概率论与数理统计在数学建模中的应用__本科毕业设计论文
数学建模思想在概率论与数理统计教学中的融入
张伟伟（ ７ 一） ， １ ８ ， 河北青县人 ， ９ 女 沧州师范学院数 学系讲师 、 理学硕士， 研究方向： 基础数学。
・
Ｄ２ ・
力来解决相关问题 ， 使学生不但 能学到严谨 的理论知识 ， 还能
够提高分析问题和解决 问题 的能力。因此 ， 方法 的选择 教学 尤为重要。我们可 以采取“ 授和讨论相结合” 讲 的教学方法 ，
离去 ， 求两人能会 面的概率。我们 以 和 Ｙ分别表示 甲、 乙 两人到达约会地点的时间（ 以分钟为单位）则 ０ ， ≤ ≤６，≤ｙ ００
≤６， Ａ＝ 两人能会面” ０设 “ 则可以得到 Ｉ —ＹＩ ， ≤ 从而 Ｐ Ａ （）
６ ｘ６ －ａ ｘ￣ ０ ０ ｋ ）
：
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统计教学 的一个重要任务。
我们熟知 ， 建模是通过 调查 ， 数学 收集数据 、 ， 资料 观察
和研究其固有的特征和 内在的规律 ， 抓住问题的主要矛盾 ， 提 出假设 ， 经过抽象简化， 建立 反映实际 问题 的数量 的关 系， 即 利用数学知识解决实际问题 。因而 ， 在概率论与数理统计教
学中融人数学建模思想 ， 将有助于学生学 习其理论知识 ， 培养
、 、 Ｉｌ Ｉ ／ Ｏ
习， 能比较深刻地理解 中心极 限定理的理论与实用价值 。
２ 教 学方 法上 融入数 学建模 思 想
教学中教师更多的责任体现在引导学生通过 自己的努
基金项 目： 河北省教育厅 ２ 年度科研计划项 目“ ０ 高职高专数学建模教学和 实践的探 索” 。 作者简介 ： 贾庆兰（ ７ 一）女 ， 】 ８ ， 河北沧县人 ， ９ 沧州师范学院数 学系讲师 、 学硕士， 理 研究方向： 用数学 ； 应
老年人死亡率为 Ｏ０７试求保险公司在一年 的这项保 险业务 ．１， 中亏本的概率。我们可设 为一年中投保老人的死亡数 ， 则
数学建模思想在概率统计学中的应用
㊀㊀㊀㊀㊀１４８数学学习与研究㊀２０２１ １４数学建模思想在概率统计学中的应用数学建模思想在概率统计学中的应用Һ王梦欣㊀（湖南大学数学与计量经济学院，湖南㊀长沙㊀４１００８２）㊀㊀ʌ摘要ɔ在高等教育创新发展的背景下，概率统计学的学习受到了社会的广泛关注，而数学在高等教育阶段起着非常关键的作用，在日常生活中应用得相对比较广泛．将数学建模思想运用在概率统计学中，可以充分实现理论与实际的有效结合，一方面可以提升学习效率，另一方面还拓宽了学习的范围，为思维能力的培养提供有效的途径．基于此，首先，在文章的阐述中针对数学建模思想和概率统计学的相关内容进行了阐述；其次，探讨了数学建模思想应用在概率统计学中的实际意义；最后，针对数学建模思想在概率统计学中的实际应用展开详细分析和论述，为人们解决概率问题提供有效的帮助，奠定坚实的基础．ʌ关键词ɔ数学建模思想；概率统计学；应用；高等数学在现代科学技术快速发展的时代背景下，知识的更新换代速度也在不断地加快，传统的学习观点和学习方式已经无法适应社会的发展．在激烈的竞争环境下，只有不断地提升和强化学生的竞争能力与创新能力，才能从根本上促进学生的全面发展．尤其是数学，作为理工科的基础计算工具，在社会的发展中起着非常关键的作用．在概率统计学习中，数学建模思想的运用一方面可以促进学习者对概率统计的学习，另一方面可以借助数学模型的构建提升学习者的实践能力和应用能力，也为概率统计研究工作的开展提供了有效的保障．一㊁数学建模融入概率统计学中的实际意义概率统计学在各个阶段的数学教学中都起着非常关键的作用，一方面是因为概率统计本就是数学中较为重要的组成部分，另一方面是因为在现实生活中概率统计学的应用也相对比较广泛．而在概率统计学学习的过程中，掌握了基础理论知识，既能对数学知识进行合理的运用，并形成良好的思维方式，也能为概率统计学的研究工作以及数学学科的学习提供有效的方法和途径．二㊁当前数学建模中存在的问题分析（一）功利化影响较为严重全球经济一体化助推了我国市场经济的快速发展，在经济水平不断提升的背景下促进了计算机技术和信息技术的快速发展，它们不仅为人们日常生活方式带来了一定的改变，也为人们之间的交流带来了较大的便利，在一定程度上拓宽了学生的学习视野．