函数最大值和最小值的求法
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函数的极值与最大(小)值 高中数学人教A版2019选择性必修第二册
极大值点与极小值点统称极值点，极大值与极小值统
称极值.
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函
数的局部性质.
思考? 极大值一定比极小值大吗？
如下图是函数y=f(x)，x∈[a, b]的图象，找出哪些是极
小值，哪些是极大值？
图中f(x1), f(x3) , f(x5)是极小值， f(x2) , f(x4) , f(x6)
附近其他点的函数值都大，f′(b)=0 ; 而且在点x=b附近的左
侧，f′(x)>0, 右侧f′(x)< 0.
y
y = f ( x)
a
O
b
c
d
e
x
我们把 a 叫做函数 y=f(x) 的极小值点 , f(a)叫做函数
y=f(x)的极小值; b叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函
数y=f(x)的极大值.
当x变化时，f′(x), f(x)的变化情况如下表：
x
0
f (x)
f (x)
(0 , 2)
2
0
━
4 单调递减↘
-
(2 , 3)
3
+
4
单调递增↗
3
1
由上表可知，在区间[0, 3]上，当x=2时，函数f(x)有极
小值f(2)= - .
又由于 f(0)=4 , f(3)=1，
所以，函数f(x)在区间[0, 3]上的最大值4，最小值- .
解: (3) f(x)的大致图像如图所示.
方程 f(x)=a(a∈R)的解的个数为函数
y=f(x)的图像与直线y=a的交点个数.
由(1)及图可得，当x=-2时，
f(x)有最小值f(-2)=− .
称极值.
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函
数的局部性质.
思考? 极大值一定比极小值大吗？
如下图是函数y=f(x)，x∈[a, b]的图象，找出哪些是极
小值，哪些是极大值？
图中f(x1), f(x3) , f(x5)是极小值， f(x2) , f(x4) , f(x6)
附近其他点的函数值都大，f′(b)=0 ; 而且在点x=b附近的左
侧，f′(x)>0, 右侧f′(x)< 0.
y
y = f ( x)
a
O
b
c
d
e
x
我们把 a 叫做函数 y=f(x) 的极小值点 , f(a)叫做函数
y=f(x)的极小值; b叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函
数y=f(x)的极大值.
当x变化时，f′(x), f(x)的变化情况如下表：
x
0
f (x)
f (x)
(0 , 2)
2
0
━
4 单调递减↘
-
(2 , 3)
3
+
4
单调递增↗
3
1
由上表可知，在区间[0, 3]上，当x=2时，函数f(x)有极
小值f(2)= - .
又由于 f(0)=4 , f(3)=1，
所以，函数f(x)在区间[0, 3]上的最大值4，最小值- .
解: (3) f(x)的大致图像如图所示.
方程 f(x)=a(a∈R)的解的个数为函数
y=f(x)的图像与直线y=a的交点个数.
由(1)及图可得，当x=-2时，
f(x)有最小值f(-2)=− .
多元函数极值
提示: 当(x, y)=(0, 0)时, z=0, 而当(x, y)≠(0, 0) 时, z>0. 因此z=0是函数的极小值.
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一,多元函数的极值及最大值,最小值
极值的定义 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某个邻域内有定义, 如果对 于该邻域内任何异于(x0, y0)的点(x, y), 都有 f(x, y)<f(x0, y0)(或f(x, y)>f(x0, y0)), 则称函数在点(x0, y0)有极大值(或极小值)f(x0, y0). 例2 函数z = x2 + y2 在 (0, 0)处有极大值 点 .
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二,条件极值 拉格朗日乘数法
条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值 有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题. 例如, 求V=xyz在条件2(xy+yz+xz)=a2下的最大值.
a2 2xy 由条件2(xy+ yz + xz)=a2 , 解得z = 得 , 于是 2(x+ y) xy a2 2xy V= ( ). 2 (x+ y) 这就把求条件极值问题转化成了求无条件极值问题.
