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北师大版高一数学必修1第三章《指数函数》

第三章指数函数

第1节正整数指数函数

知识点1：正整数指数函数的概念

函数y=a x （a>0,1≠a +∈N x ）叫做正整数指数函数，其中x 是自变量，定义域是正整数集N +。知识点2：正整数指数函数的图像特征及其单调性 1、正整数指数函数的图像是散点图；

2、当1>a 时，在定义域上递增；当10<

我们把形如x

ka y =（1,0≠>∈a a R x k ，、）的函数叫作指数型函数。例：已知正整数指数函数f(x)的图像经过点（3,27）. （1）求函数f(x)的解析式；（2）求f （5）的值；

（3）函数f(x)有最值吗？如有，试求出；若无，请说明理由。

第2节指数扩充及其运算性质知识点1：分数指数幂

1、定义：给定正实数a ，对于任意给定的整数m ，n （m ，n 互素），存在唯一的正实数b ，使得m

我们把b 叫作a 的n

次幂，记作n m

知识点2：无理数指数幂

无理数指数幂α

a （a>0，α是无理数）是一个确定的实数。知识点3：实数指数幂及其运算性质

1、当a>0时，对任意的R ∈α，α

a 都有意义，且是唯一确定的实数。 2、实数指数幂的运算性质：对任意实数m 、n ，当a>0，b>0时，n

a a a +=•；()

a a =；()n n n

知识点4：根式及其分数指数幂的运算 1、指数幂运算的常用技巧：

（1）有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算；（2）负指数幂化为正指数幂的倒数；

（3）底数是小数，要先化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质. 2、根式化简的步骤：

（1）将根式化成分数指数幂的形式；（2）利用分数指数幂的运算性质求解. 3.根式的性质（其中n ∈N +，且n>1）；（1）当n 为奇数时，a a n n =；

（2）当n 为偶数时，⎩

⎨⎧<-≥==0,0

,||a a a a a a n

（3）00=n ；

（4）负数没有偶次方根。例：（1）()5

297212527027.0⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎭

b a a b b a ⨯÷

知识点5：指数式条件求值问题的解法

指数式条件求值问题的解题步骤：

（1）审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的特点；（2）化简：化简已知条件与所求代数式；

例：（1）已知42

a a a 的值；

（2）已知12=+y x ，9=xy ，且y x <，求

x y x +-的值。

知识点6：运用指数幂运算公式解方程

指数取值范围由整数扩展到有理数乃至实数，给运算带来了方便，我们可以借助指数运算法则轻松对指数进行变形，以达到代入消元等目的。

例：（1）已知a>0，b>0，且a

b b a =，b=9a ，求a 的值；（2）已知2767=x ，81603=y

第3节指数函数知识点1：指数函数的定义

a y =叫作指数函数，在这个函数中，自变量x 出现在指数的位置上，底数a 是一个大于0且不等于1的常量，函数的定义域是实数集R 。

（1）定义域为R ；知识点3：指数函数的图像与部分性质

一般地，当函数y=a x

（a>0，a ≠1，x ∈R ）与函数x

⎫ ⎝⎛=1（即函数y=a -x

）的自变量的取值互为相反

数时，其函数值相等，这两个函数的图像关于y 轴对称。

例：若函数()x

a y 12-=（x 是自变量）是指数函数，则a 的取值范围是。

例：若指数函数()x f 的图像经过点（2,9），求()x f 的解析式及f(-1)的值。

知识点4：与指数函数有关的函数的定义域、值域

1、求与指数函数有关的函数定义域的方法仍然是列不等式（组）、解不等式（组），只是在解含指数函数的不等式（组）时，可借助指数函数的图像.

2、求与指数函数有关的函数值域的常见方法是换元法：（1）()x a

f y =型的函数.解决此类题可采用换元法，令x

t =，利用函数()t f y =与指数函数x

且a ≠1）综合求解. （2）()

y =型的函数.()

y =的定义域即()x f 的定义域。求()

y =的值域可先求()x f 的值域，再

利用指数函数t

a y =（a>0，且a ≠1）的图像结合t=()x f 的范围求t

a y =（a>0，且a ≠1）的范围。

例1：求下列函数的定义域：

例2：求下列函数的值域：

≠>+-=a a a a y x

x 且（2）124+-=x

变式练习：

已知函数()()⎩⎨⎧<+≥=3

,2x x f x x f x ，求函数()x f 的值域。

知识点5：指数函数的图像及其应用

指数函数是一类基本函数，由指数函数的图像可以衍生出很多函数的图像，处理此类函数图像问题的策略是∶

（1）抓住特殊点∶指数函数的图像过定点（0，1），求指数型函数图像所过的定点时，一般情况下令指数为0，求出对应的y 的值，即可得函数图像所过的定点.

（2）巧用图像变换∶函数图像的平移变换（左右平移上下平移），函数图像的对称变换（关于x 轴对称、关于y 轴对称）.

利用图像可以解决方程、不等式等相关问题.

例：已知方程2a=|a x

-1|（a>0，且a ≠1）有两个不同的解，求a 的取值范围.

变式练习：函数()32

x f 的定义域为⎥⎦

⎢⎣⎡-∈21,21x 。

t 2=，求t 的取值范围；（2）求函数f （x ）的值域。

知识点6：与指数函数有关的函数的单调性 1、函数()

y =（a>0，且a ≠1）的单调性的求法：

①当a>1时，()

y =与y=f(x ）的单调性相同；

2、函数y=f （x

a ）（a>0且a ≠1）的单调性的求法：

（1）当a>1时，y=f （x a ）与y=f （t ）的单调性相同；当O

a ）与y=f （t ）的单调性相反，即"同增异减"；

（2）将y=f （t ）的单调区间转化为x 的区间，进而得到y=f （x

a ）的单调区间， 3、底数对函数值变化快慢的影响：

（1）当a>1时，指数函数x

a y =是R 上的增函数，且当x>0时，底数a 的值越大，函数图像越"陡"，说明其函数值增长得越快.

