2017高考数学-三角函数大题综合训练
2017—2019高考数学(文)真题专项汇编卷-三角函数及解三角形
绝密★启用前2017—2019高考数学（文）真题专项汇编卷 三角函数及解三角形学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题 1.若1sin 3α=,则cos2α= ( ) A.89B.79C. 79-D. 89-2.已知(0,),2sin 2cos 212a ααπ∈=+,则sin α=( )A ．15B C D 3.函数()2sin sin2f x x x =-在[]0,2π的零点个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．54.函数2cos 2y x x =+最小正周期为( )A.2πB.23π C. π D. 2π5.在ABC △中, cos 1,52C BC AC ===则AB = ( )A.D. 6.若 ()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数,则a 的最大值是( ) A.4πB.2π C.34π D. π7.ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=,2,a c ==则C = ( ) A. π12B.π6C.π4D.π38.ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，则b c =( )A ．6B ．5C ．4D ．39.设函数()2sin(),R f x x x ωϕ=+∈,其中0,πωϕ><.若5π11π()2,()088f f ==且()f x 的最小正周期大于2π,则( )A.2π,312ωϕ==B.211π,312ωϕ==-C.111π,324ωϕ==-D.17π,324ωϕ==二、填空题10.ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 已知sin cos 0b A a B +=,则B =______.11.ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 已知60C =︒,b =3c =,则A =__________.12.ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=,2228b c a +-=,则ABC △的面积为__________.三、解答题13.在ABC △中,13,2,cos 2a b c B =-==-(1).求,b c 的值； (2).求sin()B C -的值．14.已知函数 ()2sin cos f x x x x =. (1).求 ()f x 的最小正周期; (2).若 ()f x 在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32,求m 的最小值.15.ABC △的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知sin sin 2A Ca b A +=． (1).求B ；(2).若ABC △为锐角三角形，且1c =，求ABC △面积的取值范围．参考答案1.答案：B解析：227cos 212sin 199αα=-=-= 2.答案：B 解析：2sin 2cos21α=α+，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭．sin 0α>,2sin cos ∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，sin 5α∴=，故选B ． 3.答案：B解析：由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=，得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈，0π2πx ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3.故选B ． 4.答案：C解析：由题意2sin(2)6y x π=+,其周期22T ππ==,故选C. 5.答案：A解析：因为: 223cos 2cos 121255c C ⎛=-=⨯-=- ⎝⎭所以22232cos 125215()325c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯-=所以c =选A. 6.答案：C解析：因为 ()sin 4f x coosx x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭,所以由 ()0224k k k z π+π≤π+≤π+π,∈得()322,44k x k k z ππ-+π≤≤+π∈因此 []3,,44a a ππ⎡⎤-⊂-⎢⎥⎣⎦∴3,,44a a a a ππ-<-≥-≤,从而a 的最大值为34π,选C. 7.答案：B解析：因为()()sin sin sin cos sin sin sin sin cos B A C C A C A C A C +-=++-=()sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin 0A C C A A C A C C A A ++-=+= 因为C 为ABC △的内角，所以sin 0C ≠，所以πcos sin 04A A A ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭所以3π4A =，又因为2,a c == 由正弦定理得sin sin a c A C =，即sin 1sin 2c A C a ==，因为3π4A =，所以π0,4C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π6C =。
2017年高考数学一轮总复习达标训练第三章三角函数与解三角形3.5Word版含答案
3.5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题1．(2015·山西四校联考)已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝12，－π2＜α＜0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值是( ) A.12 B. －12C.23D ．1 2．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于 ( ) A.5π12 B.π3C.π4D.π63．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的值是( ) A ．－233 B ．±233 C ．－1 D ．±14．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－12，且π2＜α＜π，则sin 2α－2cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4等于( ) A.255 B ．－3510C ．－255D ．－310105．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2 B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2答案：1．B 2.C 3.C 4.C 5.B二、填空题6．计算：tan 12°－3（4cos 212°－2）sin 12°＝________． 7．设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝________． 8．(2015·苏州调研)已知tan α＝17，tan β＝13，且α，β∈(0，π)，则α＋2β＝________． 答案：6．－4 7.±3 8.π4三、解答题9．(1)(2015·合肥模拟)若α是第二象限角，sin(π－α)＝1010，求2sin2α2＋8sinα2cosα2＋8cos2α2－52sin⎝⎛⎭⎫α－π4的值；(2)已知函数f(x)＝tan⎝⎛⎭⎫2x＋π4，设α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，若f⎝⎛⎭⎫α2＝2cos 2α，求α的大小．解析：(1)由sin(π－α)＝1010，得sinα＝1010，又α是第二象限角，∴cos α＝－31010.而2sin2α2＋8sinα2cosα2＋8cos2α2－52sin⎝⎛⎭⎫α－π4＝2sin2α2＋8sinα2cosα2＋2cos2α2＋6cos2α2－52⎝⎛⎭⎫sin αcosπ4－cosαsinπ4＝2＋4sin α＋6cos2α2－5sin α－cos α＝4sin α＋6×1＋cos α2－3sin α－cos α＝4sin α＋3cos αsin α－cos α，因此原式＝4×1010＋3×⎝⎛⎭⎫－310101010－⎝⎛⎭⎫－31010＝－54.(2)由f⎝⎛⎭⎫α2＝tan⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2cos 2α，得sin⎝⎛⎭⎫α＋π4cos⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2(cos2α－sin2α)．整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α－sin α)(cos α＋sin α)，又∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，∴sinα＋cos α≠0.∴(cos α－sin α)2＝12，∴sin 2α＝12.又∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，∴2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴2α＝π6，即α＝π12.10．已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin⎝⎛⎭⎫β－π4＝35，β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2.(1)求sin 2α和tan 2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．解析：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95， 即1＋sin 2α＝95，∴sin 2α＝45. 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，∴2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2. ∴cos 2α＝1－sin 22α＝35，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43. (2)∵β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴β－π4∈⎝⎛⎭⎫0，π4， 又sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35，∴cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝45， 于是sin 2⎝⎛⎭⎫β－π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫β－π4·cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝2425. 又sin 2⎝⎛⎭⎫β－π4＝－cos 2β，∴cos 2β＝－2425， 又2β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin 2β＝725. 又cos 2α＝1＋cos 2α2＝45，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，∴cos α＝255，sin α＝55. ∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝255×⎝⎛⎭⎫－2425－55×725＝－11525.11．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数． ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；③)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－ sin(－18°)cos 48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－ sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解析： (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34. (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋cos(30°－α)[cos(30°－α)－sin α]＝sin 2α＋cos(30°－α)(cos 30°cos α＋sin 30°sin α－sin α) ＝sin 2α＋cos(30°－α)(cos 30°cos α－sin 30°sin α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)(cos 30°cos α－sin 30°sin α) ＝sin 2α＋cos 230°cos 2α－sin 230°sin 2α＝sin 2α＋34cos 2α－14sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.。
(新课标)2017高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.3 三角函数的图象与性质真题演练 文
