Semi-Diameter）不能参与优化，一般情况下，我们将其求解类型（Solve Type）设置为自动的（“Automatic”），而非固定的（“Fixed”）。而“Pick Up”类型是用来设置当面光学表面与前面某一个光学表面的半口经（Semi-Diameter）大小一致，即可以用来设置对称型的光学系统结构。而“Maximum”类型是用来设置最大值的。
第18章双高斯照相物镜设计
18.1 设计任务
设计一个双高斯照相物镜，入瞳直径：D=8mm，全视场：2ω= 30o，工作波段：486nm~ 656nm，焦距：f / = 40 mm；100 lp/mm时的MTF值不应小于0.5；成像质量满足瑞利准则。
18.2 设计过程
由于双高斯光学系统属于对称式的光学系统，所以在完成上述设计任务之前，我们先来了解一下完全对称式系统的结构参数该如何设定的问题。
18.1.1 对称式系统结构参数设计方法
某完全对称式的光学系统的二维轮廓图如图18-1所示。从图18-1中可以看出其结构完全对称化。
现在我们打开“Lens Data Editor（透镜参数编辑器）”窗口来查看它是如何设置的。
图18-1某完全对称式的光学系统的二维轮廓图
、图18-2 某完全对称式的光学系统的透镜参数设置
具体说明一下“Radius”、“Thickness”、“Glass”和“Semi-Diameter”中求解功能的设置方法。
“Radius”列中右侧有“P”字母的从上至下的单元格求解功能设置方法如图18-3所示。“Thickness”列中右侧有“P”或“M”字母的从上至下的单元格求解功能设置方法如图18-4所示。“Glass”列中右侧有“P”字母的从上至下的单元格求解功能设置方法如图18-5所示。“Semi-Diameter”列中右侧有“P”字母的从上至下的单元格求解功能设置方法如图18-6所示。
图18-3（a）
图18-3（b）
图18-3（c）
图18-4（a）
图18-4（b）
图18-4（c）
图18-4（d）
图18-5（a）
图18-5（b）
图18-6（a）
图18-6（b）
图18-6（c）
18.1.2 双高斯型照相物镜设计过程
（1）选择初始结构
在ZEMAX软件中，系统提供了两个双高斯型系统示例，即“C:\ZEMAX\Sampl es\ Sequential\Objective\Doubl e Gauss 5 d egree field.zmx”和“C:\ZEMAX\Sampl es\Sequential \Objective\Double Gauss 28 d egree fiel d.zmx”。
鉴于设计任务中规定：全视场为2ω= 30o，所以我们选择视场最接近的系统，即“C:\ZEMAX\ Sampl es\Sequential \Objective\Doubl e Gauss 28 d egree fiel d.zmx”作为我们的初始结构，其二维轮廓图，如图18-7所示，从该图可以看出它有一定的对称性。
我们采用列表对比法来研究所选的初始结构与设计任务的差异，详细情况参见表18-1。
图18-7 初始结构的二维轮廓图
（2）调整系统参数，优化初始结构 点击按钮，将入瞳直径（Entrance Pupil Diameter ）的孔径值（Aperture Value ：8”，单位是mm 。
Fiel d
Data ”窗口中的“Y -Fiel d ”列输入三个视场，即0o、15o。其中10.605o是0.707ω
视场值。
按钮，在“Wavelength Data ”窗口中选中“Select->F,d,C[Visibl e]”，
可知，初始结构与设计任务的焦距相差很大，因此要进行焦距缩放。我们执行命令“Tools →Scale Lens ”，打开焦距缩放对话框“Scal e Lens ”，选择“Scale By Factor ”，输入缩放因子值：40/99.50068≈0.402，如图18-8所示。
图18-8 焦距缩放
调出“Default Merit Function ”对话框，因为初始系统的像差较大，所以选择“PTV + Spot Radius + Chief Ray ”像质评价方法，并设定厚度边界值（Thickness Boundary Value ）：玻璃的最小值（Min ）为0.5，最大值（Max ）为20，边缘值
为0.5；空气的最小值（Min ）为0.5，最大值（Max ）为100，边缘值缺省；在“Merit Function Editor ”窗口输入“EFFL ”，按回车键，在“Target ”单元格下面输入“40”，在“Weight ”单元格下面输入“1.0”，并利用“Tools →Update ”更新数据。将“Merit Function Editor ”窗口最小化即可。
返回“Lens Data Editor （透镜数据编辑器）”窗口设定合适的变量，每次参与优化的不用太多，尤其是“Thickness ”列的变量不能太多，否则会出现厚度
点击按钮，打开“Optimization ”窗口进行优化。如果选中“Auto Update ”，优化时同步更新。
设计练习
总结双高斯型照相物镜设计的设计过程和技巧，并自行完成如下设计任务。 设计一个双高斯型照相物镜，入瞳直径：D=8mm ，全视场：2ω= 40o，工作
波段：480nm~ 650nm，焦距：f / = 40 mm；50 lp/mm时的MTF值不应小于0.5；成像质量满足瑞利准则；且左右两边的结构完全对称；且总镜片数小于10片。
数值分析列主元消去法的实验报告
