第二章-轴向拉伸与压缩(3)
第二章 轴向拉压
自由端。 取左侧x段为对象，内力FN(x)为： q(x) x ql x
x
FNx
FN O –
kl 2 2
1 2 FN (x) kxdx kx 0 2 1 2 FN (x),max kl 2
§2.3
横截面上的正应力
两根材料相同但粗细不同的杆，在相同的拉力下，随着拉 力的增加，哪根杆先断？ 显然两杆的轴力是相同，细杆先被拉断。
FN l2 l2 EA2
40 10 N 200 10 m 210 10 Pa 250 10 m
9 6 2
杆的总伸长量
l l1 l2
=0.143+0.152 0.295mm
0.152 103 m=0.152mm
已知： AB段A1 ＝400mm2 BC段A2 =250mm2 ,E=210GPa 求：AB、BC段的伸长量；C截面 相对与B截面的位移和C截面的绝 对位移以及杆的总伸长量。 位移：指物体上的一些点、线、 面在空间位置上的改变。 显然，两个截面的相对位 移，在数值上等于两个截面之 间的那段杆件的伸长。 因此，C截面与B 截面的 相对位移是
Fx 0
得
FN F 0 FN F
m
F
F
m
F
FN
FN 称为轴力。
拉伸的轴力规定为正，压缩 的轴力规定为负。
FN
F
几点说明 •(1)不能在外力作用处截取截面。
•(2)截面内力不一定等于其附近作用的外力。 •(3)轴力不能完全描述杆的受力强度。 •(4)轴力与截面尺寸无关。
轴力沿轴线变化的图形称为轴力图。 轴力图用杆的轴线作为横坐标，横截面的轴力值为纵坐 标，一般纵坐标正向指向向上。 例如前面例题的轴力图
材料力学之轴向拉伸和压缩
铸铁经球化处理成为球 墨铸铁后, 力学性能有 显著变化, 不但有较高 的强度, 还有较好的塑 性性能。
国内不少工厂成功地用 球墨铸铁代替钢材制造 曲轴、齿轮等零件。
2.6.4 金属材料在压缩时的力学性能
低碳钢压缩时的弹性模量E和屈服极限ss都与拉
伸时大致相同。屈服阶段以后, 试样越压越扁, 横截面面积不断增大, 试样抗压能力也继续增高, 因而得不到压缩时的强度极限。
冷作时效不仅与卸载 后至加载的时间间隔 有关, 而且与试样所处 的温度有关。
2.6.3 其它金属材料在拉伸时的力学性能
工程上常用的塑性材 料, 除低碳钢外, 还有 中碳钢、高碳钢和合 金钢、铝合金、青铜、 黄铜等。
其中有些材料, 如Q345 钢, 和低碳钢一样, 有 明显的弹性阶段、屈 服阶段、强化阶段和 局部变形阶段。
并用s0.2来表示, 称为名义屈
服应力。
铸铁拉伸时的力学性能
灰口铸铁拉伸时的应 力—应变关系是一段微 弯曲线, 没有明显的直 线部分。
它在较小的拉应力下就 被拉断, 没有屈服和缩 颈现象, 拉断前的应变 很小, 伸长率也很小。 灰口铸铁是典型的脆性 材料。
铸铁拉断时的最大应力 即为其强度极限, 没有屈
比较图中的Oabcdef和d'def两条曲线, 可见在第 二次加载时, 其比例极限(亦即弹性阶段)得到了 提高, 但塑性变形和伸长率却有所降低。这种现 象称为冷作硬化。冷作硬化现象经退火后又可 消除。
工程上经常利用 冷作硬化来提高 材料的弹性阶段。 如起重用的钢索 和建筑用的钢筋, 常用冷拔工艺以 提高强度。
在屈服阶段内的 最高应力和最低 应力分别称为上 屈服极限和下屈 服极限。
工程力学(静力学与材料力学)第二篇第八章轴向拉伸与压缩
01.25MPa
50
50 0c2 o s0 c2 o 5 s0
5 051M .6 Pa
50 2 0si2 n2 0si10 n0
5 061M .6 Pa
xx
.
20
例 3-2 以加速度 a 向上起吊直杆, 分析杆的轴力，并求最
大正应力。横截面面积为A, 材料密度为r。
r r 解：1. 外力分析
.
斜截面上 的应力均 匀分布
14
2. 斜截面应力计算
Fx0, pcA osF0
pFcAos0cos
pco s0co 2s
psi n20si2 n
xx
.
15
3. 最大应力分析
0co2s
0sin2
2
max 0
0
m a x
45
0
2
最大正应力发生在杆件横截面上，其值为0 最大切应力发生在杆件45°斜截面上, 其值为0/2
xx
§2 轴力与轴力图
.
