高考数学一轮复习： 第8章 平面解析几何 第8节 曲线与方程学案 理 北师大版
高考数学一轮复习第八章平面解析几何圆的方程学案理含解析北师大版
高考数学一轮复习第八章平面解析几何：第三节 圆的方程命题分析预测学科核心素养本节是命题的热点，主要考查圆的方程，多以选择题和填空题形式考查，难度中等．本节通过圆的方程的求法考查数学运算和直观想象核心素养．授课提示：对应学生用书第171页 知识点一 圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2（r ＞0）圆心C （a ，b ）半径为r 一般x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（D 2＋E 2－4F ＞0）充要条件： D 2＋E 2－4F ＞0圆心坐标：⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2半径r ＝ 12D 2＋E 2－4F• 温馨提醒 •二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是D 2＋E 2－4F >0，与一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的判别式Δ＝b 2－4ac 相类似，表述的都是一次项的平方和减去二次项与常数项积的4倍，只有把条件理解了、记清楚了，才不会陷入命题人设置的这个“陷阱”．1．若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是_________． 解析：将x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0化为圆的标准方程得⎝⎛⎭⎫x ＋m 22＋（y －1）2＝m24－2． 由其表示圆可得m 24－2＞0，解得m ＜－22或m ＞22．答案：（－∞，－22）∪（22，＋∞）2．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋（a ＋2）y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是 ，半径是_________．解析：由题可得a 2＝a ＋2，解得a ＝－1或a ＝2．当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，表示圆，故圆心为（－2，－4），半径为5．当a ＝2时，方程不表示圆． 答案：（－2，－4） 53．圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A （－1，1）和B （1，3），则圆C 的方程为_________． 解析：设圆心坐标为C （a ，0），因为点A （－1，1）和B （1，3）在圆C 上， 所以|CA |＝|CB |，即（a ＋1）2＋1＝（a －1）2＋9， 解得a ＝2，所以圆心为C （2，0），半径|CA |＝（2＋1）2＋1＝10， 所以圆C 的方程为（x －2）2＋y 2＝10． 答案：（x －2）2＋y 2＝10 知识点二 点与圆的位置关系平面上的一点M （x 0，y 0）与圆C ：（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2之间存在着下列关系： （1）d ＞r ⇔M 在圆外，即（x 0－a ）2＋（y 0－b ）2＞r 2⇔M 在圆外； （2）d ＝r ⇔M 在圆上，即（x 0－a ）2＋（y 0－b ）2＝r 2⇔M 在圆上； （3）d ＜r ⇔M 在圆内，即（x 0－a ）2＋（y 0－b ）2＜r 2⇔M 在圆内Ｗ．1．（2021·南昌二中月考）若坐标原点在圆（x －m ）2＋（y ＋m ）2＝4的内部，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（－1，1） B ．（－3，3） C ．（－2，2）D ．⎝⎛⎭⎫－22，22 解析：∵原点（0，0）在圆（x －m ）2＋（y ＋m ）2＝4的内部， ∴（0－m ）2＋（0＋m ）2＜4，解得－2＜m ＜2． 答案：C2．若点（1，1）在圆（x －a ）2＋（y ＋a ）2＝4的内部，则实数a 的取值范围是_________． 解析：因为点（1，1）在圆内，所以（1－a ）2＋（a ＋1）2＜4，即－1＜a ＜1． 答案：（－1，1）授课提示：对应学生用书第171页题型一 圆的方程求法[例] 求满足下列条件的圆的方程：（1）过点A （4，1）的圆C 与直线l ：x －y －1＝0相切于点B （2，1）；（2）已知圆C 经过P （－2，4），Q （3，－1）两点，且在x 轴上截得的弦长等于6． [解析] （1）法一：由已知k AB ＝0， 所以AB 的中垂线方程为x ＝3． ①过点B 且垂直于直线x －y －1＝0的直线方程为y －1＝－（x －2）， 即x ＋y －3＝0， ②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，所以圆心坐标为（3，0），半径r ＝（4－3）2＋（1－0）2＝2， 所以圆C 的方程为（x －3）2＋y 2＝2．法二：设圆方程为（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2（r ＞0）， 因为点A （4，1），B （2，1）都在圆上，故⎩⎪⎨⎪⎧（4－a ）2＋（1－b ）2＝r 2，（2－a ）2＋（1－b ）2＝r 2， 又因为b －1a －2＝－1，解得a ＝3，b ＝0，r ＝2，故所求圆的方程为（x －3）2＋y 2＝2．（2）设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（D 2＋E 2－4F ＞0）， 将P ，Q 两点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20， ①3D －E ＋F ＝－10. ②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0． ③ 设x 1，x 2是方程③的两根， 由|x 1－x 2|＝6，即（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝36， 得D 2－4F ＝36， ④由①②④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8， 或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0．故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0．求圆的方程的两种方法（1）几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．（2）待定系数法：①若已知条件与圆心（a ，b ）和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．[对点训练]已知圆C 经过直线x ＋y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝4的交点，且圆C 的圆心在直线2x －y －3＝0上，则圆C 的方程为_________．解析：设所求圆的方程为（x 2＋y 2－4）＋a （x ＋y ＋2）＝0，a ≠0，即x 2＋y 2＋ax ＋ay －4＋2a ＝0，所以圆心为⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 2，因为圆心在直线2x －y －3＝0，所以－a ＋a2－3＝0，所以a ＝－6． 所以圆的方程为x 2＋y 2－6x －6y －16＝0，即（x －3）2＋（y －3）2＝34． 答案：（x －3）2＋（y －3）2＝34题型二 与圆有关的轨迹问题[例] （2021·衡水中学调研）已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A （－1，0），B （3，0）．求： （1）直角顶点C 的轨迹方程； （2）直角边BC 的中点M 的轨迹方程．[解析] （1）法一：设C （x ，y ），因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0． 因为AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1， 又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0．因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0（y ≠0）．法二：设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D （1，0），由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2．由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D （1，0）为圆心，2为半径的圆（由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点）．所以直角顶点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4（y≠0）．（2）设M（x，y），C（x0，y0），因为B（3，0），M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝x0＋32，y＝y0＋02，所以x0＝2x－3，y0＝2y．由（1）知，点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4（y≠0），将x0＝2x－3，y0＝2y代入得（2x －4）2＋（2y）2＝4，即（x－2）2＋y2＝1．因此动点M的轨迹方程为（x－2）2＋y2＝1（y≠0）．求与圆有关的轨迹方程的方法[对点训练]如图，已知点A（－1，0）与点B（1，0），C是圆x2＋y2＝1上的动点，连接BC并延长至点D，使得|CD|＝|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程．解析：设动点P的坐标为（x，y），由题意可知P是△ABD的重心．令动点C的坐标为（x0，y0），由A（－1，0），B（1，0），可知点D的坐标为（2x0－1，2y0），由重心坐标公式得⎩⎨⎧x ＝－1＋1＋2x 0－13，y ＝2y 03，解得⎩⎨⎧x 0＝3x ＋12，y 0＝3y2（y ≠0），代入x 20＋y 20＝1并整理得⎝⎛⎭⎫x ＋132＋y 2＝49（y ≠0）． 故所求轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x ＋132＋y 2＝49（y ≠0）． 