初中数学九年级上册菱形的判定专项练习题
1.1 菱形的性质和判定 课时练习(含答案解析)
北师大版数学九年级上册第一章第一节菱形的性质与判定课时练习一、单选题（共15题）1.如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接△EF，则的AEF的面积是（）A．43B．33C．23D．3答案：B解析：解答：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠B=∠D=60°，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴BC×AE=CD×AF，∠BAE=∠DAF=30°，∴AE=AF，∵∠B=60°，∴∠BAD=120°，∴∠EAF=120°-30°-30°=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF，∠AEF=60°，∵AB=4，∴AE=23∴EF=AE=23过A作AM⊥EF，∴AM=AE•sin60°=3，∴△AEF的面积是：11EF AM=×23×3=3322故选：B．分析:首先利用菱形的性质及等边三角形的判定可得判断出△AEF是等边三角形，再根据三角函数计算出AE=EF的值，再过A作AM⊥EF，再进一步利用三角函数计算出AM的值，即可算出三角形的面积2.如图，在菱形ABCD中，AB=8，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF，过点E作EG ∥AD交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O．当四边形AEOF 与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为（）A．6.5B．6C．5.5D．5答案：C解析：解答:∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC=AB=CD，AD∥BC，AB∥CD，∵EG∥AD，FH∥AB，∴四边形AEOF与四边形CGOH是平行四边形，∴AF=OE，AE=OF，OH=GC，CH=OG，∵AE=AF，∴OE=OF=AE=AF，∵AE=AF，∴BC-BH=CD-DG，即OH=HC=CG=OG，∴四边形AEOF与四边形CGOH是菱形，∵四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12，∴4AE-4（8-AE）=12，解得：AE=5.5，故选C分析:根据菱形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，推出平行四边形ABHF、AEGD、GCHO，得出AF=FO=OE=AE和OH=CH=GC=GO，根据菱形的判定得出四边形AEOF与四边形CGOH是菱形，再解答即可3.如图，BD是菱形ABCD的对角线，CE⊥AB交于点E，交BD于点F，且点E是AB中点，则tan∠BFE的值是（）A．123B．2C．D．33答案：D解析：解答:∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵CE⊥AB，点E是AB中点，∴BE=12BC∴∠ABC=60°，∴∠EBF=30°，∴∠BFE=60°，∴tan∠BFE的值为3故选D．分析:首先利用菱形的性质得出AB=BC，即可得出∠ABC=60°，再利用三角函数得出答案4.如图，菱形中，对角线A C、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（）A．3.5B．4C．7D．14答案:A解析：解答:∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE=11AB=×7=3.5．22故选A．分析:根据菱形的四条边都相等求出AB，再根据菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OE是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可5.如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD的面积是（）A．18B．183C．36D．363答案:B解析：解答:过点A作AE⊥BC于E，∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，∴∠ABC=60°∴∠BAE=30°，∵AE⊥BC，∴AE=33∴菱形ABCD的面积是6×33=183故选B分析:本题考查了菱形的邻角互补的性质，作辅助线求出菱形边上的高线的长度是解题的关键6.如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC的长等于（）A．63米B．6米C．33米D．3米答案:A解析：解答:∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AB=BC=CD=AD=24÷4=6（米），∵∠BAD=60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD=AB=6（米），OD=OB=3（米），在△Rt AOB中，根据勾股定理得：OA=62-32=33（米），则AC=2OA=63米，故选A．分析:由四边形ABCD为菱形，得到四条边相等，对角线垂直且互相平分，根据∠BAD=60°得到三角形ABD为等边三角形，在直角三角形ABO中，利用勾股定理求出OA的长，即可确定出AC的长7.如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（-3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数y=kx（x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为（）A．-12B．-27C．-32D．-36答案:C解析：解答：解：∵A（-3，4），∴OA=32+42=5，∴CB=OC=5，则点B的横坐标为-3-5=-8，故B的坐标为：（-8，4），将点B的坐标代入y=k k得，4=x8解得：k=-32．故选C．分析:根据点A的坐标以及菱形的性质求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出k的值即可8.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF=3，BD=4，则菱形ABCD的周长为（）A．4B．43C．47D．28答案:C解析：解答:∵E，F分别是AB，BC边上的中点，EF=3∴AC=2EF=23∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=11AC=3，OB=BD=2，22∴AB=AO2BO2=7∴菱形ABCD的周长为47故选：C．分析:首先利用三角形的中位线定理得出AC，进一步利用菱形的性质和勾股定理求得边长，得出周长即可9.菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直答案:D解析：解答:A.不正确，两组对边分别平行；B.不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确，；C.不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；D.菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．故选D．分析:根据菱形的特殊性质可知对角线互相垂直10.某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为2.5m）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（）A．20m B．25m C．30m D．35m答案:C解析：解答:如图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成，∴∠FGM=∠GMN=120°，GM=GF=EF，∴∠BMG=∠BGM=60°，∴△BMG是等边三角形，∴BG=GM=2.5（m），同理可证：AF=EF=2.5（m）∴AB=BG+GF+AF=2.5×3=7.5（m），∴扩建后菱形区域的周长为7.5×4=30（m），故选：C．分析△:根据题意和正六边形的性质及等边三角形的性质得出BMG是等边三角形，再根据正六边形的边长得出BG=GM=2.5m，同理可证出AF=EF=2.5m，再根据AB=BG+GF+AF，求出AB，从而得出扩建后菱形区域的周长11.如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（）A．108°B．72°C．90°D．100°答案:B解析：解答:连接P A，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADP=∠CDP=12∠ADC=36°，BD所在直线是菱形的对称轴，∴P A=PC，∵AD的垂直平分线交对角线BD于点P，∴P A=PD，∴PD=PC，∴∠PCD=∠CDP=36°，∴∠CPB=∠PCD+∠CDP=72°；故选：B．分析:本题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形是等腰三角形是解决问题的关键12.在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于（）A．60°B．55°C．45°D．30°答案:A解析：解答:如图，连接AC，∵AE⊥BC，点E是BC的中点，∴AB=AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠CAE=30°，同理可得∠CAF=30°，∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=30°+30°=60°．故选A．分析:连接AC，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得A B=AC，然后求出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出∠CAE=30°，同理可得∠CAF=30°，然后根据∠EAF=∠CAE+∠CAF计算即可得解13.菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的面积是（）A．10B．20C．24D．48答案:C解析：解答：∵菱形的两条对角线的长分别是6和8，∴这个菱形的面积是：12×6×8=24．故选C．分析:由菱形的两条对角线的长分别是6和8，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．14.在菱形ABCD中，下列结论错误的是（）A．BO=DO B．∠DAC=∠BAC C．AC⊥BD D．AO=DO答案:D解析：解答：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠DAC=∠BAC，BO=DO，故A，B，C正确，D错误．故选D．分析:根据菱形的两条对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角；即可求得答案15.如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=3，那么菱形ABCD的周长是（）A．30B．24C．18D．6答案:B解析：解答：由题意可知，PQ是△ADC的中位线，则DC=2PQ=2×3=6，那么菱形ABCD 的周长=6×4=24，故选B．分析:根据题意得PQ是△ADC的中位线，从而可求得菱形的边长，则菱形的周长就不难求得了二、填空题（共5题）16.如图，AD是△ABC的高，DE∥AC，DF∥△AB，则ABC满足条件________时，四边形AEDF是菱形．答案:AB=AC或∠B=∠C∴DE=1解析：解答:需加条件AB=AC，这样可根据三线合一的性质，得出D是BC的中点，根据中位线定理可得，DE平行且等于AF，则AEDF为平行四边形，又可得AE=AF，则四边形AEDF为菱形．则添加条件：AB=AC．当∠B=∠C时，四边形AEDF是菱形．故答案为：AB=AC或∠B=∠C．分析:由三角形的中位线的性质，可得四边形AEDF为平行四边形，如AE=AF，则四边形AEDF为菱形，则添加条件：AB=AC17.如图，在△ABC中，已知E、F、D分别是AB、AC、BC上的点，且DE∥AC，DF∥AB，要使四边形AEDF是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是________就可以证明这个多边形是菱形答案:AB=AC，答案不唯一解析：解答:添加：AB=AC，∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵E、F、D分别是AB、AC、BC上的点，1AC，DF=AB，22∵AB=AC，∴ED=DF，∴四边形AEDF是菱形．故答案为：AB=AC．