在此背景下，学生在概率统计学学习的过程中需要结合信息技术和多媒体技术来提升学习效率；需要借助先进的互联网技术构建模型体系，分析事物存在规律，运用模型直观地表达出来．而数学建模更能满足学生对于学习的需求，尤其是在概率统计学学习的过程中，数学建模思想的融入能够在潜移默化中逐渐提升学生的思维能力和解决问题的能力．但是，依据当前的现状进行分析，受到学校升学率以及人才培养质量的影响，教师将关注的重心放在了学生的数学成绩和学习成果方面，即便是在正规的知识竞赛中，教师关注的也只是学生的名次，长此以往，会导致数学建模的功利性较强，失去了原本的价值和意义．（二）数学建模的目标不明确在当前阶段，数学建模的学习往往都是以得奖或者是考试为最终目的．在数学建模学习的过程中，教师缺乏对学生思想上的正确引导，没有充分重视学生的心态，导致学生在数学建模思想学习的过程中经常会感到迷茫，在学习活动参与的过程中也缺乏一定的动力和活力．而在这样的情况下，数学建模思想的教育教学就失去了原有的意义，不仅无法提升学生的学习水平，还会在长期的教学中逐渐打击学生学习的自信心．（三）专业数学建模培训室的缺乏数学建模本身就是一项较为复杂的学习体系，其中不仅包含数学专业的理论基础知识，还有计算机的操作技术，因此，需要具备较为先进的数学建模基地让学生不断地操作和实践，在潜移默化中逐渐提升学生的计算机操作和理论知识的学习．但是，依据目前学校的现状，大多数的学校都不设有数学建模培训基地，或者是没有安排专业的教师进行数学建模教学．除此之外，在实践教学的过程中，部分教师除了日常的授课㊁备课以及批改作业外，留给自身学习的时间非常少，没有对数学建模教学过程和教学成效进行深入的钻研和研究，这样就导致了数学建模教学缺乏重视，专业的数学建模培训相对比较缺乏．三㊁数学建模思想在概率统计学中的应用（一）学习模式和学习观点的改变数学建模思想应用在概率统计学实际学习过程中时，不仅要学习概率统计和数学建模的专业理论基础知识，还要应当将理论与实际有效地融合在一起，用以解决实际生活中真实发生的问题．只有这样才能真正地提升自身的实践能力．因此，学生需要在学习模式和学习观念上进行改变，首先要明白概率统计学的学习并非为了应对考试和作业，而应当发挥其更多的实际价值和意义．在数学建模思想融入概率统计学实际学习过程中时，还要改变现有的学习模式：一方面，可以通过数学建模理论知识的掌握拓展自身的思维空间；另一方面，两者结合还能够促进概率统计学知识的灵活应用，为解决生活中存在的问题寻求较好的解决方法．比如，在日常的投资理财中，可以根据美国学者创立的证券组合理论 收益最大，不确定最小 构建概率的数学模型，从而展开定量分析，这个过程不仅可以帮助学生解决实际中产生的问题，还能够激发学生的兴趣，从而引发学生对概率统计学地深入探索，为概率统计学的发展奠定坚实的. All Rights Reserved.㊀㊀㊀１４９㊀数学学习与研究㊀２０２１ １４基础．近阶段，在各大竞赛和实际生活中与统计或概率相关题目出现的频率在逐渐上升，这也就意味着概率和统计对于我们来说越来越重要，如对购买彩票中奖概率的计算等．在数学模型中，包含了各种概率的统计方法，其中时间序列法和蒙特卡洛方法是应用较为广泛的两种方法．概率统计方法的应用能够将数学中较为复杂的问题简单化，而且，在概率统计学中，数学建模思想的应用不仅可以将复杂的生活问题简单化，用直观地方式呈现出来，从而最快㊁最有效地解决问题，还能够强化学生对概率统计学专业理论基础知识的掌握和理解，并促使自己的能力得到有效的训练．与此同时，数学建模思想和概率统计学的相互融合还能够强化每一个学生深刻地领悟数学建模精神．除此之外，在数学建模思想融入概率统计学中的时候不应当操之过急，要采用潜移默化的方式将数学建模思想慢慢地融入其中，才能最大化地发挥数学建模思想的作用和价值．（二）学习内容的拓展在概率统计学学习的过程中，教师不应仅停留在教材内容上，还要在此基础上对现有的知识层面适当地进行拓展，将理论与实际有效地融合在一起，将现实生活中存在的问题作为重点的拓展对象．