实验一 列主元消去法 【实验内容】 1．掌握列主元消去法的基本思路和迭代步骤 2．并能够利用列主元的高斯消去法解任意阶数的线性方程组； 3、从课后题中选一题进行验证，得出正确结果，交回实验报告与计算结果。 【实验方法与步骤】 1．列主元消去法基本思路 设有线性方程组Ax b =，设A 是可逆矩阵。列主元消去法的基本思想就是通过列主元的选取将初等行变换作用于方程组的增广矩阵[]|B A b =，将其中的A 变换成一个上三角矩阵，然后求解这个三角形方程组。 2．列主元高斯消去法算法描述 将方程组用增广矩阵[]()(1)|ij n n B A b a ?+==表示。 步骤1：消元过程，对1,2,,1k n =-L （1） 选主元，找{},1,,k i k k n ∈+L 使得 ,max k i k ik k i n a a ≤≤= （2） 如果,0k i k a =，则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行（3）； （3） 如果k i k ≠，则交换第k 行与第k i 行对应元素位置，k kj i j a a ?， ,,1j k n =+L ； （4） 消元，对,,i k n =L ，计算/,ik ik kk l a a =对1,,1j k n =++L ，计算 .ij ij ik kj a a l a =- 步骤 2：回代过程： （1） 若0,nn a =则矩阵奇异，程序结束；否则执行（2）； （2） ,1/;n n n nn x a a +=对1,,2,1i n =-L ，计算 ,11/n i i n ij j ii j i x a a x a +=+??=- ??? ∑
[实验程序] #include
第三版工程光学答案
第一章 3、一物体经针孔相机在屏上成一60mm大小得像,若将屏拉远50mm,则像得大小变为70mm,求屏到针孔得初始距离。 解:在同种均匀介质空间中光线直线传播,如果选定经过节点得光线则方向不变,令屏到针孔得初始距离为x,则可以根据三角形相似得出: 所以x=300mm 即屏到针孔得初始距离为300mm。 4、一厚度为200mm得平行平板玻璃(设n=1、5),下面放一直 径为1mm得金属片。若在玻璃板上盖一圆形得纸片,要求在玻璃板上方任何方向上都瞧不到该金属片,问纸片得最小直径应为多少？ 解:位于光纤入射端面,满足由空气入射到光纤芯中,应用折射定律则有: n0sinI1=n2sinI2 (1) 而当光束由光纤芯入射到包层得时候满足全反射,使得光束可以在光纤内传播,则有: (2) 由(1)式与(2)式联立得到n0、
16、一束平行细光束入射到一半径r=30mm、折射率n=1、5得玻璃球上,求其会聚点得位置。 如果在凸面镀反射膜,其会聚点应在何处？如果在凹面镀反射膜,则反射光束在玻璃中得会聚点又在何处？反射光束经前表面折射后,会聚点又在何处？说明各会聚点得虚实。 解:该题可以应用单个折射面得高斯公式来解决, 设凸面为第一面,凹面为第二面。 (1)首先考虑光束射入玻璃球第一面时得状态,使用高斯公 式: 会聚点位于第二面后15mm处。 (2) 将第一面镀膜,就相当于凸面镜 像位于第一面得右侧,只就 是延长线得交点,因此就是虚像。 还可以用β正负判断: (3)光线经过第一面折射:, 虚像 第二面镀膜,则:
得到: (4) 在经过第一面折射 物像相反为虚像。 18、一直径为400mm,折射率为1、5得玻璃球中有两个小气泡,一个位于球心,另一个位于1 ／2半径处。沿两气泡连线方向在球两边观察,问瞧到得气泡在何处？如果在水中观察,瞧到得气泡又在何处？ 解: 设一个气泡在中心处,另一个在第二面与中心之间。 (1)从第一面向第二面瞧 (2)从第二面向第一面瞧 (3)在水中
理想光学系统与共线成像理论 知识点第2章
2-1 #理想光学系统#在任意大的空间以任意宽的光束都成完善像的光学系统。 #共轭#物像点之间一一对应的关系，指物像关系。 #共线成像#点对应点，直线对应直线，平面对应平面的成像变换。 #基点#共轴理想光学系统中已知共轭点（位置和放大率已知），用于表征成像特性，通过他们可以求取任意一点的像。 #基面#共轴理想光学系统中已知共轭面（位置和放大率已知），用于表征成像特性，通过他们可以求取任意一点的像。 2-2 #像方焦点#无限远轴上物点对应的像点。 #像方焦平面#过像方焦点并且垂直于光轴的平面。 #像方主平面#无限远轴上物点发出的平行光轴的入射光线与出射光线相交一点，过该点所作的垂直于光轴的平面。 #像方主点#像方主平面与光轴的交点称为像方主点。 #像方焦距#像方主点到像方焦点的距离。 #物方焦点#无限远轴上像点对应的物点。 #物方焦平面#过物方焦点并且垂直于光轴的平面。 #物方主平面#射向无限远轴上像点的出射光线与对应的入射光线相交一点，过该点所作的垂直于光轴的平面。 #物方主点#物方主平面与光轴的交点称为物方主点。 #物方焦距#物方主点到物方焦点的距离。 2-3 #图解法求像#利用性质已知的典型光线（如过焦点的光线），通过画图追踪典型光线求物或像的方法。
#解析法求像#利用根据几何关系推导出的物像关系数学公式，通过数值计算的方法求像。 #牛顿公式#物距和像距以焦点作为坐标原点的物像关系公式，xx’=ff’ #高斯公式#物距和像距以主点作为坐标原点的物像关系公式，f’/l’+f/l=1 #光组#一个光学系统可由一个或几个部件组成，每个部件可以由一个或几个透镜组成，这些部件被称为光组。 #光学间隔#也称作焦点间隔，相邻两个光组，第一个光组的像方焦点距第二个光组的物方焦点的距离，起算原点是第一个光组的像方焦点。 #主面间隔#相邻两个光组，第一个光组的像方主面距第二个光组的物方主面的距离，起算原点是第一个光组的像方主面。 #理想光学系统垂轴放大率#理想光学系统所成像的大小与物的大小之比。 2-4 #理想光学系统轴向放大率#当物平面沿光轴作微量移动dx或dl时，其像平面就移动一相应的距离dx’或dl’，它们的比值dx/ dx’或dl/ dl’称为理想光学系统轴向放大率。 #理想光学系统角放大率#过理想光学系统的光轴上一对共轭点的任意一对共轭光线，它们与光轴的夹角U’和U的正切之比。 #节点#角放大率等于+1的一对共轭点。 2-5 #光焦度#像方焦距的倒数。 #正切计算法#基于光线投射高度和角度追迹计算来求组合系统的方法。 #远摄型光组#由一正一负两个透镜组成，正透镜在前，负透镜在后，其筒长比焦距短。 #反远距型光组#由一正一负两个透镜组成，负透镜在前，正透镜在后，其焦距比工作距短。 #望远系统#一般与眼睛联用，用于观察远处的物体，由两个光组组成，第一个
