相似三角形复习精选

BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移
动,设点P、Q移动的时间为t秒．y
(1) 求直线AB的解析式； (2) 当t为何值时，△APQ A
与△AOB相似？
P Q
O
x
B
基本图形应用 （2）
将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图 的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面 内，则图中有相似（不包括全等）三角形吗？如 有，把它们一 一写出来.
解：有相似三角形，它们是：
△ADE∽ △BAE,
△BAE ∽ △CDA ，
B
△ADE∽ △CDA
D
（ △ADE∽ △BAE ∽
△CDA）
F
A
E
C
G
已知：如图，△PQR是等边三角形， ∠APB = 120 °
求证：（1）PAQ∽△BPR
（2） AQ•RB=QR2
Q
R
B
如图点C、D在线段AB上，△PCD是等 边三角形．
解:⑴∵∠A= ∠A，∴当∠1= ∠ACB
（或∠2= ∠B）时，△ ACP∽△ABC A
⑵ ∵∠A= ∠A， ∴当AC:AP＝AB:AC时， B
P1
4
2
C
△ ACP∽△ABC
答：当∠1= ∠ACB 或∠2= ∠B
或AC:AP＝AB:AC时,△ ACP∽△ABC.
如图△ABC中，AB=9，AC=6，
三角形相似的判定方法有哪些？
方法1：通过定义
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2：平行于三角形一边的直线与其它两边
相交，所得三角形与原三角形相似
方法3：三组对应边的比相等，两个三角形相似
方法4：两组对应边比相等且夹角相等，
两个三角形相似
方法5：两组角分别对应相等，两个三角形相似
相似三角形的判定定理：
2ED AD
CD DM
,要 得 出 2 E D ，
可延长DE到F，使E F DE,
又知CE DE EF, 可得ΔCDF是RtΔ ,
A 由 条 件 得 Δ AMD ∽Δ FCD, 结 论 成 立 。
如图，已知EM ^AM，交AC于D，CE=DE 求证：2ED ·DM=AD ·CD。
C
E
GD
M
∟
证法二：过点E作EG
^ CD，
根据等腰三角形的性质
，
得CD 2DG,
只需证明
2ED CD
AD DM
即
ED DG
AD DM
,由题易证得
A
ΔDEG ∽ ΔDAM，
故结论成立。
综合运用
已知如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线， EF⊥AD于点F，AF＝FD。
求证：DE²＝BE·CE
A
F
BD C
＝2。问当AB的长为多少时，这两个直角三角 形相似？
A
D
∟
B
C
要使这两个直角三角形相似，有两种情况： （1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有
AC AB AD AC
AB AC2 3 AD
（2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有
AC AB CD AC
AB AC2 3 2 CD
故当AB的长为3或 3 2 B
定理1：三组对应边的比相等，两三角形相似。
AA'BB'BB'CC'CC'AA'△ABC∽△A'B'C'
A'
定理2：两组对应边的比相等且夹角相等，
两三角形相似。
AB A' B'
BC B 'C '
B' △ABC∽△A'B'C'
A
C'
∠B= ∠B'
定理3：两角对应相等，两三角形相似。
∠A= ∠B=
∠A' ∠B'
D
E
B
CB
C
在△ABC中，AB>AC，过AB上一点D作
直线DE （不与AB重合），交另一
边于E，使所得三角形与原三角形相
似，这样的直线最多能画出多少条?
画出满足条件的图形.