题型三 与圆有关的最值、范围问题[例] （2021·兰州市高三诊断考试）已知圆C ：（x －1）2＋（y －4）2＝10和点M （5，t ），若圆C 上存在两点A ，B 使得MA ⊥MB ，则实数t 的取值范围是（ ） A ．[－2，6] B ．[－3，5] C ．[2，6]D ．[3，5][解析] 法一：当MA ，MB 是圆C 的切线时，∠AMB 取得最大值．若圆C 上存在两点A ，B 使得MA ⊥MB ，则MA ，MB 是圆C 的切线时，∠AMB ≥90°，∠AMC ≥45°，且∠AMC ＜90°，如图，所以|MC |＝（5－1）2＋（t －4）2≤10sin 45°＝20，所以16＋（t －4）2≤20，所以2≤t ≤6．法二：由于点M （5，t ）是直线x ＝5上的点，圆心的纵坐标为4，所以实数t 的取值范围一定关于t ＝4对称，故排除选项A ，B ．当t ＝2时，|CM |＝25，若MA ，MB 为圆C 的 切线，则sin ∠CMA ＝sin ∠CMB ＝1025＝22，所以∠CMA ＝∠CMB ＝45°，即MA ⊥MB ，所以t ＝2时符合题意，故排除选项D ． [答案] C与圆有关的最值、范围问题一是利用数形结合思想进行临界分析，二是利用条件建立目标函数转化为函数最值或值域问题．[对点训练]（2021·厦门模拟）设点P （x ，y ）是圆：x 2＋（y －3）2＝1上的动点，定点A （2，0），B （－2，0），则P A →·PB →的最大值为_________．解析：由题意，知P A →＝（2－x ，－y ），PB →＝（－2－x ，－y ），所以P A →·PB →＝x 2＋y 2－4，由于点P （x ，y ）是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋（y －3）2＝1，故x 2＝－（y －3）2＋1，所以P A →·PB →＝－（y －3）2＋1＋y 2－4＝6y －12．由圆的方程x 2＋（y －3）2＝1，易知2≤y ≤4，所以当y ＝4时，P A →·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12． 答案：12与圆有关的轨迹问题中的核心素养直观想象——从课本习题看“阿波罗尼斯”圆历史背景：阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德一起被称为亚历山大时期的数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要的研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中，“阿波罗尼斯”圆是他的研究成果之一．[例] 已知点M 与两个定点O （0，0），A （3，0）的距离之比为12，求点M 的轨迹方程．[解析] 如图所示，设动点M （x ，y ），连接MO ，MA ，有：|MA |＝2|MO |，即（x －3）2＋y 2＝2x 2＋y 2，化简得：x 2＋y 2＋2x －3＝0， 即（x ＋1）2＋y 2＝4 ①，则方程①即为所求点M 的轨迹方程，它表示以C （－1，0）为圆心，2为半径的圆．若对此题进行二次开发，从系统的高度切入，可以进行从特殊到一般的推广探究，还可以分析挖掘出这道题的几何背景，题中所求出的圆，我们习惯上称这种圆为“阿波罗尼斯”圆．“阿波罗尼斯”圆不仅是具有数学文化的探究素材，而且在高考中以它为背景的考题也经常出现．[对点训练]阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，“阿波罗尼斯”圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A ，B 的距离之比为λ（λ＞0，λ≠1），那么点M 的轨迹就是“阿波罗尼斯”圆．下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆O ：x 2＋y 2＝1上的动点M 和定点A ⎝⎛⎭⎫－12，0，B （1，1），则2|MA |＋|MB |的最小值为（ ） A ．6 B ．7 C ．10D ．11解析：当点M 在x 轴上时，点M 的坐标为（－1，0）或（1，0）．若点M 的坐标为（－1，0），则2|MA |＋|MB |＝2×12＋（1＋1）2＋12＝1＋5；若点M 的坐标为（1，0），则2|MA |＋|MB |＝2×32＋（1－1）2＋12＝4．当点M 不在x 轴上时，取点K （－2，0），连接OM ，MK （图略），因为|OM |＝1，|OA |＝12，|OK |＝2，所以|OM ||OA |＝|OK ||OM |＝2．因为∠MOK ＝∠AOM ，所以△MOK ∽△AOM ，则|MK ||MA |＝|OM ||OA |＝2，所以|MK |＝2|MA |，则2|MA |＋|MB |＝|MB |＋|MK |．易知|MB |＋|MK |≥|BK |，可知|MB |＋|MK |的最小值为|BK |．因为B （1，1），K （－2，0），所以（2|MA |＋|MB |）min ＝|BK |＝（－2－1）2＋（0－1）2＝10． 综上，易知2|MA |＋|MB |的最小值为10． 答案：C。
高考数学大一轮总复习 第八章 平面解析几何 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 文 北师大版
到直线
x＋2y－3＝0
的距离为
d＝|2＋2×12＋－212－3|＝
3， 5
所求弦长 l＝2 r2－d2＝2 4－95＝2 555。
R 热点命题 深度剖析
考点一 直线与圆的位置关系
• 【例1】 (1)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个 不同交点的一个充分不必要条件( )
• A．－3<m<1 B．－4<m<2 • C．0<m<1 D．m<1
d__<___r d__＝___r d__>___r
代数法
Δ___>__0 Δ__＝___0 Δ___<__0
2.圆与圆的位置关系 设圆 O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)， 圆 O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)。
方法 几何法：圆心距d与r1，r2的 位置关系 关系
解析 k＝1 时，图像如图(1)，此时△OAB 的面积 S＝12×1×1＝12， 所以 k＝1 是△OAB 面积为12的充分条件；而当△OAB 面积为12时，直线 l 有 l1 或 l2 两种可能，如图(2)，k＝1 或 k＝－1。综上，可知选 A。
• 答案 A
• • 图(1)
图(2)
• 4．以点A(－1,3)为圆心，且与圆(x－3)2＋y2＝9外切的圆的 (x方＋1程)2＋为(y_－__3_)2_＝_4______________。
解析 由题意知点在圆外，则 a2＋b2>1，圆心到直线的距离 d＝ a21＋b2<1，故直线与圆相交。
答案 B
3．直线 l：y＝kx＋1 与圆 O：x2＋y2＝1 相交于 A，B 两点，则“k＝1”
届高考数学大一轮总复习 第八章 平面解析几何 8.3 圆的方程课件 理 北师大版
(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＝0不一定表示圆。( × ) 解析 错误。方程x2＋y2＋4mx－2y＝0可化为(x＋2m)2＋(y－1)2＝4m2 ＋1，由于4m2＋1>0，所以此方程一定表示圆。 (4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋ F>0。( √ ) 解析 正确。若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则必有x＋ y＋Dx0＋Ey0＋F>0成立。
解 如图所示，设 P(x，y)，N(x0，y0)，则线段 OP 的中点坐标为2x，y2， 线段 MN 的中点坐标为x0－2 3，y0＋2 4。由于
平行四边形的对角线互相平分，
故x2＝x0－2 3，y2＝y0＋2 4。从而xy00＝ ＝xy＋ －34， 。
N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4。 因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，
考点二 与圆有关的最值问题
与圆有关的最值问题是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式 出现，试题难度不大，多为容易题、中档题，且主要有以下几个命题角 度：
角度一：斜率型最值问题 1．(2016·渭南模拟)已知实数 x，y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0，则yx的 最大值为_____3___，最小值为_－____3___。
【解析】 由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为(4,0)，(0,2)，(0，－ 2)，设圆心为(a,0)(a>0)，所以 a－02＋0－22＝4－a，解得 a＝32，故圆 心为23，0，此时半径 r＝4－32＝52，因此该圆的标准方程是x－322＋y2＝245。
高考数学一轮复习： 第8章 平面解析几何 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程学案 理 北师大版