分析：此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形18.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．请你添加一个适当的条件：_________，使四边形ABCD成为菱形．答案:AB=AD，答案不唯一解析：解答:添加AB=AD，∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，故答案为：AB=AD分析:由条件OA=OC，OB=OD根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD为平行四边形，再加上条件AB=AD可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判定19.如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是_________答案：菱形解析：解答：∵分别以A和B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，∴AC=AD=BD=BC，∴四边形ADBC是菱形．故答案为：菱形．分析:根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形20.如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，添加一个条件：__________，可使它成为菱形答案：AB=BC｜AC⊥BD等解析：解答：∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形．故答案为：AB=BC或AC⊥BD等分析:菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，进而得出答案三、解答题（共5题）21.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CE是中线，△ACD与△ACE关于直线AC对称．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）求证：BC=ED．答案：（1）证明：∵∠C=90°，点E为AB的中点，∴EA=EC，∵△ACD与△ACE关于直线AC对称．∴△ACD≌△ACE，∴EA=EC=DA=DC，∴四边形ADCE是菱形；（2）证明：∵四边形ADCE是菱形，∴CD∥AE且CD=AE，∵AE=EB，∴CD∥EB且CD=EB∴四边形BCDE为平行四边形，∴DE=BC．解析：分析:(1)利用直线对称性得出△ACD≌△ACE，进而得出EA=EC=DA=DC，求出即可；（2）利用平行四边形的判定得出四边形BCDE为平行四边形，进而得出答案22.如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别为AC、BC的中点．（1）求证：四边形EFCD是菱形；（2）如果AB=8，求D、F两点间的距离．∴EF=1答案:解答：（△1）证明：∵ABC与△CDE都是等边三角形∴AB=AC=BC，ED=DC=EC∵点E、F分别为AC、BC的中点11AB，EC=AC，FC=BC222∴EF=EC=FC∴EF=FC=ED=DC，∴四边形EFCD是菱形．（2）解：连接DF，与EC相交于点G，∵四边形EFCD是菱形∴DF⊥EC，垂足为G∵EF=12AB=4，EF∥AB∴∠FEG=∠A=60°在△Rt EFG中，∠EGF=90°∴DF=2FG=2×4sin∠FEC=8sin60°=43解析：分析：（1）利用三角形的中位线定理即可得到四边形EFCD的四边相等，即可证得；（2）连接DF，与EC相交于点△G，EFC是等边三角形，则△EFG是直角三角形，利用三角函数即可求得GF的长，根据DF=2GF即可求得23.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．答案：解答：（1）∵AB∥CD，CE∥AD，∴四边形AECD为平行四边形，∠2=∠3，又∵AC平分∠BAD，∴∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴AD=DC，∴四边形AECD是菱形；（2）直角三角形．理由：∵AE=EC∴∠2=∠4，∵AE=EB，∴EB=EC，∴∠5=∠B，又因为三角形内角和为180°，∴∠2+∠4+∠5+∠B=180°，∴∠ACB=∠4+∠5=90°，∴△ACB为直角三角形．解析：分析:（1）利用两组对边平行可得该四边形是平行四边形，进而证明一组邻边相等可得该四边形为菱形；（2）利用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可得两组角相等，进而证明∠ACB为直角即可．24.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，CE∥AD交AB于E，AE=AD．求证：四边形AECD 是菱形答案：解答：证明:∵AB∥CD，CE∥AD，∴四边形AECD是平行四边形，∵AE=AD，∴四边形AECD是菱形；解析：分析:首先根据定义证明四边形AECD是平行四边形，则以及菱形的定义即可证得25.如图，由两个等宽的矩形叠合而得到四边形ABCD．试判断四边形ABCD的形状并证明答案：解答：四边形ABCD是菱形．理由：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，由题意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两个矩形等宽，∴AR=AS，∵AR•BC=AS•CD，∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形解析：分析:作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由AP=AQ得平行四边形ABCD是菱形。
2023-2024学年九年级数学上册《第一章 菱形的性质与判定》同步练习题有答案-北师大版
2023-2024学年九年级数学上册《第一章菱形的性质与判定》同步练习题有答案-北师大版学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．下列条件中，能判定四边形是菱形的是（）A．对角线垂直B．两对角线相等C．两对线互相平分D．两对角线互相垂直平分2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，若OE＝2，则菱形ABCD的周长为（）A．4 B．8 C．12 D．163．菱形ABCD的周长是8cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线BD的长是（）A．√3cm B．2√3cm C．1cm D．2cm4．如图，菱形ABCD的对角线BD=12，AC=10则该菱形的面积为（）．A．60 B．80 C．100 D．1205．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=6，DB=8，AE⊥BC于点E，则AE=（）A．6 B．8 C．245D．4856．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，过点B作BE⊥CD于点E，则BE的长为（）A．125B．245C．6 D．4857．如图，在菱形ABCD中，∠BAD═70°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）A．60°B．65°C．70°D．75°8．如图，在菱形ABCD中AB=4，∠BAD=120°，△AEF为等边三角形点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E，F不与B，C，D重合，则四边形AECF的面积是（）A．4 B．4√3C．8 D．8√3二、填空题9．已知菱形的两条对角线的长分别是10㎝和24㎝，那么菱形的每条边长是.10．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段BH的长为．11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O、H为边AD的中点，菱形的周长为48，则OH的长是．12．如图，四边形ABCD中BA=BC，DA=DC，AD//BC过点B作BE⊥DA，交DA的延长线交于点E，若BE=4，ED=8，则AC=．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A，D分别在y轴的正半轴和负半轴上，顶点B在x轴的负半轴上，若OA＝3OD，S菱形ABCD＝16√7，则点C的坐标为．三、解答题14．如图，在菱形ABCD中，M，N分别是AB和BC上的点，且AM＝CN，求证：∠DMN＝∠DNM．15．如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE 于点F，连接AE，CF.求证：四边形AECF是菱形.16．如图，四边形ABCD是菱形AE⊥CD于点E，AF⊥BC于点F．求证：CE=CF．17．如图，在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=45∘，△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D.（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长.18．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）证明：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝3，AB＝4，求菱形ADCF的面积．参考答案1．D2．D3．B4．A5．C6．B7．D8．B9．13cm10．501311．612．2√513．（－2√7，－8）14．证明：∵四边形ABCD是菱形∴AD=CD，∠A=∠C在△DAM和△DCN中，AD=CD，∠A=∠C，AM=CN ∴△DAM≌△DCN（ SAS）∴DM=DN∴∠DMN=∠DNM．15．证明：在△ABC中，点D是AC的中点∴AD＝DC∵AF∥BC∴∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED∴△AFD≌△CED（AAS）∴AF＝EC又∵AF∥BC∴四边形AECF是平行四边形又∵DE⊥AC∴EF⊥AC∴平行四边形AECF是菱形.16．证明：∵四边形ABCD 是菱形∴BA =BC =AD =DC ，∠B =∠D∵AE ⊥CD ，AF ⊥BC∴∠DEA =∠BFA =90°在△ADE 与△ABF 中{∠DEA =∠BFA∠B =∠DDA =BA∴△ADE ≌△ABF∴DE =BF∴CD −DE =BC −BF ，即CE =CF ．17．（1）证明：如图，∵△AEF 是由 △ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转得到的∴AE =AF =AB =AC =2 ∠EAF =∠BAC =45∘ .∴∠BAC +∠3=∠EAF +∠3 ，即 ∠BAE =∠CAF .在 △ABE 和 △ACF 中∴△ABE ≌△ACF(SAS) .∴BE =CF .（2）解：如图，∵四边形 ABDF 为菱形∴DF =AF =2 DF ∥AB .∴∠1=∠BAC =45∘ .∴△ACF 为等腰直角三角形.∴CF =√2AF =2√2 .∴CD =CF −DF =2√2−2 .18．（1）证明：∵E 是AD 的中点∴AE ＝DE∵AF ∥BC∴∠AFE ＝∠DBE在△AEF 和△DEB 中{∠AFE =∠DBE∠AEF =∠DEB AE =DE∴△AEF ≌△DEB （AAS ） ∴AF ＝DB又∵AF ∥BC∴四边形ADCF 是平行四边形 ∵∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点 ∴AD ＝12BC ＝CD∴平行四边形ADCF 是菱形.（2）解：∵D 是BC 的中点 ∴S △ACD ＝S △ABD ＝12S △ABC ∵四边形ADCF 是菱形 ∴S 菱形ADCF ＝2S △ACD =S △ABC =12AC ·AB ＝12×3×4＝6．。
北师大版九年级数学上册--第一章1.1《菱形的性质与判定》同步练习题(含答案)
9、如图，菱形 ABCD的周长为 16，∠ ABC=12°0 ，则 AC的长为（ ）
A. 4 3 B.4 C.
2 3 D.2
二、填空题 1、一个菱形的边长为 5，一条对角线长为 6，则这个菱形另一条对角线长为 ________。 2、菱形的两条对角线长分别为 4cm和 6cm，它的面积是 ________cm2。 3、如右图，在四边形 ABCD中，对角线 AC，BD交于点 O，OA=OC,OB=O，D添加一个条件使四边形 ABCD 是菱形，那么所添加的条件可以是 ________（写出一个即可）。
）
A. 2 3 B. 3 3 C. 4 3 D. 8 3
题7图
题8图
题9图
8、如图，已知 AC、BD是菱形 ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（ ）
A. △ABD与△ ABC的周长相等
B.