(完整版)工程光学第三版课后答案1
第一章 2、已知真空中的光速c ＝3*108m/s ，求光在水（n=1.333）、冕牌玻璃（n=1.51）、火石玻璃（n=1.65）、加拿大树胶（n=1.526）、金刚石（n=2.417）等介质中的 光速。 解： 则当光在水中，n=1.333 时，v=2.25*108m/s, 当光在冕牌玻璃中，n=1.51 时，v=1.99*108m/s, 当光在火石玻璃中，n ＝1.65 时，v=1.82*108m/s ， 当光在加拿大树胶中，n=1.526 时，v=1.97*108m/s ， 当光在金刚石中，n=2.417 时，v=1.24*108m/s 。 3、一物体经针孔相机在屏上成一60mm 大小的像，若将屏拉远50mm ，则像的大小变为70mm,求屏到针孔的初始距离。 解：在同种均匀介质空间中光线直线传播，如果选定经过节点的光线则方向 不变，令屏到针孔的初始距离为x ，则可以根据三角形相似得出： 所以x=300mm 即屏到针孔的初始距离为300mm 。 4、一厚度为200mm 的平行平板玻璃（设n=1.5），下面放一直径为1mm 的金属片。若在玻璃板上盖一圆形纸片，要求在玻璃板上方任何方向上都看不到该金属片，问纸片最小直径应为多少？ 解：令纸片最小半径为x, 则根据全反射原理，光束由玻璃射向空气中时满足入射角度大于或等于全反射临界角时均会发生全反射，而这里正是由于这个原因导致在玻璃板上方看不到金属片。而全反射临界角求取方法为： (1) 其中n2=1, n1=1.5, 同时根据几何关系，利用平板厚度和纸片以及金属片的半径得到全反射临界角的计算方法为： (2) 联立（1）式和（2）式可以求出纸片最小直径x=179.385mm ， 所以纸片最小直径为358.77mm 。 8、.光纤芯的折射率为1n ，包层的折射率为2n ，光纤所在介质的折射率为0n ，求光纤的数值孔径（即10sin I n ，其中1I 为光在光纤内能以全反射方式传播时在入射端面的最大入射角）。 解：位于光纤入射端面，满足由空气入射到光纤芯中，应用折射定律则有： n 0sinI 1=n 2sinI 2 (1) 而当光束由光纤芯入射到包层的时候满足全反射，使得光束可以在光纤内传播，则有：
高斯消去法算法实验报告
算法设计与分析基础 实验报告 应用数学学院 二零一六年六月
实验高斯消去法算法 一、实验性质设计 二、实验学时14学时 三、实验目的 1、掌握高斯消去法的方法和原理。 2、掌握java语言实现该算法的一般流程。 四、实验内容 1、数组的输入。 2、高斯消去法的算法流程。 4、运行结果的输出。 五、实验报告 Ⅰ、算法原理 通过一系列的初等变换，交换方程组中两个方程的位置，把一个方程替换为它的非零倍，把一个方程替换为它和另一个方程倍数之间的和 或者差。 Ⅱ、Java算法代码： import java.util.Scanner; publicclass Gaosi { publicstaticvoid main(String[] args) { Gao ga = new Gao(); ga.set(); ga.yunSuan(); } } class Gao {
double A[][], B[], X[], ss, sum; int n, k, j, t; void set() { System.out.println("请输入方程组中方程的个数："); Scanner sc = new Scanner(System.in); n = sc.nextInt(); A = newdouble[n][n]; B = newdouble[n]; X = newdouble[n]; System.out.println("请输入各方程的系数："); Scanner sd = new Scanner(System.in); for (int i = 0; i 高斯列主元消元法解线性方程组 一、题目：用Gauss 列主元消去法解线性方程组Ax b =，其中， A=17.031 -0.615 -2.991 1.007 -1.006 0.000-1.000 34.211 -1.000 -2.100 0.300 -1.7000.000 0.500 13.000 -0.500 1.000 -1.5004.501 3.110 -3.907 -61.705 12.170 8.9990.101 -8.012 -0.017 -0.910 4.918 0.1001.000 2.000 3.000 4.500 5.000 21.803?? ? ? ? ? ? ? ? ??? 0.230 -52.322 54.000 240.236 29.304 -117.818b ?? ? ? ?= ? ? ? ? ??? T X=(0.907099 -1.961798 3.293738 -4.500708 3.029344 -5.255068) 二、原理及步骤分析 设 n n ij R a A ?∈=][)1(，n n R b b b b ∈=],,,[)1()2(2)1(1 。