（1）当两个指数幂的底数相同时，构造函数，运用函数的单调性作比较；

（2）当两个指数幂不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入特殊值，常用的中间量有0和1. 例1：设6

.05.1=c ，则a 、b 、c 的大小关系是。

例2：求下列函数的单调区间：（1）3

⎫ ⎝⎛=x x y

（2）17218212+⎪⎭

⎝⎛•-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x

易错警示：利用y=f （u ）及u=g （x ）的单调性来解决函数y=f （g （x ））的单调性时，应将y=f （u ）的单调区间中的变量u 的范围转化为x 的范围，进而得到函数y=f （g （x ））的单调区间，解题时防止用中间变

变式练习：

已知定义在R 上的偶函数()x f 满足：当0≥x 时，()x

1=f 。（1）求实数a 的值；

（2）用定义法证明()x f 在()+∞,0上是增函数；（3）求函数()x f 在[-1,2]上的值域。

知识点7：指数方程与不等式的解法 1.指数方程的解法：（1）对于()

b a x f =（a>0，且a ≠1）型指数方程通常将方程两边化为同底指数幂的形式，用指数函数的单调

（2）解复杂的指数方程时常用换元法，转化为解二次方程.用换元法时要特别注意"元"的范围，用二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍. 2.解指数不等式的基本方法：

先化为同底指数式，再利用指数函数的单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响. 例1：解下列方程或不等式：（1）01232

例2：已知集合⎭

⎩⎨⎧<≤=-4221|4x x A ，{}01811|2<+-=x x x B 。（1）求()B A C R ；

（2）已知{}1|+<<=a x a x C ，若B C ⊆，求实数a 的取值集合。

例3：已知函数5232

（1）如果y<13，求x 的取值范围；（2）如果20≤≤x ，求y 的取值范围。

知识点8：指数函数的综合应用 1.指数函数在实际问题中的应用：

（1）与实际生活有关的问题，求解时应准确读懂题意，从实际问题中提取出与指数函数有关的数学模型。（2）在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N 、平均增长率为p ，则对于经过时间x 后的总量y 可以用x

p N y )1(+=来表示，这是非常有用的指数型函数模型。 2.解决与指数函数性质有关的综合问题：

（1）首先求出函数的定义域，解答指数型函数问题时注意应在函数的定义域内进行. （2）由于指数函数的单调性与底数有关，因此要注意对底数含有参数的指数型函数进行讨论.

例1：某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常.排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64 ppm （ppm 为浓度单位，1ppm 表示百万分之一），再过4分钟又测得浓度为32ppm.经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y （ppm ）与排气时间t （分钟）之间存在函数

⎝⎛=21（c ，m 为常数）。

（1）求 c ，m 的值；

（2）若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm 为正常，问至少排气多少分钟才能使这个地下车库中一氧化碳的含量达到正常状态?

解题模板：已知函数类型可先用待定系数法求出解析式，再利用解析式解决其他问题，解题时要注意指数函数的底数对解题的影响. 能力提升综合练习题： 1、已知函数()b

172=f 。（1）求a ，b 的值；

（2）判断并证明f （x ）的奇偶性；

（3）判断并证明函数f(x ）在[0，+∞）上的单调性，并求f （x ）的值域.

11 2、已知函数1

313)(+-=x x x f （1）证明f(x)为奇函数；

（2）判断f （x ）的单调性，并用定义加以证明；

（3）求f （x ）的值域。

3、设函数()ax x f -⎪⎭

⎫ ⎝⎛=1021，a 是不为零的常数。（1）若()2

13=f ，求使()4≥x f 的x 的取值范围；（2）当[]2,1-∈x 时，()x f 的最大值是16，求a 的值。

2021高中数学第三章指数运算与指数函数教案北师大版必修第一册

第三章指数运算与指数函数第1节指数幂的扩充 3.1.1指数幂的扩充初中学习了整数指数幂的运算，本节将整数指数扩充到有理数指数和实数指数，着重是有理数指数（分数指数）的运算，完成了指数幂运算的扩充，一方面使指数运算知识更加完整，揭示了开方（根式）运算与乘方（指数式）运算的内在联系，另一方面为学习指数的运算性质和指数函数的性质奠定了基础。 (1)知识目标：掌握有理数指数幂的含义和运算；掌握根式运算与指数运算的内在联系；正确进行有理数指数幂的运算；理解实数指数幂的含义。 (2)核心素养目标：通过实数指数幂的扩充和相关运算，使学生了解指数运算的发展过程，提高学生数学运算的核心素养。 (1) 正分数指数幂的含义和运算； (2) 有理数指数幂的运算； (3) 根式与分数指数幂的相互转化。多媒体课件一、知识引入在初中，学习了整数指数幂的运算及性质 , , .

思考讨论： (1)薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它侵害田地的面积(单位hm2)与年数（年）的关系式为 . 其中为侵害面积的初始值如果求10年后侵害的面积，则；如果求15.5年后侵害的面积，就需要计算，这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差异呢？提示：指数是分数. (2)对于分数指数幂，该如何运算呢？如？. 提示：，又，可见. 二、新知识 1、给定正数和正整数(且互素)，若存在唯一的正数，使得，则称为的次幂. 记作，这就是正分数指数幂.

例如：，则；，则注意： ①当是正整数时，分数指数幂满足： ②与类似，当底数时，，其中读作“次根号下”，也叫根式运算. 例如：，； ③根据分数指数幂的定义，分数指数幂的条件是：底数. 虽然，但不能写成. 例1.把下列各式中的正数写成正分数指数幂的形式：（1）；（2）；（3）；（4）. 解：(1)； (2)； (3)； (4) 2、类似负整数指数幂的定义，给定，正整数(且互素)，定义 . 至此，指数运算的指数已经扩充到有理数了.

