数字信号处理6离散系统的系统函数系统的频率响应
数字信号处理复习 (3)
式。
4、正弦型序列
x(n) sin(n )
要求：会判断正弦型序列的周期性
四、正弦序列的周期性
x(n) sin(n ) 的周期有三种情况：
2 1 、 N 是整数，则x(n)是周期序列，周期为N；
2 P 2、 是有理数，（其中P、Q为互质整数)， Q
则x(n)是周期序列，周期为P；
m
x ( m) h ( n m)
上式中，若序列x(n)和h(n)的长度分别是M和L,
则y(n)的长度为L+M-1。
三、几种常用序列 1、单位抽样序列δ(n) （1）定义式
1 (n 0) ( n) 0 (n 0)
1 (n m) ( n m) 0 (n m)
n
1.2 线性、移不变（LSI）系统 一、线性系统： 若y1(n)=T[x1(n)]、y2(n)=T[x2(n)]， 则a1 y1(n)+ a2y2(n)=T[a1x1(n)+ a2x2(n)]
例：判断下列系统是否线性系统。
y(n)=x(n)+1 y(n)=x(n+5) y(n)=x(3n)
二、移不变系统：
当n<0时，h(n)=0，则系统是因果系统。
例：下列单位抽样响应所表示的系统是否因果系统? A.h(n)=δ(n) C.h(n)= R10(n) B.h(n)=u(n) D.h(n)=e-20nu(n)
五、稳定系统 1、稳定系统的定义： 稳定（BIBO）系统是指当输入有界时，输出也有界的系统。 例：判断下列系统是否稳定系统。 y(n)=x(n-2)
二、掌握用留数法求Z反变换的方法
例：已知
X( z) 1 (1 2 z 1 )(1 1.2 z 1 )
系统的频率响应和系统函数系统函数...
k =−∞
离散时间系统与差分方程
∞
y(n) = ∑ x(k)h(n − k) = x(n)*h(n) k =−∞
表明：对线性时不变系统，可完全通过其单位冲激响应h(n) 来表示。这个公式和模拟系统的卷积是类似的，称为离散卷 积，或线性卷积。
¾离散线性卷积
设 x1(n) 和 x2 (n) 为任意两个离散信号序列。 ∞
x(n)
h1(n) y(n)
=
x(n)
y(n)
h1(n) + h2(n)
h2(n)
离散时间系统与差分方程
¾线性卷积的计算
∞
∞
y(n) = ∑ x(k )h(n − k ) = ∑ h(k )x(n − k )
k = −∞
k = −∞
1.直接计算：对于不同的n值逐点计算所有k的乘积、叠加求和
2
3
例：设 x(n) = ∑ (3 − k)δ (n − k) h(n) = ∑δ (n − k)
nyb = nxb + nhb
nye = nxe + nhe
离散时间系统与差分方程
例题：给出以下两个序列： x(n)=[3,11,7,0,-1,4,2]，-3≤n ≤3；
h(n)=[2,3,0,-5,2,1]，-1≤n≤4 ；试求其卷积 y(n)=x(n)*h(n)
解： x=[3,11,7,0,-1,4,2]; h=[2,3,0,-5,2,1]; y=conv(x,h) y = 6 31 47 6 -51 -5 41 18 -22 -3 8 2
所以系统为非线性系统。 由于 C、D 为常数
y(n) = T[x(n − n0 )] = C[x(n − n0 )] + D = y(n − n0 )
数字信号处理第2章 Z变换综述
例4：求序列 x(n) a u (n)的Z变换及收敛域。
n
解： X ( z )
n
n n n n 1 n a u ( n ) z a z ( az ) n 0 n 0
1 az 1 (az 1 ) 2 (az 1 ) n
1 — 64
Z -
-2
-3 1 —— Z 256
1 -3 —— Z 256
...