△ABD与△ ABC的面积相等
C.菱形的周长等于两条对角线之和的两倍 D. 菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
在△ ADO中，根据勾股定理可得： AO= AD 2 DO 2 = 62 32 = 3 3
∵AE=1 AO,AE=DE 2
∴DE=AE=3 3 2
∴菱形 BEFD的周长 = 3 3 ×4=6 3 2
九年级数学上册
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3、 如图， E，F 是菱形 ABCD对角线上的两点，且 AE=CF。 （1）求证：四边形 BEFD是菱形； （ 2）若∠ DAB=60°， AD=6，AE=DE，求菱形 BEFD的周长。
九年级数学上册
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1.1 菱形的性质与判定练习
参考答案 一、选择题。 1、C 2 、 D 3 、B 4 、D 5 、B（①②④对）
）
A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
2023-2024学年九年级数学上册《第一章 菱形的性质与判定》同步练习带答案(北师大版)
2023-2024学年九年级数学上册《第一章菱形的性质与判定》同步练习带答案（北师大版)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．两组对边分别相等B．两组对边分别平行C．对角线互相平分D．对角线互相垂直2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，E，F分别是AB，AC的中点，连接DE，DF，当△ABC满足下列哪个条件时，四边形AEDF为菱形（）A．AB＝AC B．∠B＝∠A C．BD＝DF D．DE⊥DF3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AO＝2，OB＝4，则菱形ABCD的面积是（）A．4 B．8 C．16 D．204．如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A(−2，5)，则点C的坐标为（）A．(5，−2)B．(2，−5)C．(2，5)D．(−2，−5) 5．如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE间的距离，若AE间的距离调节到60 cm，菱形的边长AB=20cm，则∠DAB的度数是（）A．90°B．100°C．120°D．150°6．如图，菱形花坛ABCD的周长为80m，∠ABC＝120°，沿着菱形的对角线修建两条小路AC和BD，则小路AC的长是（）A．20 √3 m B．10 √3 m C．20m D．20m7．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG＝2，AD＝6，则BE的长为（）A．52B．73C．3 D．3.58．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点P处，折痕为MN，点M，N分别在边AB，AD上，则BM：AM的值为（）A．18B．17C．16D．15二、填空题9．菱形的对角线之比为3：4，且面积为24，则它的对角线分别为．10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE//DC交BC于点E AD=4cm 则OE的长为cm .11．如图，在菱形ABCD中，∠B＝40°，点E在CD上，AE＝AC，则∠BAE＝°．12．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝3，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE＋AF的最小值为．13．如图，在菱形ABCD中，点E是CD上一点，连接AE交对角线BD于点F，连接CF，若∠AED＝50°，则∠BCF＝度．三、解答题14．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在线段BC，AD上，连接AE，CF，AE∥CF，BE+AE=AD求证：四边形AECF是菱形．15．如图，在菱形ABCD中，E是对角线AC上的一点．连BE，DE求证：BE=DE．16．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AB和BC上的点，且BE＝BF．求证：∠DEF＝∠DFE．17．如图，在△ABC中∠BAC=90∘，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，且A E=B D，连接AD、CE（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若AC=6，AB=8，求菱形ADCE的面积.18．如图，△ABC中，AB＝BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）过点D作AC的平行线交直线BC于点E，连接DE，点P是线段BD上的动点，若AD=5，AC=2√5请直接写出PC+PE的最小值．参考答案1．D2．A3．C4．B5．C6．A7．A8．B9．6和810．211．11012．3√213．5014．证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC，AD∥BC∵AE∥CF∴四边形AECF是平行四边形∵BE+AE=AD∴BE+AE=AD=BC=BE+EC．∴AE=EC∴四边形AECF是菱形．15．证明：∵四边形ABCD是菱形∴CB=CD∵AC是菱形ABCD的对角线∵∠BCA=∠DCA∵CD=CB，∠DCA=∠BCA，CE=CE ∴△BEC≅ΔDEC∴BE=DE16．证明：∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C∵BE=BF∴AB-BE=BC-BF，即AE=CF∴△ADE≌△CDF（SAS）∴DE=DF∴∠DEF=∠DFE．17．（1）证明：∵∠BAC=90∘且D是BC的中点∴AD=12BC，BD=CD=12BC∵AE=BD∴AE=DC.又∵AE∥DC∴四边形ADCE是平行四边形.∵AD=DC∴平行四边形ADCE是菱形.（2）解：∵平行四边形ADCE是菱形∴S△A D C=S△A E C∵D是BC的中点∴S△A D C=S△A B D∴S菱形ADCE=S△A B C=12AC·AB=12×6×8=2418．（1）证明：∵BA＝BC，BO平分∠ABC ∴∠ABD=∠CBD∵AD∥CB∴∠CBD＝∠ADB∴∠ABD＝∠ADB∴AD＝AB=BC∴四边形ABCD是平行四边形∵AB＝BC∴四边形ABCD是菱形；（2）解：PC+PE的最小值为√65。
数学北师大版九年级上册菱形性质与判定综合应用练习题
菱形的性质与判定学习要求理解菱形的概念，掌握菱形的性质定理及判定定理．课堂学习检测一、填空题：1．菱形的定义：__________________的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它具有四边形和平行四边形的______：还有：菱形的四条边______；菱形的对角线______，并且每一条对角线平分______；菱形的面积等于__________________，它的对称轴是______________________________．3．菱形的判定：一组邻边相等的______是菱形；四条边______的四边形是菱形；对角线______的平行四边形是菱形．4．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数之比为1∶2，则较长对角线的长为______cm．5．若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则它的周长为______cm，面积为______cm2．二、选择题6．对角线互相垂直平分的四边形是( )．(A)平行四边形(B)矩形(C)菱形(D)任意四边形7．顺次连结对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是( )．(A)矩形(B)平行四边形(C)菱形(D)任意四边形8．下列命题中，正确的是( )．(A)两邻边相等的四边形是菱形(B)一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形(C)对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形(D)对角线垂直的四边形是菱形9．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长是( )．(A)4(B)8 (C)12(D)16 10．菱形ABCD 中，∠A ∶∠B ＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )． (A)21 (B)4 (C)1(D)2综合、运用、诊断一、解答题11．如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，AB ＝4．求：(1)∠ABC 的度数；(2)菱形ABCD 的面积．12．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，E 是AB 边的中点，P 是AC 边上一动点，PB ＋PE 的最小值是3，求AB 的值．13．如图，在□ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，CD 的中点，连结DE ，BF ，BD ．(1)求证：△ADE≌△CBF．(2)若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形?请证明你的结论．14．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．15．如图，□ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝5．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；(2)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；(3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，画出图形并写出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．16．如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE＋CF＝2．(1)求证：△BDE≌△BCF；(2)判断△BEF的形状，并说明理由；(3)设△BEF的面积为S，求S的取值范围．拓展、探究、思考17．请用两种不同的方法，在所给的两个矩形中各画一个不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上(保留作图痕迹)．18．如图，菱形AB1C1D1的边长为1，∠B1＝60°；作AD2⊥B1C1于点D2，以AD2为一边，作第二个菱形AB2C2D2，使∠B2＝60°；作AD3⊥B2C2于点D3，以AD3为一边，作第三个菱形AB3C3D3，使∠B3＝60°；……依此类推，这样作的第n个菱形AB n C n D n的边AD n的长是______．参考答案1．一组邻边相等．2．所有性质，都相等；互相垂直，平分一组对角；底乘以高的一半或两条对角线之积的一半；对角线所在的直线．3．平行四边形；相等，互相垂直． 4．.310 5．20，24．6．C ． 7．C ． 8．B ． 9．D ． 10．C ．11．120°；(2)83． 12．2．13．(1)略；(2)四边形BFDE 是菱形，证明略．14．(1)略；(2)△ABC 是Rt △．15．(1)略；(2)略；(3)当旋转角是45°时，四边形BEDF 是菱形，证明略．16．(1)略；(2)△BEF 是等边三角形，证明略．(3)提示：∵3≤△BEF 的边长＜222)2(43)3(43<≤∴S .3343<≤∴S 17．略． 18．.)23(1-n。
北师大版九年级上册数学 菱形的判定和性质 同步测试卷(含答案)