高一数学教案第三章《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》北师大版必修1

§6 三种函数增长比较一、教学目标: 1.知识与技能结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义, 理解它们的增长差异性. 2.过程与方法能够借助信息技术, 利用函数图象及数据表格, 对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较, 初步体会它们的增长差异性; 收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等), 了解函数模型的广泛应用. 3.情感、态度、价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用. 二、教学重点、难点： 1.教学重点将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义 2．教学难点选择合适的数学模型分析解决实际问题. 三、学法与教学用具： 1.学法：学生通过阅读教材，动手画图，自主学习、思考，并相互讨论，进行探索. 2．教学用具：多媒体. 四、教学设想：（一）引入实例，创设情景. 教师引导学生阅读例1，分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作指导. （二）互动交流，探求新知. 1.观察数据，体会模型. 教师引导学生观察例1表格中三种方案的数量变化情况，体会三种函数的增长差异，说出自己的发现，并进行交流. 2.作出图象，描述特点. 教师引导学生借助计算器作出三个方案的函数图象，分析三种方案的不同变化趋势，并进行描述，为方案选择提供依据. （三）实例运用，巩固提高. 1.教师引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益.学生通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断，获得累计收益并给出本例的完整解答，然后全班进行交流. 2.教师引导学生分析例2中三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况，进一步体会三种基本函数模型在实际中广泛应用，体会它们的增长差异. 3．教师引导学生分析得出：要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，才能做出正确选择，学会对数据的特点与作用进行分析、判断。

北师大版(2019)数学必修第一册：3.3.1 指数函数的概念教案

指数函数的概念【教学目标】 1．理解指数函数的概念； 2．在理解指数函数概念、性质的基础上，能应用所学知识解决简单的数学问题。【教学重难点】指数函数概念、性质。【教学过程】一、创设情境、提出问题师：如果让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备6粒米，4号同学准备8粒米，……，按这样的规律，50号同学该准备多少粒米？学生：回答粒数师：如果改成1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备8粒米，4号同学准备16粒米，……，按这样的规律，51号同学该准备多少粒米？师：大家能否估计一下50好同学准备的米有多重吗？教师公布事先估算的数据：51号同学准备的大米约有1．2亿吨师：1．2亿吨是什么概念？相当于2007～2008年度我国全年的大米产量！以上两个问题中，每位同学所需准备的米粒数用y 表示，每位同学的座号数用x 表示，y 与x 之间的关系分别是什么？学生很容易得出y=2x 和y =（）学生可能漏掉x 的范围，教师要引导学生思考具体问题中x 的取值范围。二、新知探究 1．指数函数的定义思考以下问题①y =（）和（且x ）这两个解析式有什么共同特征？②他们能否构成函数？③是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？引导学生观察，两个函数中底数是常数，指数是自变量。师：把这两个函数归为一般形式就是我们今天要学习的函数，我们把它称作指数函数。 2．让学生讨论并给出指数函数的的定义。对底数得分类，可将问题分解为： 2x * x N ∈2x *x N ∈ 1.073x y =*x N ∈20≤

①若a<0，会有什么问题？ ②若a=0，会有什么问题？ ③若a=1，又会怎样？学生讨论教师适时点拨形成对问题的严谨认识师：为了避免上述各种情况的发生，所以规定a>0且a ≠1 接下来教师可以让学生写几个指数函数，同时教师在黑板写一些解析式让学生判断，如。 3．典例示范、巩固练习例1、已知指数函数 = ( )的图像经过点（3，），求，的值。解：因为 = ( )的图像经过点（3，），所以，即解得，于是，所以三、课堂总结 1．函数y ＝a x 叫作指数函数，自变量x 出现在指数的位置上，底数a 是一个大于0且不等于1的常量。 2．函数的定义域是实数集R ，函数值大于0. 3．指数函数恒过定点(0，1)。 2,323,2x x x y y y ==?=-()f x x a 0,1a a >≠π(0),(1)f f (3) f -()f x x a 0,1a a >≠π(3)f π=3a π=1 3a π=3()x f x π =1(3)(0)1,(1)f f f π-= ==

北师大版高一数学必修1第三章《指数函数》

第三章指数函数第1节正整数指数函数知识点1：正整数指数函数的概念函数y=a x （a>0,1≠a +∈N x ）叫做正整数指数函数，其中x 是自变量，定义域是正整数集N +。知识点2：正整数指数函数的图像特征及其单调性 1、正整数指数函数的图像是散点图； 2、当1>a 时，在定义域上递增；当10<∈a a R x k ，、）的函数叫作指数型函数。例：已知正整数指数函数f(x)的图像经过点（3,27）. （1）求函数f(x)的解析式；（2）求f （5）的值；（3）函数f(x)有最值吗？如有，试求出；若无，请说明理由。第2节指数扩充及其运算性质知识点1：分数指数幂 1、定义：给定正实数a ，对于任意给定的整数m ，n （m ，n 互素），存在唯一的正实数b ，使得m n a b =，我们把b 叫作a 的n m 次幂，记作n m a b =。 2、意义知识点2：无理数指数幂

无理数指数幂α a （a>0，α是无理数）是一个确定的实数。知识点3：实数指数幂及其运算性质 1、当a>0时，对任意的R ∈α，α a 都有意义，且是唯一确定的实数。 2、实数指数幂的运算性质：对任意实数m 、n ，当a>0，b>0时，n m n m a a a +=•；() mn n m a a =；()n n n b a ab =。知识点4：根式及其分数指数幂的运算 1、指数幂运算的常用技巧：（1）有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算；（2）负指数幂化为正指数幂的倒数；（3）底数是小数，要先化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质. 2、根式化简的步骤：（1）将根式化成分数指数幂的形式；（2）利用分数指数幂的运算性质求解. 3.根式的性质（其中n ∈N +，且n>1）；（1）当n 为奇数时，a a n n =；（2）当n 为偶数时，⎩ ⎨⎧<-≥==0,0 ,||a a a a a a n n ；（3）00=n ；（4）负数没有偶次方根。例：（1）()5 .03 1 3 297212527027.0⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+- （2）3333 b a a b b a ⨯÷ 知识点5：指数式条件求值问题的解法指数式条件求值问题的解题步骤：（1）审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的特点；（2）化简：化简已知条件与所求代数式；