【红对勾】（新课标）2017高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.3 三角函数的图象与性质真题演练 文 三角函数的单调性1．(2015·课标卷Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由题图可知T 2＝54－14＝1，所以T ＝2. 结合题图可知，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，54(f (x )的一个周期)内，函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34.由f (x )是以2为周期的周期函数可知，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z ，故选D.答案：D2．(2014·辽宁卷)将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减 B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减 D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增 解析：y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π，令2k π－π2≤2x －23π≤2k π＋π2，解得所求的区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋712π，k ∈Z ，令k ＝0，则函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增．答案：B 三角函数的奇偶性、周期性3．(2013·北京卷)“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin2x ，此时曲线过坐标原点；但曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点时，φ＝k π(k ∈Z )，∴“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件，故选A.答案：A4．(2013·湖北卷)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6解析：y ＝f (x )＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象向左平移m (m >0)个单位长度后得f (x ＋m )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m ＋π3的图象，其关于y 轴对称，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋π3＝2，从而m ＋π3＝2k π±π2，k ∈Z ，故m ＝2k π＋π6或m ＝2k π－5π6，k ∈Z ，又m >0，所以m min ＝π6. 答案：B5．(2014·北京卷)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．解析：记f (x )的最小正周期为T ，由题意知T 2≥π2－π6＝π3， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，且2π3－π2＝π6. 可作出示意图如图所示(一种情况)：∴x 1＝⎝⎛⎭⎪⎫π2＋π6×12＝π3， x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2π3×12＝7π12， ∴T 4＝x 2－x 1＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 答案：π。
试题君之大题精做君2017年高考数学文科第01期 大题精做5 三角函数与其他知识的综合 含解析
大题精做5 三角函数与其他知识的综合经典精做1．已知函数22()cos 2sin cos sin f x x t x x x =+-，若函数()f x 在区间(,]126ππ上是增函数，求实数的取值范围．2．在ABC △中，角A 的对边长等于2，向量2=(2,2cos 1)2B C +-m ，=(sin ,1)2A-n . （1）求⋅m n 取得最大值时的角A 的大小； （2）在（1）的条件下，求ABC △的面积的最大值.3．若函数2()sin sin cos (0)f x ax ax ax a =->的图象与直线y =m （m 为常数）相切，并且切点的横坐标依次成等差数列，公差为π2． （1）求m 的值；（2）若点00(,)A x y 是()y f x =图象的对称中心，且0π[0,]2x Î，求点A 的坐标．模拟精做4．已知ABC △的三个内角分别为,,A B C ，求当A 为何值时，cos 2cos 2B CA ++取得最大值，并求出这个最大值.5．已知向量()3sin ,cos αα=a ，()2sin ,5sin 4cos ααα=-b ，3,22απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，且⊥a b ． （1）求tan α的值； （2）求cos 23απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 6．（2016届河南省新乡卫辉一中高考押题一）已知函数()()sin (0,0,0f x A x b A ωϕωϕ=++>><<π,)b 为常数的一段图象如图所示：（1）求函数()f x 的解析式；（2）函数()f x 在y 轴右侧的极小值点的横坐标组成数列{}n a ，设右侧的第一个极小值点的横坐标为首项1a ，试求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和n S ．真题精做7．（2013·四川文科）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos()cos sin(A B B A --- 3)sin()5B AC +=-.（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）若a =5b =，求向量BA u u u r 在BC uuur 方向上的投影.8．（2013·陕西文科）已知向量a ＝1(cos ,)2x -，b ＝sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b .（1）求f (x )的最小正周期；（2）求f (x )在π[0,]2上的最大值和最小值．1．【解析】函数()f x 在区间(,]126ππ上是增函数，则等价于不等式()0f x '≥在区间(,]126ππ上恒成立，即()2sin 22cos 20f x x t x '=-+≥在区间(,]126ππ上恒成立，从而tan 2t x ≥在区间(,]126ππ上恒成立， 而函数tan 2y x =在区间(,]126ππ上为增函数，所以函数tan 2y x =在区间(,]126ππ上的最大值为max tan(2)36y π=⨯=3t ≥为所求．2．【解析】（1）由题意得2=2sin(2cos 1)2sin cos()222A B C AB C +⋅--=-+m n . 因为A B C ++=π，所以B C A +=π-，于是2213=2sincos 2sin 2sin 12(sin )222222A A A A A ⋅+=-++=--+m n . 因为(0,)22A π∈，所以当且仅当1sin 22A =，即3A π=时，⋅m n 取得最大值32.故⋅m n 取得最大值时的角3A π=.（2）设角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，由余弦定理得2222cos b c a bc A +-=，即2242bc b c bc +=+≥，所以4bc ≤，当且仅当2b c ==时取等号.则13=sin 32ABC S bc A =≤△故当且仅当2a b c ===时，ABC △3 3．【解析】（1）由题意可得，m 是()f x 的最值． 因为21cos 211111()sin sin cos sin 2(cos 2sin 2)222222ax f x ax ax ax ax ax ax -=-=-=-+=- 2πsin(2)24ax +，所以1222m =?．（2）因为切点的横坐标依次成等差数列，且公差为π2，所以π2ππ22T a a===，则2a =，1π())24f x x =-+.因为点00(,)A x y 是()y f x =图象的对称中心，所以0π4π()4x k k +=?Z ，则0ππ416k x =-，又0π[0,]2x Î，所以03π16x =或07π16x =,故可得3π1(,)162A 或7π1(,)162A . 4．【解析】由ABC ++=π，得222B C A +π=-，所以cos sin 22B C A+=.则2213cos 2cos cos 2sin 12sin 2sin 2(sin )2222222B C A A A A A A ++=+=-+=--+.当1sin 22A =，即3A π=时，cos 2cos 2B C A ++取得最大值，为32.5．【解析】（1）∵⊥a b ，∴0⋅=a b ．∵()3sin ,cos αα=a ，()2sin ,5sin 4cos ααα=-b ， ∴226sin 5sin cos 4cos 0αααα⋅=+-=a b ，由于cos 0α≠，∴26tan 5tan 40αα+-=，解得4tan 3α=-，或1tan 2α=．∵3π( 2π)2α∈，，tan 0α<，∴1tan 2α=舍去，则4tan 3α=-．（2）∵3π( 2π)2α∈，，∴3ππ24α∈(，)．由4tan 3α=-，求得1tan 22α=-，或tan 22α=（舍去）．∴sincos22αα==，则cos()23απ+=ππcos cos sin sin 2323αα-=12-= 6．【解析】（1）由图可知5(1)523,2A b +-=-===，（2）易知{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则d T ==π，又函数()f x 在y 轴右侧的第一个极小值点的横坐标为1a ，7．【解析】（Ⅰ）由3cos()cos sin()sin()5A B B A B A C ---+=-，得3cos()cos sin()sin 5A B B A B B ---=-，则3cos()5A B B-+=-，即3cos 5A =-.又0πA <<，则4sin 5A =.（Ⅱ）由正弦定理得sin sin a bA B=，所以sin sin 2b AB a ==. 由题意知a b >，所以A B >，故π4B=. 根据余弦定理，有2223525()5c c =+-创-，解得1c =或7c =-（负值舍去）.故向量BA u u u r 在BC uuur 方向上的投影为||cos 2BA B =u u u r 8．【解析】f (x )＝1(cos ,)2x -x ，cos 2x )cos x sin x －12cos 2x x －12cos2x ＝ππcossin 2sin cos 266x x -＝πsin(2)6x -. （1）f (x )的最小正周期为2π2ππ2T ω===，即函数f (x )的最小正周期为π. （2）∵0≤x ≤π2，∴ππ5π2666x -≤-≤.由正弦函数的性质，得 当ππ262x -=，即π3x =时，f (x )取得最大值1. 当ππ266x -=-，即x ＝0时，f (x )取得最小值，为f (0)＝12-.因此，f(x)在π[0,]2上的最大值是1，最小值是12.。
2017-2018学年高考数学 大题精做03 三角函数与解三角形的综合问题(含解析)文 新人教A版
精做03 三角函数与解三角形的综合问题1．在△ΑΒC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、.已知3cos()16cos cos --=B C B C . （1）求cos A ；（2）若3=a ，△ΑΒC 的面积为. 【答案】（1）13；（2）2,3==b c 或3,2==b c .由面积公式得1sin 2=bc A 6=bc ①. 由余弦定理得2222291cos 2123+-+-===b c a b c A bc ，则2213+=b c ②. 联立①②，可得2,3==b c 或3,2==b c .2．设△ΑΒC 的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，，且 （1）求角A 的大小；（2）若1=a ，求△ΑΒC 的周长的取值范围． 【答案】（1）π3；（2）(23]，.【解析】（1 又sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，又(0π)A ∈∵，，（2故△ΑΒC 的周长的取值范围是(23]，．3．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A a C =. （1）求角C 的大小；（2πcos()4A B -+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小． 【答案】（1）π4；（2）最大值为2，此时π5π,.312A B == 【解析】（1）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C = 因为0π,A <<所以sin 0.A >从而sin cos .C C =又cos 0,C ≠所以tan 1,C =则π4C =. （2）由（1）知3π.4B A =-πcos()cos(π)4A B A A -+=--πcos 2sin().6A A A =+=+3π0,4A <<ππ11π,6612A ∴<+< 从而当ππ,62A +=即π3A =时，π2sin()6A +取最大值2．πcos()4A B -+的最大值为2，此时π5π,.312A B ==4．已知c b a ,,分别是△ΑΒC 的三个内角C B A ,,所对的边，且满足A c C a b cos cos )2(⋅=⋅-.（1）求角C 的大小；（2）求y 的最大值并判断当y 取得最大值时△ΑΒC 的形状.【答案】（1）3π；（2△ΑΒC 为直角三角形..时，y 取得最大值△ΑΒC 为直角三角形.5．在ABC △中，，，分别是角A ，B ，C 的对边，且()3cos cos tan tan 11A C A C ⋅⋅⋅-=.（1（2，求ABC △的面积.【答案】（1）718-；（2）32.（2）由余弦定理得()22222cos 22cos b a c ac B a c ac ac B =+-⋅=+--⋅，6，函数()f x的图象关于直线=πx对称.（1）求函数()f x的最小正周期；（2）在△ΑΒC中，角,,A B C的对边分别为,,a b c，求△ΑΒC面积的最大值.【答案】（1（2【解析】（1（2）()12f x =311sin ,5264f A A π⎛⎫⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0A <<π,,663A A π∴-== 221,12a b c bc bc bc bc =∴=+-≥-=，即1,bc ≤当且仅当b c =时等号成立.1sin 2ABC S bc A ∴==≤△ △∴ABC 面积的最大值为7．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c （1）求角A 的大小；（2，ABC △的面积为，求b c +的值．【答案】（1（2）3.【解析】（1所以b ＋c ＝3．8．在△ΑΒC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2ab =c 2.（1）求C ；（2）设cos A cos B ＝5，2cos()cos()cos 5A B ααα++=，求tan α的值．【答案】（1）3π4；（2）1或4.【解析】（1）因为a 2＋b 2ab =c 2，所以由余弦定理有cos C =222222a b c ab ab +-==-，故3π4C =.因为3π4C =， 所以A ＋B =π4，所以sin(A ＋B )=2.因为cos(A ＋B )=cos A cos B −sin A sin B ，即5－sin A sin B =2，则sin A sin B =代入①得tan 2α−5tan α＋4=0，解得tan α=1或tan α=4. 9．设()2sin cos cos 4π⎛⎫=-+⎪⎝⎭f x x x x . （1）求()f x 的单调区间；（2）在锐角△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求△ABC 面积的最大值.【答案】（1）(),44ππ⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦k k k Z （2.【解析】（1）由题意知()1cos 2sin 2222π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-x x f x sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=-. 由222,22ππ-+π≤≤+π∈k x k k Z ，可得,44ππ-+π≤≤+π∈k x k k Z ；由3222,22ππ+π≤≤+π∈k x k k Z ，可得3,44ππ+π≤≤+π∈k x k k Z . 所以函数()f x 的单调递增区间是(),44ππ⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ；所以△ABC. 10．在△ΑΒC 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c，，，已知nc o s=4cos cos B C .（1）求角A 的大小；（2）若sin sin B p C =,且△ΑΒC 是锐角三角形，求实数p 的取值范围． 【答案】（1）3π；（2）1(,2)2.∴实数p 的取值范围是1(,2)2.11．