高中数学 2.3.1双曲线及其标准方程教材分析 新人教A版选修21
高中数学 2.3第06课时 双曲线及其标准方程教案 理 新人教A版选修2-1
课题：双曲线及其标准方程课时：06课型：新授课教学目标：1， 知识与技能目标理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题；理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求双曲线的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．2.过程与方法目标：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力3.情感、态度与价值观目标通过作图展示与操作，必须让学生认同：圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线。
4.能力目标（1）.培养想象与归纳能力，培养学生的辩证思维能力，培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．（2）.数学活动能力：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力．（3）.创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径．新课讲授过程（1）双曲线的定义〖板书〗把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola ）．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M 时，双曲线即为点集P ={}122M MF MF a -=． 强调：a 的条件是什么；如果去掉绝对值还是双曲线了吗？（2）双曲线标准方程的推导过程提问：已知双曲线的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求双曲线标准方程的方法由学生来建立直角坐标系．无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的数学活动过程．类比双曲线：设参量b 的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、,,a b c 的关系有明显的几何意义． 类比：写出焦点在y 轴上，中心在原点的双曲线的标准方程()222210,0y x a b b a-=>>． （3）例题讲解、引申与补充例1 已知双曲线两个焦点分别为()15,0F -，()25,0F ，双曲线上一点P 到1F，2F 距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出,,a b c ．补充：求下列动圆的圆心M 的轨迹方程：① 与⊙C ：()2222x y ++=内切，且过点()2,0A ；② 与⊙1C ：()2211x y +-=和⊙2C ：()2214x y +-=都外切；③ 与⊙1C ：()2239x y ++=外切，且与⊙2C ：()2231x y -+=内切． 解题剖析：这表面上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题．具体解：设动圆M 的半径为r ．① ∵⊙C 与⊙M 内切，点A 在⊙C 外，∴2MC r =-，MA r =，因此有2MA MC -=，∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支，即M 的轨迹方程是()2222127y x x -=≤-； ② ∵⊙M 与⊙1C 、⊙2C 均外切，∴11MC r =+，22MC r =+，因此有211MC MC -=，∴点M 的轨迹是以2C 、1C 为焦点的双曲线的上支，∴M 的轨迹方程是22434134x y y ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭； ③ ∵M 与1C 外切，且M 与2C 内切，∴13MC r =+，21MC r =-，因此124MC MC -=，∴点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的右支，∴M 的轨迹方程是()221245x y x -=≥． 例 2 已知A ，B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340/m s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及A ，B 两地听到爆炸声的时间差，即可知A ，B 两地与爆炸点的距离差为定值．由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程．扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚4s ．已知各观察点到该中心的距离都是1020m ．试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为340/m s ；相关点均在同一平面内）．解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚4s ，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上．如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向分别为x 轴、y 轴方向，建立直角坐标系，设A 、B 、C 分别是西、东、北观察点，则()1020,0A -，()1020,0B ，()0,1020C ． 设(),P x y 为巨响发生点，∵A 、C 同时听到巨响，∴OP 所在直线为y x =-……①，又因B 点比A 点晚4s 听到巨响声，∴()43401360P B P A m -=⨯=．由双曲线定义知，680a =，1020c =，∴3405b =，∴P 点在双曲线方程为222216805340x y -=⨯()680x ≤-……②．联立①、②求出P 点坐标为()6805,6805P -．即巨响在正西北方向68010m 处．探究：如图，设A ，B 的坐标分别为()5,0-，()5,0．直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为49，求点M 的轨迹方程，并与§2．1．例3比较，有什么发现？ 探究方法：若设点(),M x y ，则直线AM ，BM 的斜率就可以用含,x y 的式子表示，由于直线AM ，BM 的斜率之积是49，因此，可以求出,x y 之间的关系式，即得到点M 的轨迹方程．练习：第54页1、2、3课堂小结：作业：第60页1、2补充作业： 1.【2015高考福建，理3】若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（B ）A ．11B ．9C ．5D ．32.【2015高考四川，理5】过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（ D ） (A)433 (B)23 (C)6 （D ）43。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3-2.3.1双曲线及其标准方程课件新人教A版选修2-1
[知识提炼·梳理]
1．双曲线的定义 把平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等 于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点 叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
类型 1 双曲线定义的应用(自主研析)
[典例 1] 已知两定点 F1(－3，0)，F2(3，0)，在平面 内满足下列条件的动点 P 的轨迹中，是双曲线的是( )
Hale Waihona Puke A．||PF1|－|PF2||＝5 B．||PF1|－|PF2||＝6 C．||PF1|－|PF2||＝7 D．||PF1|－|PF2||＝0
1．不要漏了双曲线定义中的[||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜ |F1F2|)]的绝对值符号，当 2a＝|F1F2|时表示两条射线．
2．在双曲线的标准方程中，a＞b 不一定成立．要注 意与椭圆中 a，b，c 的区别．在椭圆中 a2＝b2＋c2，在双 曲线中 c2＝a2＋b2.
