勾股定理知识点题型分类练习
ABCab
c弦
股勾
勾股定理（知识点） 【知识要点】 1. 勾股定理的概念： 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
常用关系式 由三角形面积公式可得：AB·CD=AC·BC
2. 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
3. 勾股数： ①满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数 （注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。） ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n组勾股数： 221,2,1nnn（2,nn为正整数）；
2221,22,221nnnnn（n为正整数）
2222,2,mnmnmn（,mnm，n为正整数）
4.判断直角三角形： （1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。 （3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 （4）如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。 （经典直角三角形：勾三、股四、弦五） 用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为c）；
（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形； 若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）； 若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边） 5.直角三角形的性质 （1）直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90° （2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30°
可表示如下： BC =21AB ∠C=90° （3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 ∠ACB=90°
可表示如下： CD =21AB = BD = AD D为AB的中点 6.数轴上表示无理数
第一步：分析所有表示二次根式中被开方数可以写成哪两个有理数的和 第二步：在数轴上画出其中一个有理数，以该有理数为垂足做垂线，在垂线上标出第二个有理数的长度。连接端点和原点，以原点为圆心，端点为半径画圆，于数轴交点即为所有无理数。
勾股定理专项练习 一、基本应用 考点1：勾股定理 1.下列是勾股数的一组是（ D ） A.4,5,6 B.5,7,12 C.12,13,15 D.21,28,35 2.△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：1：1，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则下列各等式中成立的是（ ） A.a2+b2=c2 B.a2=2b2 C.c2=2a2 D.b2=2a2 3.矩形ABCD,AB=5 cm,AC=13 cm,则这个矩形的面积为 60 cm2. 4.如图，在△ABC中，∠BAC=90º，AB=15，AC=20，AD⊥BC，垂足为D，则△ABC斜边上的高AD= 12 ． 5.已知等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高．．．．为( C )
A.12cm B.6013cm C.12013cm D.1013cm 6.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 6，8，10 ． 7.（易错题）已知直角三角形的两边x，y的长满足│x－4│+3y=0，则第三边的长为 5或√7 . 8.若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的可能值有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.已知直角三角形两边长分别为3、4，则第三边长为 ． 10.已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为10，则直角三角形的两直角边的长分别为 ． 11.如图，分别以Rt △ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、
S3之间有的关系式 S1+S2=S3 ． 12.（易错题）如图，已知在Rt△ABC中∠ACB=90°，AB=4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于 2π ． 13.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为 49 cm2。
第4题 第11题 第12题 第13题 14.在Rt△ABC，∠C=90° （1）已知c=17，b=8, 求a。（a=15） （2）已知a∶b=1∶2，c=5, 求a。（a=√5） （3）已知b=15，∠A=30°，求a，c。（a=5√3，c=10√3）
15.若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。（n=2） 16.若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。（S=96） 考点2.勾股定理逆定理 1.以下列各组线段为边长，能构成三角形的是_________，能构成直角三角形的是_________．（填序号） ①3，4，5 ② 1，3，4 ③ 4，4，6 ④ 6，8，10 ⑤ 5，7，2 ⑥ 13，5，12 ⑦ 7，25，24 2.在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ D ） A.a=9，b=41，c=40 B.a=b=5，c=25 C.a∶b∶c=3∶4∶5 D.a=11，b=12，c=15 3.若一个三角形三边长的平方分别为：32，42，x2，则此三角形是直角三角形的x2的值是（ D ） A．42 B．52 C．7 D．52或7 4.下列说法不正确的是（ B ） A.三个角的度数之比为1∶3∶4的三角形是直角三角形B.三个角的度数之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形 C.三边长度之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形 D.三边长度之比为5∶12∶13的三角形是直角三角形 5.若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（ C ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 6.有下列说法：①若两直角边的平方和等于斜边的平方，则此三角形是直角三角形；②在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若a2+b2＞c2，则△ABC是钝角三角形；③在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若b2+c2=a2，则∠C=900；④在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，∠C≠900，则a2+b2≠c2。其中正确的是（ D ） A.①②③ B.②③④ C.②④ D.④ 7.下列说法中正确的有（ ） ①如果∠A+∠B+∠C=3：4：5，则△ABC是直角三角形；②如果∠A+∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形；③如果三角形三边之比为6：8：10，则ABC是直角三角形；④如果三边长分别是n2-1，2n，n2+1（n＞1），则△ABC是直角三角形。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.若13c+|a-12|+(b-5)2=0,则以a、b、c为三边的三角形是 直角 三角形. 9.如果△ABC的三边a,b,c满足关系式182ba +（b-18）2+30c=0则△ABC是 三角形。 10.已知:a、b、c为△ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状. 解:∵a2c2-b2c2=a4-b4,① ∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2).② ∴c2=a2+b2.③ ∴△ABC是直角三角形. 问:(1)在上述解题过程中,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号: ③ (2)错误的原因为 除数可能为零 ;