在概率统计学学习的过程中，对于理论基础知识的部分借助记忆的方式能够进行知识的积累，而在实践的过程中不能将理论知识灵活地运用其中，就会导致理论基础知识失去原有的价值和意义．在概率统计学学习的过程中，如果将数学建模思想运用其中，那么通过数学模型的构建来解决实际问题能够在一定程度上提高自身的实践应用能力．同时，这也是数学建模思想的本质，数学模型最根本的目的就是实现教材知识的实践化．而在数学建模思想渗入其中的时候，一方面，可以加深每一名学生对基础知识的掌握和理解，另一方面，在数学模型构建中也能够打开学生的思路和固有的模式，通过不断地指导和引领，真正实现了概率统计学知识的补充，也解决了实际中存在的问题，为未来的学习和知识求知欲的激发提供了有效的途径，奠定了坚实的基础．例如，在线性规划的学习过程中，教师可以创设一个书童的情境：每天早上书童都会从出版社采购一些书籍进行售卖，在晚上的时候会将一天中仅剩的书籍退回到出版社．在采购的时候，书童是以ｂ元／本的价格进行购买的，而在售卖的时候书童则是以ａ元／本的价格进行售卖的，到了晚上，书童将剩余的书籍退回到出版社的时候，是以ｃ元／本的价格退回的．假设ａ＞ｂ＞ｃ，那么在书籍卖出的时候，他的净收益则是每本（ａ－ｂ）元，每退回一本书就亏损（ｂ－ｃ）元．按照上述所说，如果书童在采购书籍的时候，数量过多将有可能产生亏损，而数量过少其自身的净收益就越低．为了解决这个问题，可以借助数学模型的构建来规划书童每天需要构建的书籍数量，以此实现效益的最大化．因此，通过这样的方法能够充分地激发学生的学习兴趣，从而拓展学生的思维能力并拓宽视野，为教学模型的构建提供了有效的途径，也为学生学习效率的提升奠定了坚实的基础．（三）更新学习方法在概率学习的过程中，学生固有的学习方式是课堂学习＋课后刷题，在长时间的学习中，固有的方式会在一定程度上限制学生思维过程的发展，因此，在概率统计学学习的过程中，为了促进思维模式的拓展可以融入数学建模思想，通过构建数学模型来激发学生的思维能力，打破传统僵化的模式．这源于在数学模型构建的过程中，需要面临的不是相对理想的状态，而是在多变和复杂的环境下通过数学模型的构建来解决实际的问题．因此，数学模型的构建和应用能够打破学生固有的格局，改变传统学习过程中僵化的模式．此外，在数学模型构建的过程中，还要对问题发生的背景有一个全面地掌握和了解，在这样的背景下不仅可以提升学生的学习热情，还有效地促进了学生自主学习能力的提升．与此同时，在数学模型构建的过程中，也可以采取团队合作的方式，分组进行讨论，在学生之间讨论的过程中真正提升学生自身的思维能力和实践经验，真正提升团队合作能力和解决真实问题的能力．比如，学生可以思考这样的一个问题：两个人约在周日的１５时至１６时见面，第一个到达见面地点的人需要等２０分钟，如果在２０分钟以后约定的人还没有来，那么第一次到达的人就会离开，那么这两个人能够成功见面的概率有多大？在这个问题解决的过程中就可以通过数学模型构建的方式来解决这个问题，从而求出两人见面的概率．数学模型的构建不仅可以加深学生对问题的理解，还促进了理论与实践的结合．总㊀结综上所述，在概率统计学中，数学建模思想的应用一方面可以帮助学生解决在实际生活中遇见的问题，另一方面能够有效强化学生对基础知识的理解和掌握，有效促进学生自身思维能力的提升．将数学建模思想应用在概率统计学中最根本的目的是实现理论与实际的结合，解决实际中存在的问题，提升思维能力．基于此，在概率统计学习中，学生要不断探索数学模型，强化实际应用，提高自身思维品质．由此可见，数学建模思想在概率统计学的应用可以提高学生的学习效率，帮助学生在学习概率统计学的过程中找到有效的方法，还可以提升学生的学习热情，为之后的全面发展提供有效的保障，奠定坚实的基础．ʌ参考文献ɔ［１］李娟，简绍勇，刘润华，等．数学建模思想在工业领域中的应用初探［Ｊ］．科学咨询（教育科研），２０２０（１０）：９３－９４．［２］胡红娟，杜健，鞠桂玲，等．融入数学建模思想和ＭＡＴＬＡＢ的中心极限定理形象化教学［Ｊ］．信息系统工程，２０２０（０８）：１６７－１６８，１７０．［３］张新宇，张军，吴国荣，等．基于数学建模思想构建概率论与数理统计课程的知识结构［Ｊ］．高师理科学刊，２０２０，４０（０７）：５８－６２．［４］郑薇，李妮，董慧．数学建模思想在数学课堂教学中的应用研究［Ｊ］．科技风，２０２０（１９）：６３．［５］曹建美，王凤翔．概率论与数理统计课程教学中融入数学建模思想的策略［Ｊ］．西部素质教育，２０２０，６（１２）：１６６－１６７．. All Rights Reserved.。
