2008 陈丹琦 基于连通性状态压缩的动态规划问题_Cdq
第6章动态规划
第6章 动态规划动态规划（Dynamic Programming ）是解决多阶段决策过程最优化的一种有用的数学方法。
它是由美国学者Richard .Bellman 在1951年提出的，1957年他的专著《动态规划》一书问世，标志着运筹学的一个重要分支－动态规划的诞生.动态规划也是一种将多变量问题转化为单变量问题的一种方法。
在动态规划中，把困难的多阶段决策问题变换成一系列相互联系的比较容易的单阶段问题一个个地求解。
动态规划是考察解决问题的一种途径 ,而不是一种特殊的算法，不像线性规划那样有统一的数学模型和算法（如单纯形法）.事实上，在运用其解决问题的过程中还需要运用其它的优化算法。
因此，动态规划不像其它方法局限于解决某一类问题,它可以解决各类多阶段决策问题。
动态规划在工程技术、经济管理等社会各个领域都有着广泛的应用，并且获得了显著的效果。
在经济管理方面,动态规划可以用来解决最优路径问题、资源分配问题、生产调度问题、库存管理问题、排序问题、设备更新问题以及生产过程最优控制问题等，是经济管理中一种重要的决策技术。
许多规划问题用动态规划的方法来处理,常比线性规划或非线性规划更有效。
特别是对于离散的问题，由于解析数学无法发挥作用，动态规划便成为了一种非常有用的工具。
动态规划可以按照决策过程的演变是否确定分为确定性动态规划和随机性动态规划；也可以按照决策变量的取值是否连续分为连续性动态规划和离散性动态规划。
本教材主要介绍动态规划的基本概念、理论和方法,并通过典型的案例说明这些理论和方法的应用。
6.1动态规划的基本理论6.1.1多阶段决策过程的数学描述有这样一类活动过程,其整个过程可分为若干相互联系的阶段，每一阶段都要作出相应的决策,以使整个过程达到最佳的活动效果。
任何一个阶段(stage ，即决策点)都是由输入(input ）、决策（decision ）、状态转移律（transformation function )和输出(output )构成的，如图6-1（a ）所示.其中输入和输出也称为状态(state ）,输入称为输入状态，输出称为输出状态。
程蓓-动态规划
动态规划Dynamic ProgrammingChapter 1 基本概念、性质 §1.1 动态规划简介● 对于一个多阶段策略问题，各个阶段所采取的策略一般来说是与时间有关的，决策依赖于当前的状态，又随即引起状态的转移，一个决策序列就是在变化中产生的，故有“动态”的含义。
● 但是一些与时间没有关系的静态规划（如线性规划、非线性规划等）问题，只要人为的引进充当“时间”的因素，也可以将其视为多阶段决策问题，用动态规划的方法来处理。
● 动态规划大约产生于上世纪50年代，由美国数学家R.Bellman 等人提出。
● 动态规划作为求解某类问题的一种方法，是考察问题的一种途径，而不是一种特殊的算法。
● 动态规划模型的分类，根据多阶段决策过程的时间参量是离散的还是连续的变量，过程分为离散决策过程和连续决策过程。
根据决策过程的演变是确定性的还是随机性的，过程又可以分为确定性决策过程和随机性决策过程，组合起来就有离散确定性、离散随机性、连续确定性、连续随机性四种决策过程模型。
§1.2引例例1.1 最短路径问题图1.1表示从起点A 到终点E 之间各点的距离。
求A 到E 的最短路径。
决策● 用穷举法如果从A 到C 的站点有k 个，则总共有3k-1×2条路径。
用穷举法求最短路径总共要进行(k+1)3k-1×2次加法，3k-1×2-1次比较。