菱形同步测试卷一．选择题（共4小题）1．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4）B．M（4，0），N（8，4）C．M（5，0），N（7，4）D．M（4，0），N（7，4）2．菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2 B．C．1 D．3．菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：14．如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（）A．15 B．C．7.5 D．二．填空题（共15小题）5．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是_________cm2．6．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_________．7．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．6题图7题图8题图9题图8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_________．9．如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO= _________度．10．如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1=_________度．10题图12题13题图14题图11．已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为_________．12．如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按A﹣＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C ﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在_________点．13．如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是_________cm．14．已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为_________．15．已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_________cm2．16．已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是_________cm2．17．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC 交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_________．17题图18题图19题图18．如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_________．19．如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=_________度．三．解答题（共7小题）20．如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）．（1）求点D的坐标；（2）求经过点C的反比例函数解析式．21．如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．22．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．23．如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．24．如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE．（1）证明：∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？25．已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．（1）连接_________；（2）猜想：_________=_________；（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）26．如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C 运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．参考答案一．选择题1-4 ACCA二．填空题5．36．7．28．609．6510．12011．2或612．B13.314．1615．9616.12017．2.518．19.45三．解答题20．解：（1）∵A（0，4），B（﹣3，0），∴OB=3，OA=4，∴AB=5．在菱形ABCD中，AD=AB=5，∴OD=1，∴D（0，﹣1）．（2）∵BC∥AD，BC=AB=5，∴C（﹣3，﹣5）．设经过点C的反比例函数解析式为y=．把（﹣3，﹣5）代入解析式得：k=15，∴y=．21．证明：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴AD∥BC，AC=AD，∵AC∥DE，∴四边形ACED是菱形，∴DE=CE=AC=AD，又四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=BC=CD，∴BC=EC=DE，即C为BE中点，∴DE=BC=BE．22．解：（1）在菱形ABCD中，AB=AD，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∴∠ABD=60°；（4分）（2）由（1）可知BD=AB=4，又∵O为BD的中点，∴OB=2（6分），又∵OE⊥AB，及∠ABD=60°，∴∠BOE=30°，∴BE=1．23.（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CB，∠A=∠C，∵BE⊥AD、BF⊥CD，∴∠AEB=∠CFB=90°，在△ABE和△CBF中，∴△ABE≌△CBF（AAS），∴BE=BF．（2）解：如图，∵对角线AC=8，BD=6，∴对角线的一半分别为4、3，∴菱形的边长为=5，菱形的面积=5BE=×8×6，解得BE=．24.（1）证明：∵四边形ABCD是菱形∴BC=CD，AC平分∠BCD∵CE=CE∴△BCE≌△DCE∴∠EBC=∠EDC又∵AB∥DC∴∠APD=∠CDP∴∠EBC=∠APD（2）解：当P点运动到AB边的中点时，S△ADP=S菱形ABCD．理由：连接DB∵∠DAB=60°，AD=AB∴△ABD等边三角形∵P是AB边的中点∴DP⊥AB∴S△ADP=AP•DP，S菱形ABCD=AB•DP∵AP=AB∴S△ADP=×AB•DP=S菱形ABCD即△ADP的面积等于菱形ABCD面积的．25．解：（1）如图，连接AF；（2）AF=AE；（3）证明：四边形ABCD是菱形．∴AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∴∠ABF=∠ADE，在△ABF和△ADE中∴△ABF≌△ADE，∴AF=AE．26．解：（1）经过x秒后，四边形AQCP是菱形由题意得16+x2=（8﹣x）2，解得x=3即经过3秒后四边形是菱形．（2）由第一问得菱形的边长为5∴菱形AQCP的周长=5×4=20（cm）菱形AQCP的面积=5×4=20（cm2）菁优网版权所有仅限于学习使用，不得用于任何商业用途。
菱形的性质与判定之八大考点(解析版)--初中数学专题训练 (1)
菱形的性质与判定之八大考点【考点导航】目录【典型例题】【考点一利用菱形的性质求角度】【考点二利用菱形的性质求线段长】【考点三利用菱形的性质求面积】【考点四利用菱形的性质证明】【考点五添一个条件使四边形是菱形】【考点六证明四边形是菱形】【考点七根据菱形的性质与判定求角度、线段长】【考点八根据菱形的性质与判定求面积】【过关检测】【典型例题】【考点一利用菱形的性质求角度】1(2023秋·陕西汉中·九年级统考期末)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠BAD =110°，则∠OBC的度数为________．【答案】35°##35度【分析】根据菱形的性质进行求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠OBA=∠OBC=1∠ABC，2∵∠BAD=110°，∴∠ABC=180°-∠BAD=70°，∴∠OBC=1∠ABC=35°，2故答案为：35°．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟知菱形的对角线平分一组对角是解题的关键．【变式训练】1(2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若∠BCD=50°，则∠DHO的度数为．【答案】25°##25度【分析】根据菱形的性质求出∠BDA=∠ABD=65°，再根据斜边中线等于斜边一半得出∠BDH=∠OHD=25°即可．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OD=OB，AB=AD，∠BCD=∠BAD=50°，∴∠BDA=∠ABD=65°∵DH⊥AB，∴OH=OD=OB，∠ADH=40°，∴∠BDH=∠OHD=25°，故答案为：25°．【点睛】本题考查了菱形的性质和直角三角形的性质，解题关键是根据菱形和直角三角形的性质得出角之间的关系．2(2023春·八年级单元测试)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=40°，点E为对角线BD上一点，F为AD边上一点，连接AE、CE、FE，若AE=FE，∠BEC=58°，则∠AFE的度数为．【答案】38°##38度【分析】根据四边形的性质，得出∠ABD=∠CBD=12∠ABC=20°，根据SAS证明△ABE≌△CBE，得出∠AEB=∠BEC=58°，根据三角形内角和得出∠BAE=180°-∠ABE-∠AEB= 102°，根据平行线的性质，得出∠BAD=180°-∠ABC=140°，得出∠EAF=∠BAD-∠BAE=38°，根据等腰三角形的性质，即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=40°，∴AB=BC=AD，AD∥BC，∠ABD=∠CBD=12∠ABC=20°，∵在△ABE和△CBE中AB=BC∠ABE=∠CBE BE=BE，∴△ABE≌△CBE，∴∠AEB=∠BEC=58°，∴∠BAE=180°-∠ABE-∠AEB=102°，∵AD∥BC，∴∠BAD =180°-∠ABC =140°，∴∠EAF =∠BAD -∠BAE =38°，∵AE =FE ，∴∠AFE =∠EAF =38°．故答案为：38°．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，证明△ABE ≌△CBE ．【考点二利用菱形的性质求线段长】1例题：(2023·辽宁鞍山·统考一模)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 分别为8和6，DE ⊥AB ，垂足为E ，则DE 的长为______．【答案】245【分析】利用菱形的性质，求出菱形的边长，再用等积法求出线段DE 的长即可．【详解】解：设AC ，BD 交于点O ，∵在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 分别为8和6，∴AC ⊥BD ，OA =12AC =4,OB =12BD =3，∴AB =32+42=5，∵DE ⊥AB ，∴菱形ABCD 的面积=12AC ⋅BD =AB ⋅DE ，即：12×8×6=5DE ，∴DE =245；故答案为：245．【点睛】本题考查菱形的性质．熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分，是解题的关键．【变式训练】1(2023·广东东莞·东莞市东莞中学初中部校考一模)如图，菱形ABCD 对角线AC 、BD 相交于点O ，AC =8，BD =6，则菱形的边长为．【答案】5【分析】根据菱形的对角线互相垂直及勾股定理即可求解．【详解】解：依题意可知BD⊥AC，AO=4，BO=3∴AB=32+42=5，故答案为：5．【点睛】此题主要考查菱形的性质，勾股定理，解题的关键是熟知菱形的对角线垂直．2(2022秋·陕西榆林·九年级校考期末)如图，已知四边形ABCD是菱形，且AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．(1)求证：AE=AF；(2)若AB=10，CE=4，求菱形ABCD的面积．