§8.8 离散系统的系统函数
自动控制原理离散系统知识点总结
自动控制原理离散系统知识点总结自动控制原理中的离散系统是指在时间域和数值范围上都是离散的系统。
在离散系统中，信号是以离散时间点的形式传递和处理的。
本文将对自动控制原理离散系统的知识点进行总结，包括离散系统的概念、离散信号与离散系统的数学表示、离散系统的稳定性分析与设计等。
一、离散系统的概念与特点离散系统是指系统输入、输出和状态在时间上都是以离散的方式存在的系统。
与连续系统相比，离散系统具有以下特点：1. 离散时间：离散系统的输入、输出和状态是在离散时间点上采样得到的，而不是连续的时间信号。
2. 离散数值：离散系统的输入、输出和状态都是以离散数值的形式存在的，而不是连续的模拟数值。
二、离散信号与离散系统的数学表示离散信号是指在离散时间点上采样得到的信号。
离散系统可以通过离散信号的输入与输出之间的关系进行描述。
常见的离散系统数学表示方法有差分方程和离散时间传递函数。
1. 差分方程表示：差分方程是通过离散时间点上的输入信号和输出信号之间的关系来描述离散系统的。
差分方程可以是线性的或非线性的，可以是时不变的或时变的。
2. 离散时间传递函数表示：离散时间传递函数描述了离散系统输入与输出之间的关系，类似于连续时间传递函数。
离散时间传递函数可以通过Z变换得到。
三、离散系统的稳定性分析与设计离散系统的稳定性是指系统的输出在有限时间内收敛到有限范围内，而不是无限增长或震荡。
离散系统的稳定性分析与设计是自动控制原理中的重要内容。
1. 稳定性分析：离散系统的稳定性可以通过判断系统的极点位置来进行分析。
若系统的所有极点都位于单位圆内，则系统是稳定的；若存在至少一个极点位于单位圆外，则系统是不稳定的。
2. 稳定性设计：若离散系统不稳定，可以通过调整系统的参数或设计控制器来实现稳定性。
常见的稳定性设计方法包括PID控制器调整、根轨迹设计等。
四、离散系统的性能指标与优化离散系统的性能指标与优化是指通过调整控制器参数或控制策略，使离散系统的性能得到优化。
离散系统的系统函数和频率响应-PPT课件
离散系统的系统函数和频率响应
Y ( z ) 系统函数： H ( z ) FT [ h ( n )] X ( z )
频率响应： H(e ) 单位圆上的系统函数(传输函数)
零点矢量
H (e ) Ae
j
j(N M)
(e (e
r 1 r 1 N
M
相量相减的 矢量几何表 示法:从Cr 单位圆上的 e^jw
j
c r) dr )
极点矢量
j
位于原点的零极点不影响 | H(e ) | 只影响 ( )
j
H (e ) A
j
cB
r r 1 N r
j
H ( e) H ( z ) | j z e
j
1、零极点分布对系统因果、稳定性的影响： 稳定性：
n
|h(n) |
n
n
| h ( n ) z
| , z 1
（稳定的系统收敛域包括单位圆）
离散系统稳定的充分必要条件是： The ROC of H(z) contain the unit circle(单位圆)
block-diagram realization sample processing
e
filter design specifications
2.7 Pole/Zero Designs
设某一离散因果稳定系统有一对共轭复数极点。
p 1 R e
z-plane
j 0
p 2 R e
离散系统的系统函数和系统特性
则
当
时，可得
所以稳定系统的系统函数的收敛域必须包含单位圆 在内。
既是稳定又是因果的离散系统，其系统函数的极点都 落在z平面的单位圆内，反之亦然。
例6.5.1 描述离散系统的差分方程为
（1）求系统函数 ，并说明它的收敛域及系统的稳定性。
（2）求单位序列响应 。
（3）当
时，求系统的零状态响应。
信号与系统
离散系统的系统函数 和系统特性
1.1 系统函数
定义
线性时不变离散系统的差分方程为
设系统的输入信号为因果信号，对系统差分方程两侧进行z 变换,得
由上式可得
系统的零状态响应的像函数
和系统激励的像函数
之比称为系统函数，用 表示。系统函数只
与系统的结构参数有关，反映了系统自身的特性。
系统的零状态响应可以表示为
和
因式分解后，可得
称为系统函数的极点 称为系统函数的零点
零极点分布图
1.2 z域和s域的关系