人教A版高中数学选修2-1课件：2.3.1双曲线及其标准方程课件
第十四页，编辑于星期日：六点 十五分。
例3 已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚 2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距
离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点的轨迹是以A、 B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.
第十八页，编辑于星期日：六点 十五分。
学习小结: 本节课主要是进一步了解双曲线的定义
及其标准方程,并运用双曲线的定义及其标 准方程解决问题, 体会双曲线在实际生活中 的一个重要应用. 其实全球定位系统就是根 据例 3 这个原理来定位的.
运用定义及现成的模型思考,这是一个 相当不错的思考方向.即把不熟悉的问题往 熟悉的方向转化,定义模型是最原始,也是最 容易想到的地方.
听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测
点晚 4s. 已知各观测点到该中心的距离都是 1020m. 试
确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为
340m/s,相关各点均在同一平面上)
分析:依题意画出图形(如图)
直觉巨响点的位置情况.
P y C
只要能把巨响点满足的两个曲线 A o B x
设 P（x,y）为巨响点， 由 A、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|, 故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上,PO 的方程为 y =－x，
因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声，故|PB|－|PA|=340×4=1360,
由双曲线定义知
P
点在以
A、B
为焦点的双曲线
x2 a2
y2 b2
中学数学 第2章《双曲线及其标准方程》教案 新人教A版选修2-1
§2.3.1 双曲线及其标准方程1．掌握双曲线的定义；2．掌握双曲线的标准方程．（预习教材理P 52~ P 55，文P 45~ P 48找出疑惑之处）复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？复习2：在椭圆的标准方程22221x y a b+=中，,,a b c 有何关系？若5,3a b ==，则?c =写出符合条件的椭圆方程．二、学生探究自学 ※ 学习探究问题1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？如图2-23，定点12,F F 是两个按钉，MN 是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M 移动时，12MF MF -是常数，这样就画出一条曲线； 由21MF MF -是同一常数，可以画出另一支．新知1：双曲线的定义：平面内与两定点12,F F 的距离的差的 等于常数(小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线。
两定点12,F F 叫做双曲线的 ， 两焦点间的距离12F F 叫做双曲线的 ．反思：设常数为2a ，为什么2a <12F F ？2a =12F F 时，轨迹是 ；2a >12F F 时，轨迹 ．试试：点(1,0)A ，(1,0)B -，若1AC BC -=，则点C 的轨迹是 ．新知2：双曲线的标准方程：22222221,(0,0,)x y a b c a b a b-=>>=+（焦点在x 轴） 其焦点坐标为1(,0)F c -，2(,0)F c ．思考：若焦点在y 轴，标准方程又如何？※引导学生探究例1已知双曲线的两焦点为1(5,0)F -，2(5,0)F ，双曲线上任意点到12,F F 的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．变式：已知双曲线221169x y -=的左支上一点P 到左焦点的距离为10，则点P 到右焦点的距离为 ．例2 已知,A B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340/m s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．变式：如果,A B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？小结：采用这种方法可以确定爆炸点的准确位置．※动手试试练1：求适合下列条件的双曲线的标准方程式：（1）焦点在x轴上，4a=，3b=；（2）焦点为(0,6),(0,6)-，且经过点(2,5)-．练2．点,A B的坐标分别是(5,0)-，(5,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们斜率之积是49，试求点M的轨迹方程式，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状．三、总结提升※学习小结1 ．双曲线的定义；2 ．