【答案】(1)证明见解析(2)80【分析】(1)根据菱形的性质，得AB=AD，∠B=∠D；根据AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，则△ABE≅△ADF，即可；(2)根据菱形的性质，得AB=BC，根据AB=10，CE=4，勾股定理，求出AE，即可求出菱形的面积．【详解】(1)证明，如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠B=∠D，∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，∴∠AEB=∠AFD=90°，∴△ABE≅△ADF，∴AE=AF．(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵AB=10，CE=4，∴BE=6，∴AE=AB2-BE2=102-62=8，∴菱形ABCD的面积为：BC×AE=10×8=80．【点睛】本题考查菱形的知识，解题的关键是掌握菱形的性质，勾股定理，全等三角形的知识．【考点三利用菱形的性质求面积】1(2023春·广东韶关·八年级校考期中)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC =7，BD =4，则菱形ABCD 的面积为_______．【答案】14【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，AC =7，BD =4，∴菱形ABCD 的面积=12AC ⋅BD =12×7×4=14，故答案为：14．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半，是解题的关键．【变式训练】1(2023春·广东惠州·八年级校考阶段练习)菱形的两条对角线长为6和8，则菱形的边长为，面积为．【答案】 524【分析】根据菱形的对角线平分且垂直的性质，先计算边长，由对角线乘积的一半求得面积．【详解】解∵菱形的两条对角线长分别为6和8，∴由勾股定理得，菱形的边长=32+42=5，∵菱形的面积=对角线乘积的一半，∴菱形的面积=6×8÷2=24．故答案为：5，24．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理等知识点，灵活运用性质进行计算是解此题的关键．2(2023春·浙江·八年级专题练习)如图，菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若AB =25cm ，AC =4cm ，则BD 的长为__cm ，菱形ABCD 的面积为cm 2．【答案】 816【分析】利用菱形对角线互相垂直且平分的性质结合勾股定理得出BD 的长，再根据菱形面积等于对角线乘积的一半即可得出答案．【详解】解：∵菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC =4cm ，∴AC ⊥BD ，BO =OD =12BD ，AO =OC =12AC =2cm ，∵AB =25cm ，∴BO =AB 2-AO 2=4cm ，∴BD =2BO =8cm ，∴菱形面积为12AC ⋅BD =12×4×8=16，故答案为：8，16．【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握菱形的性质，运用勾股定理解直角三角形，是解题关键．【考点四利用菱形的性质证明】1(2023春·湖北襄阳·八年级统考阶段练习)如图，四边形ABCD 是菱形，点E ，F 分别在边AB ，AD 的延长线上，且BE =DF ，连接CE ，CF ．求证：CE =CF ．【答案】证明见解析【分析】根据菱形的性质得到BC =CD ，∠ADC =∠ABC ，根据SAS 证明△BEC ≌△DFC ，可得CE =CF ．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴BC =CD ，∠ADC =∠ABC ，∴∠CDF =∠CBE ，在△BEC 和△DFC 中，BE =DF∠CBE =∠CDF BC =CD，∴△BEC ≌△DFC SAS ，∴CE =CF ．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据菱形得到判定全等的条件．【变式训练】1(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，连接EF(1)求证：AE =AF ；(2)若∠B =60°，求∠AEF 的度数．【答案】(1)证明见解析(2)60°【分析】(1)根据菱形的性质的三角形全等即可证明AE =AF ．(2)根据菱形的性质和已知条件可推出∠BAD 度数，再根据第一问的三角形全等和直角三角形的性质可求出∠BAE 和∠DAF 度数，从而求出∠EAF 度数，证明了等边三角形AEF ，即可求出∠AEF 的度数．【详解】(1)证明：∵菱形ABCD ，∴AB =AD ,∠B =∠D ，又∵AE ⊥BC ,AF ⊥CD ，∴∠AEB =∠AFD =90°．在△AEB 和△AFD 中，∠AEB =∠AFD∠B =∠D AB =AD，∴△ABE ≌△ADF (AAS )．∴AE =AF ．(2)解：∵菱形ABCD ，∴∠B +∠BAD =180°，∵∠B =60°，∴∠BAD =120°．又∵∠AEB =90°,∠B =60°，∴∠BAE =30°．由(1)知△ABE ≌△ADF ，∴∠BAE =∠DAF =30°．∴∠EAF =120°-30°-30°=60°．∵AE =AF ，∴△AEF 等边三角形．∴∠AEF =60°．【点睛】本题考查了三角形全等、菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握全等的方法和菱形的性质．2(2023春·广东肇庆·八年级校考期中)如图，在菱形ABCD 中，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，交AB 于点E ，连接DF．(1)求证：AF =DF ；(2)若∠BAD =70°，求∠FDC 的度数．【答案】(1)证明见解析(2)∠FDC =75°【分析】(1)连接BF ，由线段垂直平分线的性质得AF =BF ，再证△BCF ≌△DCF (SAS )，得BF =DF ，即可得出结论；(2)由全等三角形的性质得∠FDC =∠FBC ，再由菱形的性质得∠BCF =∠DCF =∠BAC ，∠ABC =180°-∠BAD =110°，然后求出∠FBA =∠BAC =35°，则∠FBC =∠ABC -∠ABF =75°，即可得出答案．【详解】(1)证明：连接BF ，如图所示：∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴AF =BF ，∵四边形ABCD 是菱形，∴BC =DC ，∠BCF =∠DCF ，在△BCF 和△DCF 中，BC =DC∠BCF =∠DCF CF =CF，∴△BCF ≌△DCF (SAS )，∴BF =DF ，∴AF =DF ；(2)解：由(1)知△BCF ≌△DCF (SAS )，∴∠FDC =∠FBC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC ，∠BAC =12∠BAD =12×70°=35°，AD ∥BC ，∴∠BCF =∠DCF =∠BAC ，∠ABC =180°-∠BAD =180°-70°=110°，∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴AF =BF ，∴∠FBA =∠BAC =35°，∴∠FBC =∠ABC -∠ABF =110°-35°=75°，∴∠FDC =∠FBC =75°．【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质，证明△BCF ≌△DCF (SAS )是解题的关键．【考点五添一个条件使四边形是菱形】1(2023·黑龙江牡丹江·统考二模)如图，四边形ABCD 是平行四边形．请添加一个条件_______，使平行四边形ABCD 为菱形．(只填一种情况即可)【答案】AB=AD(符合题意即可)【分析】根据菱形的判定定理进行求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形．∴添加AB=AD，则可得ABCD为菱形．(一组邻边相等的平行四边形是菱形)故答案为：AB=AD(符合题意即可)【点睛】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．【变式训练】1(2023·安徽·校联考一模)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB∥CD，AO= CO，想要判断四边形ABCD是菱形，则可以添加一个条件是．【答案】AB=AD(答案不唯一)【分析】根据菱形的判定方法进行解答即可．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，∵AO=CO，∴△AOB≌△COD，∴AB=CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形，如果添加AB=AD，可以通过有一组邻边相等的平行四边形是菱形，判断四边形ABCD为菱形；故答案为：AB=AD(答案不唯一)．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定，平行线的性质，菱形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．2(2023春·湖南永州·八年级统考期中)如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC 的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是．【答案】AD=BC【分析】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．据此四边形ABCD还应满足的一个条件是AD=BC等．答案不唯一．【详解】解：条件是AD=BC．∵EH,GF分别是△ABC、△BCD的中位线，∴EH∥BC，EH=12BC，GF∥BC,GF=12BC，∴EH∥GF,EH=GF，∴四边形EFGH是平行四边形．∵HG是△ACD的中位线，∴HG=12AD，∵AD=BC，∴EH=HG，∴四边形EFGH是菱形．故答案为：AD=BC【点睛】此题主要考查三角形的中位线定理和菱形的判定，正确理解三角形的中位线的性质及菱形的判定定理是解题的关键．【考点六证明四边形是菱形】1(2023·吉林长春·统考一模)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．过点D分别作DE⊥AB 于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF．求证：四边形ABCD是菱形．【答案】见解析【分析】根据AB∥CD，AD∥BC，得出四边形ABCD是平行四边形，进而证明△ADE≌△CDF AAS得出AD=DC，即可证明四边形ABCD是菱形．【详解】证明：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∴∠AED=∠CFD=90°，∵DE=DF，∴△ADE≌△CDF AAS，∴AD=DC，∴四边形ABCD是菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．【变式训练】1(2023春·广东惠州·八年级校考期中)▱ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E，F，求证：四边形AFCE是菱形？【答案】是菱形，见解析【分析】根据“对角线互相垂直的平行四边形”证明即可．【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，∵EF垂直平分AC，∴OA=OC，∴△AOE≌△COF AAS，∴OE=OF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质．关键是根据题意推出OE=OF，题目比较典型，难度适中．2(2023·吉林长春·统考二模)如图，AC为▱ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，AE= AF，连接EF交AC于点G．若AC⊥EF，求证．四边形ABCD是菱形．【答案】见解析【分析】根据AE=AF和AC⊥EF得到∠BAC=∠DAC，然后结合平行四边形的性质得到BA= BC，进而证明出四边形ABCD是菱形．【详解】∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE．∵AC⊥EF，∴∠BAC=∠DAC．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠CAD=∠ACB．∴∠BAC=∠BCA．∴BA=BC．∴四边形ABCD是菱形．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，菱形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．【考点七根据菱形的性质与判定求角度、线段长】1(2023春·全国·八年级专题练习)如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE⎳BC交AB于点E，DF⎳AB交BC于点F．(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)如果∠A=80°，∠C=30°，求∠BDE的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)∠BDE=35°．【分析】(1)由题意可证BE=DE，四边形BEDF是平行四边形，即可证四边形BEDF为菱形；(2)先根据三角形的内角和定理得出∠ABC=180°-80°-30°=70°，再由菱形的性质可求解．【详解】(1)证明：∵DE⎳BC，DF⎳AB，∴四边形DEBF是平行四边形，∵DE⎳BC，∴∠EDB=∠DBF，∵BD平分∠ABC，∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=12∴∠ABD=∠EDB，∴DE=BE，又四边形BEDF为平行四边形，∴四边形BEDF为菱形．(2)∵∠A=80°，∠C=30°，∴∠ABC=180°-80°-30°=70°，∵四边形BEDF为菱形，∴∠EDF=∠ABC=70°，∠EDF=35°．∴∠BDE=12【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，掌握菱形的判定定理是本题的关键．【变式训练】1(2023春·广东惠州·九年级校考开学考试)如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，作CD的垂直平分线，分别交AC、DC、BC于点E、G、F，连接DE、DF．(1)求证：四边形DFCE是菱形；(2)若∠ABC=60°，∠ACB=45°，BD=2，试求BF的长．【答案】(1)见解析(2)1+3【分析】(1)根据垂直平分线的性质可得DE=CE，DF=FC，根据角平分线的性质可得∠ECG=∠FCG，根据全等三角形的判定和性质可得GE=GF，根据平行四边形的判定可得四边形DFCE是平行四边形，根据菱形的判定可得四边形DFCE是菱形；(2)过D作DH⊥BC于H，构建直角三角形，根据30°的直角三角形性质可得BH=1，根据勾股定理可得DH=3，根据菱形的性质可得DF∥AC，根据平行线的性质可得∠DFB=∠ACB=45°，推得△DHF是等腰直角三角形，可得DH=FH=3，从而得结论．【详解】(1)证明：∵EF是DC的垂直平分线，∴DE=CE，DF=FC，∠EGC=∠FGC=90°，DG=CG∵CD平分∠ACB，∴∠ECG=∠FCG，∵CG=CG，∴△CGE≌△CGF ASA，∴GE=GF，∴四边形DFCE是平行四边形，∵DE=CE，∴四边形DFCE是菱形；(2)解：过D作DH⊥BC于H，则∠DHF=∠DHB=90°，∵∠ABC=60°，∴∠BDH=30°，BD=1，∴BH=12在Rt△DHB中，DH=22-12=3，∵四边形DFCE是菱形，∴DF∥AC，∴∠DFB=∠ACB=45°，∴△DHF是等腰直角三角形，∴DH=FH=3，∴BF=BH+FH=1+3．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质，30度角的直角三角形的性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．2(2023·广东广州·校考二模)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AB=10，BD=2，求OE的长度．【答案】(1)证明见解析；(2)3【分析】(1)先判断出∠OAB=∠DCA，进而判断出∠DAC=∠DCA，得出CD=AD=AB=BC，即可得出结论；(2)先判断出OE=OA=OC，再求出OB=1，利用勾股定理求出OA=3，即可得出结论．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，AD=BC∴∠OAB=∠DCA，∵AC平分∠BAD，∴∠OAB=∠DAC，∴∠DCA=∠DAC，∴CD=AD=AB=BC，∴四边形ABCD是菱形；(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，AC=OA=OC，∴OE=12∵BD=2，BD=1，∴OB=12在Rt△AOB中，AB=10，OB=1，∴OA=AB2-OB2=102-12=3，∴OE=OA=3．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键．3(2023春·全国·八年级专题练习)如图，平行四边形ABCD中，AD=BD，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E．(1)求证：四边形BDEC 是菱形；(2)连接BE ，若AB =6，AD =9，则BE 的长为．【答案】(1)见解析(2)122【分析】(1)根据已知条件得出四边形BDEC 是平行四边形，根据BD =BC 即可得证；(2)连接BE 交CD 于O ，在Rt △BDO 中，得出BO =62，根据BE =2BO ，即可求解．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD =BC ，AB =CD ，∵AD =BD ，∴BD =BC ，∵CE ∥BD ，AD ∥BC ，∴四边形BDEC 是平行四边形，又∵BD =BC ，∴四边形BDEC 是菱形；(2)解：如图，连接BE 交CD 于O ，∵四边形BDEC 是菱形，CD =AB =6，∴DO =CO =12CD =3,BO =12BE ,CD ⊥BE 在Rt △BDO 中，AD =BD =9，∴BO =BD 2-DO 2=92-32=62∴BE =2BO =122故答案为：122．【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，勾股定理，掌握菱形的性质与判定是解题的关键．【考点八根据菱形的性质与判定求面积】1(2023春·北京海淀·八年级校考期中)如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥DC 于点F ，且BE =DF ．(1)求证：平行四边形ABCD 是菱形(2)若∠EAF =60°，CF =2，求菱形ABCD 的面积．【答案】(1)证明见解析(2)83【分析】(1)证△AEB≌△AFD，得AB=AD，即可得出结论；(2)连接AC，证△ACD是等边三角形，得CD=AC，再由含30°角的直角三角形的性质得AC=2CF=4，则CD=AC=4，AF=23，即可求解．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D．∵AE⊥BC，AF⊥DC，∴∠AEB=∠AFD=90°，又∵BE=DF，∴Rt△AEB≅Rt△AFD ASA．∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形．(2)如图，连接AC，∵AE⊥BC，AF⊥DC，∴∠AEF=∠AFE=90°∵∠EAF=60°，∴∠ECF=120°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ACF=60°，AD=CD∴△ACD是等边三角形∵AF⊥DC∴∠CAF=30°∴AC=2CF=2×2=4在Rt△CFA中，AF=AC2-CF2=42-22=23．∴菱形ABCD的面积=4×23=83．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质，证明△ABE≌△ADF是解题的关键，属于中考常考题型．【变式训练】1(2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模)如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，连接DE、DF．(1)求证：四边形DFCE是菱形；(2)若∠A=75°，AC=8，求菱形DFCE的面积．【答案】(1)见解析(2)8【分析】(1)根据三角形的中位线的性质和菱形的判定定理即可得到结论；(2)过E作EG⊥BC于G，根据等腰三角形和直角三角形的性质即可得到结论．【详解】(1)∵点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，∴DE∥CF，DE=12BC，DF∥CE，DF=12AC，∴四边形DFCE是平行四边形，∵AC=BC，∴DE=DF，∴四边形DFCE是菱形；(2)过E作EG⊥BC于G,∵AC=BC，∠A=75°，∴∠B=∠A=75°，∴∠C=30°，∵点E是AC的中点，AC=8，∴CE=12AC=4，∵EG⊥BC，∴EG=12CE=14AC=2，∵四边形DFCE是菱形，∴CF=CE=4∴S菱形DFCE=CF∙EG=2×4=8．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，菱形的面积，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．2(2023春·广东珠海·八年级珠海市紫荆中学校考期中)如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线相交于点O，EF经过O且垂直于AC，分别与边AD、BC交于点F、E．(1)求证：四边形AECF为菱形；(2)若AD=3，CD=2，且∠ADC=60°，求菱形AECF的面积．【答案】(1)见解析(2)734【分析】(1)先证明△AOF≌△COE，得出AF=CE，证明四边形AECF为平行四边形，根据EF是对角线AC的垂直平分线，得出AF=CF，即可求证；(2)过C作CH⊥AD于H，则∠CHD=∠CHF=90°，根据∠ADC=60°，得出∠HCD=30°，求HD=12CD=1，根据勾股定理求出CH=CD2-HD2=3，进而得到AH=2，在Rt△CHF中，由勾股定理可得AF =CF =74，即可求解．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴OA =OC ，AD ∥BC ，∴∠FAC =∠ACE ，∠AFE =∠CEF ，∴△AOF ≌△COE ，∴AF =CE ，∴四边形AECF 为平行四边形，∵EF 经过O 且垂直于AC ，∴EF 是对角线AC 的垂直平分线，∴AF =CF ，∴四边形AECF 为菱形；(2)解：过C 作CH ⊥AD 于H ，则∠CHD =∠CHF =90°，∵∠ADC =60°，∴∠HCD =30°，∴HD =12CD =1，∴CH =CD 2-HD 2=3，∵AD =3，∴AH =2，∵四边形AECF 是菱形，∴AF =CF ，设AF =CF =x ，则FH =2-x ，在Rt △CHF 中，由勾股定理得：CF 2=FH 2+CH 2，即x 2=2-x 2+3 2，解得：x =74，∴AF =CF =74，∴菱形AECF 的面积为：AF ×CH =74×3=734．【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质是解题的关键．3(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考模拟预测)如图，矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线EF 与AD 、AC 、BC 分别交于点E 、O 、F ．(1)求证：四边形AFCE是菱形；(2)若AB=5，BC=12，EF=6，求：①BO的长；②菱形AFCE的面积．【答案】(1)见解析(2)①6.5；②39【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质可得AE=CE,AO=CO，再由矩形的性质可得AE∥CF，从而得到∠CAE=∠ACF,∠AEO=∠CFO，再证明△AOE≌△COF，可得AE=CF，从而得到四边形AFCE是平行四边形，即可求证；①根据矩形的性质可得AC=2BO，∠ABC=90°，再由勾股定理求出AC=13，即可求解；②根据菱形的面积等于对角线长度乘积的一半，即可求解．