在△ΑΒC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos cos a B b A =.（1）判断△ΑΒC 的形状；（2.【答案】（1）等腰三角形；（2【解析】（1）由c o s c o s a B b A =及正弦定理，得sin cos sin cos A B B A =，即()s i n 0A B -=. 在△ΑΒC 中，有-π<-<πA B ， 所以0A B -=，即A B =. 所以△ΑΒC 是等腰三角形. （2）由（1）知A B =, 则因为A B =，12．已知函数()2cos2f x x x ωω=-的图象关于直线π3x =对称，其中ω∈15()22-，. （1）求函数f (x )的解析式；（2）在ABC △中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，锐角B 满足π()2123B f +=，b ，求ABC △面积的最大值．【答案】（1）f (x )＝2sin π(2)6x -；（2）2.（2）由（1）知π()2sin 212B f B +==，所以sin B 因为B 为锐角，所以0＜B ＜π2， 所以2cos 3B =， 因为222cos 2a c b B ac+-=，所以222223a c b ac +-=， 所以2242223ac a c ac =+-≥-，所以ac ≤3，当且仅当a =c ac 取到最大值3，所以ABC △面积的最大值为12ac sin B =1213．（2017·天津卷文）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知sin 4sin a A b B =，222)ac a b c =--．（1）求cos A 的值；（2）求sin(2)B A -的值．【答案】（1）2）．于是4sin 22sin cos 5B B B ==，23cos 212sin 5B B =-=，故43sin(2)sin 2cos cos 2sin (55555B A B A B A -=-=⨯--⨯=-． 【名师点睛】（1）利用正弦定理进行“边转角”可寻求角的关系，利用“角转边”可寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系可求角，利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值．（2）利用正、余弦定理解三角形是高考的高频考点，常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合，利用正、余弦定理进行解题．14．（2016·浙江卷文）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b +c =2a cos B .（1）证明：A =2B ；（2）若cos B =23，求cos C 的值． 【答案】（1）证明详见解析；（2）22cos 27C =.故1cos 9A =-，sin A = 22cos cos()cos cos sin sin 27C A B A B A B =-+=-+=. 【思路点睛】（1）用正弦定理将边转化为角，进而用两角和的正弦公式转化为含有Α，Β的式子，根据角的范围可证2ΑΒ=；（2）先用同角三角函数的基本关系及二倍角公式可得cos2Β，进而可得cos Α和sin Α，再用两角和的余弦公式可得cos C ．15．（2016·天津卷文）在ABC △中，内角C B A ,,所对的边分别为a ,b ,c ，已知sin 2sin a B A =.（1）求B ；（2）若1cos 3A =，求sin C 的值.【答案】（1）π6B =；（2）16. 【解析】（1）在ABC △中，由B b A a sin sin =，可得A b B a sin sin =， 又由A b B a sin 32sin =，得B a A b B B a sin 3sin 3cos sin 2==， 所以23cos =B ，得π6B =； （2）由31cos =A ，可得322sin =A ， 则sin sin[()]sin()C A B A B =π-+=+πsin()6A =+6162cos 21sin 23+=+=A A . 【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系、两角和与差的公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证.。
2017届新课标高考总复习专项演练：第四章 三角函数、解三角形 4-8
4-8A组专项基础训练(时间：45分钟)1．若点A在点B的北偏西30°，则点B在点A的()A．北偏西30°B．北偏西60°C．南偏东30°D．东偏南30°【解析】如图，点B在点A的南偏东30°.【答案】C2．(2016·合肥三检)如图，一栋建筑物AB的高为(30－103)m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为()A ．30 mB ．60 mC ．30 3 mD ．40 3 m 【解析】 如图，在Rt △ABM 中，AM ＝ABsin ∠AMB ＝30－103sin 15°＝30－1036－24＝20 6 m.过点A 作AN ⊥CD 于点N ， 易知∠MAN ＝∠AMB ＝15°， 所以∠MAC ＝30°＋15°＝45°，又∠AMC ＝180°－15°－60°＝105°，从而∠ACM ＝30°. 在△AMC 中，由正弦定理得MC sin 45°＝206sin 30°，解得MC ＝40 3 m ，在Rt △CMD 中，CD ＝403×sin 60°＝60 m ， 故通信塔CD 的高为60 m. 【答案】 B3．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km ，速度为1 000 km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min 后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km ，参考数据：3≈1.732)( )A ．11.4 kmB ．6.6 kmC ．6.5 kmD ．5.6 km【解析】 ∵AB ＝1 000×1 000×160＝50 0003 m ，∴BC ＝AB sin 45°·sin 30°＝50 00032 m.∴航线离山顶h ＝50 00032×sin 75°≈11.4 km.∴山高为18－11.4＝6.6 km. 【答案】 B4．如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角∠CAD 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75° 【解析】 依题意可得AD ＝2010 m ，AC ＝30 5 m ，又CD ＝50 m ， 所以在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝（305）2＋（2010）2－5022×305×2010＝6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°， 所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°. 【答案】 B5．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．102海里B ．103海里C ．203海里D ．202海里 【解析】 如图所示，易知，在△ABC 中， AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝ABsin 45°，解得BC ＝102(海里)．【答案】 A6．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是____________．【解析】 如图，依题意有甲楼的高度为 AB ＝20·tan 60°＝203(米)， 又CM ＝DB ＝20(米)，∠CAM ＝60°，所以AM ＝CM ·1tan 60°＝2033(米)，故乙楼的高度为CD ＝203－2033＝4033(米)． 【答案】 203米，4033米7．(2014·课标全国Ⅰ)如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.【解析】 根据图示，AC ＝100 2 m.在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得AC sin 45°＝AMsin 60°⇒AM ＝100 3 m.在△AMN 中，MNAM＝sin 60°，∴MN＝1003×32＝150 m.【答案】1508．如图，在四边形ABCD花圃中，已知AD⊥CD，AD＝10 m，AB＝14 m，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为________m.【解析】在△ABD中，设BD＝x，则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，即142＝x2＋102－2·10x cos 60°，整理得x2－10x－96＝0，解得x1＝16，x2＝－6(舍去)．在△BCD中，由正弦定理：BCsin∠CDB＝BDsin∠BCD，∴BC＝16sin 135°·sin 30°＝8 2.【答案】8 29．在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100 m后，又从B点测得斜度为45°，设建筑物的高为50 m．求此山对于地平面的斜度θ的余弦值．【解析】 在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠CBA ＝180°－45°＝135°，所以∠ACB ＝30°. 又AB ＝100 m ，由正弦定理，得100sin 30°＝BCsin 15°，即BC ＝100sin 15°sin 30°.在△BCD 中，因为CD ＝50，BC ＝100sin 15°sin 30°，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90°＋θ， 由正弦定理，得50sin 45°＝100sin 15°sin 30°sin （90°＋θ），解得cos θ＝3－1.因此，山对于地平面的斜度的余弦值为3－1.10．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．【解析】 如图所示，根据题意可知 AC ＝10，∠ACB ＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h ，并在B 处与渔轮相遇， 则AB ＝21t ，BC ＝9t ， 在△ABC 中，根据余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°， 所以212t 2＝102＋92t 2＋2×10×9t ×12，即360t 2－90t －100＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23 h.此时AB ＝14，BC ＝6. 在△ABC 中，根据正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin 120°，所以sin ∠CAB ＝6×3214＝3314，即∠CAB ≈21.8°或∠CAB ≈158.2°(舍去)． 即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行，需23h 才能靠近渔轮．B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)11．某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好是 3 km ，那么x 的值为________．【解析】 如图所示，设此人从A 出发，则AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝3，∠ABC ＝30°， 由余弦定理得(3)2＝x 2＋32－2x ·3·cos 30°， 整理，得x 2－33x ＋6＝0，解得x ＝3或2 3. 【答案】 3或2 312．(2015·湖北)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.【解析】 先利用正弦定理求出BC ，再在Rt △BCD 中求CD . 由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°， ∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°. 又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°，解得BC ＝300 2 m.在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006(m)． 【答案】 100 613．(2016·潍坊模拟)如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距8 2 n mile.此船的航速是________．【解析】 设航速为v n mile/h在△ABS 中，AB ＝12v ，BS ＝82，∠BSA ＝45°，由正弦定理得：82sin 30°＝12v sin 45°，∴v ＝32.【答案】 32 n mile/h14．(2016·郑州模拟)在200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________m.【解析】 如图，由已知可得∠BAC ＝30°，∠CAD ＝30°， ∴∠BCA ＝60°，∠ACD ＝30°，∠ADC ＝120°.又AB ＝200 m ，∴AC ＝40033 m. 在△ACD 中，由余弦定理得，AC 2＝2CD 2－2CD 2·cos 120°＝3CD 2，∴CD ＝13AC ＝4003 m. 【答案】4003 15．(2016·江西南昌模拟)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【解析】 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35， 所以sin A ＝513，sin C ＝45. 从而sin B ＝sin π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝AC sin B，得 AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040 m. 所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ， 所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，由于0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8， 故当t ＝3537min 时，甲、乙两游客距离最短． (3)由正弦定理BC sin A ＝AC sin B， 得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500 m. 乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550 m ，还需走710 m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514， 所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内．。
2017届新课标高考总复习专项演练：第四章 三角函数、解三角形 4-6