6
轴力
轴力定义：通过横截面形心并沿杆件轴线的内力
符号规定：拉力为正,压力为负
xx
.
7
轴力计算
试分析杆的轴力 （F1=F，F2=2F）
FR F2 F1 F
AB 段： FN1 F
BC 段： FN2F0 FN2F
要点：逐段分析轴力；设正法求轴力
xx
.
8
轴力图
FN1 F
FN2F
以横坐标 x表示横截面位置，以纵坐标 FN 表示轴力，绘制轴力沿杆轴的变化曲线。
表示轴力沿杆轴变化情况的图 线（即 FN-x 图 ）, 称为轴力图
xx
.
9
例题
例 21 等直杆BC , 横截面面积为A , 材料密度为r , 画杆
材料力学第2章
2-2截面，即BC段:
BC
FN 2 30 103 N 100MPa 6 2 A2 300 10 m
FN 4 20 103 N 100MPa 6 2 A3 200 10 m
(压应力)
3-3截面，即DE段:
DE
（压应力）
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2.3.3 拉压杆斜截面上的应力
4
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由上可知苹果把中的内力和外力（重力）是有关 系的，它随外力作用而产生，是由于外力的作用而 引起的“附加内力”，有别于物体中微观粒子间的 作用力，这就是材料力学中的内力。 2.2.2 轴力、截面法、轴力图 当直杆轴向拉伸或压缩时，所产生的内力是沿杆 件轴线的，故称为轴力。由于内力是受力物体内相邻 部分的相互作用力，可用截面法来分析内力 。
32
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例题 2.5
解: 由于杆的轴力FN沿杆长是变化的，材料有两种 ，截面为变截面，所以在运用式（2-10）计算 杆长度改变量时，应按FN 、E、A的变化情况， 分别计算每段长度的改变量，最后的代数和即 为杆纵向总变形量Δl 。
先画出杆的轴力图， 见（b）图。各段的纵向 伸长或缩短量分别为:
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截面法的基本步骤如下：
1）截开： 2）代替： 3）平衡：
F
x
0 : FN F 0, FN F
轴力的正负号规定： a.拉杆的变形是沿纵向伸长， 其轴力规定为正，称为拉力； b.压杆的变形是沿纵向缩短，其轴力规定为负，称 为压力。
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为了表示轴力随横截面位臵而变化的情况，可选 取一定的比例，用平行于杆轴线的坐标表示横截面 的位臵，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力 的数值，从而绘出表示轴力与截面位臵关系的图线 ，称为轴力图。习惯上将正值的轴力画在坐标轴的 上侧，负值的轴力画在下侧。轴力图上可以确定最 大轴力的数值及其所在横截面的位臵。
轴向拉伸和压缩
第二章 轴向拉伸与压缩2.1试画题2.1图示各杆的轴力图。
解 各杆的轴力图如续题2.1图所示。
2.2 题2.1图(a )所示等截面直杆，若该杆的横截面面积A =100mm 2，试计算杆内的最大拉应力和最大压应力。
解 轴力图如续题2.1图(a-1)所示。
则杆件在AB 段所受压应力最大，在CD 段所受拉应4 kN1 kN ABD(b)(a)3 kN2 kNCF ABCF (c)FA B C3F(d)AB3qa q题2.1图象l(c)FAB C3FF 2Fx NF ⊕(c-1)NF (a 1)-4 kN1 kN ABD (a)3 kN2 kNC1 kN1 kNxNF (b 1)-(b)FABCF F Ax NF B(d)3qa (d-1)3qaqa 2qa续题2.1图 象力最大。
最大拉应力为3N,max 2110N10MPa100mm CD t F Aσ⨯===最大压应力为3N,max 2410N40MPa100mm AB C F Aσ⨯===2.3 题2.3图所示桁架，已知 F=784.8N ，AB 和BC 杆的横截面均为圆形，直径分别为10mm 和 8mm ，试求AB 和BC 杆的正应力。
解 (1)计算两杆轴力以A 点为研究对象，列平衡方程，求得AB 杆轴力N,AB F 和BC 杆轴力N,BC F 分别为N,632.38N AB F =(拉)，N,395.50N BC F =(拉)(2)根据公式N AF σ= 求得杆件的拉应力为()N,24632.38N 8.05MPa A π10mm AB t ABAB F σ⨯===⋅ ()N,24237.14N7.87MPa A π8mm BC t BC BCF σ⨯===⋅2.4 一受轴向拉伸的杆件AB ，横截面积A=200mm 2，力F =10kN ，求法线与杆轴成30及45的斜面上的正应力和切应力。