当k 的值增加时，需要进行的加法和比较的次数将迅速增加。
例如当k=10时，加法次数为433026次，比较39365次。
● 将以上求从A 到E 的最短路径问题，转化为三个性质完全相同，但规模较小的子问题，即分别从B 1、B 2、B 3到E 的最短路径问题。
最终结果示意图： 以上过程，仅用了18次加法，11次比较，计算效率远高于穷举法。
图1.1图1.2§1.3 动态规划的基本概念、性质最短路径问题●动态规划问题具有以下基本特征：1、问题具有多阶段决策的特征。
状压DP（超详细！！！）
状压DP（超详细）⼀、定义总述状态压缩动态规划，就是我们俗称的状压DP，是利⽤计算机⼆进制的性质来描述状态的⼀种DP⽅式。
很多棋盘问题都运⽤到了状压，同时，状压也很经常和BFS及DP连⽤。
状压dp其实就是将状态压缩成2进制来保存其特征就是看起来有点像搜索，每个格⼦的状态只有1或0 ，是另⼀类⾮常典型的动态规划举个例⼦：有⼀个⼤⼩为n*n的农⽥，我们可以在任意处种⽥，现在来描述⼀下某⼀⾏的某种状态：设n = 9；有⼆进制数 100011011（九位），每⼀位表⽰该农⽥是否被占⽤，1表⽰⽤了，0表⽰没⽤，这样⼀种状态就被我们表⽰出来了：见下表所以我们最多只需要 2^（n + 1） - 1的⼗进制数就好（⼆进制形式是n个1）现在我们有了表⽰状态的⽅法，但⼼⾥也会有些不安:上⾯⽤⼗进制表⽰⼆进制的数，枚举了全部的状态，DP起来复杂度岂不是很⼤？没错，状压其实是⼀种很暴⼒的算法，因为他需要遍历每个状态，所以将会出现2^n的情况数量，不过这并不代表这种⽅法不适⽤：⼀些题⽬可以依照题意，排除不合法的⽅案，使⼀⾏的总⽅案数⼤⼤减少从⽽减少枚举为了更好的理解状压dp，⾸先介绍位运算相关的知识。
1. ’&’符号，x&y，会将两个⼗进制数在⼆进制下进⾏与运算(都1为1，其余为0）然后返回其⼗进制下的值。
例如3(11)&2(10)=2(10)。
2. ’|’符号，x|y，会将两个⼗进制数在⼆进制下进⾏或运算（都0为0，其余为1）然后返回其⼗进制下的值。
例如3(11)|2(10)=3(11)。
3. ’^’符号，x^y，会将两个⼗进制数在⼆进制下进⾏异或运算（不同为1，其余为0）然后返回其⼗进制下的值。
例如3(11)^2(10)=1(01)。
4. ’~’符号，~x，按位取反。
例如~101=010。
5. ’<<’符号，左移操作，x<<2，将x在⼆进制下的每⼀位向左移动两位，最右边⽤0填充，x<<2相当于让x乘以4。
动态规划习题精讲
信息学竞赛中的动态规划专题哈尔滨工业大学周谷越【关键字】动态规划动机状态典型题目辅助方法优化方法【摘要】本文针对信息学竞赛（面向中学生的Noi以及面向大学生的ACM/ICPC）中的动态规划算法，从动机入手，讨论了动态规划的基本思想和常见应用方法。
通过一些常见的经典题目来归纳动态规划的一般作法并从理论上加以分析和说明。
并介绍了一些解决动态规划问题时的一些辅助技巧和优化方法。
纵观全文可知，动态规划的关键在于把握本质思想的基础上灵活运用。
【目录】1.动态规划的动机和基本思想1.1.解决重复子问题1.2.解决复杂贪心问题2.动态规划状态的划分方法2.1.一维状态划分2.2.二维状态划分2.3.树型状态划分3.动态规划的辅助与优化方法3.1.常见辅助方法3.2.常见优化方法4.近年来Noi动态规划题目分析4.1 Noi2005瑰丽华尔兹4.2 Noi2005聪聪与可可4.3 Noi2006网络收费4.4 Noi2006千年虫附录参考书籍与相关材料1.动态规划的动机和基本思想首先声明，这里所说的动态规划的动机是从竞赛角度出发的动机。