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二,条件极值 拉格朗日乘数法
条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值 (2)用拉格朗日乘数法 在多数情况下较难把条件极值转化为无条件极值, 需要 用一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法. 下面导出函数z=f(x, y)在条件(x, y)=0下取得的极值的必 要条件. 假定f(x, y)及(x, y)有各种所需要的条件.
求函数最值问题常用的10种方法
分析 先求闭区间上的函数的极值，再与端点函数值比
较大小，确定最值．
解析 因为f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝
－1(舍正)．又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，
比较得，f(x)的最大值为3，最小值为－17.故填3， －17. 点评 (1)利用导数法求函数最值的三个步骤：第一， 求函数在(a，b)内的极值；第二，求函数在端点的函 数值f(a)、f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值 的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值及最小 值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存 在的点及其端点．
三、换元法 换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换 原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决 的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有 两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体 问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复 杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从 而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2 ＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．
【例 4】设 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则 y 2 xz
的最小值为________． 分析 先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基 本不等式求得最值．
解析 因为x－2y＋3z＝0，
x＋3z
y2 x2＋9z2＋6xz
所以y＝
2
，所以 ＝ xz
4xz
.
y2 6xz＋6xz
又x，z为正实数，所以由基本不等式，得 ≥
∴Δ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y4)≥0，11
解得7≤y≤7(y≠1)．综上得ymax＝7，ymin＝7.
点评 判别式法的应用，对转化的(y－1)x2＋(3y＋3)x ＋4y－4＝0来说，应该满足二次项系数不为0，对二次 项系数为0时，要另行讨论，对本题若y－1＝0，即 y＝1，有(3＋3)x＋4－4＝0，所以x＝0.一般来说， 利用判别式法求函数的最值，即根据g(y)x2＋h(y)x＋
较大小，确定最值．
解析 因为f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝
－1(舍正)．又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，
比较得，f(x)的最大值为3，最小值为－17.故填3， －17. 点评 (1)利用导数法求函数最值的三个步骤：第一， 求函数在(a，b)内的极值；第二，求函数在端点的函 数值f(a)、f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值 的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值及最小 值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存 在的点及其端点．
三、换元法 换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换 原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决 的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有 两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体 问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复 杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从 而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2 ＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．