11.已知△ABC的三边为a、b、c，且2:1:1::cba，求三角形三个内角度数的比（∠A：∠B：∠C=1:1：:√2）
12.△ABC的三边a、b、c满足0)40(32|50|2cbaba．试判断△ABC的形状．（直角三角形） 13.已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=14，试判定△ABC的形状。 （直角三角形） 14.若△ABC的三边a，b，c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判定△ABC的形状．（直角三角形） 15.一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为多少米？此三角形的形状为？ （6；8；10；直角三角形）
16.若△ABC的三边长为a,b,c，根据下列条件判断△ABC的形状. （1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c (2)a3－a2b+ab2－ac2+bc2－b3=0
考点3.数轴表示无理数（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 1.用圆规与尺子在数轴上作出表示13的点，并补充完整作图方法
2.在数轴上画出表示17的点？ 3.在数轴上作出表示3-2的点 考点4:勾股定理几何应用 1.如图在矩形ABCD中,M是CD中点，AB=8，AD=3．（1）求AM的长；（2）△MAB是直角三角形吗？为什么？ （AM=5；不是直角三角形） 2.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上高，若AD=8，BD=2，求CD．（CD=4） 3.一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB=3m，已知木箱高BE=3m，斜面坡角为30°，求木箱端点E距地面AC的高度EF。（EF=3）
4.有一块土地形状如图所示,∠B=∠D=90°,AB=20米,BC=15米,CD=7米,请计算这块地的面积.（S=234） 5.四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。（S=36）
6.如图，在四边形ABCD中,AB=12 cm,BC=3 cm,CD=4 cm,∠C=90°(1)求BD的长;（BD=5）(2)当AD为多少时,∠ABD=90°?（AD=13）
7.农民牛伯伯承包了一块四边形水稻田ABCD，他量得边长AB=90m，BC=120m，CD=130m，DA=140m，且边AB、BC正好位于两条相互垂直的公路的拐角处，请你帮牛伯伯计算一下这块水稻田的面积。（S=13800）
ABCD
八年级《勾股定理》知识点归纳和题型归类
勾股定理知识点归纳和题型归类 一．知识归纳１．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EF G H S S S∆+=正方形正方形ABCD，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++，所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b=+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c ，cbaHG F EDCB Abacbac cabcab a bcc baE D CBAb，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a，b，c满足222a b c+=，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b+与较长边的平方2c作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若222a b c+<，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c+>，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a，b，c及222a b c+=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足222a c b+=，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c+=中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n组勾股数：丢番图发现的：式子nmnmmnnm>+-(,2,2222的正整数）毕达哥拉斯发现的：122,22,1222++++nnnnn（1>n的整数）柏拉图发现的：1,1,222+-n n n （1>n 的整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.．勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． ９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒． ⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长题型二：应用勾股定理建立方程 例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠，1.5CD =，2.5BD =，求AC 的长例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积题型三：实际问题中应用勾股定理 例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m 。
勾股定理知识点与常见题型总结
勾股定理复习一．知识归纳 １．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形， ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b =，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ① 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法， ② 若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形； ③ 若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：cba HG F EDCBA bacba c ca bcab a bc c baE D CBA221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题． ８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为 2cm例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长例 4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积ABC30°DCB A ADBCCB DA21EDCBA题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c =题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =勾股定理练习一．填空题：1. 在Rt △ABC 中，∠C=90°（1）若a=5，b=12，则c=________； （2）b=8，c=17，则S △ABC =________。