4-6A 组 专项基础训练(时间：45分钟)1．(2015·乌鲁木齐诊断测试三)已知sin 2α＝－2425，且α∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，则sin α＝( ) A.35 B.45C ．－35D ．－45【解析】 ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，∴cos α<0，sin α>0， 且|cos α|>|sin α|，又(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝1－2425＝125， ∴sin α＋cos α＝－15， 同理可得sin α－cos α＝75，∴sin α＝35，故选A. 【答案】 A2．若sin α＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos α等于( ) A.225 B ．－225C.425 D ．－425【解析】 sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos α ＝sin αcosπ4＋cos αsin π4－22cos α＝45×22＝225. 【答案】 A3．在△ABC 中，tan B ＝－2，tan C ＝13，则A 等于( ) A.π4 B.3π4C.π3D.π6【解析】 tan A ＝tan π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－－2＋131－（－2）×13＝1.又A 为△ABC 的内角．故A ＝π4. 【答案】 A4．若tan α＋1tan α＝103，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值为( ) A ．－210 B.210C.3210D.7210【解析】 由tan α＋1tan α＝103 得sin αcos α＋cos αsin α＝103， ∴1sin αcos α＝103，∴sin 2α＝35. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos 2α＝－45. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝sin 2αcos π4＋cos 2αsin π4 ＝22×⎝⎛⎭⎫35－45＝－210. 【答案】 A5．已知cos 2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ的值为( ) A.1318 B.1118C.79D ．－1 【解析】 sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos 22θ)＝1118. 【答案】 B6．(2015·浙江)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，最小值是________．【解析】 利用三角恒等变换，化为正弦型函数再求解．f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1 ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝32＋22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 故最小正周期T ＝2π2＝π.当sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝－1时， f (x )取得最小值为32－22＝3－22. 【答案】 π 3－227．设x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x 的最小值为________． 【解析】 方法一：因为y ＝2sin 2x ＋1sin 2x ＝2－cos 2x sin 2x， 所以令k ＝2－cos 2x sin 2x .又x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以k 就是单位圆x 2＋y 2＝1的左半圆上的动点P (－sin 2x ，cos 2x )与定点Q (0，2)所成直线的斜率． 又k min ＝tan 60°＝3，所以函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x的最小值为 3. 方法二：y ＝2sin 2x ＋1sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x 2sin x cos x＝3tan 2x ＋12tan x ＝32tan x ＋12tan x. ∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴tan x >0. ∴32tan x ＋12tan x ≥2 32tan x ·12tan x＝ 3. ⎝⎛⎭⎫当tan x ＝33，即x ＝π6时取等号 即函数的最小值为 3.【答案】 3 8．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3，则sin 2θ－2cos 2θ的值为________． 【解析】 ∵tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3， ∴1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12. ∵sin 2θ－2cos 2θ＝sin 2θ－cos 2θ－1＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ－cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ－1＝2tan θ1＋tan 2θ－1－tan 2θ1＋tan 2θ－1 ＝45－35－1＝－45. 【答案】 －459．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．【解析】 由cos β＝55，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 得sin β＝255，tan β＝2. ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴π2<α＋β<3π2，∴α＋β＝5π4. 10．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值． 【解析】 (1)由题设知：f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝2sin π4＝ 2. (2)由题设知：1013＝f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝2sin α， 65＝f (3β＋2π)＝2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π2＝2cos β， 即sin α＝513，cos β＝35， 又α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos α＝1213，sin β＝45， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1213×35－513×45＝1665. B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11．(2016·邯郸期末联考)cos 20°cos 40°cos 60°·cos 80°等于( ) A.14 B.18C.116D.132【解析】 原式＝sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°2sin 20°＝sin 40°cos 40°cos 80°4sin 20°＝sin 80°cos 80°8sin 20°＝sin 160°16sin 20°＝116. 【答案】 C12．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝ad －bc ，若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于( ) A.π12 B.π6C.π4D.π3【解析】 依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314， 又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2， 故cos(α－β)＝1－sin 2（α－β）＝1314， 而cos α＝17，∴sin α＝437， 于是sin β＝sin α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32，故β＝π3，故选D. 【答案】 D13．sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝24，则sin 2α＝________． 【解析】 sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22sin α＋22cos α＝24， ∴sin α＋cos α＝12， (sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝14，故sin 2α＝－34. 【答案】 －3414．(2015·天津)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值． 【解析】 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上是减函数， 在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上是增函数， 且f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34， 最小值为－12. 15．(2015·安徽合肥质检)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值；(2)求tan α－1tan α的值． 【解析】 (1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14， 即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3·cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3·sin π3＝12. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32. ∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.。
高中数学三角函数专项练习题(含答案)
高中数学三角函数专项练习题(含答案)一、填空题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1a =，34A π=，若b c λ+有最大值，则实数λ的取值范围是_____．2．已知函数()()4sin 03πf x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，圆C 的方程为()22525x y -+=，若在圆C 内部恰好包含了函数()f x 的三个极值点，则ω的取值范围是______.3．已知()()()cos sin 0f x x x x ωωωω=>，如果存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有()()()002016f x f x f x π≤≤+成立，则ω的最小值为___________.4．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，D 为边BC 上的一点，若6c =，b =sin BAD ∠=，cos BAC ∠=，则AD =__________. 5．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c ，c ＝2b ，若△ABC 的面积为1，则BC 的最小值是________ ．6．关于函数())cos sin f x x x x =+①其表达式可写成()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②直线12x π=-是曲线()y f x =的一条对称轴；③()f x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；④存在0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使()()3f x f x αα+=+恒成立.其中正确的是______（填写正确的番号）.7．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AA =若M 是侧面11BCC B 内的动点，且AM MC ⊥，则1A M 的最小值为__________.8．设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，n =1，2，3…，若11b c >，1112b c a +=，11,2n n n n n a c a a b +++==，12n n n a bc ++=，则n A ∠的最大值是________________. 9．已知O 为△ABC 外接圆的圆心，D 为BC 边的中点，且4BC =，6AO AD ⋅=，则△ABC 面积的最大值为___________.10．已知P 是直线34130x y ++=上的动点，PA ，PB 是圆()()22111x y -+-=的切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________．二、单选题11．若方程x 2 +2x +m 2 +3m = m cos(x +1) + 7有且仅有1个实数根，则实数m 的值为（ ） A ．2B ．-2C ．4D ．-412．已知双曲线2221(0)y x b b -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 交双曲线的右支于A ，B 两点.若11||::3:3:2AB AF BF =，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．113D ．1113．若函数sin 2y x =与()sin 2y x ϕ=+在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上的图象没有交点，其中()0,2ϕπ∈，则ϕ的取值范围是（ ）A ．[),2ππB ．,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(),2ππD ．,214．在ABC 中，,E F 分别是,AC AB 的中点，且32AB AC =，若BEt CF <恒成立，则t 的最小值为（ ） A ．34B ．78C ．1D ．5415．已知双曲线22413y x -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点M 是双曲线右支上一点，满足120MF MF →→⋅=，点N 是线段12F F 上一点，满足112F N F F λ→→=.现将12MF F △沿MN 折成直二面角12F MN F --，若使折叠后点1F ，2F 距离最小，则λ=（ ）A ．15B ．25C ．35D ．4516．在ABC 中，60BAC ∠=，3BC =，且有2CD DB =，则线段AD 长的最大值为（ ）A B ．2 C 1 D ．17．设点()11,P x y 在椭圆22182x y +=上，点()22,Q x y 在直线280x y +-=上，则2121x x y y -+-的最小值是（ ）A．1B C ．1D ．218．已知函数22sin sin ,[1,1]()22,(1,)x x a a x f x x ax a x ⎧++-∈-=⎨-+∈+∞⎩若关于x 的不等式()0f x 对任意[1,)x ∈-+∞恒成立，则实数a 的范围是（ ）A ．[0,2]B ．(,0][2,)-∞+∞C ．