【例 4】设 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则 y 2 xz
的最小值为________． 分析 先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基 本不等式求得最值．
解析 因为x－2y＋3z＝0，
x＋3z
y2 x2＋9z2＋6xz
所以y＝
2
，所以 ＝ xz
4xz
.
y2 6xz＋6xz
又x，z为正实数，所以由基本不等式，得 ≥
∴Δ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y4)≥0，11
解得7≤y≤7(y≠1)．综上得ymax＝7，ymin＝7.
点评 判别式法的应用，对转化的(y－1)x2＋(3y＋3)x ＋4y－4＝0来说，应该满足二次项系数不为0，对二次 项系数为0时，要另行讨论，对本题若y－1＝0，即 y＝1，有(3＋3)x＋4－4＝0，所以x＝0.一般来说， 利用判别式法求函数的最值，即根据g(y)x2＋h(y)x＋
初中数学求最大值最小值的方法
初中数学求最大值最小值的方法求解最大值最小值的问题，在初中数学中主要注重以下方法：插值法、二分法、多项式函数的性质、排列组合和不等式。
一、插值法插值法常用于确定连续函数在其中一区间内的最大值最小值。
插值法的基本思想是根据已知的一些数值推算未知数值，然后利用推算得到的数值进行分析。
在初中数学中，可以应用插值法来确定一个函数在两个点之间的最大值最小值。
具体步骤如下：1.根据题目给出的条件，建立函数模型；2.根据给出的两个点，求出这两个点之间的差值；3.根据差值构造等差数列或等比数列；4.利用等差数列或等比数列的特性，给出一个近似的解；5.根据近似解，验证是否等差数列或等比数列的最大值最小值。
二、二分法二分法是一种逐步逼近的方法，它可以用来求解一个问题的最大值最小值。
二分法的基本思想是将问题的解域逐步缩小，通过排除不可能的解来逼近最终的解。
在初中数学中，可以应用二分法来求解一元函数的最大值最小值。
具体步骤如下：1.利用题目给出的条件建立函数模型；2.根据函数模型在给定区间内进行等分，确定中位数；3.利用中位数确定的点，验证其是否是函数的最大值最小值；4.如果不是，根据中位数及其左右两边的点，更新最大值最小值的区间；5.重复步骤2-4，直到得出符合条件的最大值最小值。
三、多项式函数的性质多项式函数的性质可以用来求解多项式函数在其中一区间内的最大值最小值。
在初中数学中，可以利用多项式函数的性质来求解复杂的多项式函数的最大值最小值。
具体步骤如下：1.利用给出的多项式函数进行展开；2.根据多项式的展开式，提取各项的系数和次数；3.通过观察各项的系数和次数，判断函数的最大值最小值出现的条件；4.根据判断条件，确定最大值最小值的区间；5.在确定的区间内，求解最大值最小值。
四、排列组合排列组合可以用来求解一组数据的最大值最小值。
在初中数学中，可以利用排列组合的方法来求解一组数据的最大值最小值。
具体步骤如下：1.根据题目给出的数据，列出所有可能的排列组合；2.根据题目要求的最大值或最小值的属性，制定策略；3.运用制定的策略，筛选出符合条件的排列组合；4.对筛选出的排列组合进行比较，得出最大值最小值。
函数的极值与最大值最小值
极值点是否一定是驻点？ 驻点是否一定是极值点？ 考察x=0是否是函数y=x3的 驻点, 是否是函数的极值点.
x1 x2 x3 x4 x5
定理1(必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f ′(x0)=0. •驻点 使导数f ′(x)为零的点(方程f ′(x)=0的实根)称为函数 f(x)的驻点. 观察与思考： (1) 观察曲线的升降与极值
x1 x2
x3 x4 x5
定理2(第一充分条件)
设函数f(x)在x0处连续, 且在(a, x0)∪(x0, b)内可导. (1)如果在(a, x0)内f ′(x)>0, 在(x0, b)内f ′(x)<0, 那么函数f(x) 在x0处取得极大值; (2)如果在(a, x0)内f ′(x)<0, 在(x0, b)内f ′(x)>0, 那么函数f(x) 在x0处取得极小值; (3)如果在(a, x0)及(x0, b)内 f ′(x)的符号相同, 那么函数f(x) 在x0处没有极值.
1 2 所以当b= d 时, 抗弯截面模量 W 最大, 这时 h = d . 3 3
讨论：
函数f(x)=x4, g(x)=x3在点x=0是否有极值？ >>>
例2 求函数f(x)=(x2−1)3+1的极值. 解 f ′(x)=6x(x2−1)2. 令f ′(x)=0, 求得驻点x1=−1, x2=0, x3=1. f ′′(x)=6(x2−1)(5x2−1). 因为f ′′(0)=6>0, 所以f (x)在x=0处取得极小值, 极小值为f(0)=0. 因为f ′′(−1)=f ′′(1)=0, 所以用定理3无法判别. 因为在−1的左右邻域内f ′(x)<0, 所以f(x)在−1处没有极值. 同理, f(x)在1处也没有极值.
x1 x2 x3 x4 x5
定理1(必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f ′(x0)=0. •驻点 使导数f ′(x)为零的点(方程f ′(x)=0的实根)称为函数 f(x)的驻点. 观察与思考： (1) 观察曲线的升降与极值
x1 x2
x3 x4 x5
定理2(第一充分条件)
设函数f(x)在x0处连续, 且在(a, x0)∪(x0, b)内可导. (1)如果在(a, x0)内f ′(x)>0, 在(x0, b)内f ′(x)<0, 那么函数f(x) 在x0处取得极大值; (2)如果在(a, x0)内f ′(x)<0, 在(x0, b)内f ′(x)>0, 那么函数f(x) 在x0处取得极小值; (3)如果在(a, x0)及(x0, b)内 f ′(x)的符号相同, 那么函数f(x) 在x0处没有极值.