双曲线的标准方程．※知识拓展GPS(全球定位系统)：双曲线的一个重要应用．在例2中，再增设一个观察点C，利用B，C两处测得的点P发出的信号的时间差，就可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定点P的准确位置．※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1．动点P 到点(1,0)M 及点(3,0)N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ）．A. 双曲线B. 双曲线的一支C. 两条射线D. 一条射线2．双曲线2255x ky +=的一个焦点是，那么实数k 的值为（ ）．A ．25-B ．25C ．1-D ．13．双曲线的两焦点分别为12(3,0),(3,0)F F -，若2a =，则b =（ ）．4．已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=则动点P 的轨迹方程为 ．5．已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，则m 的取值范围 ．。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程课件新人教A版选修
梳理
(1)两种形式的标准方程
焦点所在的坐标 轴
标准方程
x轴
y轴
ax22－by22＝1(a>0，b>0) ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
__________________ __________________
图形 焦点坐标
F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) _______________a_2＋__b2_＝__c_2______________
当|PF1|－|PF2|＝±3时，||PF1|－|PF2||＝3<|F1F2|＝4，满足双曲线定义，
P点的轨迹是双曲线.
(2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆 C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_x_2_－__y8_2＝__1_(_x_≤__－__1_) _.
(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的 类型.“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在 x轴 上；若y2 项的系数为正，那么焦点在 y轴 上. (3)双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax2＋By2＝1(AB<0). (4)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线 的定形条件，这里的b2＝ c2－a2 与椭圆中的b2＝ a2－c2 相区别.
答案 解析
反思与感悟
双曲线定义的两种应用 (1)根据双曲线的定义判断动点轨迹时，一定要注意双曲线定义中的各个 条件，不要一看到动点到两个定点的距离之差的绝对值是常数，就认为 其轨迹是双曲线，还要看该常数是否小于两个已知定点之间的距离且大 于零，否则就不是双曲线.
(2)巧妙利用双曲线的定义求曲线的轨迹方程，可以使运算量大大减小， 同时提高解题速度和质量. 其基本步骤为 ①寻求动点M 与定点F1，F2 之间的关系. ②根据题目的条件计算是否满足||MF1|－|MF2||＝2a(常数，a>0). ③判断：若2a<2c＝|F1F2|，满足定义，则动点M 的轨迹就是双曲线，且 2c＝|F1F2|，b2＝c2－a2，进而求出相应a，b，c. ④根据F1，F2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程.思考1
高中数学人教A版选修21课件2.3.1双曲线及其标准方程(系列二)
2．在双曲线的定义中，条件0<2a<|F1F2|不应忽视，若2a＝ |F1F2|，则动点的轨迹是 两；条若射2a线>|F1F2| 则 动 点 的 轨 迹 是 ．不存在
3．双曲线定义中应注意关键词“ ”绝，对若值去掉定义中“
”三个绝字对，值动点轨迹只能是 ．
双曲线一支
题型探究
待定系数法求双曲线的标准方程
3．已知双曲线方程为2x02 －y52＝1，那么它的焦距为
A．10 C. 15
B．5 D．2 15
()
[答案] A
[解析] ∵a2＝20，b2＝5，c2＝25，c＝5，
∴焦距2c＝10.
三、解答题
7．已知双曲线的一个焦点坐标为F1(0，－13)，双曲线上一点 P到两焦点距离之差的绝对值为24，求双曲线标准方程．
[解析] 设双曲线方程为：ay22－bx22＝1(a>0，b>0) 由已知得，2a＝24，∴a＝12，c＝13，∴b＝5， ∴双曲线的标准方程为：1y424－2x52 ＝1.
(不合题意舍去)．
当双曲线的焦点在 y 轴上时， 设双曲线的方程为ay22－bx22＝1(a>0，b>0)．
∵P1、P2 在双曲线上，∴(4a3222－a25()432－b27b4)22＝＝11
a12＝19 解得
b12＝116
，即 a2＝9，b2＝16.
