黑龙江省哈尔滨市六校2017-2018学年高二下学期期末联合考试数学(理)试题
2017-2018学年黑龙江省哈尔滨六中高二(上)期末数学试卷(理科)
2017-2018学年黑龙江省哈尔滨六中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．（5分）下列选项叙述错误的是（）A．命题“若x≠l，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”B．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题C．若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则¬p：∃x∈R，x2+x+1=0D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件2．（5分）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（）A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0.73．（5分）已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（）A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥m C．若l∥m，m⊂α，则l∥αD．若l⊥α，α⊥β，m⊂β，则l∥m4．（5分）有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（）A．B．C．D．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的值S=16，则输入自然数n的最小值应等于（）A．7 B．8 C．9 D．106．（5分）福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02…33的33个球组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下）第1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为（）A．23 B．20 C．04 D．177．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=18．（5分）为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（）A．＞，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B．＞，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C．＜，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D．＜，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛9．（5分）如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．11．（5分）三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2，平面PAB⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为（）A．4 B．3 C．4 D．312．（5分）F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，A是其右顶点，过F2作x轴的垂线与双曲线的一个交点为P，G是△PF1F2的重心，若•=0，则双曲线的离心率是（）A．2 B．C．3 D．二、填空题13．（3分）某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法从这70名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了8名，则在该校高一年级的学生中应抽取的人数为．14．（3分）双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则mn的值为．15．（3分）若双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是．16．（3分）△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，它所在平面外一点P到△ABC 三个顶点的距离是14，那么点P到平面ABC的距离是：．三、解答题17．某公司的管理者通过公司近年来科研费用支出x（百万元）与公司所获得利润y（百万元）的散点图发现，y与x之间具有线性相关关系，具体数据如表所示：（1）求y关于x的回归直线方程；（2）若该公司的科研投入从2011年开始连续10年每一年都比上一年增加10万元，预测2017年该公司可获得的利润约为多少万元？（注：线性回归直线方程系数公式==，=．）18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PC，AC，BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点．（1）证明：平面GEF∥平面PCB；（2）求直线PF与平面PAB所成角的正弦值．20．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线kl的极坐标方程为cosθ）=3．（1）求C的极坐标方程；（2）射线OM：θ=θ1（θ＜θ1）与圆C的交点为O，P，与直线Ll的交点为Q，求|OP|•|OQ|的范围．21．如图所示三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，AC⊥CD．（Ⅰ）若AA1=AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；（Ⅱ）若A1D与BB1所成角的余弦值为，求二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值．22．已知椭圆C的中心在原点，焦点F在x轴上，离心率，点在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若斜率为k（k≠0）的直线n交椭圆C与A、B两点，且k OA、k、k OB成等的最大值．差数列，点M（1，1），求S△ABM2017-2018学年黑龙江省哈尔滨六中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．（5分）下列选项叙述错误的是（）A．命题“若x≠l，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”B．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题C．若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则¬p：∃x∈R，x2+x+1=0D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件【分析】A“若p则q，“的逆否命题为“若﹣p则﹣q“．故A正确；B p∨q为真命题说明p和q中至少有一个为真；C是全称命题与存在性命题的转化；D从充要条件方面判断．【解答】解：A原命题为“若p则q，“，则它的逆否命题为“若﹣p则﹣q“．故正确；B当p，q中至少有一个为真命题时，则p∨q为真命题．故错误．C正确．D 由x2一3x+2＞0解得x＜1或x＞2显然x＞2⇒x＜1或x＞2但x＜1或x＞2不能得到x＞2故“x＞2”是“x2一3x+2＞0”的充分不必要条件，故正确．故选：B．【点评】本题主要考查了四种命题的关系、充要条件的转化、全称命题与存在性命题的相互转化．2．（5分）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（）A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0.7【分析】在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，根据互斥事件的概率公式得到摸出黑球的概率是1﹣0.42﹣0.28，得到结果．【解答】解：∵口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1﹣0.42﹣0.28=0.3，故选：C．【点评】本题考查互斥事件的概率，注意分清互斥事件与对立事件之间的关系，本题是一个简单的数字运算问题，只要细心做，这是一个一定会得分的题目．3．（5分）已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（）A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥m C．若l∥m，m⊂α，则l∥αD．若l⊥α，α⊥β，m⊂β，则l∥m【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则当m与n相交时，l⊥α，故A错误；若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥β，所以l⊥m，故B正确；若l∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α，故C错误；若l⊥α，α⊥β，m⊂β，则l与m相交、平行或异面，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．4．（5分）有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（）A．B．C．D．【分析】根据几何概型的概率公式，要使中奖率增加，则对应的面积最大即可．【解答】解：要使中奖率增加，则对应的面积最大即可，则根据几何概型的概率公式可得，A．概率P=，B．概率P=，C概率P=，D．概率P=，则概率最大的为，故选：A．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，比较基础．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的值S=16，则输入自然数n的最小值应等于（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到输出的值S=16，确定跳出循环的i 值，从而得判断框的条件i＜n中n的范围．【解答】解：由程序框图知：第一次循环S=1×2=2，i=2+2=4，k=1+1=2；第二次循环S=×2×4=4，i=4+2=6，k=2+1=3；第三次循环S=×4×6=8，i=6+2=8，k=3+1=4．第四次循环S=×8×8=16，i=8+2=10，k=4+1=5．∵输出的值S=16，∴跳出循环的i值为10，∴判断框的条件i＜n，其中8＜n≤10，∴自然数n的最小值为9．故选：C．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．6．（5分）福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02…33的33个球组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下）第1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为（）A．23 B．20 C．04 D．17【分析】根据随机数表依次进行选取即可．【解答】解：根据随机数的定义，1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字43开始，依次为17，23，20，17（重复），24，06，04，则第6个红色球的编号为，04，故选：C．【点评】本题主要考查简单随机抽样的应用，比较基础．7．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选：A．【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．8．（5分）为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（）A．＞，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B．＞，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C．＜，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D．＜，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛【分析】根据茎叶图所给的两组数据，做出甲和乙的平均数，把两个人的平均数进行比较，得到乙的平均数大于甲的平均数，得到结论．【解答】解：由茎叶图知，甲的平均数是=82，乙的平均数是=87∴乙的平均数大于甲的平均数，从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定，故选：D．【点评】本题考查两组数据的平均数和稳定程度，这是经常出现的一个问题，对于两组数据通常比较他们的平均水平和稳定程度，注意运算要细心．9．（5分）如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【分析】先取BC的中点D，连接D1F1，F1D，将BD1平移到F1D，则∠DF1A就是异面直线BD1与AF1所成角，在△DF1A中利用余弦定理求出此角即可．【解答】解：取BC的中点D，连接D1F1，F1D∴D1B∥DF1∴∠DF1A就是BD1与AF1所成角设BC=CA=CC1=2，则AD=，AF1=，DF1=在△DF1A中，cos∠DF1A=，故选：A．