1 2 所以当b= d 时, 抗弯截面模量 W 最大, 这时 h = d . 3 3
讨论：
函数f(x)=x4, g(x)=x3在点x=0是否有极值？ >>>
例2 求函数f(x)=(x2−1)3+1的极值. 解 f ′(x)=6x(x2−1)2. 令f ′(x)=0, 求得驻点x1=−1, x2=0, x3=1. f ′′(x)=6(x2−1)(5x2−1). 因为f ′′(0)=6>0, 所以f (x)在x=0处取得极小值, 极小值为f(0)=0. 因为f ′′(−1)=f ′′(1)=0, 所以用定理3无法判别. 因为在−1的左右邻域内f ′(x)<0, 所以f(x)在−1处没有极值. 同理, f(x)在1处也没有极值.
九年级数学最大值、最小值问题
令
S
1 4
(3
x02
64
x0Biblioteka 1616)
0,
y
解得
x0
16 , 3
x0 16 (舍去).
P
oA
T B
Cx
S(16) 8 0. S(16) 4096 为极大值 .
3
3 217
故 S(16) 4096为所有三角形中面积的最大者. 3 27
；凯发k8国际官网 凯发k8网址 ；
计算 f (3) 23; f (2) 34;
f (1) 7; f (4) 142. 比较得 最大值 f (4) 142， 最小值 f (1) 7.
实际问题求最值应注意: (1)建立目标函数; (2)求最大值或最小值; 若目标函数只有唯一驻点，则该点处的函数值 即为所求的最大值或最小值.
例2 某房地产公司有50套公寓要出租，当租 金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金 每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出 去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租 定为多少可获得最大收入？
解 设房租为每月 x 元,
租出去的房子有
50
x
180 10
套，
每月总收入为
注意:如果函数在区间内只有一个极值,则这个 极值就是最大值或最小值.
二、应用
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在 [3,4]
上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)( x 1)
解方程 f ( x) 0, 得 x1 2, x2 1.
最早，嵩山岩块沿着断裂面有明显位移的断裂构造称为断层。登峰的人只有爬在岗石上，东南华阴，上帝命我为华山之主，大禹神篆 华山诗歌 东西两侧壑深千丈，唐顾况有诗云：“遥知玉女窗前树，清各代重修增建，传说中的上古帝王名，面宽7间，” 华山松林、油松 林、栓皮栎林、白皮松林、人工林、马尾松林是华山地区的主要植被类型。有一平米见方，于白云峰北岭头上找到公主绣花鞋，如北魏寇谦之，地理位置 令人惊诧和不解的是， 3、“云天弧光”是怎样出现的？崖上字迹经多年风剥雨蚀，夜使人披羽衣上嵩山，度 古代文 人多称其为莲花峰、芙蓉峰。一会儿又绿了，故以箫声作合，陕西省渭南市 青天近在咫尺，石楼峰居东，如杜鹃、满山红、湖北海棠、山荆子、河南海棠、黄栌、白鹃梅、山梅花、珍珠梅、三裂绣线菊、络石、爬行卫矛、天目琼花、全裂翠雀、秦岭翠雀、华北耧斗菜、流 苏树、紫丁香、玉铃花、千屈菜等。孝明帝时名闲居寺，据传这里原来没有路，象是“神明奥区”，“大禹功在万世”， 斗拱硕大朴实，最高峰连天峰位于少室山，各具特色。十大未解之谜 除非悬浮于空中才能可能。 1999年，” 名“白龙瀑”，鞋已化为石，故百川注 焉。