解 斜截面α上的正应力和切应力分别为°60FB C A 34题2.3图象F BN,BC F 续题2.3图N,ABF F ABF题2.4图象20cos ασσα=sin 22αστα=式中，3021010 N =50MPa 200mmF A σ⨯== 当α=30°斜面上的正应力与切应力分别为o2o 2o 030cos 3050 MPa cos 3037.5MPaσσ==⨯=o o3050 MPa sin60sin221.65MPa 22στα⨯===当α=45°时，斜面上的正应力与切应力分别为o2o 2o 045cos 4550 MPa cos 4525MPaσσ==⨯=oo4550 MPa sin90sin225MPa 22στα⨯===2.5 题2.5图示混凝土柱，已知比重323.0kN/m γ=，15kN F =，360mm d =，4m h =。
材料力学第五版课后习题答案详解
Microsoft Corporation材料力学课后答案[键入文档副标题]lenovo[选取日期]第二章轴向拉伸和压缩2-12-22-32-42-52-62-72-82-9下页2-1试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。
（a）解：；；（b）解：；；（c）解：；。
(d)解：。
返回2-2 试求图示等直杆横截面1-1，2-2和3-3上的轴力，并作轴力图。
若横截面面积，试求各横截面上的应力。
解：返回2-3试求图示阶梯状直杆横截面1-1，2-2和3-3上的轴力，并作轴力图。
若横截面面积，，，并求各横截面上的应力。
解：返回2-4 图示一混合屋架结构的计算简图。
屋架的上弦用钢筋混凝土制成。
下面的拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成，其截面均为两个75mm×8mm的等边角钢。
已知屋面承受集度为的竖直均布荷载。
试求拉杆AE和EG横截面上的应力。
解：=1）求内力取I-I分离体得（拉）取节点E为分离体，故（拉）2）求应力75×8等边角钢的面积A=11.5 cm2(拉)（拉）2-5(2-6)图示拉杆承受轴向拉力，杆的横截面面积。
如以表示斜截面与横截面的夹角，试求当，30，45，60，90时各斜截面上的正应力和切应力，并用图表示其方向。
解：2-6(2-8) 一木桩柱受力如图所示。
柱的横截面为边长200mm的正方形，材料可认为符合胡克定律，其弹性模量E=10 GPa。
如不计柱的自重，试求：（1）作轴力图；（2）各段柱横截面上的应力；（3）各段柱的纵向线应变；（4）柱的总变形。
解：（压）（压）。
材料力学 轴向拉压3
课堂讨论题
低碳钢加载→卸载→ 再加载路径有以下四种， 请判断哪一个是正确的： （A）OAB →BC →COAB ； （B）OAB →BD →DOAB ； （C）OAB →BAO→ODB； （D）OAB →BD →DB。 正确答案是（ D ） 关于材料的力学一般性能，有如下结论，请判断哪一个是正确的： （A）脆性材料的抗拉能力低于其抗压能力； （B）脆性材料的抗拉能力高于其抗压能力； （C）塑性材料的抗拉能力高于其抗压能力； （D）脆性材料的抗拉能力等于其抗压能力。 正确答案是（ ） A
§2-5 材料在拉伸与压缩时的力学性能
力学性能：材料在受力后的表现出的变形和破坏特性。 力学性能：材料在受力后的表现出的变形和破坏特性。 不同的材料具有不同的力学性能。 不同的材料具有不同的力学性能。 材料的力学性能可通过实验得到。 材料的力学性能可通过实验得到。 通过实验得到 一、试件与设备
压缩标准试件 拉伸标准试样
4、对应力集中的敏感性 当杆件上有圆孔、凹槽时，受力后，在截面突变处的附近， 当杆件上有圆孔、凹槽时，受力后，在截面突变处的附近，有应力 集中现象。 集中现象。 对于塑性材料来说， 对于塑性材料来说，因为有较 长的屈服阶段， 长的屈服阶段，所以在孔边最大应 力到达屈服极限时， 力到达屈服极限时，若继续加力， 圆孔边缘的应力仍在屈服极限值， 圆孔边缘的应力仍在屈服极限值， 所以应力并不增加， 所以应力并不增加，所增加的外力 只使屈服区域不断扩展。 只使屈服区域不断扩展。 而脆性材料随着外力的增加， 而脆性材料随着外力的增加，孔边应力也急剧地上升并始终保持最 大值。当达到强度极限时，该处首先破裂。 大值。当达到强度极限时，该处首先破裂。 所以，脆性材料对于应力集中十分敏感。而塑性材料则相反。 所以，脆性材料对于应力集中十分敏感。而塑性材料则相反。因 此，应力集中使脆性材料的承载能力显著降低，即使在静载下，也应 应力集中使脆性材料的承载能力显著降低，即使在静载下， 考虑应力集中对构件强度的影响。 考虑应力集中对构件强度的影响。
轴向拉伸和压缩—拉(压)杆的强度计算(建筑力学)
轴向拉伸与压缩
例7-12 图示三角支架，在节点A处受铅直荷载FP作用。已 知AB为圆截面钢杆，直径d=30mm，许用应力[σ]=160MPa， AC为正方形木杆，边长a=100mm，许用压应力[σc]=10MPa试 求许用荷载［ FP ］。