若约化主元素 ),,2,1(0)(n k a k kk =≠，则通过高斯消元法将方程b AX =约化为三角形方程组求解。 如果在消元过程中发现某个约化主元0) (=k kk a , 则第K 次消元就无法进行。此外，即 使所有约化主元全不为零，虽然可以完成方程组的求解，但也无法保证结果的可靠性，因为计算过程中存在舍入误差。 为减少计算过程中的舍入误差对解的影响，在每次消元前，应先选择绝对值尽可能大的元作为约元的主元，如果在子块的第一列中选取主元，则相应方法称为列主元消元法。相应过程为： （1）选主元：在子块的第一列中选择一个元) (k k i k a 使) (max k ik n i k k k i a a k ≤≤= 并将第k 行元与第k i 行元互换。 （2）消元计算：对k=1,2,……n-1依次计算 ()()()?? ?? ?????++=-=++=-=++==++n k k i b m b b n k k j i a m a a n k k i a a m k k ik k i k i k kj ik k ij k ij k kk k ik k ik ,,2,1,,2,1,,,2,1) ()()1() ()()1()() ()( （3）回代求解 西京学院数学软件实验任务书 《数值分析》实验报告 实验一 一、实验目的与要求 1．掌握高斯列主元消去法解线性方程组的基本思路； 2．了解一些计算机的算法，会以某种汇编语言实现算法结果（本实验主要用matlab编程） 二、实验内容 1．编写用高斯列主元消元法解线性方程组的MATLAB程序，并求解下面的线性方程组，然后用逆矩阵解方程组的方法验证. （1） 123 123 123 221 1 221 x x x x x x x x x +-= ? ? ++= ? ?++= ? （2） 123 123 123 21 1 21 x x x x x x x x x -+= ? ? ++= ? ?+-= ? 2．列主元消元法及其matlab程序function [Ra,Rb,n,X]=GaussXQLineMain(A,b) %高斯列主元消元法，其中B为增广矩阵 B=[A b]; %读入b的长度 n=length(b); %读出矩阵a,b秩 Ra=rank(A); Rb=rank(B); if (Rb-Ra)>0 disp('因为Ra不等于Rb，所以此方程组无解.') return end if Ra==Rb if Ra==n disp('因为Ra=Rb=n，所以此方程组有唯一解.') X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1); for p= 1:n-1 %找出列中最大的元素并指出他的位置 [Y,j]=max(abs(B(p:n,p))); C=B(p,:); B(p,:)= B(j+p-1,:); B(j+p-1,:)=C; for k=p+1:n m= B(k,p)/ B(p,p); B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1); end end b=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n); X(n)=b(n)/A(n,n); for q=n-1:-1:1 X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q); end else disp('因为Ra=Rb 第一章 3、一物体经针孔相机在 屏上成一60mm 大小的像，若将屏拉远50mm ，则像的大小变为70mm,求屏到针孔的初始距离。 解：在同种均匀介质空间中光线直线传播，如果选定经过节点的光线则方向不变， 令屏到针孔的初始距离为x ，则可以根据三角形相似得出： 所以x=300mm 即屏到针孔的初始距离为300mm 。 4、一厚度为200mm 的平行平板玻璃（设n =），下面放一直径为1mm 的金属片。若在玻璃板上盖一圆形的纸片，要求在玻璃板上方任何方向上都看不到该金属片，问纸片的最小直径应为多少 2211sin sin I n I n = 66666.01 sin 2 2== n I 745356.066666.01cos 22=-=I 88.178745356 .066666 .0* 200*2002===tgI x mm x L 77.35812=+= 1mm I 1=90? n 1 n 2 200mm L I 2 x 8、.光纤芯的折射率为1n ，包层的折射率为2n ，光纤所在介质的折射率为0n ，求光纤的数 值孔径（即10sin I n ，其中1I 为光在光纤内能以全反射方式传播时在入射端面的最大入射角）。 解：位于光纤入射端面，满足由空气入射到光纤芯中，应用折射定律则有： n 0sinI 1=n 2sinI 2 (1) 而当光束由光纤芯入射到包层的时候满足全反射，使得光束可以在光纤内传播，则有： (2) 由（1）式和（2）式联立得到n 0 . 16、一束平行细光束入射到一半径r=30mm 、折射率n=的玻璃球上，求其会聚点的位置。如 果在凸面镀反射膜，其会聚点应在何处如果在凹面镀反射膜，则反射光束在玻璃中的会聚点又在何处反射光束经前表面折射后，会聚点又在何处说明各会聚点的虚实。 解：该题可以应用单个折射面的高斯公式来解决， 设凸面为第一面，凹面为第二面。 （1）首先考虑光束射入玻璃球第一面时的状态，使用高斯公式： 实验一 列主元消去法 【实验内容】1. 掌握列主元消去法的基本思路和迭代步骤 2. 并能够利用列主元的高斯消去法解任意阶数的线性方程组； 【实验方法与步骤】列主元消去法编写程序 1．列主元消去法基本思路 设有线性方程组Ax b =，设A 是可逆矩阵。