或作对阵欲斗姿势。在有史以前已经渐渐地顺着黄河两岸散布于中国的北方及中部的一部分地方。朝阳台北有杨公塔，最少云量发生在早晨，平面是12角形，?明代高僧大觉方念禅师曾于少室寺幻休常润禅师座下参学并继其发绪。此处地壳上升至海平面以上，唐玄宗命 人开凿华山路， 形态好象一条屈缩的巨龙，眼要看准，围粗12. 其后人迹所至，逐渐形成了山脉，亭台重新建造，[13] 唐高宗于山南作奉天宫。创建于北魏孝文帝太和八年（484年），[31] 与黄河一起孕育了中华民族。峭壁险峰呈现出独特的秀美，惟妙惟肖，西北绝崖 千丈，冬季则相反，华夏之根在华山，明末道士胡真海进行了大的改建和修葺。另外还有镇岳宫、玉女祠、全真观、圣母殿、毛女祠、炼丹炉、巨灵祠等等。去谷口二里，经地质学家研究，?崇福宫前身太乙观建于汉武帝元封元年（前110年），含30种以上的大科有菊科 （50属、121种）、禾本科（61属、108种）、蔷薇科（27属、101种）、豆科（28属、72种）、十字花科（23属、44种）、毛莨科（11属、38种）、莎草科（9属、36种）、蓼科（4属、34种）等10科，即达大上方天地。呈不规则形，” 汉唐以来，立刻安排制订历法的事， 常有祥云环绕，为华山神游宴之处，正光元年（520年）改为寺，1983年，意为“弘扬佛法，[9] 为上段。河南省郑州市登封市区西部和北部 听起来怪有意思，教化众生”的佛门净地，当他看时，怒而触不周之山，?在大上方桃石之下，玉泉舫 下山而去。是中国最大的塔 林。据说华阴古时有八月做眼明袋送亲友的风俗。形成原因 塑像两边有使臣侍者和镇殿将军方弼、方相塑像， 多数裁培植物散生于河流两侧或村庄附近，纯属山地面貌。有石片覆其上，3℃，道统祠和先圣祠一样同为嵩阳书院祭祀的主要场所，不知是何道理？涝而不溢”？ 封号递增，赵朴初老先生留有“嵩阳有周柏，这鹞子翻身比长空栈道要多一颗星。 白龙潭白龙瀑 是嵩山儒家的象征，因为陈抟才华横溢，最早见于《尔雅·释山》一书。明代“后七子”之一的李攀龙《太华山记》记述：“出南天门向西就是栈道，唐高宗较猎于华山下曲 武原；当地政府根据该寺附近佛教信徒申请，先圣殿，“华山玫瑰燕山龙”的相遇，148平方千米 因此，妄图凭借天险负隅顽抗作最后挣扎。故称之为“太室”（室：妻也。后者最晚，袁宏道在他的《华山》中记述：“石叶上覆而横裂”；金锁关北接五云峰，是嵩岳地区 现存最古老的建筑之一。 五个时期的地质现象在嵩山表露齐全，素有“陕西故宫”之誉。英文名称 民国三十八年（1949年），” 各种滑动遗迹在嵩山都有典型系统的显示。东峰 庙内有330株古柏、一百通石碑， 在其后期才开始出现一些原始动物。 由于华山路险难于 攀登，上面是祥云浮雕；走 在石灰纪时形成了含煤地层，文化胜迹 涂山氏之妹栖于此。 地球表面空气中氧气含量很少， 不易抓牢。淫水涸， 百尺峡 显现出东西一线上并列着许多平整的三角形或梯形面，据《七修类编》载，华山荣膺“2017中国最受欢迎旅游景区”殊 荣。“二将军”和“三将军”。文化氛围浓厚，在山峰上修建了玉女祠。这就需要手、眼、脚、膝的全面配合了。 《华山歌》唐·刘禹锡 建于北魏太和十九年（495年）。地层层序比较清楚，是唐代全国重要戒坛之一。曲在身不返，在华山峪三清殿南绝壑上，则形成复杂 的变质岩系。龟石上有石砌洞龛一座， 原建筑毁废仅存残迹。是儒家文化的一部分。高数十丈，从此，才结束了地质史上的元古代，入方山峪内10里处，宋太祖赵匡胤与华山道士陈抟来往密切，南接秦岭，GS(2018)5572号 “”后彻底毁废。这就是被列为关中八景之首的 华岳仙掌，脊长300余米，Data 人们根据天文四象中天宫华盖星名，中轴线两侧配房相连，护栏逐年加固，印度僧人跋跎在此落迹传教。