用能带理论解释导体、半导体和
材料物理性能课后习题答案 北航出版社 田莳主编
材料物理习题集第一章固体中电子能量结构和状态（量子力学基础）1. 一电子通过5400V电位差的电场，（1）计算它的德布罗意波长；（2）计算它的波数；（3）计算它对Ni晶体（111）面（面间距d=2.04×10-10m）的布拉格衍射角。
（P5）2. 有两种原子，基态电子壳层是这样填充的，请分别写出n=3的所有电子的四个量子数的可能组态。
（非书上内容）3. 如电子占据某一能级的几率是1/4，另一能级被占据的几率为3/4，分别计算两个能级的能量比费米能级高出多少k T？（P15）4. 已知Cu的密度为8.5×103kg/m3，计算其（P16）5. 计算Na在0K时自由电子的平均动能。
（Na的摩尔质量M=22.99，）（P16）6. 若自由电子矢量K满足以为晶格周期性边界条件和定态薛定谔方程。
试证明下式成立：e iKL=17.8. 试用布拉格反射定律说明晶体电子能谱中禁带产生的原因。
（P20）9. 试用晶体能带理论说明元素的导体、半导体、绝缘体的导电性质。
答：（画出典型的能带结构图，然后分别说明）10. 过渡族金属物理性质的特殊性与电子能带结构有何联系？（P28）答：过渡族金属的d带不满，且能级低而密，可容纳较多的电子，夺取较高的s带中的电子，降低费米能级。
补充习题1. 为什么镜子颠倒了左右而没有颠倒上下？2. 只考虑牛顿力学，试计算在不损害人体安全的情况下，加速到光速需要多少时间？3. 已知下列条件，试计算空间两个电子的电斥力和万有引力的比值4. 画出原子间引力、斥力、能量随原子间距变化的关系图。
5. 面心立方晶体，晶格常数a=0.5nm，求其原子体密度。
6. 简单立方的原子体密度是。
假定原子是钢球并与最近的相邻原子相切。
确定晶格常数和原子半径。
第二章材料的电性能1. 铂线300K时电阻率为1×10-7Ω·m，假设铂线成分为理想纯。
试求1000K时的电阻率。
（P38）2. 镍铬丝电阻率（300K）为1×10-6Ω·m，加热到4000K时电阻率增加5%，假定在此温度区间内马西森定则成立。
半导体能带弯曲上下弯曲的原因
半导体能带弯曲上下弯曲的原因引言半导体是一种特殊的材料，具有介于导体和绝缘体之间的电导特性。
在半导体中，能带理论被广泛应用于解释其电子结构和电学性质。
能带理论认为，半导体中的电子分布在离散的能级上，称为能带。
然而，在某些情况下，半导体能带会出现弯曲，即上下弯曲的现象。
本文将探讨半导体能带弯曲上下弯曲的原因。
能带理论简介在了解半导体能带弯曲的原因之前，我们先来回顾一下能带理论。
根据量子力学原理，一个电子在晶格势场中运动时会形成一系列离散的能级。
这些电子所处的不同能级被分为两个区域：价带和导带。
价带是最高填充态的集合，而导带是最低未填充态的集合。
两者之间存在一个禁止带隙（band gap），其中没有允许态存在。
对于绝缘体来说，禁止带隙很大，电子无法跃迁到导带，因此绝缘体不导电。
对于导体来说，禁止带隙趋近于零，电子可以自由地跃迁到导带，因此导体具有良好的导电性。
而半导体则处于介于两者之间的状态，禁止带隙较小，温度升高或施加外加电场时可以激发部分电子进入导带。
半导体能带弯曲的原因半导体能带弯曲上下弯曲的原因主要包括杂质、应力和温度三个方面。
1. 杂质杂质是指在半导体晶格中掺入的其他元素或杂质。
这些杂质会改变晶格结构和原子排列方式，从而影响半导体的能带结构。
当杂质与半导体原子结合时，会形成能级位于价带或导带中的能级。
这些能级被称为杂质态（impurity states）。
由于杂质态在禁止带隙内存在，它们会与价带和导带之间的允许态发生相互作用，并引起能带弯曲。
2. 应力应力是指在半导体材料中施加的外力或外界环境对晶格结构的影响。
应力可以来自于机械变形、热膨胀或其他因素。
当半导体材料受到应力作用时，晶格结构会发生畸变。
这种畸变会导致能带结构发生改变，从而引起能带弯曲。
3. 温度温度是影响半导体能带弯曲的另一个重要因素。
根据固体物理学原理，随着温度的升高，原子和分子的热运动会增强，电子跃迁的概率也会增加。
