流体力学(流体动力学)

(3)
这组方程式称为兰伯－葛罗米柯型运动微分方程式。它比欧拉 运动微分方程式便于积分。
二、理想流体沿流线的伯诺里方程(伯诺里积分)
假设条件 （1）流动为恒定流。此时
u x u y u z p 0 t t t t
（2）流体是不可压缩的，密度ρ= 常数。
（3）流体受有势质量力作用，具有势函数U。即
U X x
为迹线的微分方程。则
U Y y
U Z z
（4）流体为恒定流，则流线与迹线重合，流线的微分方程即
dx dy dz ux u y uz
uxdy＝uydx uxdz＝uzdx uzdy＝uydz
在假设（1）、（2）、（3）下，兰伯－葛罗米柯型运动微分方
程式(3)可写成
xz
xz dx x 2
x
pxx dx x 2
CB面
法向应力
z
p xx dx p xx x 2
切向应力
(x方向)
xz
xz dx x 2
D dz
xy
xy dx x 2
(－y方向)
p dx C pxx pxx xx x 2
xy dx xy x 2 y
yz
p yy
D dz dy yx yx y z x
C
A
B y dx
E
BE面
法向应力 (z方向)
Xρdxdydz
(2)表面力：沿x轴方向 六面体左面上的压力为
1 p (p dx)dydz 2 x
右面上的压力为
1 p (p dx)dydz 2 x
根据牛顿第二定律
F
x
ma x ，有：
dux 1 p 1 p (p dx)dydz ( p dx)dydz Xdxdydz dxdydz 2 x 2 x dt
式(7)、(8)、(9)称为理想流体的伯诺里方程（又称能量方程）。
结论：理想不可压缩流体，在重力作用下，恒定流动时，沿流线 伯诺里方程成立。
三、理想流体无旋流动的伯诺里方程式(欧拉积 分)
无旋流动
x y z 0
对不可压缩恒定流在有势的质量力作用下，由兰伯－葛罗米柯 型运动微分方程式（4）得：
(4)
将方程组(4)三式分别乘dx、dy、dz，再相加，利用假设(4)的条 件可得： 右边＝2(u z y
u y z )dx 2(u x z u z x )dy 2(u y x u x y )dz
2(u z dx y u y dxz u x dyz u z dyx u y dzx u x dz y ) 0
p u2 U 0 x 2 p u2 U 0 y 2 p u2 U 0 z 2
将以上三式分别乘以dx，dy，dz，并相加得：
u U C 2
p
2
有势质量力只有重力作用，则上式有：
u gz C 2
p
2
(10)
无旋的恒定流动所得结果与沿流线所得结果相同，但常数C的
意义却是不相同的。
四、伯诺里方程各项的物理意义和几何意义
1、物理意义
伯诺里方程中的每一项均表示单位重力流体所具有的能量。 z 为单位重力流体的位能（重力势能）。
u 2 称为流速水头(速度水头) 2g
p z 叫做测压管水头， g p u2 z 叫做总水头。 g 2 g
总水头与测压管水头之差等
u2 于流速水头 。 2g
§4-3
实际流体运动微分方程式
实际流体的内应力
切应力分量之间的关系 以应力表示的运动微分方程 切应力和角速度的关系 法向应力和线变形的关系
则方程组(4)得：
p u2 p u2 p u2 U dx U dy U dz 0 x 2 y 2 z 2
即
p u2 d U 0 2
同理可得：
du y
u2 dt t y 2
u y
2u x z 2u z x
u2 du z u z dt t z 2
2u y x 2u x y
将上式代入欧拉运动微分方程后，移项得：
p u2 p u2 p u2 U dx U dy U dz 0 x 2 y 2 z 2
即
p u d U 0 2
2
积分后得：
A
B x dx E
xz dx xz x 2
(－z方向)
BD面
法向应力 (y方向)
p yy dy p yy y 2
切向应力
yx
yx dy y 2
(－x方向)
z
yz dy y 2
yz
yz dy y 2
p yy dy y 2
(－z方向)
u2 U 1 p x x x 2
即
2(u z y u y z )
p u2 U 2(u z y u y z ) x 2 p u2 U 2(u x z u z x ) y 2 2 p u U 2(u y x u x y ) z 2
实际流体的运动微分方程式
一、实际流体的内应力
实际流体运动时，表面力不仅有法向应力，还有切向应力。 任意一点取垂直于 y 轴的平面，作用在此平面上的表面力： 法向应力－pyy（负号表示压力方向与 y 轴方向相反）； 切应力τyx 、τyz 。（第一个角标表示应力所在的面与哪个坐
标轴垂直，第二个角标表示应力方向） 。
p g
为单位重力流体的压能。
p 是单位重力流体的势能，即重力势能与压强势能之和。 g
z
u2 2g
为单位重力流体的动能。
p u2 z g 2 g 称为单位重力流体的机械能。
2、几何意义
理想流体伯诺里方程的各项表示某种高度，具有长度的量纲。
z是微小流束过流断面上某点的位置高度(相对于某基准面O-O) ，称为位置水头。 p g 称为测压管高度。
方程中的常数 C 对不同的流线有不同的数值。
2
(8)
u2 gz C 2 p
(7)
p u2 z C g 2 g
式可写成
2 p1 u12 p2 u 2 z1 z2 g 2 g g 2 g
(8)
对于同一流线或同一微小流束上任意两点（1点和2点），则上
(9)
z
pzz pzz dz z 2
zx
C
zx dz z 2
zy dz zy z 2 D
yx dy B yx y z
A
xy dx dz xy x 2
pxx pxx
y
dx p yy dy E p yy yz dy y 2 yz y 2
积分得：
u2 U C 2 p
(5)
如果有势质量力只有重力作用，则X＝0，Y＝0，Z＝－g，则
U U U dU dx dy dz x y z dU gdz
U gz C1
将式（6）代入式（5）得
(6)
u gz C 2
或
p
2
(7)
p u z C g 2 g
伯诺里方程各项的物理意义和几何意义
§4－2
欧拉运动微分方程的积分
一、兰伯－葛罗米柯型运动微分方程
欧拉运动微分方程 (2) 第一式的右边有：
du x u x u x u x u x ux uy uz dt t x y z
2 u x 1 u x u x u x uy uz t 2 x y z