高中数学北师大版高一必修1教案 3.3指数函数的图像和性质

3．3 指数函数的图像和性质第1课时指数函数的图像与性质 ●三维目标 1．知识与技能理解指数函数的定义，掌握指数函数的图像、性质及其简单应用． 2．过程与方法培养学生数形结合的意识，提高学生观察、分析、归纳的思维能力． 3．情感、态度与价值观通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问、善于探索的思维品质． ●重点难点重点：指数函数的概念、图像和性质及其应用．难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用．教学时，要让学生体会其中隐含的函数关系，引导学生通过y ＝2x 和y ＝(1 2)x 两个函数，感受到这两个函数中的指数幂具有的共性：可以写为y ＝a x 的形式．在学习指数函数的性质时，建议尽可能地引导学生通过观察图像，自己归纳概括出指数函数的性质．为了使学生能够主动研究指数函数的图像和性质，教师可以充分利用信息技术提供互动环境，先引导学生随意地取a 的值，并在同一个平面直角坐标系内画出它们的图像，然后再通过底数a 的连续动态变化展示函数图像的分布情况，这样就会使学生比较容易地概括出指数函数的性质． ●教学建议为充分贯彻新课程理念，使教学过程真正成为学生学习过程，让学生体验数学发现和创造的历程，本节课拟采用直观教学法、启发发现法、课堂讨论法等教学方法．以多媒体演示为载体，启发学生观察思考，分析讨论为主，教师适当引导点拨，让学生始终处在教学活动的中心． ●教学流程

从指数概念的扩充过程引出指数函数的概念，并完成例1及变式训练⇒通过描点法做出函数y＝2x和y＝( 1 2) x的图像，观察两个函数图像的特征⇒通过例2及其变式训练，加深对指数函数的认识⇒通过多媒体课件展示当底数a取不同的值时函数图像，让学生直观感知底数对图像的影响 ⇒通过例3及其变式训练，让学生初步掌握函数的图像和性质⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正 (见学生用书第40页) 课标解读 1.理解指数函数的概念． 2．通过具体指数函数的图像，体会指数函数图像与底数 a的关系．(重点易混点) 3．掌握指数函数的图像与性质及其简单应用．(难点) 【问题导思】已知函数y＝2x，y＝( 1 3) x. 1．上面两个关系式是函数式吗？【提示】是． 2．这两个函数形式上有什么共同点？【提示】底数为常数，指数为自变量．函数y＝a x叫作指数函数，自变量x在指数位置上，底数a是一个大于0且不等1的常量．【问题导思】 1．试作出函数y＝2x(x∈R)和y＝( 1 2) x(x∈R)的图像【提示】

北师大版高中数学必修1《三章指数函数和对数函数 1 正整数指数函数》优质课教案_17

3.1正整数指数函数【教学目标】 1．知识与技能 (1) 结合实例,了解正整数指数函数的概念． (2) 能够求出正整数指数函数的解析式,进一步研究其性质． (1)让学生借助实例,了解正整数指数函数,体会从具体到一般,从个别到整体的研究过程和研究方法． (2)从图像上观察体会正整数指数函数的性质,为这一章的学习作好铺垫． 3．情感．态度与价值观使学生通过学习正整数指数函数体会学习指数函数的重要意义,增强学习研究函数的积极性和自信心．【教学重点】正整数指数函数的概念及图像特征. 【教学难点】正整数指数函数的图像特征．【学法指导】学生观察、思考、探究．【教学方法】探究交流，讲练结合．【学习教具】直尺、多媒体【教学过程】一、回顾旧知 1.初中学的幂是什么？ 2. 函数的定义是什么？二、探索新知探究一动手实验项目：折纸游戏问题1：一张纸你可以对折多少次？对折43次后有多少层？问题2：对折过程中纸张每层的面积有什么变化？问题3：从本题中得到的函数来看,自变量和函数值分别是什么?此函数是什么类型的函数? 引出概念：

正整数指数函数的定义:一般地,函数x y a (a 0,a 1,x N )+=>≠∈叫作正整数指数函数, 其中x 是自变量,定义域是正整数集+N ．函数解析式的特征：（1）a x 前的系数必须是1; （2）自变量x ∈N ＋，且x 在指数的位置上；（3）底数a 是大于零且不等于1的常数．概念辨析：练习1、判断下列函数是否是正整数指数函数：（1）（2）（3）（4）三、正整数指数函数的图像和性质探究二作图并观察图像的特征在图(1)(2)(3)(4)中分别画出正整数指数函数、、、的图像，并说明函数的单调性。总结归纳：正整数函数的图像和性质练习变式训练：四、课堂小结 1. 正整数指数函数的概念 2. 正整数指数函数的图像和性质当_______ 时函数在定义域上是增函数，当_______ 时函数在定义域上是减函数 a>1 0

北师大版高中数学必修1《三章指数函数和对数函数 3 指数函数 3.1 指数函数的概念》优质课教案_26

2.1.2 指数函数及其性质各位专家下午好，今天我说课的题目是《指数函数及其性质》，下面我从教材的地位和作用，学情分析，教学目标及重点难点，教法学法，教学过程，教学评价，板书设计七个方面说一下我对这节课的理解与安排。教材的地位和作用指数函数及其性质是人教版必修一第二章第一节的内容，它是学生在学习了函数和指数幂的运算以后学习的第一个重要的数学模型，指数函数的学习可以加深学生对函数概念的理解巩固指数幂的运算，研究指数函数的方法也可以推广到对数函数等其他函数的的研究中去。学情分析高一新生的思维基本还处在形象思维阶段，抽象思维能力还比较薄弱。虽然学习过一次函数与二次函数，但是还不具备系统研究函数的经验。教学目标及重点难点 1、知识与技能目标会根据定义判断函数是否是指数函数，会求指数函数的解析式；掌握指数函数的图象和性质，能够运用指数函数的单调性解决比较函数值的大小等问题，掌握研究函数的一般方法。 2、过程与方法目标通过指数函数及其性质的探究过程提高分析问题解决问题的能力，提高类比、归纳、联系的能力，领悟特殊到一般、数形结合、分类讨论等数学思想方法。 3、情感态度价值观目标构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质。教学重点：指数函数的概念和性质教学难点：用数形结合的方法从具体到一般的探索、概括指数函数的性质教法学法教法：由于指数函数是学生第一次系统研究函数的性质，缺乏相关的经验，所以采用讲解法与启发式相结合的教学方法。学法：学案导学个人思考与小组合作学习相结合的学习方法。教学过程 1、设置情境引入课题