A
A
A
A
D
ED
B
CB
D
E CB E
D
CB
EC
在直角坐标系中，点A（－2，0），B（0，4）， C（0，3）。过点Ｃ作直线交x轴于点Ｄ，使以 Ｄ、Ｏ、Ｃ为顶点的三角形与ΔAOB相似，这样 的直线最多可以作（ ）条
△ABC∽△A'B'C'
B
C
直角三角形相似的判定:
直角边和斜边的比相等，两直角 A' 三角形相似。
∠C=∠C' =90o
C'
AC = A B A'C' A ' B '
Rt△ABC∽Rt△A'B'C' A
B'
C
B
A
2 1
A
C
O
B
C
A
C
D
O
D
E
B
CA
B D
A
D
E
BB
C
定理应用
如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝ 6，AD
E
※如图，已知点P是边长为4的正方形
ABCD内一点，且PB=3 BF⊥BP，垂足为
B，请在射线BF上找一． 点M，使以点B、
M、C为顶点的三角形与△ABP相似
A
D
则BM=
3或
16 3
P
B
C
F
※正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动
点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直.
（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
D是边AB上一点 且AD=2，E是AC
上的点 ，则AE=
4 或3
3
时，
△AD△EAD与E∽△△AABBCC?相似？
思 维
A
D
E
A
要
严
D
密
E
B
C
B
C
练习
已知，△ABC中，D为AB上一点，画一条过
点D的直线(不与AB重合),交AC于E，使所得
三角形与原三角形相似，这样的直线最多能
画出多少条? A
A
D
E
如果P、Q分别从B、C同时出发，问：
①经过多少秒时⊿CPQ∽ ⊿CBA;
② 经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰好与
⊿ABC相似？
A
A
Q Q
B
P
CB
P
C
在平面直角坐标系内，已知点A（0，
6）、点B（8，0），动点P从点A开始在
线段AO上以每秒1个单位长度的速度向
点O移动，同时动点Q从点B开始在线段
A .2
B .3 C . 4
D. 6
B C
D AD OD
D
动点与相似三角形
在平面直角坐标系中，四边形OABC为等腰梯形， OA∥BC, OA=7, BC=3, ∠COA=60°,点P为 线段OA上的一个动点，点P不与O、A重合，连 结CP.
（1）求点B的坐标。
y
（2）点D为AB上一点，
C
且AD:BD=3:5,连结PD,
（1）当AC、CD、DB满足怎样的关 系式时，△ACP∽△PDB
（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB 的度数
C
D
B
※如图，已知EM^ AM，交AC于D， CE=DE 求证：2ED ·DM=AD ·CD。
F
C
E
D
∟
M
证法一：
要证2ED DM AD CD成立，
应把积的形式转化成比
例式
（还应考虑系数2），
再 见
BC BD

时，即当
a b
△ABC∽ △CDB,∴ BD
b2 a
b BD
时，
１b B
D
⑵∵ ∠1＝∠D＝90°
∴当
AC BC
AB BD
时,即当
a b
a2 b2 BD
时，
△ABC∽ △BDC， ∴BDb
a2 b2 a
答：略.
基本图形应用 （1）
已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点，连 结CP．满足什么条件时△ ACP∽△ABC?
时，这两个直角三角形相似。
∟
A
D C
如图:∠ABC=∠CDB=90°, AC=a, BC=b,
当BD=
时，
△ABC与△CDB相似.
C A
BD
如图：已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，
BC=b，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，
两三角形相似
A
a
C
解:⑴∵ ∠1＝∠D＝90°
∴当
AC BC
在OA上是否存在这样的 点P,使∠CPD= ∠BAO? O P
B
D
A
x
若存在，求出直线PB的
解析式，若不存在，请说明理由。
B(5,2 3)
y 3x3或 y23x123 22
如图：在⊿ABC中， ∠C= 90°,BC=8,AC=6.点P
从点B出发，沿着BC向点C以2cm/秒的速度移动;点
Q从点C出发，沿着CA向点A以1cm/秒的速度移动。
（2）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此
时x的值.
A
D
N
BM
C
提示
(2)已知了这两个三角形中相等的对应角是 ∠ABM和∠AMN,如果要想使 RT△ABM∽RT△AMN，那么两组直角边就 应该对应成比例，即AM/MN=AB/BM，根 据（1）的相似三角形可得出 AM/MN=AB/MC,因此BM=MC，M是BC的 中点，即X=2