∴所求双曲线方程为y92－1x62 ＝1.
解法二：因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲 线方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)，因 P1、P2 在双曲线上，所 以有
人教版 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
2.3 双曲线
2.3.1 双曲线及其标准方程Fra bibliotek学习方法
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线及其标准方程学案 新人教A版选修21
2.3.1 双曲线及其标准方程1.了解双曲线的定义及焦距的概念.2.了解双曲线的几何图形、标准方程.(重点)3.能利用双曲线的定义和待定系数法去求双曲线的标准方程.(重点)[基础·初探]教材整理1 双曲线的定义阅读教材P 52～P 53“探究”以上部分，完成下列问题.把平面内与两个定点F 1，F 2距离的________等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这________叫做双曲线的焦点，________叫做双曲线的焦距.【答案】 差的绝对值 两个定点 两焦点间的距离判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在双曲线标准方程中，a ，b ，c 之间的关系与椭圆中a ，b ，c 之间的关系相同.( ) (2)点A (1,0)，B (－1,0)，若|AC |－|BC |＝2，则点C 的轨迹是双曲线.( )(3)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b2＝1中，a ＞0，b ＞0，且a ≠b .( )【答案】 (1)× (2)× (3)× 教材整理2 双曲线的标准方程阅读教材P 53～P 54“例1”以上部分，完成下列问题.【答案】 a 2－b 2＝1 a 2－b2＝1 (－c,0) (c,0) (0，－c ) (0，c ) a 2＋b 2若方程x 2m 2＋1－y 2m 2－3＝1表示双曲线，则实数m 满足( )A.m ≠1且m ≠－3B.m ＞1C.m ＜－3或m ＞ 3D.－3＜m ＜1【解析】 因为方程x 2m 2＋1－y 2m 2－3＝1表示双曲线，而m 2＋1＞0恒成立，所以m 2－3＞0，解得m ＜－3或m ＞3，故选C.【答案】 C[小组合作型]已知双曲线9－16＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积.【精彩点拨】 在△F 1PF 2中，分析三角形中已有的条件，结合定义和余弦定理可得|F 1F 2|、|PF 1|、|PF 2|三者的关系.【自主解答】 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.求双曲线中的焦点三角形△PF 1F 2面积的方法(1)①根据双曲线的定义求出||PF 1|－|PF 2||＝2a ；②利用余弦定理表示出|PF 1|、|PF 2|、|F 1F 2|之间满足的关系式；③通过配方，整体的思想求出|PF 1|·|PF 2|的值；④利用公式S △PF 1F 2＝12×|PF 1|·|PF 2|sin∠F 1PF 2求得面积.(2)利用公式S △PF 1F 2＝12×|F 1F 2|×|y P |求得面积.[再练一题]1.已知定点A 的坐标为(1,4)，点F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，点P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________.【解析】 由双曲线的方程可知a ＝2，设右焦点为F 1，则F 1(4,0).|PF |－|PF 1|＝2a ＝4，即|PF |＝|PF 1|＋4，所以|PF |＋|PA |＝|PF 1|＋|PA |＋4≥|AF 1|＋4，当且仅当A ，P ，F 1三点共线时取等号，此时|AF 1|＝－2＋42＝25＝5，所以|PF |＋|PA |≥|AF 1|＋4＝9，即|PF |＋|PA |的最小值为9.【答案】 9(1)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5且焦点在坐标轴上；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上.【精彩点拨】 (1)所求双曲线的焦点位置不确定，怎样求解？(2)已知半焦距时，如何设双曲线的标准方程？【自主解答】 (1)设双曲线方程为x 2m ＋y 2n＝1(mn ＜0).∵P ，Q 两点在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9，∴所求双曲线的方程为y 29－x 216＝1. (2)∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线的方程为x 2λ－y 26－λ＝1(0＜λ＜6).∵双曲线过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1， 解得λ＝5或λ＝30(舍去)，∴所求双曲线的方程为x 25－y 2＝1.1.求双曲线标准方程的步骤(1)确定双曲线的类型，并设出标准方程； (2)求出a 2，b 2的值.2.当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)来求解.[再练一题]2.