z变换与拉普拉斯变换之间有着密切的联系。复变量z
和s之间的关系为
抽样周期
重复频率
将s表示成直角坐标形式，而把z表示成极坐标形式， 得到
所以
s平面和z平面的映射关系
1.3 离散系统的稳定性
离散时间系统稳定的充要条件是单位序列响应 绝 对可和，即
根据z变换的响应的z变换。
例1.1 描述离散系统的差分方程为
求系统函数及单位序列响应 解：设系统的起始状态为零，对方程两边作z变换，得
于是系统函数为
部分分式展开得 故系统的单位序列响应为
系统函数的零极点
系统函数一般是两个多项式之比，可以表示为
将多项式
解：（1）将差分方程两边求单边z变换，得
§8.8 离散系统的系统函数
一．单位样值响应与系统函数
1.定义
Y z H z X z br z r ak z k
r 0 N M
k 0
2. 单位样值响应h(n)和H(z)为一对z变换对
Z hn H z
X
1．定义
线性时不变离散系统由线性常系 激励为因果序列 数差分方程描述，一般形式为 x 1 x 2 0
hn
1 1 1 2 3 0.5 0.5 0.5
n n
不稳定
n
0.5
1
z
2 z
n 1
n
是非因果系统，极点在单位圆内也不稳定。 注意：对于因果系统，极点在单位圆内稳定。
1 1 收敛域 z ，极点在处 z ， 2 2
n n n
减幅振荡
2 cosπ u( n) 等幅振荡 2b n cosπ u( n) 2b 1 u( n) 增幅振荡
( 3) p b e jπ b ( b 1)
X
X
(3)连续系统和离散系统稳定性的比较
连续系统 系统稳定的充 要条件 极点 离散系统
ht d t
n
hn
H(s)的极点全 H(z)的极点全部 部在左半平面 在单位圆内
收敛域
临界稳定的极 点
含虚轴的右半 含单位圆的圆 平面 外 沿虚轴
X
3．系统的因果性
Y z 3 z 1Y z 2 z 2Y z X z 1 z 1
Y z 1 z 1 z z 1 z H z 1 2 X z 1 3 z 2 z z 1z 2 z 2
电路信号与系统答案
电路信号与系统答案【篇一：信号与系统课后习题答案】一、单选题（每题2分，共28分：双号做双号题，单号做单号题）1. 若给pn结两端加正向电压时，空间电荷区将（）a 变窄b 基本不变c 变宽d 无法确定2. 设二极管的端电压为 u，则二极管的电流与电压之间是（a 正比例关系b 对数关系c 指数关系d 无关系3. 稳压管的稳压区是其工作（）a 正向导通b 反向截止c 反向击穿d 反向导通4. 当晶体管工作在饱和区时，发射结电压和集电结电压应为 ()a 前者反偏，后者也反偏b 前者反偏，后者正偏c 前者正偏，后者反偏d 前者正偏，后者也正偏5. 在本征半导体中加入何种元素可形成n型半导体。
（）a 五价b 四价c 三价d 六价6. 加入何种元素可形成p 型半导体。
（）a 五价b 四价c 三价d 六价7. 当温度升高时，二极管的反向饱和电流将（）。
）b 不变c 减小d 不受温度影响8. 稳压二极管两端的电压必须（）它的稳压值uz才有导通电流，否则处于截止状态。
a 等于b 大于c 小于d 与uz无关9. 用直流电压表测得放大电路中某三极管各极电位分别是2v、6v、2.7v，则三个电极分别是（a （b、c、e）b （c、b、e）c （e、c、b）d （b、c、e）10. 三极管的反向电流icbo是由（）形成的。
a 多数载流子的扩散运动b 少数载流子的漂移运动c 多数载流子的漂移运动d 少数载流子的扩散运动11. 晶体三极管工作在饱和状态时，集电极电流ic将（）。
a 随ib增加而增加b 随ib增加而减少c 与ib无关，只决定于re和uced 不变12. 理想二极管的正向电阻为()a a.零 b.无穷大 c.约几千欧 d.约几十欧13. 放大器的输入电阻高，表明其放大微弱信号能力（）。
a 强b 弱c 一般d 不一定14. 某两级放大电路，第一级电压放大倍数为5，第二级电压放大倍数为20，该放大电路的放大倍数为（）。
系统函数解读课件
04 系统函数的实现方式
编程语言实现
编程语言
使用如Python、C、Java等编程语言，通过编写 代码实现系统函数。
优点
编程语言具有通用性，可移植性强，易于维护和 调试。
缺点
需要具备一定的编程基础，开发周期相对较长。