列主元消去法的基本思想就是通过列主元的选取将初等行变换作用于方程组的增广矩阵[]|B A b =，将其中的A 变换成一个上三角矩阵，然后求解这个三角形方程组。 2．列主元高斯消去法算法描述 将方程组用增广矩阵[]()(1)|ij n n B A b a ?+==表示。 步骤1：消元过程，对1,2,,1k n =- （1） 选主元，找{},1,,k i k k n ∈+ 使得 ,max k i k ik k i n a a ≤≤= （2） 如果,0k i k a =，则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行（3）； （3） 如果k i k ≠，则交换第k 行与第k i 行对应元素位置，k kj i j a a ?， ,,1j k n =+ ； （4） 消元，对,,i k n = ，计算/,ik ik kk l a a =对1,,1j k n =++ ，计算 .ij ij ik kj a a l a =- 步骤 2：回代过程： （1） 若0,nn a =则矩阵奇异，程序结束；否则执行（2）； （2） ,1/;n n n nn x a a +=对1,,2,1i n =- ，计算 ,11/n i i n ij j ii j i x a a x a +=+??=- ??? ∑ 习题3第一题程序如下 #include 《Gauss列主元消去法》实验报告 实验名称：Gauss列主元消去法程序设计？？？成绩：_________ 专业班级：数学与应用数学1202班？姓名：王晓阳？??学号： 实？验？日？期：？2014?年11月10日 实验报告日期：？2014年？11月10日 一.实验目的 1. 学习Gauss消去法的基本思路和迭代步骤. 2. 学会运用matlab编写高斯消去法和列主元消去法程序，求解线性方程组. 3. 当绝对值较小时，采用高斯列主元消去法? 4. 培养编程与上机调试能力. 二、实验内容 用消去法解线性方程组的基本思想是用逐次消去未知数的方法把原线性方程组Ax二b 化为与其等价的三角形线性方程组，而求解三角形线性方程组可用回代的方法求解 1. 求解一般线性方程组的高斯消去法? (1) 消元过程： 设a kk k-0 ,第i个方程减去第k个方程的m ik Tk k倍，("k 1^1, n)，得到 A k1x=b k1. 经过n-1次消元，可把方程组A1^b1化为上三角方程组A n x=b n. ⑵回代过程: 以解如下线性方程组为例测试结果 2. 列主元消去法 由高斯消去法可知，在消元过程中可能出现a kk k =0的情况，这是消去法将无法进行, 即使主元素a kk k-0但很小时，用其作除数，会导致其他元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，最后也使得计算解不可靠.这时就需要选取主元素，假定线性方程组的系数矩阵A是菲奇异的. (1)消元过程： 对于k =1,2,川,n -1，进行如下步骤: 1) 按列选主元，记 2) 交换增广阵A的p,k两行的元素 A(k,j)=A(p,j) ( j=k,…,n +1) 3) 交换常数项b的p,k两行的元素。 b(k)=b(p) 4) 计算消元 (2) 回代过程 (3) 以解如下线性方程组为例测试结果 三、实验环境 MATLAB R2014a 四、实验步骤 实验三 高斯列主元消去法 一、实验目的： 1、掌握高斯消去法的基本思路和迭代步骤。 2、 培养编程与上机调试能力。 二、高斯列主元消去法的基本思路与计算步骤： 设有方程组Ax b =，设A 是可逆矩阵。高斯消去法的基本思想就是僵局真的初等行变换作用于方程组的增广矩阵[]B A b = ，将其中的A 变换成一个上三角矩阵，然后求解这个三角形方程组。 列主元高斯消去法计算步骤： 将方程组用增广矩阵[]()(1)ij n n B A b a ?+== 表示。 步骤1：消元过程，对1,2,,1k n =- （1） 选主元，找{},1,,k i k k n ∈+ 使得 ,max k i k ik k i n a a ≤≤= （2） 如果 ,0k i k a =，则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行（3）。 （3） 如果k i k ≠，则交换第k 行与第k i 行对应元素位置，k kj i j a a ?，,,1j k n =+ 。 （4） 消元，对,,i k n = ，计算/,ik ik kk l a a =对1,,1j k n =++ ，计算 . ij ij ik kj a a l a =- 步骤 2：回代过程： （1） 若0,nn a =则矩阵奇异，程序结束；否则执行（2）。 （2） ,1/;n n n nn x a a +=对1,,2,1i n =- ，计算,11/n i i n ij j ii j i x a a x a +=+??=- ???∑ 三：程序流程图 四：程序清单： function X=uptrbk(A,b) % A是一个n阶矩阵。 % b是一个n维向量。 % X是线性方程组AX=b的解。 [N N]=size(A); X=zeros(1,N+1); Aug=[A b]; for p=1:N-1 [Y,j]=max(abs(Aug(p:N,p)));%返回向量的最大值存入y，最大值的序号存入j。 C=Aug(p,:); Aug(p,:)=Aug(j+p-1,:); Aug(j+p-1,:)=C; if Aug(p,p)==0 'A是奇异阵，方程无惟一解' break end for k=p+1:N m=Aug(k,p)/Aug(p,p); Aug(k,p:N+1)=Aug(k,p:N+1)-m*Aug(p,p:N+1); end end % 这里用到程序函数backsub来进行回代。 