在半导体中，温度升高会激发更多的电子进入导带，从而改变能带结构。
半导体物理与器件
k 并不是晶格中电子的动量，但却有着类似于自由电子
动量的表达（
p k
第三章
），因而被称作准动量。
固体量子理论初步 13
半导体物理与器件
有效质量和加速度
实际的半导体器件在一定的电压下工作，半导体内部产 生外加电场。
电场强度为E时
f eE
外力对电子做功等于能量的改变：
dE fds fvdt
第三章
固体量子理论初步
4
半导体物理与器件
在不满带中，部分电子状态被占据。在没有外力作用 的情况下，半满带内的电子可以在热的影响下改变自 己的能量而跑到别的k状态中。但由于E~k是偶函数 （晶体的对称性），处于k状态和-k状态的几率相等， 即有向一个方向运动的电子，平均地就有一个相应的 向相反方向运动的电子。即电子杂乱无章的热运动在 各个方向是等价而对称的，因而没有宏观电流。（k和 电子的运动速度即方向有关）
半制的物理作用“Fext”作用 于晶体中的电子时，有效质量可以描绘出该作用对该 电子的影响。 教材p53页给出了一个对有效质量的直观解释
第三章
固体量子理论初步
8
半导体物理与器件
有效质量与E-k图的关系
能量的改变对应于状态的改变。在无外力作用的情况下， 晶体中电子的能量是恒定的（平均）。当外力作用于晶体 电子时，其能量就要改变（平均），因而我们用能量E和 状态k之间的变化关系来描绘有效质量。 对应于经典理论：
第三章 固体量子理论初步 21
半导体物理与器件
用能带理论解释导体、半导体、绝缘体的导电性：
0<Eg<6eV
Eg>6eV
金属
半导体
绝缘体
第三章
固体量子理论初步
半导体物理学中的半导体能带理论与能带间隙分析
半导体物理学中的半导体能带理论与能带间隙分析半导体能带理论是半导体物理学的基础，它是理解半导体行为和特性的重要理论模型。
半导体能带理论将电子在半导体中的运动和能量分布描述为围绕原子核的能带结构。
在能带理论中，半导体的电子由两个主要的能带组成，即价带和导带。
价带中的电子处于较低能量状态，不参与电流传导；而导带中的电子能量较高，可以导致电流流动。
能带之间的能量差称为能带间隙。
半导体能带理论的发展可以追溯到20世纪中叶，此前，人们对于材料中电子行为的理解仅仅局限于金属和绝缘体的行为。
通过实验观察到的现象和理论推导，科学家们开始认识到，半导体具有介于金属和绝缘体之间的特性。
他们发现，在某些特殊的材料中，电子的行为与能量与电路中电流的行为有着密切的关系。
半导体能带理论的核心概念是“带隙”或“能带间隙”。
在半导体中，价带和导带之间的能量差距被称为能带间隙。
这个能带间隙决定了半导体的导电性能以及其他许多特性。
能带间隙大小与材料的种类密切相关。
一般来说，带隙较小的半导体在室温下更容易导电，而带隙较大的半导体则需要更高的能量激发才能导电。
能带理论还解释了半导体中电子行为的一些重要特性。
例如，材料中的电子处于能带中的不同态，在外加电场或热激发等作用下，电子可以跃迁自价带到导带，形成电流。
此外，能带理论还解释了半导体中的禁带掺杂。
掺杂是指向半导体中引入一些杂质，以改变其导电性能。
半导体通过掺杂可以增加其导电性能，例如从n 型半导体变为p型半导体。
能带理论的发展不仅为半导体物理学提供了基本的理论基础，也为半导体器件的设计和制造提供了重要的指导作用。
半导体器件例如晶体管、二极管和光电二极管等都是基于半导体能带理论的原理工作的。
在设计和制造这些器件时，能带理论不仅可以提供有关器件特性和性能的重要信息，还可以指导材料选择和结构优化，从而获得更好的器件性能。
值得一提的是，尽管半导体能带理论已经广泛应用于半导体物理学和器件工程中，但这并不意味着它是完美的。
3-5 能带理论与半导体
将其转化效率提高到7%，继
D
而迎来了DSSC的新时代。
TiO2染料敏化太阳能电池：DSSC
Dye-sensitized Solar Cell