(,0][1,2]-∞D ．[0,1][2,)⋃+∞19．已知1sin ,sin ,sin ,222a x x b x ωωω⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0>ω，若函数1()2f x a b =⋅-在区间(,2)ππ内有零点，则实数ω的取值可能是（ ）A ．18B ．14C ．12D ．3420．在ABC 中，2AB =，,D E 分别是边AB ，AC 的中点，CD 与BE 交于点O ，若OC =，则ABC 面积的最大值为（ ）AB ．C ．D ．三、解答题21．已知1l ，2l ，3l 是同一平面内自上而下的三条不重合的平行直线.（1）如图1，如果1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离也是1，可以把一个正三角形ABC 的三顶点分别放在1l ，2l ，3l 上，求这个正三角形ABC 的边长.（2）如图2，如果1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离是2，能否把一个正三角形ABC 的三顶点分别放在1l ，2l ，3l 上，如果能放，求BC 和3l 夹角θ的正切值并求该正三角形边长；如果不能，试说明理由.（3）如果边长为2的正三角形ABC 的三顶点分别在1l ，2l ，3l 上，设1l 与2l 间的距离为1d ，2l 与3l 间的距离为2d ，求12d d ⋅的取值范围.22．如图，四边形ABCD 是某市中心一边长为4百米的正方形地块的平面示意图. 现计划在该地块上划分四个完全相同的直角三角形（即Rt ,Rt ,Rt ABF BCG CDH 和Rt DAE ），且在这四个直角三角形区域内进行绿化，中间的小正方形修建成市民健身广场，为了方便市民到达健身广场，拟修建4条路,AE ,BF ,CG DH . 已知在直角三角形内进行绿化每1万平方米的费用为10a 元，中间小正方形修建广场每1万平方米的费用为13a 元，修路每1百米的费用为a 元，其中a 为正常数．设FAB θ∠=，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）用θ表示该工程的总造价S ；（2）当cos θ为何值时，该工程的总造价最低？23．已知函数 f （x ）＝a （|sin x |+|cos x |）﹣sin2x ﹣1，a ∈R ． （1）写出函数 f （x ）的最小正周期（不必写出过程）； （2）求函数 f （x ）的最大值；（3）当a ＝1时，若函数 f （x ）在区间（0，k π）（k ∈N*）上恰有2015个零点，求k 的值．24．已知()3,sin a x ω=，1,2cos 3b x πω⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0>ω，()f x a b =⋅，且函数()f x 在12x π=处取得最大值.（1）求ω的最小值，并求出此时函数()f x 的解析式和最小正周期； （2）在(1)的条件下，先将()y f x =的图像上的所有点向右平移4π个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，然后将所得图像上所有的点向下平移y g x 的图像.若在区间5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，方程()210g x a +-=有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围；（3）在(1)的条件下，已知点P 是函数()y h x =图像上的任意一点，点Q 为函数()y f x =图像上的一点，点,6A π⎛ ⎝⎭，且满足12OP OQ OA =+，求()104h x +≥的解集. 25．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知3sin cos 022A a B ππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2sin 6sin sin A B C =⋅. （1）求A ；（2）若()b c a R λλ+=∈，求λ的值.26．已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移2π个单位长度后与函数()()cos 22g x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭图象重合.（1）求ω和ϕ的值；（2）若函数()88h x f x g x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求函数()h x 的单调递减区间及图象的对称轴方程.27．已知函数()2212cos f x x x =+-. （1）求()f x 的对称轴； （2）将()f x 的图象向左平移12π个单位后得到函数()g x 的图象，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域.28．函数211()sin 2sin cos cos sin 222f x x x πϕϕϕ⎛⎫=⋅+⋅-+ ⎪⎝⎭，22ππϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭其图像过定点1,64π⎛⎫⎪⎝⎭（1）求ϕ值；（2）将()y f x =的图像左移8π个单位后得到()y g x =，求()g x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大和最小值及此时对应的x 的取值是多少？29．已知向量 2(2,22()),(,2a x b ωϕ=+=，其中0,02πωϕ><<．函数()f x a b =⋅的图象过点()1,2B ，点B 与其相邻的最高点的距离为4．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）计算()()()12...2017f f f +++的值；（Ⅲ）设函数()()1g x f x m =--，试讨论函数()g x 在区间 [0，3] 上的零点个数．30．已知函数())2cos cos 1f x xx x =+-．（1）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值；（2）若()85f x =-，2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求cos2x 的值；（3）若函数()()0y f x ωω=>在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数，求正数ω的取值范围．【参考答案】一、填空题1．2⎝2．1925731,,48481248ππππ⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ 3．140324．456．②③78．π3##60°9．10二、单选题 11．A12．A 13．A 14．B 15．C 16．C 17．D 18．C 19．D 20．C 三、解答题21．（1）2 ；（2）能放，tan θ=；（3）(]0,1 【解析】 【分析】（1）根据,A C 到直线2l 的距离相等，可得2l 过AC 的中点M ，2l AC ⊥，从而求得边长2AC AM =的值.（2）假设能放，设边长为a ，BC 与3l 的夹角θ，不妨设060θ<≤，可得sin 2a θ=，()sin 601a θ-=，两式相比化简可得sin θa 的值，从而得出结论. （3）利用两角和差的正弦、余弦公式化简()124sin 60sin d d θθ⋅=-为()2sin 2301θ+-，再根据正弦函数的定义和值域求出12d d ⋅的取值范围. 【详解】 （1）,A C 到直线2l 的距离相等，∴2l 过AC 的中点M ， ∴2l AC ⊥， ∴边长22AC AM ==（2）假设能放，设边长为a ，BC 与3l 的夹角θ， 由对称性，不妨设060θ<≤， ∴sin 2a θ=，()sin 601a θ-=，两式相比可得：()sin 2sin 60θθ=-，即sin sin θθθ-，2sin θθ∴=，tan θ∴=，sin θ∴=，故边长3a==，综上可得，能放.（3）()1214sin60sin4sin sin2d dθθθθθ⎫⋅=-=-⎪⎪⎝⎭()1cos2222sin23012θθθ⎫+=-=+-⎪⎪⎝⎭.060θ<≤，30230150θ∴<+≤，()1sin23012θ≤+≤，所以()02sin23011θ≤+-≤，又10d>，2d>，所以(]120,1d d⋅∈.【点睛】本题是一道考查三角函数应用的题目，解题的关键是掌握等边三角形的性质以及三角函数的恒等变换，属于中档题.22．（1）()16(13sin6sin cos)S aθθθθ=+-，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）当3cos4θ=时，()16()S afθθ=取得最小值【解析】(1)根据题意可知4sinBFθ=,4cosAFθ=,进而求得Rt ABFS与EFGHS正方形再求得总造价S即可. (2)由(1)有()16(13sin6sin cos)S aθθθθ=+-,再求导分析函数的单调性与最值即可.【详解】（1）在Rt ABF中,FABθ∠=,4AB=,所以4sinBFθ=,4cosAFθ=.由于Rt,Rt,RtABF BCG CDH和Rt DAE是四个完全相同的直角三角形,所以4sinAE BF CG DHθ====,4(cos sin)EF FG GH HEθθ====-,所以Rt114cos4sin8sin cos22ABFS AF BFθθθθ=⋅⋅=⨯⨯=,2224(cos sin)16(12sin cos)EFGHS EFθθθθ==-=-正方形.所以()48sin cos1016(12sin cos)1344sinS a a aθθθθθθ=⨯⨯+-⨯+⨯⨯16[20sin cos(12sin cos)13sin]aθθθθθ=+-⨯+16(13sin6sin cos)aθθθ=+-,0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（2）由（1）记()13sin6sin cosfθθθθ=+-,0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.则22232()cos6(cos sin)12cos cos612(cos)(cos)43fθθθθθθθθ'=--=-++=--+.令()0fθ'=,因为0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以3cos4θ=或2cos3θ=-(舍).记3cos4θ=,所以当(0,)θθ∈时,()0fθ'<,()fθ单调递减；当0(,)4πθθ∈时,()0f θ'>,()f θ单调递增. 所以当3cos 4θ=时,()f θ取得极小值,也是最小值, 又0a >,所以当3cos 4θ=时,()16()S af θθ=取得最小值. 【点睛】本题主要考查了三角函数在几何中的运用,同时也考查了求导分析函数最值的方法,属于难题. 23．（1）最小正周期为π．（2）见解析（3）k ＝1008． 【解析】（1）由题意结合周期函数的定义直接求解即可；（2）令t ，t ∈[1，则当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()2f x t at t μ==-，当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，()()22f x v t t at ==+-，易知()()t v t μ≤，分类比较()1v 、v的大小即可得解；（3）转化条件得当且仅当sin2x ＝0时，f （x ）＝0，则x ∈（0，π]时，f （x ）有且仅有两个零点，结合函数的周期即可得解. 【详解】（1）函数 f （x ）的最小正周期为π． （2）∵f （x ）＝a （|sin x |+|cos x |）﹣sin2x ﹣1＝sin2x ﹣1＝（sin2x +1），令t =t ∈[1]，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()(21f x t at t t μ==-≤≤，当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，()()(221f x v t t at t ==+-≤≤，∵()()()2222220t v t at t t at t μ-=--+-=-+≤即()()t v t μ≤.∴()()(){}max max max 1,f x v t v v ==，∵()11v a =-，v，∴当1a ≤-()f x 最大值为1a -；当1a >-()f x .（3）当a ＝1时，f （x ）sin 21x -，若f （x ）＝0sin 21x =+即22sin 22sin 2sin x x x =+，∴当且仅当sin2x ＝0时，f （x ）＝0，∴x ∈（0，π]时，f （x ）有且仅有两个零点分别为2π，π， ∴2015＝2×1007+1， ∴k ＝1008． 【点睛】本题考查了三角函数的综合问题，考查了分类讨论思想和转化化归思想，属于难题.24．（1）ω的最小值为1，()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，T π=，（2）104a <≤（3）原不等式的解集为3,22428k k xx k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】（1）先将()f x 化成正弦型，然后利用()f x 在12x π=处取得最大值求出ω，然后即可得到()f x 的解析式和周期（2）先根据图象的变换得到()sin 6x y g x π⎛⎫-= ⎝=⎪⎭，然后画出()g x 在区间5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象，条件转化为()g x 的图象与直线12y a =-有两个交点即可（3）利用坐标的对应关系式，求出()h x 的函数的关系式，进一步利用三角不等式的应用求出结果． 【详解】 （1）因为()3,sin a x ω=，1,2cos 3b x πω⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()32sin cos 3f x a b x x πωω⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭212sin cos sin cos 2x x x x x x ωωωωωω⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭11cos 21sin 2sin 22222x x x x ωωωω-=+=+sin 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为()f x 在12x π=处取得最大值.