极点分为：实极点、复极点 若为复极点必然是共轭极点，必然是成对出现
例：
z 1 z z X ( z) 2 1 2 1 z z z z 1 ( z 1 )2 ( 3 j)2 2 2
因为D(z)的系数是实数，所以复极点必然成对出现
§2.3
z变换性质1
一、线性: Z[a x (n)+a x (n)]=a Z[x (n)]+a Z[x (n)]
1 1 2 2 1 1 2 2
二、时移： Z[x(n)]=X(z)
Z[x(n-m)]=z-m· X(z)
意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
x(n) h(n) y(n)
|a|<|z|<1/|a|
双边序列的收敛域是左边序列和右边序列z变换的 公共收敛区间。
课本P27表2.1
z nu(n) ~ ( z 1) 2
作业2.1(2)(6)
z 2 sin z sin(0 ) sin(n0 )u (n) ~ z 2 2 z cos0 1 sin z 1 sin(0 ) 1 2 z 1 cos0 z 2
z z 1 z z X ( z) 2 z 4 z 3 ( z 1)(z 3) 2 z 1 z 3
系统函数系统频率响应系统单位冲激响应三者之间的关系
系统函数系统频率响应系统单位冲激响应三者之间的关系
系统函数、系统频率响应和系统单位冲激响应是数字信号处理中描述离散系统的重要概念。
三者之间的关系如下：
1. 系统函数（Transfer Function）：系统函数是描述离散系统
的一个复数函数，通常表示为H(z)或H(e^(jω))。
它将输入信
号的频谱与输出信号的频谱之间的关系联系起来。
系统函数是系统频率响应和系统单位冲激响应的拉普拉斯或Z变换。
2. 系统频率响应（Frequency Response）：系统频率响应是系
统函数H(z)在复平面上的取值。
它描述了系统对不同频率的
输入信号的响应情况。
系统频率响应可以通过将系统函数H(z)的变量变为单位复指数来得到，即H(e^(jω))。
3. 系统单位冲激响应（Unit Impulse Response）：系统单位冲
激响应是指当输入信号为单位冲激函数（单位脉冲函数）时，系统的输出响应。
它是系统函数H(z)在z=1处的取值，通常
表示为h[n]。
系统单位冲激响应是系统函数的离散时间反变换。
综上所述，系统函数H(z)是系统频率响应H(e^(jω))和系统单
位冲激响应h[n]]之间的关系。
系统频率响应描述了系统对不
同频率的输入信号的响应情况，而系统单位冲激响应描述了系统对单位冲激函数的响应情况。
系统函数则将这两者联系起来，通过对系统频率响应进行频域拉普拉斯变换或Z变换得到系
统函数，并通过对系统函数进行逆变换得到系统单位冲激响应。
离散系统的频率响应分析
离散系统的频率响应分析实验课程：数字信号处理实验内容：实验4离散系统的频率响应分析和零、极点分布院（系则）：计算机学院专业：通信工程班级：111班2021年6月7日一、实验目的：增进对离散系统的频率响应分析和零、极点原产的概念认知。
二、实验原理：离散系统的时域方程为y(n-k)=∑pkx(n-k)其变换域分析方法如下：时频域变换y[n]=x[n]*h[n]=系统的频率响应为jωjωjωx[m]h[n-m]⇔y(e)=x(e)h(e)∑p(ejω)p0+p1e-jω+...+pme-jmωh(e)==jωd(e)d0+d1e-jω+...+dne-jnω时域z域变换y[n]=x[n]*h[n]=系统的转移函数为∑x[m]h[n-m]⇔y(z)=x(z)h(z)p(z)p0+p1z-1+...+pmz-mh(z)==d(z)d0+d1z-1+...+dnz-nh(z)=∑pkz∑dkz(1-ξz)∏i-1(1-λz)∏ii=1i=1nξλi上式中的和i称为零、极点。
在matlab中，可以用函数[z，p，k]=tf2zp（num，den）求出有理分式形式的系统迁移函数的零、极点，用函数zplane（z，p）绘制零、极点分布图；也可以用函数zplane （num，den）轻易绘制有理分式形式的系统迁移函数的零、极点分布图。
另外，在matlab中，可以用函数[r，p，k]=residuez（num，den）完成部分分式展开计算；可以用函数sos=zp2sos（z，p，k）完成将高阶系统分解为2阶系统的级联。
三、实验内容及步骤：实验内容：求系统0.0528+0.0797z-1+0.1295z-2+0.1295z-3+0.797z-4+0.0528z-5h(z)=1-1.8107z-1+2.4947z-2-1.8801z-3+0.9537z-4-0.2336z-5的零、极点和幅度频率响应。