概率统计在数学建模中的应用探究
概率统计在数学建模中的应用探究作者：杨映霞来源：《课程教育研究》2017年第34期【摘要】概率统计课程作为一门实践性与理论性较强的数学学科，已经在各大高校作为一门公共课程而开设。
数学的知识表面看起来太复杂又太片面化，似乎在日常生活中并没有太大的存在感，除了些简单的加减问题。
其实不然，数学建模思想的出现，使得数学中的概率统计渐渐的接近日常生活问题，带来了很多的便利。
本文就概率论在数学建模中的应用问题进行了探究。
【关键词】概率统计数学建模应用探究【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）34-0138-01前言随着信息时代的不断发展，相关理论知识也越来越被重视，并且渴望被广泛应用，其中数学方面的变化最大，例如数学中的分支概率统计课程的学习越来越被各高校重视，并且在教学的过程中，还融入了数学建模的基本思想，而概率统计这门学科主要包括利用期望把随机问题转化为确定性问题，考虑平均意义下的最优问题；生灭过程的应用；多元统计分析：（1）回归分析；（2）判别分析；（3）聚类分析；随机模拟，而建模是针对某一事件或问题进行的探究，两者的结合让学生充分的体会到了概率统计的实用性，让学生运用学过的概率统计知识去解决，从而激发学生学习的主动性和积极性，提高他们的运用能力。
目前在概率论与数理统计课程中融入数学建模的思想已经引起了越来越多的相关教学工作者的重视。
一、概率统计与数学建模相结合的教学现状随着数学建模思想的发展，越来越多的高校对于概率统计与数学建模思想的结合教学模式的重视度加大。
但是，尽管只是学校加大了力度还是不够的。
毕竟最后的应用需要有才能的进行探究与总结，最终才能让模型得以扩张与应用。
概率统计的课程在我们学校是第二学期开展的，当时，学生们已经学过了高等数学、线性代数等课程。
但是不同的学生来自于不同的学校，对数学的学习能力以及基础不同，这对两者结合的教学模式带来了难度。
一是很多同学根本没有把数学知识的学习放在心上，他们认为在现实的生活中数学的应用涉及的范围很小，几乎接触不到概率统计、线性等知识的应用；二是即使有些同学可以将概率统计的知识学的很好，订单式一旦与实际问题相结合，往往就觉得失去了头绪，不知从哪里开始做起。
《概率论与数理统计》教学与数学建模思想方法的融入
论： ・
概 念时 ， 们可 以从 生 活中的 “ 术平 均数 ”“ 我 算 、加权平 均数” 引入 ， 深学 生对 “ 学期望 ” 加 数 就是 “ 值 ” 均 的理
解。
２通过实例融人数学建模思想方法 。《 ． 概率论与数 理统计 》 是一门应用性很强 的学科 ， 教师 应充分利用教 材 中的实例 或 自己设计 实例进行讲解 。使 学生学会如 何收集 、 分析数据 ， 建立模型解决实 际问题 。
几条标有记号（ 有ｍ条 ）然后再根据 收集到 的资料进 设 。 行估计 。 ’ 问题 的解决 ： 池 中有Ⅳ 设 条鱼 ， 第二次 钓 出且 有记 号 的鱼数是个随机变数记为 则 ，
＾
人ｎ 个盒 中， 计算相关事件的概率 。一般来说 ， 放人 根据 的方 式不 同 ， 可分 四种情况讨论 ：
放 人方 式 不 同放法 总数 个 质 点 每 盒 可 容 纳 质 点 可分 辨
随 机放入 任意个质点 质点不可分辨 嚣 Ｃ
个 盒 中 每 盒 最 多 只 质 点 可分 辨
Ｐ ＝ （： ）
，为整数 ， ａ （ ，— ＋ ） ＜ｒｉ ｍ ｘ Ｏｓ Ｎ ｒ≤ ￣ａ ｎ
运用 能力 。 二、概 率论与数理统计》教 学中融入数学建模 思 《
概率论在数学建模中的若干应用
概率论在数学建模中的若干应用
概率论在数学建模中的若干应用：
一、信息理论
1、信息的衡量：概率理论提出了不确定性的概念，可衡量信息的量化，如信息熵、相对熵、KL散度等，准确反映信息的熵增减。
