导电性能带理论

二者有如下关系：ari
r ⋅bj
=
2πδ ij
=
⎧2π
⎨
⎩r
0
i= j i≠ j
r
r
r
⑵ 其 正中 格倒矢格Kr子 ：h 中称Rrl 的为= 倒点l1ar阵格1 +可矢l2a以。r2 表+ l示3ar为3 ：Kh = h1b1 + h2b 2 +h3b3
主要结论：
r ⑶倒格矢与正格矢有如下关系：K h
价电子的等效势场＝离子实的势场＋其它价电子的平 均势场＋考虑电子波函数反对称性而带来的交换作 用．单电子近似最早用于研究多电子原子，又称为哈 特里（Hartree）－福克（ΦOK）自洽场方法。
引入电子有效质量
• 把等效势场对电子的作用归并到电子的 有效质量
• 有效质量可以是负值 • 物理意义：
概括了内部势场的作用，是得在解决 电子在外力作用下的运动规律时，可以 不涉及内部势场的作用，因而很方便地 解决电子的运动规律。
k • 电子具有波粒二象性。因此对于波矢为 的
运动状态，电子有确定的能量E，动量
速度 V ， hk
P
，
V ＝ m0
• 动量： P = h ⋅ k
• 能量： E = h2 ⋅ k 2
k
2m
所以，可以用 k 来描述自由电子的运动状态。
补充一、倒格子
倒格子的定义
1．正格子：以空间点阵的阵点所构成的空间网格，布拉菲格子就是
a 2 a 2 a 2
(−ir +
r (i
−
r j
(ir + rj
rj
+
r k)
+
r k)
r −k)
倒格子基矢：
r b1 r b2 r b3
= = =
2π a 2π a 2π a
r (j (ir (ir
+ + +
r k) r k) rj )
（体心立方的倒格子为面心立方）
面心立方格子的布里渊区
正格子的固体物理学原胞基矢：
能带理论是一个近似的理论．在固体中存在大量 的电子。它们的运动是相互关联着的，每个电子的运 动都要受其它电子运动的牵连，这种多电子系统严格 的解显然是不可能的．
能带理论是单电子近似的理论，就是把每个电子的运 动看成是独立的在一个等效势场中的运动。在大多数 情况下，人们最关心的是价电子，在原子结合成固体 的过程中价电子的运动状态发生了很大的变化，而内 层电子的变化是比较小的，可以把原子核和内层电子 近似看成是一个离子实．
应用于传感器
方阻（Sheet Resistance）
方阻就是方块电阻，指一个正方形的薄膜导电 材料边到边“之”间的电阻，即B边到C边的电阻 值。
方块电阻有一个特性，
即任意大小的正方形边到边的电
阻都是一样的，不管边长是1米还是0.1米，它 们的方阻都是一样，这样方阻仅与导电膜的厚 度等因素有关 。
R□的单位为：欧姆/□(Ω/□) 如100nm厚的ITO的方阻约为 10 Ω/□。
三、电流密度 （current density）
定义：通过垂直于电流方向的单位面积的电流.
J = I / S 单位：A/m2
四、欧姆定律的微分形式及其推导
设一段长为L，截面积为S，电阻率为ρ的均匀导 体，在其两端加上电压V，则：
J =σ·E
物理意义：把导体/半导体中某一点的电流密度和
该处的电导率以及电场强度联系起来。
半导体器件
应用
衡量指标 ：I—V
J =σ·E
研究σ的影 响因素
六、决定电导率的基本参数
2、推导过程及其结论
σ= n · q · μ
参与迁移的是哪种载流子——有关载 流子类型（charge carrier）的问题（电子， 空穴，正离子，负离子） 载流子的数量有多大——有关载流子 浓度、载流子产生过程的问题（ charge carrier density----n 个/m3 ） 载流子迁移率的大小——有关载流子 输运过程的问题（carrier mobility）
（6）倒格矢Kh = h1b1 + h2b 2 +h3b3 与正格子的晶 面族(h1h2h3)相垂直
r 即， Kh 为晶面
Kh
的法线方向
晶（面7）族晶的面面指间数距为d(hh11hh22hh3 3=)的Kr2h1πh2h3
即面间距 d h1h2h3
与倒格矢
r Kh
=
r h1b1
+
rr h2b 2 +h3b3
ar1 ar2
= =
a 2 a 2
其倒格子基ar矢3 =：a2
( rj r (i (ir
+ + +
r k) r k) rj )
r b1 r b2 r b3
= = =
2π a 2π a 2π a
(−ir +
r (i
−
r j
r (i
+
r j
r j
+
r k)
+
r k)