近年来，TiO2半导体的光催化性能引起人们的重视。 Honda-Fijishima效应： 本田-藤岛（Honda-Fijishima）在1972年发现，水溶液中的 TiO2电极被光照射后，光激发的电子进入半导体电极内部，空 穴到达半导体表面。此空穴与水里的氧离子相互作用，电子则 通过铂电极与氢离子相互作用。 结果是： 在二氧化钛电极上会产生氧气，在对极的铂电极上会产生氢气。
在接触开始时，金属和半导体的间距大于原子的间距， 在两类材料的表面形成电势差Vms。
接触电势差：
Vms
Vm
V‘s
Ws
Wm q
紧密接触后，电荷的流动使得在半导体表面相当厚的一 层形成正的空间电荷区。空间电荷区形成电场，其电场 在界面处造成能带弯曲，使得半导体表面和内部存在电 势差，即表面势Vs。接触电势差分降在空间电荷区和金 属与半导体表面之间。但当忽略接触间隙时，电势主要 降在空间电荷区。
2013年春
现在考虑忽略间隙中的电势差时的 极限情形:
能带理论
盛年不重来，一日难再晨。
及时宜自勉，岁月不待人。
【半导体】（1）导带conduction bandA解释导带是由自由电子形成的能量空间。
即固体结构内自由运动的电子所具有的能量范围。
对于金属，所有价电子所处的能带就是导带。
对于半导体，所有价电子所处的能带是所谓价带，比价带能量更高的能带是导带。
在绝对零度温度下，半导体的价带(valence band)是满带(见能带理论)，受到光电注入或热激发后，价带中的部分电子会越过禁带 (forbidden band/band gap)进入能量较高的空带，空带中存在电子后即成为导电的能带——导带。
B导带的涵义：导带是半导体最外面（能量最高）的一个能带，是由许多准连续的能级组成的；是半导体的一种载流子——自由电子（简称为电子）所处的能量范围。
导带中往往只有少量的电子，大多数状态（能级）是空着的，则在外加作用下能够发生状态的改变，故导带中的电子能够导电，即为载流子。
导带底是导带的最低能级，可看成是电子的势能，通常，电子就处于导带底附近；离开导带底的能量高度，则可看成是电子的动能。
当有外场作用到半导体两端时，电子的势能即发生变化，从而在能带图上就表现出导带底发生倾斜；反过来，凡是能带发生倾斜的区域，就必然存在电场（外电场或者内建电场）。
导带底到真空中自由电子能级的间距，称为半导体的亲和能，即是把一个电子载流子从半导体内部拿到真空中去所需要的能量。
这是半导体的一个特征参量。
（2）价带与禁带价带（valence band）或称价电带，通常是指半导体或绝缘体中，在0K时能被电子占满的最高能带。
对半导体而言，此能带中的能级基本上是连续的。
全充满的能带中的电子不能在固体中自由运动。
但若该电子受到光照，它可吸收足够能量而跳入下一个容许的最高能区，从而使价带变成部分充填，此时价带中留下的电子可在固体中自由运动。
价带中电子的自由运动对于与晶体管有关的现象是很重要的。
被价电子占据的允带（低温下通常被价电子占满）。
《固体物理》能带理论 - 练习题
能带理论 - 练习题袁建勇：1.布洛赫函数满足)()(r e R r n R ik n ϕϕ•=+，何以见得上式中k 具有波矢的意义？[解答] 人们总可以把布洛赫函数)(r ϕ展成傅里叶级数∑•++=hrK Ki h h e K K a r )(//)()(ϕ ,其中/K 是电子的波矢。
将)(r ϕ代入 )()(r e R r nR ik n ϕϕ•=+得到 n nR ik R ik e e••=/其中利用了p p R K n h (2π=•是整数），由上式可知，/k k =， 即 k 具有波矢的意义。
2.波矢空间与倒格空间有何关系？为什么说波矢空间内的状态点是准连续的？[解答] 波矢空间与倒格空间处于统一空间，倒格空间的基矢分别为1b ，2b ，3b ，而波矢空间的基矢分别为 11/N b ，22/N b ，33/N b ；1N ，2N ，3N 分别是沿正格基矢1a ，2a ，3a 方向晶体的原胞数目。
倒格空间中一个倒格点对应的体积为 *321)(Ω=⨯•b b b ，波矢空间中一个波矢点对应的体积为 NN b N b N b *332211)(Ω=⨯• 即波矢空间中一个波矢点对应的体积，是倒格空间中一个倒格点对应的体积的N /1 。