1.1 解决重复子问题对于很多问题，我们利用分治的思想，可以把大问题分解成若干小问题，然后再把各个小问题的答案组合起来，得到大问题的解答。
这类问题的共同点是小问题和大问题的本质相同。
很多分治法可以解决的问题（如quick_sort，hanoi_tower等）都是把大问题化成2个以内的不相重复的小问题，解决的问题数量即为∑(log2n / k)。
而考虑下面这个问题：USACO 1.4.3 Number Triangleshttp://122.139.62.222/problem.php?id=1417【题目描述】考虑在下面被显示的数字金字塔。
写一个程序来计算从最高点开始在底部任意处结束的路径经过数字的和的最大。
每一步可以走到左下方的点也可以到达右下方的点。
73 88 1 02 7 4 44 5 2 6 1在上面的样例中，从7到3到8到7到5的路径产生了最大和：30。
动态规划简单讲解
动态规划简单讲解动态规划的特点及其应用安徽张辰【关键词】动态规划阶段【摘要】动态规划是信息学竞赛中的常见算法，本文的主要内容就是分析它的特点。
文章的第一部分首先探究了动态规划的本质，因为动态规划的特点是由它的本质所决定的。
第二部分从动态规划的设计和实现这两个角度分析了动态规划的多样性、模式性、技巧性这三个特点。
第三部分将动态规划和递推、搜索、网络流这三个相关算法作了比较，从中探寻动态规划的一些更深层次的特点。
文章在分析动态规划的特点的同时，还根据这些特点分析了我们在解题中应该怎样利用这些特点，怎样运用动态规划。
这对我们的解题实践有一定的指导意义。
【正文】动态规划是编程解题的一种重要的手段，在如今的信息学竞赛中被应用得越来越普遍。
最近几年的信息学竞赛，不分大小，几乎每次都要考察到这方面的内容。
因此，如何更深入地了解动态规划，从而更为有效地运用这个解题的有力武器，是一个值得深入研究的问题。
要掌握动态规划的应用技巧，就要了解它的各方面的特点。
首要的，是要深入洞悉动态规划的本质。
§1动态规划的本质动态规划是在本世纪50年代初，为了解决一类多阶段决策问题而诞生的。
那么，什么样的问题被称作多阶段决策问题呢？§1.1多阶段决策问题说到多阶段决策问题，人们很容易举出下面这个例子。
[例1] 多段图中的最短路径问题：在下图中找出从A1到D1的最短路径。
仔细观察这个图不难发现，它有一个特点。
我们将图中的点分为四类（图中的A、B、C、D），那么图中所有的边都处于相邻的两类点之间，并且都从前一类点指向后一类点。
这样，图中的边就被分成了三类（AàB、BàC、CàD）。
我们需要从每一类中选出一条边来，组成从A1到D1的一条路径，并且这条路径是所有这样的路径中的最短者。
从上面的这个例子中，我们可以大概地了解到什么是多阶段决策问题。
更精确的定义如下：多阶段决策过程，是指这样的一类特殊的活动过程，问题可以按时间顺序分解成若干相互联系的阶段，在每一个阶段都要做出决策，全部过程的决策是一个决策序列[1]。
算法合集之《动态规划的深入讨论》
算法合集之《动态规划的深⼊讨论》动态规划的深⼊讨论东北育才学校李刚【关键字】动态规划、状态【摘要】本⽂讨论了⼀种解决问题⼗分有效的技术——“动态规划”。
它较⾼的解题效率⼀直受到很⼤的关注。
本⽂⾸先对“动态规划”的理论基础进⾏了讨论。
给出了⼀个⽤“动态规划”可以解决的问题的两个先决条件：“最优⼦结构”与“⽆后效性”。
接着，讨论了在实际应⽤中的两个⽐较常见的问题：“动态规划”中状态的选定与存储。