r −k)
（体心立方与面心立方互为倒格子）
3、能量较高的能级对应外层电子，其轨道较大，原子之间外层 电子的波函数相互重叠较多－－对应的能带较宽。
（6）能带理论对金属、半导体和 绝缘体的解释
价带：最上面一个被电子全部填满的能带(EV) 满带：全部被电子填满的能带 导带：电子部分填满的能带或最下面一个空着
（5）原子能级与能带的对应
1、原子中的电子在原子核势场及其他电子的作用下，
分别处在不同的能级上，形成所谓电子壳层，不同支 壳层的电子分别用1S；2S，2P; 3s,3p,3d等表示，每 一支壳层对应于特定的能量。
2、 电子的共有化运动：原子组成晶体以后，不同原子 的内外各电子壳层就有不同程度的交叠，由于电子壳 层的交叠，电子不再完全局限于某一个原子上，可以 由一个原子转移到相邻的原子上去，因而电子可以在 整个晶体中运动，称为电子的共有化运动。
例题1：画出一维简单晶格的第一和第二布里渊区
例题2：画出二维正方格子的布里渊区 二ar1维=正a方ir 格ar子2 的= 基arj矢为
⑴ 第一布里渊区
由于 ari 基矢为
r ⋅bjຫໍສະໝຸດ =2πδ ij=
⎧2π
⎨ ⎩
0
i= j i≠ j
知二维正方格子的倒格子
r b1
=
2π a
ir
r b2
=
2π a
rj
找离原点最近邻的点，见图。
能带理论的出发点是固体中的电子不再束缚于个别 的原子，而是在整个固体内运动，称为共有化电子－ －－－电子的共有化运动．
在讨论共有化电子的运动状态时假定原子实处在其 平衡位置，而把原子实偏离平衡位置的影响看成微 扰，对于理想晶体，原子规则排列成晶格，晶格具有 周期性，因而等效势场V(r)也应具有周期性．晶体中的 电子就是在一个具有晶格周期性的等效势场中运动，
的长度互为倒数
倒格子与晶格的几何关系意义 晶格的一簇晶面转化为倒格子中的一点，这 在处理晶格的问题上有很大的意义，如XRD
补充二、布里渊区
在状态空间里，即在倒格子空间里，围绕原点 对称的一些原胞称为布里渊区（BZ）。
布里渊区的构成方法：在倒格空间里做所有倒 格矢的垂直平分面，这些面把倒格空间分成许多 部分。第一布里渊区就是从原点不跨过任何平面 的区域； 第一布里渊区边界到达第二个界面所围成的区域 为第二布里渊区；以此类推。
r ⋅ Rl
=
2πμ
其反中之μ，为若正整Krh数⋅ R（rl =不2包πμ括0成）立，则
r K
h、Rrl
互为倒
格矢
r ⑷倒格矢 Kh 可以理解为波矢。
波矢大小为：2π / λ
方向：波的传播方向。
（5）倒格子原胞的体积
Ω*
=
(2π )3
Ω
其中Ω为正格
子原胞体积，即正格子原胞体积与倒格子原胞体
积互为倒数 r rrr
（1）各原子中相似壳层上的电子才有相同的能量， 电 子只能在相似壳层间转移。
（2）由于内外壳层交叠程度不一样，只有最外层电 子的共有化运动才显著
（5）原子能级与能带的对应
1、一个原子能级对应一个能带，不同的原子能级对应不同的能 带。当原子形成固体后，形成了一系列的能带。
2、能量较低的能级对应内层电子，其轨道较小，原子之间内层 电子的波函数相互重叠较少----对应的能带较窄。
（1）能带理论的重要意义
能带理论是目前研究固体中电子运动的一个主要理论 基础．在20世纪20－30年代，在量子力学运动规律确立以
后，它是在用量子力学研究金属电导理论的过程中开始发展起 来的。最初的成就在于定性地阐明了晶体中电子运动的普遍规 律。 —— 说明了固体为什么会有导体、半导体、绝缘体的区别 —— 晶体中电子的平均自由程为什么会远大于原子的间距 —— 能带论为分析半导体提供了理论基础，有力地推动了半导 体技术的发展 —— 大型高速计算机的发展，使能带理论的研究从定性的普遍 性规律发展到对具体材料复杂能带结构的计算
电阻率
电阻率分类： 体积电阻率：ρV , Ω·m 表面电阻率：ρS , Ω
衡量物体表面电荷移动或电流流动难易程度的物理量。 在固体材料平面上放两个长为L、距离为d的平行电 极，则两电极间的表面电阻Rs与d成正比，与L成反比。
式中的比例系数ρS称作表面电阻率，它与材料的表面性质有 关，并随周围气体介质的温度、相对湿度等因素有很大变化。
∞ 105-108 10-7-105 10-18-10-7
⑶ 不同材料的电导率举例 ①金属 自由电子 电导率高 导电性好 ②硅 半导体 ③离子固体 室温绝缘体 T高 电导率大 （无机非金属） ④高分子 杂质致有导电性