数学软件实现
数学软件
使用如MATLAB、Mathematica、Maple等数学软件，通过内置 函数或脚本实现系统函数。
THANKS
VS
积分
积分在系统函数中用于描述系统的累积效 应，如系统的总响应、总误差等。
复数与复变函数
复数
在系统函数中，复数用于表示系统的频率响应，通过复数可以分析系统的稳定性、频率特性等。
复变函数
复变函数为分析系统函数提供了强大的工具，如拉普拉斯变换和傅里叶变换等，这些变换可以将时域 函数转换为频域函数，便于分析。
优点
数学软件界面友好，操作简便，适合进行科学计算和数据分析。
缺点
依赖特定软件，可移植性较差，且可能存在学习曲线。
硬件实现
硬件实现
通过微控制器、FPGA、ASIபைடு நூலகம்等硬件设备实现系统函 数。
优点
硬件实现速度快，实时性能好，适合对性能要求高的 应用场景。
缺点
开发成本高，需要具备硬件设计和电路知识，且不易 于维护和更新。
系统函数解读课件
目录
CONTENTS
• 系统函数概述 • 系统函数的应用场景 • 系统函数的数学基础 • 系统函数的实现方式 • 系统函数的优化技巧 • 系统函数的未来发展
01 系统函数概述
定义与特性
定义
系统函数是描述系统输入与输出之间 关系的数学函数，通常用于描述线性 时不变系统的动态行为。
第八章_离散时间系统的z域分析4_北京交通真题库_大学915916通信系统及原
z0
七阶极点
j Im[z]
z
1 3
一阶极点
Re[z]
z 0
27
§8.4 逆z变换
X (z) ZT[x(n)] x(n)zn n
x(n) ZT 1[ X (z)] 1 X (z)zn1dz
2 j C
C是包围X(z)zn-1所有极点的逆时针闭合积分路线，一
般取z平面收敛域内以原点为中心的圆。
n0
n
an zn 1 bn zn
n0
n0
z a, z b
X (z) z 1 b za zb zz
za zb
25
jIm(z)
a
0
Re(z)
jIm(z)
a
0 b
Re(z)
图8.1序列单边Z变换的收敛域
图8.2序列双边Z变换的收敛域
当 z a时，X (z) z 当a z b时，X (z) z z
d s j
j
)
!
d
zs
j
(z
zi )s
X (z)
z
zzi
32
或X (z)
A0
M m1
1
Am zm
z
1
s j 1
Cj (1 zi z1) j
A0
M m1
Am z z zm
C1z z zi
C2 z2 (z zi )2
Cs (z
zs zi )s
Cs
1 zi z1
s
X
(
z
)
z
6
§8.2 z变换的定义、典型序列的z变换
➢ 借助于抽样信号的拉氏变换引出。 ➢ 连续因果信号x(t)经均匀冲激抽样，则抽样信号xs(t)
离散系统的传递函数
离散系统的传递函数1. 介绍在控制理论中，离散系统的传递函数是描述系统输入与输出之间关系的一种数学工具。
它能够用来描述离散时间系统的动态特性和稳定性，并且可以用于设计和分析离散控制系统。
2. 离散系统的基本概念在理解离散系统的传递函数之前，我们需要先了解一些与离散系统相关的基本概念。
2.1 离散信号离散信号是在离散时间点上定义的信号。
它与连续信号相对，连续信号是在连续时间上定义的信号。
在离散系统中，输入和输出信号往往是离散信号。
2.2 离散时间系统离散时间系统是指输入和输出信号都在离散时间点上进行采样的系统。
离散时间系统可以用差分方程来描述。
2.3 传递函数传递函数是用来描述系统输入与输出之间关系的一种函数。
对于连续时间系统，传递函数通常用拉普拉斯变换来表示。
而对于离散时间系统，传递函数则用Z变换来表示。
3. 离散系统的传递函数离散系统的传递函数是用Z变换来表示系统输入与输出之间关系的函数。
它可以以分数形式表示，也可以以多项式形式表示。
3.1 分数形式的传递函数分数形式的传递函数是用分数多项式表示的。
分子多项式表示系统的输出与输入之间的关系，分母多项式表示系统零点和极点的位置。
3.2 多项式形式的传递函数多项式形式的传递函数是用多项式系数表示的。
这种表示方式更加直观，能够清晰地看出系统的动态特性。
4. 离散系统的稳定性离散系统的稳定性是指系统在输入信号有界的情况下，输出信号是否有界。
在离散系统中，判断稳定性可以通过传递函数的零点和极点来进行。