X=backsub(Aug(1:N,1:N),Aug(1:N,N+1)); function X=backsub(A,b) % A是一个n阶上三角非奇异阵。 % b是一个n维向量。 % X是线性方程组AX=b的解。 n=length(b);%取b向量的个数。 X=zeros(n,1); X(n)=b(n)/A(n,n); for k=n-1:-1:1 X(k)=(b(k)-A(k,k+1:n)*X(k+1:n))/A(k,k); End 五、测试数据与结果： 测试数据：（第8章习题三第2题）求解线性方程组： 解：建立一个主程序gs.m clc clear A=[1,2,3;5,4,10;3,-0.1,1]; b=[1;0;2]; 实验报告 学院：电子信息工程 实验课程：计算方法 学生姓名： 学号： 专业班级：通信工程 实验三线性方程组解法 1 目的与要求 （1）进一步理解和掌握求线性方程组数值解的有关方法和理论。（2）完成利用列主元高斯消去法、雅可比迭代法及高斯-赛德尔迭代法求线性方程组数值解的程序设计。本次实验只需完成列主元高斯消去法的程序设计。 （3）比较三种算法的不同特点。 2 实验内容 通过编制程序，分别用列主元高斯消去法、雅可比迭代法及高斯-赛德尔迭代法计算如下方程组的解。 设初始值为要求满足前后两次迭代结果的差向量的 1 范数小于 3 实验原理 1）列主元高斯消去法 列主元高斯消去法就是在顺序高斯消去法的基础上，每步消元之前都要进行选主元操作，即在第k 步消元前，在第k 列的元素 中选取绝对值最大的元素，设为 ，然后交换第 k 行和第 p 行，继续进行消去过程，直到获得上三角方程组，然后通过回代得到方程的根。 4 程序设计 （1）流程图 列主元高斯消去程序流程图 （2）程序代码 #include for(i=0;i<3;i++) //输入增广矩阵// { for(j=0;j<4;j++) { scanf("%f",&a[i][j]); } } printf("\n"); printf("Output the input matrix"); printf("\n"); for(i=0;i<3;i++) //输出输入的矩阵// { for(j=0;j<4;j++) { printf("%8.4f",a[i][j]); } printf("\n"); } printf("\n"); for(k=0;k<=2;k++) //在不同列中选主元// { m=k; 《数值分析》实验报告 一、实验目的与要求 1．掌握高斯消去法的基本思路和迭代步骤； 2．培养编程与上机调试能力。 二、实验内容 1．编写用高斯消元法解线性方程组的MATLAB程序，并求解下面的线性方程组，然后用逆矩阵解方程组的方法验证. 5x?2x?x?80.101x?2.304x?3.555x?1.183??312312??（1）（2） 21x?8x?32x?2.137x?3.712x?4.623?1.347x???312312??1x?3x?6x??2.835x?1.072x?5.643x?3.035??132 312 2．编写用列主元高斯消元法解线性方程组的MATLAB程序，并求解下面的线性方程组，然后用逆矩阵解方程组的方法验证. 5x?2x?x?80.101x?2.304x?3.555x?1.183??312312??（1）（2） 2x?8x?3x?212.137?4.6231.347?x?3.712x?x??321321??1x?3x?6x??2.835x?1.072x?5.643x?3.035??132 312三．MATLAB计算源程序 AX?b MATLAB1. 程序用高斯消元法解线性方程组的b；输入的量：系数矩阵和常系数向量A RA,RB, n方程组中未知量的个数的秩输出的量：系数矩阵和增广矩阵BA.及其解的信息和有关方程组解X gaus(A,b) function [RA,RB,n,X]=B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A); RB=rank(B);zhica=RB-RA; if zhica>0, disp('RA~=RB.') ，所以此方程组无解请注意：因为return end if RA==RB if RA==n disp('RA=RB=n.') ，所以此方程组有唯一解请注意：因为X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1); for p= 1:n-1 for k=p+1:n m= B(k,p)/ B(p,p); B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1); 第一章 2、已知真空中的光速c＝3*108m/s, 求光在水( n=1.333) 、冕牌玻璃 ( n=1.51) 、火石玻璃( n=1.65) 、加拿大树胶( n=1.526) 、金刚石( n=2.417) 等介质中的 光速。 解: 则当光在水中, n=1.333 时, v=2.25*108m/s, 当光在冕牌玻璃中, n=1.51 时, v=1.99*108m/s, 当光在火石玻璃中, n＝1.65 时, v=1.82*108m/s, 当光在加拿大树胶中, n=1.526 时, v=1.97*108m/s, 当光在金刚石中, n=2.417 时, v=1.24*108m/s。 3、一物体经针孔相机在屏上成一60mm 大小的像, 若将屏拉远50mm, 则像的大小变为70mm,求屏到针孔的初始距离。 