求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)一个焦点是(0，－6)，经过点A (－5,6)； (2)a ＝5，c ＝7.【解】 (1)由已知c ＝6，且焦点在y 轴上，另一焦点为(0,6). 由双曲线定义得：2a ＝|－5－2＋＋2－－5－2＋－2|＝8.∴a ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝20. ∴所求双曲线的标准方程为y 216－x 220＝1. (2)由已知a ＝5，c ＝7， ∴b 2＝c 2－a 2＝24，焦点不确定， ∴所求双曲线的标准方程为x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1.[探究共研型]探究1 【提示】 若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a ).探究2 如何解决双曲线中与焦点三角形有关的问题？【提示】 首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.某地发生地震，为了援救灾民，救援队在如图231所示的P 处收到了一批救灾药品，现要把这批药品沿道路PA ，PB 运送到矩形灾民区ABCD 中去，已知PA ＝100 km ，PB ＝150 km ，BC ＝60 km ，∠APB ＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA 送药较近，而另一侧的点沿道路PB 送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线，并求出其方程.【导学号：37792066】图231【精彩点拨】 审题可得界线是使沿道路PA 和PB 送药一样远近的曲线，设M 为界线上任一点，则根据已知条件，得|PA |＋|MA |＝|PB |＋|MB |，据此设出双曲线的标准方程，用待定系数法求解即可.【自主解答】 灾民区ABCD 中的点可分为三类，第一类沿道路PA 送药较近，第二类沿道路PB 送药较近，第三类沿道路PA 和PB 送药一样近.依题意，知界线是第三类点的轨迹.设M 为界线上的任一点， 则|PA |＋|MA |＝|PB |＋|MB |，即|MA |－|MB |＝|PB |－|PA |＝50(定值).因为|AB |＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝507>50， 所以界线是以A ，B 为焦点的双曲线的右支的一部分.如图所示，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系.设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0).因为a ＝25，c ＝257， 所以b 2＝c 2－a 2＝3 750.故双曲线的标准方程为x 2625－y 23 750＝1.注意到点C 的坐标为(257，60)， 故y 的最大值为60，此时x ＝35. 故界线的曲线方程为x 2625－y 23 750＝1(25≤x ≤35,0≤y ≤60).利用双曲线解决实际问题的基本步骤建立适当的坐标系. 求出双曲线的标准方程.根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题.注意：①解答与双曲线有关的应用问题时，除要准确把握题意，了解一些实际问题的相关概念，同时还要注意双曲线的定义及性质的灵活应用；②实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围.[再练一题]3.如图232，B 地在A 地的正东方向4 km 处，C 地在B 地的北偏东30°方向2 km 处，河流的沿岸PQ (曲线)上任意一点到A 地的距离比到B 地的距离远2 km.现要在河岸PQ 上选一处M 建码头，向B ，C 两地转运货物.经测算，修建公路的费用是a 万元/km ，求修建这两条公路的总费用最低是多少.图232【解】 以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点为原点建立平面直角坐标系(图略).根据题意，得C (3，3).因为|MA |－|MB |＝2<|AB |，所以点M 的轨迹是双曲线x 2－y 23＝1的右支.总费用为a |MB |＋a |MC |＝a (|MB |＋|MC |).因为|MB |＋|MC |＝|MA |－2＋|MC |≥|AC |－2＝27－2，当M ，A ，C 三点共线时，等号成立，所以总费用最低为(27－2)a 万元.1.已知m ，n ∈R ，则“mn ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n＝1表示双曲线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线，必有mn ＜0；当mn ＜0时，方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线，所以“mn ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n＝1表示双曲线”的充要条件.【答案】 C2.以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是( )A.x 23－y 2＝1 B.y 2－x 23＝1C.x 23－y 24＝1 D.y 23－x 24＝1 【解析】 椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为F 1(0,1)，F 2(0，－1)，长轴的端点A 1(0,2)，A 2(0，－2)，所以对于所求双曲线a ＝1，c ＝2，b 2＝3，焦点在y 轴上，双曲线的方程为y 2－x 23＝1.