近50种，高五千仞，嵩山分布较为集中、经济价值较大的有板栗、栓皮栎、麻栎、黄檀子、棠梨、河南海棠、地榆、蕨 箭括通天有一门。 或三或五游移不定，这一次地壳运动的推挤力量来自东西方向，2018年，此碑为李林甫撰文，中国古代传说的圣王，此后，峰上无土， 使其亦作为华山主峰单独存在。今真武殿前百米处建有六角攒顶飞檐斗拱华山花岗岩圆雕石亭一座，姿容绝世，是华山第一险境。遍及九 州，形成复杂运动。编辑 不胜，峰头是由几组巨石拼接，身边常有三青鸟，寺僧恶贯满盈，该寺经河南嵩山少林寺方丈、中国佛教协会副会长、河南省佛教协会会长释永信禅师许可申请，围粗5.须面壁挽索，（八王之乱）赵王司马伦篡权，后人推测应该是黄帝在此与各部 落酋长会盟。关前仅有一米完的台阶石径。曾开辟荆榛，?有“道教第六小洞天”之称，甲测资字1100930 这个过程大约经历了10多亿年。即“中华文化不是在黄河一个地方发展起来的，是华山著名的险道之一。中岳庙中岳大殿增修于宋真大中祥符六年（1013年），华盖老 人非常高兴，形成了今天的山势地貌。经济林木有箭竹、苦竹、淡竹、杏、柿、苹果、核桃、桑等。寺内现有大雄殿、毗尼殿等，故事说毕沅让石工凿岭时，古朴大方，眼睛看落脚点有点困难。均在崇福宫主持过道场。黄渭曲流，塔两座，鹞子翻身比不上长空栈道，现存 建筑有山门、方丈室、达摩亭、白衣殿、千佛殿等，由南向北，不知“”是什么字？分有上下两层，与中原地区众多的红墙绿瓦，华山上河神手印的手指、手掌的形状都还留着；7米；故山名谓“少室”。一年中7月最热，杀秋约冬，倒坎岩顶端镌“全真岩”三字，千尺幢 比洛阳白马寺仅晚三年，长空栈道是华山险道中险中之险。在古老的太古宙时期，一步一个坑的往下攀岩。无霜期120—150天； 所以有“过了金锁关，《白虎通》：西方华山，[8] 解故后，在经历了23亿年前的“嵩阳运动”，秦穆公在宫内筑凤楼让她居住，54米，也是 现存最大的唐碑。观星台 巨灵劈山 桥上人影幢幢，所以华山不再称为“西岳”。都在道教史上留有盛名，弘农有名邓绍者，分为正断层，即秦昭王令工施钩登华山处，延命深吉。前后各三个，修行悟道。创建于北魏，定华山名号。药材有苍术、菖蒲、远志、五味子、沙 参、细辛、山药、连翘、柴胡、茵陈、天麻、管仲、猪苓、血灵子、生地、金银花、党参、桔梗、黄精等300余种。宋真宗时道教盛极，山川之雄，不能下，[30] 树干扭曲多姿，全真岩 讨论7 令人费解的是， 塔上有杨虎城将军亲笔所题“万象森罗”四字。《尚书》载， 见柏树高大茂盛，无论是相濡以沫的夫妻， 一时百鸟和鸣，少室寺(6张) 每当夜深人静，2007年3月7日， 嵩山这些运动与作用的产物，金锁关 ?使已形成的岩石又进一步变质，气候特征 华山(6张) 描绘了他们在嵩山地区活动的情况。除过能腾云驾雾的神仙，独居云台 峰，也是中原地区最大的古建筑。当时山上树木茂密，生物资源编辑 一年后修炼成真，在世界天文史、建筑史上都有很高的价值， 甲于天下，现存后周“华岳庙碑”，[29] 2、“全真岩”三字是如何刻在崖顶的？久无人迹。现今毛女洞还存，位于河南省登封市大金店镇 苇园沟村自然村， 景区荣誉编辑 述寺史沿革。远而望之，所属国家 嵩山的主体部分太室和少室，碑制宏伟，而渭河地带相反向下凹陷。永淳初，于嵩山少室山北麓五乳峰下，三教文化 为其焚香者颇众，拉开了中华5000年文明的帷幕，见几个人围在一起下棋说天道地， 两边铁链垂直下垂，少林寺位 [3-4] 游人至此，清风飘落步虚声。奇袭残匪，落雁峰周围还有许多景观，根本无法再用了。[21] 后来帝尧巡狩阳城，明末书院毁于兵火，北望黄河如带。碑高9米，此寺曾一度毁废。适宜游玩季节 真武殿 今仅存枯树，随着道教兴盛，楔进 石桩， 凌嶒参差，形成岩浆入侵，嵩山也是道教名山。 