情境1: 在活的生物体内，碳-14的含量是保持不变的.当生物死后,它机体内原有的碳-14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳-14含量P 与死亡年数t 之间的关系式： 57301(0)2t P t ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭ 探究1 情境1中生物体内碳-14含量P 与死亡年数t 能构成函数吗？学生活动：独立思考、小组讨论，推举代表发言。教师活动：点评学生的回答。情境2:“红色代码”被认为是史上破坏性极强的计算机病毒之一，具有快速自我复制能力，它可以由1个变成2个，2个变成4个……复制x 次后，你知道所得病毒的个数y 与x 的函数关系式是什么？ 2()x y x N *=∈ 探究2：上述问题中的函数解析式有什么共同特征？学生活动：思考，归纳概括共同特征教师活动：适时引导学生把解析式概括到y =a x 的形式设计意图：遵循新课程理念，通过两个生活中的实际问题引入课题，体现数学与现实世界的联系，充分调动了学生的学习积极性。

北师大版高中数学必修1《三章指数函数和对数函数 5 对数函数 5.1 对数函数的概念》优质课教案_17

【教学设计·中学数学】《对数函数的概念》教学设计

对数函数的概念一、教学目标： 1.知识与技能理解对数函数的概念，了解对数函数与指数函数的关系. 2.过程与方法从指数函数入手，引出对数函数的概念及对数函数与指数函数的关系。 3.情感、态度与价值观增强数学的理性思维能力及用普遍联系、变化发展的眼光看待问题的能力，体会对数函数的价值，形成正确的价值观二、教学重点、难点重点：（1）对数函数的概念；（2）对数函数与指数函数的相互转化. 难点：对数函数概念的理解；三、学法与教法 1、学法：复习回顾，类比归纳，语言表达。 2、教法：探究讨论法。四、教学设计（一）：复习（1）：函数的概念是什么？（2）：什么是一一映射？（设计目的：本节要学习对数函数，而对数函数是一个新的函数函数模型，所以必须从基本的函数概念入手对其进行分析。）（二）：新知探究： 1.引入在细胞分裂的问题中，细胞分裂个数y和分裂次数x的函数关系,用正整数指数函数y=2x表示.在学习过程中我们已经把它推广到实数指数函数.那么如果分裂次数未知，细胞个数已知，完成下表

（引导学生填表并观察，归纳出分裂次数x 与细胞个数y 之间的对应关系y x 2log =） 2：探究一思考：一般的指数函数y =a x (a >0,a ≠1)中的两个变量,能不能把y 当作自变量,使得x 是y 的函数? 指数函数y =a x (a>0,a ≠1),对于x 每一个确定值,y 都有唯一确定的值和它对应.并且当2121 y y x x ≠≠时，如图（1）。就是说，指数函数反应的了数集R 与数集{y|y>0}之间的一一对应。可见，对于任意y ∈(0,+∞)有唯一x ∈R 满足y =a x 把y 当作自变量,x 是y 的函数，即 )1,0(log ≠>=a a y x a 图（1）函数 )1,0(log ≠>=a a y x a 叫作对数函数，这里0. 1,0>≠>y a a 自变量习惯上，自变量用x 表示，所以这个函数就写成 )1,0(log ≠>=a a x y a 我们把函数)1,0(log ≠>=a a x y a 叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 ),(),,0(+∞-∞+∞值域，a 叫作对数函数的底数。两个特殊的对数函数：（1）10为底的对数函数 y=lgx ，常用对数函数。（2）e 为底的对数函数 y=lnx ，自然对数函数。例1、判断下列函数是不是对数函数 x y x y x y x y x πlog )4(log )3()4(log )2(log )1()1(323==-==+

北师大版高中数学必修1《三章指数函数和对数函数 5 对数函数 5.1 对数函数的概念》优质课教案_19

§5.1对数函数的概念【三维目标】 1．知识与技能：（1）理解对数函数的概念；（2）理解对数函数与指数函数的关系. 2．过程与方法：（1）注重思考方法的渗透，培养学生以已知探求未知的能力；（2）通过实例培养学生抽象概括能力、类比联想能力. 3．情感、态度与价值观：引导学生从现实生活的经历与体验出发，激发学生对数学问题的兴趣，使学生了解数学知识的功能与价值，形成主动学习的态度. 【教学重点与难点】重点：对数函数的概念；难点：指数函数与对数函数的关系. 【教学方法】启发诱导合作探究【教学过程】一．创设情景，导入新课我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数y=x2表示．那如果要求一个这样的细胞经过多少次的分裂，大约可以得到1万或10万个细胞，应该如何解决呢？它们的函数关系是什么？这节课我们就来共同学习这个问题.（写出课题）二．提出问题，小组探究互动探究一： 1．细胞分裂的个数y与分裂次数x具有怎样的函数关系？ 2．如果已知细胞分裂的个数y，如何求它的分裂次数x，写出它的函数关系式. 3．在问题2的关系式中，每输入一个细胞的个数y的值，是否都能得到唯一一