解 （1）计算杆的轴力
由∑Fy=0 －FNACsin30°－FP=0
A FNAB 63 103 mm2 393.8mm2
[ ] 160
轴向拉伸与压缩
当拉杆选用角钢时，每根角型的最小面积应为
A1
A 2
393.8 2
mm 2
196.9mm2
查型钢表，选用两根25×4的2.5号等边角钢。
A1=185.9mm2 故此时拉杆的面积为
A=2×185.9mm2=371.8mm2＞370.6mm2 满足强度要求。
材料的安全系数比塑性材料的大。建筑工程中，一般，取nS =1.4～1.7，nb=2.5～3.0。
轴向拉伸与压缩
3. 强度条件 为了保证轴向拉（压）杆在承受外力作用时能安全正常地
使用，不发生破坏，必须使杆内的最大工作应力不超过材料 的许用应力，即
σmax≤[σ]
塑性材料： 脆性材料：
max
FN max A
解（1）先求支座反力。
FAy = FBy= 0.5q l = 0.5×10×8.4 = 42kN
轴向拉伸与压缩
（2）再求拉杆的轴力。
用截面法取左半个屋架为研究对 象，如图示。
由 MC 0
FNAB
h
FAy
l 2
q
l 2
l 4
0
FNAB
42 42 10 4.2 2.1 kN 1.4
63kN
（3）校核拉杆的强度。
材料力学第二章 轴向拉伸和压缩
2、计算各杆轴向变形
C
l 2 =1m a =170mm
B'
B2
F
l1 0.48mm
3、由变形的几何条件确定B点的位移 分别以A为圆心，AB1为半径，C为圆 心，CB1为半径画弧，相较于B’点，
B"
小变形条件，可以用切线代替弧线。
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
FN FN ( x)
轴力方程
即为轴力图。
即：FN随x的变化规律
以x为横坐标，以FN为纵坐标，绘制FN F（ ）的关系图线， N x
FN
正的轴力画在x轴的上侧，负的画在下侧.
x
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
例题1
等值杆受力如图所示，试作其轴力图
F =25kN F ４=55kN ４ １=40kN F
纵向线 即： 原长相同
变形相同
横截面上各点的纵向线应变相等
c
拉压杆变形几何方程.
反映了截面上各点变形之间的几何关系.
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
§2-2 横截面上的正应力 应力分布规律 找变形规律 研究思路： 试验观察 综合几何方面、物理方面、静力学方面推导应力计算公式
一、几何方面
F
a' b'
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
第二章 轴向拉伸和压缩
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
• • • • • •
本章主要内容 轴力及轴力图 横截面上的应力 拉压杆的变形、胡克定律 强度计算 材料的力学性质
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
§2-1 概述 一、工程实际中的轴向拉压杆
工程力学 材料力学第二章 轴向拉伸和压缩
轴力(图)的简便求法： 由内力方程得： 轴力N（设为正向）等于保留一侧所有 轴向外力的代数和。轴向外力使保留段 拉伸为正、压缩为负
10
[例] 杆受力如图所示。试画出杆的轴力图。 解： 30KN 30KN 20KN DE 段：N 20 kN 1
RA A
40 +
B
10
C D
E
BD段： N 2 30 20 10kN
μ
16锰钢
合金钢 铸铁 混凝土 石灰岩 木材（顺纹）
196-216
186-216 59-162 15-35 41 10-12
0.25-0.30
0.25-0.30 0.23-0.27 0.16-0.18 0.16-0.34
橡胶
0.0078
0.47
25
材料力学
§2-5
轴向拉伸时材料的机械性能
一、试验条件及试验仪器
b：平行于截面的应力，剪应力τ
13
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义
不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集 度最大处开始。 2. 应力的表示： ①平均应力： P M A
pM
ΔP ΔA
②全应力（为一点处的应力）：
Δ P dP pM lim dA Δ A0 Δ A S ③正应力 S是作用于横截面上的力 A是横截面面积 A
计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力 对所留部分而言是外力）。
7
例如： 截面法求N。
P A A P
截开：
P
P 简图
代替：
P
N
A
平衡：
X 0
PN 0
PN
2. 轴力——轴向拉压杆的内力，用N 表示。