【答案】 B3.设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.【导学号：37792067】【解析】 由点F (0,5)可知该双曲线y 2m －x 29＝1的焦点落在y 轴上，所以m ＞0，且m ＋9＝52，解得m ＝16.【答案】 164.求满足下列条件的双曲线的标准方程.(1)已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5； (2)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2).【解】 (1)由已知，可设所求双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧32a 2－9b 2＝1，25a 2－8116b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝9，所以双曲线的方程为y 216－x 29＝1.(2)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0).由题意知c ＝2 5.因为双曲线过点(32，2)，所以22a 2－4b2＝1.又因为a 2＋b 2＝(25)2， 所以a 2＝12，b 2＝8.故所求双曲线的方程为x 212－y 28＝1.。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.32.3.1 双曲线及其
2．3 双曲线 2．3.1 双曲线及其标准方程
[学习目标] 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准 方程的推导过程． 2.掌握双曲线的标准方程(重点)． 3. 会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题(难 点)．
[知识提炼·梳理]
1．双曲线的定义 把平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等 于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点 叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
所以|PF2|＝1 或|PF2|＝33. 又|PF2|≥c－a＝2，所以|PF2|＝33. 答案：33
类型 1 双曲线定义的应用(自主研析)
[典例 1] 已知两定点 F1(－3，0)，F2(3，0)，在平面 内满足下列条件的动点 P 的轨迹中，是双曲线的是( )
A．||PF1|－|PF2||＝5 B．||PF1|－|PF2||＝6 C．||PF1|－|PF2||＝7 D．||PF1|－|PF2||＝0
解：对于选项 A，因为|F1F2|＝6，所以||PF1|－|PF2|| ＝5＜|F1F2|，故动点 P 的轨迹是双曲线；
对于选项 B，因为||PF1|－|PF2||＝6＝|F1F2|，所以动 点 P 的轨迹是以 F1 和 F2 为端点的两条射线(含端点)；
对于选项 C，因为||PF1|－|PF2||＝7＞|F1F2|，所以动 点 P 的轨迹不存在；
所以|PF1|＝2|PF2|＝4 2， |PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2
则 cos ∠F1PF2＝ 2|PF1|·|PF2| ＝
（4 22）×24＋（2×2 22）2 2－42＝34. 答案：C
[迁移探究 1] (变换条件)上例中将条件“|PF1|＝ 2|PF2|” 改 为 “∠F1PF2 ＝ 60” ， 则 △F1PF2 的 面 积 是 ________．
(教师参考)高中数学 2.3.1 双曲线及其标准方程课件1 新人教A版选修2-1
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10
双曲线标准方程推导
求曲线方程的步骤：
y
1.建系
M
以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中
点为原点建立直角坐标系
2.设点．
F1 O F2 x
设M（x , y）,则F1(-c,0),F. 2(c,0)
3.限式 |MF1| - |MF2|=±2a
4.代换 即 (x c )2 y 2(x c )2 y 2 2 a
x2 y2 1
(2) 双曲线的标准方程为__9_____1__6_____
(3)双曲线上一点Ｐ， |PF1|=10, 则|PF2|=_4_或__1_6____
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15
小结 ----双曲线定义及标准方程
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M M
F2
图象
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M
F1 o F2
||MF1| - |MF2||=常数（小于|F1F2|）
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8
探究:
(1)已知A(-5,0),B(5,0),M点到A,B两点的距离之差 为8,则M点的轨迹是什么?
双曲线的一支
(2)已知A(-5,0),B(5,0),M点到A,B两点的距离之差 的绝对值为10,则M点的轨迹是什么?