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程[考纲传真] (教师用书独具)1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．(对应学生用书第130页)[基础知识填充]1．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角，当直线l 和x 轴平行时，它的倾斜角为0.(2)倾斜角的范围是[0，π)．2．直线的斜率(1)定义：当α≠90°时，一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线斜率不存在． (2)过两点的直线的斜率公式经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3．直线方程的五种形式名称 方程适用范围点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含直线x ＝x 0 斜截式 y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1(x 1≠x 2)和直线y ＝y 1(y 1≠y 2)截距式 x a ＋y b＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0，A 2＋B 2≠0平面内所有直线都适用1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( ) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( )(4)过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．( )(5)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√2．直线3x －y ＋a ＝0的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°B [设直线的倾斜角为α，则tan α＝3， ∵α∈[0，π)，∴α＝π3.]3．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1B ．4C ．1或3D ．1或4A [由题意知4－mm ＋2＝1(m ≠－2)，解得m ＝1.]4．(教材改编)直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a ＝________.1或－2 [令x ＝0，则l 在y 轴上的截距为2＋a ；令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1＋2a.依题意2＋a ＝1＋2a，解得a ＝1或a ＝－2.]5．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0 [若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y＝0.若直线不过原点，设x a ＋ya＝1，即x ＋y ＝a ，则a ＝3＋(－4)＝－1，所以直线方程为x ＋y ＋1＝0.](对应学生用书第130页)直线的倾斜角与斜率(1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的范围是( ) A ．[0，π)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，πC ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π(2)若直线l 过点P (－3,2)，且与以A (－2，－3)，B (3,0)为端点的线段相交，则直线l 的斜率的取值范围是________．(1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－13 [(1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，又sinα∈[－1,1]，θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π. (2)因为P (－3,2)，A (－2，－3)，B (3,0)，则k PA ＝－3－2－2－(－3)＝－5，k PB ＝0－23－(－3)＝－13.如图所示，当直线l 与线段AB 相交时，直线l 的斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－13.][规律方法] 1.倾斜角α与斜率k 的关系1当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，k ∈[0，＋∞.2当α＝π2时，斜率k 不存在.3当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，k ∈－∞，0. 2.斜率的两种求法1定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率.2公式法：若已知直线上两点A x 1，y 1，Bx 2，y 2，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1x 1≠x 2求斜率.3.倾斜角α范围与直线斜率范围互求时，要充分利用y ＝tan α的单调性.a ＝( )A ．1±2或0B.2－52或0C ．2±52D.2＋52或0 (2)直线l 经过A (3,1)，B (2，－m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是________．(1)A (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 [(1)∵平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，∴k AB＝k AC ， 即a 2＋a 2－1＝a 3＋a3－1，即a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a ＝1± 2.故选A ．(2)直线l 的斜率k ＝1＋m 23－2＝1＋m 2≥1，所以k ＝tan α≥1.又y ＝tan α在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，因此π4≤α＜π2.]求直线方程根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.【导学号：79140262】[解] (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0≤α＜π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. [规律方法] 求直线方程应注意以下三点1在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.2对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零.3截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解.[跟踪训练] 求适合下列条件的直线方程：(1)过点P (2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数； (2)过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍． [解] (1)当直线过原点时，方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0.当直线l 不过原点时，设直线方程为x a －y a＝1. 将P (2,3)代入方程，得a ＝－1， 所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0.综上，所求直线l 的方程为3x －2y ＝0或x －y ＋1＝0. (2)设直线y ＝3x 的倾斜角为α， 则所求直线的倾斜角为2α. 因为tan α＝3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.直线方程的综合应用过点P (4,1)作直线l 分别交x 轴，y 轴正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点． (1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程． [解] 设直线l ：x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)， 因为直线l 经过点P (4,1)， 所以4a ＋1b＝1.(1)4a ＋1b＝1≥24a ·1b＝4ab，所以ab ≥16，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立，所以当a ＝8，b ＝2时，△AOB 的面积最小， 此时直线l 的方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0.(2)因为4a ＋1b＝1，a ＞0，b ＞0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝5＋a b ＋4b a≥5＋2a b ·4ba＝9，当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x 6＋y3＝1，即x ＋2y －6＝0.[规律方法] 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略1求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值. 2含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”.3求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.121l 2与两坐标轴正半轴围成一个四边形，则当a 为何值时，四边形的面积最小？【导学号：79140263】[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧ax －2y ＝2a －4，2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，得x ＝y ＝2，∴直线l 1与l 2交于点A (2,2)(如图)．易知|OB |＝a 2＋2，|OC |＝2－a ， 则S四边形OBAC＝S △AOB ＋S △AOC ＝12×2(a 2＋2)＋12×2(2－a )＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，a ∈(0,2)，∴当a ＝12时，四边形OBAC 的面积最小．。
高考数学大一轮总复习 第八章 平面解析几何 8.3 圆的
(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＝0不一定表示圆。( × ) 解析 错误。方程x2＋y2＋4mx－2y＝0可化为(x＋2m)2＋(y－1)2＝4m2
＋1，由于4m2＋1>0，所以此方程一定表示圆。
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋ F>0。( √ )
解析 正确。若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则必有x＋ y＋Dx0＋Ey0＋F>0成立。
[练一练]
1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )
A．(2,3)
B．(－2,3)
C．(－2，－3)
D．(2，－3)
解析 －3)。
答案
圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2， D
解析 因为圆C的圆心与点P(1,0)关于直线y＝x对称，所以圆C的圆心 坐标为(0,1)，且圆C的半径为1，所以所求圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝1。