个分裂次数x 的值呢？这里是把y 看做自变量，x 为y 的函数. 4．对数函数的定义是什么？ 5.什么是常用对数函数和自然对数函数？通过小组合作，总结对数函数的概念我们知道指数函数x a y =)1,0(≠>a a 反应了数集R 与数集｛y ︱0>y ｝之间的一一对应关系.如果把y 当作自变量，那么x 就是y 的函数，这个函数就是 y a x log =.我们就把这个函数叫做对数函数.习惯上,自变量用x 表示，所以这个函数就写成x a y log = )1,0(≠>a a . 互动探究二： 1．y a x log =与x a y =中的x ,y 的相同之处是什么?不同之处是什么? 指数函数x a y =与对数函数y a x log =刻画的是同一对变量x ,y 之间的关系，所不同的是：(1)在指数函数x a y =中，x 是自变量，y 是x 的函数，其定义域为R ，值域为),0(+∞;(2)在对数函数y a x log =中，y 是自变量，x 是y 的函数，其定义域为),0(+∞，值域为R. 2．指数函数x a y =与对数函数x a y log =之间的关系是什么？两个函数互为反函数，也就是说指数函数x a y =的反函数就是对数函数 x a y lo g =)1,0(≠>a a ，对数函数x a y log =)1,0(≠>a a 的反函数就是指数函数 x a y =)1,0(≠>a a . 每个问题小组展示成果，教师点评，归纳总结三．巩固深化，拓展提升 1.计算对数函数x y 2log =对应于x 取1，2，4时的函数值；计算对数函数x y lg =对应于x 取1，10，100，0.1时的函数值. 2. 写出下列函数的反函数：3x y =；x y 5=；x y 2log =；6log y x =；1 ()3 x y =；

2020学年高中数学第3章指数函数和对数函数章末复习课学案北师大版必修1(2021-2022学年)

第3章指数函数和对数函数【例１】计算：(1)lg 5+lｇ 8+lg5lg２０＋（lg 2）2; ［解]（1)原式＝2lg 5＋2ｌg 2＋lg ５(1+lg 2)+（ｌg ２）2 =2（lg2＋lg 5)+lg5+ｌg 2×lｇ5＋(lg 2)2 ＝2+lg5＋lg２(lg5+lg 2) =２＋lg ５+ｌｇ 2＝３.

1.指数幂运算的一般原则（1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算． (2）先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数． (3）底数是负数,先确定符号,底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式,应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答． 2．对数运算的常用方法 (１）首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并. （2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．１.已知a〉ｂ〉１，若log a b＋logｂa＝错误!未定义书签。,aｂ＝ｂa,则a=____＿___，ｂ＝＿___＿＿＿_。 4,2 [由loｇaｂ＋loｇb a=错误!,得loｇa b+错误!＝错误!未定义书签。, ∴(log a b)2－＼ｆ(５，２)loｇａb+1=0，解得loｇa b=错误!或2，又a＞b〉1,则loｇａb＝错误!，由a b=b a，得b=aｌog aｂ, ∴ｂ=错误!未定义书签。a， ∴loｇa＼f（1，２)a=错误!,即log a错误!未定义书签。+1＝错误!, ∴ｌｏg a错误!未定义书签。＝-错误!未定义书签。, ∴a－错误!未定义书签。=错误!未定义书签。， ∴ａ＝４,b＝2.] 【例２】错误!

北师大版高中数学必修1《三章指数函数和对数函数 4 对数 4.2 换底公式》优质课教案_14

换底公式教学设计教材分析本节是在新高中课程标准下新增的内容之一,通常情况下,计算对数需要使用计算工具,而一般的科学计算器只能对常用对数或自然对数进行计算,因此需要用换底公式,化成常用对数或自然对数.前面对数的运算性质只能解决同底对数的加减幂运算,对于乘除束手无策,因此也需要换底公式化不同底为同底,化未知为已知,从而再进行运算. 教学目标 1.知识与技能（1）理解从特殊到一般的类比推导对数的换底公式的方法，并掌握换底公式； (2)能够灵活地运用换底公式与对数的运算性质进行对数运算与并解决实际问题. 通过设置问题串的方式,让学生通过在问题的引导下自主学习、合作学习经历推导对数的换底公式的过程,培养学生分析问题和解决问题的能力. 3.情感态度与价值观让学生探究对数的换底公式，培养学生的探究意识，培养学生严谨的思维品质，感受对数的广泛应用，增强学习的积极性. 教学重点和难点

教学重点：对数的运算性质及换底公式及其应用 . 教学难点：灵活地使用对数的运算性质和换底公式进行计算、化简. 教学方法与手段教学方法：启发引导式教学. 教学手段：多媒体辅助教学. 教学过程一、导入课题 1.对数的发明在数学史上的重大意义 16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急。苏格兰数学家纳皮尔 (J ．Napier ，1550—1617)正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，对数的发明是数学史上的重大事件。天文学界更是以近乎狂喜的心情来迎接这一发明，恩格斯曾经把对数的发明和解析几何的创始、微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就，伽利略也说过：“给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙。” 2.复习对数的定义及运算性质. 对数的定义： log (01,0)b a a N b N a a N =⇔=>≠>且对数恒等式：

北师大版高一数学必修一《指数函数》评课稿

北师大版高一数学必修一《指数函数》评课稿课程概述本评课稿主要针对北师大版高一数学必修一中的《指数函数》单元进行评价和分析。该单元是高中数学课程的重要组成部分，涵盖了指数函数的基本概念、性质、运算规则以及在实际问题中的应用等内容。通过学习此单元，学生将能够理解指数函数的基本概念，掌握指数函数的运算法则，培养数学思维和解决实际问题的能力。课程目标本单元的教学目标主要包括以下几个方面： 1.熟练掌握指数函数的基本概念和性质。 2.掌握指数函数的运算法则。 3.理解指数函数与对数函数的关系。 4.能够灵活运用指数函数解决实际问题。教学重点和难点教学重点 •指数函数的定义和性质。 •指数函数的运算法则。 •指数函数与对数函数的关系。教学难点 •指数函数与对数函数的关系的理解与应用。 •将指数函数运用于实际问题的解决过程。