勾股定理知识点+例题详解
勾股定理一．知识归纳 １．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCB A方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则cb =，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n m nm n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求８．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． ９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：ABC30°D CB A ADB CCB DA题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c +=解：⑴10AB =⑵8BC ==题型二：应用勾股定理建立方程 例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解 解：⑴4AC ， 2.4AC BCCD AB⋅== DBAC⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解：作DE AB ⊥于E ， 12∠=∠，90C ∠=︒ ∴ 1.5DE CD == 在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆ AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mABCD E分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则6AE =m ，8DE =m在Rt ADE ∆中，由勾股定理得10AD答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c = 解：①22221.52 6.25a b +=+= ，222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒②22139b c +=，22516a =，222bc a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？解：此三角形是直角三角形理由：222()264a b a b ab +=+-= ，且264c = 222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明：D CBAAD 为中线，5BD DC ∴==cm在ABD ∆中，22169AD BD += ，2169AB =222AD BD AB ∴+=， 90ADB ∴∠=︒，222169AC AD DC ∴=+=，13AC =cm ，AB AC ∴=。
初二数学：勾股定理专题知识点与同步练习(含答案)
勾股定理1．勾股定理勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的__________等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．【注意】（1）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是__________；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2．（2）如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．2．勾股定理的应用勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系．利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题．其主要应用如下：（1）已知直角三角形的任意两边求第三边；（2）已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；（3）证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题；（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题．一、勾股定理已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先明确所求边是斜边还是直角边，再决定用勾股定理的原式还是变式．【例1】已知直角三角形的两条直角边的长分别为3和4，则第三边长为A．5 B C或5 D二、勾股定理的证明勾股定理的证明是通过拼图法或割补法完成的，探索时利用面积关系，将“形”的问题转化为“数”的问题．【例2】中国古代数学家们对勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt △ABC 中，∠ACB =90°，若AC b =，BC a =．请你利用这个图形解决下列问题：（1）试说明222a b c +=；（2）如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求()2a b +的值．三、勾股定理点的应用利用勾股定理解应用题的关键是寻找直角三角形，若不存在直角三角形，可通过添加辅助线构造出直角三角形．【例3】如图，有一只小鸟在一棵高13 m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12 m ，高8 m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2 m /s 的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？习题1．在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a ，b ，c ．若a =5，b =12，则c 的长为 A ．119 B ．13 C ．18D ．1692．如果Rt △的两直角边长分别为k 2-1，2k （k >1），那么它的斜边长是 A ．2kB ．k +1C ．k 2-1D ．k 2+13．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为A ．4米B ．8米C ．9米D ．7米4．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3 m 处折断，树顶端落在离树底部4 m 处，则树折断之前高A ．5 mB ．7 mC ．8 mD ．10 m5．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为1和9，则b 的面积为A ．8B ．9C ．10D ．116．若直角三角形的三边长分别为a b -、a 、a b +，且a 、b 都是正整数，则三角形其中一边的长可能为 A ．22B ．32C ．62D ．827．如图，某农舍的大门是一个木制的长方形栅栏，它的高为2 m ，宽为1.5 m ，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长为__________．