【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，从而求两个体积之和即可．【解答】解：这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，半个圆锥的体积为××π×1×=；四棱锥的体积为×2×2×=；故这个几何体的体积V=；故选：D．【点评】本题考查了学生的空间想象力与计算能力，属于基础题．11．（5分）三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2，平面PAB⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为（）A．4 B．3 C．4 D．3【分析】运用题意判断出三棱锥P﹣ABC的体积的最大值时，PN⊥AB，PN⊥平面ABC，再求体积的值．【解答】解：根据题意：半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2，△ABC为截面为大圆上三角形，设圆形为O，AB的中点为N，ON═=1∵平面PAB⊥平面ABC，∴三棱锥P﹣ABC的体积的最大值时，PN⊥AB，PN⊥平面ABC，PN==，∴三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为×（2）2×=3，故选：B．【点评】本题考查了几何体的体积计算，探索几何体的位置情况，属于中档题．12．（5分）F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，A是其右顶点，过F2作x轴的垂线与双曲线的一个交点为P，G是△PF1F2的重心，若•=0，则双曲线的离心率是（）A．2 B．C．3 D．【分析】求出F1，F2、A、G、P的坐标，由•=0，得GA⊥F1F2，故G、A 的横坐标相同，可得=a，从而求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意可得F1（﹣c，0），F2（c，0），A（a，0）．把x=c代入双曲线方程可得y=±，故一个交点为P（c，），由三角形的重心坐标公式可得G（，）．若•=0，则GA⊥F1F2，∴G、A 的横坐标相同，∴=a，∴=3，故选：C．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，角形的重心坐标公式，求出重心G的坐标是解题的关键．二、填空题13．（3分）某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法从这70名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了8名，则在该校高一年级的学生中应抽取的人数为6．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】解：∵高一年级有30名，高二年级有40名，∴高一年级的学生中应抽取的人数为x，则满足，即x=6．故答案为：6．【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．14．（3分）双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则mn的值为．【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点，进而可知双曲线的焦距，根据双曲线的离心率求得m，最后根据m+n=1求得n，则答案可得．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），则双曲线的焦距为2，而双曲线的离心率为2，则a=，则有解得m=，n=∴mn=故答案为：．【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．解题的关键是对圆锥曲线的基本性质能熟练掌握．15．（3分）若双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（1，2] ．【分析】双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个交点，可得圆心（0，2）到渐近线的距离≥半径r，解出即可．【解答】解：圆x2+（y﹣2）2=1的圆心（0，2），半径r=1．∵双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个交点，∴≥1，化为b2≤3．∴e2=1+b2≤4，∵e＞1，∴1＜e≤2，∴该双曲线的离心率的取值范围是（1，2]．故答案为：（1，2]．【点评】熟练掌握双曲线的渐近线方程、离心率的计算公式、圆的标准方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式是解题的关键．16．（3分）△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，它所在平面外一点P到△ABC 三个顶点的距离是14，那么点P到平面ABC的距离是：7．【分析】作出P到平面ABC的高，判断垂足是外心，然后解三角形ABC的外接圆半径，最后求得P到平面ABC的距离．【解答】解析：记P在平面ABC上的射影为O，∵PA=PB=PC∴OA=OB=OC，即O是△ABC的外心，只需求出OA（△ABC的外接圆的半径），记为R，在△ABC中由余弦定理知：BC=21，在由正弦定理知：2R==14，∴OA=7，得：PO=7．故答案为：7．【点评】本题考查棱锥的结构特征，考查正弦定理、余弦定理，是中档题．三、解答题17．某公司的管理者通过公司近年来科研费用支出x（百万元）与公司所获得利润y（百万元）的散点图发现，y与x之间具有线性相关关系，具体数据如表所示：（1）求y关于x的回归直线方程；（2）若该公司的科研投入从2011年开始连续10年每一年都比上一年增加10万元，预测2017年该公司可获得的利润约为多少万元？（注：线性回归直线方程系数公式==，=．）【分析】（1）根据表中数据，计算，，求出回归系数，写出回归直线方程；（2）由题知2017年时科研投入的x值，代入回归方程求出的值即可．【解答】解：（1）根据表中数据，计算可得=×（1.6+1.7+1.8+1.9+2.0）=1.8，=×（1+1.5+2+2.5+3）=2，又=16.3，x i y i=18.5；b==5；a=﹣b=2﹣5×1.8=﹣7，故所求的回归直线方程为=5x﹣7；（2）由题可知到2017年时科研投入为x=2.3（百万元），故可预测该公司所获得的利润为=5×2.3﹣7=4.5（百万元）；答：可预测2017年该公司获得的利润为450万元．【点评】本题考查了求回归直线方程以及应用回归方程预测实际问题．18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？【分析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，∴月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，∴抽取比例为=，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户．【点评】本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题．19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PC，AC，BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点．（1）证明：平面GEF∥平面PCB；（2）求直线PF与平面PAB所成角的正弦值．【分析】（1）根据中位线定理可得EF∥平面PBC，GF∥平面PBC，故而平面GEF ∥平面PCB；（2）建立坐标系，求出与平面PAB的法向量，计算与法向量的夹角即可得出结论．【解答】（1）证明：∵E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，∴EF∥BC，又BC⊂平面PBC，EF⊄平面PBC，∴EF∥平面PBC，同理可得：GF∥平面PBC，又EF⊂平面GEF，GF⊂平面GEF，GF∩EF=F，∴平面GEF∥平面PBC．（2）以C为坐标原点，以CA，CB，CP为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则P（0，0，1），A（2，0，0），B（0，1，0），F（1，0，0），∴=（2，0，﹣1），=（﹣2，1，0），=（1，0，﹣1），设平面PAB的法向量=（x，y，z），1，2，2），则，∴，令x=1可得=（1，2，2）．∴cos＜，＞===﹣．设PF与面PAB所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=．∴PF与面PAB所成角的正弦值为．【点评】本题考查了面面平行的判定，空间向量与空间角的计算，属于中档题．20．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线kl的极坐标方程为cosθ）=3．（1）求C的极坐标方程；（2）射线OM：θ=θ1（θ＜θ1）与圆C的交点为O，P，与直线Ll的交点为Q，求|OP|•|OQ|的范围．【分析】（1）直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）直接利用关系式求出结果．【解答】（1）圆C的参数方程为（φ参数），转化为圆C的普通方程是（x﹣1）2+y2=1，又x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以圆C的极坐标方程是：ρ=2cosθ．，θ1），则有，（2）设P（ρ设Q（ρ2，θ2），且直线l的方程是cosθ）=3．则有，所以|OP||OQ|=ρ1•ρ2==，由于：，则：tanθ1＞0，所以0＜|OP||OQ|＜6．【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，极径的应用．21．如图所示三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，AC⊥CD．（Ⅰ）若AA1=AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；（Ⅱ）若A1D与BB1所成角的余弦值为，求二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值．【分析】（Ⅰ）由AA1=AC，根据线面垂直的判定定理即可证明AC1⊥平面A1B1CD．（Ⅱ）建立以C为坐标原点，CD，CB，CC1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）若AA1=AC，则四边形ACC1A1为正方形，则AC1⊥A1C，∵AD=2CD，AC⊥CD，∴△ACD为直角三角形，则AC⊥CD，∵AA1⊥平面ABC，∴CD⊥平面ACC1A1，则CD⊥A1C，∵A1C∩CD=C，∴AC1⊥平面A1B1CD；解：（Ⅱ）∵AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，AC⊥CD．∴建立以C为坐标原点，CD，CB，CC1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，如图，设CD=1，则AD=2，AC=，∵A1D与BB1所成角的余弦值为，∴=，又，解得A1D=，∴AA1=，则C（0，0，0），D（1，0，0），A（0，，0），C1（0，0，），A1（0，，），=（1，﹣，﹣），=（0，﹣，﹣），=（0，﹣，0），设平面A1DC的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（0，﹣1，1），设平面A1DC1的法向量=（a，b，c），则，取a=，得=（，0，1），设二面角C﹣A1D﹣C1的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理论证能力、空间思维能力、运算求解能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．22．已知椭圆C的中心在原点，焦点F在x轴上，离心率，点在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若斜率为k（k≠0）的直线n交椭圆C与A、B两点，且k OA、k、k OB成等的最大值．差数列，点M（1，1），求S△ABM【分析】（1）设出椭圆方程，根据椭圆离心率，点在椭圆C 上，建立方程组，求解a2，b2，则椭圆的方程可求；（2）确定直线n的方程为y=kx，代入椭圆方程，借助于弦长公式求出|AB|的长度，由点到直线的距离公式求出M到直线y=kx的距离，写出三角形AOB的面积后转化为含有k的代数式，利用导数法求最值．【解答】解：（1）设椭圆方程为（a＞b＞0），则∵椭圆离心率，点在椭圆C上，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆方程为；（2）设直线n的方程为y=kx+m，A（x1，y1），（x2，y2），则∵k OA、k、k OB成等差数列，∴m（x1+x2）=0，∴m=0，∴直线n的方程为y=kx代入椭圆方程得（1+4k2）x2=4，∴|AB|=．∵M到y=kx的距离为d=∴S=•=∴S2=，∴（S2）′=，∴k，（S2）′＞0，﹣＜k＜1，（S2）′＜0，k＞1，（S2）′＞0，∴k=﹣时，S取得最大值．【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查弦长问题、最值问题．属难题．。
2017-2018学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二数学上期末考试(理)试题(含答案)