程序代码:num=[0.05280.07970.12950.12950.7970.0528];den=[1-1.87072.4947-1.88010.9537-0.2336];freqz(num,den);%0~π中抽样，抽样点缺省（512点）ζnum=[0.05280.07970.12950.12950.7970.0528];den=[1-1.87072.4947-1.88010.9537-0.2336];w=[0pi/8pi/4pi*3/8pi/2pi*5/8pi*3/4];%自己定8个点θh=freqz(num,den,w);subplot(2,2,1);stem(w/pi,abs(h));title('幅度五音')xlabel('数字频率');ylabel('振幅');[h,w]=freqz(num,den,8);%系统在0~π之间均分8份，与“θ”处效果一样wsubplot(2,2,2);stem(w/pi,abs(h));title('幅度五音')xlabel('数字频率');ylabel('振幅');h=freqz(num,den);%系统在0~π之间均分512份，与“ζ”处效果一样subplot(2,2,3);z=10*log(abs(h))plot(z);%与“ζ”处幅度五音效果一样title('分贝幅度五音')xlabel('数字频率');ylabel('振幅');num=[0.05280.07970.12950.12950.7970.0528];den=[1-1.87072.4947-1.88010.9537-0.2336];[z,p,k]=tf2zp(num,den);%谋零极点z%零点p%极点subplot(2,2,4);zplane(z,p);%zplane(num,den)也可以[sos,g]=zp2sos(z,p,k);%二阶系统分解sosg [r,p,k]=residuez(num,den);%部分分式进行rp四、实验总结与分析：本次实验晓得了函数zplane()、freqz()、angle()的用法，原来就是绘制零极点图形和排序数字滤波器h(z)的频率响应以及谋复数的相角。
《数字信号处理》考试大纲
《数字信号处理》考试大纲适用专业名称：081002信号与信息处理考试大纲一、考试目的与要求《数字信号处理》作为全日制信号与信息系统专业硕士研究生入学考试复试科目，其目的是考察考生是否具备进行信号与信息系统专业工学硕士学习所要求的数字信号处理方面的知识，考察学生对数字信号处理的基本理论、基本分析方法、基本算法和基本实现方法的掌握程度。
二、试卷结构（满分50分）内容比例：数字信号处理约50分题型比例：解答题100%三、考试内容与要求（一）离散信号与系统分析考试内容离散时间信号序列；线性移不变系统；常系数线性差分方程；连续时间系统的抽样。
考试要求1.掌握序列的运算、几种常用序列及序列的周期性的判断方法。
2.理解线性移不变系统的定义、性质，掌握其判断方法。
3.理解因果稳定系统的定义，掌握对其进行判断的充要条件。
4.了解差分方程的定义，掌握线性常系数差分方程的求解方法。
5.理解连续时间系统的抽样过程。
（二） Z变换考试内容Z变换的定义及收敛域； Z反变换； Z变换的基本性质和定理； Z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系及序列的傅里叶变换；序列的傅立叶变换及对称性质；离散系统的系统函数，系统的频率响应。
考试要求1.理解Z变换的定义及收敛域的确定。
2.掌握Z反变换的常用方法：留数法、部分分式法、长除法。
3.理解Z变换的基本性质和定理，掌握其应用。
4.理解Z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系。
5.理解序列的傅立叶变换的定义，掌握对称性质的应用。
6.理解离散系统的系统函数的定义及系统频率响应的涵义。
7.掌握因果稳定系统的判断方法。
8.理解系统函数和差分方程之间的关系。
9.理解系统的频率响应的意义。
10.了解IIR系统与FIR系统。
（三）离散傅立叶变换考试内容傅里叶变换的形式及周期序列的离散傅里叶级数；离散傅里叶变换及其性质、应用考试要求。
1.了解傅里叶变换的几种形式，掌握离散傅里叶级数其性质。
数字信号处理课后习题答案-第六章习题与答案
1．、2． 用冲激响应不变法将以下 )(s H a变换为变换为 )(z H ，抽样周期为T 。
为任意正整数 ,)()( )2()()()1(022n s s As H b a s as s H na a -=+++=分析：①冲激响应不变法满足)()()(nT h t h n h a nTt a===，T 为抽样间隔。
这种变换法必须)(s H a 先用部分分式展开。
②第（②第（22）小题要复习拉普拉斯变换公式1!][+=n n S n t L ,na n t s a S S As H t u n t Ae t h )()()()!1()(010-=⇔-=-，可求出可求出 )()()(kT Th t Th k h a kTt a===，|又 dz z dX z k kx )()(-⇔，则可递推求解。