8．若△ABC 中，∠C =90°．（1）若a =5，b =12，则c =__________； （2）若a =6，c =10，则b =__________；（3）若a ∶b =3∶4，c =10，则a =__________，b =__________．9．一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为__________．10．如图，在东西走向的铁路上有A ，B 两站，在A ，B 的正北方向分别有C ，D 两个蔬菜基地，其中C 到A 站的距离为24千米，D 到B 站的距离为12千米．在铁路AB 上有一个蔬菜加工厂E ，蔬菜基地C ，D 到E 的距离相等，且AC =BE ，则E 站距A 站__________千米．11．在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）若a ∶b =3∶4，c =75 cm ，求a 、b ； （2）若a ∶c =15∶17，b =24，求△ABC 的面积； （3）若c -a =4，b =16，求a 、c ；（4）若∠A =30°，c =24，求c 边上的高h c ； （5）若a 、b 、c 为连续整数，求a +b +c ．12．已知：△ABC 中，AD 为BC 中线，求证：22222()AB AC BD AD +=+．13．折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的F 点处，若AB =8 cm ，BC =10 cm ，求EC 的长．14．如图，一个圆桶，底面直径为16 cm ，高为18 cm ，则一只小虫从下底部点A 爬到上底B 处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）A ．50 cmB ．40 cmC ．30 cmD ．20 cm15．若直角三角形的三边长分别为a b -、a 、a b +，且a 、b 都是正整数，则三角形其中一边的长可能为A ．22B ．32C ．62D ．8216．如图，AC 是电线杆的一根拉线，测得BC =6米，∠ACB =60°，则AB 的长为A ．12米B ．3米C ．6米D ．317．如图，90ACB ∠=︒，AC BC =，BE CE ⊥，AD CE ⊥，垂足分别为E ，D ，13AC =，5BE =，则DE =__________．18．如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7 m，当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3 m，木板顶端向下滑动了0.9 m，则小猫在木板上爬动了__________m．19．古诗赞美荷花“竹色溪下绿，荷花镜里香”，平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面10 cm，忽见它随风斜倚，花朵恰好浸入水面，仔细观察，发现荷花偏离原地40 cm（如图）．请部：水深多少？20．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。
勾股定理知识点与常见题型总结,强列推荐
第18章勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222ab c勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGHSS S 正方形正方形ABCD ，2214()2abba c ，化简可证．cbaHG F EDCBA方法二：bacbaccabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422Sab cab c大正方形面积为222()2Sa b aab b所以222abc方法三：1()()2S a b ab 梯形，2112S 222ADE ABES Sabc 梯形，化简得证a bccbaE D CBA３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC 中，90C，则22cab ，22bca ，22acb②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222abc ，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22ab 与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a bc ，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222abc ，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222abc 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222acb ，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222abc 中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1nn n（2,n n 为正整数）；2221,22,221n n n nn （n 为正整数）2222,2,mn mn mn （,m n m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°DCBAADBCCBDA题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC 中，90C．⑴已知6AC ，8BC．求AB 的长⑵已知17AB ，15AC ，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222abc解：⑴2210ABAC BC ⑵228BCABAC题型二：应用勾股定理建立方程例２. ⑴在ABC 中，90ACB，5ABcm ，3BCcm ，CDAB 于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解：⑴224ACABBC， 2.4AC BC CDABDBAC⑵设两直角边的长分别为3k ，4k222(3)(4)15k k ，3k ，54S ⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b ，22289ab，可得60ab1302Sab2cm例３.如图ABC 中，90C，12， 1.5CD ， 2.5BD，求AC 的长21EDCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DEAB 于E ，12，90C 1.5DE CD在BDE 中2290,2BED BE BDDERt ACD Rt AEDACAE在Rt ABC 中，90C222ABACBC ，222()4AEEB AC3AC 例4.如图Rt ABC ，90C3,4AC BC ,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积BAC答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了mABCD E分析：根据题意建立数学模型，如图8ABm ，2CD m ，8BC m ，过点D 作DE AB ，垂足为E ，则6AEm ，8DEm在Rt ADE 中，由勾股定理得2210ADAEDE答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC 是否为Rt ① 1.5a，2b， 2.5c ②54a ，1b ，23c 解：①22221.526.25ab，222.56.25cABC 是直角三角形且90C ②22139bc，22516a，222b caABC 不是直角三角形例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b，18ab，8c的三角形是什么形状？解：此三角形是直角三角形理由：222()264a b a b ab，且264c222abc所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC 中，13ABcm ，10BC cm ，BC 边上的中线12AD cm ，求证：ABAC证明：DCBAAD 为中线，5BD DC cm 在ABD 中，22169ADBD，2169AB222ADBDAB ，90ADB，222169AC AD DC，13AC cm ，ABAC。
