平行线的性质(基础)知识讲解

平行线的性质（基础）知识讲解

【学习目标】

1. 掌握平行线的性质公理、定理，并能依据平行线的性质公理、定理进行简单的推解；

2. 了解并掌握平行线的性质定理的探究过程；

3. 了解平行线的判定与性质的区别和联系.

【要点梳理】

要点一、平行线的公理、定理

公理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同位角相等.（简记为：两直线平行，同位角相等）.

定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）.

定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁内角互补).

要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．

(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．

要点二、平行线的性质定理的探究过程

1.两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）.

3

21

c

b

a

因为a∥b,

所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等），

又∠3=∠1 (对顶角相等)

所以∠2=∠3.

2.两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁内角互补).

因为a∥b,

所以∠3=∠2（两直线平行，内错角相等），

又∠3+∠1=180°（补角的定义），

所以∠2+∠1=180°.

要点诠释：平行线性质定理的证明，要借助平行线线性质公理，因为公理是人们在生产和生活中总结出来的正确的结论，不需要证明，但是定理、性质或推论到的证明其正确性. 要点三、平行线的性质与判定

（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．

（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．

（3）平行线的判定与性质的联系与区别

区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．

联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．

（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．

【典型例题】

类型一、平行线的性质公理、定理的应用

1．如图所示，如果AB∥DF，DE∥BC，且∠1＝65°．那么你能说出∠2、∠3、∠4的度数吗?为什么．

【思路点拨】本题已知条件中，包含了两个层次：第一层次是由DE∥BC，可得∠1＝∠4，∠1+∠2＝180°；第二层次是由DF∥AB，可得∠3＝∠2或∠3+∠4＝180°，从而解出∠2、∠3、∠4的度数．

【答案与解析】

解：∵ DE∥BC，

∴∠4＝∠1＝65°(两直线平行，内错角相等)．

∠2+∠1＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．

∴∠2＝180°-∠1＝180°-65°＝115°．

又∵ DF∥AB(已知)，

∴∠3＝∠2(两直线平行，同位角相等)．

∴∠3＝115°(等量代换)．

【总结升华】平行线的性质：由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系．

举一反三：

【变式】（2015•永州）如图，∠1=∠2，∠A=60°，则∠ADC=度．

【答案】解：∵∠1=∠2，∴AB∥CD，

∴∠A+∠ADC=180°，

∵∠A=60°，

∴∠ADC=120°．故答案为：120°

2. 如图，一条铁路修到一个村子边时，需拐弯绕道而过，

如果第一次拐的角∠A是105度，第二次拐的角∠B是135度，

第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路

平行，那么∠C应为多少度？

【思路点拨】过点B作直线BE∥CD，用“两直线平行内错角相等”和“两直线平行同旁内角互补”解答．

【答案与解析】

解：过点B作直线BE∥CD．

∵CD∥AF，

∴BE∥CD∥AF．

∴∠A=∠ABE=105°．

∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°．

又∵BF∥CD，

∴∠CBE+∠C=180°．

∴∠C=150°．

【总结升华】此题是一道生活实际问题，根据题目信息，转化为关于平行线性质的数学问题．

3. 已知，如图，AB∥CD，BE∥FD．

求证：∠B+∠D=180°

【思路点拨】根据平行线的性质可得∠B=∠1，∠1+∠D=180°，等量代换即可证明∠B+∠D=180°．

【答案与解析】

证明：∵AB∥CD（已知），

∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）．

∵BE∥FD（已知），

∴∠1+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）．

∴∠B+∠D=180°（等量代换）．

【总结升华】此题主要考查平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．

举一反三

【变式】如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，若∠1=25°，求∠2的度数．

【答案】

解：∵CE平分∠ACD，∠1=25°，

∴∠ECD=∠1=25°，

∵AB∥CD，

∴∠ECD+∠2=180°，

∴∠2=180°-∠ECD=155°．

4.（2016春•秦皇岛期末）如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明．（适当添加辅助线，其实并不难）

【思路点拨】关键过转折点作出平行线，根据两直线平行，内错角相等，或结合三角形的外角性质求证即可．

【答案与解析】如图：

（1）∠APC=∠PAB+∠PCD；