解: (1)22111()()2a s a H s s a b s a jb s a jb ⎡⎤+==+⎢⎥+++++-⎣⎦[])( 21)()()(t u e e t h tjb a t jb a a --+-+= 由冲激响应不变法可得：由冲激响应不变法可得：由冲激响应不变法可得：[]()()()() ()2a jb nT a jb nT a T h n Th nT e e u n -+--==+ 11011() () 211naT jbT aT jbT n T H z h n z e e z e e z ∞------=⎡⎤==+⎢⎥--⎣⎦∑ 2211cos 21cos 1 ------+--⋅=z e bT z e bT z e T aT aT aT(2) 先引用拉氏变换的结论[]1!+=n n s n t L 可得：可得： n a s s As H )()(0-=))()!1()(10t u n t Ae t h n t s a -=-则 )()!1()()()(10k u n kT Ae T Tk Th k h n kT s a -⋅==- dzz dX zk kx az k u a ZZk )()( , 11)( 1-−→←-−→←-且按)11()()!1( )()!1( )()(111111000--∞=---∞=----=-==∑∑ze dz d z n AT e z k n T TA z k h z H T s n n kkT s n n k k可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=•••---,3,2)1(1,1)(111000n z e z e AT n z e ATz H n T s T S n T s ，可以递推求得：2. 已知模拟二阶巴特沃思低通滤波器的归一化系统函数为：2'4142136.111)(s s s H a ++=而而3dB 截止频率为50Hz 的模拟滤波器，需将归一化的)('s H a 中的s 变量用502⨯πs 来代替424'108696044.928830.444108696044.9)100()(⨯++⨯==s s s H s H a a π：设系统抽样频率为设系统抽样频率为Hz f s 500=，要求从这一低通模拟滤波器设计一个低通数字滤波器，采用阶跃响应不变法。
数字信号处理题库
15.某序列的Z变换为 ，求该序列的时域表达式。
16.有两个有限长序列
计算（1）
（2） ，并画示意图。
（3）画出用FFT计算以上线性卷积的框图并标注FFT的最小计算区间。
18.设 是长度为2N的有限长实序列， 为 的2N点DFT。试设计用一次N点FFT完成 的高效算法。
解： 考虑正弦信号特点，取 则
5.若已知 设抽样间隔T = 2秒.
（1）①用脉冲响应不变法将转移函数Ha(s)变为系统函数H(z)，画出系统并联型网络结构。
②若系统为因果系统,写出其脉冲响应h(n).
（2）用双线性法将转移函数Ha(s)变为系统函数H(z)。
（1）
6.一数字滤波器（线性时不变因果系统）的差分方程为：
６、利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器时，为了使系统的因果稳定性不变，在将 转换为 时应使s平面的左半平面映射到z平面的A。
A.单位圆内B.单位圆外C.单位圆上D.单位圆与实轴的交点
四、简答题
1. 说明DFT隐含周期性的含义。
2. 是否是周期的？若是周期的，确定其周期。
周期的，N=3。
3.说明FIR网络结构特点。
求出该滤波器的单位取样相应 ，判断是否具有线性相位，求出其幅度特性和相位特性，并画出其直接型结构和线性相位结构。
33.已知线性时不变因果系统用如下差分方程描述
求：(1)画出系统的流图;（2）H(z)及h(n)，画出零极点分布图，指出收敛域。
34.已知系统 ，画出幅频特性 （ 的范围是 ）。
解：
│H(ejω)│
，采样频率 。并画出实现的滤波器的直接II型结构图。
18.设x(n) = ，y(n) =
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(e j dk )
k 1
课件
13
令
uuv
cm e j cm me jm
uuv
dk e j dk lke jk
则频率响应的
M
m
幅度：
H (e j )
K
m1 N
lk
幅角：
k 1
M
N
arg[H (e j )] arg[K ] m k (N M )
m1
k 1
课件
14
零点位置影响凹谷点的位置与深度
课件
11
3）LSI系统对任意输入序列的稳态响应
y(n) x(n)*h(n) Y (e j ) X (e j ) H (e j )
y(n) 1 H (e j ) X (e j )e jnd
2
其中： x(n) 1 X (e j )e jnd
2
微分增量（复指数）： 1 X (e j )e jnd 2
y(n) x(n) ax(n 1) a2x(n 2) ...