教学内容和方法教学内容本单元主要包括以下几个部分： 1.指数函数的基本概念和定义。 2.指数函数的性质和运算法则。 3.指数函数与对数函数的关系。 4.指数函数在实际问题中的应用。教学方法 1.讲授法：通过教师讲解，向学生介绍指数函数的基本概念、定义和性质。 2.示范法：通过示例演示指数函数的运算法则和与对数函数的关系。 3.练习法：设计一系列练习题目，帮助学生熟练掌握指数函数的运算和应用。 4.探究法：组织学生进行小组讨论和实验，发现指数函数在实际问题中的应用。教学步骤和设计教学步骤 1.导入：引导学生回顾前几次课的内容，铺垫本节课的内容。 2.概念讲解：通过讲解，介绍指数函数的基本概念和定义。 3.性质和运算法则讲解：依次介绍指数函数的性质和运算法则，让学生理解和掌握。 4.练习与讨论：设计一系列练习题目，让学生进行练习，并分组进行讨论，促进合作与交流。

北师大版高中数学必修1《三章指数函数和对数函数 5 对数函数 5.2 y=㏒.x的图像和性质》优质课教案_2

北师大版高中数学必修一第三章第五节对数函数教学目标知识与技能掌握对数函数的概念，图像和性质，且在掌握性质的基础上能进行初步的应用。培养学生数形结合的思想以及观察，分析，归纳的思维能力。两个函数之间的联系，渗透数形结合，分类讨论的思想。情感，态度和价值观通过指数函数和对数函数在图形和性质上的对比，是学生欣赏数学的精确和美妙之处，调动学生学习数学的积极性。重点与难点理解对数函数的定义，掌握对数函数的图像和性质。对数函数与指数函数互为反函数的关系，利用指数函数的图像和性质得到对数函数的图像和性质。教学过程：一．回顾指数函数

定义域：R 问题引入现在有一张纸，我把这张纸对折一次就变成了两层；我对折两次纸就变成了四层；如果我们设把纸对折的次数为x,对折后纸的层数为y ，那么，试建立y 关于x 的函数关系式。提问：如果我发现对折后的纸有4层，那么我对折了多少次？2次如果我发现对折后的纸有8层，那么我对折了多少次？3次 … … 16层呢，32层呢 … … 我们可以发现：x 关于y 也可以建立一个函数。你能写出这个X 关于Y 的函数的关系表达式吗? x y 2=解：x y 2 =

指数式化对数式这个就是我们要的函数关系交换X 和Y,以符合习惯对数函数的定义一般地，函数就叫做对数函数。x 为它的自变量，函数的定义域为问题一我们知道，函数和互为反函数提问函数和是什么关系呢？函数和互为反函数问题二利用对称性画图并根据对数函数的图象描述对数函数的性质：因为指数函数与对数函数的图像关于直线 y=x 对称。 y x 2log =x y a =log a y x =x y a =log a y x =x y 2log =log (0,1) a y x a a =>≠). ,0(+∞x y 2=x y 2log =

北师大版高中数学必修第一册同步培优第三章指数运算与指数函数第3节指数函数第1课时指数函数的图象和性质

第三章 §3 第1课时 A 组·素养自测一、选择题 1．下列各函数中，是指数函数的是( D ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝1x C ．y ＝5x ＋ 1 D ．y ＝52x [解析] 根据指数函数的定义：形如y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的函数叫作指数函数，结合选项从而可知y ＝52x ＝25x 为指数函数，故选D . 2．函数y ＝(3－1)x 在R 上是( D ) A ．增函数 B ．奇函数 C ．偶函数 D ．减函数 [解析] ∵0＞3－1＞1，∴函数y ＝(3－1)x 在R 上是减函数． 3．函数y ＝1－2x ，x ∈[0，1]的值域是( B ) A ．[0，1] B ．[－1，0] C .⎣⎡⎦ ⎤0，12 D ．⎣⎡⎦ ⎤－1 2，0 [解析] ∵0≤x ≤1，∴1≤2x ≤2， ∴－1≤1－2x ≤0，选B . 4．函数f (x )＝πx 与g (x )＝⎝⎛⎭ ⎫1 πx 的图象关于( C ) A ．原点对称 B ．x 轴对称 C ．y 轴对称 D ．直线y ＝－x 对称 [解析] 设点(x ，y )为函数f (x )＝πx 的图象上任意一点，则点(－x ，y )为g (x )＝π－x ＝⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫ 1πx 的图象上的点．因为点(x ，y )与点(－x ，y )关于y 轴对称，所以函数f (x )＝πx 与g (x )＝⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫ 1πx 的图象关于y 轴对称，选C . 5．已知1＞n ＞m ＞0，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为( C )

[解析] 由于0＞m ＞n ＞1，所以y ＝m x 与y ＝n x 都是减函数，故排除A 、B 项，作直线x ＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y ＝m x 的图象，故选C . 6．若12＞⎝⎛⎭⎫12b ＞⎝⎛⎭⎫12a ＞1，则( D ) A ．a ＞b ＞0 B ．b ＞a ＞1 C ．0＞b ＞a ＞1 D ．0＞a ＞b ＞1 [解析] ∵y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上是减函数，12＞⎝⎛⎭⎫12b ＞⎝⎛⎭⎫12a ＞1＝⎝⎛⎭⎫120 ，∴0＞a ＞b ＞1. 二、填空题 7．若函数y ＝(k ＋2)a x ＋2－b (a ＞0，且a ≠1)是指数函数，则k ＝__－1__，b ＝__2__． [解析] 根据指数函数的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋2＝12－b ＝0，解得⎩ ⎪⎨⎪⎧k ＝－1 b ＝2. 8．函数y ＝2(a －1)x 是刻画指数衰减变化规律的模型，则a 的取值范围是__(1，2)__． [解析] 由题意得0＞a －1＞1，∴1＞a ＞2. 三、解答题 9．已知函数f (x )＝a x － 1(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，其中a ＞0且a ≠1. (1)求a 的值； (2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域． [解析] (1)因为函数图象过点⎝⎛⎭⎫2，1 2，所以a 2－ 1＝12，则a ＝12. (2)由(1)得f (x )＝⎝⎛⎭ ⎫ 12x －1 (x ≥0)．由x ≥0，得x －1≥－1，于是0＞⎝⎛⎭⎫12x －1 ≤⎝⎛⎭⎫ 12－1 ＝2. 所以所求函数的值域为(0，2]． 10．求下列函数的定义域和值域． (1)y ＝3 5x －1； (2)y ＝2x ＋1.