解: 在同种均匀介质空间中光线直线传播, 如果选定经过节点的光线则方向 不变, 令屏到针孔的初始距离为x, 则能够根据三角形相似得出: 因此x=300mm 即屏到针孔的初始距离为300mm。 4、一厚度为200mm 的平行平板玻璃( 设n=1.5) , 下面放一直径为1mm 的金属片。若在玻璃板上盖一圆形纸片, 要求在玻璃板上方任何方向上都看不到该金 属片, 问纸片最小直径应为多少? 解: 令纸片最小半径为x, 则根据全反射原理, 光束由玻璃射向空气中时满足入射角度大于或等于全 反射临界角时均会发生全反射, 而这里正是由于这个原因导致在玻璃板上方看 不到金属片。而全反射临界角求取方法为: (1) 其中 n2=1, n1=1.5, 同时根据几何关系, 利用平板厚度和纸片以及金属片的半径得到全反射临界角的计算方法为: (2) 联立( 1) 式和( 2) 式能够求出纸片最小直径x=179.385mm, 因此纸片最小直径为358.77mm 。 8、 .光纤芯的折射率为1n , 包层的折射率为2n , 光纤所在介质的折射率为0n , 求光纤的数值孔径( 即10sin I n , 其中1I 为光在光纤内能以全反射方式传播时在入射端面的最大入射角) 。 解: 位于光纤入射端面, 满足由空气入射到光纤芯中, 应用折射定律则有: n 0sinI 1=n 2sinI 2 (1) 而当光束由光纤芯入射到包层的时候满足全反射, 使得光束能够在光纤内传播, 则有: (2) 由( 1) 式和( 2) 式联立得到n 0 . 16、 一束平行细光束入射到一半径r=30mm 、 折射率n=1.5 的玻璃球上, 求其会聚点的位置。如果在凸面镀反射膜, 其会聚点应在何处? 如果在凹面镀反射 工程光学第三版课后 答案 第一章 2、已知真空中的光速c ＝3*108m/s ，求光在水（n=1.333）、冕牌玻璃（n=1.51）、火石玻璃（n=1.65）、加拿大树胶（n=1.526）、金刚石（n=2.417）等介质中的 光速。 解： 则当光在水中，n=1.333 时，v=2.25*108m/s, 当光在冕牌玻璃中，n=1.51 时，v=1.99*108m/s, 当光在火石玻璃中，n ＝1.65 时，v=1.82*108m/s ， 当光在加拿大树胶中，n=1.526 时，v=1.97*108m/s ， 当光在金刚石中，n=2.417 时，v=1.24*108m/s 。 3、一物体经针孔相机在屏上成一60mm 大小的像，若将屏拉远50mm ，则像的大小变为70mm,求屏到针孔的初始距离。 解：在同种均匀介质空间中光线直线传播，如果选定经过节点的光线则方向 不变，令屏到针孔的初始距离为x ，则可以根据三角形相似得出： 所以x=300mm 即屏到针孔的初始距离为300mm 。 4、一厚度为200mm 的平行平板玻璃（设n=1.5），下面放一直径为1mm 的金属片。若在玻璃板上盖一圆形纸片，要求在玻璃板上方任何方向上都看不到该金属片，问纸片最小直径应为多少？ 解：令纸片最小半径为x, 则根据全反射原理，光束由玻璃射向空气中时满足入射角度大于或等于全反射临界角时均会发生全反射，而这里正是由于这个原因导致在玻璃板上方看不到金属片。而全反射临界角求取方法为： (1) 其中n2=1, n1=1.5, 同时根据几何关系，利用平板厚度和纸片以及金属片的半径得到全反射临界角的计算方法为： (2) 联立（1）式和（2）式可以求出纸片最小直径x=179.385mm ， 所以纸片最小直径为358.77mm 。 8、.光纤芯的折射率为1n ，包层的折射率为2n ，光纤所在介质的折射率为0n ，求光纤的数值孔径（即10sin I n ，其中1I 为光在光纤内能以全反射方式传播时在入射端面的最大入射角）。 第一章 习题答案 4. 一厚度为200mm 的平行平板玻璃（设n=1.5），下面放一直径为1mm 的金属薄片。若在玻璃板上盖一圆形的纸片，使得在玻璃板上方任何方向上都看不到该金属薄片，问纸片的最小直径应为多少？ 解：如图所示，设纸片的最小直径为L ，考虑边缘光线满足全反射条件时 6667.090sin sin 02 12==n n I 74536.06667.01cos 22=-=I L=(2x+1)mm=358.77mm 16. 一束平行细光束入射到一半径mm r 30=、折射率n=1.5的玻璃球上，求经玻璃球折射后会聚点的位置。如果在凸面（第一面）镀反射膜，其会聚点应爱何处？如果在凹面（第二面）镀反射膜，则反射光束在玻璃中的会聚点又在何处？反射光束经前表面折射后，会聚点又在何处？说明各个会聚点的虚实。 解：（1）此时的成像过程如图（4）所示，平行细光束入射到玻璃球上，经左侧球面折射后形成中间像'1A ，它又是右侧球面的物2A ，经右侧球面再次成像于'2A 。 将-∞=1l ，11=n ，5.1' 1=n ，mm r 301=代入单个折射球面 成像公式 r n n l n l n -=-'' '得 mm mm n n r n l 905.0305.11 '1' 1'1=?=-= 由于1l 和'1l 异号，01 '1' 111<=l n l n β，故无限远物与像'1A 虚实相同，即'1A 为实像。但由于右侧球面的存在，实际光线不可能到达此处，故对于右侧球面2A 为虚物。 将 mm r n n mm mm r l l 30,1,5.1,30)6090(22' 22'12-====-=-= 再次代入单个折射球面成像公式得 贵州师范大学数学与计算机科学学院学生实验报告 课程名称： 数值分析 班级： 数本（一）班 实验日期： 年 月 日 学 号： 090704020098（81） 姓名： 吴胜 指导教师： 杨一都 实验成绩： 一、实验名称 实验五:线性方程组的数值解法 二、实验目的及要求 1. 让学生掌握用列主元gauss 消去法、超松弛迭代法求解线性方程组. 