北师大版高一数学必修1第三章《指数函数》

第三章 指数函数第1节 正整数指数函数知识点1：正整数指数函数的概念函数y=a x （a>0,1≠a +∈N x ）叫做正整数指数函数，其中x 是自变量，定义域是正整数集N +。

知识点2：正整数指数函数的图像特征及其单调性 1、正整数指数函数的图像是散点图；2、当1>a 时，在定义域上递增；当10<<a 时，在定义域上递减。

知识点3：指数型函数我们把形如xka y =（1,0≠>∈a a R x k ，、）的函数叫作指数型函数。

例：已知正整数指数函数f(x)的图像经过点（3,27）. （1）求函数f(x)的解析式； （2）求f （5）的值；（3）函数f(x)有最值吗？如有，试求出；若无，请说明理由。

第2节 指数扩充及其运算性质 知识点1：分数指数幂1、定义：给定正实数a ，对于任意给定的整数m ，n （m ，n 互素），存在唯一的正实数b ，使得mna b =，我们把b 叫作a 的nm次幂，记作n ma b =。

2、意义知识点2：无理数指数幂无理数指数幂αa （a>0，α是无理数）是一个确定的实数。

知识点3：实数指数幂及其运算性质1、当a>0时，对任意的R ∈α，αa 都有意义，且是唯一确定的实数。

2、实数指数幂的运算性质：对任意实数m 、n ，当a>0，b>0时，nm nma a a +=•；()mn nma a =；()n n nb a ab =。

知识点4：根式及其分数指数幂的运算 1、指数幂运算的常用技巧：（1）有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算； （2）负指数幂化为正指数幂的倒数；（3）底数是小数，要先化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质. 2、根式化简的步骤：（1）将根式化成分数指数幂的形式； （2）利用分数指数幂的运算性质求解. 3.根式的性质（其中n ∈N +，且n>1）； （1）当n 为奇数时，a a n n =；（2）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==0,0,||a a a a a a nn；（3）00=n ；（4）负数没有偶次方根。

例：（1）()5.0313297212527027.0⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-（2）3333b a a b b a ⨯÷知识点5：指数式条件求值问题的解法指数式条件求值问题的解题步骤：（1）审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的特点； （2）化简：化简已知条件与所求代数式；例：（1）已知42121=+-aa ，求21212323----aa a a 的值；（2）已知12=+y x ，9=xy ，且y x <，求21212121yx y x +-的值。

知识点6：运用指数幂运算公式解方程指数取值范围由整数扩展到有理数乃至实数，给运算带来了方便，我们可以借助指数运算法则轻松对指数进行变形，以达到代入消元等目的。

例：（1）已知a>0，b>0，且ab b a =，b=9a ，求a 的值； （2）已知2767=x ，81603=y，求yx 43-的值。

第3节 指数函数 知识点1：指数函数的定义函数xa y =叫作指数函数，在这个函数中，自变量x 出现在指数的位置上，底数a 是一个大于0且不等于1的常量，函数的定义域是实数集R 。

xx⎫⎛1（1）定义域为R ； 知识点3：指数函数的图像与部分性质一般地，当函数y=a x（a>0，a ≠1，x ∈R ）与函数xa y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1（即函数y=a -x）的自变量的取值互为相反数时，其函数值相等，这两个函数的图像关于y 轴对称。

例：若函数()xa y 12-=（x 是自变量）是指数函数，则a 的取值范围是 。

例：若指数函数()x f 的图像经过点（2,9），求()x f 的解析式及f(-1)的值。

知识点4：与指数函数有关的函数的定义域、值域1、求与指数函数有关的函数定义域的方法仍然是列不等式（组）、解不等式（组），只是在解含指数函数的不等式（组）时，可借助指数函数的图像.2、求与指数函数有关的函数值域的常见方法是换元法： （1）()x af y =型的函数.解决此类题可采用换元法，令xat =，利用函数()t f y =与指数函数xa t =（a>0，且a ≠1）综合求解. （2）()x f ay =型的函数.()x f ay =的定义域即()x f 的定义域。

求()x f ay =的值域可先求()x f 的值域，再利用指数函数ta y =（a>0，且a ≠1）的图像结合t=()x f 的范围求ta y =（a>0，且a ≠1）的范围。

例1：求下列函数的定义域：（1）xy ⎪⎭⎫⎝⎛-=211（2）153-=x y例2：求下列函数的值域：（1）()1011≠>+-=a a a a y xx 且 （2）124+-=xxy变式练习：已知函数()()⎩⎨⎧<+≥=3,13,2x x f x x f x ，求函数()x f 的值域。