dux u x 1 u u u u x u x uy uz dt t 2 x y z
2 2 y 2 z


u x u 2 t x 2
u y u x u x u z uy uz uy uz x x y z
任一点三个相互垂直的作用面上共有九个应力分量。 z
p xx yx zx
xy
p yy
zy
p zz
xz yz
y
τyx
o τyz
x
pyy
二、切应力分量之间的关系
取一微团六面体，边长分别为dx、dy、dz，微小六面体的中 心 点 为 A ， A 的 坐 标 (x, y, z) ， 应 力 为 p(pxx, pyy, pzz) 、 τ(τxy,τxz,τyx,τyz,τzx,τzy)。
第四章
流体动力学
1、理想流体运动微分方程 2、欧拉运动微分方程的积分 3、实际流体的运动微分方程式 4、实际流体微小流束的伯诺里方程 5、实际流体总流的伯诺里方程 6、恒定总流的动量方程 7、恒定平面势流
§4－1 理想流体运动微分方程
在给定某一时刻，从流场中取一微小的平行六面体，并使六面 体各边各与一坐标轴平行。六面体各边长度分别为dx、dy和dz。这 六面体的中心点a的坐标为（x、y、z），压力为p。 在x轴方向 (1)质量力：质量力在x坐标轴上的投影为：
u x u 2 1 p X 2(u z y u y z ) x t x 2 u y u 2 1 p Y 2(u x z u z x ) y t y 2 2 1 p u z u Z 2(u y x u x y ) z t z 2
u x u 2 t x 2
u y u x u x u z uy x y u z z x
dux u x u 2 2u z y 2u y z 2 dt t x
（2）
对于不可压缩和可压缩流体，欧拉运动微分方程均适用。
在不可压缩流体中，ρ= 常数，未知量为ux、uy、uz和p共四个， 要解这个方程必须借助于连续性方程。
§4－2 欧拉运动微分方程的积分
兰伯－葛罗米柯型运动微分方程
理想流体沿流线的伯诺里方程式 （伯诺里积分） 理想流体无旋流动的伯诺里方程式 （欧拉积分）
将上式除以ρຫໍສະໝຸດ Baiduxdydz，并整理得
同理
1 p dux X x dt 1 p du y Y y dt 1 p duz Z z dt
(1)
式（1）的等号右侧展开，于是欧拉微分方程可写成：
u y u x 1 p u x u z X ux uy uz x t x y z u y u y 1 p u y u z Y ux uy uz y t x y z 1 p u z u z u z u z Z ux uy uz z t x y z u x u y u z 对于恒定流动， 0 t t t