勾股定理(知识点+题型分类练习)

A

B

C

a b c

弦股

勾勾股定理（知识点）

【知识要点】 1. 勾股定理的概念：

如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2

＋b 2

＝c 2

. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

常用关系式

由三角形面积公式可得：AB ·CD=AC ·BC

2. 勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2

，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。 3. 勾股数：

①满足a 2

＋b 2

＝c 2

的三个正整数叫做勾股数

（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。）

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；

2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）

4.判断直角三角形：

（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 （4）如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2

+b 2

=c 2

，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）

用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为c ）；

（2）若c 2

＝a 2

＋b 2

，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；

若a 2

＋b 2

＜c 2

，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2

＋b 2

＞c 2

，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边） 5.直角三角形的性质

（1）直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90°

（2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30°

可表示如下： ?BC =2

1AB ∠C=90°

（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 ∠ACB=90°

可表示如下： ?CD =2

1

AB = BD = AD D 为AB 的中点 6.数轴上表示无理数

第一步：分析所有表示二次根式中被开方数可以写成哪两个有理数的和

第二步：在数轴上画出其中一个有理数，以该有理数为垂足做垂线，在垂线上标出第二个有理数的长度。连接端点和原点，以原点为圆心，端点为半径画圆，于数轴交点即为所有无理数。

勾股定理专项练习

一、基本应用 考点1：勾股定理

1.下列是勾股数的一组是（ D ）

A.4,5,6

B.5,7,12

C.12,13,15

D.21,28,35

2.△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=2：1：1，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则下列各等式中成立的是（ ） A.a 2

+b 2

=c 2

B.a 2

=2b 2

C.c 2

=2a 2

D.b 2

=2a 2

3.矩形ABCD,AB=5 cm,AC=13 cm,则这个矩形的面积为 60 cm 2

.

4.如图，在△ABC 中，∠BAC=90o，AB=15，AC=20，AD⊥BC，垂足为D ，则△ABC 斜边上的高AD= 12 ．

5.已知等腰三角形底边长为10cm ，腰长为13cm ，则腰上的高．．．．

为( C ) A.12cm B.6013cm C.12013cm D.10

13cm

6.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 6，8，10 ．

7.（易错题）已知直角三角形的两边x ，y 的长满足│x－4│+

3 y =0，则第三边的长为 5或 .

8.若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 的可能值有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.已知直角三角形两边长分别为3、4，则第三边长为 ．

10.已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为10，则直角三角形的两直角边的长分别为 ． 11.如图，分别以Rt △ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，容易得出S 1、S 2、S 3之间有的关系式 S 1+S 2=S 3 ．

12.（易错题）如图，已知在Rt △ABC 中∠ACB=90°，AB=4，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为S 1，S 2，则S 1+S 2的值等于 2π ．

13.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为 49 cm 2

。

第4题 第11题 第12题 第13题

14.在Rt△ABC，∠C=90°

（1）已知c=17，b=8, 求a。（a=15）

（2）已知a∶b=1∶2，c=5, 求a。（a=）

（3）已知b=15，∠A=30°，求a，c。（a=，c=）

15.若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。（n=2）

16.若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。（S=96）

考点2.勾股定理逆定理

1.以下列各组线段为边长，能构成三角形的是_________，能构成直角三角形的是_________．（填序号）

①3，4，5 ② 1，3，4 ③ 4，4，6 ④ 6，8，10 ⑤ 5，7，2 ⑥ 13，5，12 ⑦ 7，25，24

2.在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ D ）

A.a=9，b=41，c=40

B.a=b=5，c=2

5 C.a∶b∶c=3∶4∶5 D.a=11，b=12，c=15

3.若一个三角形三边长的平方分别为：32，42，x2，则此三角形是直角三角形的x2的值是（ D ）

A．42 B．52 C．7 D．52或7

4.下列说法不正确的是（ B ）

A.三个角的度数之比为1∶3∶4的三角形是直角三角形

B.三个角的度数之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形

C.三边长度之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形

D.三边长度之比为5∶12∶13的三角形是直角三角形

5.若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（ C ）

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

6.有下列说法：①若两直角边的平方和等于斜边的平方，则此三角形是直角三角形；②在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若a2+b2＞c2，则△ABC是钝角三角形；③在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若b2+c2=a2，则∠C=900；④在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，∠C≠

900，则a 2+b 2≠c 2

。其中正确的是（ D ）

A.①②③

B.②③④

C.②④

D.④ 7.下列说法中正确的有（ ）

①如果∠A+∠B+∠C=3：4：5，则△ABC 是直角三角形；②如果∠A+∠B=∠C ，那么△ABC 是直角三角形；③如果三角形三边之比为6：8：10，则ABC 是直角三角形；④如果三边长分别是n 2

-1，2n ，n 2

+1（n ＞1），则△ABC 是直角三角形。

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

8.若13-c +|a-12|+(b-5)2

=0,则以a 、b 、c 为三边的三角形是 直角 三角形.

9.如果△ABC 的三边a,b,c 满足关系式182-+b a +（b-18）2

+30-c =0则△ABC 是 三角形。 10.已知:a 、b 、c 为△ABC 的三边,且满足a 2c 2

-b 2c 2

=a 4

-b 4

,试判断△ABC 的形状. 解:∵a 2c 2

-b 2c 2

=a 4

-b 4

,① ∴c 2

(a 2

-b 2

)=(a 2

+b 2

)(a 2

-b 2

).② ∴c 2

=a 2

+b 2

.③

∴△ABC 是直角三角形.

