函数的定义域与值域

第五节 函数的定义域与值域

[归纳·知识整合]

1．常见基本初等函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于零．

(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R .

(4)y ＝a x

(a ＞0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R . (5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．

(6)y ＝tan x 的定义域为

⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |x ≠k π＋π

2，k ∈Z . (7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．

2．基本初等函数的值域 (1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R . (2)y ＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：

当a >0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥

4ac －b 2

4a ； 当a <0时，值域为⎩

⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤4ac －b 2

4a . (3)y ＝k x

(k ≠0)的值域是{y |y ≠0}． (4)y ＝a x

(a >0且a ≠1)的值域是{y |y >0}． (5)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R . (6)y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是 [－1,1]． (7)y ＝tan x 的值域是R .

[探究] 1.若函数y ＝f (x )的定义域和值域相同，则称函数y ＝f (x )是圆满函数，则函数①y ＝1

x

；

②y ＝2x ；③y ＝ x ；④y ＝x 2

中是圆满函数的有哪几个

2．分段函数的定义域、值域与各段上的定义域、值域之间有什么关系

[自测·牛刀小试]

1．(教材习题改编)函数f (x )＝

4－x

x －1

的定义域为( ) A ．[－∞，4] B ．[4，＋∞) C ．(－∞，4) D ．(－∞，1)∪(1,4] 2．下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是( )

x0

y2345 A．[2,5] B．N C．(0,20] D．{2,3,4,5}

3．若f(x)＝

1

log

1

2

2x＋1

，则f(x)的定义域为( )

D．(0，＋∞)

4．(教材改编题)函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的定义域为________，值域为________．

5．(教材改编题)若x－4有意义，则函数y＝x2－6x＋7的值域是________．

求函数的定义域

[例1] (1)(2012·山东高考)函数f(x)＝

ln x＋1

＋4－x2的定义域为( ) A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2] C．[－2,2] D．(－1,2]

(2)已知函数f(x2－1)的定义域为[0,3]，则函数y＝f(x)的定义域为________．

本例(2)改为f(x)的定义域为[0,3]，求y＝f(x2－1)的定义域．

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简单函数定义域的类型及求法

(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．

(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．

(3)对抽象函数：

①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．

②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．

1．(1)(2012·江苏高考)函数f(x)＝1－2log6x的定义域为________．

(2)已知f(x)的定义域是[－2,4]，求f(x2－3x)的定义域．

[例2] (1)y ＝x －3x ＋1；(2)y ＝x －1－2x ；(3)y ＝x ＋4

x

.

若将本例(3)改为“y ＝x －4

x

”，如何求解

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求函数值域的基本方法

(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域．

(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．

(3)换元法：形如y＝ax＋b±cx＋d(a，b，c，d均为常数，且a≠0)的函数常用换元法求值域，形如y＝ax＋a－bx2的函数用三角函数代换求值域．

4分离常数法：形如y＝cx＋d

ax＋b

a≠0的函数可用此法求值域.

5单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域.

6数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围.

2．求下列函数的值域．

(1)y＝x2＋2x，x∈[0,3]； (2)y＝x2－x

x2－x＋1

； (3)y＝log3x＋log x3－1.

[例3] 已知函数f(x)＝ax2＋bx.若至少存在一个正实数b，使得函数f(x)的定义域与值域相同，求实数a的值．

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由函数的定义域或值域求参数的方法

已知函数的值域求参数的值或取值范围问题，通常按求函数值域的方法求出其值域，然后依据已知信息确定其中参数的值或取值范围．