专题：第18章.勾股定理知识点与常见题型总结
专题：第18章.勾股定理知识点与常见题型总结１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． c ba HG FEDCB A方法二：b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a b ccb a E DCB A３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：A B C 30°D CB A AD B CCB D A题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c +=解：⑴10AB⑵8BC ==题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解：⑴4AC =， 2.4AC BC CD AB⋅== DB A C⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm 例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21E DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒∴ 1.5DE CD ==在BDE ∆中2290,2BED BE BD DE ∠=︒=-=Rt ACD Rt AED ∆≅∆AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4. （ 2014•安徽省,第8题4分）如图，Rt △ABC 中，AB =9，BC =6，∠B =90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（ ）A ．B ．C ． 4D ． 5考点： 翻折变换（折叠问题）．分析： 设BN =x ，则由折叠的性质可得DN =AN =9﹣x ，根据中点的定义可得BD =3，在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得关于x 的方程，解方程即可求解．解答： 解：设BN =x ，由折叠的性质可得DN =AN =9﹣x ，∵D 是BC 的中点，∴BD =3，在Rt △ABC 中，x 2+32=（9﹣x ）2，解得x =4．故线段BN的长为4．故选：C．点评：考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大．例5.已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。
(完整版)勾股定理典型例题详解及练习(附答案)
典型例题知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理例1:如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF、GH四条线段, 其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A.CD、EF、GHC. AB、CD GHB.AB、EF、GHD. AB、CD EF愿路分乐屮1）題意分析’本题考查幻股定理及勾股定理的逆定理.亠2）解題思器；可利用勾脸定理直接求出各边长，再试行判断•』解答过整屮在取DEAF中，Af=l, AE=2,根据勾股定理，得昇EF = Q抡於十£尸° = Q +F二艮同理HE = 2百* QH. = 1 CD = 2^5计算发现W十◎血尸=（鸥31即血+曲=GH2,根据勾股定理的逆宦理得到UAAE、EF\ GH为辺的三角形是直毎三角形.故选B. *縮題后KJ思专：*1.勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于说角三角形和钝角三角形・因此」辭题时一宦妾认真分析题目所蛤■条件■,看是否可用勾股定理来解口*2.在运用勾股左理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为就是斜迫而“固执”地运用公式川二/十就其实，同样是S6"不一罡就等于餌，疋不一罡就昱斜辺，KABC不一定就是直角三祐3.直角三第形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运用是一个从卅形s—个三角形是直角三角形）到懺 y =沖十沪）的过程，而直角三角形的判定是一①从嗦（一个三角形的三辺满足X二护+酹的条件）到偲个三角形是直角三角形）的过程.a4•在应用勾股定理解题叭聲全面地琴虑间题.注意m题中存在的多种可能性，遊免漏辭.初例玉如圏，有一块直角三角形®椀屈U,两直角迫4CM5沁丸m・现将直角边AC沿直绘AD折蠡便它落在斜边AB上.且点C落到点E处, 则切等于（、*C/) "禎B. 3cm G-Icnin題童分析，本题着查勾股定理的应用刎：）解龜思路；車题若直接在△MQ中运用勾股定理是无法求得仞的长的，因为貝知遒一条边卫0的长，由题意可知，AACD和心迓门关于直线KQ对称.因而^ACD^hAED ・进一歩则有应RUm CZAED ED 丄AB,设UD=E2＞黄泱，则在Rt A ABO中，由勾股定理可得^=^（^+^=^83=100,得AB=10cm,在松迟DE 中,W ClO-fl）2= d驚解得尸九4解龜后的思琴尸勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。
85班勾股定理知识点与常见题型总结
第17章8.5班数学 勾股定理复习资料一．知识归纳 １．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCB A方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a b c cbaE D CBA３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． ９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：ABC30°D CB A ADB CCB DA题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒． ⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c +=解：⑴10AB⑵8BC题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解 解：⑴4AC =， 2.4AC BCCD AB⋅== DBAC⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒∴ 1.5DE CD ==在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒ Rt ACD Rt AED ∆≅∆ AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了mABCD E分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则6AE =m ，8DE =m在Rt ADE ∆中，由勾股定理得10AD =答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形 例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c =解：①22221.52 6.25a b +=+=，222.5 6.25c ==∴ABC∆是直角三角形且90C ∠=︒②22139b c +=，22516a =，222bc a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？ 解：此三角形是直角三角形 理由：222()264a b a b ab +=+-=，且264c =222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用 例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明：D CBAAD 为中线，5BD DC ∴==cm在ABD ∆中，22169AD BD +=，2169AB =222AD BD AB ∴+=，90ADB ∴∠=︒，222169AC AD DC ∴=+=，13AC =cm ，AB AC ∴=。