2、多媒体的压缩编码：通过香农定理刻画了在有限的信道条件下，信
号在被接收者传达之前的压缩编码等过程。
二、预测控制
1、马尔可夫决策过程：概率理论和Markov决策理论，帮助分析者以
随机模型预测政策、企业战略以及决策过程，有利于做出最佳决策。
2、预测控制：将概率概念运用于动态系统，可以用来预测和控制系统
性能，如时序预测和机器学习中的状态估计工作，帮助分析者预测和
识别控制系统的特性。
三、社会科学中的应用
1、政策分析：概率论在社会科学中也有一定的应用，它可以用来处理
和分析不确定的政策参数，以便分析政策的影响，社会研究者可以建
立模型并利用概率论来获得最佳决策。
2、社会统计学：如网络概率模型、隐马尔可夫模型、概率图模型等，
可以利用概型论来研究社会因素、社会实体之间的传播影响，以及分
析协作行为的作用。
四、其他领域的应用
1、金融研究：概率论可以为金融投资者提供投资分析依据，例如投资
者可以根据马尔科夫过程对股票价格变化进行预测，根据泊松分布来
研究证券交易中的事件发生率，从而使投资决策可靠性更大。
2、生物学：生物学家可以利用概率模型来预测和分析生物系统和过程，如基因表达分析、蛋白质结构预测等。
总之，概率论在数学建模中发挥着重要的作用，可以作为一种通用的
工具来分析与推导模型，它在多个领域中都有着广泛的应用，在未来
也将受到更多的关注。
浅谈概率论与数理统计课程与数学建模思想的融合
浅谈概率论与数理统计课程与数学建模思想的融合作者：王芬夏建业刘娟来源：《教育教学论坛》2017年第01期摘要：概率论与数理统计是研究随机现象及其规律的一门数学学科，是高等本科院校的一门重要公共基础课。
在概率论与数理统计课程中融入数学建模思想是十分必要的。
本文从教学内容、教学方法等方面对上述内容进行了探讨。
关键词：概率论与数理统计；数学建模；案例教学中图分类号：G642.3 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）01-0105-02引言利用数学基础知识抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模[1]。
数学建模是指针对实际生产生活中的特定对象，为了特定的一些目的，通过一定的数学知识与数学思想，对研究对象做出简化和假设，以此对实际问题进行抽象。
数学模型的建立要求建立者针对实际问题，合理地应用数学符号、数学知识、图形等对实际问题进行本质并且抽象地描绘，而不是现实问题的直接翻版。
概率论是一门历史悠久的学科，产生于赌博中的问题，现在早已经发展成为了研究随机现象及其规律的一门数学学科。
概率论与数理统计分成了概率以及统计两大部分，是各类高校必修的重要基础课程之一。
概率论与数理统计中所涉及的学习方法和学习内容，与后期将要学习的随机过程、计量经济学、微观经济学、时间序列分析等课程息息相关，是学生学习这些后续课程的理论基础。
概率论与数理统计在社会生产生活的各个领域都有着非常广泛的应用[2]。
但是，不少学生感到概率统计课程的概念听起来似乎不难理解，但是一遇到实际问题就不知道该如何入手，思维难以展开，所学的分析方法与概率思想很难与自身专业联系起来。
针对现在的教学现状与学生所遇到的实际困难，作为高等教育的工作者，我们能做些什么呢？将数学建模思想融入到概率统计教学中，在抽象、枯燥的概率统计教学过程中，穿插一些与学生专业相关的或者在实际生产生活中常见的问题，对其进行数学建模，同时进行分析和求解，不仅能够帮助学生更好地理解与掌握理论知识，而且也能在很大程度上提高学生的学习兴趣，并且能够帮助学生提高解决实际问题的能力。
概率论与数理统计论文(优秀3篇)
概率论与数理统计论文（优秀3篇）【摘要】针对近年来医学院校招生规模不断扩大，学生基础知识和学习能力参差不齐的实际状况，探讨了概率论与数理统计分层次教学的必要性，提出了医学院校概率论与数理统计课程分层教学模式，总结了在概率与统计教学中利用现代化信息技术进行分层次教学的实践经验。
【关键词】因材施教；素质教育；概率论与数理统计；分层次教学早在2500年以前，儒家代表人物孔子把教育内容分为德行、言语、政事、文学四科，其中以德行为根本。