再通过以上问题的讨论，引出了“动态规划”的基本思维⽅法：“不做已经做过．．．．的⼯作”以及“动态规划”技术在解决问题中速度惊⼈的原因——“解决了查看中的冗余，达到了速度的极限”。
最后，阐述了解决“动态规划”问题的⼀般步骤，即“思考，计划，应⽤”【正⽂】⼀．引论在信息学竞赛中，特别是最近⼏年，“动态规划”作为⼀种解题⼯具，经常被提及。
其应⽤范围愈来愈⼴，应⽤程度也愈来愈深。
那么，“动态规划”究竟与其它的算法有什么差别？它有什么具体的应⽤价值呢？本⽂将对此进⾏讨论。
我们先通过⼀个具体问题认识⼀下“动态规划”。
〖例1〗：图1中给出了⼀个地图，地图中每个顶点代表⼀个城市，两个城市间的连线代表道路，连线上的数值代表道路的长度。
现在，我们想从城市A到达城市E，怎样⾛路程最短，最短路程的长度是多少？假设：Dis[X]为城市X到E的最短路线的长度；（X表⽰任意⼀个城市） Map[I,J]表⽰I，J两个城市间的距离，若Map[I，J]=0，则两个城市不连通。
这个问题我们可以⽤搜索法来做，程序很容易写出来：VarSe:未访问的城市集合；Function Long(Who:当前访问城市):Integer; ：求当前访问城市与城市E的最短距离。
BeginIf Who=E Then Search:=0ElseBeginMin:=Maxint;For I取遍所有城市 DoIf （Map[Who,I]>0） And (I In Se) ThenBeginSe:=Se-[I];J:=Map[Who,I]+Long(I);Se:=Se+[I];If JEnd;Long:=Min;End;End;BeginSe:=除A外所有城市的集合；Dis[A]:=Long(A);End.这个程序的效率如何呢？我们可以看到，每次除了已经访问过的城市外，其他城市都要访问，所以时间复杂度为)!(NO，这是⼀个“指数级”的算法，那么，还有没有更好的算法呢？⾸先，我们来观察⼀下这个算法。
信息学竞赛中的博弈论与动态规划
信息学竞赛中的博弈论与动态规划在信息学竞赛中，博弈论和动态规划是两个重要的算法思想。
博弈论主要用于解决多个参与者之间相互影响的问题，而动态规划则用于解决最优化问题。
本文将探讨在信息学竞赛中，如何应用博弈论和动态规划来解决问题。
博弈论是一种研究决策制胜的数学理论，运用博弈论可以找到对抗对手的最佳策略。
在信息学竞赛中，有许多题目可以用博弈论的思想来解决。
例如，有两个选手同时做出决策，每个选手都希望自己的决策能够使自己的得分最大化。
这时候我们可以用博弈论的思想来求解最优策略。
动态规划是一种解决最优化问题的数学方法。
在信息学竞赛中，动态规划常用于求解最优路径、最长子序列等问题。
通过将问题划分为子问题，并利用子问题的最优解来求解原问题的最优解，可以大大提高算法的效率。
接下来，我们将通过一个具体的例子来介绍博弈论和动态规划在信息学竞赛中的应用。
假设有两个选手参加一个游戏，游戏规则如下：每个选手轮流抽取一个数，抽取的数可以是1、2或3，抽取的数可以累加到总分中。
最后，总分大于等于100的选手获胜。
我们需要找到一个最优的策略来决定每次抽取多少个数。
首先，我们使用动态规划的思想来解决这个问题。
我们定义一个dp 数组，dp[i]表示当总分为i时，当前选手是否能够获胜。
我们可以分析得出以下递推关系：dp[i] = !dp[i-1] || !dp[i-2] || !dp[i-3]，其中||表示逻辑或运算。
根据这个递推关系，我们可以使用动态规划求解出dp数组的值。
然后，我们使用博弈论的思想来解决这个问题。
我们假设当前选手决策时，对手也会采取最优策略。