哈尔滨市第六中学2017-2018学年度上学期期末考试高二理科数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色的签字笔书写, 字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1.下列选项叙述错误的是（ ）A ． 若p q ∨为真命题，则p 、q 均为真命题B ．命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”C ．若命题:p x R ∀∈，210x x ++≠，则:p x R ⌝∃∈，210x x ++=D ．“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件2.已知口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，若摸出红球的概率是0.42，若摸出白球的概率是0. 28，则摸出黑球的概率是（ ） A ． 0.42 B ． 0.28 C ．0.3 D ． 0.73. 已知,,l m n 是三条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题为真命题的是 （ ） A ．若l m ⊥，l n ⊥，m α⊂，n α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，α∥β，m β⊂，则l m ⊥ C ．若l ∥m ，m α⊂，则l ∥α D ．若l α⊥，αβ⊥，m β⊂，则l ∥m4.有四个面积相等的游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖,若想增加中奖机会，则应选择的游戏盘是（ ）5. 执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为16，则输入的自然数n 的最小值等于（ ）A ． 7B ．8C ．9D ．106．福利彩票“双色球”中红色球由编号为01,02…33的33个球组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下）第1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为（ ）A ．23B ．20C ．06D ． 177 .已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为3，过2F 的直线l 交椭圆C 于A 、C 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为（ ）A ．22132x y += B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y +=8．为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是x 甲、x 乙，则下列说法正确的是（ ）A ．x x >甲乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B ．x x >甲乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C ． x x <甲乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D ．x x <甲乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛9.如图，111A B C ABC -是直三棱柱，BCA ∠为直角，点1D 、1F 分别是11A B 、11AC 的中点，若1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值是（ ） A． B．2 CD10．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）ABCD11．三棱锥ABC P -的四个顶点均在半径为2平面⊥PAB 平面ABC，则三棱锥ABC P -的体积的最大值为（A ． 4B ．C ． 3D ．12.双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点为21,F F ，A 是其右顶点，过2F 作x 轴的垂线与双曲线的一个交点为,P G 是21F PF ∆的重心，若021=⋅F F GA ，则双曲线的离心率是（ ） A ．2 B ．2C ．3D ． 3 二、填空题13．某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名.现用分层抽样的方法从这70名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了8名，则在该校高一年级的学生中应抽取的人数为_______________.俯视图14. 双曲线)0(122≠=-mn ny m x 的离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为________________.15.若双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是_____________.16. 已知ABC ∆中，=9AB ，=15AC ，120BAC ∠=，ABC ∆所在平面外一点P 到此三角形三个顶点的距离都是14，则点P 到平面ABC 的距离是_____________.三、解答题17.某公司的管理者通过公司近年来科研费用支出x （百万元）与公司所获得利润y （百万元）的散点图发现，y 与x 之间具有线性相关关系，具体数据如下表所示：（1）求y 关于x 的回归直线方程；（2）若该公司的科研投入从2011年开始连续10年每一年都比上一年增加10万元，预测2017年该公司可获得的利润约为多少万元？（注：线性回归直线方程系数公式^1122211()()()n niii ii i nni i i i x x y y x y nx yb x x x nx====---⋅==--∑∑∑∑，^^a yb x =-.）18.某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[)160,180,[)180,200,[)200,220,[)220,240,[)240,260,[)260,280,[]280,300分组的频率分布直方图如下图: (1)求直方图中的x 的值；(2)估计月平均用电量的众数和中位数；(3)从月平均用电量在[)220,240,[)240,260,[)260,280,[]280,300内的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,求从月平均用电量在[)220,240内的用户中应抽取多少户?19. 如图，三棱锥P ABC -中， ,,PC AC BC 两两垂直，1,BC PC ==， 2AC =，,,E F G分别是,,AB AC AP 的中点.（1）证明：平面//GEF 平面PCB ； （2）求直线PF 与平面PAB 所成角的正弦值.20．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1 x cos y sin ϕϕ=+=⎧⎨⎩（ϕ参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()sin 3ρθθ+=. （1）求C 的极坐标方程； （2）射线11:2OM πθθθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ， 求OP OQ ⋅的范围.21.如图所示三棱柱111C B A ABC -中，⊥1AA 平面ABC ，四边形ABCD 为平行四边形，CD AD 2=，CD AC ⊥.（Ⅰ）若AC AA =1,求证：⊥1AC 平面CD B A 11； （Ⅱ）若D A 1与1BB 所成角的余弦值为721，求二面角11C D A C --的余弦值.22.已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 在x 轴上，离心率e =Q 在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若斜率为k (0)k ≠的直线n 交椭圆C 于A 、B 两点，且OA k 、k 、OB k 成等差数列，点(1,1)M ，求ABM S ∆的最大值.答案13. 6 14. 15. 16. 717. (1)经计算可得,,,,,故所求的回归直线的方程为(2)由题可知道2017年时科研投入为2.3百万元,故可预测该公司所获得的利润约为(百万元)答: 可预测该公司所获得的利润约为450万元.18．(1)由直方图的性质可得,得(2) 众数的估计值是,设中位数为由得(3)月平均用电量为的用户有(户),月平均用电量为的用户有(户),月平均用电量为的用户有(户),月平均用电量为的用户有(户),抽取比例为,所以从月平均用电量在内的用户中应抽取(户).19. (1)分别是的中点, 又平面,平面,所以平面,平面,,即平面平面.(2) 以为坐标原点，分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系,,,,,则面的法向量，设与面所成角为,则与面所成角的正弦值为.20．（1）圆的普通方程是，又，所以圆的极坐标方程是.（2）设，则有，设，且直线的方程是，则有所以因为，所以.21.（1）略（2）设为与所成的角以C为坐标原点，分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系面的法向量，面的法向量二面角的余弦值为22. (1)设椭圆方程为，由题意知，…①，…②联立①②解得，，所以椭圆方程为(2)由题意可知，直线的斜率存在且不为，故可设直线的方程为满足，消去得．，且，．因为直线的斜率依次成等差数列，所以，，即，又，所以，即．联立易得弦AB的长为又点M到的距离所以平方再化简得时S取最大值。
黑龙江省哈尔滨市第六中学2017-2018学年高三下学期押题卷(二)数学(理)试题 Word版含答案
哈六中2017-2018学年金榜题名押题卷（二）理科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}Z x x x x M ∈<+=,0522，集合{}a N ,0=，若∅≠N M ，则a 为（ ） A ．1- B ．2 C ．1-或2 D ．1-或2- 2．下面是关于复数21z i=-+的四个： 2123:2:2:p z p z i p z ==；；的共轭复数为1i +；4p z ：的虚部为 -1．其中的真为（ ）A ．23,p pB ．12,p pC ．24,p pD ．14,p p3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>C 的渐近线方程为（ ）A.14y x =±B.13y x =±C.12y x =± D.y x =±4的最小正周期是π，若其图象向右平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象 （ ）A ．关于点)0,6(π对称 BC D5……的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是（ ）A 6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足则a 的最小值是（ ）A ．1 C ．27．如图所示的程序框图的运行结果为（ ） A. 1- B. 12C. 1D. 2 8．2cos10tan 20cos 20-=（ ）A.19．在平面直角坐标系中，过动点P 分别作圆O 为原点，则OP 的最小值为（ ）A．2 B ．54 C ．53D ．510．已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形,2,2AB SA SB SC ====，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离是（ ）A B ．1 C D 11．如图，2AB =，O 为圆心，C 为半圆上不同于,A B 的任意一点，若P 为半径C 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值等于（ ）A ．12-B ．2-C ．1-D 12．已知函数()()2212,3ln 2f x x axg x a x b =+=+，设两曲线()(),y f x y g x ==有公共点，且在该点处的切线相同，则()0,a ∈+∞时，实数b 的最大值是（ ）A ．6136eB ．616e C ．2372e D ．2332e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知()66221062x a x a x a a x ++++=- ,则_____________61=+a a .14．设随机变量()23,σXN ，若()0.3m P X >=，则()6m P X >-= ．15．如图所示，过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 作直线交C于A 、B 两点，过的面积分A 、B 分别向C 的准线l 作垂线，垂足为','A B ，已知四边形''''AA B F BB A F 与别为15和7，则''A B F ∆ 的面积为 .16．在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，若ABD ∆是等边三角形，且AC =ADC ∆的面为 . 三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足：)3)(1(4+-=n n n a a S ，（*N n ∈）. （1）求n a ；（2）若n n n a b ⋅=2，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒．点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ．（1）求证：AB ∥EF ；（2）若2PA PD AD ===，且平面PAD ⊥平面ABCD，求平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余弦值．19．2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[](](](](]0,2000,2000,4000,4000,6000,6000,8000,8000,10000五组，并作出如下频率分布直方图（图1）： （1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（3）台风后区委会号召该小区居民为台风重灾区扣款，小明调查的50户居民捐款情况如下表，在图2表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？附：临界值表参考公式：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++．20．已知椭圆C 的标准方程为：+=1（a ＞b ＞0），该椭圆经过点P （1，），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）过椭圆：+=1（a ＞b ＞0）长轴上任意一点S （s ，0），（﹣a ＜s ＜a ）作两条互相垂直的弦AB 、CD ．若弦AB 、CD 的中点分别为M 、N ，证明：直线MN 恒过定点．21．设函数)1(ln )1()(--+=x a x x x f .（Ⅰ）若函数)(x f 在e x =处的切线与y 轴相交于点)2,0(e -，求a 的值； （Ⅱ）当21<<x 时，求证：)2ln(1ln 112x x x -->-.22．（本小题满分10分）如图，已知圆O 是C ∆AB 的外接圆，C AB =B ，D A 是C B 边上的高，AE 是圆O 的直径．过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点F ． （1）求证：C C D A ⋅B =A ⋅AE ；（2）若F 2A =，CF =AE 的长．23．在极坐标系中，曲线C ：ρ=2acosθ（a ＞0），l ：ρcos （θ﹣）=，C 与l 有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）O 为极点，A ，B 为C 上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．24．已知函数31)(-+-=x x x f ． （1）解不等式6)(≤x f ；（2）若不等式1)(-≥ax x f 对任意R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．理科数学答案1．D 【解析】试题分析：{}2250,M x x x x Z=+<∈50,2x x x Z ⎧⎫=-<<∈=⎨⎬⎩⎭{}2,1--，集合{}0,N a =，又,M N ≠∅1a ∴=-或2a =-，故选D ．考点：1、集合的表示；2、集合的交集．2．C 【解析】试题分析：由于复数22(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i ----====---+-+--，所以z 1p 是假；22(1)2z i i =--=，故知2p 是真；复数1z i =--的共轭复数为：1z i =-+，故知3p 是假；复数1z i =--的虚部为-1，故知4p 是真；所以其中的真为24,p p .故选C ．考点：复数的运算及有关概念．3．C 【解析】试题分析：由题意可得222222255114442cc a b b b a a a a a +=∴=∴=∴=，渐近线为12y x =±考点：双曲线方程及性质 4．D 【解析】试题分析：由题意2ππω=，2ω=，()f x 图象向右平移6π个单位得()sin[2()]6πg x x φ=-+sin(2)3πx φ=-+，它是奇函数，则()3πφk πk Z -+=∈，因为2πφ<，所以3πφ=，所以()sin(2)3πf x x =+．令2()3πx k πk Z +=∈，则()26k πx πk Z =-∈，这是对称中心的横坐标，对照A 、C ，都不对，令2()32ππx k πk Z +=+∈，则()212k πx πk Z =+∈，这是函数()f x 的对称轴，对照B 、D ，D 是正确的，故选D ．考点：三角函数的图象变换，三角函数图象的对称性． 5．D 【解析】试题分析：设A 表示甲命中目标，B 表示乙命中目标，则,A B 相互独立，停止射击时甲射击了两次包括两种情况：1、第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击时命中，此时概率为13443()(1)(1)(1)45580P P A B A =⋅⋅=-⨯-⨯-=；2、第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击命中，而乙在第二次射击是命中，此时概率为234341()(1)(1)(1)4545100P P A B A B =⋅⋅⋅=-⨯-⨯-⨯=，故停止射击时甲射击了两次的概率为12311980100400P P P =+=+=，故选D ．考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．【方法点晴】本题考查了互斥事件、相互对立时间的概率的计算，关键是根据体积将事件的分类（互斥事件），利用分类求解，其中本题在停止射击时甲射击了两次包括两种情况：①第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击时命中；②第一次射击时甲乙都未命中，而第二次射击命中，分别由相互对立事件概率的乘法公式计算其概率，再由互斥事件的概率的加法公式计算可得答案． 6．C 【解析】试题分析：由于)(x f 为偶函数,所以)()(x f x f =-且)log ()(log )(log )(log 22212a f a f a f a f -+=+),1()(log )1(2)(log 222f a f f a f ≤⇒≤=因为)(x f 在区间),0[+∞单调递增，所以⇒≤1|log |2a,2211l og 12≤≤⇒≤≤-a a 即a 的最小值为.21故选C ． 考点：1、偶函数的定义；2、偶函数的性质；3、对数不等式的解法．【方法点晴】本题主要考查的是偶函数的定义与单调性的综合应用，以及对数不等式的解法，属于难题.解题时考虑到)(x f 的解析式不清楚，所以考虑.||||)()(b a b f a f ≤⇔≤这样，问题就转化为绝对值不等式的解法.7．A 【解析】试题分析： 模拟算法：开始：2,1,2016ai i ==≥不成立；111,112,201622a i i =-==+=≥不成立；111,213,201612a i i =-=-=+=≥不成立；1(1)2,314,2016a i i =--==+=≥不成立；由此可知a 是以3为周期出现的，结束时20163672i ==⨯，1a =-，故选A.考点：程序框图.8．C 【解析】试题分析：2cos10sin 202cos(3020)sin 203cos 203cos 20cos 20---===. 考点：三角恒等变换.9．B 【解析】试题分析：圆1C 标准方程为22(2)(3)4x y -+-=，圆2C 标准方程为22(1)(1)1x y +++=，2214PAPC =-，2221PB PC =-，由题意设(,)P x y ，则2222(2)(3)4(1)(1)1x y x y -+--=+++-，化简为3440x y +-=，OP的最小值为45d ==．故选B ．考点：圆的切线长，点到直线的距离．【名师点睛】与圆有关的线段长问题，一般不是直接求出线段两端点坐标，用两点间距（1）直线与圆相交时，若l 为弦长，d 为弦心距，r 为半径，则有r 2=d 2+错误！未找到引用源。
黑龙江省哈尔滨市第六中学2017-2018学年高二10月月考数学(理)试题 Word版无答案
2017-2018学年高二学年上学期阶段性测试理科数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分120分，考试时间90分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整,字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知双曲线的中心为原点，离心率5=e ，且它的一个焦点与抛物线y x 582-=的焦点重合，则此双曲线方程为（ ）A ．141622=-x yB ． 116422=-x yC ．141622=-y xD ．116422=-y x 2．设命题p ：02,200n n N n >∈∃，则p ⌝为( )A ．n n N n 2,2≤∉∀B ．02,200nn N n ≤∈∃C ．2,2n n N n ∀∈≤D ．02,200n n N n ≤∉∃ 3．过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点， 则AB =（ ）A ．．6 D ．4．“0>>n m ”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知命题p ：若5x y +≠，则2x ≠或3y ≠；命题q ：若a b <，则22am bm <，下列选项中是真命题的为 （ ）A ．p q ∧⌝B ．p ⌝C ．p q ∧D ．p q ⌝∨6. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图（1）所示，则该几何体的侧视图为 （ ）7. 设原命题：若,2≥+b a ，则b a ,中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是（ ）A ．原命题真，逆命题假B ．原命题假，逆命题真C ．原命题与逆命题均为真命题D ．原命题与逆命题均为假命题8．若“01x ≤≤”是“()()[]02≤+--a x a x ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A.0][1,)-∞+∞（，B. [1,0]-C. (1,0)-D. (,1)(0,)-∞-+∞9．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)(0)M m m >到其焦点的距离为5，双曲线221x y a-=的 左顶点为,A 若双曲线一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于（ ）A ．19B ．14C ．13D ．1210．如图：一个半球挖去一个圆锥的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A.8(3π+B.8(3π+C.(4π+D.(8π+ 11．设1(,0)F c -，2(,0)F c 是椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）与双曲线2C 的公共焦点，它们在第一象限交于点M ，离心率分别为1e 和2e ，线段的垂直平分线过2F ，则2112e e e e -的值为 （ ）A ．B ．C ．D ．侧视→ 图 1 正视图 侧视图A ．．．3 D ．212．直线l 经过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于,P Q 两点，由,P Q 分别向准线引垂线,PR QS ，垂足分别为,R S ，如果,PF a QF b ==，M 为RS 中点，则MF 为（ ）A ．a b +B ．2a b + C ．ab 第Ⅱ卷（非选择题 共60分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．给定命题4:>x p ，2|1:|>-x q ，则p ⌝是q ⌝的____________条件（备注：从充要，充分不必要，必要不充分中选择其一作答）14．已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若21MF F ∠为钝角，则0x 的取值范围是15．已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>,12,F F 为左、右焦点，1212,,,A A B B 分别是其左、右、下、上顶点，直线12B F 交直线22B A 于P 点，若P 点在以12B A 为直径的圆周上，则椭圆离心率是16．过x y 42=的焦点F 作两条弦AB 和CD ，且x AB ⊥轴，||2||AB CD =，则弦CD 所在直线的方程是三、解答题：本大题共4小题，共40分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分8分）已知条件p ：不等式组22430680x x x x ⎧-+<⎨-+<⎩的解集，条件q :不等式2290x x a -+<的解集. 若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围.18. （本小题满分8分） 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为22，且b a 22=. （1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数m ，使得直线0:=+-m y x l 与椭圆交于B A ,两点，且线段AB 的中点在圆522=+y x 上，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分12分）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，直线220x y -+=交抛物线C 于A B 、两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q 。
2017-2018学年黑龙江省齐齐哈尔市高二(下)期末数学试卷及答案(理科)