而德育方法由不同层次的方法构成的，特别是方法论层次上的德育方法，如因材施教法。
既然不同的学生自身的特点不同，那么在教学中就应采用不同的教育，我们所提出的分层次教学思想，就源于孔子的因材施教。
近年来，随着教育的深入，本科教育从精英化向大众化进行转变，高等院校招生规模大幅度地增加，医科院校入校学生的数学基础和学习能力参差不齐。
而大学生由于其专业对概率与数理统计知识的要求不同，其学习目标和态度不尽相同，这就使得大学生对该课程的需求有了进一步的分化；同时由于不同学生的数学基础和对数学的兴趣爱好也不尽相同，对数学学习的重视程度和投入有很大差别。
在长期的教学实践中我们深刻地体会到，为了在有限的课堂教学时间内尽可能地满足各层次学生学习的需要，满足各专业后续课程学习的前提下，最大程度地调动学生的学习积极性，必须推行分层次教学，提高数学教学的质量[1，2]。
1概率论与数理统计分层次教学研究的背景自1995年国家教委立项研究“面向21世纪非数学类专业数学课程教学内容与课程体系”以来，对于数学教育在大学教育中应有的作用，国内数学教育界逐渐认识到，我国高等院校的规模水平、专业设置、地区差异、师资力量、生源优劣都相去甚远。
而随着我国高等教育大众化趋势的步伐加快，这些差距到21世纪更加凸显，分层次教学法的提出必然是大学数学教学的规律。
这也是我们在进行大学数学分层次教学研究时的一个基本出发点。
我校在概率论与数理统计的教学实践中提出分层次教学，是在原有的师资力量和学生水平的条件下，通过分层次教学，充分满足各专业各水平不同层次学生的数学素质的要求，最大限度地挖掘学生的潜能，引导学生发挥其优势，使每个学生都能获得所需的概率统计知识，同时能够充分实现学校的教育功能和服务功能，达到教书、育人的和谐统一[3]。
概率论与数理统计论文
概率论与数理统计概率论作为一门数学分支，它所研究的内容一般包括随机事件的概率、统计独立性和更深层次上的规律性。
更深层次上的规律性。
概率是随机事件发生的可能性的数量指标。
在独立随机事件中，如果某一事件在全部事件中出现的频率，在更大的范围内比较明显的稳定在某一固定常数附近。
就可以认为这个事件发生的概率为这个常数。
对于任何事件的概率值一定介于 0和 1之间。
间。
有一类随机事件，它具有两个特点：第一，只有有限个可能的结果；第二，各个结果发生的可能性相同。
具有这两个特点的随机现象叫做“古典概型”。
在客观世界中，存在大量的随机现象，随机现象产生的结果构成了随机事件。
如果用变量来描述随机现象的各个结果，就叫做随机变量。
随机变量有有限和无限的区分，一般又根据变量的取值情况分成离散型随机变量和非离散型随机变量。
一切可能的取值能够按一定次序一一列举，这样的随机变量叫做离散型随机变量；如果可能的取值充满了一个区间，无法按次序一一列举，这种随机变量就叫做非离散型随机变量。
机变量就叫做非离散型随机变量。
在离散型随机变量的概率分布中，比较简单而应用广泛的是二项式分布。
如果随机变量是连续的，都有一个分布曲线，实践和理论都证明：有一种特殊而常用的分布，它的分布曲线是有规律的，这就是正态分布。
正态分布曲线取决于这个随机变量的一些表征数，其中最重要的是平均值和差异度。
平均值也叫数学期望，差异度也就是标准方差。
是标准方差。
数理统计包括抽样、适线问题、假设检验、方差分析、相关分析等内容。
抽样检验是要通过对子样的调查，来推断总体的情况。
究竟抽样多少，这是十分重要的问题，因此，在抽样检查中就产生了“小样理论”，这是在子样很小的情况下，进行分析判断的理论。
的理论。
适线问题也叫曲线拟和。
有些问题需要根据积累的经验数据来求出理论分布曲线，从而使整个问题得到了解。
但根据什么原则求理论曲线？如何比较同一问题中求出的几种不同曲线？选配好曲线，有如何判断它们的误差？……就属于数理统计中的适线问题的讨论范围。
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概率论与数理统计在数学建模中的应用
——国 冰
。 第一节 概率模型 一、初等概率模型 初等概率模型主要介绍了可靠性模型、传染病流行估计、常染色体遗传模型