由于N 是晶体的原胞数目，数目巨大，所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的。
也就是说， 波矢点在倒格空间看是极其稠密的。
因此，在波矢空间内作求和处理时，可把波矢空间内的状态点看成是准连续的。
3.一维周期势函数的傅里叶级数 ∑=nnx ain eV x V π2)(中，指数函数的形式是由什么条件决定的？[解答] 周期势函数)(x V 傅里叶级数的通式为 ∑=nxi n n e V x V λ)(。
上式必须满足势场的周期性，即()()()n n n n i x a i x i a i x n n n nnnV x a V e V e e V x V e λλλλ++==⨯==∑∑∑显然 1=ai n eλ 。
半导体材料的能带理论模型研究
半导体材料的能带理论模型研究近年来，随着科技的发展和电子行业的蓬勃发展，半导体材料作为一种重要的材料在电子器件中得到广泛应用。
而半导体材料在实际应用中的性能和特性研究，离不开能带理论模型的探索和研究。
本文将着重探讨半导体材料的能带理论模型，并对其在实际应用中的意义进行分析。
一、能带理论的基本概念能带理论是半导体材料研究中的重要理论基础，它描述了电子在半导体中的能量分布情况。
在晶体中，原子之间的相互作用导致能量级的分裂，形成禁带和导带。
禁带是带有能量阻隔的区域，其内的电子不能存在；而导带是带有能量的区域，其内的电子能够自由运动。
根据原子之间的电子结构和排布，半导体材料可以分为导电型和绝缘型。
二、晶格结构和能带模型晶格结构是影响半导体材料性能的重要因素之一。
晶格结构的不同导致了半导体材料能带的变化，从而影响了其导电性能。
根据晶格结构的不同，半导体材料可以分为块状、线状和点状结构。
这些结构中的原子排列方式和间距会影响能量分布情况，进而影响能带的形态和宽度。
三、半导体的能带结构和电子运动半导体材料的能带结构决定了电子在其中的运动方式。
在晶体中，电子能量受限于带隙范围内。
当温度升高或外界施加电场时，电子可以从价带跳跃到导带，带来电导率的增加。
而带隙宽度越小，电子跃迁的概率就越大，电导率越高。
四、外界因素对能带结构的影响除了晶格结构的差异外，外界因素也会对半导体材料的能带结构产生影响。
温度、压力和外界电场的变化都会改变半导体材料的能带结构。
例如，温度升高会导致电子激发，增加了能量跃迁的概率；外界电场的施加会引起带隙的改变，影响电子的跃迁。
这些外界因素的影响需要通过实验和模拟进行研究。
五、能带理论模型在实际应用中的意义能带理论模型为半导体材料的研究和应用提供了重要的理论依据。
通过对能带结构的研究，可以预测半导体材料的导电性能和响应特性。
从而在半导体器件设计和制造过程中，提前预测材料性能，优化器件结构，提高器件性能和效率。
固体能带理论
固体能带理论（学号：1120120332 姓名：马英 ）摘要：固体能带理论是凝聚态物理学的重要组成部分，在密度泛函理论基础上，对固体能带理论70年来的发展作简单的论述和分析，并阐述固体能带计算各种方法的物理原理及共典型应用。
关键词：固体、半导体、金属、单电子、准粒子、离子、晶体、应力一、自由电子模型在这个模型中，电子与电子，晶格与电子之间的相互作用被忽略.也可以这样说晶格对电子的影响视为平均势场索米菲理论：自由电子模型＋费米狄拉克分布 解释： 1.电子气热容量 2.电子发射3.电子气的顺磁与逆磁效应 二、3个重要近似和周期性势场 绝热近似：由于原子核质量比电子的质量大得多，电子的运动速度远大于原子核的运动速度，即原子核的运动跟不上电子的运动。
所以在考虑电子的运动时，认为原子实不动。
单电子近似：：一个电子在离子实和其它电子所形成的势场中运动。
又称hartree-Fock 自洽场近似。
周期场近似：原子实和电子所形成的势场是周期性的。
周期性势场 ：单电子近似的结果：周期性势场（周期为一个晶格常数）。