5 ． 经 过 三 点 (2 ， － 1) 、 (5,0) 、 (6,1) 的 圆 的 一 般 方 程 为 __x_2_＋__y_2－__4_x_－__8_y_－__5_＝__0____。
()
A．－1<a<1 C．a>1或a<－1
B．0<a<1 D．a＝±1
解析 ∵点(1,1)在圆的内部， ∴(1－a)2＋(1＋a)2<4，∴－1<a<1。 答案 A
4．若圆C的半径为1，其圆心与点P(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的 标准方程为___x_2＋__(_y_－__1_)_2＝__1____。
解析 设所求方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
高考数学一轮复习第八章平面解析几何双曲线学案理含解析北师大版
高考数学一轮复习第八章平面解析几何：第七节双曲线命题分析预测学科核心素养从近五年的考查情况来看，本节主要考查双曲线的定义、标准方程和几何性质，其中离心率和渐近线问题是高考考查的重点，以选择题和填空题为主，难度中等．本节主要考查考生数形结合思想的运用，提升数学运算、直观想象核心素养．授课提示：对应学生用书第184页知识点一双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线：（1）在平面内；（2）与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数；（3）非零常数小于|F1F2|．•温馨提醒•双曲线定义的四点辨析（1）当0＜2a＜|F1F2|时，动点的轨迹才是双曲线．（2）当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．（3）当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线．（4）当2a＞|F1F2|时，动点的轨迹不存在．1．过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是（）A．28B．14－8 2C．14＋8 2 D．8 2解析：根据双曲线定义可知，|PF2|－|PF1|＝42，|QF2|－|QF1|＝42，所以|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝82，∴|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝2|PQ|＋82＝14＋82．答案：C2．（易错题）平面内到点F1（0，4），F2（0，－4）的距离之差等于6的点的轨迹是_________．解析：由|PF1|－|PF2|＝6＜|F1F2|＝8，得a＝3，又c＝4，则b2＝c2－a2＝7，所以所求点的轨迹是双曲线y 29－x 27＝1的下支．答案：双曲线y 29－x 27＝1的下支知识点二 双曲线的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0） y 2a 2－x 2b 2＝1（a >0，b >0） 图 形性质范围 x ≤－a 或x ≥a ，y ∈Ry ≤－a 或y ≥a ，x ∈R对称性对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点 顶点坐标：A 1（－a ，0），A 2（a ，0）顶点坐标： A 1（0，－a ），A 2（0，a ）渐近线 y ＝±baxy ＝±abx离心率 e ＝ca，e ∈（1，＋∞） a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2实虚轴 线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ； a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长• 温馨提醒 •1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b ．2．同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于长轴的弦），其长为2b 2a ；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a ．3．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2．1．已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为（ ） A ．x ±2y ＝0 B ．2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0答案：A2．经过点A （3，－1），且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_________． 解析：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a 2＝±1（a ＞0），把点A （3，－1）代入，得a 2＝8（舍负）， 故所求方程为x 28－y 28＝1．答案：x 28－y 28＝1授课提示：对应学生用书第185页题型一 双曲线的定义及标准方程1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 29＝1（a ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条渐近线与直线4x ＋3y＝0垂直，点M 在C 上，且|MF 2|＝6，则|MF 1|＝（ ） A ．2或14 B ．2 C ．14D ．2或10解析：由题意知3a ＝34，故a ＝4，则c ＝5．由|MF 2|＝6＜a ＋c ＝9，知点M 在C 的右支上，由双曲线的定义知|MF 1|－|MF 2|＝2a ＝8，所以|MF 1|＝14． 答案：C2．（2020·高考全国卷Ⅰ）设F 1，F 2是双曲线C ：x 2－y 23＝1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP |＝2，则△PF 1F 2的面积为（ ） A ．72B ．3C ．52D ．2解析：法一：由题知a ＝1，b ＝3，c ＝2，F 1（－2，0），F 2（2，0），如图，因为|OF 1|＝|OF 2|＝|OP |＝2，所以点P 在以F 1F 2为直径的圆上，故PF 1⊥PF 2，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝（2c ）2＝16． 由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝4，所以|PF 1||PF 2|＝6，所以△PF 1F 2的面积为12|PF 1||PF 2|＝3．法二：由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F 1，F 2在x 轴上，且|F 1F 2|＝21＋3＝4．设点P 的坐标为（x 0，y 0），则⎩⎪⎨⎪⎧x 20－y 23＝1，x 20＋y 20＝2，解得|y 0|＝32．所以△PF 1F 2的面积为12|F 1F 2|·|y 0|＝12×4×32＝3． 答案：B3．（2021·洛阳模拟）若双曲线x 24－y 212＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A （1，4），则|PF |＋|P A |的最小值是（ ） A ．8 B ．9 C ．10D ．12解析：由题意知，双曲线x 24－y 212＝1的左焦点F 的坐标为（－4，0），设双曲线的右焦点为B ，则B （4，0），由双曲线的定义知|PF |＋|P A |＝4＋|PB |＋|P A |≥4＋|AB |＝4＋（4－1）2＋（0－4）2＝4＋5＝9，当且仅当A ，P ，B 三点共线且P 在A ，B 之间时取等号． 所以|PF |＋|P A |的最小值为9． 答案：B4．已知双曲线过点（2，3），渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是（ ） A ．7x 216－y 212＝1B ．y 23－x 22＝1C ．x 2－y 23＝1 D ．3y 223－x 223＝1解析：法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1（a ＞0，b ＞0），由题意得⎩⎨⎧4a 2－9b 2＝1，b a ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x 2－y23＝1；当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的标准方程是y 2a 2－x2b 2＝1（a ＞0，b ＞0），由题意得⎩⎨⎧9a 2－4b 2＝1，ab ＝3无解．故该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1．法二：当其中的一条渐近线方程y ＝3x 中的x ＝2时，y ＝23＞3，又点（2，3）在第一象限，所以双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1（a ＞0，b ＞0），由题意得⎩⎨⎧4a 2－9b 2＝1，b a＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1．答案：C双曲线定义及标准方程问题求解中的两个注意点(1)应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”，若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．(2)求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a ，b ，c 的关系易错易混．题型二 双曲线的几何性质双曲线的渐近线与离心率问题是每年各地高考命题的热点．常见的命题角度有：（1）已知离心率求渐近线方程；（2）已知渐近线求离心率；（3）由离心率或渐近线求双曲线方程．[例1] 已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）的离心率e ∈（1，2]，则其经过第一、三象限的渐近线的倾斜角的取值范围是（ ） A ．⎝⎛⎦⎤0，π6 B ．⎝⎛⎦⎤0，π3C ．⎣⎡⎭⎫π6，π2D ．⎣⎡⎭⎫π3，π2[解析] 因为双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）的离心率e ∈（1，2]，所以1＜c a ≤2，所以1＜c 2a 2≤4，又c 2＝a 2＋b 2，所以0＜b 2a 2≤3，所以a 2b 2≥13，所以a b ≥33．