等三类问题： 1、复合系统工作的可靠性问题的数学模型 设某种机器的工作系统由N个部件组成，各部件之间是串联的，即只要有一个部件失灵，整个系统就不能正常工作．为了提高系统的可靠性，在每个部件上都装有主要元件的备用件及自动投入装置(即当所使用元件损坏时，备用元件可自动替代之而开始工作)明显地，备用件越多，整个系统正常工作的可靠性就越大. 但是，备用件过多势必导至整个系统的成本、重量和体积相应增大，工作精度也会降低. 因此，配置的最优化问题便被提出来了：在某些限制性条件之下，如何确定各部件的备用件数量，使整个系统的工作可靠性最大? 这是一个整体系统的可靠性问题.我们假设第i个部件上装有ix个备用件(1,2,,)iN,此时该部件正常工作的概率为()ipx，那么整个系统正常工作的可靠度便可用
1()niippx （9.1）
来表示. 又设第i个部件上的每个备用件的费用为iC，重量为iW，并要求总费用不超过C，总重量不超过W，则问题的数学模型便写成为
1max()niippx （9.2） 11..,1,2,NiiiNiiiicxcstwxcxNiN
问题的目标函数为非线性的，决策变量取整数，属于非线性整数规划问题。 2、传染病流行估计的数学模型 问题分析和模型假设 本世纪初，瘟疫还经常在世界的某些地方流行。被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来？为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？科学家们建立了数学模型来描述传染病的蔓延过程，以便对这些问题做出回答。 这里不是从医学角度探讨每一种瘟疫的传染机理，而是利用概率论的知识讨论传染病的蔓延过程。 假定人群中有病人或更确切地说是带菌者，也有健康人，即可能感染者，任何两人之间的接触是随机的，当健康人与病人接触时健康人是否被感染也是随机的. 问题在于一旦掌握了随机规律，那么如何去估计平均每天有多少健康人被感染，这种估计的准确性有多大? 给出以下假设 （1）设人群只分病人和健康人两类，病人数和健康人数分别记为i和s，总数n不变，即 isn （9.3） （2）人群中任何二人的接触是相互独立的，具有相同概率p，每人每天平均与m人接触； （3） 当健康人与一病人接触时，健康人被感染的概率为。 模型建立求解 由假设（2）知道一个健康人每天接触的人数服从(1,)bnp，且平均值是m，则 (1)mnp 于是 (1)mpn (9.4) 又设一健康人被一名指定病人接触并感染的概率为1p，则由假设3及(9 .4)式得
11mppn
(9.5)
那么一健康人每天被感染的概率2p为
211(1)1(1)1iimppn (9.6)
由于健康人被感染的人数服从2(,)bsp，其平均值为 22()spnip (9.7) 标准差为
2222(1)()(1)sppnipp (9.8) 注意，通常,1nmn，取(9.6)式右端展开式的前两项，有
21(1)mimipnn (9.9)
最后得到 ()minin (9.10)
22
1()()pnminipmini
(9.11)
(9.10)式给出了健康人每天平均被感染的人数与n、i、m、的关系，(9.11)式为变异系数，可看作对平均值的相对误差的度量。
二、随机性决策模型 所谓行为决策理论，就是用行为科学的观点和方法，对决策活动进行描述，解释和预测的一种理论。 它以人的决策行为作为基本要素，以自然科学的实证方法作为主要手段，归纳出一套建立在经验证据基础上的理论观点，拓展了决策论的研究范围。 合理的决策必须具备三个条件： （1）目标合理； （2）决策结果满足预定目标的要求； （3）决策本身符合效率、满意、有限合理、经济性的原则。 所谓风险型决策是指在作出决策时，往往有某些随机性的因素影响，而决策者对于这些因素的了解不足，但是对各种因素发生的概率已知或者可估算出来，因此这种决策存在一定的风险. ① 风险决策模型的基本要素 决策者——进行决策的个人、委员会或某个组织.在问题比较重大和严肃时，通常应以后者形式出现. 方案或策略——参谋人员为决策者提供的各种可行计划和谋略. 如渔民要决定出海打鱼与否便是两个方案或称两个策略. 