【详解】(1)证明：∵EF垂直平分AC，∴AE=CE,AO=CO，∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥CF，∴∠CAE=∠ACF,∠AEO=∠CFO，在△AOE和△COF中，∵∠CAE=∠ACF,∠AEO=∠CFO，AO=CO，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AE=CE，∴四边形AFCE是菱形；(2)解：①∵四边形ABCD是矩形，点O为AC的中点，∴AC=2BO，∠ABC=90°，∵AB=5，BC=12，∴AC=AB2+BC2=13，∴BO=12AC=6.5；②∵四边形AFCE是菱形，EF=6，∴菱形AFCE的面积12AC×EF=12×13×6=39．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，菱形的性质和判定，勾股定理是解题的关键．【过关检测】一、选择题1(2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习)如图，BD为菱形ABCD的对角线，已知∠A=50°，则∠BDC的度数为()A.130°B.50°C.55°D.65°【答案】D【分析】由菱形的性质得出AB ∥CD ，∠ADB =∠CDB ，利用平行线的性质求出∠ADC 的度数，从而即可求得∠BDC 的大小．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，∠ADB =∠CDB ，∴∠A +∠ADC =180°，又∠A =50°，∴∠ADC =130°，∴∠ADB =∠CDB =12∠ADC =65°．故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．2(2023·浙江·统考中考真题)如图，在菱形ABCD 中，AB =1，∠DAB =60°，则AC 的长为()A.12B.1C.32D.3【答案】D 【分析】连接BD 与AC 交于O ．先证明△ABD 是等边三角形，由AC ⊥BD ，得到∠OAB =12∠BAD =30°，∠AOB =90°，即可得到OB =12AB =12，利用勾股定理求出AO 的长度，即可求得AC 的长度．【详解】解：连接BD 与AC 交于O ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AB =AD ，AC ⊥BD ，AO =OC =12AC ，∵∠DAB =60°，且AB =AD ，∴△ABD 是等边三角形，∵AC ⊥BD ，∴∠OAB=12∠BAD=30°，∠AOB=90°，∴OB=12AB=12，∴AO=AB2-OB2=12-12 2=123，∴AC=2AO=3，故选：D．【点睛】此题主要考查了菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、30°角所对直角边等于斜边的一半，关键是熟练掌握菱形的性质．3(2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习)如图，在菨形ABCD中，过顶点C作CE⊥BC交对角线BD于E点，已知∠A=134°，则∠BEC的大小为()A.67°B.57°C.33°D.23°【答案】A【分析】根据菱形的性质得出∠CBE=23°，再根据直角三角形两个锐角互余，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∴∠ABC=180°-∠A=46°，则∠CBE=12∠ABC=23°，∵CE⊥BC，∴∠BEC=90°-∠CBE=67°，故选：A．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的对角线平分菱形内角，直角三角形两个锐角互余．4(2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中)如图，在菱形ABCD中，对角线BD=43，∠BAD= 120°，则菱形ABCD的面积是()A.83B.8C.163D.43【答案】A【分析】根据菱形性质求出AO=12AC，BO=12BD=23，AC⊥BD，∠BAO=12∠BAD=60°，根据勾股定理得AB2-AO2=BO2，即2AO2-AO2=232，求出AO=2，根据菱形面积得出1 2AC⋅BD=12×4×43=83．【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AO=12AC，BO=12BD=23，AC⊥BD，∠BAO=12∠BAD=60°，∴∠AOB=90°，∴∠ABO=90°-60°=30°，∴AB=2AO，在Rt△AOB中根据勾股定理得：AB2-AO2=BO2，∴2AO2-AO2=232，解得：AO=2，负值舍去，∴AC=2×2=4，∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×4×43=83，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质．解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用，注意菱形的面积等于其对角线乘积的一半．5(2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中)如图，菱形ABCD中，∠A=60°，E，F分别是边AB，AD的中点，DE，BF相交于G，连接CG，以下结论正确的有( )个①∠BGD=120°；②SΔADE:SΔGBC=2:3；③BG+DG=CG；④S菱形ABCD=32AB2A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】解：①连接BD，证明△ABD为等边三角形，DE⊥AB，BF⊥AD，∠GDB=∠GBD=30°，从而可判断①；证明GD=GB，设菱形的边长为4m，则AE=2m=BE，DE=23m，再分别求解两个三角形的面积可判断②；证明Rt△CDG≌Rt△CBG，可得DG=BG=12CG，可判断③；设菱形的边长为4m，则AE=2m=BE，DE=23m，再求解菱形的面积可判断④．【详解】解：①连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∴AD =AB ，且∠A =60°，∴△ABD 为等边三角形，又∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点，∴DE ⊥AB ，BF ⊥AD ，∠GDB =∠GBD =30°，∴∠BGD =180°-2×30°=120°，GD =GB ，∴①符合题意；同理可得：∠ADE =30°=∠ABF ，设菱形的边长为4m ，则AE =2m =BE ，DE =23m ，∴S △ADE =12×2m ×23m =23m 2，∵∠ABF =30°，DE ⊥AB ，∴BG =2GE ，∴BG 2=12BG 2+2m 2，∴BG =433m ，同理可得：△BCD 为等边三角形，∴∠GBC =60°+60°-30°=90°，∴S △BCG =12×4m ×433m =833m ，∴S ΔADE :S ΔGBC =3:4，故②不符合题意；∵四边形ABCD 为菱形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠CDG =∠CBG =90°，∵CD =CB ，CG =CG ，∴Rt △CDG ≌Rt △CBG ，∴∠DCG =∠BCG =30°，∴DG =BG =12CG ，∴DG +BG =CG ，∴③符合题意；设菱形的边长为4m ，则AE =2m =BE ，DE =23m ，∵△ABD 为等边三角形，△BCD 为等边三角形，∴S 菱形ABCD =2S △ABD =2×12×4m ×23m =83m 2，而32AB 2=32×4m 2=83m 2，∴S菱形ABCD =32AB2，故④符合题意；综上：正确的有①②④；故选C【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，熟练的利用基本图形的性质解题是关键．二、填空题6(2023春·天津滨海新·八年级校考期中)如图，已知菱形ABCD，AC=6，面积等于24，则菱形ABCD的周长等于．【答案】20【分析】设AC与BD交于点O，由菱形的性质得AB=BC=CD=AD，OA=OC=3，OB=OD，AC⊥BD，再由菱形的面积得BD=8，则OB=OD=4，然后由勾股定理求解即可．【详解】解：如图，设AC与BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，AC=6，∴AB=BC=CD=AD，OA=OC=12AC=3，OB=OD，AC⊥BD，∵菱形ABCD的面积是24，∴12AC×BD=24，∴BD=24×26=8，∴OB=OD=12BD=4，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=OA2+OB2=5，∴菱形ABCD的周长=4AB=20，故答案为：20．【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，求出BD的长是解题的关键．7(2023春·北京海淀·八年级校考期中)如图，菱形ABCD中，AB=10，AC，BD交于点O，若E是边AD的中点，∠ABO=32°，则OE的长等于，∠ADO的度数为．【答案】532°【分析】根据菱形的性质得出BO=DO，AB=AD，AB∥CD，根据等边对等角可得∠ADO=AB=5．∠ABO=32°，由三角形中位线定理得出OE=12【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴BO=DO，AB=AD，AB∥CD，∴∠ADO=∠ABO=32°，∵E是边AD的中点，BO=DO，∴OE是△ABD的中位线，AB=5．∴OE=12故答案为：5，32°．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边对等角，三角形中位线定理，，证明出OE是△ABD的中位线是本题的关键．8(2023·全国·八年级假期作业)如图，已知菱形ABCD的顶点A和B的坐标分别为-2，0，、3，0点C在y轴的正半轴上．则点D的坐标是．【答案】-5，4【详解】根据菱形的性质和点的坐标求出OB，DC=AB=BC=5，根据勾股定理求出OC，再求出点D的坐标即可．【解答】解：∵A-2，0，四边形ABCD是菱形，，B3，0∴OB=3，CD=BC=AB=3--2=5，∴OC=BC2-OB2=52-32=4，又∵CD∥AB，CD=5，∴点D的坐标为：-5，4．故答案为：-5，4．【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9(2023·河南新乡·统考三模)如图，菱形ABCD中，∠ABC=120°,AB=2，点E是AB的中点，点F在AC上．若∠BEF=45°，则线段FG的长为．。
九年级上册数学菱形的性质与判定1练习题
A B C D E F P P B C A D M 菱形的性质练习1、菱形的周长为16cm ，则菱形的边长为_____cm2、菱形ABCD 的对角线AC=8cm ，DB=6cm ，•菱形的边长是________cm3、菱形边长是5cm ，一条对角线长8cm ，则另一条对角线长为______cm ．4、菱形ABCD 的周长为40cm ，两条对角线AC ：BD=4：3，那么对角线AC=______cm ，BD=______cm ．5、若菱形周长为52cm ，一条对角线长为10cm ，则其面积为6、菱形的面积是48cm 2，而对角线长之比是2：3，则其边长是7、已知菱形的周长为96㎝，两个邻角的比是1︰2，这个菱形的较短对角线的长是8、一个菱形两条对角线之比为1︰2，一条较短的对角线长为4cm ，那么菱形的边长为9、已只菱形周长是24cm,一个内角为60°，则面积为________10、如图，菱形ABCD 中∠ABC=120°，AB=12cm ，则∠ABD=_______ ，•∠DAB=______；BD=_______，AC=_______；菱形ABCD 的面积为_______．A B C D A DE PCB F11、如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下，再打开，得到的菱形的面积为12、如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝110°，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC ＝13、菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为14、在菱形ABCD 中，若∠ADC=120°，则BD ：AC 等于15、菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足E 、F 分别为BC 、CD 的中点，那么∠EAF 的度数为______16、如图，菱形ABCD 对角线AC 、BD ，E 是AB 的中点，OE=2cm ，则菱形ABCD 的周长等于 。