y 2a 2－x 2b2＝1（a ＞0，b ＞0）经过第一、三象限的渐近线的方程为y ＝a b x ，设该渐近线的倾斜角为α，则tan α＝a b ≥33，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α∈⎣⎡⎭⎫π6，π2． [答案] C考法（二） 已知渐近线求离心率[例2] （2020·高考全国卷Ⅰ）已知F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的离心率为_________． [解析] 如图，A （a ，0）．由BF ⊥x 轴且AB 的斜率为3，知点B 在第一象限，且B ⎝⎛⎭⎫c ，b2a ， 则k AB ＝b 2a－0c －a ＝3，即b 2＝3ac －3a 2．又∵c 2＝a 2＋b 2，即b 2＝c 2－a 2，∴c 2－3ac ＋2a 2＝0， ∴e 2－3e ＋2＝0．解得e ＝2或e ＝1（舍去）．故e ＝2． [答案] 2考法（三） 由离心率或渐近线求双曲线方程[例3] （2021·义乌模拟）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）的一个焦点落在直线y ＝x －2上，双曲线的焦点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为（ ） A ．x 23－y 24＝1B ．x 24－y 23＝1C ．x 2－y 23＝1 D ．x 23－y 2＝1[解析] 依题意得，直线y ＝x －2与x 轴的交点（2，0）是双曲线的一个焦点，于是有a 2＋b 2＝4．又双曲线的焦点到渐近线的距离为b ＝1，因此有a 2＝3，故双曲线的方程为x 23－y 2＝1． [答案] D解决有关渐近线与离心率关系问题的两个注意点（1）已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分|m |＝b a 或|m |＝ab 讨论．（2）注意数形结合思想在求渐近线夹角、离心率范围中的应用．[题组突破]1．（2020·高考全国卷Ⅱ）设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线分别交于D ，E 两点．若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4 B ．8 C ．16D ．32解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，分别与x ＝a 联立，可得D （a ，b ），E （a ，－b ），∴S △ODE ＝12×a ×|DE |＝12a ×2b ＝ab ＝8，∴c 2＝a 2＋b 2≥2ab ＝16．当且仅当a ＝b ＝22时，等号成立． ∴c 2的最小值为16，∴c 的最小值为4， ∴C 的焦距的最小值为2×4＝8． 答案：B2．（2021·济南模拟）中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆（x －2）2＋y 2＝1都相切，则双曲线C 的离心率是（ ） A ．2或233B ．2或 3C ．3或62D ．233或62解析：设双曲线C 的渐近线方程为y ＝kx ，∵双曲线的渐近线与圆相切，∴|2k |k 2＋1＝1，∴k ＝±33，则可得双曲线的一条渐近线的方程为y ＝33x ．故需分双曲线的焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论： ①当双曲线的焦点在x 轴上时，有b a ＝33，即a ＝3b ，∴e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝233；②当双曲线的焦点在y 轴上时，有a b ＝33，即a ＝33b ，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝2．∴双曲线C 的离心率为233或2．答案：A3．（2021·武汉质监）已知双曲线E ：x 216－y 2m 2＝1的离心率为54，则双曲线E 的焦距为（ ）A ．4B ．5C ．8D ．10解析：因为a ＝4，离心率e ＝c a ＝54，所以c ＝5，所以双曲线的焦距2c ＝10．答案：D题型三 直线与双曲线的位置关系[例] 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（4，0），实轴长为43． （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l ：y ＝kx ＋22与双曲线C 左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围． [解析] （1）设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）．由已知得：a ＝23，c ＝4，再由a 2＋b 2＝c 2， 得b 2＝4，所以双曲线C 的方程为x 212－y 24＝1．（2）设A （x A ，y A ），B （x B ，y B ），将y ＝kx ＋22与x 212－y 24＝1联立，得（1－3k 2）x 2－122kx－36＝0．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－122k ）2＋4×（1－3k 2）×36＞0，x A＋x B＝122k 1－3k 2＜0，x A x B＝－361－3k 2＞0，解得33＜k ＜1． 所以当33＜k ＜1时，l 与双曲线左支有两个交点．解决直线与双曲线位置关系问题的步骤[对点训练]（2019·高考全国卷Ⅰ）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为 ．解析：法一：由F 1A →＝AB →，得A 为F 1B 的中点． 又∵O 为F 1F 2的中点，∴OA ∥BF 2．又F 1B →·F 2B →＝0，∴∠F 1BF 2＝90°． ∴OF 2＝OB ，∴∠OBF 2＝∠OF 2B ． 又∵∠F 1OA ＝∠BOF 2， ∠F 1OA ＝∠OF 2B ，∴∠BOF 2＝∠OF 2B ＝∠OBF 2，∴△OBF 2为等边三角形． 如图所示，不妨设B 为⎝⎛⎭⎫c 2，－32c ．∵点B 在直线y ＝－b a x 上，∴ba ＝3，∴离心率e ＝ca＝2．法二：∵F 1B →·F 2B →＝0，∴∠F 1BF 2＝90°．在Rt △F 1BF 2中，O 为F 1F 2的中点，∴|OF 2|＝|OB |＝c ．如图，作BH ⊥x 轴于H ，由l 1为双曲线的渐近线，可得|BH ||OH |＝b a ，且|BH |2＋|OH |2＝|OB |2＝c 2，∴|BH |＝b ，|OH |＝a ， ∴B （a ，－b ），F 2（c ，0）． 又∵F 1A →＝AB →， ∴A 为F 1B 的中点． ∴OA ∥F 2B ，∴b a ＝bc －a ，∴c ＝2a ，∴离心率e ＝ca ＝2．答案：2双曲线几何性质的核心素养数学运算、直观想象——双曲线的离心率范围问题[例] （2021·黑龙江海林月考）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）．若存在过右焦点F 的直线与双曲线交于A ，B 两点，且AF →＝3BF →，则双曲线离心率的最小值为（ ） A ．2 B ． 3 C ．2D ．2 2[解析] 因为过右焦点F 的直线与双曲线相交于A ，B 两点，且AF →＝3BF →，所以直线与双曲线相交只能交于左、右两支，且点A 在左支上，点B 在右支上．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），右焦点F （c ，0）．因为AF →＝3BF →，所以c －x 1＝3（c －x 2），所以3x 2－x 1＝2c ．因为x 1≤－a ，x 2≥a ，所以－x 1≥a ，3x 2≥3a ，所以3x 2－x 1≥4a ，即2c ≥4a ，所以ca ≥2，即e ≥2，所以双曲线离心率的最小值为2． [答案] C双曲线离心率的求值及范围问题的解题策略解决双曲线的离心率的范围问题，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．建立关于a ，b ，c 的不等式，要充分利用双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．[对点训练]（2021·湖北九校联考）已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，使得点F 2到直线PF 1的距离为a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．⎝⎛⎭⎫1，52B ．⎝⎛⎭⎫52，＋∞ C ．（1，5） D ．（5，＋∞）解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ．设直线PF 1的方程为y ＝k （x ＋c ），因为点P 在双曲线的右支上，所以|k |＜b a ．由F 2（c ，0）到直线PF 1的距离d ＝2|kc |k 2＋1＝a ，解得k 2＝a 24c 2－a 2＝a 23c 2＋b 2，根据k 2＜b 2a 2，得a 4＜3b 2c 2＋b 4，所以a 4－b 4＝（a 2＋b 2）（a 2－b 2）＝（a 2－b 2）c 2＜3b 2c 2，则a 2－b 2＜3b 2，即b 2a 2＞14，所以e 2＝1＋b 2a 2＞54，则e ＞52． 答案：B。
高考数学一轮总复习第八章平面解析几何 6双曲线课件
9
且 = 5，则△ 1 2 的面积为___.
解：由双曲线定义,知 1 − 2
= 5 =
1
2
= 2 = 8， 1 2 = 2 = 10.因为
1 2 ，所以点在以1 2 为直径的圆上，即△ 1 2 是以为直角顶点的
直角三角形.故 1
又 1 − 2
22
（3）通径长为 .
（4）为双曲线上一点，则 ≥ ， 1 ≥ − ，△ 1 2 的面积为
=
2
⋅
sin
1−cos
=
2
tan 2
= ∠1 2 .
（5）设,,是双曲线上的三个不同点,其中,两点关于原点对称,直线,的
2
斜率存在且不为0,则直线与的斜率之积为 2 （适用于焦点在轴上时）.
将直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为 2 + + = 0的形式，
在 ≠ 0的情况下考查方程的判别式.
两个
（1）Δ > 0时，直线与双曲线有______不同的公共点.
一个
（2）Δ = 0时，直线与双曲线有______公共点.
没有
（3）Δ < 0时，直线与双曲线______公共点.
D.15
= 6,而 1 = 7,解得 2 = 13或1.
（3）经过点 4,1
2
2
− =1
15
15
，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为___________.