勾股定理知识点与常见题型
勾股定理一．知识归纳 １．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c =，b，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，若22a b +=2c ，则三角形是直角三角形；若222a b c +<时，则三角形是钝角三角形；若222a b c +>时，则三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a cb +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形cba HG F EDCBAbacbac cabcab a bc cbaED CBACB６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25 8,15,17 9,12,15等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． ９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．题型一：直接考查勾股定理 1、在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长2、 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？3、有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？4、如图∠B =∠ACD =90°, AD =13,CD =12, BC =3,则AB 的长是多少?5．已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A 、25B 、14C 、7D 、7或256．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ）A 、24cm 2B 、36cm 2C 、48cm 2D 、60cm 27．在△ABC 中，AB =15，AC =13，高AD =12，则△ABC 的周长为A ．42B ．32C ．42或32D ．37或33题型二：等面积法求高如图，△ABC 中，∠ACB=900，AC=7，BC=24，C D ⊥AB 于D 。
专题10 勾股定理的综合探究题型(解析版)
专题10 勾股定理的综合探究题型（解析版）题型一 探究直角三角形的边和高之间的关系典例1（湖州模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，设AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，CD ＝h ，有下列四种说法：①a •b ＝c •h ；②a +b ＜c +h ；③以a +b 、h 、c +h 为边的三角形，是直角三角形；④1a 2+1b 2=1ℎ2．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个思路引领：①根据三角形面积公式即可求解；②证明（a +b ）2＜（c +h ）2；③直角三角形，证明（a +h ）2+h 2＝（c +h ）2；④只需证明h 2（1a 2+1b 2）＝1，从左边推导到右边．解：①∵Rt △ABC 的面积为：12ab 或12ch ，∴ab ＝ch ，故①正确；②∵c 2＜c 2+h 2，a 2+b 2＝c 2，∴a 2+b 2＜c 2+h 2，∵ab ＝ch ，∴a 2+b 2+2ab ＜c 2+h 2+2ch ，∴（a +b ）2＜（c +h ）2，∴a +b ＜c +h ，故②正确；③∵（c +h ）2＝c 2+2ch +h 2，h 2+（a +b ）2＝h 2+a 2+2ab +b 2，∵a 2+b 2＝c 2，（勾股定理）ab ＝ch （面积公式推导）∴c 2+2ch +h 2＝h 2+a 2+2ab +b 2，∴（c +h ）2＝h 2+（a +b ）2，∴根据勾股定理的逆定理知道以h，c+h，a+b为边构成的三角形是直角三角形，③正确；④∵ab＝ch，∴（ab）2＝（ch）2，即a2b2＝c2h2，∵a2+b2＝c2，∴a2b2＝（a2+b2）h2，∴a2b2a2b2=h2，∴a2b2a2b2=1ℎ2，∴a2a2b2+b2a2b2=1ℎ2，∴1a2+1b2=1ℎ2，故④正确．故选：D．总结提升：此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，此题有一定的拔高难度，属于难题，在证明过程中，注意面积关系式ab＝ch的应用．题型二“手拉手”全等或旋转构造手拉手全等模型典例2（2022•卧龙区校级开学）如图，∠BAC＝∠DAF＝90°，AB＝AC，AD＝AF，点D，E为BC边上的两点，且∠DAE＝45°，连接EF，BF，下列结论：①△AED≌△AEF；②BF＝CD；③BE+DC＞DE；④BE2+DC2＝DE2．其中正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个思路引领：根据∠DAF＝90°，∠DAE＝45°，得出∠FAE＝45°，利用SAS证明△AED≌△AEF，判定①正确；可证△ABF≌△ACD，于是BF＝CD，判定②正确；先由∠BAC＝∠DAF＝90°，得出∠CAD＝∠BAF，再利用SAS证明△ACD≌△ABF，得出CD＝BF，又①知DE＝EF，那么在△BEF中根据三角形两边之和大于第三边可得BE+BF＞EF，等量代换后判定③正确；先由△ACD≌△ABF，得出∠C＝∠ABF＝45°，进而得出∠EBF＝90°，然后在Rt△BEF中，运用勾股定理得出BE2+BF2＝EF2，等量代换后判定④正确．解：①∵∠DAF＝90°，∠DAE＝45°，∴∠FAE＝∠DAF﹣∠DAE＝45°．在△AED与△AEF中，AD=AF∠DAE=∠FAE=45°，AE=AE∴△AED≌△AEF（SAS），①正确；②∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠FAB＝∠CAD，在△ABF与△ACD中，AF=AD∠FAB=∠CAD，AB=AC∴△ABF≌△ACD（SAS），∴BF＝CD，②正确；③∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAC﹣∠BAD＝∠DAF﹣∠BAD，即∠CAD＝∠BAF．在△ACD与△ABF中，AC=AB∠CAD=∠BAF，AD=AF∴△ACD≌△ABF（SAS），∴CD＝BF，由①知△AED≌△AEF，∴DE＝EF．在△BEF中，∵BE+BF＞EF，∴BE+DC＞DE，③正确；由③知△ACD≌△ABF，∴∠C＝∠ABF＝45°，∵∠ABE＝45°，在Rt△BEF中，由勾股定理，得BE2+BF2＝EF2，∵BF＝DC，EF＝DE，∴BE2+DC2＝DE2，④正确．所以正确的结论有①②③④．故选：D．总结提升：本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角直角三角形的性质，三角形三边关系定理，相似三角形的判定，此题涉及的知识面比较广，熟练运用这些知识点是解题的关键．