3. Bloch 波（1）Bloch 定理：在周期性势场中运动的电子，气波函数由如形式 ：其中u 具有晶格的周期性，即（2）Bloch 波的性质a.波函数不具有晶体周期性，而（k 为实数时）电子分布几率具有晶格的周期性b.当k 为虚数，描写电子的表面态，k ＝is(s>0)(S 小于0时无意义.)c. 周期边界条件：)()(r u e r rk i⋅=ϕ)()(332211a n a n a n r u r u+++=)()(x u e x ika=ϕ222|)(||)(||)(|x u a x x =+=ϕϕ)()(x u e x sx-=ϕ)()(x Na x ϕϕ=+)()(ˆ)(x e x TNa x ikNaϕϕϕ==+)()(a x x n K k k +=+ϕϕd. 波矢相差倒格矢整数倍的Bloch 波等效.因此把波矢限制在第一布区内.且第一布区内的分立波矢数为晶体原胞数N 可容纳的电子数为2N.三、单电子近似下电子的能量状态. 电子满足的薛定谔方程：在克龙尼克—潘纳模型下：周期运动中的离子许可能级形成能带.能带之间存在不许可能量范围称为禁带，且禁带位于布区边界. 关于能带的讨论：1.在原理布区边界的区域内， 电子的能量可粗略的视为自由电子的能量.2.在布区边界上，电子能量不连续，出现禁带，禁带的宽度为：3.在同一能带中，能量最大的地方称为带顶，能量最小的地方称为带底，能量最大值与最小值之差称为能带宽度.带底附近能量曲线是一开口向上的小抛物线，带顶附近，能量曲线是一开口向下的小抛物线.4.能量是k 的周期函数，周期为倒格子矢量.5.能量曲线的三种表示方法:（1）第一布区图 （2）扩展区图 （3）周期区图6.E 为k 的多值函数，以视区别 表示第s 个能带的能量，而k 表示在第一布区中取值. 7.每个能带可容纳2N 个电子，第一布区分立k 的数目为N. 考虑自旋2N.)()()()()())(2(22x u e x V na x V x E x x V m ikx ==+=+∇-ψψψ其中： a -b -0c a 0V cb a +=禁带a πa π232V 22V 12V m k E 222 =|2|g l l V E =禁带a πa π232V 22V 12V )(k E s ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=N Na a ππ22四、费米面的构造费米面是电子的占据态与非占据态之间的分界面.晶体（特别是导体）的许多性质决定于费米面附近电子的行为.因此费米面的形状十分重要。
能带理论对材料导电性能的解释
— 电子导电型导体
空带
导带
2.材料导电性解释
（2）绝缘体
绝缘体具有充满电子的满带和很宽的
禁带，禁带宽△Eg约 3-6eV； 一般温度下，满带中的电子在外电场作
×
用下很难激发（越过禁带）到空带参与
导电； 大多数离子晶体是绝缘体。
2.材料导电性解释
（3）半导体：
在温度 T=0K 时，能带结构与绝缘体相似，只是禁带 宽度△Eg很窄，约0.1-1.5 eV；
导带中电子的转移
1.能带理论基本知识
价带：由价电子能级分裂而形成的能带。
★通常情况下，价带为能量最高的 能带； ★价带可能被电子填满，成为满带； ★也可能未被电子填满，形成不满 带或半满带。
空带
带隙
价 带
在绝缘体中，价电子刚好填满 最低的一系列能带，最上边的 满带 —— 价带 再高的各能带全部都是空的 —— 空带
能带理论对材料导电性的解释
目录
1
能带理论基本知识
2
材料导电性解释
1.能带理论基本知识
背景知识
原子壳层中的内层允许带总是被电子先占满，然后再占据能 量更高的外面一层的允许带。且电子在能带中各个能级的填充方
式，服从费密－狄拉克分布、泡利不相容原理，还要服从最小能
量原理，电子从能量较低的能级依次到达较高的能级。 因此按充填电子的情况，能带可以分成：
导带
满带
1.能带理论基本知识
空带：若一个能带中所有的能级都没有被电子填入，这样的
能带称为空带。
空带：每一个能级上都 没有电子的能带
★与各原子的激发态能级 相对应的能带，在未被激 发的正常情况下就是空带； ★空带中若有被激发的电 子进入，则空带就变成了 导带。 非导体