M 1
aM 1x(n M 1) ak x(n k )
k 0
这就是M 1个单元延时及M 个抽头加权后
相加所组成的电路，常称之为横向滤波器，
用部分分式法
H z
1 1 z1 3
z
1 3
z
1
1 2
z 1
1
1 4
z 1
z
1 2
z
1 4
H z
z
1 3
A1 A2
z
z
1 2
z
1 4
z1 2
z1 4
A1
H z
Res
z
z1
2
z
1 2
z
课件
z1 3
1 2
z
1 4
z1 2
10 3
8
A2
H z
Res
y(n) h(m)e j (nm) e jn h(m)e jm
m
m
e jn H (e j )
课件
10
2）LSI系统对正弦序列的稳态响应
x(n) Acos(0n ) y(n) A H (e j0 ) cos{0n arg[H (e j0 )]}
输出同频 0 正弦序列
幅度受频率响应幅度 H (e j ) 加权 相位为输入相位与系统相位响应之和
六 、离散系统的系统函数、 系统的频率响应
LSI系统的系统函数H(z)：
单位抽样响应h(n)的z变换
H (z) ZT [h(n)] h(n)zn Y (z)
n
X (z)
其中：y(n)=x(n)*h(n) Y(z)=X(z)H(z)
课件
1
系统的频率响应 H (e j ) ： 单位圆上的系统函数 单位抽样响应h(n)的Fourier变换
z
z1
4
z
1
4
z
z1 3
1 2
z
1 4
z1
7 3
4
10 z 7 z
H (z)
3 z
1
z
3 1
24
根据Roc : z 1，查表2-1得 2
h(n)
10
3
1 2
n
7 3
1 4
n
u
n
课件
9
3、系统的频率响应的意义
1）LSI系统对复指数序列的稳态响应：
x(n) e jn n
H (e j ) H (z) ze j DTFT [h(n)]
课件
2
1、因果稳定系统
1）因果： Rx z
2）稳定：
序列h(n)绝对可和，即 h(n)
n
而h(n)的z变换的Roc： h(n)zn
n
稳定系统的系统函数H(z)的Roc须包含单位圆，
即频率响应存在且连续
3）因果稳定：Roc： 1 z
k 0
m0
则系统函数
M
bm zm
H (z)
Y
(z)
/
X
(z)
m0 N
ak zk
k 0
课件
M
(1 cm z1)
K
m1 N
(1 dk z1)
k 1
5
例：已知离散LSI系统的差分方程：
y(n) 3 y(n 1) 1 y(n 2) x(n) 1 x(n 1)
4
8
3
其中：x(n)为输入，y(n)为输出。
– 零点在单位圆上，谷点为零 – 零点趋向于单位圆，谷点趋向于零
极点位置影响凸峰的位置和深度
– 极点趋向于单位圆，峰值趋向于无穷
– 极点在单位圆外，系统课件不稳定
15
例：设一阶系统的差分方程： y(n) x(n) ay(n 1) a 1，a为实数
求系统的频率响应。
解：两边求z变换，得
H (z)
Y (z) X (z)
1 1 az1
za
h(n) anu(n)
H
(e
j
)பைடு நூலகம்
1
1 ae
j
1
(1 a cos)
ja sin
幅度响应： H (e j ) (1 a2 2a cos )1/2
相位响应： arg[H (e j )] arctan a sin
课件
1 a cos 16
课件
17
例：设系统的差分方程：
1 1 z1 3
3 z1 1 z2 48
1
1 2
1 1 z1 3
z
1
1
1 4
z
1
零点：z 1 , 0 极点：z 1 , 1
3
24
j Im[z]
2）由于系统为因果稳定系统， 故收敛域： z 1 2
1/ 3
0.5 Re[z]
0 0.25 1
课件
7
3) 对H(z)求z反变换即得单位抽样响应h(n)，
H(z)须从单位圆到 的整个z域内收敛
即系统函数H(z)的全部极点必须在单位圆内
课件
3
例：一系统的极点有：
0.2e j / 4 , 0.2e j / 4 , 0.4, 2e j /6 , 2e j /6 , 1.5 问什么情况下，系统为因果系统，
什么情况下，系统为稳定系统
解：因果系统： z 2
1）求系统函数，指出系统的零极点；
2）若该系统是因果稳定的，指出系统的收敛域；
3）求该因果稳定系统的单位抽样响应。
课件
6
解：1）对差分方程两边取z变换：
Y (z) 3 z1Y (z) 1 z2Y (z) X (z) 1 z1X (z)
4
8
3
系统函数： H(z) Y (z)
X (z) 1
课件
12
4、频率响应的几何确定法
利用H(z)在z平面上的零极点分布
M
(1 cm z1)
M
(z cm )
H(z)
K
m1 N
Kz( N M )
m1 N
(1 dk z1)
(z dk )
k 1
k 1
频率响应：
M
(e j cm )
H (e j ) Ke j( N M )
m1 N
H (e j ) e j arg[H (e j )]
j Im[z]
j
0.2e 4
0.4
0
1 j
0.2e 4
j
2e 6
1.5 Re[z]
j
2e 6
稳定系统： 0.4 z 1.5
课件
4
2、系统函数与差分方程
常系数线性差分方程：
取z变换
N
M
ak y(n k) bm x(n m)
k 0
m0
N
M
ak zkY (z) bm zm X (z)