准则——衡量所选方案正确性的标准.作为风险型决策，采用的比较多的准则是期望效益值准则，也即根据每个方案的数学期望值作出判断.对收益讲，期望效益值越大的方案越好；反之对于损失来讲，期望效益值越小的方案越好. 事件或状态——不为决策者可控制的客观存在的且将发生的自然状态称为状态(事件)，如下小雨，下大雨和下暴雨即为三个事件或称三种状态，均为人所不可控因素. 结果——某事件(状态)发生带来的收益或损失值. ② 风险决策方法 利用树形图法表示决策过程具有直观简便的特点，将其称为决策树的方法. 充分利用灵敏度分析(即优化后分析)方法对决策结果作进一步的推广和分析. 决策树一般都是自上而下的来生成的。 选择分割的方法有好几种，但是目的都是一致的：对目标类尝试进行最佳的分割。 从根到叶子节点都有一条路径，这条路径就是一条“规则”。 决策树可以是二叉的，也可以是多叉的。 对每个节点的衡量： 1) 通过该节点的记录数 2) 如果是叶子节点的话，分类的路径 3) 对叶子节点正确分类的比例。 有些规则的效果可以比其他的一些规则要好。 决策树对于常规统计方法的优点。 构造好的决策树的关键在于如何选择好的逻辑判断或属性。对于同样一组例子，可以有很多决策树能符合这组例子。人们研究出，一般情况下或具有较大概率地说，树越小则树的预测能力越强。要构造尽可能小的决策树，关键在于选择恰当的逻辑判断或属性。由于构造最小的树是NP-难问题，因此只能采取用启发式策略选择好的逻辑判断或属性。下面我们利用一个例题来说明如何来建立风险决策模型。 例1、天龙服装厂设计了一款新式女装准备推向全国。如果直接大批量生产与销售，主观估计成功与失败的概率各为0.5，其分别的获利为1200万元与-500万元，如取消生产销售计划，则损失设计与准备费用40万元。为稳妥起见，可先小批量生产试销，试销的投入需45万元。据历史资料与专家估计，试销成功与失败的概率分别为0.6与0.4，又据过去情况，大批生产销售为成功的例子中，试销成功的占84%，大批生产销售失败的事例中，试销成功的占36%。试根据以上数据，通过建立决策树模型按期望值准则确定最优决策。 解答：本题显然是要考核风险性决策模型的建立能力。按照这类模型的建立思路，我们有： 问题分析与模型假设 1. 问题涉及直接大批量生产与销售、取消生产销售计划和小批量试销售这样三个决策方案的取舍，在每种方案下又分为成功或失败两种结果； 2. 决策目标在表面上看是获利大小，实际上是要决定试销与否； 3. 尚需注意后面几句话：“大批生产销售为成功的例子中，试销成功的占84%，大批生产销售失败的事例中，试销成功的占36%”，这意味着要计算两个概率，其一是当试销成功时，大批量销售成功与失败的概率；其二是试销失败情况下，大批量销售成功与失败的概率，这意味着要利用贝叶斯概率公式； 4. 设定以下变量 A--试销成功，则A--试销失败； B--大量销售成功，则B--大量销售失败。 模型建立求解 1.先来计算两个概率，注意到,36.0)/(,6.0)(,84.0)/(BAPBPBAP代入
贝叶斯概率公式 )()/()()/()()/()/(BPBAPBPBAPBPBAPABP ,78.04.036.06.084.06.084.0 从而.22.0)/(ABP即当试销成功时，大批量销售成功与失败的概率分别为0.78和0.22. 同理可以算出在试销失败情况下，大批量销售成功与失败的概率分别为0.22和0.78. 2. 以试销与否作为决策思路，先画一方块“囗”称为决策结点，由决策结点向右引出若干条直线表示不同的策略(方案)称为策略分枝，策略分枝的右端画一个圆圈“○”称为状态结点，由它引出表示不同状态及其发生的概率的分枝称为概率分枝，最后在概率分枝的终点画“△”符号表示这一分枝的最终结果的效益值(期望值)，正值表收益，负值表示损失．本例对应的决策树如图（见图-2）：
试销 -45万 成功0.6 失败0.4 不试销 大量销售
大量销售 大量销售
取消销售
取消销售 取消销售
成功0.78 成功0.22 成功0.5 失败0.78
失败0.22
失败0.5 1200万
-500万 -40万
1200万
-500万 -40万
1200万
-500万 -40万 图--2