4.1 零点和极点的关系离散系统的稳定性与传递函数的零点和极点之间存在关系。
如果一个离散系统的零点都在单位圆内，极点都在单位圆外，那么该系统是稳定的。
4.2 稳定性的判断方法根据离散系统的传递函数，我们可以通过以下方法来判断系统的稳定性： 1. 判断传递函数的极点是否在单位圆内。
2. 判断传递函数的零点是否在单位圆内。
如果传递函数的极点都在单位圆内，零点都在单位圆外，则系统是稳定的；反之，如果存在极点在单位圆外或者零点在单位圆内，系统是不稳定的。
离散系统的系统函数,系统的频率响应.ppt
k 1
令 cm e j cm me jm
dk e j dk lke jk
则频率响应的
M
m
幅度：
H (e j ) K
m1 N
lk
幅角：
k 1
M
N
arg[H (e j )] arg[K ] m k (N M )
m1
k 1
• 零点位置影响凹谷点的位置与深度
• 零点在单位圆上，谷点为零 • 零点趋向于单位圆，谷点趋向于零
零点：zi
ae
j
2 M
i，i
1, 2,..., M
1
极点：z 0， (M 1)阶，z a处零极点相消
当输入为 (n)，则输出为h(n)
an 0 n M 1
h(n)
0
其它n
5、IIR系统和FIR系统
无限长单位冲激响应（IIR）系统： 单位冲激响应h(n)是无限长序列
有限长单位冲激响应（FIR）系统： 单位冲激响应h(n)是有限长序列
M 1
aM 1x(n M 1) ak x(n k )
k 0
这就是M 1个单元延时及M 个抽头加权后
相加所组成的电路，常称之为横向滤波器，
求其频率响应。
解：令x(n) (n)，两边取z变换
M 1
H(z) akzk
k 0
1
aM zM 1 az1
zM aM zM 1(z a)
z 0
H(z)须从单位圆到 的整个z域内收敛 即系统函数H(z)的全部极点必须在单位圆内
例：一系统的极点有：
0.2e j / 4 , 0.2e j / 4 , 0.4, 2e j /6 , 2e j /6 , 1.5 问什么情况下，系统为因果系统，
Z变换详细讲解2
2
∑
z
∑
−1
2
∑
y (n)
2
z
并联形式的结构图
−1
z
−1
3
变换与拉普拉斯的关系(p74-p79) §8.6 Z变换与拉普拉斯的关系 变换与拉普拉斯的关系 （一）从 S 平面到 Z 平面的映射
z =e
sT
s = σ + jω z = re jθ (σ + jω )T σ T jωT jωT z =e =e e = z e
∑a
k =0
N
k
y (n − k ) = ∑ br x(n − r )
r =0
M
• x(n-r),y(n-k)均为右移序列 均为右移序列 • 两边取单边Z变换 两边取单边 变换
∑a z
k =0 k
N
−k
[Y(z) + ∑y(l)z ] =∑br z [ X (z) + ∑x(m)z ]
−l −r −m l =−k r=0 m=−r
∑a
k =0
N
k
y (n − k ) = ∑ br x(n − r )
r =0
N M
M
Y ( z )∑ ak z − k = X ( z )∑ br z − 这里 与解差分有 何不同？
Y ( z) H ( z) = = X ( z)
br z − r ∑ ak z − k ∑
−1
完全解
1 n +1 n +1 n +1 y (n) = ZT [Y ( z )] = (a − b ) + 2b u (n) a − b 19
例：
y (n) + 0.1 y (n − 1) − 0.02 y (n − 2) = 10u (n) y (−1) = 4
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第
1．由零极点分布确定单位样值响应
6
页
M
br z r
H
z
r0 N
ak zk
k0
M
1 zr z1
G
r 1 N
1 pk z 1
k 1
展成部分分式：（假设无重根）
11
页
系统稳定的充要 条件
极点
收敛域
临界稳定的极点
连续系统
离散系统
ht d t
hn
n
H(s)的极点全 H(z)的极点全部 部在左半平面 在单位圆内
含虚轴的右半 含单位圆的圆
平面
外
沿虚轴
多选题 1分
第 12
页
