二叉树与平衡二叉树实现资料讲解

数据结构课程设计（1）

作业A

一、大型作业（课程设计）题目和内容 1.1二叉排序树与平衡二叉排序树基本操作的实现

1.用二叉链表作储存结构

（1） 以回车（’n'）为输入结束标志，输入数列 L,生成二叉排序树 T; （2） 对二叉排序树T作中序遍历，输出结果； （3） 计算二叉排序树T的平均查找长度，输出结果； （4） 输入元素x，查找二叉排序树 T,如果存在含x的结点，则删除该结点， 并作中序遍历（执行操作2）;否则输出信息“无结点 x”； （5） 判断二叉排序树T是否为平衡二叉树，输出信息“ 0K!” / “ NO”； *（6） 再用数列L,生成平衡二叉排序树 BT:当插入新元素后，发现当前二叉排序树 BT 不是平衡二叉排序树，则立即将它转换成新的平衡二叉排序树 BT； * （ 7） 计算平衡二叉排序树 BT的平均查找长度，输出结果。

2、

用顺序表（一维数组）作存储结构

(1) 以回车（’n'）为输入结束标志，输入数列 L,生成二叉排序树 T；

(2) 对二叉排序树T作中序遍历，输出结果；

(3) 计算二叉排序树 T的平均查找长度，输出结果；

(4) 输入元素x，查找二叉排序树 T,如果存在含x的结点， 则删除该结点，并作中序遍

历（执行操作2）;否则输出信息“无结点 x”； （5 ）判断二叉排序树 T是否为平衡二叉树，输出信息“ 0K!” / “ NO”。 二. 程序中所采用的数据结构及存储结构的说明 程序中的数据采用“树形结构”作为其数据结构。 具体的，我采用的是“二叉排序 树”。 二叉排序树或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树： （1）若它的左子 树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值； （2）若它的右子树不空，则右子 树上所有结点的值均大于它的根结点的值； （3）它的左右子树也分别为二叉排序树。 程序中分别采用了 “二插链表”和“一维数组”作为其存储结构。 二插链表存储结构中二插树的结点由一个数据元素和分别指向其左、右子树的 两个分支构成。如：我的程序中采用的结构是： typedef struct Tno de{ int data; struct Tn ode *lchild,*rchild ；

}*n ode,BST node;

一维数组顺序表存储结构是用一组地址连续的存储单元依次自上而下、自左而右存 储完全二插树上的结点元素，即将完全二叉树上编号为 i的结点元素存储在如上定义的一维 数组中下标为i-1的分量中。利用顺序表作为存储结构： typedef struct { int *data; int len th; }BST;

一维数组存储结构中结点 i的父母亲为|_i/2」，左孩子为2i，右孩子为2i+1. 三. 算法的设计思想 a）二插链表作存储结构：

建立二插排序树采用边查找边插入的方式。 查找函数采用递归的方式进行查找。 如果查找成功则不应再插入原树， 否则返回当前结点的上一个结点。 然后利用插入函数将该 元素插入原树。 对二叉树进行 中序遍历采用递归函数的方式。 在根结点不为空的情况下， 先访问左 子树，再访问根结点，最后访问右子树。 计算二插排序树的平均查找长度时，仍采用类似中序遍历的递归方式， 用s记录 总查找长度，j记录每个结点的查找长度，s置初值为0,采用累加的方式最终得到总查找长 度s。平均查找长度就等于 s/i（i为树中结点的总个数）。 删除结点函数，采用边查找边删除的方式。 如果没有查找到，则不对树做任何的修改； 如果查找到结点，则分四种情况分别进行讨论： 1、该结点左右子树均为空；2、该结点仅左 子树为空；3、该结点仅右子树为空；4、该结点左右子树均不为空。 判断二插排序树是否为 平衡二叉树的函数，也是采用递归函数的方式，分别判定以树 中每个结点为根结点的子树是否为平衡二叉树。 只要有一个子树不为平衡二叉树， 则该树便 不是平衡二叉树。 b) 一维数组作存储结构 ：

建立二插排序树，首先用一个一维数组记录下读入的数据， 然后再用边查找边插入的方式将 数据一一对应放在完全二叉树相应的位置，为空的树结点用“ 0”补齐。 中序遍历 二叉树也采用递归函数的方式， 先访问左子树2i,然后访问根结点i,最后访问右子 树2i+1.先向左走到底再层层返回，直至所有的结点都被访问完毕。 计算二插排序树的 平均查找长度 时，采用类似中序遍历的递归方式，用 s记录 总查找长度，j记录每个结点的查找长度，s置初值为0,采用累加的方式最终得到总查找长 度s。平均查找长度就等于 s/i(i为树中结点的总个数)。 删除二插排序树中某个结点，采用边查找边插入的方式，类似重新建立一个一 维数组作为存储新树的空间。 将原数组中的数据一个一个的插入树中， 若遇到需要删除的结 点则不执行插入操作。