所以22,1232k k Z πππωπ⨯+=+∈，即121,k k Z ω=+∈当0k =时ω的最小值为1此时()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，T π=（2）将()y f x =的图像上的所有的点向右平移4π个单位得到的函数为sin 2sin 2436y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再把所得图像上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的函数为sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后将所得图像上所有的点向下平移32个单位，得到函数()sin 6x y g x π⎛⎫-= ⎝=⎪⎭()sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象为：方程()210g x a +-=有两个不相等的实数根等价于()g x 的图象 与直线12y a =-有两个交点 所以11212a ≤-<，解得104a <≤（3）设(),P x y ，()00,Q x y因为点3,6A π⎛ ⎝⎭，且满足12OP OQ OA =+ 所以00126132x x y y π⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩002332x x y y π⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为点()00,Q x y 为函数()y f x =图像上的一点 所以332sin 2233y x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1()sin 423y h x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭因为()104h x +≥，所以1sin 432x π⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭所以7242,636k x k k Z πππππ-≤-≤+∈ 所以3,22428k k x k Z ππππ+≤≤+∈ 所以原不等式的解集为3,22428k k xx k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，平面向量的数量积的应用，三角不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．25．（1）3A π=；（2）λ=. 【解析】【分析】（1）根据诱导公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式，结合已知等式，化简tan A =(0,)A π∈，可得A 的值； （2）由已知根据余弦定理可得2223a a bc λ+=，利用正弦定理可得26a bc =，联立即可解得λ的值．【详解】（13sin cos 022A a B ππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 0A a B ⇒+=，cos sin sin 0B A A B ⇒+=(0,)sin 0B B π∈∴≠，tan (0,)3A A A ππ∴=∈∴=；（2）22sin 6sin sin 6A B C a ac =⋅⇒=，2222222cos )(3a b c bc B b c b bc bc c +⋅=++=--=-，而()b c a R λλ+=∈，22()3a a bc λ=-，而26a ac =，所以有2302λλλλ=⇒=>∴= 【点睛】本题考查了诱导公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式、余弦定理，考查了数学运算能力.26．（1）2ω=，3πϕ=；（2）减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，对称轴方程为()212k x k Z ππ=+∈ 【解析】【分析】(1)先根据平移后周期不变求得2ω=,再根据三角函数的平移方法求得3πϕ=即可.(2)根据(1)中()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()cos 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭代入可得()h x ,利用辅助角公式求得()23h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,再代入调递减区间及图象的对称轴方程求解即可. 【详解】（1）因为函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移2π个单位长度后与函数()()cos 22g x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭图象重合, 所以2ω=.5sin 2sin 2cos 222663f x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 所以()cos 2cos 23x x πϕ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭, 因为2πϕ<,所以3πϕ=.（2）由（1）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()cos 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, 所以()88h x f x g x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,sin 2cos 2212123x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 令()3222232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈,解得()71212k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数的单调递减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 令()232x k k Z πππ+=+∈,可得图象的对称轴方程为()212k x k Z ππ=+∈. 【点睛】本题主要考查了三角函数的平移运用以及辅助角公式.同时也考查了根据三角函数的解析式求解单调区间以及对称轴等方法.属于中档题.27．（1）23k x ππ=+(k Z ∈)（2）[]0,2 【解析】（1）利用三角恒等变换，化简函数解析式为标准型，再求对称轴；（2）先求平移后的函数解析式，再求值域.【详解】（1）()222cos 1f x x x =-+2cos 2x x =-2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 令：262x k πππ-=+，得23k x ππ=+， 所以()f x 的对称轴为23k x ππ=+(k Z ∈). （2）将()f x 的图象向左平移12π个单位后得到函数()g x ，所以()12g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2sin 22sin 2126x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有220,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故[]sin 20,1x ∈， ()g x ∴的值域为[]0,2.【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简函数解析式，求解函数性质，同时涉及三角函数图象的平移，以及值域的求解问题.属三角函数综合基础题.28．（1）0ϕ=（2）当4x π=时，min ()g x =；当8x π=-时，max 1()2g x = 【解析】【分析】 （1）先将函数表达式结合降幂公式化简可得()1cos(2)2f x x ϕ=-，结合函数过点1,64π⎛⎫ ⎪⎝⎭和,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭即可求解具体ϕ值； （2）根据函数图像平移法则先求得1()cos 224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求得32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，再结合余弦函数性质即可求解 【详解】（1）11cos 21()sin 2sin cos cos 222x f x x ϕϕϕ+=⋅+⋅- 11sin 2sin cos 2cos 22x x ϕϕ=⋅+⋅ 1cos(2)2x ϕ=- 又图像过点1,64π⎛⎫ ⎪⎝⎭，11cos 423πϕ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ 233k ππϕπ∴-=+或2()3k k Z ππ-+∈ 又,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，0ϕ∴= （2）由（1）知1()cos 22f x x =， 11()cos 2cos 22824g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦当3244x ππ+=时，即4x π=时，min ()g x =当204x π+=时，即8x π=-时，max 1()2g x =【点睛】本题考查三角函数表达式的化简求值，降幂公式的使用，两角差的余弦公式的逆用，在具体区间函数最值的求解，属于中档题29．（Ⅰ）[41,43]k k ++，k Z ∈；（Ⅱ）2018；（Ⅲ）详见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由数量积的坐标运算可得f （x ），由题意求得ω4π=，再由函数f （x ）的图象过点B （1，2）列式求得φ．则函数解析式可求，由复合函数的单调性求得f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）＝1+sin 2x π，可得f （x ）是周期为4的周期函数，且f （1）＝2，f （2）＝1，f （3）＝0，f （4）＝1．得到f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝4． 进一步可得结论；（Ⅲ）g （x ）＝f （x ）﹣m ﹣12sinx m π=-，函数g （x ）在[0，3]上的零点个数，即为函数y ＝sin 2x π的图象与直线y ＝m 在[0，3]上的交点个数．数形结合得答案．【详解】（Ⅰ）∵a =cos2（ωx +φ）），b =∴f （x ）222a b =⋅=⨯（ωx +φ）＝1﹣cos2（ωx +φ））， ∴f （x ）max ＝2，则点B （1，2）为函数f （x ）的图象的一个最高点． ∵点B 与其相邻的最高点的距离为4，∴242πω=，得ω4π=． ∵函数f （x ）的图象过点B （1，2），∴1222cos πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即sin2φ＝1． ∵0＜φ2π＜，∴φ4π=．∴f （x ）＝1﹣cos2（44x ππ+）＝1+sin 2x π， 由322222k x k πππππ+≤≤+，得4143k x k +≤≤+，k Z ∈． ()f x ∴的单调递减区间是[41,43]k k ++，k Z ∈．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）＝1+sin 2x π，∴f （x ）是周期为4的周期函数，且f （1）＝2，f （2）＝1，f （3）＝0，f （4）＝1． ∴f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝4．而2017＝4×504+1，∴f （1）+f （2）+…+f （2017）＝4×504+2＝2018；（Ⅲ）g （x ）＝f （x ）﹣m ﹣12sin x m π=-，函数g （x ）在[0，3]上的零点个数， 即为函数y ＝sin 2x π的图象与直线y ＝m 在[0，3]上的交点个数．在同一直角坐标系内作出两个函数的图象如图：①当m ＞1或m ＜﹣1时，两函数的图象在[0，3]内无公共点；②当﹣1≤m ＜0或m ＝1时，两函数的图象在[0，3]内有一个共点；③当0≤m ＜1时，两函数的图象在[0，3]内有两个共点．综上，当m ＞1或m ＜﹣1时，函数g （x ）在[0，3]上无零点；②当﹣1≤m ＜0或m ＝1时，函数g （x ）在[0，3]内有1个零点；③当0≤m ＜1时，函数g （x ）在[0，3]内有2个零点．【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查数量积的坐标运算，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．30．（I ）1-；（II 334-；（III ）10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ 【解析】 【分析】 将()f x 整理为2sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（I ）利用x 的范围求得26x π+的范围，结合sin x 的图象可求得最值；（II ）利用()85f x =-可求得sin 26x ；结合角的范围和同角三角函数关系可求得cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭；根据cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角和差余弦公式可求得结果；（III ）利用x 的范围求得26x πω+的范围，从而根据sin x 单调递增区间构造出关于ω的不等式组，解不等式组再结合0>ω即可得到结果.【详解】()23cos 2cos 132cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭ （I ）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 72,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦[]2sin 21,26x π⎛⎫∴+∈- ⎪⎝⎭ ()f x ∴在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为：1- （II ）由题意得：82sin 265x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 4sin 265x π⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭ 2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 3132,626x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦ 3cos 265x π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭ cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦341552=⨯（III ）()2sin 26f x x πωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,6366x πωπππωωπ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦ 2622362k k ππωππωππππ⎧+≤+⎪⎪∴⎨⎪+≥-⎪⎩，k Z ∈，解得：12362k k ωω⎧≤+⎪⎨⎪≥-⎩，k Z ∈ 0ω>，可知当0k =时满足题意，即103ω<≤ω∴的取值范围为：10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查正弦型函数的值域求解、单调性应用、三角恒等变换公式应用、同角三角函数关系等问题.关键是能够利用二倍角公式和辅助角公式将函数化为()sin A x ωϕ+的形式，从而通过整体对应的方式来研究函数的值域和性质.。
(新课标)2017高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 17 同角三角函数的基本关系与