典例3 （2020•滨州模拟）如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，若将△APB 绕着点B逆时针旋转后得到△CQB，则∠APB的度数 ．思路引领：首先证明△BPQ为等边三角形，得∠BQP＝60°，由△ABP≌CBQ可得QC＝PA，在△PQC 中，已知三边，用勾股定理逆定理证出得出∠PQC＝90°，可求∠BQC的度数，由此即可解决问题．解：连接PQ，由题意可知△ABP≌△CBQ则QB＝PB＝4，PA＝QC＝3，∠ABP＝∠CBQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ABP+∠PBC＝60°，∴∠PBQ＝∠CBQ+∠PBC＝60°，∴△BPQ为等边三角形，∴PQ＝PB＝BQ＝4，又∵PQ＝4，PC＝5，QC＝3，∴PQ2+QC2＝PC2，∴∠PQC＝90°，∵△BPQ为等边三角形，∴∠BQP＝60°，∴∠APB ＝∠BQC ＝150°总结提升：本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用，属于中考常考题型．针对练习1．（洪山区期中）如图，∠AOB ＝30°，P 点在∠AOB 内部，M 点在射线OA 上，将线段PM 绕P 点逆时针旋转90°，M 点恰好落在OB 上的N 点（OM ＞ON ），若PM ON ＝8，则OM ＝ ．思路引领：连接MN ，作NH ⊥OA 于H ，如图，根据旋转的性质得∠MPN ＝90°，PN ＝PM判断△PMN 为等腰直角三角形，则MN =＝Rt △OHN 中，根据含30度的直角三角形三边的关系得NH =12ON ＝4，OH =＝Rt △MNH 中根据勾股定理计算出MH ＝2，由此得到OM ＝OH +HM ＝+2．解：连接MN ，作NH ⊥OA 于H ，如图，∵线段PM 绕P 点逆时针旋转90°，M 点恰好落在OB 上的N 点，∴∠MPN ＝90°，PN ＝PM =∴△PMN 为等腰直角三角形，∴MN =＝在Rt △OHN 中，∵∠NOH ＝30°，ON ＝8，∴NH =12ON ＝4，OH＝在Rt△MNH中，∵NH＝4，MN＝∴MH==2，∴OM＝OH+HM＝+2．故答案为2．总结提升：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系．2．（2020秋•永嘉县校级期末）如图，在△AOB与△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，AO＝BO，CO＝DO，连接CA，BD．（1）求证：△AOC≌△BOD；（2）连接BC，若OC＝1，AC BC＝3①判断△CDB的形状．②求∠ACO的度数．思路引领：（1）由题意可得∠AOC＝∠BOD，且AO＝BO，CO＝DO，即可证△AOC≌△BOD；（2）①由全等三角形的性质和勾股定理的逆定理可得∠BDC＝90°，即可得△CDB是直角三角形；②由全等三角形的性质可求∠ACO的度数．证明：（1）∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠BOD，且AO＝BO，CO＝DO，∴△AOC≌△BOD（SAS）（2）①如图，∵△AOC≌△BOD∴∠ACO＝∠BDO，AC＝BD=∵CO＝DO＝1，∠COD＝90°∴CD=ODC＝∠OCD＝45°∵CD2+BD2＝9＝BC2，∴∠CDB＝90°∴△BCD是直角三角形②∵∠BDO＝∠ODC+∠CDB∴∠BDO＝135°∴∠ACO＝∠BDO＝135°总结提升：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键．题型三倍长中线构造全等三角形典例4（2022•苏州模拟）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB中点，DE，DF分别交AC于点E，交BC于点F，且DE⊥DF．（1）如果CA＝CB，连接CD．①求证：DE＝DF；②求证：AE2+BF2＝EF2；（2）如图2，如果CA＜CB，探索AE，BF和EF之间的数量关系，并加以证明．思路引领：（1）①根据等腰直角三角形的性质可知，∠DCE＝∠DBF＝45°，∠CDB＝90°，CD＝BD．由DE⊥DF，可证明∠CDE＝∠BDF．即可利用“ASA”证明△DCE≌△DBF，即得出DE＝DF；②由全等三角形的性质可知BF＝CE，结合题意可求出AE＝CF．在Rt△ECF中，再由勾股定理，得CF2+CE2＝EF2，即得出AE2+BF2＝EF2；（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接AM，EM．易证△ADM≌△BDF（SAS），得出AM＝BF，∠MAD＝∠B，从而判断AM∥BC，即证明∠MAE＝∠ACB＝90°．再根据线段垂直平分线的判定和性质可知EF＝EM．最后在Rt△AEM中，由勾股定理，得AE2+AM2＝EM2，即得出AE2+BF2＝EF2．（1）①证明：∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形．∵点D是AB的中点，∴∠DCE＝∠DBF＝45°，∠CDB＝90°，CD＝BD．又∵DE⊥DF，∴∠EDF＝∠CDB＝90°，∵∠CDE＝∠EDF﹣∠CDF，∠BDF＝∠CDB﹣∠CDF，∴∠CDE＝∠BDF．在△DCE与△DBF中，∠DCE=∠DBFCD=BD，∠CDE=∠BDF∴△DCE≌△DBF（ASA），∴DE＝DF；②证明：由①可知△DCE≌△DBF，∴BF＝CE，∵CA＝CB，∴CA﹣CE＝CB﹣BF，即AE＝CF．在Rt△ECF中，由勾股定理，得CF2+CE2＝EF2，∴AE2+BF2＝EF2；（2）解：结论：AE2+BF2＝EF2．理由如下：如图，延长FD至点M，使DM＝DF，连接AM，EM．∵点D为AB中点，∴AD＝BD，∵∠ADM＝∠BDF，DM＝DF，∴△ADM≌△BDF（SAS），∴AM＝BF，∠MAD＝∠B，∴AM∥BC，∴∠MAE＝∠ACB＝90°．又∵DE⊥DF，DM＝DF，∴DE是FM的垂直平分线，∴EF＝EM，在Rt△AEM中，由勾股定理，得AE2+AM2＝EM2，∴AE2+BF2＝EF2．总结提升：本题考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质以及平行线的性质等知识．掌握三角形全等的判定条件和正确的作出辅助线构造全等三角形是解题关键．题型四以两个直角三角形的公共边或等边为桥梁运用双勾股典例5 [阅读理解]如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝7，过点A作直线BC的垂线，垂足为D，求线段AD的长．解：设BD＝x，则CD＝7﹣x．∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2．又∵AB＝4，AC＝6，∴42﹣x2＝62﹣（7﹣x）2．解得x＝，∴BD＝．∴AD＝＝．[知识迁移]（1）在△ABC中，AB＝13，AC＝15，过点A作直线BC的垂线，垂足为D．i）如图1，若BC＝14，求线段AD的长；ii）若AD＝12，求线段BC的长．（2）如图2，在△ABC中，AB＝，AC＝，过点A作直线BC的垂线，交线段BC于点D，将△ABD沿直线AB翻折后得到对应的△ABD′，连接CD′，若AD＝，求线段CD′的长．思路引领：（1）i）利用勾股定理得出AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，进而建立方程求BD，即可得出结论；ii）先利用勾股定理求出BC＝5，CD＝9，再分两种情况．即可得出结论；（2）先利用勾股定理求出BD，CD，再利用面积求出DN，进而求出DD'，再用勾股定理得出D'H2＝D'D2﹣HD2＝D'B2﹣HB2，进而建立方程求出HB，即可得出结论．