2017-2018学年黑龙江省齐齐哈尔市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|y＝lnx}，则A∩B＝（）A．{0，1，2，3}B．{1，2，3}C．（0，+∞）D．（0，3）2．（5分）已知复数（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．﹣2B．﹣2i C．2D．2i3．（5分）函数的零点所在区间为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）4．（5分）下列函数中既是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）A．B．C．D．y＝﹣x35．（5分）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为（）A．1.5尺B．2.5尺C．3.5尺D．4.5尺6．（5分）已知角的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，终边过点P（﹣5，12），则＝（）A．B．C．D．7．（5分），f'（x）为f（x）的导函数，则f'（x）的图象是（）A．B．C．D．8．（5分）下列四个命题中，真命题的序号是（）①“x＝1”是“x2+x﹣2＝0”的充分不必要条件；②命题p：∀x∈[1，+∞），lgx≥0，命题，则p∧q为真命题；③命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是“”；④“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题．A．②③B．②④C．①③D．①④9．（5分）2018年6月18日，是我国的传统节日“端午节”．这天，小明的妈妈煮了5个粽子，其中两个腊肉馅，三个豆沙馅．小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有（）A．60种B．120种C．240种D．360种11．（5分）已知P、A、B、C是球O的球面上的四个点，P A⊥平面ABC，P A＝2BC＝6，∠BAC＝60°，则该球的表面积为（）A．16πB．24πC．D．48π12．（5分）在区间[0，1]上任意取两个实数a，b，则函数在区间[﹣1，1]上有且仅有一个零点的概率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）多项式（x2+x）5的展开式中含x7的项的系数为．（用数字作答）14．（5分）直线y＝2x与抛物线y＝3﹣x2围成的封闭图形的面积是．15．（5分）某工厂为研究某种产品产量x（吨）与所需某种原材料y（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据（x，y）如表所示：（残差＝真实值﹣预测值）根据表中数据，得出y关于x的线性回归方程为：．据此计算出在样本（4，3）处的残差为﹣0.15，则表中m的值为．16．（5分）已知函数，若直线y＝x+1与曲线y＝f（x）相切，则a＝．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如下频率分布直方图：（1）求直方图中a的值；（2）根据频率分布直方图估计样本数据的众数、中位数各是多少（结果保留整数）；（3）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（200，12.22），试计算数据落在（187.8，212.2）上的概率．（参考数据：若Z～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜Z＜μ+δ）＝0.6827，P（μ﹣2δ＜Z＜μ+2δ）＝0.9545）18．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD，E、F分别是线段AD、PB的中点，P A＝PB＝1．（1）证明：EF∥平面DCP；（2）设点G是线段AB的中点，求二面角C﹣PD﹣G的正弦值．19．（12分）随着支付宝、微信等支付方式的上线，越来越多的商业场景可以实现手机支付．有关部门为了了解各年龄段的人使用手机支付的情况，随机调查了50次商业行为，并把调查结果制成下表：（1）若把年龄在[15，45）的人称为中青年，年龄在[45，75）的人称为中老年，请根据上表完成以下2×2列联表；并判断是否可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关系？（2）若从年龄在[55，65）的被调查中随机选取2人进行调查，记选中的2人中，使用手机支付的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．独立性检验临界值表：20．（12分）已知椭圆的离心率为，右焦点F2与抛物线y2＝4x的焦点重合，左顶点为P，过F2的直线交椭圆于A、B两点，直线P A、PB与直线l：x＝4交于M、N两点．（1）求椭圆E的方程；（2）试计算是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．（1）令g（x）为f（x）的导函数，求g（x）的单调区间；（2）已知函数f（x）在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ+2sinθ，直线，直线．以极点O为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．（1）求直线l1、l2的直角坐标方程以及曲线C的参数方程；（2）已知直线l1与曲线C交于O、M两点，直线l2与曲线C交于O、N两点，求△OMN 的周长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝m﹣|x﹣3|，不等式f（x）＞2的解集为（2，4）（1）求实数m的值；（2）若关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．2017-2018学年黑龙江省齐齐哈尔市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【考点】1E：交集及其运算．【解答】解：B＝{x|x＞0}，∵A＝{﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B＝{1，2，3}，故选：B．【点评】本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．2．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：∵＝，∴复数z的虚部为﹣2．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．【考点】52：函数零点的判定定理．【解答】解：∵函数的是（0，+∞）上的连续函数，且单调递增，f（1）＝﹣3＜0，f（2）＝1＝0，f（3）＝log23﹣1＞0，∴f（2）f（3）＜0．∴函数的零点所在区间为（2，3），故选：B．【点评】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．4．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝为反比例函数，是奇函数但在其定义域上不是减函数，不符合题意；对于B，y＝＝x﹣2，为幂函数，是偶函数；不符合题意；对于C，y＝3x﹣（）x，其导数为y′＝3x ln3+（）x ln3＞0，在其定义域上为增函数，不符合题意；对于D，y＝﹣x3，既是奇函数，又在定义域内为减函数，符合题意；故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性．5．【考点】88：等比数列的通项公式．【解答】解：设此等差数列{a n}的公差为d，则a1+a4+a7＝3a1+9d＝31.5，9a1+d＝85.5，解得：d＝﹣1，a1＝13.5．则a12＝13.5﹣11＝2.5．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．【考点】G9：任意角的三角函数的定义；GP：两角和与差的三角函数．【解答】解：∵角的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，终边过点P（﹣5，12），∴cos（α﹣）＝＝﹣，sin（α﹣）＝＝，则＝cos（α﹣+）＝cos（α﹣）cos﹣sin（α﹣）sin ＝﹣×（﹣）﹣×＝﹣，故选：B．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的余弦公式的应用，属于基础题．7．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【解答】解：，∴f'（x）＝，f′（x）是奇函数，排除B，D．当x＝时，f'（x）＝＜0，排除C．故选：A．【点评】本题考查函数的图象的判断，导数的应用，考查计算能力．8．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【解答】解：对于①“x＝1”与“x2+x﹣2＝0”；满足前者推出后者，后推不出前者，所以“x＝1”是“x2+x﹣2＝0”的充分不必要条件；所以①正确；对于②命题p：∀x∈[1，+∞），lgx≥0，是真命题；命题，是假命题，所以则p∧q为假命题；所以②不正确；对于③命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是“”；满足命题的否定形式，所以③正确；对于④“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是：a＜b，则am2＜bm2，显然m＝0不成立，所以④不正确．真命题是①③．故选：C．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，考查充要条件与四种命题的逆否关系的真假的判断，是基本知识的考查．9．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：由题意，设事件A为“取出两个粽子为同一种馅”，事件B为“取出的两个粽子都为腊肉馅”，则P（A）＝＝，P（AB）＝＝，∴P（B|A）＝＝．故选：A．【点评】本题考查了条件概率的计算问题，是基础题．10．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，在住甲乙之外的6人中选出1人，安排在甲乙2人之间，有C61A22＝12种情况，安排好之后，将3人看成一个整体；②，在剩下的5人选出1人，将这个整体全排列，有C51A22＝10种情况，则不同的发言顺序共有12×10＝120种；故选：B．【点评】本题考查排列、组合的应用，关键是根据题意，分步分析解决问题．11．【考点】LG：球的体积和表面积．【解答】解：由题意画出几何体的图形如图，把P、A、B、C扩展为三棱柱，上下底面三角形外接圆圆心连线的中点与A的距离为球的半径，由P A＝2BC＝6，∠BAC＝60°，∴AE＝×＝××3＝，∴R＝AO＝＝＝2；∴外接球的表面积为：S＝4πR2＝4π•（2）2＝48π．故选：D．【点评】本题考查了球的内接体与球的关系应用问题，也考查了空间想象能力与计算推理能力，是基础题．12．【考点】CF：几何概型．【解答】解析：函数在区间[﹣1，1]上有且仅有一个零点，所以f（﹣1）f（1）＜0，即，也就是，故a，b满足图中阴影部分的面积为所以，函数在区间[﹣1，1]上有且仅有一个零点的概率为故选：D．【点评】本题是一个几何概型，对于这样的问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：多项式（x2+x）5的展开式的通项为＝，令10﹣r＝7，则r＝3，此时＝10，故答案为：10【点评】本题考查的知识点是二项式定理，难度不大，属于基础题．14．【考点】67：定积分、微积分基本定理．【解答】解：由y＝2x与y＝3﹣x2，解得x＝﹣3或1，∴直线y＝2x与抛物线y＝3﹣x2交于点A（﹣3，﹣6）和B（1，2），∴两图象围成的阴影部分的面积为：S＝[（3﹣x2）﹣2x]dx＝（3x﹣x3﹣x2）＝（3×1﹣×13﹣12）﹣[3×（﹣3）﹣×（﹣3）3﹣（﹣3）2]＝，故答案为：．【点评】本题求直线与抛物线围成的阴影部分图形的面积，着重考查了定积分计算公式和定积分的几何意义等知识，属于基础题．15．【考点】BK：线性回归方程．【解答】解：由样本（4，3）处的残差为﹣0.15，即3﹣（0.7×4+a）＝﹣0.15，可得a＝0.35回归方程为：．样本平均数＝4.5，＝，即0.7×4.5+0.35＝，解得：m＝4.5．故答案为：4.5．【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．16．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：设切点的横坐标为x0，f′（x）＝1﹣﹣＝＝1⇒x0＝﹣⇒﹣a＝，则有：f（x0）＝x0+﹣alnx0＝x0+1⇒lnx0﹣x0+1＝0，令h（x）＝lnx﹣x+1⇒h′（x）＝﹣1＝0⇒x＝1，则h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，又因为h（1）＝0，所以x0＝1⇒a＝﹣1；故答案为：﹣1．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的切线方程的求法．考查转化思想以及计算能力．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：（1）由已知得（0.002+0.009+0.022+a+0.024+0.008+0.002）×10＝1，解得a＝0.033．（2）众数＝＝200．由前三组频率之和为0.02+0.09+0.22＝0.33＜0.50，前四组频率之和为0.33+0.33＝0.66＞0.50，故中位数位于第四组[195，205）内，中位数估计为195+≈200．