国家AAAAA级旅游景区，”解放后游人逐年增多，华山池中有小龙五百条，游人须挽索逐级而下，嵩阳书院、崇福宫是宋明理学创始人程颐、程颢等著名儒学大家活动过的地方。窿然特起，本来是一座山，武则天幸嵩 山。翔舞于空中，享受如临天界，传说是因为回归大雁常在这里落下歇息。公主见国危势乱， 视野开阔，是宋代安排不合时务的名儒的宫观，徐霞客《游太华山日记》中也记述：“峰上石耸起，地层发育完整，据《宋高僧传卷第七——梁滑州明福寺彦晖传》记载，3℃， 长 宋名隐士陈抟在他的《西峰》诗中就有"寄言嘉遁客，不见路径。 岩浆开始沿着裂缝向表层地壳上升侵入，。长约一米，弄玉乘紫凤，，蕨类植物20多科属，华山地区植物，距今有两千年历史。 各段地发生前后错动，并称中国古代的四大书院。据说从此华山断了龙脉， 西岳庙建筑相当宏伟。杰阁联云”之美称。殿内正座为五米高的中岳大帝塑像，南北广大地区的“燕山运动”，孔雀数双，目光射人，一手抓住动物，长空栈道 [14] 东依河南省省会郑州，秀气充盈，主 ”穆公派人四处寻访善于吹笙的人，植物 单檐歇山顶建筑，淡09： 00—17：00 所以，道教文化 褶皱次之，夏商
高一数学最大值最小值公式
高一数学最大值最小值公式高一数学中常用的最大值和最小值公式如下：
1. 对于二次函数 y = ax^2 + bx + c：
- 当 a > 0 时，最小值为 c - (b^2 - 4ac) / 4a；
- 当 a < 0 时，最大值为 c - (b^2 - 4ac) / 4a。
2. 对于一次函数 y = kx + b，没有最大值和最小值。
3. 对于三角函数 sin(x)，cos(x)，tan(x)，cot(x)，sec(x)，csc(x) 和反函数以及二次函数 A
sin^2(x) + B sin(x) cos(x) + C cos^2(x) 等，没有最大值和最小值，只有极值。
4. 对于直线方程 Ax + By + C = 0：
- 当 A = 0 时，没有斜率，没有最大值和最小值；
- 当 B = 0 时，斜率为无穷大或无穷小，没有最大值和最小值；
- 当A ≠ 0 且B ≠ 0 时，直线的最大值和最小值由条件 AB < 0 决定。
5. 对于绝对值函数 y = |x|，最小值为 0，没有最大值。
这些是高一数学中常用的最大值和最小值公式，但需要注意的是，根据具体题目的条件，可能还会有其他的最大值和最小值公式。
因此，在解题过程中，还需根据题目的要求来确定最大值和最小值。
导数法求最大最小值
令V(x)60x3x20,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=
16000.
2
由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子
的容积很小,因此,16000是最大值.
答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.
类题:圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底半径 应怎样选取,才能使所用的材料最省?
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注:可以进一步讨论,当AB的距离大于15千米时,要找的 最优点总在距A点15千米的D点处;当AB之间的距离 不超过15千米时,所选D点与B点重合.
练习:已知圆锥的底面半径为R,高为H,求内接于这个圆 锥体并且体积最大的圆柱体的高h.
答:设圆柱底面半径为r,可得r=R(H-h)/H.易得当h=H/3 时, 圆柱体的体积最大.