那么我们可以通过递归的方式来找到当前选手的最优策略。
具体来说，当前选手可以选择抽取1、2或3个数，那么对手会根据当前选手选择的数来改变总分。
我们可以通过递归调用来模拟每个选手的选择，并找到最优的策略。
通过以上两种方法，我们可以得到相同的结果，找到当前选手的最优策略。
这个例子展示了博弈论和动态规划在信息学竞赛中的应用。
Pascal动态规划-复习2
● （5）第三次计算结点为B1，B2，B3，而决 策输出结点可能为C1，C2，C3。仿前计算可 得Bl，B2，B3的决策路径为如下情况。 ● Bl:B1C1费用 12+8=20， 路径:B1+C1+D1+E B2:B2C1费用 6+8=14， 路径:B2+C1+D1+E B3:B2C2费用 12+7=19，路径:B3+C2+D2+E ● 此时也无法定下第一，二，三阶段的城市哪 三个将在整体的最优决策路径上。 ● （6）第四次计算结点为A，决策输出结点可 能为B1，B2，B3。同理可得决策路径为 ● A：AB2，费用5+14=19，路径 A+B2+C1+D1+E。 ● 此时才正式确定每个子问题的结点中，哪一 个结点将在最优费用的路径上。19将是最短 路径的结果 ● 显然这种计算方法，符合最优原理。 ● 子问题的决策中，只对同一城市（结点）比 较优劣。而同一阶段的城市（结点）的优劣 要由下一个阶段去决定。
数塔
● 如下图所示的数塔，从顶部出发，在每一结点可以选择向左下走或是 向右下走，一直走到底层，要求找出一条路径，使路径上的数的和最 大。数塔层数用n表示，1<=n<=100。 ● 【分析】对于这一问题，很容易想到用枚举的方法（深度搜索法）去 解决，即列举出所有路径并记录每一条路径所经过的数字总和。然后 寻找最大的数字总和，这一想法很直观，很容易编程实现。 ● 但是当行数很大时，当三角形的行数等于100时，其枚举量之大是可 想而知的，用枚举法肯定超时，甚至根本不能得到计算结果，必须用 动态规划法来解。
动态规划适合解决什么样的问题
● 准确地说，动态规划不是万能的，它只适于解决一定条件的最优策略 问题。 ● (1)状态必须满足最优化原理； (2)状态必须满足无后效性 ● 1、动态规划的最优化原理是指无论过去的状态和决策如何，对前面 的决策所形成的当前状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。 ● 可以通俗地理解为子问题的局部最优将导致整个问题的全局最优在上 例最短路径问题中，A到E的最优路径上的任一点到终点E的路径也必 然是该点到终点E的一条最优路径，满足最优化原理。 ● 动态规划的无后效性原则指某阶段的状态一旦确定，则此后过程的演 变不再受此前各状态及决策的影响。也就是说，“未来与过去无关”， 当前的状态是此前历史的一个完整总结，此前的历史只能通过当前的 状态去影响过程未来的演变。具体地说，如果一个问题被划分各个阶 段之后，阶段 I 中的状态只能由阶段 I+1 中的状态通过状态转移方程 得来，与其他状态没有关系，特别是与未发生的状态没有关系，这就 是无后效性。
2动态规划(Dynamic Programming)
2 多阶段决策问题
• 在实际中，存在这样一类决策问题，其决策过程 可以按时间或空间分解成若干个相互联系的阶段， 在每个阶段都要做出决策，全部过程的决策组成 一个决策序列（策略）。这样的过程称为多阶段 决策过程或序贯决策过程。 • 令n表示决策阶段数，si, i =1,2,…,n表示第i阶段的 状态变量，xi表示第i阶段决策，vi(si, xi)表示效益， 则n阶段决策过程可用图表示。