解：（1）i）设BD＝x，则CD＝14﹣x，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，∵AB＝13，AC＝15，∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，∴x＝5，∴BD＝5，∴AD＝＝＝12；ii）在Rt△ABD中，BD＝＝＝5，在Rt△ACD中，CD＝＝＝9，当∠ABC为锐角时，如图1﹣1，BC＝BD+CD＝5+9＝14，当∠ABC为钝角时，如图1﹣2，BC＝BD﹣CD＝9﹣5＝4；（2）如图2，连接DD'交AB于点N，则DD'⊥AB，过点D'作D'H⊥BD于H，在Rt△ABD中，BD＝＝＝；在Rt△ACD中，CD＝＝＝5，∵AB垂直平分DD'，∴D'B＝DB＝，D'D＝2DN，＝AD•BD＝，∵S△ABD∴＝•DN，∴DN＝，∴D'D＝2DN＝5，设HB＝m，则HD＝HB+BD＝m+，∵D'H2＝D'D2﹣HD2＝D'B2﹣HB2，∴（5）2﹣（m+）2＝（）2﹣m2，∴m＝，∴HB＝，∴HC＝HB+BD+CD＝++4＝15，D'H＝＝＝5，∴D'C＝＝＝5．总结提升：此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，直角三角形的构造，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．针对训练1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D．若AC＝3，AB＝5，则CD的长为（ ）A．B．C．D．思路引领：如图，作DH⊥AB于H．首先证明AC＝AH，DC＝DH，AC＝AH＝3，设DC＝DH＝x，在Rt△BDH中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．解：如图，作DH⊥AB于H．∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB，∴∠CAD＝∠HAD，∠C＝∠AHD＝90°，∵AD＝AD，∴△ADC≌△ADH（AAS），∴AC＝AH＝3，CD＝DH，设CD＝DH＝x，∵AB＝5，∴BH＝AB＝AH＝5﹣3＝2，在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，∴BC＝＝4，在Rt△HBD中，则有（4﹣x）2＝x2+22，∴x＝，∴CD＝，故选：A．总结提升：本题考查勾股定理，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F．AC＝17，AD＝15，BC＝28，则AE的长等于 ．思路引领：利用勾股定理可得DC和AB的长，由角平分线定理可得EG＝ED，证明Rt△BDE≌Rt△BGE （HL），可得BG＝BD，设AE＝x，则ED＝15﹣x，根据勾股定理列方程可得结论．解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵AD＝15，AC＝17，∴DC＝，∵BC＝28，∴BD＝28﹣8＝20，由勾股定理得：AB＝，过点E作EG⊥AB于G，∵BF平分∠ABC，AD⊥BC，∴EG＝ED，在Rt△BDE和Rt△BGE中，∵，∴Rt△BDE≌Rt△BGE（HL），∴BG＝BD＝20，∴AG＝25﹣20＝5，设AE＝x，则ED＝15﹣x，∴EG＝15﹣x，Rt△AGE中，x2＝52+（15﹣x）2，x＝，∴AE＝．故答案为：．总结提升：本题考查了角平分线性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．题型五勾股定理解决折叠问题典例6（2022•东莞市校级二模）将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G．若DC＝5，CM＝2，则EF＝（ ）A．3B．4C D思路引领：作FH⊥AD，结合折叠性质：EF⊥AM，证∠POF＝∠AOH＝∠AMD＝∠FEH，再证△ADM ≌△FHE得EF＝AM，根据勾股定理即可求出结果．解：由折叠的性质得EF⊥AM，过点F作FH⊥AD于H，交AM于O，则∠ADM＝∠FHE＝90°，∴∠HAO+∠AOH＝90°、∠HAO+∠AMD＝90°，∴∠POF＝∠AOH＝∠AMD，又∵EF⊥AM，∴∠POF+∠OFP＝90°、∠HFE+∠FEH＝90°，∴∠POF＝∠FEH，∴∠FEH ＝∠AMD ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ＝FH ＝5，在△ADM 和△FHE 中，∠ADM =∠FHE ∠AMD =∠FEH AD =FH，∴△ADM ≌△FHE （AAS ），∴EF ＝AM =故选：D ．总结提升：本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．针对训练1．如图，将一张长方形纸片沿着AE 折叠后，点D 恰好与BC 边上的点F 重合，已知AB ＝6 cm ，BC ＝10cm ，求EC 的长度．解：由题意可知△ADE ≌△AFE ，所以AF ＝AD ＝10 cm ，EF ＝DE ．在Rt △AFB 中，根据勾股定理得BF 8(cm)，所以FC ＝BC －BF ＝2(cm)．设EC ＝x cm ，DE ＝DC －EC ＝(6－x )cm ，即EF ＝(6－x )cm ，在Rt △EFC 中，根据勾股定理有EF 2＝FC 2＋EC 2，即(6－x )2＝22＋x 2，解得x ＝83，所以EC ＝83cm ．题型六 勾股定理在平面直角坐标系背景下的应用典例7（2017春•武昌区校级月考）如图，A （0，m ），B （n ，0）+n 2﹣10n +25＝0（1）求点A ，点B 的坐标；（2）点P是第二象限内一点，过点A作AC⊥射线BP，连接CO，试探究BC，AC，CO之间的数量关系并证明．（3）在（2）的条件下，∠POC＝∠APC，PA＝PB的长．思路引领：（1）利用非负数的性质求得m、n的值，易得点A、B的坐标；（2）如图1，作OD⊥OC交PB于D，证△OAC≌△OBD（ASA）（提示AO，BC八字形），得证等腰Rt△OCD，故BC﹣AC＝CD=；（3）作OM⊥OP交AC延长线于M，作AN⊥OP于N，连接PM．易证△OPB≌△OMA（ASA），故PB ＝MA，且得证等腰Rt△OPM，又∠APO＝∠APC+∠OPC＝∠POC+∠OPC＝∠OCB＝45°，所以∠APM＝45°+45°＝90°，易求出OP＝PN+ON＝4+3＝7，（Rt△ANO，等腰Rt△APN），Rt△APM中，MA解：（1+n2﹣10n+25＝0，∴|m﹣5|+（n﹣5）2＝0∴m﹣5＝0且n﹣5＝0，则m＝5，n＝5，故A（0，5）B（5，0）；（2）如图1，作OD⊥OC交PB于D，∵AO⊥BO，∴∠AOC＝∠BOD（同角的余角相等）．又AC⊥PB，∠1＝∠2，∴∠OAC＝∠OBD（等角的余角相等）．在△OAC与△OBD中，∠AOC=∠BODOA=OB，∠OAC=∠OBD∴△OAC≌△OBD（ASA），∴OC＝OD，∴CD，∴BC﹣AC＝CD=；（3）作OM⊥OP交AC延长线于M，作AN⊥OP于N，连接PM．易证△OPB≌△OMA（ASA），∴PB＝MA，且得证等腰Rt△OPM，又∠APO＝∠APC+∠OPC＝∠POC+∠OPC＝∠OCB＝45°，∴∠APM＝45°+45°＝90°，易求出OP＝PN+ON＝4+3＝7．在Rt△APM中，由勾股定理得到：MA=即PB总结提升：考查了三角形综合题，涉及到了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，非负数的性质和配方法的应用，难度较大，难点是作出辅助线，构建全等三角形．针对训练1．（2022秋•莲湖区校级期中）在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B的坐标为（3，0），A(1 )．（1）求线段AB的长；（2）若在x轴上有一点P，使得△PAB为等腰三角形，请你求出点P的坐标．思路引领：（1）利用两点间得距离公式可求AB；（2）分当AP＝AB时，当BP＝AB时，当BP＝PA时，结合等腰三角形的性质和两点间的距离公式即可求解．解：（1）∵点A，点B的坐标为（3，0），A(1，∴AB=（2）如图所示：当AP＝AB时，根据对称性，3﹣1＝2，1﹣2＝﹣1，∴P1（﹣1，0），同理当BP＝AB时，P20)，P3(3+0)，当BP＝PA时，设P4（x，0），则(x−1)2+2=(3−x)2，解得：x=5 4，∴P4(54，0)，综上所述：点P坐标为（﹣1，0），0)，(3+0)，(54，0)．总结提升：本题考查了点的坐标的求法，综合运用了等腰三角形的定义，两点间的距离公式．。