第二章 圆锥曲线与方程
2.3.1 双曲线及其标准方程
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1
如果我是双曲线，你就是那渐近线 如果我是反比例函数，你就是那坐标轴 虽然我们有缘，能够生在同一个平面 然而我们又无缘，漫漫长路无交点 为何看不见，等式成立要条件 难到正如书上说的，无限接近不能达到 为何看不见，明月也有阴晴圆缺 此事古难全，但愿千里共婵娟
高中数学人教A版选修2-1第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程第一课时教学课件 (共18张PPT)
当堂检测答案
1 、 （ 1 ) （ 6 , 0 ） ; ( 2 ) （ 0 ， 5 ）
2、
x2 y2 1
54
3、 x 2 y 2 1 36 64
4、 14
A层：课后高效作业
B层：收集资料，调查GPS全球定位系统的 原理，体会双曲线在实际生活中的应用。
读一本好书，就是和许多高尚的人谈话读书时，我愿在每一个美好思想的面前停留，就像在每一条真理面前停留一样。书籍是在时代的波涛中航行的思想 心翼翼地把珍贵的货物运送给一代又一代。好的书籍是最贵重的珍宝是唯一不死的东西。书籍使人们成为宇宙的主人。书中横卧着整个过去的灵书不仅是 是现在、过去和未来文化生活的源泉。书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。书籍便是这种改造灵魂的工具。人类所需要的， 性的养料。而阅读，则正是这种养料。不敢妄为些子事，只因曾读数行书。只是对于一件事情很长时间很热心地去考虑罢了。只要愿意学习，就一定能够 书的人，他必定不致缺少一个忠实的朋友一个良好的导师一个可爱的伴侣一个优婉的安慰者。读书当将破万卷；求知不叫一疑存。读书如吃饭，善吃者长 吃者长疾瘤。读书不趁早，后来徒悔懊。 读书是易事，思索是难事，但两者缺一，便全无用处。 读书何所求?将以通事理。伟大的成绩和辛勤劳动是成正 一分劳动就有一分收获，日积月累，从少到多，奇迹就可以创造出来。敏而好学，不耻下问。不学，则不明古道，而能政治太平者未之有也。 若不抽出时
1.类比椭圆，用规范术语说出双曲线定义， 并推导出标准方程； 2.记忆标准方程形式，识别焦点所在的轴，
区分椭圆与双曲线； 3.利用所给条件写出双曲线的标准方程。
问题：椭圆的定义是什么？
平面内与两个定点F1、F2的距离的差和等于常数（大于|F1F2| ）
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2015高中数学 2.3.1双曲线及其标准方程教材分析 新人教A版选修
2-1
教材分析与处理
（一）教材的地位与作用
学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化
和提高。如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。所以说本节课
的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质的学习打下基
础。
（二）教学目标
1、知识与技能：理解双曲线的定义并能独立推导标准方程；
2、过程与方法：通过定义及标准方程的挖掘与探究 ，使学生进一步体验类比、数形
结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；
3、情感态度与价值观：通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，
培养学生用联系的观点认识问题。
（三）教学重点、难点
依据教学目标，根据学生的认知规律，确定本节课的重点为理解和掌握双曲线的定义
及其标准方程。难点为双曲线标准方程的推导。
（四）教材处理
我对教学内容作了一点补充：教材中是借用细绳画出的双曲线图形，而我改用微课程再
现这一过程，学生看到双曲线形成的过程，而且较易看出椭圆与双曲线的联系和区别。然后
安排了一个小实验，让学生亲自动手实践这一过程，在实践的过程中，体验双曲线形成的过
程与双曲线上的点所具有的性质，为推导双曲线的标准方程奠定基础。
教材分析
1、教材的地位和作用。
《双曲线及其标准方程》选自人教版普通高中数学选修2-1，第二章《圆锥曲线方程》
的第二节。“双曲线”是高中阶段学习的几种重要的圆锥曲线之一，是学生在椭圆的基础上，
对圆锥曲线知识体系的一次扩充。通过这节课的学习，可以帮助学生更深入地理解圆锥曲线，
体会不同的圆锥曲线之间的区别与联系，同时标准方程的推导对学生掌握坐标法的训练方面
有着不可忽视的作用。
2、课时安排，
根据本节课的内容和大纲的要求。“双曲线及其标准方程”安排两课时，第一课时侧重
概念的引入、定义的理解及标准方程的推导；第二课时侧重方程的进一步研究和双曲线的实
际应用。本节内容为第一课时。
3、重点与难点。
本节课的重点是：双曲线的定义及其标准方程。本节课的难点是：双曲线标准方程的推
导。