问:(1)在上述解题过程中,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号: ③

(2)错误的原因为 除数可能为零 ;

11.已知△ABC 的三边为a 、b 、c ，且2:1:1::=c b a ，求三角形三个内角度数的比（∠A ：∠B ：∠C=1:1：

12.△ABC 的三边a 、b 、c 满足0)40(32|50|2=-+--+-+c b a b a ．试判断△ABC 的形状．（直角三角形）

13.已知△ABC 的三边为a 、b 、c ，且a+b=4，ab=1，c=14，试判定△ABC 的形状。 （直角三角形）

14.若△ABC的三边a，b，c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判定△ABC的形状．（直角三角形）

15.一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为多少米？此三角形的形状为？（6；8；10；直角三角形）

16.若△ABC的三边长为a,b,c，根据下列条件判断△ABC的形状.

（1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c (2)a3－a2b+ab2－ac2+bc2－b3=0

考点3.数轴表示无理数（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

1.用圆规与尺子在数轴上作出表示13的点，并补充完整作图方法

2.在数轴上画出表示17的点？

3.在数轴上作出表示3-2的点

考点4:勾股定理几何应用

1.如图在矩形ABCD 中,M 是CD 中点，AB=8，AD=3．（1）求AM 的长；（2）△MAB 是直角三角形吗？为什么？ （AM=5；不是直角三角形）

2.如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是AB 边上高，若AD=8，BD=2，求CD ．（CD=4）

3.一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB=3m ，已知木箱高BE=3m ，斜面坡角为30°，

求木箱端点E 距地面AC 的高度EF 。（EF=3）

4.有一块土地形状如图所示,∠B=∠D=90°,AB=20米,BC=15米,CD=7米,请计算这块地的面积.（S=234）

5.四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。（S=36）

6.如图，在四边形ABCD 中,AB=12 cm,BC=3 cm,CD=4 cm,∠C=90°(1)求BD 的长;（BD=5）(2)当AD 为多少时,∠ABD=90°?（AD=13）

A

B

C

D

7.农民牛伯伯承包了一块四边形水稻田ABCD ，他量得边长AB=90m ，BC=120m ，CD=130m ，DA=140m ，且边AB 、BC 正好位于两条相互垂直的公路的拐角处，请你帮牛伯伯计算一下这块水稻田的面积。（S=13800）

8.如图所示的一块地，AD=12m ，CD=9m ，∠ADC=90°，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积．

（二）、实际应用： 1. 梯子滑动问题：

1.一架长

2.5m 的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m （如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m ，那么梯子底端将向左滑动 0.8 米

2.如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 -1 米

3.小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1 m ，当他把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为 12 米

4.如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 18 。

第1题 第2题 第4题

5.如图，一个3米长的梯子AB ，斜着靠在竖直的墙AO 上，这时AO 的距离为2.5米．

①求梯子的底端B 距墙角O 多少米？（1.66）②如果梯的顶端A 沿墙下滑0.5米至C 算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）．（0.58）

6.如图所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O 的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m．现

将梯子的底端A向外移动到A′,使梯子的底端A′到墙根O的距离为3m，同时梯子的顶端B下降到B′，

那么BB′也等于1m吗?（不等于1，小于1）

2. 爬行距离最短问题：

1.如图，正方体盒子的棱长为2，AB中点为M，一只蚂蚁从点M沿正方体的表面爬到点C'，蚂蚁爬行的最短距离是（ B ）

2+

A.13

B.17

C.5

D.5

2.如图，一块砖宽AN=5㎝，长ND=10㎝，CD上的点F距地面的高FD=8㎝，地面上A处的一只蚂蚁到F 处吃食，要爬行的最短路线是 17 cm

3.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是 25 分米？

4.一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是 10 .

5.在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且>AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，求一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路 2.6 ．

第1题第2题第3题第4题第5题

3.方向问题：

1.一座垂直于两岸的桥长15米,一艘小船自桥北头出发,向正南方向驶去,因水流原因,到达南岸后,发现已偏离桥南头9米,则小船实际行驶了___334___米.

2.一职工下班后以50米/分的速度骑自行车沿着东西马路向东走了5.6分,又沿南北马路向南走了19.2分到家,则他的家离公司距离为（ D ）

A.100m

B.500m

C.1 240m

D.1 000m

3.有一次，小明坐着轮船由A点出发沿正东方向AN航行，在A点望湖中小岛M，测得∠MAN＝30°，当他

到B 点时，测得∠MBN ＝45°，AB ＝100米，你能算出AM 的长吗？（x=50+50 ）

4.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？（西北方向）

5.一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km ，接着，它又掉头向正东方向航行15千米．

⑴ 此时轮船离开出发点多少km? （17km ）

⑵ 若轮船每航行1km ，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?（9.2km ）

6.甲、乙两船上午11时同时从港口A 出发,甲船以每小时20海里的速度向东北方向航行,乙船以每小时15海里的速度向东南方向航行,求下午1时两船之间的距离.（50海里）

4.折叠问题：

1.如图，在长方形ABCD 中，将△ABC 沿AC 对折至△AEC 位置，CE 与AD 交于点F 。 （1）试说明：AF=FC ；（2）如果AB=3，BC=4，求AF 的长

M

A

B N

D 2.如图，正方形ABCD 中，

E 是BC 边上的中点，

F 是AB 上一点，且14

FB AB ，那么△DEF 是直角三角形吗？

为什么？

3.如图，矩形纸片ABCD 的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长是多少？（DE=5，EF= ）

4.如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，如果将该矩形沿对角线BD 折叠，那么图中阴影部分的面积是多少？

5.利用勾股定理测量长度

1.如图，水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC.（S=

）

2.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出

1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺．求竹竿高与门高．（门高7.5；竿高8.5）