离散系统稳定的充要条件是：
A 单位样值响应绝对可和。 B 单位样值响应绝对可积 C 因果系统的系统函数的极点在单位圆内 D 只要系统函数的极点在单位圆内
zr : 零点 pk : 极点
H
z
N
Ak z
k0 z pk
A0
N k 1
Ak z z pk
因为
hn H z
所以
hn
Z
1
A0
N k 1
Ak z z pk
A0
n
N k 1
Ak pk
n un
第
由零极点分布确定单位样值响应(续)
7
页
N
hn A0δn Ak pk n un k 1
pk : H的z极点，可以是不同的实数或共轭复数，
决定了hn的 特性。其规律可能是指数衰减、上升，
或为减幅、增幅、等幅振荡。
A0 , Ak :与H(z)的零点、极点分布都有关。
极点位置与h(n)形状的关系
第 8
页
j Im z
1
O
1
Re z
第
利用z～s平面的映射关系
9 页
第
2．离散系统的稳定性
10
Ts 8
j3π
(1) p a e 4 (0 a 1)
j3π
(2) p e 4
j3π
(3) p b e 4 (b 1)
2an cos 3nπ u(n) 减幅振荡 4
2cos 3nπ u(n) 等幅振荡 4
2bn cos 3nπ u(n) 增幅振荡 4
第 19
页
ω π, Ω ω ωs (周期2, 每周期2个样值) Ts 2
激励为因果序列
x 1 x 2 0
系统处于零状态
y 1 y 2 0
N
M
Y z ak z k X z br z r
k0
r0
H 只z与系统的差分方
M
所以
Hz
Y X
z z
br z r
r0
N
ak zk
程的系数、结构有关， 描述了系统的特性。
k0
H z ：离 散 时 间 系 统 的 系 统 函数 。
z
zb
(4) p1 p2 1
z2
z 12
(二阶极点)
a n u(n) u( n) bnu(n) nu( n)
第 16
页
ω π , Ω ω ωs 周期8，一周期有8个样值
4
Ts 8
jπ
(1) p a e 4
(0 a 1)
2an cos n π u(n) 减幅振荡
4
jπ
(2) p e 4
§8.8 离散系统的系统函数
北京邮电大学电子工程学院
一．单位样值响应与系统函数
第 2
页
M
H z
Y z X z
br z r
r0
N
ak zk
k0
Z hn H z
第
1．定义
3
页
线性时不变离散系统由线性常系
数差分方程描述，一般形式为
N
M
ak yn k br xn r
k0
r0
上式两边取z变换得
提交
第
3．系统的因果性
13
页
输出不超前于输入
系统因果性的判断方法：
时 域 ： hn hnun
z域： 收敛域在圆外
三．补充
第 14
页
1．两个加法器情况下，列差分方程
2．如何由H(z)列系统的差分方程
第 15
页
0
(1) p a (0 a 1) z za
(2) p 1
z
z1
(3) p b (b 1)
页
(1)定义：对于稳定系统，只要输入是有界的，输出必
定是有界的（BIBO)。
(2)稳定性判据
判据1：离散系统稳定的充要条件：单位样值响应绝对
可和。
hn
n
判据2：对于因果系统，其稳定的充要条件为：
H(z)的全部极点应落在单位圆之内。即收敛域应包括单 位圆在内: z a, a 1 。
第
(3)连续系统和离散系统稳定性的比较
(1) p a ejπ a (0 a 1) 2an cosπ u(n)
减幅振荡
2an 1n u(n)
(2) p ejπ 1
2cosπ u(n) 等幅振荡
1n u(n)
(3) p b ejπ b (b 1)
2bn cosπ u(n) 增幅振(z)为一对z变换
4 页
(n)
h(n)
系统
若 xn δn， 则X z 1
Z hn H z ● 由 H z 求 hn : hn Z 1 H z
●系统的零状态响应：
yzs n hn xn Y z H z X z
第
二．系统函数的零极点分布对系统特性的影响5 页
2cos n π u(n) 等幅振荡 4
jπ
(3) p b e 4 (b 1)
2bn cos n π u(n) 增幅振荡 4
第 17
页
ω π , Ω ω ωs 周期4，一周期有4个样值
2
Ts 4
jπ
pe 4
2 cos nπ u(n) 2
第 18
页
ω 3π , Ω ω 3ωs
4