2
解：设双曲线的方程为 2
把点 4,1 代入，得2 =
2
故所求方程为
15
2
−
15
=
2
− 2
2017届高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何 8.1 直线及其方程课时规范训练 理 北师大版
【高考领航】2017届高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何8.1 直线及其方程课时规范训练 理 北师大版[A 级 基础演练]1．(2016·秦皇岛模拟)直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6B.π3 C.2π3D.5π6解析：由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，又α∈[0，π)，所以α＝5π6.答案：D2．(2016·江门模拟)如果A ·C ＜0，且B ·C ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：由题意知A ·B ·C ≠0， 直线方程变为y ＝－AB x －C B. ∵A ·C ＜0，B ·C ＜0，∴A ·B ＞0， ∴其斜率k ＝－A B＜0， 又y 轴上的截距b ＝－C B＞0， ∴直线过第一、二、四象限． 答案：C3．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1) 解析：因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)．答案：D4．不论k 为何实数，直线(k －1)x ＋y －k ＋1＝0恒过定点________． 解析：将直线方程整理得k (x －1)＋y －x ＋1＝0∵k ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，y －x ＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.答案：(1,0)5．(2014·高考广东卷)曲线y ＝e －5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________．解析：因为y ′＝e－5x(－5x )′＝－5e －5x，所以y ′|x ＝0＝－5，故切线方程为y －3＝－5(x －0)，即5x ＋y －3＝0.答案：5x ＋y －3＝06．(2016·常州模拟)若ab ＜0，则过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1b 与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是________．解析：k PQ ＝－1b －00－1a＝ab ＜0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ 的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫π2，π.答案：⎝⎛⎭⎪⎫π2，π7．(2016·孝感模拟)在△ABC 中，已知点A (5，－2)，B (7,3)，且边AC 的中点M 在y 轴上，边BC 的中点N 在x 轴上．(1)求点C 的坐标； (2)求直线MN 的方程． 解：(1)设C (x ，y )． ∵AC 的中点M 在y 轴上，∴x ＋52＝0得x ＝－5， 又∵BC 的中点N 在x 轴上，∴y ＋32＝0得y ＝－3.∴C (－5，－3)．(2)由(1)知C (－5，－3)，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52，N (1,0)．由截距式得MN 的方程为x 1＋y－52＝1即5x －2y －5＝0.8. (2016·青岛模拟)已知两点A (－1,2)，B (m,3)． (1)求直线AB 的方程； (2)已知实数m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1， 当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)， (2)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，m ＋1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪(]0，3， ∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞， ∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3.综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.[B 级 能力突破]1．两条直线l 1：x a －yb ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一直角坐标系中的图像可能是( )解析：取特殊值法或排除法，可知A 正确． 答案：A2．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )A ．[0，π) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π解析：设倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1]． 又θ∈[0，π)，∴0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π.答案：B3．已知点A (－1,0)，B (cos α，sin α)，且|AB |＝3，则直线AB 的方程为( )A ．y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3B ．y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33C ．y ＝x ＋1或y ＝－x －1D ．y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 2 解析：|AB |＝α＋2＋sin 2α＝2＋2cos α＝3，所以cos α＝12，sin α＝±32，所以k AB ＝±33，即直线AB 的方程为y ＝±33(x ＋1)，所以直线AB 的方程为y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33，选B. 答案：B4．若过点P (－3，1)和Q (0，a )的直线的倾斜角的取值范围为π3≤α≤2π3，则实数a的取值范围是________．解析：过点P (－3，1)和Q (0，a )的直线的斜率k ＝a －10＋3＝a －13，又直线的倾斜角的取值范围是π3≤α≤2π3，所以k ＝a －13≥3或k ＝a －13≤－3，解得：a ≥4或a ≤－2. 答案：(－∞，－2]∪[4，＋∞)5．已知直线l 的倾斜角α满足3sin α＝cos α，且它在x 轴上的截距为2，则直线l 的方程是____________．解析：∵k l ＝tan α＝sin αcos α＝13，且过点(2,0)，∴直线方程为y ＝13(x －2)即x －3y －2＝0. 答案：x －3y －2＝06．(2015·苏州模拟)直线x cos θ＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是________． 解析：由题知k ＝－33cos θ，故k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33，结合正切函数的图像，当k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，33时，直线倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0时，直线倾斜角α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫56π，π，故直线的倾斜角的范围是：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫56π，π. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫56π，π 7．已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程． 解：(1)设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)．设直线l 的方程为x a ＋y b＝1，则1a ＋1b＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a≥2＋2a b ·ba＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.(2)设直线l 的斜率为k ，则k ＜0，直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫1－1k，0，B (0,1－k )，所以|MA |2＋|MB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k2≥2＋2k 2·1k2＝4，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时，|MA |2＋|MB |2取得最小值4，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.。
高考数学大一轮总复习 第八章 平面解析几何 8.1 直线
R 热点命题 深度剖析
考点一 直线的倾斜角和斜率
【例1】 (1)直线xsin α－y＋1＝0的倾斜角的变化范围是( )
A.0，2π
B．(0，π)
C.－π4，π4
【解析】
D.0，π4∪34π，π
直线 xsin α－y＋1＝0 的斜率是 k＝sin α，
两点式 过两点(x1，y1)，(x2， _yy_2－_－_y_y11_＝__xx_2－_－_x_x1_1 _ y2)，(x1≠x2，y1≠y2)
不包括 __垂__直__于__坐__标__轴___的 直线
名称
几何条件
在 x 轴、y 轴上的截 截距式 距分别为 a，b(a，
b≠0)
方程 __ax_＋__by_＝__1___
Q(2,2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是 _－__23_，__12__。
【解析】 如图所示，直线 l：x＋my＋m＝0 过定点 A(0，－1)，当 m≠0 时，kQA＝23，kPA＝－2，kl＝－m1 。
∴－m1 ≤－2 或－m1 ≥32。 解得 0<m≤12或－32≤m<0； 当 m＝0 时，直线 l 的方程为 x＝0，与线段 PQ 有交点。 ∴实数 m 的取值范围为－23，12。
5 ． 直 线 l ： ax ＋ y － 2 － a ＝ 0 在 x 轴 、 y 轴 上 的 截 距 相 等 ， 则 a ＝ _－__2_或__1__。
解析 令 x＝0，则 y＝2＋a，即在 y 轴上的截距为 2＋a，同理在 x 轴 上的截距为2＋a a。所以 2＋a＝2＋a a，解得 a＝－2 或 a＝1。
(3)ห้องสมุดไป่ตู้线的倾斜角越大，斜率k就越大。( × )
2022届高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.4直线与圆圆与圆的位置关系学案理含解析北师大版202
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系命题分析预测学科核心素养本节是高考的重点，主要考查直线与圆的位置关系、弦长问题、切线问题、圆与圆的位置关系，一般以选择题和填空题的形式出现，有时与椭圆、双曲线、抛物线交汇命题． 本节主要考查考生的数学运算、直观想象核心素养和数形结合思想的运用．授课提示：对应学生用书第174页 知识点一 直线与圆的位置关系设圆C ：（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C （a ，b ）到直线l 的距离为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，Ax ＋By ＋C ＝0，消去y （或x ）得到关于x （或y ）的一元二次方程，其判别式为Δ．方法位置关系几何法 代数法 相交 d ＜r Δ＞0 相切 d ＝r Δ＝0 相离d ＞rΔ＜0•温馨提醒•与圆的切线有关的结论（1）与圆x 2＋y 2＝r 2相切于点P （x 0，y 0）的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2．（2）与圆（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2相切于点P （x 0，y 0）的切线方程为（x 0－a ）（x －a ）＋（y 0－b ）（y －b ）＝r 2．（3）过圆x 2＋y 2＝r 2外一点P （x 0，y 0）作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则过A 、B 两点的直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2．1．若直线x －y ＋1＝0与圆（x －a ）2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值X 围是（ ） A ．[－3，－1] B ．[－1，3]C ．[－3，1]D ．（－∞，－3]∪[1，＋∞）解析：由题意可得，圆的圆心为（a ，0），半径为2，∴|a －0＋1|12＋（－1）2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1．