（3）∵Z～N（200，12.22），∴P（187.8＜Z＜212.2）＝P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）＝0.6827．【点评】本题考查了频率分布直方图的性质，众数与中位数的计算，考查正态分布的规律，属于中档题．18．【考点】LS：直线与平面平行；MJ：二面角的平面角及求法．【解答】证明：（1）取PC的中点为H，连接DH，FH，∵四边形ABCD是正方形，E、F、G分别是线段的中点，DE∥BC且DE＝BC，FH∥BC且FH＝BC，∴DE∥FH且DE＝FH，∴四边形DEFH为平行四边形，∴EF∥DH，∵EF⊄平面DCP，DH⊂平面DCP，∴EF∥平面DCP．解：（2）∵P A⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，∴AP，AB，AD两两垂直，以A为坐标原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣xyz．则P（1，0，0），D（0，0，1），C（0，1，1），G（0，，0），＝（﹣1，0，1），＝（﹣1，1，1），＝（﹣1，，0），设平面CPD的法向量为＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，0，1），设平面GPD的法向量为＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，2，1），∴cos＜＞＝＝，sin＜＞＝＝．∴二面角的正弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19．【考点】BL：独立性检验；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：（1）2×2列联表如图所示：k2＝＝≈3.463＜3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关系．（2）年龄在[55，65）的被调查者共5人，其中使用手机支付的有2人，则抽取的2人中使用手机支付的人数X可能取值为0，1，2，则P（X＝0）＝＝；P（X＝1）＝＝；P（X＝2）＝＝；所以X的分布列为：E（X）＝0×+1×+2×＝【点评】本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的阅读与计算能力，属于中档题．20．【考点】KL：直线与椭圆的综合．【解答】解：（1）∵抛物线y2＝4x的焦点为（1，0），右焦点F2与抛物线y2＝4x的焦点重合，可得F2（1，0），∴a2﹣b2＝1，①由e＝＝＝，②联立①②可知：a2＝4，b2＝3，∴所求椭圆方程为+＝1；（2）由（1）可知P（﹣2，0），显然直线AB的斜率不为零，①当直线AB的斜率不存在时，即直线AB方程为x＝1，易知A（1，），B（1，﹣），∴直线P A：y＝（x+2），直线PB：y＝﹣（x+2），分别在上述两个方程中令x＝4可知M（4，3）、N（4，﹣3），∴•＝（4+2，3﹣0）•（4+2，﹣3﹣0）＝（6，3）•（6，﹣3）＝36﹣9＝27；②当直线AB的斜率存在时，设直线AB方程为：y＝k（x+2），设A（x1，y1），B（x2，y2），则y i＝k（x i+2）（其中i＝1、2），∴直线P A：y＝（x+2），直线PB：y＝（x+2），分别在上述两个方程中令x＝4可知：M（4，6•）、N（4，6•），联立y＝k（x﹣1）和椭圆方程3x2+4y2＝12，消去y整理得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，∴x1+x2＝，x1x2＝，∴•＝（4+2，6•）•（4+2，6•）＝36+36•＝36+36•＝36+36k2•＝36+36k2•＝27．综上所述，•＝27为定值．【点评】本题考查椭圆的方程和简单性质，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．21．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【解答】解：（1）由f′（x）＝ln x﹣2ax+2a，可得g（x）＝ln x﹣2ax+2a，x∈（0，+∞），所以g′（x）＝﹣2a＝，当a≤0，x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；当a＞0，x∈（0，）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，x∈（，+∞）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．所以当a≤0时，g（x）的单调增区间为（0，+∞）；当a＞0时，g（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，+∞）．…（6分）（2）由（1）知，f′（1）＝0．①当0＜a＜时，＞1，由（1）知f′（x）在（0，）内单调递增，可得当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，）时，f′（x）＞0．所以f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，）内单调递增，所以f（x）在x＝1处取得极小值，不合题意．②当a＝时，＝1，f′（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递减，所以当x∈（0，+∞）时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，不合题意．③当a＞时，0＜＜1，f（x）在（0，）上单减，当x∈（，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．所以f（x）在x＝1处取极大值，符合题意．综上可知，正实数a的取值范围为（，+∞）．…（12分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【解答】（1）解：直线，所以：直线l1的直角坐标方程为，直线．所以：直线l2的直角坐标方程为曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5，所以：曲线C的参数方程为；（2）解：联立，得到，同理，又，所以根据余弦定理可得，所以周长．【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，方程组的应用和余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．【考点】3R：函数恒成立问题．【解答】解：（1）∵f（x）＝m﹣|x﹣3|，∴不等式f（x）＞2，即m﹣|x﹣3|＞2，∴5﹣m＜x＜m+1，而不等式f（x）＞2的解集为（2，4），∴5﹣m＝2且m+1＝4，解得：m＝3；（2）关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，即关于x的不等式|x﹣a|≥3﹣|x﹣3|恒成立．可得：|x﹣a|+|x﹣3|≥3恒成立即|a﹣3|≥3恒成立，解得：a﹣3≥3或a﹣3≤﹣3，即a≥6或a≤0．故实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[6，+∞）．【点评】本题主要考查不等式的解集与方程根的关系以及不等式恒成立问题，利用绝对值不等式的性质是解决本题的关键．。
黑龙江省哈尔滨市第六中学2017_2018学年高二数学4月月考试题文201804211409
黑龙江省哈尔滨市第六中学2017-2018学年高二数学4月月考试题文第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知复数z3i(13i)2，则|z|=( )A．14B．12C．1 D．22. 下列有关命题的说法正确的是( )A．命题“若x21，则x 1”的否命题为：“若x21，则x 1”．B．“x1”是“x25x 60”的必要不充分条件.C．命题“若x y，则sin x sin y”的逆否命题为真命题. 开始D．命题“x R使得x2x 10”的否定是：“x R均有输入a x2x 10”．k 1,S3．已知某种商品的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的^线性回归方程为y＝6.5x＋17.5，则表中m的值为() S S 1(2k 1)(2k1)k k 1x 2 4 5 6 8否S a?y 30 40 m 50 70是A.45 B．50 C．55 D．60输出k4.设F为抛物线C:y24x的焦点，曲线y k(k0)与C交于点P，x结束PF x轴，则k （）13SA. B.1 C. D.22295．阅读如图所示的程序框图，若输入a ，则输出的19k值是( )A．9B．10C．11D．126．已知三棱锥S ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在OABAB上，SO 底面ABC，AC 2r，则球的体积与三棱锥体积之比是（）Ａ．πＢ．2πＣ．3πＤ．4πC7．已知矩形ABCD，AB 5，BC 7，在矩形ABCD中随机取一点P，则APB90出现的概率为（）- 1 -A ．5 56B ． 5 56C ．5 28D ．5288．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π9.将所有正偶数按如下方式进行排列，则 2 018位于（ ） 第 1行：2 4第 2行：6 8 10 12第 3行：14 16 18 20 22 24第 4行：26 28 30 32 34 36 38 40 …… …… ……A.第 30行B.第 31行C.第 32行D.第 33行 10.若函数 f x kx lnx 在区间1,单调递增，则k 的取值范围是（ ） A.,2B.,1C.2,D.1,xy2211．已知动点 P (x ，y ) 在椭圆 C 上， F 为椭圆 C 的右焦点，若点 M 满足: 125 1612| MF |1且 MP MF 0 ，则| PM |的最小值为（ ）A ． 3 B ．3 C ．D ．1512. 定义域为 R 的可导函数 f (x ) 的导函数为 f (x ) ，若对任意实数 x ，有 f / (x ) f (x )0 ，则（）A. ef (2015) f (2016)B. ef (2015) f (2016)C. ef (2015) f (2016)D. 不能确定第Ⅱ卷（非选择题 共 90分）二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．将答案填在机读卡上相应的位置． 13.已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底3 面面积是这个球面面积的16，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为14.曲线 yxe x 2x 1在点（0,1）处的切线方程为。
2017-2018年黑龙江省哈尔滨六中高二第一学期数学期末试卷(理科)及 解析
A．
B．
C．
D． ）
10． （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（
A．
B．
C．
D． ，
11． （5 分） 三棱锥 P﹣ABC 的四个顶点均在半径为 2 的球面上， 且 AB=BC=CA=2 平面 PAB⊥平面 ABC，则三棱锥 P﹣ABC 的体积的最大值为（ A．4 B．3 ﹣ C．4 D．3 ）
12． （5 分）F1，F2 分别是双曲线
=1 的左、右焦点，A 是其右顶点，过 F2 • =0，
作 x 轴的垂线与双曲线的一个交点为 P，G 是△PF1F2 的重心，若 则双曲线的离心率是（ A．2 B． ） C．3 D．
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二、填空题 13． （3 分）某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级有 30 名，高二年级 有 40 名．现用分层抽样的方法从这 70 名学生中抽取一个样本，已知在高二 年级的学生中抽取了 8 名，则在该校高一年级的学生中应抽取的人数 为 ． 的离心率为 2，有一个焦点与抛物线 y2=4x 的焦点 ． =1（b＞0）的一条渐近线与圆 x2+（y﹣2）2=1 至多 ．
公司所获利润 y （百万元） 1
（1）求 y 关于 x 的回归直线方程； （2）若该公司的科研投入从 2011 年开始连续 10 年每一年都比上一年增加 10 万元，预测 2017 年该公司可获得的利润约为多少万元？
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（注：线性回归直线方程系数公式 =
=
，
=
． ）
18． 某城市 100 户居民的月平均用电量 （单位： 度） ， 以[160， 180） ， [180， 200） ， [200，220） ，[220，240） ，[240，260） ，[260，280） ，[280，300）分组的频 率分布直方图如图．
辽宁省六校协作体2017-2018学年高二下学期联考(6月)数学(理)试题Word版含答案
x 2y 1 0
14. 若 a
2
xdx , 则在 ( x
a )6 的展开式中 , x 4 项的系数为
.
0
x
2
2
15. 设直线 ax y 3 0与圆 x 1
y 2 4 相交于 A， B 两点，且弦长为 2 3 ，则 a
的值是 __________ ．
是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）
1、 设集合 A { 1,0,1,2} ， B { x x2 2x 3 0} ，则 A B ( )
A ． { 1}
B ． { 1,0} C ． { 1,0,1}
D
． {0,1, 2}
2. 已知复数 z 在复平面内对应点是 (1,2) ，若 i 虚数单位，则 z 1 z1
A. 1 i
B. 1 i C.
1i
D.