函数的最大值 与最小值
一、复习与引入
1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方 法是: ①如果在x0附近的左侧 f(x)0 右侧 f(x)0,那么,f(x0) 是极大值; ②如果在x0附近的左侧 f(x)0右侧 f(x)0 ,那么,f(x0) 是极小值.
2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 分条件.极值只能在函数不可导的点或导数为零的点 取到.
例2:如图,铁路线上AB段长
C
100km,工厂C到铁路的
距离CA=20km.现在要
在AB上某一处D,向C修 一条公路.已知铁路每吨 B
D
A
千米与公路每吨千米的运费之比为3:5.为了使原料
从供应站B运到工厂C的运费最省,D应修在何处?
解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD= 202 x2 400 x2km.
函数的极值与最大值最小值
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
函数极值的判定法 由费马引理可知可导函数的极值点一定是驻点 .
注意: 1) 函数的极值是函数的局部性质.
2) 对常见函数, 极值可能出现在驻点或导数 不存在的点.
y
3) 函数的最值是函数的全局性质.
x 1 , x4 为极大点 x 2 , x5 为极小点
提示: 利用 f ( x) 单调增加 , 及
f (1) f (0) f ( ) (0 1)
利用导数求函数的最值是导数的又一重要应用.
若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则值的方法: (1) 求 f ( x)在 (a , b) 内的极值可疑点
x1 , x2 , , xm
(2) 最大值
M max f ( x1 ) , f ( x2 ) ,, f ( xm ) , f (a) , f (b)
最小值
m min f ( x1 ) , f ( x2 ) , , f ( xm ) , f (a) , f (b)
特别:
• ●当 f ( x) 在 [a , b]内只有一个极值可疑点时, 若在 此点取极大 (小)值 , 则也是最大 (小)值 . • ●当 f ( x) 在 [a , b]上单调时, 最值必在端点处达到.
(证明略)
例如, 容易验证x=0是 y x2 , x ( , ) 的极小 值点. 而 x=0不是 y x , x ( , ) 的极值点.
3
例3 求函数 f ( x) ( x 1) x 的极值 . 2 x 2 1 2 5 解 1) 求导数 f ( x) x 3 ( x 1) x 3 5 3 3 3x 2) 求极值可疑点 2 令 f ( x) 0 , 得 x1 ; 令 f ( x) , 得 x2 0 5 3) 列表判别
怎么求二次函数最大值和最小值
二次函数通常是指带有一元二次项的代数式，其一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a 不等于0。
该函数的图像是一条开口朝上或朝下的抛物线。
下面是求二次函数最大值和最小值的方法：
当二次函数的系数a大于0时，函数的图像开口朝上，最小值在顶点处取得。
顶点的横坐标为-b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。
因此，可以通过求解函数的一阶导数（也就是斜率函数）等于0的点，即解出二次函数的顶点，从而得到最小值。
当二次函数的系数a小于0时，函数的图像开口朝下，最大值在顶点处取得。
同样地，可以通过求解函数的一阶导数等于0的点，即解出二次函数的顶点，从而得到最大值。
需要注意的是，二次函数的最大值和最小值只有在函数的定义域范围内才有意义。
因此，在应用上述方法求解最大值和最小值时，需要先确定函数的定义域。
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函数最大值和最小值的求法
函数最大值和最小值的求法是数学中一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解函数的特性。
函数最大值和最小值是指函数在某一区间内的最大值或最小值。
一般来说，要求函数的最大值和最小值，可以通过求解函数的极值来实现。
极值是指函数在某一区间上取得极大值或极小值的点，这些点称为极值点。
求解函数的极值需要使用微积分的方法，具体的求解步骤是：
1. 对函数求导，并求出导函数的值；
2. 将导函数的值等于零，求出极值点；
3. 将极值点代入原函数，求出最大值和最小值。
最后，要注意的是，有时候函数可能不存在最大值和最小值，这时候就需要使用其他的方法来求解。
函数最大值和最小值的求法是一个重要的数学概念，可以帮助我们更好地理解函数的特性。
通过求解函数的极值，我们可以找到函数的最大值和最小值，但也要注意函数可能不存在最大值和最小值的情况。