课时作业17 同角三角函数的基本关系与诱导公式一、选择题1．cos2 015°＝( )A ．sin35°B ．－sin35°C ．sin55°D ．－sin55°解析：cos2 015°＝cos(5×360°＋215°)＝cos215°＝cos(270°－55°)＝－sin55°.答案：D2．已知tan x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，则sin x ＝( )A.－1±52 B.3＋12 C.5－12D.3－12解析：∵tan x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，∴tan x ＝cos x ，∴sin x ＝cos 2x ，∴sin 2x ＋sin x －1＝0. 解得sin x ＝－1±52.∵－1≤sin x ≤1，∴sin x ＝5－12. 故选C. 答案：C 3．(tan x ＋1tan x)cos 2x ＝( ) A ．tan x B ．sin x C ．cos xD.1tan x解析：(tan x ＋1tan x )cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ·cos 2x＝cos x sin x ＝1tan x. 答案：D4．(2016·湖北黄冈一模)已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 013)的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 013)＝a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－(a sin α＋b cos β)＝－3.答案：D5．若tan(5π＋α)＝m ，则α－3π＋π－α－α－π＋α的值为( )A.m ＋1m －1 B.m －1m ＋1C ．－1D ．1解析：由tan(5π＋α)＝m ，得tan α＝m .原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝m ＋1m －1，∴选A.答案：A6．(2016·河北五校联考)已知θ为锐角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，则tan2θ＝( ) A.43 B.34 C ．－247D.247解析：由已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210得sin θ－cos θ＝15，再由θ为锐角且sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin θ＝45，cos θ＝35，所以tan θ＝43，tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×431－169＝－247，故选C. 答案：C7．(2016·河北唐山模拟)已知sin α＋2cos α＝3，则tan α＝( ) A.22 B. 2C ．－22D ．－ 2解析：∵sin α＋2cos α＝3，∴(sin α＋2cos α)2＝3. ∴sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2α＝3. ∴sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3.∴tan 2α＋22tan α＋2tan 2α＋1＝3. ∴2tan 2α－22tan α＋1＝0. ∴tan α＝22，故选A. 答案：A8．(2016·江西吉安一模)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点．若点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45和⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则cos(α＋β)的值为( )A ．－2425B ．－725C ．0D.2425解析：由题意知sin α＝45，cos α＝35，sin β＝35，cos β＝－45，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－45×35＝－1225－1225＝－2425.答案：A9．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( ) A ．－43B.54 C ．－34D.45解析：sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝4＋2－24＋1＝45. 答案：D10．(2016·河南郑州一模)已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x 的方程2x 2＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R )的两根，则sin θ－cos θ等于( )A.1－32 B.1＋32C. 3D ．－ 3解析：∵sin θ，cos θ是方程2x 2＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R )的两根， ∴sin θ＋cos θ＝1－32，sin θcos θ＝m2.可得(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，即2－32＝1＋m ，∴m ＝－32， ∵θ为第二象限角，∴sin θ>0，cos θ<0， 即sin θ－cos θ>0.∵(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θ·cos θ＝4－234－2m ＝1－32＋3＝2＋32， ∴sin θ－cos θ＝2＋32＝1＋32. 答案：B 二、填空题11．已知f (cos x )＝cos2x ，则f (sin15°)的值等于________． 解析：f (sin15°)＝f (cos75°)＝cos150°＝－32. 答案：－3212．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________. 解析：原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin α·sin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|，因为α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0.答案：013．(2016·衡水质检)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是________．解析：由已知，可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1， 解得tan α＝3，又sin 2α＋cos 2α＝1，α为锐角． 故sin α＝31010.答案：3101014．(2016·江西八校联考)如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－513，∠AOC ＝α.若|BC |＝1，则3cos 2α2－sinα2cos α2－32的值为________．解析：由题意得|OB |＝|OC |＝|BC |＝1，从而△OBC 为等边三角形，∴sin ∠AOB ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513，∴3cos 2α2－sin α2·cos α2－32＝3·1＋cos α2－sin α2－32＝－12sin α＋32cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513.答案：513三、解答题15．已知－π2<α<0，且函数f (α)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin α·1＋cos α1－cos α－1.(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝15，求sin α·cos α和sin α－cos α的值．解：(1)f (α)＝sin α－sin α·＋cos α21－cos 2α－1＝sin α＋sin α·1＋cos αsin α－1＝sin α＋cos α.(2)方法1：由f (α)＝sin α＋cos α＝15，平方可得sin 2α＋2sin α·cos α＋cos 2α＝125，即2sin α·cos α＝－2425.∴sin α·cos α＝－1225，∵(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝4925，又－π2<α<0，∴sin α<0，cos α>0，∴sin α－cos α<0，∴sin α－cos α＝－75.方法2：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35，cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35.∵－π2<α<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35，cos α＝45.∴sin α·cos α＝－1225，sin α－cos α＝－75.16．(2016·河南信阳一模) 已知f (x )＝cos2n π＋x2n π－xcos2n ＋π－x ](n ∈Z )．(1)化简f (x )的表达式；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 010＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫502π1 050的值．解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时，f (x )＝cos2k π＋x2k π－x cos2k ＋π－x ]＝cos 2x ·sin 2－xcos 2π－x＝cos 2x－sin x2－cos x2＝sin 2x ；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时， f (x )＝cos 2k ＋π＋x ]·sin 2k ＋π－x ]cos2k ＋＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋π＋x 2[2k π＋π－x cos 2k ＋π＋π－x＝cos2π＋x2π－xcos 2π－x＝－cos x 2sin 2x －cos x 2＝sin 2x . 综上，f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 010＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫502π1 005＝sin 2π2 010＋sin 21 004π2 010 ＝sin 2π2 010＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π2 010 ＝sin 2π2 010＋cos 2π2 010＝1.。
2017届新课标高考总复习专项演练：第四章 三角函数、解三角形 4-2
4-2A 组 专项基础训练(时间：45分钟)1．α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α等于( )A.15 B ．－15C.513 D ．－513【解析】 ∵tan α＝sin αcos α＝－512，∴cos α＝－125sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋14425sin 2α＝16925sin 2α＝1.又sin α<0，∴sin α＝－513.【答案】 D2．若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α等于( )A ．－79B ．－13C.13D.79【解析】 ∵⎝⎛⎭⎫π3＋α＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝13.则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋α－1＝－79.【答案】 A3．已知sin(π－α)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α，则sin α·cos α等于() A.25 B ．－25C.25或－25 D ．－15【解析】 由sin(π－α)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α得sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，∴sin α·cos α＝sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝－25，故选B.【答案】 B4．已知f (α)＝sin （π－α）·cos （2π－α）cos （－π－α）·tan （π－α），则f ⎝⎛⎭⎫－25π3的值为( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32【解析】 ∵f (α)＝sin αcos α－cos α·（－tan α）＝cos α，∴f ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＝cos π3＝12.【答案】 A5．函数y ＝3cos(x ＋φ)＋2的图象关于直线x ＝π4对称，则φ的可能取值是() A.3π4 B ．－3π4 C.π4 D.π2【解析】 ∵y ＝cos x ＋2的对称轴为x ＝k π(k ∈Z )，∴x ＋φ＝k π(k ∈Z )，即x ＝k π－φ(k ∈Z )， 令π4＝k π－φ(k ∈Z )得φ＝k π－π4(k ∈Z )，在四个选项中，只有3π4满足题意．【答案】 A6．如果sin α＝15，且α为第二象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝________．【解析】 ∵sin α＝15，且α为第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－ 1－125＝－265，∴sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝－cos α＝265. 【答案】265 7．(2016·浙江省东阳中学月考)已知α为钝角，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝34，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝________． 【解析】 由题意可得cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝±74， 又因为α为钝角，所以cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－74， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－74. 【答案】 －748．化简：sin 2（α＋π）·cos （π＋α）·cos （－α－2π）tan （π＋α）·sin 3⎝⎛⎭⎫π2＋α·sin （－α－2π）＝________． 【解析】 原式＝sin 2α·（－cos α）·cos αtan α·cos 3α·（－sin α）＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1. 【答案】 19．已知sin θ＝45，π2<θ<π. (1)求tan θ的值；(2)求sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ的值． 【解析】 (1)∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴cos 2θ＝925. 又π2<θ<π，∴cos θ＝－35. ∴tan θ＝sin θcos θ＝－43. (2)由(1)知，sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋2tan θ3tan 2θ＋1＝－857. 10．