高中数学第三章指数函数和对数函数 3.5 对数函数学案北师大版必修1-北师大版高一必修1数学学

3.5 对数函数第1课时对数函数的概念对数函数y ＝log2x 的图像和性质 [核心必知] 1．对数函数的概念 (1)对数函数的定义：一般地，函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)叫作对数函数，a 叫作对数函数的底数． (2)两种特殊的对数函数：我们称以10为底的对数函数y ＝lg_x 为常用对数函数；称以无理数e 为底的对数函数y ＝ln_x 为自然对数函数． 2．反函数指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数． 3．函数y ＝log 2x 的图像和性质图像性质 (1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R (3)过点(1,0)，即x ＝1，y ＝0 (4)当x >1时，y >0；当00)，y ＝log 12 x (x >0)， y ＝2log 2x ，y ＝log 1 2 x 2都是对数函数吗？为什么？提示：根据对数函数的定义，只有严格符合y ＝log a x (a ＞0，a ≠1，x ＞0)形式的函数才是对数函数．因此y ＝log 3x (x ＞0)，y ＝log 1 2 x (x ＞0)是对数函数，而y ＝2log 2x ，y

＝log 12 x 2 等都不是对数函数． 2．函数y ＝log a x 2 与y ＝2log a x (a ＞0且 a ≠1)是同一个函数吗？为什么？提示：不是，因为定义域不同． 3．对数函数y ＝log 2x 与指数函数y ＝2x 有何关系？提示：(1)对数函数y ＝log 2x 与指数函数y ＝2x 互为反函数，其图像关于直线y ＝x 对称； (2)对数函数y ＝log 2x 与指数函数y ＝2 x 的定义域与值域互换，即y ＝log 2x 的定义域(0，＋∞)是y ＝2x 的值域，而y ＝log 2x 的值域R 恰好是y ＝2x 的定义域． (3)对数函数y ＝log 2x 与指数函数y ＝2x 的单调性一致，即都是增函数．讲一讲 1．求下列函数的定义域． (1)y ＝－log 2(1－x )；(2)y ＝lg(x －1)＋log (x ＋1)(16－4x )． [尝试解答 ] (1)要使函数有意义，需有 ⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ 1－x >0，－log 2(1－x )≥0，即 ⎩⎪⎨⎪⎧ x <1，log 2(1－x )≤0，解得0≤x <1，所以函数的定义域为[0,1)． (2)要使函数有意义，需有 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －1>0， 16－4x >0，x ＋1>0，x ＋1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x >1， x <2，x >－1，x ≠0. ∴10.

北师大版高中数学必修1《三章指数函数和对数函数 6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》优质课教案_1

§6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较整体设计教学分析函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述．本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题．课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的，通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的．三维目标 1．借助信息技术，利用函数图像及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异． 2．恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图像)，并借助信息技术解决一些实际问题． 3．让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣．重点难点教学重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同．教学难点：应用函数模型解决简单问题．课时安排 1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入) 国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他要什么．发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求．”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子的质量为40 g，据查，目前世界年度小麦产量为6亿吨，但不能满足发明者要求，这就是指数增长．本节我们讨论指数函数、对数函数、幂函数的增长差异．思路2.(直接导入) 我们知道，对数函数y＝log a x(a＞1)，指数函数y＝a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)在区间(0，＋∞)上都是增函数．但这三类函数的增长是有差异的．本节我们讨论指数函数、对数函数、幂函数的增长差异．推进新课新知探究提出问题 ①在区间，＋上判断y＝log2x，y＝2x，y＝x2的单调性. ②列表并在同一坐标系中画出三个函数的图像. ③结合函数的图像找出其交点坐标. ④请在图像上分别标出使不等式log2x＜2x＜x2和log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围. ⑤由以上问题你能得出怎样结论？讨论结果： ①在区间(0，＋∞)上函数y＝log2x，y＝2x，y＝x2均为单调增函数． 063

2018版高中数学北师大版必修一学案：第三章 3 指数函数(二)

学习目标 1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断.2.能借助指数函数性质比较大小.3.会解简单的指数方程、不等式.4.了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法．知识点一不同底指数函数图像的相对位置思考 y ＝2x 与y ＝3x 都是增函数，都过点(0,1)，在同一坐标系内如何确定它们两个的相对位置？梳理一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图像时，图像的相对位置与底数大小有如下关系： (1)在y 轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小．即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过令x ＝1时，y ＝a 去理解，如图． (2)指数函数y ＝a x 与y ＝⎝⎛⎭⎫1a x (a ＞0且a ≠1)的图像关于y 轴对称．知识点二比较幂的大小思考若x 1＜x 2，则ax 1与ax 2(a ＞0且a ≠1)的大小关系如何？

梳理一般地，比较幂大小的方法有 (1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的__________来判断． (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的________的变化规律来判断． (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过__________来判断．知识点三解指数方程、不等式思考若a 1x ＜a 2 x ，则x 1，x 2的大小关系如何？梳理简单指数不等式的解法 (1)形如a f (x )＞a g (x )的不等式，可借助y ＝a x 的______________求解． (2)形如a f (x )＞b 的不等式，可将b 化为以a 为底数的指数幂的形式，再借助y ＝a x 的__________求解． (3)形如a x ＞b x 的不等式，可借助两函数y ＝a x ，y ＝b x 的图像求解．知识点四与指数函数复合的函数单调性思考 y ＝⎝⎛⎭⎫121 x 的定义域与y ＝1x 的定义域是什么关系？y ＝⎝⎛⎭⎫121 x 的单调性与y ＝1x 的单调性有什么关系？