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第2课时菱形的判定一、选择题（共10小题）1、在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（﹣2，0），C（0，﹣2），D（2，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（）A、矩形B、菱形C、正方形D、梯形2、用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形（）A、矩形B、菱形C、正方形D、等腰梯形3、如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（）①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．A、①③B、②③C、③④D、①②③4、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（）A、正方形B、等腰梯形C、菱形D、矩形5、（在同一平面内，用两个边长为a的等边三角形纸片（纸片不能裁剪）可以拼成的四边形是（）A、矩形B、菱形C、正方形D、梯形6、用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（）A、等腰梯形B、正方形C、矩形D、菱形7、汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受灾的人们祈福．人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是（）A、正方形B、等腰梯形C、菱形D、矩形8、能判定一个四边形是菱形的条件是（）A、对角线相等且互相垂直B、对角线相等且互相平分C、对角线互相垂直D、对角线互相垂直平分9、四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（）A、平行四边形B、矩形C、菱形D、正方形二、填空题（共8小题）11、（如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是_________ （只填一个你认为正确的即可）．12、如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是_________ ．13、（如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是_________ ．（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）14、在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从（1）AB=CD；（2）AB∥CD；（3）OA=OC；（4）OB=OD；（5）AC⊥BD；（6）AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形．如（1）（2）（5）=＞ABCD是菱形，再写出符合要求的两个：_________ =＞ABCD是菱形；_________ =＞ABCD是菱形．15、若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件_________ （写一个即可），使四边形ABCD是菱形．16、在四边形ABCD中，给出四个条件：①AB=CD，②AD∥BC，③AC⊥BD，④AC平分∠BAD，由其中三个条件推出四边形ABCD是菱形，你认为这三个条件是_________ ．（写四个条件的不给分，只填序号）17、要说明一个四边形是菱形，可以先说明这个四边形是_________ 形，再说明_________ （只需填写一种方法）18、如图，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点O，不添加任何字母和辅助线，要使四边形ABCD 是菱形，则还需添加一个条件是_________ （只需填写一个条件即可）．三、解答题（共11小题）19、（如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE， CE．（1）求证：△ABE≌△ACE；（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．20、如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．（1）求证：△ADE≌△CBF．（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．21、如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．（1）求证：AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．22、已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形．23、如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．24、如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连接AE、CD．（1）求证：AD=CE；（2）填空：四边形ADCE的形状是_________ ．25、如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB（1）求证：四边形EFCD是菱形；（2）设CD=4，求D、F两点间的距离．26、如图，在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AD＞CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C 处，折痕DE交BC于点E，连接C′E．求证：四边形CDC′E是菱形．27、已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F．求证：四边形AFCE是菱形．28、如图，等边△ABC的边长为2，E是边BC上的动点，EF∥AC交边AB于点F，在边AC上取一点P，使PE=EB，连接FP．（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段；（不再另外添加辅助线）（2）探究：当点E在什么位置时，四边形EFPC是平行四边形？并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形，请说明理由；（3）在（2）的条件下，以点E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与平行四边形EFPC四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围．29、如图，已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA．（1）求△ABC所扫过的图形的面积；（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；（3）若∠BEC=15°，求AC的长．答案与评分标准一、选择题（共10小题）1、在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（﹣2，0），C（0，﹣2），D（2，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（）A、矩形B、菱形C、正方形D、梯形考点：坐标与图形性质；菱形的判定。
分析：画出草图，求得各边的长，再根据特殊四边形的判定方法判断．解答：解：在平面直角坐标系中画出图后，可发现这个四边形的对角线互相平分，先判断为平行四边形，对角线还垂直，那么这样的平行四边形应是菱形．故选B．点评：动手画出各点后可很快得到四边形对角线的特点．2、用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形（）A、矩形B、菱形C、正方形D、等腰梯形考点：等边三角形的性质；菱形的判定。
专题：操作型。
分析：由题可知，得到的四边形的四条边也相等，得到的图形是菱形．解答：解：由于两个等边三角形的边长都相等，则得到的四边形的四条边也相等，即是菱形．故选B．点评：本题利用了菱形的概念：四边相等的四边形是菱形．3、（如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（）①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．A、①③B、②③C、③④D、①②③考点：菱形的判定；平行四边形的性质。
专题：计算题。
分析：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．解答：解：根据菱形的判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形可知：①，③正确．故选A．点评：本题考查菱形的判定，即对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．4、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（）A、正方形B、等腰梯形C、菱形D、矩形考点：菱形的判定。
专题：应用题。
分析：首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条彩带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．解答：解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同，所以AB∥CD，AD∥BC，AE=AF．∴四边形ABCD是平行四边形．∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF．又AE=AF．∴BC=CD，∴四边形ABCD是菱形．故选C．点评：本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形是菱形．5、在同一平面内，用两个边长为a的等边三角形纸片（纸片不能裁剪）可以拼成的四边形是（）A、矩形B、菱形C、正方形D、梯形考点：菱形的判定；等边三角形的性质。
专题：操作型。
分析：用两个边长为a的等边三角形拼成的四边形，它的四条边长都为a，根据菱形的定义四边相等的四边形是菱形．解答：解：根据题意得，拼成的四边形四边相等，则是菱形．故选B．点评：此题主要考查了等边三角形的性质，菱形的定义．6、用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（）A、等腰梯形B、正方形C、矩形D、菱形考点：菱形的判定；等边三角形的性质。
分析：由于两个等边三角形的边长都相等，则得到的四边形的四条边也相等，即是菱形．解答：解：由题意可得：得到的四边形的四条边相等，即是菱形．故选D．点评：本题利用了菱形的概念：四边相等的四边形是菱形．7、汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受灾的人们祈福．人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是（）A、正方形B、等腰梯形C、菱形D、矩形考点：菱形的判定。
专题：应用题。
分析：首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．解答：解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同，所以AB∥CD，AD∥BC，AE=AF．∴四边形ABCD是平行四边形．∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF．又AE=AF．∴BC=CD，∴四边形ABCD是菱形．故选C．点评：本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形是菱形．8、能判定一个四边形是菱形的条件是（）A、对角线相等且互相垂直B、对角线相等且互相平分C、对角线互相垂直D、对角线互相垂直平分考点：菱形的判定。
分析：根据菱形的判定方法：对角线互相垂直平分来判断即可．解答：解：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．只有D能判定为是菱形，故选D．点评：本题考查菱形对角线互相垂直平分的判定．9、四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（）A、平行四边形B、矩形C、菱形D、正方形考点：菱形的判定；非负数的性质：偶次方。