答案：C2．直线x ＋y －2＝0与圆（x －1）2＋（y －2）2＝1相交于A ，B 两点，则弦|AB |＝（ ） A ．22B ．32C ． 3D ． 2解析：∵圆心（1，2）到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝22， ∴|AB |＝212－⎝⎛⎭⎫222＝2． 答案：D3．（易错题）已知圆C ：x 2＋y 2＝9，过点P （3，1）作圆C 的切线，则切线方程为_________． 解析：由题意知P 在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x ＝3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k ，所以切线方程为y －1＝k （x －3），所以kx －y ＋1－3k ＝0，所以|k ×0－0＋1－3k |k 2＋（－1）2＝3，所以k ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －15＝0．综上，切线方程为x ＝3或4x ＋3y －15＝0．答案：x ＝3或4x ＋3y －15＝0 知识点二 圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R ，r ，R ＞r ，圆心距为d ，则两圆的位置关系可用下表来表示：1．两相交圆的公共弦所在直线的方程设圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0 ①，圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0 ②，若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得（D 1－D 2）x ＋（E 1－E 2）y ＋F 1－F 2＝0 ③，方程③表示圆C 1与C 2的公共弦所在直线的方程． 2．过已知两圆交点的圆系方程过已知两圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0的交点的圆系方程为x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ（x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2）＝0（不含圆C 2），其中λ为参数且λ≠－1．1．圆x 2－4x ＋y 2＝0与圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0的公切线共有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：圆x 2－4x ＋y 2＝0，即（x －2）2＋y 2＝4，其圆心坐标为（2，0），半径为2； 圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0，即（x ＋2）2＋y 2＝1，其圆心坐标为（－2，0），半径为1， 则两圆的圆心距为4，两圆半径和为3，因为4＞3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条． 答案：D2．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0（a ＞0）的公共弦长为23，则a ＝_________． 解析：两圆公共弦所在直线方程为（x 2＋y 2＋2ay －6）－（x 2＋y 2－4）＝0，得y ＝1a ．所以⎝⎛⎭⎫1a 2＋（3）2＝22，得a ＝1． 答案：1授课提示：对应学生用书第175页题型一 直线与圆的位置关系1．直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋（y －1）2＝5的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．不确定解析：由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋（y －1）2＝5，消去y ，整理得（1＋m 2）x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0， 因为Δ＝16m 2＋20＞0，所以直线l 与圆C 相交．答案：A 2．直线y ＝－33x ＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值X 围是（ ） A ．（3，2） B ．（3，3） C ．⎝⎛⎭⎫33，233D ．⎝⎛⎭⎫1，233解析：当直线经过点（0，1）时，直线与圆有两个不同的交点，此时m ＝1；当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d ＝|m |⎝⎛⎭⎫332＋1＝1，解得m ＝233（切点在第一象限），所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则1＜m ＜233．答案：D3．若圆x 2＋y 2＝r 2（r >0）上恒有4个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值X 围是（ ）A ．（2＋1，＋∞）B ．（2－1，2＋1）C ．（0，2－1）D ．（0，2＋1）解析： 计算得圆心到直线l 的距离为22＝2>1，如图．直线l ：x －y －2＝0与圆相交，l 1，l 2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离2＋1．答案：A判断直线与圆的位置关系的两大策略（1）若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法．（2）若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较烦琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．题型二直线与圆的位置关系的应用考法（一）切线问题[例1]（1）已知点P（2＋1，2－2），圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝4，则过点P的圆C 的切线方程为_________．[解析]由题意得，圆心C（1，2），半径r＝2．因为（2＋1－1）2＋（2－2－2）2＝4，所以点P在圆C上，又k PC＝2－2－22＋1－1＝－1，所以切线的斜率k＝－1k PC＝1，所以过点P的圆C的切线方程是y－（2－2）＝1×[x－（2＋1）]，即x－y＋1－22＝0．[答案]x－y＋1－22＝0（2）由直线y＝x＋1上的一点向圆（x－3）2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为_________．[解析]设圆心为C（3，0），P为直线y＝x＋1上一动点，过P向圆引切线，切点设为N，所以|PN|min＝（|PC|2－1）min＝|PC|2min－1，又|PC|min＝|3－0＋1|12＋（－1）2＝22，所以|PN|min＝7．[答案]7圆的切线方程的求法（1）几何法：设切线方程为y－y0＝k（x－x0），利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k．（2）代数法：设切线方程为y－y0＝k（x－x0），与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k．考法（二）弦长问题[例2]（1）（2020·高考全国卷Ⅰ）已知圆x2＋y2－6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1B．2[解析] 圆的方程可化为（x －3）2＋y 2＝9，故圆心的坐标为C （3，0），半径r ＝3．如图，记点M （1，2），则当MC 与直线垂直时，直线被圆截得的弦的长度最小，此时|MC |＝22，弦的长度l ＝2r 2－|MC |2＝29－8＝2．[答案] B（2）设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为_________．[解析] 圆C 的方程可化为x 2＋（y －a ）2＝a 2＋2，可得圆心的坐标为C （0，a ），半径r ＝a 2＋2，所以圆心到直线x －y ＋2a ＝0的距离为|－a ＋2a |2＝|a |2，所以⎝⎛⎭⎫|a |22＋（3）2＝（a 2＋2）2，解得a 2＝2，所以圆C 的半径为2，所以圆C 的面积为4π． [答案] 4π求直线与圆相交弦长的常用方法（1）几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB |＝2r 2－d 2．（2）代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|．[题组突破]1．若a ，b ，c 是△ABC 三个内角的对边，且c sin C ＝3a sin A ＋3b sin B ，则直线l ：ax －by ＋c ＝0被圆O ：x 2＋y 2＝12所截得的弦长为（ ） A ．4 6B ．2 6解析：因为a sin A ＝b sin B ＝c sin C， 故由c sin C ＝3a sin A ＋3b sin B 可得c 2＝3（a 2＋b 2）．圆O ：x 2＋y 2＝12的圆心为O （0，0），半径为r ＝23，圆心O 到直线l 的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝3，所以直线l 被圆O 所截得的弦长为2r 2－d 2＝2（23）2－（3）2＝6．答案：C2．（2021·某某模拟）已知过点P （2，2）的直线与圆（x －1）2＋y 2＝5相切，且与直线x －ay ＋1＝0平行，则a ＝_________．解析：因为点P 在圆（x －1）2＋y 2＝5上，所以过点P （2，2）与圆（x －1）2＋y 2＝5相切的切线方程为（2－1）（x －1）＋2y ＝5，即x ＋2y －6＝0，由直线x ＋2y －6＝0与直线x －ay ＋1＝0平行，得－a ＝2，a ＝－2． 答案：－2题型三 圆与圆的位置关系[例] 已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0． （1）求证：圆C 1和圆C 2相交；（2）求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．[解析] （1）证明：由题意可知，圆C 1的圆心为C 1（1，3），半径r 1＝11，圆C 2的圆心为C 2（5，6），半径r 2＝4，两圆的圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4，|r 1－r 2|＝4－11， ∴|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2，∴圆C 1和C 2相交．（2）圆C 1和圆C 2的方程左右两边分别相减，整理得4x ＋3y －23＝0， ∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0．圆心C 2（5，6）到直线4x ＋3y －23＝0的距离d ＝|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27．1．判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法． 2．两圆公共弦长的求法先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d ，半弦长l2，半径r 构成直角三角形，利用勾股定理求解．[对点训练]已知圆C 1：（x －a ）2＋（y ＋2）2＝4与圆C 2：（x ＋b ）2＋（y ＋2）2＝1外切，则ab 的最大值为（ ） A ．62B ．32C ．94D ．2 3解析：由圆C 1与圆C 2外切，可得（a ＋b ）2＋（－2＋2）2＝2＋1＝3，解得（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2＝9，根据基本不等式可知9＝a 2＋2ab ＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4ab ，即ab ≤94，当且仅当a＝b 时，等号成立． 答案：C直线与圆位置关系中的核心素养数学运算——直线与圆位置关系的综合应用[例]（2019·高考全国卷Ⅰ）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，|AB |＝4，⊙M 过点A ，B 且与直线x ＋2＝0相切．（1）若A 在直线x ＋y ＝0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，|MA |－|MP |为定值？并说明理由．[解析] （1）因为⊙M 过点A ，B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上．由已知A 在直线x ＋y ＝0上，且A ，B 关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y ＝x 上，故可设M （a ，a ）． 因为⊙M 与直线x ＋2＝0相切，所以⊙M 的半径为r ＝|a ＋2|．由已知得|AO |＝2．又MO ⊥AO ，故可得2a 2＋4＝（a ＋2）2， 解得a ＝0或a ＝4． 故⊙M 的半径r ＝2或r ＝6．（2）存在定点P （1，0），使得|MA |－|MP |为定值． 理由如下：设M （x ，y ），由已知得⊙M 的半径为r ＝|x ＋2|，|AO |＝2．由于MO ⊥AO ，故可得x 2＋y 2＋4＝（x ＋2）2，化简得M 的轨迹方程为y 2＝4x ．因为曲线C ：y 2＝4x 是以点P （1，0）为焦点，以直线x ＝－1为准线的抛物线，所以|MP |＝x ＋1．因为|MA |－|MP |＝r －|MP |＝x ＋2－（x ＋1）＝1， 所以存在满足条件的定点P ．求解与圆有关的定值问题时，常使用的方法有：（1）直接计算或证明，如本题第（2）问的证明；（2）先特殊后一般，即先利用特殊情况得到定值，再证明一般情况也满足；（3）先设后求，即先设出定值，再利用待定系数法求解．[对点训练]已知过点A （0，1）且斜率为k 的直线l 与圆C ：（x －2）2＋（y －3）2＝1交于M ，N 两点． （1）求k 的取值X 围；（2）若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |． 解析：（1）由题设可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1． 因为直线l 与圆C 交于两点， 所以|2k －3＋1|1＋k 2＜1．解得4－73＜k ＜4＋73．所以k 的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73．（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．将y ＝kx ＋1代入方程（x －2）2＋（y －3）2＝1， 整理得（1＋k 2）x 2－4（1＋k ）x ＋7＝0． 所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2．OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝（1＋k 2）x 1x 2＋k （x 1＋x 2）＋1 ＝4k （1＋k ）1＋k2＋8． 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1． 故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2．。