已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0(a ∈R )的两个根，求cos 3⎝⎛⎭⎫π2－θ＋sin 3⎝⎛⎭⎫π2－θ的值．(已知：a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2))【解析】 由已知原方程的判别式Δ≥0，即(－a )2－4a ≥0，∴a ≥4或a ≤0.又∵⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝a ，sin θcos θ＝a ， ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，则a 2－2a －1＝0，从而a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)，因此sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2.∴cos 3⎝⎛⎭⎫π2－θ＋sin 3⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin 3θ＋cos 3θ ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ)＝(1－2)1－(1－2)]＝2－2.B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知sin θ＝－13，θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则sin(θ－5π)·sin ⎝⎛⎭⎫32π－θ的值是( ) A.229 B ．－229C ．－19 D.19【解析】 ∵sin θ＝－13，θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴cos θ＝1－sin 2θ＝223. ∴原式＝－sin(π－θ)·(－cos θ)＝sin θcos θ＝－13×223＝－229. 【答案】 B12．(2016·西安模拟)已知2tan α·sin α＝3，－π2<α<0，则sin α等于( ) A.32 B ．－32C.12 D ．－12【解析】 由2tan α·sin α＝3得，2sin 2αcos α＝3， 即2cos 2α＋3cos α－2＝0，又－π2<α<0， 解得cos α＝12(cos α＝－2舍去)，故sin α＝－32. 【答案】 B13．(2016·韶关摸底考试)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线2x －y ＝0上，则sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＋cos （π－θ）sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin （π－θ）等于( ) A ．－2 B ．2C ．0 D.23【解析】 由题意可得tan θ＝2，原式＝－cos θ－cos θcos θ－sin θ＝－21－tan θ＝2. 【答案】 B14．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________． 【解析】 cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a . sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 【答案】 015．已知f (x )＝cos 2（n π＋x ）·sin 2（n π－x ）cos 2[（2n ＋1）π－x ](n ∈Z )． (1)化简f (x )的表达式；(2)求f ⎝⎛⎭⎫π2 014＋f ⎝⎛⎭⎫503π1 007的值．【解析】 (1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时，f (x )＝cos 2（2k π＋x ）·sin 2（2k π－x ）cos 2[（2×2k ＋1）π－x ]＝cos 2x ·sin 2（－x ）cos 2（π－x ）＝cos 2x ·（－sin x ）2（－cos x ）2＝sin 2x ； 当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，f (x )＝cos 2[（2k ＋1）π＋x ]·sin 2[（2k ＋1）π－x ]cos 2{[2×（2k ＋1）＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋（π＋x ）]·sin 2[2k π＋（π－x ）]cos 2[2×（2k ＋1）π＋（π－x ）]＝cos 2（π＋x ）·sin 2（π－x ）cos 2（π－x ）＝（－cos x ）2sin 2x （－cos x ）2＝sin 2x ， 综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎫π2 014＋f ⎝⎛⎭⎫503π1 007＝sin 2π2 014＋sin 21 006π2 014＝sin 2π2 014＋sin 2⎝⎛⎭⎫π2－π2 014 ＝sin 2π2 014＋cos 2π2 014＝1.。
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精心整理 页脚内容 三角函数大题综合训练 一．解答题（共30小题） 2．（2016?广州模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A． （I）求角A的大小； （Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值． 解：（I）由3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A，得 2cos2A+3cosA﹣2=0，﹣﹣﹣﹣﹣（2分） 即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0．
解得cosA=或cosA=﹣2（舍去）．﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
因为0＜A＜π，所以A=．﹣﹣﹣﹣（6分） （II）由S=bcsinA=bc?=bc=5，得bc=20． 又b=5，所以c=4．﹣﹣﹣﹣﹣（8分） 由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故a=．﹣﹣﹣（10分）
又由正弦定理，得sinBsinC=sinA?sinA=?sin2A=×=．﹣﹣﹣﹣（12分）
3．（2016?成都模拟）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x． （Ⅰ）求函数f（x）取得最大值时x的集合； （Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=﹣，求sinA的值．
解：（Ⅰ）函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x=cos2x﹣sinxcosx+（cos2x﹣sin2x） =﹣sin2x+cos2x=+cos（2x+）， 故函数取得最大值为，此时，2x+=2kπ时，即x的集合为{x|x=kπ﹣，k∈Z}． （Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=+cos（2C+）=﹣， ∴cos（2C+）=﹣，又A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，∴2C+=，∴C=． ∵cosB=，∴sinB=， ∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=+=． 4．（2016?台州模拟）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2﹣ab． （1）求角C的值；
（2）若b=2，△ABC的面积，求a的值． 精心整理 页脚内容 解：（1）∵c2=a2+b2﹣ab，∴cosC==， ∵0°＜C＜180°，∴C=60°； （2）∵b=2，△ABC的面积，
∴=， 解得a=3． 5．（2016?惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=． （Ⅰ）求△ACD的面积； （Ⅱ）若BC=2，求AB的长．
解：（Ⅰ）因为∠D=2∠B，，
所以．…（3分） 因为∠D∈（0，π）， 所以．…（5分） 因为AD=1，CD=3， 所以△ACD的面积．…（7分） （Ⅱ）在△ACD中，AC2=AD2+DC2﹣2AD?DC?cosD=12． 所以．…（9分）
因为，，…（11分）
所以． 所以AB=4．…（13分） 6．（2015?山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值． 解：①因为△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知cosB=，
sin（A+B）=，ac=2，所以sinB=，sinAcosB+cosAsinB=， 所以sinA+cosA=，结合平方关系sin2A+cos2A=1， 得27sin2A﹣6sinA﹣16=0， 解得sinA=或者sinA=﹣（舍去）；
②由正弦定理，由①可知sin（A+B）=sinC=，sinA=， 所以a=2c，又ac=2，所以c=1． 精心整理 页脚内容 8．（2015?湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA． （Ⅰ）证明：sinB=cosA；
（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．
解：（Ⅰ）证明：∵a=btanA．∴=tanA， ∵由正弦定理：，又tanA=， ∴=，∵sinA≠0，∴sinB=cosA．得证． （Ⅱ）∵sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB， ∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，
∴sin2B=，∵0＜B＜π，∴sinB=，∵B为钝角，∴B=， 又∵cosA=sinB=，∴A=，∴C=π﹣A﹣B=， 综上，A=C=，B=． 10．（2015?湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角． （Ⅰ）证明：B﹣A=；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围． 解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，
∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A） 又B为钝角，∴+A∈（，π）， ∴B=+A，∴B﹣A=； （Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0， ∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A） =sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A =﹣2（sinA﹣）2+，
∵A∈（0，），∴0＜sinA＜， ∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤ ∴sinA+sinC的取值范围为（，] 11．（2015?四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根． 精心整理 页脚内容 （Ⅰ）求C的大小 （Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值． 解：（Ⅰ）由已知，方程x2+px﹣p+1=0的判别式：△=（p）2﹣4（﹣p+1）=3p2+4p﹣4≥0，
所以p≤﹣2，或p≥．
由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p． 所以，1﹣tanAtanB=1﹣（1﹣p）=p≠0，
从而tan（A+B）==﹣=﹣．
所以tanC=﹣tan（A+B）=，所以C=60°． （Ⅱ）由正弦定理，可得sinB===， 解得B=45°，或B=135°（舍去）． 于是，A=180°﹣B﹣C=75°．
则tanA=tan75°=tan（45°+30°）===2+． 所以p=﹣（tanA+tanB）=﹣（2+）=﹣1﹣． 12．（2015?河西区二模）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac． （Ⅰ）求B．
（Ⅱ）若sinAsinC=，求C． 解：（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac，
∴a2+c2﹣b2=﹣ac，∴cosB==﹣， 又B为三角形的内角，则B=120°； （II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC=，cos（A+C）=， ∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=+2×=， ∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°， 则C=15°或C=45°．
13．（2015?浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）
求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值． 解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2=bc﹣c2，
又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得， ∴a2=b2﹣=，即a=． 精心整理 页脚内容 ∴cosC===．∵C∈（0，π）， ∴sinC==．∴tanC==2． （2）∵=×=3， 解得c=2．∴=3． 15．（2015?江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°． （1）求BC的长； （2）求sin2C的值．
解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB?ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7，
所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===， ∵AB＜BC，∴C为锐角， 则cosC===．
因此sin2C=2sinCcosC=2×=． 16．（2015?天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．
（Ⅰ）求a和sinC的值； （Ⅱ）求cos（2A+）的值．
解：（Ⅰ）在三角形ABC中，由cosA=﹣，可得sinA=，△ABC的面积为3，可得：， 可得bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c2﹣2bccosA，可得a=8， ，解得sinC=；
（Ⅱ）cos（2A+）=cos2Acos﹣sin2Asin==． 17．（2015?怀化一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA． （1）求角A； （2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．
解：（1）由正弦定理==化简已知的等式得：sinC=sinAsinC﹣sinCcosA，
∵C为三角形的内角，∴sinC≠0， ∴sinA﹣cosA=1，
整理得：2sin（A﹣）=1，即sin（A﹣）=，
∴A﹣=或A﹣=，解得：A=或A=π（舍去），则A=；