1i
3．若两个单位向量 a ， b 的夹角为 120 ，则 2a b
A． 2 B ． 3
C． 2
D． 3
4. 已知 an 为等差数列 , a1 a3 a5 18,a2 a4 a6 24 , 则 a20
A.42 B.40 C.38 D.36
5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A． A62 A54 种
B． A6245 Nhomakorabea种
C
．
C
2 6
A54 种
D
．
C
2 6
4
5
种
10. 已知边长为 2 的等边三角形 ABC,D 为 BC 的中点 , 以 AD 折痕 , 将 ABC 折成直二面角
B AD C , 则过 A, B, C , D 四点的球的表面积为
黑龙江省哈尔滨六中2017-2018学年高二下学期期末数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年黑龙江省哈尔滨六中高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．1．已知集合A=[0，4），集合B={x|x2﹣2x≥3，x∈N}，则A∩B=（）A．{x|3≤x＜4}B．{x|0≤x＜3}C．{3}D．{3，4}2．cos（﹣）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．3．设f（x）是定义在R上的函数，则“f （x）不是奇函数”的充要条件是（）A．∀x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x）B．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）C．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0） D．∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）4．已知sin（π+α）=，且α是第四象限的角，那么cos（α﹣2π）的值是（）A．B．﹣C．±D．5．若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，则f（23）+f（﹣14）=（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．26．方程log3x+x﹣3=0的解所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）7．已知a=log46，b=log40.2，c=log23，则三个数的大小关系是（）A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a8．已知p：∃x0∈R，使sinx0=；q：∀x∈（0，+∞），x＞sinx，则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为真D．p∨q为假9．将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．B．x=C．x=D．x=﹣10．现有四个函数：①y=x•sinx；②y=x•cosx；③y=x•|cosx|；④y=x•2x的图象（部分）如图，则按照从左到右的顺序，图象对应的函数序号正确的一组是（）A．①④③②B．①④②③C．④①②③D．③④②①11．已知函数，则关于a的不等式f（a﹣2）+f（a2﹣4）＜0的解集是（）A．B．（﹣3，2）C．（1，2）D．12．曲线f（x）=ax2（a＞0）与g（x）=lnx有两条公切线，则a的取值范围为（）A．（0，）B．（0，）C．（，+∞）D．（，+∞）二、填空题：（每小题5分，共20分）13．已知函数f（x）=log a（x﹣2）+4（a＞0且a≠1），其图象过定点P，角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P，则=．14．（文）函数f（x）=cos2x+2sinx的最小值为．15．若函数为奇函数，则a=．16．定义在R上的偶函数f（x）满足：f（4）=f（﹣2）=0，在区间（﹣∞，﹣3）与[﹣3，0]上分别递增和递减，则不等式xf（x）＞0的解集为．三、解答题：（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知函数f（x）=sin2x﹣2sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数y=f（x）在[﹣，]上的值域．18．已知，且，（1）求cosα的值；（2）若，，求cosβ的值．19．已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+sin（x+）sin（x﹣）．（1）求f（x）的单调增区间；（2）若x0为f（x）的一个零点（0≤x0≤），求cos2x0的值．20．已知函数f（x）=e x﹣x2﹣1，x∈R．（1）求证：f（x）≥﹣x2+x；（2）若f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．21．已知函数f（x）=xlnx．（1）求函数f（x）的极值；（2）设函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1），其中k∈R，求函数g（x）在区间[1，e]上的最大值．22．已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值，在x=0处的切线与直线3x+y=0平行．（1）求f（x）的解析式；（2）已知点A（2，m），求过点A的曲线y=f（x）的切线条数．2015-2016学年黑龙江省哈尔滨六中高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．1．已知集合A=[0，4），集合B={x|x2﹣2x≥3，x∈N}，则A∩B=（）A．{x|3≤x＜4}B．{x|0≤x＜3}C．{3}D．{3，4}【考点】交集及其运算．【分析】化简集合B，求出A∩B即可．【解答】解：集合A=[0，4），集合B={x|x2﹣2x≥3，x∈N}={x|x≤﹣1或x≥3，x∈N}，所以A∩B={3}．故选：C．2．cos（﹣）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．【解答】解：cos（﹣）=﹣cos（﹣+13π）=﹣cos（﹣）=﹣cos=﹣，故选：B．3．设f（x）是定义在R上的函数，则“f （x）不是奇函数”的充要条件是（）A．∀x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x）B．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）C．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0） D．∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义，进行判断即可．【解答】解：f （x）不是奇函数，则等价为∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）不成立，即∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0），故选：C．4．已知sin（π+α）=，且α是第四象限的角，那么cos（α﹣2π）的值是（）A．B．﹣C．±D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】直接利用诱导公式化简已知条件，化简所求表达式，【解答】解：sin（π+α）=，可得sinα=﹣，α是第四象限的角，cosα==．cos（α﹣2π）=cosα=．故选：A．5．若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，则f（23）+f（﹣14）=（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质．【分析】根据函数的奇偶性和周期性进行转化求解即可．【解答】解：∵f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，∴f（23）+f（﹣14）=f（25﹣2）+f（﹣15+1）=f（﹣2）+f（1）=﹣f（2）+f（1）=﹣2+1=﹣1，故选：A6．方程log3x+x﹣3=0的解所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】对数函数的图象与性质．【分析】方程的解所在的区间，则对应的函数的零点在这个范围，把原函数写出两个初等函数，即两个初等函数的交点在这个区间，结合两个函数的草图得到函数的交点的位置在（1，3），再进行进一步检验．【解答】解：∵方程log3x+x=3即log3x=﹣x+3根据两个基本函数的图象可知两个函数的交点一定在（1，3），因m（x）=log3x+x﹣3在（1，2）上不满足m（1）m（2）＜0，方程log3x+x﹣3=0 的解所在的区间是（2，3），故选C．7．已知a=log46，b=log40.2，c=log23，则三个数的大小关系是（）A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数的性质、换底公式求解．【解答】解：∵a=log46＞b=log40.2，c=log23=log49＞a=log46，∴c＞a＞b．故选：A．8．已知p：∃x0∈R，使sinx0=；q：∀x∈（0，+∞），x＞sinx，则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为真D．p∨q为假【考点】复合的真假．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合的真假即可．【解答】解：∀x∈R，都有sinx≤1，故p：∃x0∈R，使sinx0=是假；令f（x）=x﹣sinx，f′（x）=1+cosx＞0，y=f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（0）=0，故q：∀x∈（0，+∞），x＞sinx是真，故￢q是假，故选：B．9．将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．B．x=C．x=D．x=﹣【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，可求得变换后的函数的解析式为y=sin（8x﹣），利用正弦函数的对称性即可求得答案．【解答】解：将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数解析式为：g（x）=sin（2x﹣），再将g（x）=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位（纵坐标不变）得到y=g（x+）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+﹣）=sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z），得：x=+，k∈Z．∴当k=0时，x=，即x=是变化后的函数图象的一条对称轴的方程，故选：A．10．现有四个函数：①y=x•sinx；②y=x•cosx；③y=x•|cosx|；④y=x•2x的图象（部分）如图，则按照从左到右的顺序，图象对应的函数序号正确的一组是（）A．①④③②B．①④②③C．④①②③D．③④②①【考点】函数的图象．【分析】根据函数的奇偶性和函数值得特点即可判断．【解答】解：①y=xsinx是偶函数，其图象关于y轴对称；②y=xcosx是奇函数，其图象关于原点对称；③y=x|cosx|是奇函数，其图象关于原点对称．且当x＞0时，y≥0；④y=x•2x为非奇非偶函数，且当x＞0时，y＞0；当x＜0时，y＜0；故选B．11．已知函数，则关于a的不等式f（a﹣2）+f（a2﹣4）＜0的解集是（）A．B．（﹣3，2）C．（1，2）D．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据已知中的函数解析式，先分析函数的单调性和奇偶性，进而根据函数的性质及定义域，可将不等式f（a﹣2）+f（a2﹣4）＜0化为1＞a﹣2＞4﹣a2＞﹣1，解不等式组可得答案．【解答】解：函数的定义域为（﹣1，1）∵f（﹣x）=﹣sinx=﹣f（x）∴函数f（x）为奇函数又∵f′（x）=+cosx＞0，∴函数在区间（﹣1，1）上为减函数，则不等式f（a﹣2）+f（a2﹣4）＜0可化为：f（a﹣2）＜﹣f（a2﹣4）即f（a﹣2）＜f（4﹣a2），即1＞a﹣2＞4﹣a2＞﹣1解得＜a＜2故关于a的不等式f（a﹣2）+f（a2﹣4）＜0的解集是（，2）．故选：A．12．曲线f（x）=ax2（a＞0）与g（x）=lnx有两条公切线，则a的取值范围为（）A．（0，）B．（0，）C．（，+∞）D．（，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，由已知的两条切线得到方程有两个解，借助于函数的极值和最值，即可得到a的范围．【解答】解：y=ax2的导数y′=2ax，y=lnx的导数为y′=，设与y=ax2相切的切点为（s，t），与曲线g（x）=lnx相切的切点为（m，n）m＞0，则有公共切线斜率为2as==，又t=as2，n=lnm，即有2as=，整理得as2﹣ln（2as）﹣1=0设f（s）=as2﹣ln（2as）﹣1，所以f'（s）=2as﹣=，因为a＞0，s＞0，所以由f'（s）＞0得到当s＞时，f′（s）＞0，f（s）单调递增，当0＜s＜时，f′（s）＜0，f（s）单调递减．即有s=处f（s）取得极小值，也为最小值，且为f（）=，由恰好存在两条公切线，即f（s）=0有两解，由f（0）→+∞，s→∞，f（s）→+∞，所以只要f（）＜0可得a的范围是a＞．故选D．