2021-2022学年数学分析第二学期期末考试(含答案)

2021-2022学年第二学期期末《数学分析》
一.填空题 ( 每题5分,共30分 )
1. 已知势函数 2u x yz =，则其梯度 grad u = ，其梯度的散度 ()div grad u = 。

2. 曲面:ln x z y y ⎛⎫
∑=+ ⎪⎝⎭在点0(1,1,1)P 处的单位法向量为 ,
在该点处的切平面方程为 .
3. 设2
2
()d ,x x u x f x e u -=⎰ 则'()f x = .
4. 设Γ是以(0,0),(1,0),(0,1)O A B 为顶点的三角形的边界,则曲线积分
()x y ds Γ
+⎰ = .
5. 设Ω是由锥面
z =
和上半球面 z = 围成的空间区
域， 则三重积分
2
22()d f x
y z V Ω
++⎰⎰⎰ 在球坐标系下的累次积分为
.
6. 利用Γ函数和B 函数的性质，可知 2
560sin cos d x x x π
⎰ = .
二. 计算题 (10分) 计算二重积分
D
，其中 D 是由22221x y a b += 所围的平面区域。

设Γ是任意一条包围着原点（不经过原点）的分段光滑、逆时针定向曲线，试计算曲线积分
22
.2xdy ydx
x y Γ
-+⎰
四. 计算题 (10分)
设∑为曲面 )20(222≤≤+=z y x z 的下侧．计算曲面积分
33()d d ()d d 2()d d x y y z y z z x x y z x y ∑
++-++-⎰⎰．
计算曲线积分22I y dx xdy z dz Γ
=-++⎰，其中Γ是平面2y z +=与柱面221x y +=的
交线，从Oz 轴正向往下看为逆时针方向.
六.计算题 (10分)
计算双曲面z xy = 被围在圆柱面222x y a +=内部的面积．
设()f x 是[,]a b 上的连续函数，利用二重积分性质证明不等式
2
2()d ()()d b b a a f x x b a f x x ⎡⎤≤-⎢⎥⎣⎦
⎰⎰
八. 证明题 (10分)
设(,)f x u 在[,][,]a b αβ⨯上连续，证明对任意 0[,]u αβ∈，总有
0lim (,)d (,)d b b
a
a
u u f x u x f x u x →=⎰⎰
设Ω为闭区域，∂Ω是Ω的边界外侧，n是∂Ω的单位外法向量。

点(,,)
a b c∉∂Ω，
(,,)
x a y b z c
=---
p，p=p。

求证
11
d d d cos(,)
2
x y z dS p
Ω∂Ω
=
⎰⎰⎰⎰⎰p n
2021-2022数学分析期末考试参考答案
一、填空题（30分）
1．22{2,,},()2grad u xyz x z x y div grad u yz ==
2. ,:0x z =∏-=0n
3. 2
253
2()2x xu x x x
e u du e x e ----+-⎰
4. 1
5.
22230
()sin a
d d f r r dr π
π
ϕθθ⎰
⎰⎰
6. ()73171823,132226932B ⎛⎫ΓΓ ⎪
⎛⎫⎝⎭== ⎪⎛⎫
⎝⎭Γ ⎪⎝⎭
二、 计算题（10分）
令 cos ,sin ,(02,01)x a r y br r θθθπ==≤≤≤≤
202
d d 3
I r ab πθπ==⎰⎰
三、 计算题（10分）
注意（0，0）为奇点，补充辅助路径 222:2x y εεΓ+=，顺时针 由格林公式 d d 0D Q P x y x y εΓΓ⎛⎫
∂∂+=-=
⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 所以
2
2
1
1
2D xdy ydx dxdy ε
ε
ε
εεΓ
ΓΓ=-=-
-=
=⎰
⎰
⎰
⎰⎰
四 计算题（10分）
解：补辅助面 222(4)z x y =+≤上侧, 记为1∑
1
22
2
222
2
20(332)(32)642(32)(2)15
r
x y dV d rdr r dz r r rdr π
θππ
∑
∑Ω
+=+-=-=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
其中
1
2(2)416xy
xy
D D x y dxdy dxdy π∑=+-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰
64304161515
πππ∑
∴=
+=⎰⎰ 五 计算题（10分）
2
2
00(12)(12)(12)xy
xy
D D dydz dzdx dxdy I dydz dzdx y dxdy
x y z y
x
z
y dxdy y dxdy dxdy π
∑
∑∑
∂∂∂
==+++∂∂∂-=+=+==⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
六 计算题（10分）
解：:,z xy dS ∑===
xy
D S dS ∑
==⎰⎰⎰⎰
()3
222
2d d 113r a ππθ⎡⎤==+-⎢⎥⎣⎦
⎰⎰
七 证明题（10分）
证明：
2
22D
22D
()d ()dy=()()d d ()()
d d 2
1()d dy+d ()dy ()()d 2b
b
a
a
b b b b b a a a a a f x x f y f x f y x y
f x f y x y
f x x x f y b a f x x +≤⎡⎤=
=-⎢
⎥⎣⎦⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
八 证明题（10分）
证明：由于(,)f x u 在[,][,]a b αβ⨯上连续，进而一致连续，所以
0,0,εδ∀>∃> 对一切1122(,),(,)[,][,]x u x u a b αβ∈⨯且1122(,)(,)x u x u δ-<， 有
1122(,)(,)f x u f x u b a
ε
-<
-
0[,]u αβ∀∈，当0u u δ-<时，对一切[,]x a b ∈成立 00(,)(,)x u x u u u δ-=-<
从而
00(,)(,)(,)(,)b
b b b
a
a
a
a
f x u dx f x u dx f x u f x u dx dx b a
ε
ε-≤-<=-⎰
⎰⎰⎰
此即 0
0lim (,)d (,)d b b
a
a
u u f x u x f x u x →=⎰⎰
九 附加题（10分） 证明：
111()cos ()cos ()cos cos(,)2221()()()
2x a y b z c dS dS dS p x a y b z c dydz dzdx dxdy p p p
αβγ
∂Ω∂Ω∂Ω∂Ω⋅-+-+-==---=
++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰p n p n p n 若(,,),
0,a b c p ∉Ω≠由高斯公式可得
1212dv dv p p
ΩΩ=
=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 得证。

若(,,),
0,a b c p ∈Ω= 添加辅助面ε∑：2222()()()x a y b z c ε-+-+-=内侧
由高斯公式可得
()
1
cos(,)cos(,)2
dS dS ε
∂Ω
∑+⎰⎰
⎰⎰p n p n 121
2dv dv p p
ΩΩ=
=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 其中
3
21
cos(,)()()()1
34(111)43
dS x a dydz y b dzdx z c dxdy
dv ε
ε
εεπεπεεε∑∑Ω=
-+-+-=++==⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰⎰p n
令0ε→，可得 cos(,)0dS ε
∑=⎰⎰
p n
所以，1
cos(,)2dS ∂Ω
⎰⎰p n =1dv p Ω⎰⎰⎰ 得证。