知识点5：指数函数的图像及其应用指数函数是一类基本函数，由指数函数的图像可以衍生出很多函数的图像，处理此类函数图像问题的策略是∶（1）抓住特殊点∶指数函数的图像过定点（0，1），求指数型函数图像所过的定点时，一般情况下令指数为0，求出对应的y 的值，即可得函数图像所过的定点.（2）巧用图像变换∶函数图像的平移变换（左右平移上下平移），函数图像的对称变换（关于x 轴对称、关于y 轴对称）.利用图像可以解决方程、不等式等相关问题.例：已知方程2a=|a x-1|（a>0，且a ≠1）有两个不同的解，求a 的取值范围.变式练习： 函数()3241+-=+x xx f 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,21x 。

（1）设xt 2=，求t 的取值范围； （2）求函数f （x ）的值域。

知识点6：与指数函数有关的函数的单调性 1、函数()x f ay =（a>0，且a ≠1）的单调性的求法：①当a>1时，()x f ay =与y=f(x ）的单调性相同；2、函数y=f （xa ）（a>0且a ≠1）的单调性的求法：（1）当a>1时，y=f （x a ）与y=f （t ）的单调性相同；当O<a<1时，y=f （xa ）与y=f （t ）的单调性相反，即"同增异减"；（2）将y=f （t ）的单调区间转化为x 的区间，进而得到y=f （xa ）的单调区间， 3、底数对函数值变化快慢的影响：（1）当a>1时，指数函数xa y =是R 上的增函数，且当x>0时，底数a 的值越大，函数图像越"陡"，说明其函数值增长得越快.（2）当0<a<1时，指数函数x a y =是R 上的减函数，且当x<0时，底数a 的值越小，函数图像越"陡"，说明其函数值减少得越快. 4、比较两个指数幂的值的大小：（1）当两个指数幂的底数相同时，构造函数，运用函数的单调性作比较；（2）当两个指数幂不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入特殊值，常用的中间量有0和1. 例1：设6.06.0=a ，5.16.0=b ，6.05.1=c ，则a 、b 、c 的大小关系是 。

例2：求下列函数的单调区间： （1）32231+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y（2）17218212+⎪⎭⎫⎝⎛•-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xx y易错警示：利用y=f （u ）及u=g （x ）的单调性来解决函数y=f （g （x ））的单调性时，应将y=f （u ）的单调区间中的变量u 的范围转化为x 的范围，进而得到函数y=f （g （x ））的单调区间，解题时防止用中间变变式练习：已知定义在R 上的偶函数()x f 满足：当0≥x 时，()xxa x f 22+=，()251=f 。

（1）求实数a 的值；（2）用定义法证明()x f 在()+∞,0上是增函数； （3）求函数()x f 在[-1,2]上的值域。

知识点7：指数方程与不等式的解法 1.指数方程的解法： （1）对于()b a x f =（a>0，且a ≠1）型指数方程通常将方程两边化为同底指数幂的形式，用指数函数的单调性来解.（2）解复杂的指数方程时常用换元法，转化为解二次方程.用换元法时要特别注意"元"的范围，用二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍. 2.解指数不等式的基本方法：先化为同底指数式，再利用指数函数的单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响. 例1：解下列方程或不等式： （1）0123222=-⨯++x x（2）22113≤⎪⎭⎫⎝⎛-x例2：已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤=-4221|4x x A ，{}01811|2<+-=x x x B 。

（1）求()B A C R ；（2）已知{}1|+<<=a x a x C ，若B C ⊆，求实数a 的取值集合。

例3：已知函数523212+•-=-x x y（1）如果y<13，求x 的取值范围； （2）如果20≤≤x ，求y 的取值范围。

知识点8：指数函数的综合应用 1.指数函数在实际问题中的应用：（1）与实际生活有关的问题，求解时应准确读懂题意，从实际问题中提取出与指数函数有关的数学模型。

（2）在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N 、平均增长率为p ，则对于经过时间x 后的总量y 可以用xp N y )1(+=来表示，这是非常有用的指数型函数模型。

2.解决与指数函数性质有关的综合问题：（1）首先求出函数的定义域，解答指数型函数问题时注意应在函数的定义域内进行. （2）由于指数函数的单调性与底数有关，因此要注意对底数含有参数的指数型函数进行讨论.例1：某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常.排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64 ppm （ppm 为浓度单位，1ppm 表示百万分之一），再过4分钟又测得浓度为32ppm.经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y （ppm ）与排气时间t （分钟）之间存在函数关系mtc y ⎪⎭⎫⎝⎛=21（c ，m 为常数）。

（1）求 c ，m 的值；（2）若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm 为正常，问至少排气多少分钟才能使这个地下车库中一氧化碳的含量达到正常状态?解题模板：已知函数类型可先用待定系数法求出解析式，再利用解析式解决其他问题，解题时要注意指数函数的底数对解题的影响. 能力提升综合练习题： 1、已知函数()bax xx f ++=22，且()251=f ，()4172=f 。