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第八节 曲线与方程 [考纲传真] (教师用书独具)1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法.3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程．
(对应学生用书第146页) [基础知识填充] 1．曲线与方程 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么，这条曲线叫作方程的曲线；这个方程叫作曲线的方程． 2．求动点轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标． (2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}． (3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0. (4)化方程f(x，y)＝0为最简形式． (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 3．圆锥曲线的共同特征 圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e. (1)当0＜e＜1时，圆锥曲线是椭圆． (2)当e＞1时，圆锥曲线是双曲线． (3)当e＝1时，圆锥曲线是抛物线． 4．两曲线的交点 设曲线C1的方程为f1(x，y)＝0，曲线C2的方程为g(x，y)＝0，则
(1)曲线C1，C2的任意一个交点坐标都满足方程组 f1(x，y)＝0，g(x，y)＝0. (2)反之，上述方程组的任何一组实数解都对应着两条曲线某一个交点的坐标． [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．( ) (2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．( ) (3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．( ) (4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线．( ) [解析] 对于(2)，由方程得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0，所以方程表示两条直线，错误；对于(3)，前者表示方程，后者表示曲线，错误；对于(4)，曲线y＝x是曲线x＝y2的一部分，错误． [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
2．(教材改编)已知点F14，0，直线l：x＝－14，点B是l上的动点．若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是( ) A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线 D [由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．] 3．已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，
且QP→·QF→＝FP→·FQ→，则动点P的轨迹C的方程为( ) A．x2＝4y B．y2＝3x C．x2＝2y D．y2＝4x A [设点P(x，y)，则Q(x，－1)．
∵QP→·QF→＝FP→·FQ→， ∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)， 即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y， ∴动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.故选A．] 4．已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为__________． (x－10)2＋y2＝36(y≠0) [设A(x，y)，
则Dx2，y2
∴|CD|＝x2－52＋y24＝3， 化简得(x－10)2＋y2＝36，由于A，B，C三点构成三角形， ∴A不能落在x轴上，即y≠0.]
5．过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上任意一点M作x轴的垂线，垂足为N，则线段MN中点的轨迹方程是________． x2a2＋4y2b2＝1 [设MN的中点为P(x，y)，则点M(x,2y)，又点M在椭圆上，∴x2a2＋(2y)
2
b2
＝1，即所求的轨迹方程为x2a2＋4y2b2＝1.]
(对应学生用书第147页) 直接法求轨迹方程 设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且MN→＝2MP→，PM→⊥PF→，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程. 【导学号：79140299】 [解] 设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，
∵PM→⊥PF→，PM→＝(x0，－y0)，PF→＝(1，－y0)， ∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，∴x0＋y20＝0.
由MN→＝2MP→得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，
∴ x－x0＝－2x0，y＝2y0，即 x0＝－x，y0＝12y， ∴－x＋y24＝0，即y2＝4x. 故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x. [规律方法] 用直接法求曲线方程的关键是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，但要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略. [跟踪训练] (1)设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为( ) A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4 C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2 (2)已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为( ) A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4 C．x2＋y2＝2(x≠±2) D．x2＋y2＝4(x≠±2) (1)D (2)D [(1)如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)．连接MA，PM，则MA⊥PA，且|MA|＝1，
又∵|PA|＝1， ∴|PM|＝|MA|2＋|PA|2＝2，即|PM|2＝2， ∴(x－1)2＋y2＝2. (2)设P(x，y)，∵△MPN为以MN为斜边的直角三角形， ∴|MP|2＋|NP|2＝|MN|2， ∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16， 整理得x2＋y2＝4. ∵M，N，P不共线，∴x≠±2， ∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)，故选D．]
定义法求轨迹方程 如图881所示，已知点C为圆(x＋2)2＋y2＝4的圆心，点A(2，0)．P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP所在的直线上，且MQ→·AP→＝0，AP→＝2 AM→.当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程．
图881 [解] 由(x＋2)2＋y2＝4知圆心C(－2，0)，半径r＝2.
∵MQ→·AP→＝0，AP→＝2AM→， ∴MQ⊥AP，点M为AP的中点， 因此QM垂直平分线段AP. 如图，连接AQ，则|AQ|＝|QP|， ∴||QC|－|QA||＝||QC|－|QP||＝|CP|＝2. 又|AC|＝22>2， 根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以C(－2，0)，A(2，0)为焦点，实轴长为2的双曲线． 由c＝2，a＝1，得b2＝1， 因此点Q的轨迹方程为x2－y2＝1.
若将本例中的条件“圆C的方程(x＋2)2＋y2＝4”改为“圆C的方程(x＋2)2＋y2＝16”，其他条件不变，求点Q的轨迹方程． [解] 由(x＋2)2＋y2＝16知圆心C(－2，0)，半径r＝4.
∵MQ→·AP→＝0，AP→＝2 AM→， ∴QM垂直平分AP，连接AQ， 则|AQ|＝|QP|， ∴|QC|＋|QA|＝|QC|＋|QP|＝r＝4. 根据椭圆定义，点Q的轨迹是以C(－2，0)，A(2，0)为焦点，长轴长为4的椭圆． 由c＝2，a＝2，得b＝2.
因此点Q的轨迹方程为x24＋y22＝1. [规律方法] 定义法求轨迹方程的方法、关键及注意点 1求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程. 2关键：理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键. 3利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制. [跟踪训练] (1)若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，则点M的轨迹方程是( ) A．x＝－4 B．x＝4 C．y2＝8x D．y2＝16x
(2)已知A(－5,0)，B(5,0)，动点P满足|PB→|，12|PA→|，8成等差数列，则点P的轨迹方程为________． (1)D (2)x216－y29＝1(x≥4) [(1)依题意可知点M到点F的距离等于点M到直线x＝－4的距离，因此点M的轨迹是抛物线，且顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，p＝8，所以点M的轨迹的方程为y2＝16x，故选D．
(2)由已知得|PA→|－|PB→|＝8， 所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支， 且a＝4，b＝3，c＝5，
所以点P的轨迹方程为x216－y29＝1(x≥4)．]
相关点(代入)法求轨迹方程
(2017·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：x22＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP→＝2NM→. (1)求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP→·PQ→＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. [解] (1)设P(x，y)，M(x0，y0)，
则N(x0,0)，NP→＝(x－x0，y)，NM→＝(0，y0)． 由NP→＝2NM→得x0＝x，y0＝22y. 因为M(x0，y0)在C上，所以x22＋y22＝1. 因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.