3 基本概念
• 一个多阶段决策过程是由若干个相互联系的按时 间或空间顺序排列的阶段构成。图2.2中的i为阶段 变量，阶段数n可有限，亦可无限。 • 状态是每个阶段的起始自然状况或客观情况，由 过程本身确定，反映过程的具体特征，而且能描 述过程的演变。 • 描述各阶段状态的变量称为状态变量，如图中的si， 状态变量取值的全体称为状态集合或状态空间。 状态变量可以是离散的，也可以是连续的。它既 要能描述过程的演变特征，又要满足无后效性 （马尔科夫性）。
6 动态规划的设计步骤
• 动态规划的设计一般要经历以下几步： • （1）考察问题能否用动态规划求解。主要考察问题是否 满足最优性原理（最优子结构）和无后效性。这里需要一 些技巧和艺术。 • （2）划分阶段：按照问题的时间或空间特征，把问题分 为若干个阶段。注意这若干个阶段一定要是有序的或者是 可排序的，否则问题就无法求解。 • （3）选择状态：将问题发展到各个阶段时所处于的各种 客观情况用不同的状态表示出来。当然，状态的选择要满 足无后效性。 • （4）推导出状态转移方程。 • （5）确定动态规划迭代公式和迭代初始条件。
1 概述
• 解决最优化问题经典的理论是微分学和变 分法，但其对函数的解析性要求较高，且 不能处理离散问题。 • 而动态规划方法几乎能求任何集的全部极 值，适用面很宽，常用来解决特定类型的 最优问题，如组合优化问题。 • 动态规划是一种以空间换时间的技术，改 善了蛮力搜索算法的时间复杂性，从而解 决一些NP难问题。
动态规划习题精讲
信息学竞赛中的动态规划专题哈尔滨工业大学周谷越【关键字】动态规划动机状态典型题目辅助方法优化方法【摘要】本文针对信息学竞赛（面向中学生的Noi以及面向大学生的ACM/ICPC）中的动态规划算法，从动机入手，讨论了动态规划的基本思想和常见应用方法。
通过一些常见的经典题目来归纳动态规划的一般作法并从理论上加以分析和说明。
并介绍了一些解决动态规划问题时的一些辅助技巧和优化方法。
纵观全文可知，动态规划的关键在于把握本质思想的基础上灵活运用。
【目录】1.动态规划的动机和基本思想1.1.解决重复子问题1.2.解决复杂贪心问题2.动态规划状态的划分方法2.1.一维状态划分2.2.二维状态划分2.3.树型状态划分3.动态规划的辅助与优化方法3.1.常见辅助方法3.2.常见优化方法4.近年来Noi动态规划题目分析4.1 Noi2005瑰丽华尔兹4.2 Noi2005聪聪与可可4.3 Noi2006网络收费4.4 Noi2006千年虫附录参考书籍与相关材料1.动态规划的动机和基本思想首先声明，这里所说的动态规划的动机是从竞赛角度出发的动机。
1.1 解决重复子问题对于很多问题，我们利用分治的思想，可以把大问题分解成若干小问题，然后再把各个小问题的答案组合起来，得到大问题的解答。
这类问题的共同点是小问题和大问题的本质相同。
很多分治法可以解决的问题（如quick_sort，hanoi_tower等）都是把大问题化成2个以内的不相重复的小问题，解决的问题数量即为∑(log2n / k)。
而考虑下面这个问题：USACO 1.4.3 Number Triangleshttp://122.139.62.222/problem.php?id=1417【题目描述】考虑在下面被显示的数字金字塔。
写一个程序来计算从最高点开始在底部任意处结束的路径经过数字的和的最大。
每一步可以走到左下方的点也可以到达右下方的点。
73 88 1 02 7 4 44 5 2 6 1在上面的样例中，从7到3到8到7到5的路径产生了最大和：30。