判断二插排序树是否为 平衡二叉树 的函数，也是采用递归函数的方式， 分别判定以树中每个 结点为根结点的子树是否为平衡二叉树。 只要有一个子树不为平衡二叉树， 则该树便不是平

衡二叉树。 四、平衡二叉树与未平衡化的二叉树查找效率比较 (1) 对于未平衡化的二叉树：

当先后插入的关键字有序时，构成的二插排序树蜕变为单支树。树的深度为 n,其平均查找

长度为(n+1) /2.这是最差的情况。这种情况下比较关键字的最大次数为 n次。 (2)最好的情况是

建成的树是一棵平衡二叉树。在这种情况下，二插排序树的平均查找长度和 log2(n)成正比。 比较关键字的最大次数为：0.5log "( 5)+ log “ (n+1) -2次(其中"=(1+根号5) /2 )。 (3)那么，平均情况下分析:

假设在含有n(n>=1)个关键字的序列中，i个关键字小于第一个关键字， n-i-1个关

键字大于第一个关键字，则由此构造而得的二插排序树在 n个记录的查找概率相等的情况 下，其平均查找长度为： P(n, i)=[1+i*(P(i)+1)+( n-i-1)(P (n-i-1)+1)]/n 其中P(i)为含有i个结点的二插排序树的平均查找长度，则 P(i)+1为查找左子树中 每个关键字时所用比较次数的平均值， P(n-i-1 )+1为查找右子树中每个关键字时所用比较 次数的平均值。又假设表中n个关键字的排列是“随机”的， 即任一个关键字在序列中将是 第1个，或第2个，…，或第n个的概率相冋，则可对上式从 i等于0至n-1取平均值。最终 会推导出： 当 n>=2时，P (n) <=2( 1 + 1/n ) ln(n) 由此可见，在随机的情况下，二插排序树的平均查找长度和 log (n )是等数量级的。

五、时间复杂度的分析 说明：对时间复杂度的分析，均指在最坏情况下的时间复杂度。 二插链表存储结构中 (1) 查找函数最坏的情况是要找的点正好是二叉树的最深的叶子结点， 此时时 间复杂度=0(n)。 (2) 插入函数最坏的情况是要插入的点正是二叉树的最深的那一支的叶子结 点，此时时间复杂度= 0(n)。 (3) 中序遍历函数，求平均查找长度的函数，删除函数以及判断二插排序树是 否为平衡二叉树的函数，其时间复杂度均与以上情况类似，等于 O (n)。 一维数组顺序表存储结构中： (1) 插入函数最坏的情况是要插入的点正是二叉树的最深的那一支的叶子结 点，此时时间复杂度等于 0 (n)。 (2) 创建函数最坏的情况就是调用插入函数时插入函数遇到最坏的情况。 因 此，创建函数的时间复杂度也等于 0(n)。 (3) 中序遍历函数，求平均查找长度的函数，查找函数，以及判断二插排序 树是否为平衡二叉树的函数，其时间复杂度均与以上情况类似，等于 0(n)。 (4) 删除函数不采用递归手法， 而是采用重新建立一颗不含要删结点的二插 排序树。其时间复杂度=O (n)。 六、源程序清单 (1)二插链表存储结构源程序清单：

#i nclude #i nclude #i nclude typedef struct Tno de{ int data; struct Tnode *lchild,*rchild;

}*no de,BST no de; searchBST (node t,i nt key ,node f,node *p) { if(!t) {*p=f;return (0);} else if(key==t->data) {*p=t;retur n (1);}

else if(keydata) searchBST(t->lchild,key,t,p); else searchBST(t->rchild,key,t,p); }

in sertBST (node *t,i nt key) { n ode p=NULL,s=NULL; if(!searchBST(*t,key,NULL, &p)) {

s=(no de)malloc(sizeof(BST no de)); s->data=key; s->lchild=s->rchild=NULL; if(!p) *t=s; else if(keydata) p->lchild=s;

else p->rchild=s; return (1); } else return (0);

} ino rderTraverse( node *t) { if(*t){ if(in orderTraverse(&( *t)->lchild)) { prin tf("%d ",(*t)->data); if(i no rderTraverse(&( *t)->rchild)); }