二、填空题：（每小题5分，共20分）13．已知函数f（x）=log a（x﹣2）+4（a＞0且a≠1），其图象过定点P，角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P，则=10．【考点】同角三角函数基本关系的运用；任意角的三角函数的定义．【分析】根据函数图象过定点，由函数解析式确定出定点P坐标，进而利用任意角的三角函数定义求出sinα与cosα的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：∵函数f（x）=log a（x﹣2）+4（a＞0且a≠1），其图象过定点P，∴P坐标为（3，4），∵角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P，∴sinα==，cosα==，则原式==10，故答案为：1014．（文）函数f（x）=cos2x+2sinx的最小值为﹣3．【考点】二倍角的余弦；三角函数的最值．【分析】利用二倍角公式对已知函数化简，f （x ）=cos2x +2sinx=﹣2sin 2x +2sinx +1结合﹣1≤sinx ≤1及二次函数的性质可求函数的最小值【解答】解：∵f （x ）=cos2x +2sinx=﹣2sin 2x +2sinx +1=﹣2+∵﹣1≤sinx ≤1当sinx=﹣1时，函数有最小值﹣3 故答案为：﹣315．若函数为奇函数，则a= ﹣1 ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的性质得到f （﹣x ）=﹣f （x ），从而得到关于a 的方程，解出即可．【解答】解：若函数为奇函数，则f （﹣x ）=﹣x ﹣+2a +1+1=﹣f （x ）=﹣x ﹣﹣（2a +1）﹣1，∴2（2a +1）+2=0，则a=﹣1，故答案为：﹣1．16．定义在R 上的偶函数f （x ）满足：f （4）=f （﹣2）=0，在区间（﹣∞，﹣3）与[﹣3，0]上分别递增和递减，则不等式xf （x ）＞0的解集为 （﹣∞，﹣4）∪（﹣2，0）∪（2，4） ．【考点】函数单调性的性质．【分析】由题意可得函数的图象关于y 轴对称，且f （4）=f （2）=f （﹣2）=f （﹣4），画出f （x ）的单调性示意图，由不等式xf （x ）＞0，可得①或②．，分别求得①②的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：∵定义在R 上的偶函数f （x ）满足：f （4）=f （﹣2）=0， 可得函数的图象关于y 轴对称，且f （4）=f （2）=f （﹣2）=f （﹣4），在区间（﹣∞，﹣3）与[﹣3，0]上分别递增和递减，画出f （x ）的单调性示意图，如图：则由不等式xf （x ）＞0，可得①或②．解①求得2＜x ＜4，解②求得x ＜﹣4 或﹣2＜x ＜0． 综上可得，不等式的解集为：（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，0）∪（2，4）， 故答案为：（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，0）∪（2，4）．三、解答题：（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知函数f（x）=sin2x﹣2sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数y=f（x）在[﹣，]上的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x+）﹣1，由三角函数的周期性及其求法即可求得函数f（x）的最小正周期．（2）由x∈[﹣，]，可求2x+的范围，根据正弦函数的图象和性质可得sin（2x+）的范围，从而可求函数y=f（x）在[﹣，]上的值域．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x﹣2sin2x=sin2x﹣（1﹣cos2x）=sin（2x+）﹣1，∴由三角函数的周期性及其求法可得函数f（x）的最小正周期T=．（2）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，π]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，∴y=f（x）=sin（2x+）﹣1∈[﹣2，]，∴函数y=f（x）在[﹣，]上的值域是：[﹣2，]．18．已知，且，（1）求cosα的值；（2）若，，求cosβ的值．【考点】二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数．【分析】（1）把已知条件平方可得sinα=，再由已知，可得cosα的值．（2）由条件可得﹣＜α﹣β＜，cos（α﹣β）=，再根据cosβ=cos（﹣β）=cos[（α﹣β）﹣α]，利用两角和差的余弦公式，运算求得结果．【解答】解：（1）由，平方可得1+sinα=，解得sinα=．再由已知，可得α=，∴cosα=﹣．（2）∵，，∴﹣＜α﹣β＜，cos（α﹣β）=．∴cosβ=cos（﹣β）=cos[（α﹣β）﹣α]=cos（α﹣β）cosα+sin（α﹣β）sinα=+=﹣．19．已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+sin（x+）sin（x﹣）．（1）求f（x）的单调增区间；（2）若x0为f（x）的一个零点（0≤x0≤），求cos2x0的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式将f（x）化简，根据正弦函数图象及性质即可求得f（x）的单调增区间；（2）由f（x0）=0，求得sin（2x0﹣）=﹣，由x0的取值范围，即可求得2x0﹣的取值范围，由同角三角函数的基本关系，求得cos（2x0﹣）的值，由2x0=（2x0﹣）+，根据两角和的余弦公式即可求得cos2x0的值．【解答】解：（1）f（x）=sin2x+2sinxcosx+sin（x+）sin（x﹣），=sin2x+sin2x+（sinx+cosx）（sinx﹣cosx），=sin2x+sin2x+（sin2x﹣cos2x），=（1﹣cos2x）+sin2x﹣cos2x，=sin2x﹣cos2x+，=2sin（2x﹣）+，∵令，k∈Z，解得：，函数f （x ）的单调递增区间：；…（2）由f （x 0）=2sin （2x 0﹣）+=0，得sin （2x 0﹣）=﹣＜0，…又由0≤x 0≤，得﹣≤2x 0﹣≤，…∴﹣≤2x 0﹣＜0，…∴cos （2x 0﹣）==，…则 cos2x 0=cos [（2x 0﹣）+]，=cos （2x 0﹣）cos ﹣sin （2x 0﹣）sin …=×﹣（﹣）×，=，cos2x 0=．20．已知函数f （x ）=e x ﹣x 2﹣1，x ∈R ．（1）求证：f （x ）≥﹣x 2+x ；（2）若f （x ）＞kx 对任意的x ∈（0，+∞）恒成立，求实数k 的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而证明结论；（2）问题转化为对任意的x ∈（0，+∞）恒成立，令，根据函数的单调性求出k 的范围即可．【解答】证明：（1）令g （x ）=f （x ）+x 2﹣x=e x ﹣x ﹣1，由g'（x ）=e x ﹣1=0得x=0，当x ∈（﹣∞，0）时，g'（x ）＜0，g （x ）单调递减，当x ∈（0，+∞）时，g'（x ）＞0，g （x ）单调递增，∴g （x ）min =g （0）=0，从而f （x ）≥﹣x 2+x ；解：（2）f （x ）＞kx 对任意的x ∈（0，+∞）恒成立⇔对任意的x ∈（0，+∞）恒成立，令，∴，由（1）可知当x∈（0，+∞）时，e x﹣x﹣1＞0恒成立，令φ'（x）＞0，得x＞1；g'（x）＜0得0＜x＜1，∴φ（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1），φ（x）min=φ（1）=e﹣2，∴k＜φ（x）min=φ（1）=e﹣2，∴实数k的取值范围为（﹣∞，e﹣2）．21．已知函数f（x）=xlnx．（1）求函数f（x）的极值；（2）设函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1），其中k∈R，求函数g（x）在区间[1，e]上的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）确定函数的定义域，利用导数，确定函数的单调性，从而可求函数的极值；（2）利用导数，确定函数的单调性，分类讨论，确定函数的最值即可．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞）求导函数，可得f'（x）=lnx+1．…令f'（x）≥0，得lnx≥﹣1=lne﹣1，；令f'（x）≤0，得．…∴f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是，∴函数的极小值为，f（x）无极大值…（2）g（x）=xlnx﹣k（x﹣1），则g'（x）=lnx+1﹣k，由g'（x）=0，得x=e k﹣1，所以，在区间（0，e k﹣1）上，g（x）为递减函数，在区间（e k﹣1，+∞）上，g（x）为递增函数．…当e k﹣1≤1，即k≤1时，在区间[1，e]上，g（x）为递增函数，所以，g（x）最大值为g（e）=e﹣ke+k．…当1＜e k﹣1＜e，即1＜k＜2时，g（x）的最大值是g（1）或g（e）g（1）=g（e），得当时，g（e）=e﹣ek+k＞0=g（1），g（x）最大值为g（e）=e﹣ke+k当时，g（e）=e﹣ek+k＜0=g（1），g（x）最大值为g（1）=0…当e k﹣1≥e，即k≥2时，在区间[1，e]上，g（x）为递减函数，所以g（x）最大值为g（1）=0．综上，当时，g（x）最大值为e﹣ke+k；当时，g（x）的最大值是0…22．已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值，在x=0处的切线与直线3x+y=0平行．（1）求f（x）的解析式；（2）已知点A（2，m），求过点A的曲线y=f（x）的切线条数．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求得f（x）的导数，由题意可得f′（1）=f′（﹣1）=0，f′（0）=﹣3，解方程可得a，b，c，进而得到f（x）的解析式；（2）设切点为（t，t3﹣3t），求得f′（x）=3x2﹣3，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程，代入A的坐标，整理可得m=﹣2t3+6t2﹣6．设g（t）=﹣2t3+6t2﹣6，求出导数，单调区间和极值，画出y=g（t）的图象，讨论m的范围，即可得到所求切线的条数．【解答】解（1）f′（x）=3ax2+2bx+c，由题意可得，解方程可得a=1，b=0，c=﹣3．所以f（x）=x3﹣3x．（2）设切点为（t，t3﹣3t），由（1）知f′（x）=3x2﹣3，所以切线斜率k=3t2﹣3，切线方程为y﹣（t3﹣3t）=（3t2﹣3）（x﹣t）．又切线过点A（2，m），代入得m﹣（t3﹣3t）=（3t2﹣3）（2﹣t），解得m=﹣2t3+6t2﹣6．设g（t）=﹣2t3+6t2﹣6，令g′（t）=0，即﹣6t2+12t=0，解得t=0或t=2．所以（）的极小值为（）﹣，极大值为（）．作出函数草图可知：①当m＞2或m＜﹣6时，方程m=﹣2t3+6t2﹣6只有一解，即过点A只有一条切线；②当m=2或m=﹣6时，方程m=﹣2t3+6t2﹣6恰有两解，即过点A有两条切线；③当﹣6＜m＜2时，方程m=﹣2t3+6t2﹣6有三解，即过点A有三条切线．2016年9月6日。
黑龙江省哈尔滨市第六中学2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题(含解析)
哈尔滨市第六中学2018-2019学年度下学期期末考试高二文科数学一、选择题。
1.已知集合{}{}22120,4A x R x x B x R x =∈--<=∈>，则A B I 等于（ ）A. ()24，B. ()3.4-C. ()()3,22,4--⋃D. (),-∞+∞【答案】C 【解析】 【分析】由不等式性质求出集合A 、B ，由交集的定义求出A B I 可得答案. 【详解】解：可得2{|120}{|34}A x R x x x x =∈--<=-<<；2{|4}{|2-2}B x R x x x x =∈>=><或，可得A B I ={|--224}x x x <<<<3或 故选C.【点睛】本题考查了交集及其运算，求出集合A 、B 并熟练掌握交集的定义是解题的关键.2.设命题00:,22019x P x R ∃∈>，则P ⌝为（ ）A. ,22019xx R ∀∈≤ B. ,22019xx R ∀∈> C. ,22019xx R ∃∈≤ D. ,22019x x R ∃∈<【答案】A 【解析】 【分析】对于特称命题的否定: ∃改为∀（∀改为∃），再否定结论 【详解】因为命题00:,22019x P x R ∃∈>，所以P ⌝为,22019x x R ∀∈≤，选择A【点睛】本题主要考查了特称命题的否定，注意区分否命题和命题的否定。
属于基础题。
3.已知函数2log ,(0)()3,(0)xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1[()]8f f 的值是（ ） A. 27 B. 27-C.127D. 127-【答案】C 【解析】 【分析】首先计算出18f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再把18f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值带入1[()]8f f 计算即可。
【详解】根据题意得32211log log 2388f -⎛⎫===- ⎪⎝⎭，所以()311[()]33827f f f -=-==，所以选择C【点睛】本题主要考查了分段函数求值的问题，属于基础题。