2. 培养Matlab 编程与上机调试能力. 三、实验环境 每人一台计算机，要求安装Windows XP 操作系统，Microsoft office2003、MATLAB6.5(或7.0). 四、实验内容 1. 编制逐次超松弛迭代(SOR 迭代)函数(子程序),并用于求解方程组 ????? ??=-++=+-+=++-=+++-1 4141 4144321 432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 取初始向量T x )1,1,1,1()0(=,迭代控制条件为 5 )1()(10 2 1||||--?≤ -k k x x 请绘制出迭代次数与松弛因子关系的函数曲线,给出最佳松弛因子.SOR 迭代 的收敛速度是否一定比Gauss-Seidel 迭代快? 2. 编制列主元 Gauss 消去法函数(子程序),并用于解 ??? ??=++-=-+-=+-6 15318153312321 321321x x x x x x x x x 要求输出方程组的解和消元后的增广矩阵. 注：题2必须写实验报告 五、算法描述及实验步骤 Gauss 消去法： 功能 解方程组b Ax = . 输入 n ,n n ij a A ?=)(,T n b b b b ),,,(21 =. 输出 方程组的解T n x x x x ),,,(21 =或失败信息. 数值分析大作业 －－――（高斯列主元消去法求解线性方程组） 课程名称：数值分析 授课老师：宋国乡 指导导师：丁振国 学生：王伟伟 学号：0425121523 日期：2004/11/20 高斯列主元消去法解线性方程组 一：问题的提出 我们都知道，高斯列主元素消去法是计算机上常用来求解线性方程组的一种直接的方法。就是在不考虑舍入误差的情况下，经过有限步的四则运算可以得到线性方程组的准确解的一类方法。实际运算的时候因为只能有限小数去计算，因此只能得到近似值。在实际运算的时候，我们很多时候也常用高斯消去法。但是高斯消去法在计算机中运算的时候常会碰到两个问题。 1．一旦遇到某个主元等于0，消元过程便无法进行下去。 2．在长期使用中还发现，即使消元过程能进行下去，但是当某个主元的绝对值很小时，求解出的结果与真实结果相差甚远。 为了避免高斯消去法消元过程中出现的上述两个问题，一般采用所谓的选择主元法。其中又可以分为列选主元和全面选主元两种方法。目前计算机上常用的按列选主元的方法。因此我在这里做的也是列选主元高斯消去法。 二、算法的基本思想 大家知道，如果一个线性方程组的系数矩阵是上三角矩阵时，即这种方程组我们称之为上三角方程组，它是很容易求解的。我们只要把方程组的最下面的一个方程求解出来，在把求得的解带入倒数第二个方程，求出第二个解，依次往上回代求解。然而，现实中大多数线性方程组都不是上面所说的上三角方程组，所以我们有可以把不是上三角的方程通过一定的算法化成上三角方程组，由此我们可以很方便地求出方程组的解。高斯消元法的目的就是把一般线性方程组简化成上三角方程组。于是高斯消元法的基本思想是：通过逐次消元将所给的线性方程 实验一实验报告 一、实验名称：线性方程组高斯消去法。 二、实验目的：进一步熟悉理解Guass 消元法解法思路，提高matlab 编程能力。 三、实验要求：已知线性方程矩阵，利用软件求解线性方程组的解。 四、实验原理： 消元过程： 设0)0(11≠a ，令乘数)0(11 )0(11/a a m i i -=，做（消去第i 个方程组的i x ）操作1i m ×第1个方程+第i 个方程（i=2，3，.....n ） 则第i 个方程变为1)1(2)1(2...i n in i b x a x a =++ 这样消去第2，3，。。。，n 个方程的变元i x 后。原线性方程组变 为： ???? ?????=++=++=++)1()1(2)1(2)1(2)1(22)1(22)0(1)0(11)0(11... . . ... ...n n nn n n n n n b x a x a b x a x a b x a x a 这样就完成了第1步消元。 回代过程： 在最后的一方程中解出n x ，得：)1()1(/--=n nn n n n a b x 再将n x 的值代入倒数第二个方程，解出1-n x ，依次往上反推，即可求出方程组的解： 其通项为3,...1-n 2,-n k /)()1(1)1()1(=-=-+=--∑k kk n k j j k kj k k k a x a b x 五、实验内容： A=[1 1 1;0 4 -1;2 -2 1];%?μêy???ó b=[6 5 1]'%3￡êy?? num=length(b) for k=1:num-1 for i=k+1:num if A(k,k)~=0 l=A(i,k)/A(k,k); A(i,:)=A(i,:)-A(k,:).*l; b(i)=b(i)-b(k)*l; end end end A b %??′ú?óx x(num)=b(num)/A(num,num); for i=num-1:-1:1 sum=0; for j=i+1:num sum=sum+A(i,j)*x(j); end x(i)=(b(i)-sum)/A(i,i); end x 六、实验结果：高斯列主元消元法解线性方程组
消元法实验报告4
第三版工程光学答案[1]
列主元消去法
Gauss列主元消去法程序设计
实验三高斯列主元消去法
计算方法实验三线性方程组解法列主元高斯消去法
完整版高斯消元法MATLAB实现
工程光学第三版课后答案样本
最新工程光学第三版课后答案
工程光学习题一答案
Gauss列主元消去法
高斯列主元消去法
“线性方程组高斯消去法”实验报告(内含matlab程序)